平行四边形判定方法.
平行四边形的判定知识点小结
平行四边形的判定知识点小结一、平行四边形的判定方法。
1. 定义判定。
- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
- 用符号语言表示：如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。
这是平行四边形最基本的判定方法，它是从平行四边形的定义直接得出的。
2. 边的判定。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 符号语言：若AB = CD，AD = BC，则四边形ABCD是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 符号语言：若AB∥CD且AB = CD（或者AD∥BC且AD = BC），则四边形ABCD 是平行四边形。
3. 角的判定。
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
- 符号语言：若∠A = ∠C，∠B = ∠D，则四边形ABCD是平行四边形。
4. 对角线的判定。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
- 符号语言：若OA = OC，OB = OD（其中O为对角线AC、BD的交点），则四边形ABCD是平行四边形。
二、平行四边形判定方法的证明思路。
1. 定义法证明。
- 一般通过已知条件中的平行关系，如角相等推出直线平行（同位角、内错角相等，两直线平行）等方法来证明两组对边分别平行。
- 例如：已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，可推出AD∥BC，AB∥CD，从而证明四边形ABCD是平行四边形。
2. 边的判定证明。
- 对于两组对边分别相等的判定方法，通常利用三角形全等的知识来证明。
- 例如：连接AC，在△ABC和△CDA中，已知AB = CD，BC = DA，AC = CA（公共边），通过SSS（边 - 边 - 边）全等判定定理证明△ABC≌△CDA，进而得出∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，所以AD∥BC，AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形。
- 对于一组对边平行且相等的判定方法，可通过平移线段构造平行四边形或者利用三角形全等和平行线的判定来证明。
- 例如：已知AB∥CD且AB = CD，延长AB到E，使BE = CD，连接CE，可证明四边形BECD是平行四边形，从而得出BD∥CE，再结合已知条件证明四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形四种判定方法以及证明过程
平行四边形四种判定方法以及证明过程平行四边形的判定方法，真的是一个让人又爱又恨的话题。
大家好，今天咱们就来聊聊这四种判定方法，保证轻松搞定，同时也不乏趣味。
平行四边形的判定就像找对象，得看对方的性格，也得看外表，还有那些“隐秘”的特质。
我们先来说第一个判定方法：对边平行。
说白了，如果你看到一个四边形，发现对面的两条边是平行的，那恭喜你，这个家伙可能就是个平行四边形。
就像你和朋友一起看风景，发现山的两边是一模一样的，那你肯定心里在想着，哇，这风景真美，简直是“对称”的艺术啊！咱们聊聊第二种判定方法：对边相等。
这个就有点意思了。
想象一下，你有两个对边，像两条亲密无间的好朋友，关系好得不得了。
如果这两条边的长度完全一样，那这个四边形基本上就可以被你认定为平行四边形了。
这就像情侣之间的默契，心有灵犀，想啥都能想到一块儿。
记得有一次，我朋友跟我说他和女友完全同步，吃的、穿的、甚至连睡觉的姿势都一样。
我一听，哎呀，简直是平行四边形的活生生例子嘛。
第三种方法，咱们得提提对角相等。
这个听上去就有点“高大上”了，仿佛是个数学界的秘密武器。
如果你发现四个角中的两个对角完全一样，那么恭喜你，这家伙也是个平行四边形。
就像有些人，虽然外表各异，内心深处却有着一模一样的追求。
谁说人生就不能有点儿“平行”的元素呢？我们不能忘记第四种判定方法：邻角互补。
这就是个小巧思了，像是在给你出小谜题。
邻角的和如果正好是180度，那也是平行四边形。
生活中，这种情况时有发生，像是两个人相遇，刚开始可能很陌生，但慢慢地发现，彼此的理念、想法完全互补。
就像数学里，180度的和总是让人想起那些美好的时刻，心里不禁浮现出“无缝连接”的感觉。
说了那么多，大家可能会想，这些判定方法在生活中到底有什么用呢？平行四边形不仅仅是几何的存在，它更像是我们生活中的一种象征。
无论是友情、爱情，还是生活中的其他关系，平行四边形所代表的那些特质，都能在我们的生活中找到影子。
平行四边形五个判定方法
平行四边形五个判定方法
1、通过角度判定：如果四个内角相等就是平行四边形；
2、通过边长判定：如果有两条对角线长度相等，其余边长也都相等，就是平行四边形；
3、通过平分线判定：如果可以在四边形内部划出两条平分线，使得两条平分线交于两个对角线的中点，那么这个四边形就是平行四边形；
4、通过三角形判定：将一个平行四边形分成两个三角形，如果这两个三角形的外角和内角都相等，则说明四边形是平行四边形；
5、通过中心矩判定：如果四边形的中心矩是正方形，则这个四边形就是平行四边形。
平行四边形判定方法
平行四边形判定方法
平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。
在几何学中，我们经常需要判定一个四边形是否为平行四边形，本文将介绍几种判定平行四边形的方法。
首先，我们可以通过四边形的对边是否平行来判定它是否为平行四边形。
如果一个四边形的对边是平行的，那么它就是一个平行四边形。
这是平行四边形的最基本的判定方法，也是最直观的方法之一。
其次，我们可以通过四边形的对角线是否相等来判定它是否为平行四边形。
如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个平行四边形。
这个方法常用于菱形和正方形的判定，因为菱形和正方形都是特殊的平行四边形。
另外，我们还可以通过四边形的内角是否相等来判定它是否为平行四边形。
如果一个四边形的内角相等，那么它就是一个平行四边形。
这个方法常用于矩形和正方形的判定，因为矩形和正方形都是特殊的平行四边形。
最后，我们可以通过四边形的对边是否相等和对角线是否平分对角来判定它是否为平行四边形。
如果一个四边形的对边相等且对角线平分对角，那么它就是一个平行四边形。
这个方法常用于菱形的判定，因为菱形具有这样的特点。
在实际问题中，我们可以根据需要选择合适的方法来判定一个四边形是否为平行四边形。
有时候，我们需要结合多种方法来进行判定，以确保结果的准确性。
总之，判定一个四边形是否为平行四边形，需要我们熟练掌握几种方法，并在实际问题中灵活运用。
希望本文介绍的方法能够对大家有所帮助。
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、两组对边分别平行如图1,已知△ ABC是等边三角形，D、E分别在边BC AC上，且CD=CE连结DE并延长至点F，使EF=AE连结AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；⑵ 判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由,解：（1）选证△ BDE^A FEC证明：•••△ ABC是等边三角形，••• BC=ACZ ACD=60v CD=CE二BD=AEA EDC是等边三角形••• DE二EC/ CDEH DEC=60•••/ BDE/ FEC=120又v EF=AE 二BD二FE 二△ BDE^A FEC（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，△ ABC △ EDC △ AEF都是等边三角形v/ CDE/ABC/ EFA=60 ••• AB// DE BD// AF v四边形ABDF是平行四边形点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等例2已知：如图2,在正方形ABCD中, G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG连结BG并延长交DE于F⑴求证：△ BCG^^DCE(2)将厶DCE绕点D顺时针旋转90°得到△ DAE，判断四边形E‘ BGD是什么特殊四边形并说明理由。
分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有AB// DC又通过旋转CE=AE已知CE=CG所以E A=CG这样就有BE =GD可证E BGD是平行四边形。
解：( 1)v ABCD是正方形，•••/ BCDM DCE=90 又T CG=C，△ BCG^ DCE(2)v^ DCE绕D顺时针旋转90°得到△ DAE，••• CE=AE，T CE=CG 二CG=AE，•••四边形ABCD是正方形••• BE // DG AB=CD••• AB- AE 二CDCG,即卩BE =DG•••四边形DE BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示，在△ ABC中，分别以AB AC BC为边在BC的同侧作等边△ ABD等边△ ACE等边△ BCF求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。
平行四边形的性质与判定方法
平行四边形的性质与判定方法平行四边形是几何学中重要的一类四边形，具有独特的性质和判定方法。
在本文中，我们将介绍平行四边形的性质和判定方法，并探讨其应用。
一、平行四边形的性质1. 对边相等性质：平行四边形的对边相等。
即平行四边形的对边AB与CD相等，对边AD与BC相等。
2. 对角线互相平分性质：平行四边形的对角线互相平分。
即对角线AC平分对角线BD，同时对角线BD平分对角线AC。
3. 内角和为180度：平行四边形的内角和为180度。
即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°。
4. 侧边对应角相等性质：平行四边形的侧边对应角相等。
即∠A = ∠C，∠B = ∠D。
5. 相邻内角互补性质：平行四边形的相邻内角互补。
即∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°。
6. 对角线长度关系：平行四边形的对角线长度关系。
即对角线AC 与对角线BD长度相等。
二、平行四边形的判定方法1. 对边相等法：若一个四边形的对边相等，则它是平行四边形。
例如，已知AB = CD，AD = BC，可以判定ABCD是平行四边形。
2. 一组对角线互相平分法：若一个四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形。
例如，已知AC平分BD，BD平分AC，可以判定ABCD是平行四边形。
3. 内角和为180度法：若一个四边形的内角和为180度，则它是平行四边形。
例如，已知∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°，可以判定ABCD是平行四边形。
4. 一组侧边对应角相等法：若一个四边形的侧边对应角相等，则它是平行四边形。
例如，已知∠A = ∠C，∠B = ∠D，可以判定ABCD 是平行四边形。
5. 一组相邻内角互补法：若一个四边形的相邻内角互补，则它是平行四边形。
例如，已知∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，可以判定ABCD是平行四边形。
三、平行四边形的应用平行四边形的性质和判定方法在几何学中有广泛的应用。
平行四边形判定方法
平行四边形判定方法平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
在几何学中，我们经常需要判定一个四边形是否为平行四边形。
下面我将介绍几种判定平行四边形的方法。
首先，我们可以通过对角线判定平行四边形。
如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为对角线互相垂直说明四边形是梯形，而对角线相等说明这个梯形是等腰梯形，进而是平行四边形。
其次，我们可以通过边判定平行四边形。
如果一个四边形的对边互相平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为对边互相平行说明四边形是梯形，而对边相等说明这个梯形是等腰梯形，进而是平行四边形。
另外，我们还可以通过角判定平行四边形。
如果一个四边形的内角互相补角且相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为内角互相补角说明四边形是梯形，而内角相等说明这个梯形是等腰梯形，进而是平行四边形。
除了以上三种方法，我们还可以通过边和角的关系来判定平行四边形。
如果一个四边形的对边互相平行且相等，并且内角互相补角且相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为对边互相平行和内角互相补角分别说明四边形是梯形和等腰梯形，进而是平行四边形。
在实际问题中，我们经常需要根据给定的条件来判定一个四边形是否为平行四边形。
通过以上几种方法，我们可以快速准确地判断一个四边形的性质，从而更好地解决几何问题。
总之，判定平行四边形的方法有多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行判断。
通过对角线、边、角的关系进行分析，我们可以轻松地判定一个四边形是否为平行四边形，为解决几何问题提供了便利。
希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地理解和运用平行四边形的性质。
平行四边形的判定
第十七课时：平行四边形的判定【知识要点】1．平行四边形的5个判定方法：（1）边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
////AB CD ABCD AD BC ⎫⇒⎬⎭叫做平行四边形。
（2）边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
A B C D A B C D A D B C =⎫⇒⎬=⎭叫做平行四边形。
（3）边：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
//AB CD ABCD AB CD ⎫⇒⎬=⎭叫做平行四边形。
（4）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
A C ABCDB D ∠=∠⎫⇒⎬∠=∠⎭是平行四边形。
（5）对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
O A O C A B C D O B O D =⎫⇒⎬=⎭叫做平行四边形。
2．平行四边形的知识运用包括三个方面：（1）直接运用平行四边形的性质去解决问题，求角、线段，证明角相等，互补，证明线段相等或平分；（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行；（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质去解决某些问题。
【经典例题】例1 如图，在 ABCD 中，AE=CG ，求证：GF=HE 。
如图，口ABCD 中，点M 、N 是对角线AC 上的点，且AM=CN ，DE=BF 。
求证：四边形MFNE 是平行四边形。
ABCDABCDOABCDEF H AF例3 如图，AB//CD ，∠ABC=∠ADC ，AE=CF ，BE=DF ，求证：EF 与AC 互相平分。
例4 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，又M 、N 分别是DC 、AB 的中点。
求证：四边形EMFN 是平行四边形。
·例5 已知：如图，分别以△ABC 的三边为边长在BC 边的同侧面作等边△ABD 、△BCE 、△ACF ，连结DE 、EF 。
求证：四边形ADEF 是平行四边形。
例6 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别为CB 、BA 上的点，且CD=BF ，以AD 为一边作等边△ADE 。
平行四边形判定的数学公式
平行四边形判定的数学公式一、平行四边形的性质：1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
2.对边等长：平行四边形的对边长度相等。
3.各个角度对应相等：平行四边形的对应角相等。
下面我们将介绍一些判定平行四边形的数学公式。
二、判定平行四边形的数学公式：1.利用坐标判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。
首先判断对边AB是否平行，可以通过计算斜率来判断：如果两条线段AB和CD的斜率相等，则它们是平行的。
斜率的计算公式为：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k2=(y4-y3)/(x4-x3)如果k1=k2，则对边AB和CD平行。
同理，可以判断对边BC和AD是否平行，以及对边AC和BD是否平行。
如果对边AB、BC、CD、DA都平行，则四边形ABCD为平行四边形。
2.利用向量判定：设平行四边形的四个顶点分别为A,B,C,D。
定义向量AB、BC、CD、DA，分别为：AB=(x2-x1,y2-y1)BC=(x3-x2,y3-y2)CD=(x4-x3,y4-y3)DA=(x1-x4,y1-y4)如果向量AB与CD平行且向量BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。
向量平行的判断公式为：向量a与向量b平行，当且仅当两个向量的比例相等，即：a/b=k(k为常数)对于向量AB与CD，如果（x2-x1）/（x4-x3）=（y2-y1）/（y4-y3），则向量AB与CD平行。
对于向量BC与DA，如果（x3-x2）/（x1-x4）=（y3-y2）/（y1-y4），则向量BC与DA平行。
如果AB与CD平行且BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。
3.利用斜率判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。
先计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)再计算斜率k2=(y3-y2)/(x3-x2)再计算斜率k3=(y4-y3)/(x4-x3)再计算斜率k4=(y1-y4)/(x1-x4)如果k1=k3且k2=k4，则四边形ABCD为平行四边形。
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、 两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF 是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、 一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由。
分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG ，所以E′A=CG，A FB DC E 图1这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。
平行四边形判定方法
平行四边形判定方法一、边的要素方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.【例1】如图1，已知△ABC，分别以它的三边为边长，在BC边的同侧作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.试判断四边形ADEF是一个什么样的四边形？【解析】四边形ADEF是平行四边形.因为△ABD、△BCE、△ACF都是以△ABC的三边为边长在BC的同侧所作的等边三角形，所以△BDE和△CFE可以分别看成是△ABC绕点B、点C旋转60°后而得到的.于是有DE＝AC＝AF，AD＝BD＝AB＝EF，所以四边形ADEF是平行四边形（两组对边分别相等）.方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.【例2】如图2，?荀ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的一点，且BE＝DF.试说明四边形AECF是平行四边形的理由.【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，且AD＝BC.又因为BE＝DF，所以AF＝CE，即AF∥CE且AF＝CE．故四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等）.方法3：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.【例3】如图3，已知?荀ABCD中，点E是AB延长线上的一点，且EC∥BD.试说明线段BE与AB相等的理由.【解析】由四边形ABCD是平行四边形可知AB∥CD且AB＝CD，即BE∥CD．又因为BD∥EC，所以四边形BECD是平行四边形（两组对边分别平行）.所以BE＝CD.故BE＝AB.二、角的要素方法4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.【例4】如图4，已知AE、CF分别是ABCD的∠DAB、∠BCD的平分线.试说明四边形AFCE是平行四边形.【解析】由四边形ABCD是平行四边形可知：∠DAB＝∠BCD，AB∥CD.又AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，所以∠EAF＝∠ECF，∠AED＝∠EAF＝∠ECF＝∠BFC，所以∠AEC＝∠CFA，故四边形AFCE 是平行四边形（两组对角相等）.三、对角线的要素方法5：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.【例5】如图5，已知M、N是ABCD的对角线上两点，且BM＝DN.试探索∠MAN与∠MCN的关系，并说明你的理由.（请大家自己想一想）下面再举一例说明如下.【例】如图所示，四边形ABCD中，AB=CD，∠ADB＝∠CBD＝90°，四边形ABCD是平行四边形吗？说说你的理由.【思考与分析】本题是平行四边形判定题，我们可以根据平行四边形的判定定理从多角度攻破此题，比如利用两组对角分别相等，一组对边平行且相等，两组对边分别相等及其它一些定理进行判定.解法1：∵ AB＝CD，∠ADB＝∠CBD＝90°，DB＝BD，∴Ｒｔ△ABD≌Ｒｔ△CDB．∴∠ABD＝∠CDB，∠A＝∠C．∴∠ABD＋∠CBD＝∠CDB＋∠ADB，即∠ABC＝∠CDA．∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）.解法2：∵ AB＝CD，∠ADB＝∠CBD=90°，DB＝BD，∴Ｒｔ△ABD≌Ｒｔ△CDB．∴∠ABD＝∠CDB．∴ AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.解法3：∵ AB＝CD，∠ADB＝∠CBD=90°，DB＝BD，∴Ｒｔ△ABD≌Ｒｔ△CDB．∴ AD＝CB．又∵ AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.解法4：∵ AB＝CD，∠ADB＝∠CBD=90°，DB＝BD，∴Ｒｔ△ABD≌Ｒｔ△CDB．∴∠ABD＝∠CDB．∴ AB∥CD．又∵∠ADB＝∠CBD，∴ AD∥CB．∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）。
平行四边形9个判定
平行四边形9个判定平行四边形是初中数学中常见的图形之一，平行四边形的判定方法也是比较经典的问题。
本文将围绕“平行四边形9个判定”进行讲解。
一、平行四边形的定义平行四边形是有四边的四边形，其中相邻两边两两平行。
二、平行四边形的基本性质1. 对角线互相平分2. 对角线相交于中心点3. 相邻角互补，即相邻两角和为180度4. 对角线长度相等5. 对边平等6. 具有对称性三、平行四边形的判定平行四边形的判定方法有很多，根据实际条件选择不同的判定方法即可。
下面列举9种平行四边形的判定方法。
1. 对边平等：如果一个四边形的对边平等，那么它就是平行四边形。
2. 对角线互相平分：如果一个四边形的对角线互相平分，那么它就是平行四边形。
3. 对角线互相垂直：如果一个四边形的对角线互相垂直，那么它就是平行四边形。
4. 一组对边平行：如果一个四边形的一组对边平行，那么它就是平行四边形。
5. 同位角相等：如果两个平行线之间的同位角相等，那么它们所对应的四边形是平行四边形。
6. 利用夹角的性质：如果一个四边形的内部相邻两角是补角，则它是平行四边形。
7. 直角定理：如果一个四边形有两个相对的直角，则它是平行四边形。
8. 垂直平分线的性质：如果一个四边形有一个内部点与相邻两边垂直平分线相交，则它是平行四边形。
9. 等角平分线的性质：如果一个四边形有一个内部点与相邻两边等角平分线相交，则它是平行四边形。
四、总结平行四边形是初中数学中比较基础的图形，学好平行四边形的属性和判定方法，有利于以后的学习。
通过以上的九种判定方法，学生们可以灵活运用，来解决实际的问题。
建议同学们在学习过程中注重实际运用，并多做习题来加深理解，从而真正理解和掌握平行四边形的知识。
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D、E 分别在边BC、AC 上，且CD=CE，连结DE 并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△BDE≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC （2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF 是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等例2已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E，使CE=CG，连结BG 并延长交DE 于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由。
分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，AFBDE 图1这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。
解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。
平行四边形的判定
平行四边形的判定平行四边形的判定文档1、概述平行四边形是指四边形的对边互相平行，因此，要判断一个四边形是否为平行四边形，可以通过判断相邻两边是否平行来实现。
以下是具体的判定方法。
2、判定方法方法一：通过计算四边形的对边斜率来判断是否平行。
若四边形的对边斜率相等，则为平行四边形。
方法二：通过计算相邻两边的长度比与夹角余弦值是否相等来判断是否为平行四边形。
3、范例假设有以下四边形：A-----------------B| || |D-----------------C若要判断该四边形是否为平行四边形，可以使用方法一或者方法二。
方法一：首先计算出AB和DC的斜率分别为k1和k2，若k1等于k2，则说明AB和DC互相平行。
k1 = (y2-y1)/(x2-x1)k2 = (y4-y3)/(x4-x3)其中，（x1，y1）和（x2，y2）是AB的端点坐标，（x3，y3）和（x4，y4）是DC的端点坐标。
方法二：计算相邻两边的长度比与夹角余弦值是否相等。
假设AC和BD 为相邻边，那末判断公式为：AC/BD = AD/BCcos（∠CAD） = -cos（∠BDC）如果以上两个公式都成立，那末该四边形就是平行四边形。
4、范本结尾1、列举本文档所涉及附件如下：无2、列举如下本文档所涉及的法律名词及注释：暂无3、列举如下本文档在实际执行过程中可能遇到的艰难及解决办法：在计算相邻边的长度比和夹角余弦时，需要确保四边形的各边长度和夹角能够正确得到。
如果遇到结果不正确的情况，可以检查代码是否正确、算式是否正确或者尝试使用其他计算方法来解决。
判定平行四边形的五种方法
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F 在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，图1AB C DEF并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判图3别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，所以AF ∥EC.又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ，所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE ∥CF.所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
平行四边形的判定
平行四边形的判定
根据平行四边形的定义来判断：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
简单记就是：两组对边分别平行。
平行四边形的判定方法
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。
平行四边形性质
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，包括长方形、菱形、正方形和一般平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。
两组对边平行且相等；
两组对角大小相等；
相邻的两个角互补；
对角线互相平分；
对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；
四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。
平行四边形判定定理的复习
OF
四边形ABCD是平行四边形
E
OA=OC,OB=OD
又 BE=DF
B
C
OB-BE=OD-DF
OE=OF
又 OA=OC
四边形ABCD是平行四边形
你还有其他办法证明吗？
练练手：
1如图,点B,E,C,F在一条直线,AB=DF,AC=DE,BE=FC.
(1)求证:△ABC ≌△DFE;
(2)连接AF,BD. 求证:四边形ABDF是平行四边形.
｛ 在∆DCO和∆BAO中
∠CDO=∠ABO ∠DCO=∠BAO
∆DCO ≌∆BAO AO=CO
DO=BO
又 AO=CO
四边形ABCD是平行四边形
你还有其他办法证明吗？
例2.已知，如图，在 ABCD中，点E、F是对角线
BD上的两点，且BE=DF.
求证：四边形AECF是平行四边形。
A
D
证明： 连接AC，交BD于点O
D
几何语言： OA=OC,OB=OD
对角线：
四边形ABCD是平行四边形
AC和BD A
C
B
C O
B
D
例1.（西藏中考2015）如图，在四边形ABCD中，
O
C
AB//CD,对角线AC、BD相交于点O,且AO=CO.
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明： AB//CD
A
BHale Waihona Puke ∠DCO=∠BAO, ∠CDO=∠ABO
2.已知，如图，在∆ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点。
求证：四边形DECF是平行四边形。 A
D
F
B
E
C
作业：中考总复习第十四单元
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、 两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF 是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、 一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由。
分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG ，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD 是平行四边形。
A FB DC E 图1解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。
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平行四边形的判定
【知识要点】
同学们都知道，平行四边形具有对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分等性质，
并且我们得到了平行四边形的五种判定方法：
①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
【能力解读】
1. 掌握平行四边形的判定方法，会利用平行四边形的性质和判定进行有关线段的证明和角
的计算。
2. 将平行四边形转化成三角形来研究，深入理解平行四边形的性质和判定。
3. 平行四边形的性质和判定是中考命题的热点，特别是平行四边形的判定多与其他知识点
结合命题，以平行四边形为基架而精心设计的的中考题更是璀璨夺目，精彩四射。
【平行四边形判定方法的选择】
判定平行四边形的五种方法各有妙用，我们应仔细观察题目所给出的条件，仔细选择合
适于题目的判定方法进行解答。
在解题时，如何有针对性的选择使用这些方法呢？这里列表
例1（条件开放题）如图1，四边形ABCD 中，BC AD =，
要使四边形ABCD 为平行四边形，还需补充的一个条件是 ．
课标剖析：熟练地掌握平行四边形的判定方法是解题的关键。
解：答案不唯一，如：(1)AB CD =(2)AD BC ∥(3) ︒=∠+∠180B A ,(4)
︒=∠+∠180D C .
例2．（结论开放题）如图2，在□ABCD 中，两条对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别
是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，以图中的任意四点（即点A 、B 、C 、D 、
E 、
F 、
G 、
H 、O
中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形．
课标剖析：：根据平行四边形的判定方法④解答.
【解】第一种：可画为□EFGH
第二种：可画为□DEBG （或画为□AHCF ）
分析：□ABCD 可得OA=OC ，OB=OD ，又因为点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD
D 2 D C 图1
F 的中点，所以OE=O
G ，OF=O
H ，所以四边形EFGH 是平行四边形；同理四边形DEBG 、
AHCF 是平行四边形
例3．如图3，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 是对角线AC
上的两点，当E ，F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形（ ）
A. AE =CF
B. DE = BF
C. ∠ADE =∠CBF
D. ∠AED =∠CFB
课标剖析：选择合理的判定方法是解答此题的关键。
解：B.
【思想方法】
①转化和化归思想
将所要研究和解决的新问题变为已经学过的旧问题来处理数学思想叫做化归转化思想.
它是研究问题和解决数学问题的核心思想,可以说没有它就无法解决新问题和获得新知识,数
学也就停滞不前了.化复杂为简单、化陌生为熟悉、化抽象为具体…就是这种思想的具体应
用，《平行四边形的判定》一章中将“四边形”问题转化为“三角形”的问题，就是这种思
想的体现。
例4.（河南课改实验区）如图4，在□ABCD 中，点E 、F 在BD 上，且BF ＝DE 。
⑴ 写出图中所有你认为全等的三角形；
⑵ 延长AE 交BC 的延长线于G ，延长CF 交DA 的延长线于H(请补全图形)，证明四边形
AGCH 是平行四边形.
课标剖析：根据全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法证明。
本题综合考察了学生
的观察能力、分析问题的能力及综合推理能力.
【解】⑴本题主要考察全等三角形的判定。
图中全等三角形共有三对：△ABE ≌△CDF ，△
AED ≌△CFB ，△ABD ≌△CDB.
⑵根据题意正确补全图形是解本小题的关键，如图4-2.
欲证四边形AGCH 为平行四边形，由已知A D ∥BC ，即AH ∥CG ，故只需证HC ∥AG ，也
即转化证∠AEB ＝∠CFD.由△ABE ≌△CDF 可得∠AEB ＝∠CFD,从而转化证HC ∥AG ，问
题得证.
②类比思想
平行四边形的五种判定方法中,有一种与对角线有关,一种与对角有关,其他三种与边有关,
这五种判定方法还与平行四边形的性质相呼应,要注意他们的联系与区别.
例5.如图5如图所示，□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC AF 与BC 交于点G ，CE 与DF 交于点H ，你能说明四边形EF 、互相平分吗？ 课标剖析：用平行四边形的性质和判定解决有关问题,一般先判
定一个四边形是平行四边形,然后用平行四边形的性质解决有关问题. 【解】可由AE CF ，证得AFCE 是平行四边形，所以AF ∥CE 同理：四边形BFDE 是平行四边形，所以BE ∥DF ，所以四边形EGFH 是平行四边形，EF 、
A B C D
E F F A B C D E G H 图4-1 图4-2 图5
GH互相平分。