(通用版)2019版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布列课时达标检测

课时达标检测（五十五） 古典概型与几何概型[小题对点练——点点落实]对点练(一) 古典概型1．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为( )A.34B.35C.45D.710解析：选C 所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P ＝C 12C 24＋C 34C 36＝45. 2．(2018·陕西模拟)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说课，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A.13 B.23 C.12D.34解析：选C 记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，AB A ，AB B ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为AB A ，AB B ，BAA ，B AB ，共4种．故所求事件的概率为12.故选C .3．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序A ，B ，C ，D ，E ，F ，则程序A 在第一或最后一步，且程序B 和C 相邻的概率为( )A.15B.115C.415D.215解析：选D 程序A 在第一或最后一步，且程序B 和C 相邻的概率为P ＝A 12A 22A 44A 66＝215.4．已知集合M ＝{}1，2，3，4，N ＝{}，，b∈M ，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：选C 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使直线OA 的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14.5．(2018·重庆适应性测试)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为________．解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为410＝25.答案：256．(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A ＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A ＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A 包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P (A )＝636＝16，所以P (A)＝1－16＝56. 答案：56对点练(二) 几何概型1．(2018·武汉调研)在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：选D 由log 0.5(4x －3)≥0，得0＜4x －3≤1，解得34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14.2．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x≤4，y≥－2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( )A.413 B.513 C.825D.925解析：选D 如图，各点的坐标为B (－2,0)，C (4,0)，D (－6，－2)，E (4，－2)，F (4，3)，所以DE ＝10，EF ＝5，BC ＝6，C F ＝3.不等式对应的区域为三角形DEF ，当点在线段BC 上时，此点到直线y ＋2＝0的距离等于2，所以要使此点到直线y ＋2＝0的距离大于2，则此点应在三角形BCF 中．根据几何概型可知所求概率P ＝S △BCF S △DEF ＝12×6×312×10×5＝925，故选D. 3．已知正棱锥S­AB C 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P ­AB C ＜12V S­AB C的概率是( )A.34B.78C.12D.14解析：选B 由题意知，当点P 在三棱锥的中截面以下时，满足V P ­AB C＜12V S­AB C ， 故使得V P ­AB C ＜12V S­AB C 的概率：P ＝大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.4.如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，曲线y ＝x 经过点B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形O AB C 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )A .512B.12C .23D.34解析：选C 由题意可知S 阴＝⎠⎛04x dx ＝23x 32| 40＝163，S 长方形＝4×2＝8，则所求概率P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23. 5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得P F 1―→·P F 2―→<0的概率为________．解析：设P (x ，y )，则P F 1―→·P F 2―→<0即为(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )<0，即为x 2－3＋y 2<0，即为x 2－3＋1－x 24<0，解得－263<x <263，故所求的概率为4634＝63.答案：636.如图，正四棱锥S­ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．解析：设球的半径为R ，则所求的概率为P ＝V 锥V 球＝13×12×2R×2R·R 43πR 3＝12π. 答案：12π对点练(三) 概率与统计的综合问题1．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计数据落在[2,10)内的概率约为________． 解析：由题图可得(0.02＋0.08)×4＝0.4. 答案：0.42．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中用m 表示，假设数字具有随机性，则乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为________.解析：由14(87＋89＋91＋93)＝14(85＋90＋91＋90＋m )，得m ＝4，即m ＝4时，甲、乙两个小组的平均成绩相等．设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，m 的取值有0,1,2，…，9，共10种可能，其中，当m ＝5,6，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，故所求概率为510＝12.答案：123．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据求得线性回归方程为y ＝－20x ＋a .若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________．解析：由表中数据求出样本平均数x －＝8.5，y －＝80，代入线性回归方程，得a ^＝250，所以线性回归直线方程为y ^＝－20x ＋250.经验证，样本点在回归直线左下方的有(8.2,84)，(9,68)两个，由古典概型的概率公式，得P ＝26＝13.答案：13[大题综合练——迁移贯通]1.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy ≤3，则奖励玩具一个； ②若xy ≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n ＝16.(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy ≥8”为事件B ，“3＜xy ＜8”为事件C .则事件B 包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的基本事件数共5个， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． 所以P (C )＝516.因为38＞516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．2．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题．(1)80～90这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数．(不要求写过程) (3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率． 解：(1)根据题意，50～60这一组的频率为0.015×10＝0.15，60～70这一组的频率为0.025×10＝0.25,70～80这一组的频率为0.035×10＝0.35,90～100这一组的频率为0.005×10＝0.05，则80～90这一组的频率为12×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其频数为40×0.1＝4.(2)这次竞赛成绩的平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；70～80这一组的频率最大，人数最多，则众数为75； 70分左右两侧的频率为0.5，则中位数为70.(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E,80～90之间有40×0.1＝4人，设为a ，b ，c ，d ；90～100之间有40×0.05＝2人，设为A ，B .从这6人中选出2人，有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，d )，(c ，A )，(c ，B )，(d ，A )，(d ，B )，(A ，B )，共15个基本事件，其中事件E 包括(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，(A ，B )，共7个基本事件，则P (E )＝715.3．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值．(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率． 解：(1)依题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为nn ＋2＝12，得n ＝2. (2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a ，b )所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a ＋b ≤3的结果有8种，故P (A )＝812＝23.②由①可知，(a －b )2≤4，故x 2＋y 2＞4，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{}x ，yx ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R ，由几何概型得概率P ＝22－14π·2222＝1－π4.。