1.2 平行四边形的判定
18.1.2_平行四边形的判定(1---3)
教学重难点
重点：
平行四边形的判定方法及应用．
难点：
平行四边形的判定定理与性质定理的灵 活应用．
探究
张师傅手中有一些木条，他想通过适当的测量、 割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出 一些办法来吗？并说明理由． A● AB＝CD AD＝BC
角
两组对角分别相等
对角线： 对角线互相平分
• 1、下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ D ） • A、∠A=∠C，∠B=∠D • ∠A=∠B=∠C=90 • ∠A+∠B=180 ，∠B+∠C=180 • ∠A+∠B=180 ，∠C+∠D=180
A D
B
C
• 下列条件中能判定一个四边形是平行四边形的条件 是（D ） • ①一组对边相等，且一组对角相等，②一组对边相 等且一条对角线平分另一条对角线，③一组对角相 等，且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条 对角线平分，④一组对角相等，且这一组对角的顶 点所连结的对角线平分这组对角。 • A、①和② B、②和③ • C、②和④ D、只有④ D A
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下面图片中，哪些是平行四边形？你是 怎样判断的？
平行四边形的主要特征
1．边： a．平行四边形两组对边分别平行． b．平行四边形两组对边分别相等． 2．角：平行四边形两组对角分别相等． 3．对角线： 平行四边形对角线互相平分 .
怎样证明对边相等或对角 线相等或对角线互相平分的四 边形是不是平行四边形？
证明：作对角线BD，交AC于点O．
A
E O F B C
平行四边形的判定方法
平行四边形的判定方法
平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形，是一种常见的几何图形。
在
几何学中，判定一个四边形是否为平行四边形是非常重要的，下面将介绍几种判定平行四边形的方法。
1. 边对应角相等。
判定一个四边形是否为平行四边形的方法之一是通过边对应角相等来进行判断。
如果一个四边形的对边对应角相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是由平行线的性质决定的，平行线之间的对应角相等。
因此，如果一个四边形的对边对应角相等，则可以判定这个四边形是平行四边形。
2. 对角线互相平分。
另一个判定平行四边形的方法是通过对角线互相平分来进行判断。
如果一个
四边形的对角线互相平分，即将四边形的两条对角线相交于一点，且相交点同时平分两条对角线，那么这个四边形就是平行四边形。
这是由平行线的性质决定的，平行线之间的对角线互相平分。
因此，如果一个四边形的对角线互相平分，则可以判定这个四边形是平行四边形。
3. 对边相等。
此外，判定一个四边形是否为平行四边形的方法还包括对边相等。
如果一个
四边形的对边相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是由平行线的性质决定的，平行线之间的距离相等。
因此，如果一个四边形的对边相等，则可以判定这个四边形是平行四边形。
综上所述，判定一个四边形是否为平行四边形可以通过边对应角相等、对角线
互相平分、对边相等等方法来进行判断。
在几何学中，平行四边形是一个重要的概
念，通过合理的判定方法可以准确判断一个四边形是否为平行四边形，从而更好地理解和应用平行四边形的相关性质和定理。
平行四边形的判定
⑴
D
A
D
110° 4.8㎝
110°
7.6㎝ 4.8㎝
70°
C B（ 2 ）
C
（3） 7.6㎝
一装潢店要招聘店员，老板出了这样一 道考题：“一顾客要一张平行四边形的 玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明 这张玻璃符合顾客要求。”你能为招聘 人员设计一方案？
Ａ o Ｂ Ｃ Ｄ
提升学力：
如图，ABCD是平行四边形，∠ABC=70°， BE平分∠ABC交AD于E,DF∥BE,交BC于F， 求∠1的大小。 A 解: ∵ABCD是平行四边形 又∵DF∥BE ∴四边形BFDE是平行四边形 B F ∴∠EBF=∠EDF ∵∠ABC= ∠ADC= 70°,且BE平分∠ABC ∴∠EBF=35° ∴∠EDF=35° ∴∠1=∠ADC－ ∠EDF= 70°－35°=35°
判定:
1.两组对边分别平行的四 边形是平行四边形。 2.两组对边分别相等的四 边形是平行四边形。
3.对角线互相平分的四边 3.平行四边形的对角线互相平分. 形是平行四边形。
猜想： 4.两组对角分别相等的四边形
4.平行四边形的对角相等; 是平行四边形。
试一试
求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 已知：如图，在四边形ABCD∠A=∠C,∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形 . 证明： 在四边形ABCD中 A D ∠A+∠B+∠C+∠D=360° 数学语言表示为： ∵ B=∠D ∵∠A=∠C， ∠B=∠D B∠A=∠C，∠C ∴ 四边形ABCD是平行 ∴∠A+∠D=180° 四 边形 ∠A+∠B=180° ∴AB∥DC，AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （平行四边形定义。）
平行四边形的判定方法5个
平行四边形的判定方法5个平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两对对边分别平行和相等的特点。
在几何学中，我们可以通过多种方法判定一个四边形是否为平行四边形。
本文将介绍五种常用的判定方法。
首先，我们可以使用对边的性质来判定平行四边形。
如果一个四边形的对角线相等且互相平分，即两对对边都是相等的，那么这个四边形就是平行四边形。
这个判定方法基于平行四边形的基本定义，简单直观。
第二种判定方法是使用边的性质来进行判断。
如果一个四边形的两对对边分别平行且相等，即两对边的长度相等且平行，那么这个四边形就是平行四边形。
这个判定方法也是基于平行四边形的定义，适用范围广泛。
第三种判定方法是使用角的性质来判断。
如果一个四边形的相对内角相等，即两对相对内角的大小相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这个判定方法基于平行线交叉线性质，可以通过角度的比较来判断四边形的性质。
第四种判定方法是使用对角线的性质进行判断。
如果一个四边形的对角线互相平分且相等，即对角线的长度相等且互相平分，那么这个四边形就是平行四边形。
这个判定方法同样基于平行线交叉线性质，通过对角线的性质可以判断四边形的特性。
最后一种判定方法是使用边和角的性质联合判断。
如果一个四边形的一对对边相等且平行，并且另一对对边的内角相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这个判定方法结合了边和角的性质，通过不同的条件进行判断，可以得出四边形的特性。
综上所述，我们可以通过对边、角和对角线等性质的判断，确定一个四边形是否为平行四边形。
这五种常用的判定方法在几何学中得到广泛应用，通过它们我们可以轻松判断和证明平行四边形的性质。
(完整版)判定平行四边形的五种方法
鉴识平行四边形的基本方法怎样鉴识一个四边形是平行四边形呢 ?下面举例予以说明 .一、运用“两条对角线互相均分的四边形是平行四边形”判别例 1 如图 1,在平行四边形 ABCD 中,E、F 在对角线 AC 上,A D 且 AE =CF ,试说明四边形 DEBF 是平行四边形 .E解析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相均分的四边形是平行四边形”进行鉴识 .为此 ,需连接 BD.解：连接 BD 交 AC 于点 O.OF B C图 1由于四边形 ABCD 是平行四边形 ,因此 AO =CO,BO=DO . 又 AE= CF,因此 AO -AE=CO -CF ,即 EO= FO .因此四边形 DEBF 是平行四边形 .二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”鉴识例 2 如图 2，是由九根完满同样的小木棒搭成的图形，请A F E你指出图中所有的平行四边形，并说明原由 .解析:设每根木棒的长为 1 个单位长度，则图中各四边形的B C D边长即可求得，故应试虑运用“两组对边分别相等的四边形是平图 2行四边形”进行鉴识 .解：设每根木棒的长为 1 个单位长度，则AF = BC=1, AB= FC=1,因此四边形 ABCF 是平行四边形 .同样可知四边形 FCDE 、四边形 ACDF 都是平行四四边形 .由于 AE=DB=2, AB=DE=1,因此四边形 ABDE 也是平行四边形.D C 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判F别E 例 3 如图 3，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两A B点，AE=CF,DF =BE,DF ∥BE，试说明四边形 ABCD 是平行四边图 3形.解析: 题目给出的条件都不能够直接鉴识四边形 ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ ADF ≌△CBE，由此即可获得鉴识平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件 .解：由于 DF∥BE，因此∠ AFD =∠CEB .由于 AE =CF,因此 AE+ EF= CF+ EF ，即 AF= CE .又 DF = BE, 因此△ ADF ≌△CBE，因此 AD=BC，∠DAF =∠BCE，因此 AD ∥BC .因此四边形 ABCD 是平行四边形 .1四、运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”鉴识 例 4 如图 4，在平行四边形 ABCD 中，∠ DAB 、∠BCD 的均分线分别交 BC 、AD 边于点 E 、F ，则四边形 AECF 是平行 四边形吗？为什么？AF1 3D解析：由平行四边形的性质易得 AF ∥EC ，又题目中给出 的是有关角的条件，借助角的条件可获得平行线，故本题应试2B E C虑运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”进行鉴识 . 图 4解：四边形 AECF 是平行四边形 .原由：由于四边形 ABCD 是平行四边形，因此 AD ∥BC ， ∠DAB =∠BCD ，因此 AF ∥EC .又由于∠ 1= 1 2∠DAB ，∠2= 1 2∠BCD ，因此∠ 1=∠2.由于 AD ∥BC ，因此∠ 2=∠3， 因此∠ 1=∠3，因此 AE ∥CF. 因此四边形 AECF 是平行四边形 .判断平行四边形的五种方法平行四边形的判断方法有： （1）证两组对边分别平行； （2）证两组对边分别相等； （3）证一组对边平行且相等； （4）证对 角线互相均分； （5）证两组对角分别相等。
平行四边形的判定1
A
D
O
B C AD=BC 四边形ABCD是平行四边形 AB=DC ∠BAD=∠BCD 四边形ABCD是平行四边形 ∠ABC=∠ADC
OA=OC OB=OD 四边形ABCD是平行四边形
3、请你识别下列四边形哪些是平行四边形?为什么？
A
4㎝
4 5㎝ ㎝
5㎝
D
O C
A
7.6㎝
B
A
⑴
D
4.8㎝
D
4.8㎝
110°
A B
用符号表示如下： ∠A=∠C
∠B=∠D
四边形ABCD 是平行四边形
平行四边形有哪些判定方法？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
如图，用符号表示如下：
AD∥BC AB∥DC 四边形ABCD是 平行四边形
• 如图2，将两根细木条AC、BD的中点重叠， 用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的 顶点，做成一个四边形ABCD，使等长的成 为对边，转动两根木条，使它的形状改变， 在图形的变化的过程中，它四边形ABCD一 直是一个平行四边形吗？
A
O B C D
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形的这个判定方法，又该如何证明呢？
我们得到的这些逆命题都成立吗？我们一起探讨一下吧：
八年级 数学
第十九章 四边形
大家齐动手
B
如图，将两长两短的四根细木条用小 钉绞合再一起，做成一个四边形，使等长 的木条成为对边，转动这个四边形，使它 形状改变，在图形变化过程中，它一直是 一个平行四边形吗？
两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形这个判定方法，我们如何证明？
【最新版】八年级数学下册课件：18.1.2平行四边形的判定
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
A
D
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °
B
C
即∠A+ ∠B=180 °
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）
同理可证AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的 四边形是平行四边形)
A
D
A
D
几何语言：
在四边形ABCD中，
B
B
C
C
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究新知
18.1 平行四边形/
素养考点 1 利用两组对边分别相等识别平行四边形 例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证： 四边形PONM是平行四边形．
证明：在Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
探究新知
18.1 平行四边形/
知识点 2 平行四边形的判定定理2 一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心 碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图 所示部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店 不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然 后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？
由上面的过程你得到了什么结论？
是平行四边形
B
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如何证明这
个结论呢？
探究新知
18.1 平行四边形/
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC. 你能用平行
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
19.1.2平行四边形的判定(1)
平行四边形的判别方法
（1）根据定义：两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形. （2）两条对角线互相平分的四边形是平 行四边形. （3）一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形.
如图AC∥ED，点B 在AC上且 AB=ED=BC .找出 图中的平行四边形.
E
D
A
B
C
一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形.
小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用了
下面两种方法.
方法一：将两根木条AC，BD的中点重叠，
并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四
边形.
两条对角线互相平分的四边形是平行四边 形.
方法二：将两根同样长的木条AB，CD
平行放置，再用木条AD，BC加固，得 到的四边形ABCD 就是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形.
判 文字语言 定 定 两组对边分别平行的 义 四边形是平行四边形
图形语言 符号语言 Ｄ Ｃ ∵AB∥CD,AD∥
BC Ａ Ｂ ∴…是平行四边形 定 两组对边分别相等的 Ｄ Ｃ ∵AB=CD,AD= BC ∴…是平行 理 四边形是平等四边形 １ 四边形 Ａ Ｂ Ｃ ∵OA=OC,OB= 定 对角线互相平分的四 Ｄ 理 边形是平行四边形 OD ∴…是平行 O ２ Ａ Ｂ 四边形 Ｃ ∵∠A=∠C,∠B= 推 两组对角分别相等的 Ｄ 论 四边形是平行四边形 ∠0—92习题19.1 4、5、 9. ２. 继续预习“平行四边形的判 定”一节
19.1.2 平行四边形的判定（1）
复习回顾
边
平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等
平行四边形的性质： 角
平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补
对角线 平行四边形的对角线
平行四边形的定义,性质与判定
平行四边形的定义、性质及判定
一
1.两组对边平行的四边形是平行四边形.
2.性质：
(1)平行四边形的对边相等且平行；
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；
(3)平行四边形的对角线互相平分.
3.判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.对称性：平行四边形是中心对称图形.
二
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分 .
判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
三
1.平行四边形定义：在同一个平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。
2.平行四边形判定定理：两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
18.1.2平行四边形的判定教案
在小组讨论的引导过程中，我发现开放性问题对于启发学生思考非常有效。他们提出了一些很有创意的想法，这让我感到很惊喜。但同时，我也注意到有些学生在讨论中比较沉默，可能是因为害羞或者不够自信。未来我需要找到方法，鼓励每个学生都参与到讨论中来，提高他们的参与度。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
d.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3.能够运用以上判定方法判断实际问题中是否存在平行四边形，并能够证明其正确性。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，使其能够从图形中抽象出平行四边形的性质，形成对平行四边形的直观认识。
2.提升学生的逻辑推理能力，通过学习平行四边形的判定方法，能够运用逻辑推理进行证明，并解决实际问题。
3.增强学生的数学建模能力，使其在解决实际问题时能够构建平行四边形的模型，运用所学知识进行求解。
4.培养学生的数学抽象能力，通过探究平行四边形的判定方法，学会从特殊到一般、从具体到抽象的思考方式。
5.激发学生的合作意识和探究精神，鼓励在小组讨论和合作中发现问题、解决问题，培养团队协作能力。
平行四边形的判定
标题：平行四边形判定文档模板范本一、背景知识平行四边形是指四边形中，对边互相平行的四边形。
对于平行四边形的判定，需要掌握以下几个关键点：1. 如何判断两个向量平行2. 如何判断两条直线平行3. 如何判断四边形对边平行二、判定方法1. 通过向量判定对于平行四边形，相邻两条边的向量应该相等。
因此可以通过求出两个向量是否相等来判断是否为平行四边形。
举例：给出四边形ABCD，如果向量AB与向量CD相等，同时向量BC与向量AD相等，那么四边形ABCD就是平行四边形。
2. 通过直线判定如果两条直线都平行于同一直线，则它们是平行的。
举例：给出四边形ABCD，若直线AB∥直线CD，同时直线AD∥直线BC，那么四边形ABCD就是平行四边形。
3. 通过对边判定如果对边平行，则这个四边形为平行四边形。
举例：给出四边形ABCD，如果线段AB和CD平行且BC和AD平行，则四边形ABCD为平行四边形。
三、法律名词及注释1. 平行线指在同一平面内，没有交点的两条直线，它们的夹角为零。
2. 向量指既有大小又有方向的物理量。
向量通常用一箭头表示，箭头顶点为向量起点。
3. 直线没有拐弯的线。
4. 四边形由四条线段组成的形状。
四、本文档所涉及简要注释本文档所提到的平行四边形是指对边互相平行的四边形。
文档提供了三种判定方法：通过向量判定、通过直线判定、通过对边判定。
同时，文档还对相关法律名词进行了注释。
五、总结通过本文档，我们了解了平行四边形的定义以及判定方法。
在实践中，可以根据实际情况选择最适合的判定方法。
19.1.2平行四边形的判定2
练习： 如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两 点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
D 点D、E分别是△ABC的边AB、 1 A AC的中点，求证：DE∥BC且DE= BC
2
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF D ∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA B ∴CF∥BD，CF=BD A ∴四边形DBCF是平行四边形 DF∥BC，DF=BC 1 E 又DE= DF D
1 ∴DE∥BC且DE= BC 2
B C E
C
2
F
定义：
中位线与中线一样吗？
连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线。
A
D
E
如图，D、E、F分别是△ABC 的三边的中点，那么，DE、DF、 EF都是△ABC的中位线。
1 DE∥BC且DE= BC F 2 1 1 同理:DF∥AC且DF= AC； EF∥AB且EF= AB 2 2
A
F B E D C
如图，将两根同样长的木条AB、CD平行放 置，再用木条AD、BC加固，得到的四边形 ABCD就是平行四边形。自己动手做一做， 你能说出它的道理吗？
A D
B
C
判定3： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∥ ∵ AB﹦ CD
∴四边形ABCD是平行四边形
A D
B
C
1.如图，AB =DC=EF, AD=BC，DE=CF, 则图中有哪些互相平行的线段？
A D E B C F
AB ∥ DC∥ EF
AD ∥ BC DE ∥ CF
2.已知：如图，E,F分别是□ABCD 的边AD,BC的中点。
平行四边形的性质和判定
平行四边形的性质和判定平行四边形是初中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和判定方法。
本文将围绕平行四边形展开，通过举例、分析和说明，详细介绍平行四边形的性质和判定方法，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
1. 平行四边形的定义和性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据这个定义，我们可以得出平行四边形的几个重要性质。
首先，平行四边形的对边相等。
即平行四边形的对边长度相等，例如AB = CD，AD = BC。
其次，平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的对角线AC和BD互相平分，即AC = BD。
最后，平行四边形的内角和为180度。
平行四边形的内角A、B、C、D满足A + B + C + D = 180度。
通过这些性质，我们可以更好地理解平行四边形的特点，并在解题过程中灵活运用。
2. 平行四边形的判定方法在判定一个四边形是否为平行四边形时，我们可以运用以下几种方法。
首先，判定对边是否平行。
如果四边形的对边AB和CD平行，并且对边AD和BC也平行，那么这个四边形就是平行四边形。
其次，判定对角线是否相等。
如果四边形的对角线AC和BD相等，那么这个四边形就是平行四边形。
最后，判定内角和是否为180度。
如果四边形的内角A、B、C、D满足A + B + C + D = 180度，那么这个四边形就是平行四边形。
通过这些判定方法，我们可以快速准确地判断一个四边形是否为平行四边形，为解题提供了有效的工具。
3. 平行四边形的应用举例平行四边形的性质和判定方法在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些具体的例子。
例1：在一个矩形ABCD中，如果AD = BC，那么这个矩形是否为平行四边形？解析：根据矩形的定义，我们知道矩形的对边是平行的，所以AD和BC是平行的。
又因为矩形的对边相等，所以AD = BC。
根据平行四边形的判定方法，我们可以得出结论：这个矩形是平行四边形。
例2：在一个四边形ABCD中，如果AC = BD，那么这个四边形是否为平行四边形？解析：根据四边形的定义，我们知道四边形的对角线不一定相等，所以AC = BD并不能直接判定这个四边形为平行四边形。
平行四边形的判定1.2
18.2.1平行四边形的判定1 导学案学习目标：在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法•会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.学习重点：平行四边形的判定方法及应用.学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.学习过程：一、探索平行四边形的性质【活动一】提出问题：1. 平行四边形的定义(1)V四边形ABCD是平行四边形______ ••• ( 定义)(2) ___________________________________ v •四边形ABCD是平行四边形(_______________________ )2. 平行四边形具有哪些性质？边：_________________________________________________________________________________________ 。
角：_________________________________________________________________________________________ 。
对角线：_____________________________________________________________________________ 。
3. 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，那么反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？【活动二】★探究：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？利用手中的学具一一硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？(3)你能说出你的做法及其道理吗？(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗?(5)你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 _______________________________ 的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定
18.1.2（一）平行四边形的判定一、教学目标1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二、重点、难点1．重点：平行四边形的判定方法及应用．2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．三、例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四、课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
五、例习题分析例1已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．例2 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC．求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．证明：(1) ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC，∴四边形ABCB′是平行四边形．∴∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．∴ AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．∴ B′C＝A′C．同理 B′A＝C′A， A′B＝C′B．∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．六、作业布置七、课后反思18.1.2（二） 平行四边形的判定一、教学目标1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．三、例题的意图分析本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．学生程度好一些的学校，可以适当地自己再补充一些题目，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，通过学习，培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力．四、课堂引入1． 平行四边形的性质；2． 平行四边形的判定方法；3． 【探究】 取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．五、例习题分析例1已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥CB ，AD=CD ．∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC ．∴ DE=BF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF ．六、课堂练习七、课后练习18.1.2（三） 平行四边形的判定——三角形的中位线一、教学目标1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．三、例题的意图分析例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例1（教材P98例4） 如图，点D 、E 、分别为△ABC边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ．分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ．（也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同） 方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半． 〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC （图（2）），△DAG 中，∵ AH=HD ，CG=GD ，∴ HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）．同理EF ∥AC ，EF=21AC ． ∴ HG ∥EF ，且HG=EF ．∴ 四边形EFGH 是平行四边形．六、作业布置七、课后反思。
18.1.2平行四边形的判定(1)
A
D
B
C
∠B=∠D
ABCD
三、应用练习
1、下面给出了四边形ＡＢＣＤ中 ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ 的度数之比，其中能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的 是（ C ）
Ａ．１：２：３：４ Ｂ．２：２：３：３ Ｃ．２：３：２：３ Ｄ．２：３：３：２
需要 两组对角 分别相等.
2、在下列条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ为平行四 边形的是（ C ） Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤ Ｂ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡB＝CD Ｄ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ
判定 1 判定2 判定3 判定4 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
判定5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
作业布置
1、课本 第47页 练习
第1、2、4题
2、课本 第50页 习题 第4、5、6题
B
3
分析：要证明一四边形是平行四边形， 需要根据平行四边形的定义判断，即要 证该四边形两组对边分别平行。 要证：四边形ABCD是平行四边形 AB∥ CD , AD∥ BC 先连接AC,再证∠1= ∠3, ∠ 2=∠4 △ABC≌△CDA (SSS)
由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
B
分析：要证明一四边形是平行四边形，需
要根据平行四边形的定义判断，即要证该 四边形两组对边分别平行。
要证：四边形ABCD是平行四边形 AB∥ CD , AD∥ BC
∠ABO=∠ODC, ∠ BAO=∠OCD
∴AB∥ CD 同理得 ：AD∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形
人教版八下数学18.1.2 课时1 平行四边形的判定(1)教案+学案
人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.1平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定课时1 平行四边形的判定(1)教案【教学目标】1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【教学重点】经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.【教学难点】掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【教学过程设计】一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？二、合作探究知识点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形例1如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．解析：根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF ＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC ＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．知识点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形例2如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明．(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB ＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D ＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．知识点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形例3如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ；(2)四边形AFBE 是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 即可．证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，∵⎩⎨⎧∠C ＝∠D ，∠COA ＝∠DOB ，AO ＝BO ，∴△AOC ≌△BOD (AAS)；(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12OC ，∴EO ＝FO .又∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．知识点四：平行四边形的判定定理(1)的应用【类型一】 利用平行四边形的判定定理(1)证明线段或角相等例4如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，点E ，点F 分别是OA ，OC 的中点，请判断线段DE ，BF 的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE 是平行四边形，从而得出DE ＝BF ，DE ∥BF .解：DE ＝BF ，DE ∥BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE ＝BF ，DE ∥BF .方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．【类型二】 平行四边形的判定定理(1)的综合运用例5如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)连接BF 、DE ，试判断四边形BFDE 是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．解析：(1)根据“AAS ”可证出△ABE ≌△CDF ；(2)首先根据△ABE ≌△CDF 得出AE ＝FC ，BE ＝DF .再利用已知得出△ADE ≌△CBF ，进而得出DE ＝BF ，即可得出四边形BFDE 是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA .∵BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧∠DFC ＝∠BEA ，∠FCD ＝∠EAB ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF (AAS)；(2)解：四边形BFDE 是平行四边形．理由如下：∵△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝FC ，BE ＝DF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAC＝∠BCA .在△ADE 和△CBF 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ，AE ＝FC ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)，∴DE ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．三、教学小结本节课我们主要学习了平行四边形的判定方法:平行四边形的定义文字语言:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.符号语言:∵AD ∥BC ,AB ∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形的判定定理1文字语言:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB =CD ,AD =BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形的判定定理2文字语言:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠A =∠C ,∠B =∠D ,∴四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形的判定定理3文字语言:对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.四、学习检测1..如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.(1)若AD=8 cm,AB=4 cm,那么当BC=cm,CD=cm时,四边形ABCD为平行四边形;(2)若AC=8 cm,BD=10 cm,那么当AO=cm,DO=cm时,四边形ABCD为平行四边形.解析:(1)此题主要考查了平行四边形的判定定理的应用.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,即可确定BC,CD的长.(2)此题主要考查了平行四边形的判定定理的应用.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,即可确定AO,DO的长.答案:(1)84(2)4 52.如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件: (只添加一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.解析:答案不唯一.所填条件能使△AOB≌△COD,或者△AOD≌△COB即可.可填:①AB∥CD,②AD∥BC,③∠BAO=∠DCO,④∠ABO=∠CDO,⑤∠ADO=∠CBO,⑥∠DAO=∠BCO等.故可填AB∥CD.3.如图所示的是由火柴棒拼出的一列图形,第n个图形由(n+1)个等边三角形拼成,通过观察、分析发现:①第4个图形中平行四边形的个数为.②第8个图形中平行四边形的个数为.解析:根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可以判断图中的平行四边形的个数.通过观察、分析,寻找规律,即可解决问题.答案:①6②204.如图所示,在▱ABCD中,点E,F是对角线AC上两点,且AE=CF.求证∠EBF=∠FDE.解析:要证明∠EBF=∠FDE,根据平行四边形的性质,只要证明四边形BEDF是平行四边形即可.由AE,CF在▱ABCD的对角线上,可考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,证明EF与BD互相平分即可.证明:连接BD交AC于点O,如图所示,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形,∴∠EBF=∠FDE.【板书设计】18.1平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定课时1 平行四边形的判定(1)征1．平行四边形的判定定理(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形．2．平行四边形的判定定理(1)的应用【教学反思】在本节数学课的教学中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要．在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.1平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定课时1 平行四边形的判定(1)学案【学习目标】1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【学习重点】经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.【学习难点】掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【自主学习】一、知识回顾1.平平行四边形的定义是什么？有什么作用？2.除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？3.平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？二、自主探究知识点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形猜一猜将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗?证一证已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：连接AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD ，AC=CA，∴△ABC_____△CDA(________).BC=DA，∴∠1____∠4 , ∠ 2_____∠3，∴AB_____CD , AD_____BC，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对边分别_________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是_________________.【典例探究】例1如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．例2 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．【跟踪练习】如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.知识点2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形猜一猜对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?证一证已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=_______°，又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴___∠A+___∠B=_______°，即∠A+∠B=______°，∴ AD_____BC.同理得 AB_____CD，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=______，∠B=______,∴四边形ABCD是_______________.【典例探究】例3如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．【跟踪练习】1.判断下列四边形是否为平行四边形：2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（）A. 1:2:3:4B. 1:4:2:3C. 1:2:2:1D. 3:2:3:2知识点3：对角线互相平分的四边形是平行四边形猜一猜如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？证一证已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在△AOB和△COD中,OA=OC，∠AOB=∠COD，∴△AOB______△COD(________).OB=OD，∴∠BAO_____∠OCD , ∠ ABO_____∠CDO,∴AB_____CD , AD_____BC，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AO_____CO,DO_____BO,∴四边形ABCD是______________.【典例探究】例4(教材P46例3变式题)如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC 于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由.例5昨天林莉同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,她想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是她想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？(请用多种方法)【跟踪练习】1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是（）A.两组对边分别相等B.两条对角线互相平分C.两条对角线相等D.两组对边分别平行2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形( )(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形（）(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形( )(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形( ）2.下列命题中,正确的是()A.两组角相等的四边形是平行四边形B.一组对边相等,两条对角线相等的四边形是平行四边形C.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.四边形ABCD中,AC与BD交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:①如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;③如果再加上条件“OA=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”,那么四边形ABCD一定是平行四边形.其中正确的说法是()A.①②B.①③④C.②③D.②③④4.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形（）A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=COC．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD5.如图，在四边形ABCD中，(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是 __________.(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那么四边形ABCD是___ _______.(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.6.如图所示,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,求证四边形AECF是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D,∵E,F分别为AB,CD的中点,∴AE=BE=AB,CF=DF=CD.∴AE=CF,BE=DF,在△ADF和△CBE 中,AD=BC,∠B=∠D,BE=DF,∴△ADF≌△CBE(SAS).∴AF=CE,∴四边形AECF 是平行四边形.7.如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P．求证：四边形AB PE是平行四边形．第4题图第5题图8.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,M,N分别是OA,OC的中点,求证BM∥DN,且BM=DN.证明:连接DM,BN,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵M,N分别是OA,OC的中点,∴OM=OA,ON=OC,∴OM=ON.∴四边形BMDN是平行四边形,∴BM∥DN,且BM=DN.9.如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．10.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．11.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？12.如图,在▱ABCD中,E,F,G,H分别是四条边上的点,且满足AE=CF,BG=DH,连接EF,GH.(1)猜想EF与GH的关系;(2)证明你的猜想.(1)解:EF与GH互相平分.(2)证明:连接EG,GF,FH,HE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C.又∵DH=BG,∴AD-DH=BC-BG,即AH=CG.又∵AE=CF,∴△AEH≌△CFG.∴EH=FG,同理可证明HF=GE.∴四边形EGFH是平行四边形.∴EF与GH互相平分.。
平行四边形的判定
分析： 分析：我们仍然可以连接 对角线BD， 交与点O 对角线 ，与AC交与点 , 交与点 利用平行四边形的判定定理 2来证明 来证明
B
A
D
O C F
改一改， 改一改，证一证
是平行四边形ABCD对 例1：已知：E、F是平行四边形 ：已知： 、 是平行四边形 对 角线AC上的两点 上的两点， 角线 上的两点，并且 BE∥DF ∥ 求证：四边形 求证：四边形BFDE是平行四边形 是平行四边形
19.1.2平行四边形的判定 平行四边形的判定
一.知识回顾 知识回顾
1.什么样的四边形是平行四边形？ 2.我们已经知道的平行四边形的性质有哪些？ 定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
平行四边形的对边平行且相等 平行四边形的对边平行且相等 对边 性 平行四边形的对角相等， 对角相等 质 平行四边形的对角相等，邻角互补 平行四边形的对角线 对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分
已知：四边形 已知：四边形ABCD中AD=BC AB =CD 中 求证：四边形ABCD是平行四边形 求证：四边形 是平行四边形
证明： 证明 连结AC 连结 ∵在△ABC和△CDA中， 和 中
A B = C D， ， B C = A D. A C = C A （公共边） 公共边） 4
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ △ABC≌△CDA (ASA) ≌ ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4， ∠ ， ∠ ∴ AB∥CD， AD∥BC， ∥ ， ∥ ， 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB = CD AD = BC
∴四边形ABCD是平行四边形 四边形 是平行四边形
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D C
分析:要证明四边形ABCD是平行四边形. 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两组 ABCD是平行四边形 对边分别平行,从而用全等三角形来证明相应的角相等. 对边分别平行,从而用全等三角形来证明相应的角相等. 证明: 证明: ∵CO=AO,BO=DO,∠1=∠2, ∴△AOD≌△COB(SAS). AOD≌△ ∴∠3=∠4. ∴AD∥CB. 同理,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形. 同理,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 【定理】对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理】对角线互相平分的四边形是平行四边形.
D
E
C
F
B
ABCD中,∠ABC的平分线与AD相交于点 的平分线与AD相交于点P. 4、已知:如图,在□ABCD中,∠ABC的平分线与AD相交于点P. 已知:如图, 求证:PD+CD=BC. 求证:PD+CD=BC. 分析:要证明两条线段的和等于另一条线段,可以将BC分割 分析:要证明两条线段的和等于另一条线段,可以将BC分割 BC 为两部分,来证明相应的线段相等.如将CD平移( 为两部分,来证明相应的线段相等.如将CD平移(过P作CD的 CD平移 CD的 平行线)到PE的位置,则可利用等角对等边来证明PE=BE,从 平行线) PE的位置,则可利用等角对等边来证明PE=BE,从 的位置 PE=BE, 而问题得证. 而问题得证. A
x-5 5 4
P
11-x
M
x-3
N
例
题
已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD. 已知:如图,在四边形ABCD中 ABCD 求证:四边形ABCD是平行四边形. 求证:四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 分析:要证明四边形ABCD是平行四 分析:要证明四边形ABCD是平行四 ABCD 边形. 边形.可转化证明两组对边分别相 证明:连接AC. 证明:连接AC. ∵ AB∥CD, ∴ ∠1=∠2.∵AB=CD,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(SAS). ABC≌△ ∴BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形. ∴BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形 【定理】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. A
O
D C
如图，如果OA=OC，OB＜OD，那么四边形ABCD不是平行 如图，如果OA=OC，OB＜OD，那么四边形ABCD不是平行 OA=OC ABCD
证明时， 证明时，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成 立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设” 而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设” 出发推导出了矛盾的结果，从而证明了命题的结论一定成 出发推导出了矛盾的结果， 立，这种证明的方法称为反证法. 这种证明的方法称为反证法
1 2
D
B C 从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的边相等. 等,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的边相等.
跟踪训练
已知:如图,在四边形ABCD中 已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D. ABCD 求证:四边形ABCD是平行四边形. 求证:四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形. 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 可转化证明两组对边分别平行. 可转化证明两组对边分别平行.从而转化 为相关角的关系来证明. 为相关角的关系来证明. 2∠A+2∠B=360°.∴∠A+∠B=180° ∴ 2∠A+2∠B=360°.∴∠A+∠B=180°. ∴AD∥BC.同理,AB∥CD. ∴AD∥BC.同理,AB∥CD. 同理 ∴四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 【定理】两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 定理】两组对角分别相等的四边形是平行四边形. B C 证明:∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=360° 证明:∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=360°. A D
1.2
平行四边形的判定
学习目 标
1.会证明平行四边形的判定定理， 1.会证明平行四边形的判定定理，结合具体命题了解反证 会证明平行四边形的判定定理 法； 2.能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算 2.能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算 与证明； 与证明； 3.能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综 3.能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综 合推理与证明. 合推理与证明.
跟踪训练
已知:如图， 已知:如图，l1∥l2 ,l 求证：l１∥l３ 求证： 证明：假设 不平行于l 证明：假设l１不平行于 ３， p 则l１与l３相交，设交点为P. 相交，设交点为P. 平行，这与“经过直线外一点， 平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行 于已知直线”矛盾． 于已知直线”矛盾． ∴假设不成立，所求证的结论成立， 假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１ ∥ l３
2．（2010·常德中考）如图，四边形ABCD中，AB//CD，要 ．（2010·常德中考）如图，四边形ABCD中 AB//CD， 2010·常德中考 ABCD 使四边形ABCD为平行四边形， 使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件 ABCD为平行四边形 为 .（填一个即可）. 填一个即可） D A B C
1 2 3
B
P D
E C
证明:过点P PE∥CD,交BC于点E. 证明:过点P作PE∥CD,交BC于点E. 于点 ∵四边形ABCD是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形, ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD,AD∥BC.∴PE∥CD∥AB, ∴ 四边形PDCE是平行四边形,∠1＝∠3. 四边形PDCE是平行四边形,∠1 PDCE是平行四边形,∠1＝ ∴ PD=EC,PE=CD. ∠1＝ 2.∴∠3＝ ∵ ∠1＝∠2.∴∠3＝∠2. ∴PE=BE. ∴PD+CD=BE+EC=BC.
例
题
已知:如图,在四边形ABCD中 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA. ABCD 求证:四边形ABCD是平行四边形. 求证:四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 分析:要证明四边形ABCD是平行四 分析:要证明四边形ABCD是平行四 ABCD A
1 4 2
D
边形. 边形.可转化为证明两组对边分别平 3 B C 从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的角相等. 行,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的角相等. 证明:连接AC. 证明:连接AC. ∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA, ABC≌△ ∴ △ABC≌△CDA(SSS). ∴∠1=∠2, ∠3=∠4. ∴AB∥CD,CB∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形 【定理】两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
答案：AB=CD或 A=∠C或AD∥BC等 答案：AB=CD或∠A=∠C或AD∥BC等
ABCD中 3、已知:如图,在□ABCD中,BF=DE. 已知:如图, 求证:四边形AFCE是平行四边形. 求证:四边形AFCE是平行四边形. AFCE是平行四边形 分析: 分析:由已知的平行四边形和 BF=DE可知,CE=AF,则转化为利用一 BF=DE可知,CE=AF,则转化为利用一 可知,CE=AF, 组对边平行且相等来证明. 组对边平行且相等来证明. 证明: 四边形ABCD是平行四边形, 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ABCD是平行四边形 ∴DC∥AB,DC=AB. ∵ DE=BF,∴CE=AF, ∴四边形AFCE是平行四边形. 四边形AFCE是平行四边形. AFCE是平行四边形 A
2
∥l
3
l１ l２ l３
则过点P就有两条直线l 都与l ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点P就有两条直线 １、 l３都与 ２
随堂练 习
1．（2010·成都中考）已知四边形ABCD，有以下四个条 ．（2010·成都中考）已知四边形ABCD， 2010·成都中考 ABCD 件：①AB∥CD ②AB=CD ③ BC∥AD ④BC=AD ．从这四个 条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法 条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法 ABCD 种数共有（ 种数共有（ （A）6种 C ） （B）5种 （C）4种 （D）3种
跟踪训练
2.已知:如图. 2.已知:如图. 已知 求证:四边形MNOP是平行四边形. 求证:四边形MNOP是平行四边形. MNOP是平行四边形 分析:这是一道综合性题目, 分析:这是一道综合性题目,利用 勾股定理, 勾股定理,方程和平行四边形的判 定进行计算性推理可获证. 定进行计算性推理可获证. 证明:∵(x(x证明:∵(x-3)2-(x-5)2=42 ∴MN=5=PO. ∴PM=3=ON. ∴四边形MNPO是平行四边形. 四边形MNPO是平行四边形. MNPO是平行四边形 O
新课导 入
小明在家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天， 小明在家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天，小 明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示. 明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示. 小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢？ 小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢？ 大家都困惑了…… 大家都困惑了……
例
题
A
O
1 3 4 2
已知:如图,在四边形ABCD中 已知:如图,在四边形ABCD中, 对角线 ABCD AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO. AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO. 相交于点 求证:四边形ABCD是平行四边形. 求证:四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 B