河北省唐山市2020届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题答案

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【附28套精选模拟试卷】2020届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学(理)试卷及答案

2020届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学（理）试卷及答案说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知a∈R，若1＋ai2－i为实数，则a＝（A）2 （B）－2 （C）－ 12（D）12（2）已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋π6)的图象关于点(π6，0)对称，则下列命题中的真命题为（A）p∧q （B）p∧⌝q （C）⌝p∧q （D）⌝p∨⌝q （3）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为（A）1，－1 （B）2，－2（C）1，－2 （D）2，－1（4）执行右边的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填写（A）n≤9？（B）n≤10？（C）n≥10？（D）n≥11?（5）已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（A）22（B） 2 （C）－22（D）－ 2（6）已知函数f(x)＝s in(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(π2)＝（A）－32（B）－22（C）32（D）22（7）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（A ）240种（B ）120种（C ）60种（D ）180种（8）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在半径为2的球面上，AB ＝AC ＝3，AA 1＝2，则二面角B -AA 1-C 的余弦值为（A ）－1 3（B ）－1 2（C ） 1 3（D ） 1 2（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）1136（B ） 3 （C ）533（D ）433（10）若正数a ，b ，c 满足c 2＋4bc ＋2ac ＋8ab ＝8，则a ＋2b ＋c 的最小值为（A ） 3 （B ）2 3 （C ）2（D ）2 2（11）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（A ）[ 1 2，1)（B ）[22，32] （C ）[22，1) （D ）[32，1) （12）若不等式lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋(1－a)n xn≥(x －1)lg n 对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n都成立，则a 的取值范围是（A ）[0，＋∞) （B ）(－∞，0] （C ）[ 12，＋∞)（D ）(－∞， 12]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布N (10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为__________．（精确到0.0001）注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974．（14）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a)·(c －b)＝－ 52，则向量c 的坐标为________．（15）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2俯视图＝_________．（16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90 ，则cos B ＝________．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明： 12≤b n ＜1．（18）（本小题满分12分）甲向靶子A 射击两次，乙向靶子B 射击一次．甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分．（Ⅰ）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；（Ⅱ）设为二人得分之和，求的分布列和期望．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面ABCD ，BD ⊥PC ，E 是PA 的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面EBD ；（Ⅱ）若PA ＝AB ＝2，直线PB 与平面EBD 所成角的正弦值为 14，求四棱锥P -ABCD 的体积．（20）（本小题满分12分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，|AB |＝423．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若P ，Q ，O （O 为原点）三点共线，求点N 的坐标．（21）（本小题满分12分）已知函数f (x)＝x 2－ln x －ax ，a ∈R ．（Ⅰ）若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x)＜0，求a 的取值范围；（Ⅱ）若f (x)＝x 有两个不同的实数解u ，v （0＜u ＜v ），证明：f (u ＋v2)＞1．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG ．求证：（Ⅰ）△DEF ∽△EAF ；（Ⅱ）EF ∥CB ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，BP →＝2PA →，点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）求点P 到点D (0，－2)距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x)＝|x －a |－|x ＋3|，a ∈R ．（Ⅰ）当a ＝－1时，解不等式f (x)≤1；（Ⅱ）若当x ∈[0，3]时，f (x)≤4，求a 的取值范围．理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CABAA BBDCD CDB 卷：DBBAABADCDDC二、填空题：（13）0.0228 （14）( 1 2， 32)（15）14（16）3 4三、解答题：（17）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，(a 1＋4d)2＝(a 1＋d)(a 1＋10d)．注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1．所以a n ＝n ＋1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0，所以数列{b n }单调递增． …8分 b n ≥b 1＝ 1 2．…9分又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝n n ＋1＜1，因此 12≤b n ＜1．…12分（18）解：（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A ，则P(A)＝C120.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18．…4分（Ⅱ）的可能取值为0，5，10，15，20．P(＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(＝5)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16，P(＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(＝15)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16，P(＝20)＝0.82×0.5＝0.32．的分布列为…10分的期望为E()＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13．…12分（19）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ．又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面EBD ，所以平面PAC ⊥平面EBD ．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，BC ＝AB ＝2．…5分设AC ∩BD ＝O ，建立如图所示的坐标系O -xyz ，设OB ＝b ，OC ＝c ，则P (0，－c ，2)，B (b ，0，0)，E (0，－c ，1)，C (0，c ，0)． PB →＝(b ，c ，－2)，OB →＝(b ，0，0)，OE →＝(0，－c ，1)．设n ＝(x ，y ，z)是面EBD 的一个法向量，则n ·OB →＝n ·OE →＝0，即⎩⎨⎧bx ＝0，－cy ＋z ＝0，取n ＝(0，1，c)． …8分依题意，BC ＝b 2＋c 2＝2．①记直线PB 与平面EBD 所成的角为θ，由已知条件 sin θ＝|n ·PB →|__________|n |·|PB →|＝c (1＋c 2)(b 2＋c 2＋22)＝ 14． ② 解得b ＝3，c ＝1．…10分所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝ 1 3×2OB ·OC ·PA ＝ 1 3×23×1×2＝433．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知得M (－p2，0)，C (2，0)．设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝223．于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝ 1 3，所以|CM |＝|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR＝3，即2＋ p2＝3，p ＝2．故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．…5分（Ⅱ）设N (s ，t)．P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点．圆D 方程为(x －s ＋22)2＋(y － t 2)2＝(s －2)2＋t 24，即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0．① 又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0． ② ②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0．③ …9分P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程．因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝ 32．故点N 坐标为( 3 2，6)或( 32，－6)．…12分（21）解：（Ⅰ）当x ∈(0，＋∞)时，f (x)＜0等价于x －ln xx ＜a ．令g (x)＝x －ln xx ，则g '(x)＝x 2－1＋ln x x 2．当x ∈(0，1)时，g '(x)＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g '(x)＞0． g (x)有最小值g (1)＝1．…4分故a 的取值范围是(1，＋∞)．…5分（Ⅱ）因f (x)＝x ，即x 2－ln x ＝(a ＋1)x 有两个不同的实数解u ，v ．故u 2－ln u ＝(a ＋1)u ，v 2－ln v ＝(a ＋1)v ．于是(u ＋v)(u －v)－(ln u －ln v)＝(a ＋1)(u －v)．…7分由u －v ＜0解得a ＝u ＋v －ln u －ln vu －v－1．又f '(x)＝2x － 1x－a ，所以f '(u ＋v 2)＝(u ＋v)－2u ＋v －(u ＋v)＋ln u －ln v u －v ＋1＝ln u －ln v u －v －2u ＋v ＋1． …9分设h (u)＝ln u －ln v －2(u －v)u ＋v ，则当u ∈(0，v)时，h '(u)＝(u －v)2u(u ＋v)2＞0，h (u)在(0，v)单调递增，h (u)＜h (v)＝0，从而ln u －ln v u －v －2u ＋v＞0，因此f '(u ＋v 2)＞1．12分（22）解：（Ⅰ）由切割线定理得FG 2＝FA ·FD ．又EF ＝FG ，所以EF 2＝FA ·FD ，即EF FA ＝FDEF ．因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△FED ∽△EAF ．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED ＝∠FAE ．因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ，所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB ．…10分（23）解：（Ⅰ）设P (x ，y)，由题设可知，则x ＝ 2 3|AB |cos(π－α)＝－2cos α，y ＝ 13|AB |sin(π－α)＝sin α，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α（α为参数，90︒＜α＜180︒）． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2α＋4sin α＋8＝－3(sin α－2 3)2＋283．当sin α＝ 2 3时，|PD |取最大值2213．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－1时，不等式为|x ＋1|－|x ＋3|≤1．当x ≤－3时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x ＜－1时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋3)≤1，解得－ 52≤x ＜－1；当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)－(x ＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[－52，＋∞)．…5分（Ⅱ）当x ∈[0，3]时，f (x)≤4即|x －a |≤x ＋7，由此得a ≥－7且a ≤2x ＋7．当x ∈[0，3]时，2x ＋7的最小值为7，所以a 的取值范围是[－7，7]．…10分高考模拟数学试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

唐山市2020~2021学年度高三年级摸底考试数学试卷及答案

唐山市2020~2021学年度高三年级摸底考试数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{ x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x ＞0}，则A ∩B ＝ A ．{x |－2＜x ＜3} B ．{x |0＜x ＜3} C ．{x |－3＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜2} 2．若复数z 满足z (1＋i )＝2，则|z |＝ A ．1－i B ． 2C ．1＋iD ．23．特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策．某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名．按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有 A ．24 B ．14 C ．12 D ．8 4．居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果．通过该指数可以观察和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度．如右图，是疫情期间我国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不．合理的是 A ．居民消费价格指数变化幅度相对不大B ．食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大C ．食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数D ．食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致5．右图是某正方体的侧面展开图，则在正方体中 A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交 C ．直线AB 与直线CD 异面垂直D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60° 6．已知f (x )＝2x－(1 2)x，若f (m )＋f (n )＞0，则A ．m ＋n ＞0B ．m ＋n ＜0C ．m －n ＞0D ．m －n ＜07．已知a ，b 都是单位向量，满足|a ＋2b |＝|a －2b |，则cos 〈a ，a ＋2b 〉＝A ．55B ．255C ．12 D ．328．已知f (x )＝|sin x |cos x ，则 A ．f (x )的值域为[－1，1] B ．f (x )在[0，π2]上单调C ．π为f (x )的周期D ．( π2，0)为f (x )图像的对称中心二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．设0＜a ＜b ＜1，0＜c ＜1，则A ．c a ＜c bB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．log a c ＜log b c10．若(x 2＋ 1 ax )6的展开式中x 3的系数是－160，则A ．a ＝－ 12B ．所有项系数之和为1C ．二项式系数之和为64D ．常数项为－32011．已知双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1（b ＞0）的一条渐近线l ：y ＝22x ，设F 1，F 2是C 的左右焦点，点P 在l 上，且|OF 1|＝|OP |，O 为坐标原点，则 A ．C 的虚轴长为4 2 B ．∠F 1PF 2＝90° C ．||PF 1|－|PF 2||＝2 D ．△PF 1F 2的面积为6212．已知f (x )＝x －x 2π－sin x ．A ．f (x )的零点个数为4B ．f (x )的极值点个数为3C ．x 轴为曲线y ＝f (x )的切线D ．若f (x 1)＝ f (x2) ，则x 1＋x 2＝π2019年7月 2019年10月 2020年1月 2020年4月 2020年7月 ┅居民消费价格指数 ━食品类居民消费价格指数% 居民消费价格指数（上年同月＝100）125 120 115 110 105 100 95 90三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≤2，则z ＝2x ＋y 的最小值为_______．14．已知等差数列{a n }的公差不为零，若a 3，a 4，a 6成等比数列，则a 2＝_______．15．点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且|PQ |＝2，则△PQF 的外接圆的标准方程为______________． 16．已知四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，上下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，则该四棱台的外接球的表面积为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝2．有以下3个条件： ①2c cos A ＝b ；②2b －a ＝2c cos A ；③a ＋b ＝2c ．请在以上3个条件中选择一个，求△ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n －n ＋1．（1）证明{a n ＋1－a n －n }为等比数列；（2）求a n ．19．（12分）在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，E 是AD 的中点．（1）求证：平面PBE ⊥平面P AD ；（2）直线PB 与平面P AD 所成角为45°，求二面角C -PE -D 的余弦值．20．（12分）田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》．齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛．各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等．上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些．比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序．（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率；（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）．21．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为63，直线l ：x ＝ty ＋1交E 于A ，B 两点，当t＝0时，|AB |＝263．（1）求E 的方程；（2）设A 在直线x ＝3上的射影为D ，证明：直线BD 过定点，并求定点坐标．22．（12分）已知a ＞0，f (x )＝ax －ln x ．（1）求f (x )的最小值；（2）若a ＞1e，证明，f (x )＞1－x e －ax ．（提示：(e －ax )'＝－a e －ax ）ABCDEP唐山市2020~2021学年度高三年级摸底考试数学参考答案一．选择题（单选）：1~4．BBCD 5~8．DAAD 二．选择题（不定项选）： 9．CD 10．ABC 11．ABD 12．BC 三．填空题：13．2 14．0 15．x 2＋(y －1)2＝216．10π四．解答题： 17．解：条件①，在△ABC 中，由余弦定理可得2c ×b 2＋c 2－a 22bc＝b ． …4分所以a ＝c ，又a ＝2．从而S △ABC ＝12×a ×c ×sin B ＝2sin B ， …8分所以B ＝π2时，S △ABC 取得最大值2． …10分条件②，在△ABC 中，由正弦定理可得2sin B －sin A ＝2sin C cos A ．又sin B ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin A cos C ＋2cos A sin C －sin A ＝2sin C cos A ，从而2sin A cos C ＝sin A ， …4分因为sin A ≠0，所以cos C ＝12，可得C ＝60°，即S △ABC ＝34ab ． …6分在△ABC 中，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ≥ab ．所以a ＝b ＝2时，ab 取得最大值4，故a ＝b ＝2时，S △ABC 取得最大值3． …10分条件③，在△ABC 中，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos C )，又a ＋b ＝2c ＝4，所以ab (1＋cos C )＝6． …4分因为a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤4，等号当且仅当a ＝b ＝2时成立．从而1＋cos C ≥32，即cos C ≥12，所以0°＜C ≤60°． …8分S △ABC ＝12ab sin C ，当a ＝b ＝2时，ab 和sin C 分别取得最大值4和32，因此a ＝b ＝2时，S △ABC 取得最大值3． …10分 18．解：（1）由a n ＋2＝3a n ＋1－2a n －n ＋1得a n ＋2－a n ＋1－(n ＋1)＝2a n ＋1－2a n －n ＋1－(n ＋1)＝2(a n ＋1－a n －n )，又a 2－a 1－1＝1，所以{a n ＋1－a n －n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，．…5分（2）由（1）得a n ＋1－a n －n ＝2n －1，所以a n ＋1－a n ＝2n －1＋n ， …7分所以n ≥2时，(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝(20＋1)＋(21＋2)＋(22＋3)＋…＋(2n －2＋n －1)＝(20＋21＋22＋…＋2n －2)＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝2n －1－1＋n (n －1)2． …10分因此a n －a 1＝2n －1＋n (n －1)2－1，a n ＝2n －1＋n (n －1)2．显然n ＝1时，a 1＝1满足上式，故a n ＝2n －1＋n (n －1)2． …12分19．解：（1）连接BD ，由题意可知△ABD 是等边三角形，又E 是AD 的中点，所以BE ⊥AD ；由PD ⊥底面ABCD ，BE ⊂底面ABCD ，所以PD ⊥BE ，且PD ∩AD ＝D ，所以，BE ⊥平面P AD ，且BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面P AD ．…4分（2）由（1）可知，PB 在平面P AD 上的射影为PE ，所以直线PB 与平面P AD 所成角为∠BPE ＝45°．在Rt △BPE 中， PE ＝BE ＝32AD ＝3．所以，在Rt △DPE 中， DE ＝ 12AD ＝1，PD ＝PE 2－DE 2＝2． …6分以E 为原点，以EA →的方向为x 轴正方向，|EA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系E -xyz ．由题设可得P (－1，0，2)C (－2，3，0)，B (0，3，0)，所以EP →＝(－1，0，2)，EC →＝(－2，3，0)．…8分设m ＝(x ，y ，z )是平面PEC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧EP →·m ＝0，EC →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，－2x ＋3y ＝0，所以可取m ＝(1，23，12)． …10分由（1）知EB →＝(0，3，0)是平面PED 的一个法向量，则cos 〈EB →，m 〉＝EB →·m |EB →||m |＝23417．所以二面角C -PE -D 的余弦值为23417． …12分20．解：将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为T 1、T 2、T 3，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为W 1、W 2、W 3，并且用马的记号表示该马上场比赛．（1）法一．在第一局比赛中，每一匹马上场的概率都是13，可以按照如下方式进行讨论：若齐威王派出的是W 1，则田忌必然失败；若齐威王派出的是W 2，则田忌只有派出T 1才能胜利；若齐威王派出的是W 3，则田忌派出T 1或T 2皆可胜利；设事件A ＝“在第一局比赛中田忌胜利”，则A ＝W 2T 1＋W 3T 1＋W 3T 2，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是P (A )＝13×13＋13×13＋13×13＝13．…4分法二．设事件Ω＝“第一局双方参赛的马匹”，事件A ＝“在第一局比赛中田忌胜利”，由题意得Ω＝{(T 1W 1)，(T 1W 2)，(T 1W 3)，(T 2W 1)，(T 2W 2)，(T 2W 3)，(T 3W 1)，(T 3W 2)，(T 3W 3)}， A ＝{ (T 1W 2)，(T 1W 3)，(T 2W 3)}，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是P (A )＝39＝ 13． …4分（2）法一．设事件B ＝“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，设事件C ＝“田忌获得本场比赛胜利”．由于第一局失败，田忌第二局和第三局必须都胜利才能获得本场比赛胜利．依题设，田忌若第二局胜利，第三局必然胜利，因此，只考虑第二局的对阵情况即可，故 C |B ＝(W 2|W 1)( T 1|T 3)＋(W 3|W 1)( T 2|T 3)．则本场比赛田忌胜利的概率是P (C |B )＝12×12＋12×12＝12． …8分法二．设事件B ＝“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，事件C ＝“田忌获得本场比赛胜利”，由题意得B ＝{ (T 3W 1，T 1W 2，T 2W 3)，(T 3W 1，T 1W 3，T 2W 2)，(T 3W 1，T 2W 2，T 1W 3)，(T 3W 1，T 2W 3，T 1W 2)}，BC ＝{ (T 3W 1，T 1W 2，T 2W 3)，(T 3W 1，T 2W 3，T 1W 2)}，则本场比赛田忌胜利的概率是P (C |B )＝24＝ 12． …8分（3）16． …12分21．解：（1）由题意得e 2＝ c 2a 2＝a 2－b 2 a 2＝ 2 3，整理得a 2＝3b 2， …2分由t ＝0时，|AB |＝263得1a 2＋23b2＝1 …4分因此a ＝3，b ＝1．故E 的方程是x 23＋y 2＝1． …5分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (3，y 1)．将x ＝ty ＋1代入x 23＋y 2＝1得(t 2＋3)y 2＋2ty －2＝0，y 1＋y 2＝－2t t 2＋3，y 1·y 2＝－2t 2＋3， …7分从而ty 1·y 2＝y 1＋y 2．……① …8分直线BD ：y ＝y 2－y 1x 2－3(x －3)＋y 1，设直线BD 与x 轴的交点为(x 0，0)，则y 2－y 1x 2－3(x 0－3)＋y 1＝0， …10分所以x 0－3＝y 1(3－x 2)y 2－y 1＝y 1(2－ty 2)y 2－y 1＝2y 1－ty 1y 2y 2－y 1， …11分将①式代入上式可得x 0－3＝－1，所以x 0＝2．故直线BD 过定点(2，0)． …12分 22．解：（1）f '(x )＝a －1x ，x ＞0，a ＞0．所以0＜x ＜1a 时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞1a时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，因此f (x )的最小值为f (1a )＝1＋ln a ． …4分（2）令g (x )＝f (x )＋x e －ax －1，则g '(x )＝a － 1 x －(ax －1)e －ax＝(ax －1)(e ax －x) x e ax． …5分由（1）得，当a ＞ 1e 时，f (1a)＞0，即ax －ln x ＞0，所以e ax ＞x ， …7分所以0＜x ＜ 1a时，g '(x )＜0，g (x )单调递减；x ＞ 1a时，g '(x )＞0，g (x )单调递增，所以g (x )的最小值为g (1a )＝ln a ＋1e a． …10分由（1）得a ＝ 1 e 时，f (x )≥0，所以 xe ≥ln x ，等号当且仅当x ＝e 时成立，所以当a ＞ 1 e ，x ＝ 1 a 时，有1e a ＞ln 1a ＝－ln a ，即ln a ＋1e a＞0，所以g (x )＞0．故原不等式得证． …12分。

理数答案

…6 分
令 g (x)＝f (x)＋2 x＋3－5，
则
g
(x)＝ 2
1
－ x
1 x
＋
1＝ x＋3
x2＋3x－2 x＋3＋2x． 2x x＋3
令 h (x)＝ x2＋3x－2 x＋3＋2x，x＞0，
则
h
(x)＝ 2
2x＋3 － x2＋3x
x1＋3＋2，
因为 x＞0，所以 2－ x1＋3＞0，从而 h (x)＞0，
因此 h (x)在(0，＋∞)上单调递增，又 h (1)＝0，所以 0＜x＜1 时，h (x)＜h (1)＝0，从而 g (x)＜0，g (x)单调递减； x＞1 时，h (x)＞h (1)＝0，从而 g (x)＞0，g (x)单调递增，因此 g (x)≥g (1)＝0．
故 a≥1，af (x)＋2 x＋3－5≥0．
…7 分
将直线 AE 代入椭圆 T，并整理可得(4x12＋y21)x2－8x1(x12＋y21)x＋4(x21＋y21)2－4y12＝0，
所以 x1＋x2＝8x41x(x21＋21＋yy2121)．
…8 分
S△ABE＝
1 2
×|AD|×|x2－(－x1)|＝
1 2
×32y1×|x2＋x1|＝6x14yx121(＋x21＋y12y21)，
A
Dy
－2，t)，
→ DF ＝(1，－1，2t)，
B
…6 分
x
C
设 m＝(x1，y1，z1)为面 BEF 的法向量，则 m·→ BE ＝0，m·→ BF ＝0，
即－ y1＋x1＋ 2tzt1z＝1＝00，，取 z1＝1，x1＝t，y1＝－2t，则 m＝(t，－2t，1)，
设 n＝(x2，y2，z2)为面 DEF 的法向量，则 n·→ DE ＝0，n·→ DF ＝0，

2020年河北省高三第二次适应性考试数学(理)试题-含答案

角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，
可排成的不同音序有（）
A.20 种
B.24 种
C.32 种
D.48 种
9.已知函数
与轴交于点
，距离轴最近的最大
值点
，若
，且
，恒有
，则实数的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
10.如图，为的外心，
为钝角，是边的中点，则
f（x）＝（4x+4﹣x）|x|是偶函数，但是 f（1）≠0，
f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|是奇函数，不满足题意． f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x|是偶函数，f（1）＝0 满足题意；
f（x）＝（4x+4﹣x）
|x|是偶函数，f（1）＝0，x∈（0，1）时，f（x）＞0，不满足题意．
20.（本题满分 12 分）由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3 个人依次进行，每人必须在 1 分钟内完成，否则派下一个人．3 个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往 100 次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．
（2）若 f (x1) f (x2 ) ， x1 x2 ，求证： ex1 ex2 2 ．
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．(本小题满分 10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立． ①求该团队能进入下一关的概率； ②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到最小，并说明理由． 21.（本题满分 12 分）已知函数 f (x) ex x ．（1）讨论 f (x) 的单调性；

河北省唐山市届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题Word版含答案

唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|3A x N x =∈<，{}|,,B x x a b a A b A ==-∈∈，则A B =（）A ．{}1,2B ．{}2,1,1,2--C ．{}1D ．{}0,1,22.设复数z 满足1132z i z +=--，则||z =（）A ．5B C ．2D 3.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（）A ．平均数为64B ．众数为7C ．极差为17D ．中位数为64.54.“2560x x +->”是“2x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）A ．24π-B ．243π-C ．24π+D ．242π-6.已知双曲线过点(2,3)，渐进线方程为y =，则双曲线的标准方程是（）A ．22711612x y -= B ．22132y x -= C ．2213y x -= D ．22312323y x -= 7.函数21xy x -=+，(,]x m n ∈的最小值为0，则m 的取值范围是（） A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．[1,2)D ．[1,2)-8.执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（）A ．4B ．5C ．6D ．79.已知α，β均为锐角，且sin 22sin 2αβ=，则（） A ．tan()3tan()αβαβ+=- B ．tan()2tan()αβαβ+=- C ．3tan()tan()αβαβ+=-D ．3tan()2tan()αβαβ+=-10.已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．1-B C ．D ．2-11.正方体1111ABCD A BC D -棱长为6，O 点在棱BC 上，且2BO OC =，过O 点的直线l 与直线1AA ，11C D 分别交于M ，N 两点，则MN =（）A ．B ．C ．14D ．2112.已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(2)()'()0x f x xf x ++>，则（） A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.7(2)()x y x y +-展开式中，含35x y 项的系数是．14.平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ= ．15.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 交Γ于另一点M ，若直线BM 交x 轴于点(12,0)N ，则Γ的离心率是． 16.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，D 是BC 的一个三等分点，则AD 的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，(21)n n n S a =-，且11a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45.每台仪器各项费用如表：（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望．19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，3AB =，AD =45ABC ∠=︒，P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =，2BE EA =，F为AD 的中点，M 在线段CD 上，且CM CD λ=．（Ⅰ）当23λ=时，证明：平面PFM ⊥平面PAB ；（Ⅱ）当平面PAM 与平面ABCD 求四棱锥P ABCM -的体积．20.已知ABC ∆的顶点(1,0)A ，点B 在x 轴上移动，||||AB AC =，且BC 的中点在y 轴上. （Ⅰ）求C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M ，N 与(1,2)P 的连线的斜率之和为2，求证：直线MN 过定点．21.已知函数1()(ln 1)f x a x x =-+的图象与x 轴相切，21()(1)log 2b x g x b x -=--．（Ⅰ）求证：2(1)()x f x x-≤；（Ⅱ）若1x <<2(1)0()2b g x -<<请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22(12sin )3ρθ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，点(1,0)M ，求||||||MA MB -． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x x x =-++，P 为不等式()4f x >的解集. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）证明：当m ，n P ∈时，|4|2||mn m n +>+.唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学答案一、选择题1-5:DBDBA 6-10:CDBAC 11、12：DA二、填空题13.49 14.29 15.121 三、解答题17.解：（Ⅰ）由(21)n n n S a =-，可得111(21)n n n S a ---=-（2n ≥），两式相减，得111(21)(21)n n n n n n S S a a ----=---，11(22)(21)n n n n a a ---=-，即11(2)2n n a n a -=≥，故{}n a 是一个以1为首项，12为公比的等比数列，所以11()2n n a -=．（Ⅱ）11()2n n n b na n -==．123n n T b b b b =++++…012111111()2()3()()2222n n -=⨯+⨯+⨯++…，①12n T = 12111111()2()(1)()()2222n n n n -⨯+⨯++-+…，② ①-②，得1211111121()()()()2222222n n n n n T n -+=++++-=-…，所以1242n n n T -+=-．18.解：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件A ，则341()(1)(1)4520P A =--=，所以每台仪器能出厂的概率119()12020P A =-=．（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率341(1)455P =-⨯=．（Ⅲ）X 可取3800，3500，3200，500，200，2800-．339(3800)4416P X ==⨯=，12133(3500)5410P X C ==⨯⨯=，211(3200)()525P X ===，123113(500)()44540P X C ==⨯⨯⨯=，121111(200)()54550P X C ==⨯⨯⨯=，2111(2800)()45400P X =-=⨯=．X 的分布列为：()380035003200500200(2800)33501610254050400E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=．19.（Ⅰ）证明：连接EC ，作//AN EC 交CD 于点N ，则四边形AECN 为平行四边形，1CN AE ==，在B C E ∆中，2BE =，BC =45ABC ∠=︒，由余弦定理得2EC =．所以222BE EC BC +=，从而有BE EC ⊥.在AND ∆中，F ，M 分别是AD ，DN 的中点，则//FM AN ，//FM EC ，因为AB EC ⊥，所以FM AB ⊥.由PE ⊥平面ABCD ，FM ⊂平面ABCD ，得PE FM ⊥，又FM AB ⊥，PEAB E =，得FM ⊥平面PAB ，又FM ⊂平面PFM ，所以平面PFM ⊥平面PAB .（Ⅱ）以E 为坐标原点，EB ，EC ，EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(0,0,2)P ，(0,2,0)C ，(3,2,0)D -，(1,0,2)AP =，(13,2,0)AM AC CD λλ=+=-.平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =. 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z =，由0AP n ⋅=，0AM n ⋅=，得20,(13)20,x z x y λ+=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,31,1)n λ=--.由题意可得，|||cos ,|||||m nm n m n ⋅<>=⋅==，解得13λ=，所以四棱锥P ABCM -的体积1833P ABCM ABCM V S PE -=⨯=梯形.20.解：（Ⅰ）设(,)C x y （0y ≠），因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上，所以(,0)B x -，由||||AB AC =，得222(1)(1)x x y +=-+，化简得24y x =，所以C 点的轨迹Γ的方程为24y x =（0y ≠）．（Ⅱ）设直线MN 的方程为x my n =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由24,,y x x my n ⎧=⎨=+⎩得2440y my n --=，所以124y y n =-，1121112241214MP y y k y x y --===-+-，同理242NP k y =+，所以1244222y y +=++，化简得124y y =，又因为124y y n =-，所以1n =-，所以直线MN 过定点(1,0)-.21.解：（Ⅰ）21'()a f x x x =-，设()f x 的图象与x 轴相交于点0(,0)x ，则00()0,'()0,f x f x =⎧⎨=⎩即02001(ln 1)0,10,a x x a x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得01a x ==．所以1()ln 1f x x x=-+， 2(1)()x f x x-≤等价于ln 1x x ≤-．设()ln 1h x x x =-+，则1'()1h x x=-，当01x <<时，'()0h x >，()h x 单调递增；当1x >时，'()0h x <，()h x 单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，即ln 1x x ≤-，（*），所以2(1)()x f x x-≤．（Ⅱ）设1()(1)ln x h x x x -=>，则21ln 1'()ln x x h x x+-=，由（Ⅰ）可知，当1x >时，1ln 10x x+->，从而有'()0h x >，所以()h x 单调递增，又1x <<21x b <<，从而有2()()h x h b <，即2211ln ln x b x b--<，所以21(1)ln (1)log 2ln b x b xb x b--<=-，即()0g x >， 21()(1)log 2b x g x b x -=--2(1)ln 1ln 2b x x b --=-22ln 1(1)2ln 2x x b b -=-⋅-2211(1)2ln 2x x b b --<-⋅-211(1)2ln x b b--=⋅-，又1ln 1b b >-，所以1ln b b b-<，又21x b <<，所以22(1)(1)(1)()22x b b g x ---<<．综上可知，2(1)0()2b g x -<<．22.解：（Ⅰ）曲线1C0y -=，曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=．（Ⅱ）将直线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程整理得：25240t t +-=，1225t t +=-，由t 的几何意义可知：122||||||||5MA MB t t -=+=. 23.解：（Ⅰ）2,1,()|1||1|2,11,2, 1.x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩由()f x 的单调性及()4f x =得，2x >或2x <-．所以不等式()4f x >的解集为{}|22P x x x =><-或.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知||2m >，||2n >，所以24m >，24n >，2222(4)4()(4)(4)0mn m n m n +-+=-->，所以22(4)4()mn m n +>+，从而有|4|2||mn m n +>+．。

2020年6月河北省唐山市普通高中2020届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前河北省唐山市普通高中2020届高三年级下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)2020年6月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合203x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2B x x =>，则A B =（） A. (,)-∞+∞B. [)2,2-C. ()2,3D. (]2,3【答案】C【解析】【分析】化简集合A ,直接求出A B . 【详解】由题203x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭{|23}x x =-≤<,则A B ={|23}x x <<. 故选：C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法,集合的交集的运算,属于容易题.2.已知复数13ai z i +=+为纯虚数（其中i 为虚数单位）,则实数a =（） A. 3-B. 3C. 13-D. 13【答案】A【解析】【分析】化简复数z 的代数形式,根据复数为纯虚数,列出方程组,即可求解.【详解】由题意,复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-, 因为复数z 为纯虚数,可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩,解得3a =-. 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,以及复数的分类及其应用,着重考查计算能力,属于基础题.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,24a =,40a =,则5S =（）A. 2-B. 0C. 10D. 20【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质,可得12454a a a a =+=+,再结合等差数列的性质,即可求解. 【详解】由题意,等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 424,0a a ==, 根据等差数列的性质,可得12454a a a a =+=+, 又由1555()541022a a S +⨯===. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,以及等差数列前n 项和公式的应用,其中解答中合理利用等差数列的性质是解答的关键,着重考查了运算与求解能力. 4.已知1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则cos2=α（） A. 79- B. 79C. 89- D. 89。

河北省唐山市2019-2020学年度高三年级第二学期第二次模拟考试理科数学试题含答案

是▲
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分
17．(12 分)
已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和 , Sn+1 = 3Sn +1, a1 =1.
足为点 C，点 D满足AC = 2CD, 延长 BD 交 T 于点 E ( x2 y2 ).
(1)设直线 AB，BD 的斜率分别为 k1, k2 .
(i)求证： k1 = 4k2 ；
(ii)证明： ABE 是直角三角形;
(2)求 ABE 的面积的最大值.
(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分1 2
B.
1 2
,1
C.1,
3 2
D.
3 2
,
2
9．已知 f ( x) = cos2 x + sin x, 有以下命题：
①π
为
f(x)的一个周期：②f(x)的图象关于直线
x
=
2
对称；③f
(x)在
6
,
2
上单调;
则正确命题的个数是
A．3 B．2
C．1 D．0
10．已知向量 a，b 满足|a|=1 ,(a − b) ⊥ (3a − b), 则 a 与 b 的夹角的最大值为
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C： ( x −1)2 + y2 =1, 直线 l : y = −x.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系.

河北省唐山市高三下学期数学第二次模拟试卷附解析

高三下学期数学第二次模拟试卷一、单项选择题1.集合，，那么〔〕A. B. C. D.2.多项选择题的四个选项A 、B 、C、D中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分．假设某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两个选项，那么其得分的概率为〔〕A. B. C. D.3.不等式的解集是〔〕A. B. C. D.4.在的展开式中，常数项为〔〕A. 20B. -20C. 160D. -1605.设复数满足，在复平面内对应的点到原点距离的最大值是〔〕A. 1B.C.D. 36.在中，为的中点，为边上的点，且，那么〔〕A. B.C. D.7.劳动力调查是一项抽样调查2021年的劳动力调查以第七次人口普查的最新数据为根底抽取相关住户进入样本，并且采用样本轮换模式．劳动力调查的轮换是按照“ 〞模式进行，即一个住户连续2个月接受调查，在接下来的10个月中不接受调查，然后再接受连续2个月的调查，经历四次调查之后退出样本．调查进行时保持每月进入样本接受第一次调查的新住户数量相同．假设从第个月开始，每个月都有的样本接受第一次调查，的样本接受第二次调查，的样本接受第三次调查，的样本接受第四次调查，那么的值为〔〕A. 12B. 13C. 14D. 158. 为双曲线的右焦点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为渐近线上一点，为坐标原点．假设四边形为菱形，那么双曲线的离心率〔〕A. 2 B. 3 C. D.二、多项选择题9.设函数的图象为曲线，那么〔〕A. 将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合B. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合C. 是曲线的一个对称中心D. 假设，且，那么的最小值为10. ，且，那么〔〕A. B.C. D.11.三棱锥的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，那么〔〕A. 该棱锥各面都是直角三角形B. 直线与所成角为C. 点到底面的距离为D. 该棱锥的外接球的外表积为12.假设直线与曲线相交于不同两点，，曲线在A，点处切线交于点，那么〔〕A. B.C. D. 存在，使得三、填空题13.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，那么该圆锥的体积为________.14.设是首项为2的等比数列，是其前项和．假设，那么________．15.有以下三个条件：①定义域不是；②值域为；③奇函数；写出一个同时满足以上条件的函数________．16.设抛物线的焦点为，直线与交于，，与轴交于，假设，那么________．四、解答题17. 为等差数列的前项和，，．〔1〕求；〔2〕记数列的前项和为，证明：．18.改革开放是我国开展的最大“红利〞，自1978年以来，随着我国社会经济的快速开展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．下表数据反响了我国改革开放三十余年的人口平均预期寿命变化．〔1〕散点图如上图所示，可用线性回归模型拟合与的关系，回归方程中的斜率，且，求；〔2〕关于2021年我国人口平均预期寿命的统计数据迄今暂未公布，依据线性回归方程，对进行预测并给出预测值〔结果保存两位小数〕，结合散点图的开展趋势，估计与的大小关系，并说明理由．19.如图，在多面体中，底面为正方形，，平面平面，，．〔1〕判断平面与平面的交线与的位置关系，并说明理由；〔2〕求平面与平面所成二面角的大小．20.在中，角，，的对边分别为，，．，边上的高为．〔1〕假设，求的周长；〔2〕求的最大值．21.函数．〔1〕假设，求的取值范围；〔2〕假设有两个零点，，且，证明：．22. 、分别为椭圆的左顶点和下顶点，为直线上的动点，的最小值为．〔1〕求的方程；〔2〕设与的另一交点为，与的另一交点为，问：是否存在点，使得四边形为梯形，假设存在，求点坐标；假设不存在，请说明理由．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为，，所以。

2020年河北省唐山市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

12.答案：B
第 8 页，共 14 页
解析：解：∵0=log31＜a=log32=log3 ＜
=，
b=1og43=
＞
=，
=
＜c=1og0.20.3＜
=，
则 a，b，c 的大小关系为 a＜c＜b．故选：B．利用对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2020 年河北省唐山市高考数学二模试卷（二）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|2x＞ }，则∁RA=（）
A. {x|x＞1}
B. {x|0＜x≤-1}
C. {x|x＞-1}
D. {x|x≤-1}
2. 已知复数 z 满足（1+i）z=2，则 z 的共轭复数为（）
14. 设变量 x，y 满足约束条件
，则 z= 的最大值为______．
15. 将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有______种．（用数字作答）
16. 各项均为正数的数列{an}满足 a1=1，an•an+2=3an+1（n∈N*），则 a5•a2019=______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2c= a+2bcosA．
6.答案：C
解析：解：直线 l，m 和平面 α，β， ①，若存在平面 γ，使 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β 或 α，β 相交，故①错误； ②，若 l，m 是两条异面直线，1⊂α，m⊂β，1∥β，m∥α，平移直线 l 到 l'与 m 相交，可得 l'∥β，由面面平行的判定定理可得 α∥β，故②正确； ③，若 l⊥α，1∥m，则 m⊥α，又 m⊥β，则 α∥β，故③正确．故选：C．由面面垂直的性质定理和面面的位置关系，可判断①；由面面平行的判定定理可判断②；由线面垂直的性质定理和面面平行的判定，可判断③．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．

2020年河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2020年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．数z满足（1+z）（1+2i）=i，则复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.94．执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S=（）A．6 B．12 C．14 D．205．在▱ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD=60°，E为BC的中点，则•=（）A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣126．设椭圆C：y2+=1（0＜m＜1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，1）D．（0，]7．函数f（x）=cos（x+）+2sin sin（x+）的最大值是（）A．1 B．sin C．2sin D．8．曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．9．5名大学生为唐山世界园艺博览会的3个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）A．90种B．180种C．270种D．360种10．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．在等边△ABC中，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°，则的最小值是（）A．1 B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±x，则离心率e为．14．若实数x，y满足，则z=3x+4y的最大值是．15．已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为．16．当x∈[﹣1，+∞）时，不等式x3﹣ax2﹣4x+8≥0恒成立，则a的取值范围是．三、简答题：本大题共70分。

唐山市2019-2020学年度高三摸底考试数学(理科)试卷答案

（2）设 A，B 对应的参数分别为 tA，tB，
…2 分 …6 分
…9 分 …12 分 …5 分
将直线 l 的方程代入 C 并整理，得 t2－6t( 3sinα＋cos α)＋32＝0，
所以 tA＋tB＝6( 3sinα＋cos α)，tA·tB＝32．又 A 为 MB 的中点，所以 tB＝2tA，
因为 cos x＜0，xsin x＞0，从而 g (x)＜0，
( ) 所以 g (x)在 π2，π 上单调递减，
( ) 又 g (2)＝(2＋tan 2)cos 2＞0，g
2π 3
＝－π3＋
23＜0，
( ) 所以 g (x)在 2，23π 内有唯一零点 t．
（2）由（1）得， x∈(0，t)时，g (x)＞0，所以 f (x)＞0，即 f (x)单调递增； x∈(t，π)时，g (x)＜0，所以 f (x)＜0，即 f (x)单调递减，即 f (x)的最大值为 f (t)＝tsin t．由 f (t)＝tcos t＋sin t＝0 得 t＝－tan t，所以 f (t)＝－tan t·sin t，
P (CA1)＝280，P (CA2)＝2101，P (CB1)＝2100，P (CB2)＝230，
P (C)＝280×1200＋280×230＋1210×230＝143070．
…12 分
19．解：
z
（1）连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE．
P
由题意可知，PE＝EC，AO＝OC，
∴PA∥EO，又 PA平面 BED，EO平面 BED，
唐山市 2019~2020 学年度高三年级摸底考试
理科数学参考答案
一．选择题：
A 卷：CADDC
CBCBB

2020年河北省唐山市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷二

数学试卷一、选择题1.已知集合{|P x y ==，{}|ln 1Q x x =<，则P Q =I （） A.(]0,2B.[)2,e -C.(]0,1D.()1,e2.已知p ，R q ∈，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=（） A.-4B.0C.2D.43.设 2.52a =，02.5b =， 2.512c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a c b >>B.c a b >>C.a b c >>D.b a c >>4.函数()1sin ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图像大致为（）A. B.C. D.5.已知函数()()log 01a f x x a =<<的导函数为()'f x ，记()()()',1A f a B f a f a ==+-，()'1C f a =+,则（） A.A C B >>B.A B C >>C.B A C >>D.C B A >>6.为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（）A.向右平移π6单位长度 B.向右平移π3单位长度 C.向左平移π6单位长度 D.向左平移π3单位长度 7.在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若2A B =，则ABAC的取值范围是（）A.()0,3B.()1,2C.D.()1,38.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≤时，()3x f x a =+，则()2f 的值为（） A.89B.19C.19a --D.19a -9.已知()243,1log 2,1ax ax x f x x a x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么实数a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤⎥⎝⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 10.如图，在ABC △中，13AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上的一点.若29AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为（）.A .1B . 19 C. 13D. 311.已知函数()f x 在()1,-+∞上单调，且函数()2y f x =-的图像关于1x =对称.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +=（） A.2B. -2C. 0D.-1 12.已知函数()()ln 0x f x e x x =>若对[]()1,,,0x e k a a a e ⎡⎤∀∈∃∈->⎢⎥⎣⎦使得方程()f x k =有解，则实数a 的取值范围是（） A.(0,e e ⎤⎦ B .),ee ⎡+∞⎣C.[),e +∞D.1,e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦二、填空题13.已知函数()f x 满足()()()4R f x f x x +=∈，且在区间(]2,2-上，()πcos ,0221,202x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f =_________________14.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 .15.已知双曲线2213y x -=上存在两点,M N 关于直线y x m =+对称，且MN 的中点在抛物线218y x =上，则实数m 的值为 .16.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为54的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的，则点A 到平面PBC 的距离是 . 三、解答题17.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足33cos sin b a C C =，（1）求A 的大小；（2）若a =22b c +的取值范围。

河北省唐山市2020学年度高三数学第二次模拟考试参考答案理

唐山市2020学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题A 卷：BDCAB CBABD CA B 卷：DABCC ABDAD BD 二、填空题（13）54 （14）6 （15）100π （16）100 三、解答题（17）解：由余弦定理得，a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，将已知条件代入上式，得ac ＝3bc －c 2，则3b －c ＝a ，再由正弦定理，3sin B －sin C ＝sin π6．…4分又sin C ＝sin (5π6－B )＝ 1 2cos B ＋32sin B ，所以32sin B － 1 2cos B ＝ 1 2，即sin (B － π 6)＝ 1 2． (10)分因为－ π 6＜B － π 6＜5π6，所以B － π 6＝ π 6，即B ＝ π3． (12)分（18）解：因为K 2＝800(160×640×200×600≈16.667＞10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系． …5分（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 38．则X ～B (3， 3 8)，P (X ＝k )＝C k 8( 3 8)k ( 58)8－k，k ＝0，1，2，3．X 的分布列为…10分 E (X )＝3× 3 8＝ 98． (12)分（19）解：（Ⅰ）连接B 1C 交BC 1于点P ，连接PQ ．因为直线AB 1∥平面BC 1Q ，AB 1⊂平面AB 1C ，平面BC 1Q ∩平面AB 1C ＝PQ ，所以AB 1∥PQ ．因为P 为B 1C 的中点，且AB 1∥PQ ，所以，Q 为AC 的中点． …4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝a ，BB 1＝b ，则面BC 1C 的法向量为m ＝(1，0，0)．B (0，0，0)，C 1(0，a ，b )，Q (34a ， 14a ，0)， BC 1→＝(0，a ，b )，QC 1→＝(－34a ， 3 4a ，b )．因QC 1与面BC 1C 所成角的正弦值为24，故|m ·QC 1→|___________|m |·|QC 1→|＝34a ___________√________ 3 4a 2＋b2＝24，解得b ＝3 2a .…8分设平面C 1BQ 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·QC 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3 4ax ＋ 3 4ay ＋32az ＝0，ay ＋32az ＝0，取n ＝(1，－3，2)． (10)分所以有cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝24．故二面角Q -BC 1-C 的余弦值为24．…12分（20）解：（Ⅰ）f '(x )＝ln x ＋1－ax ．f (x )单调递减当且仅当f '(x )≤0，即∀x ∈(0，＋∞)， a ≥ln x ＋1x．①设g (x )＝ln x ＋1x ，则g '(x )＝－ln x x2．当x ∈(0，1)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减．所以g (x )≤g (1)＝1，故a 的最小值为1． …5分（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f (x )没有极值点．（2）当a ≤0时，f '(x )单调递增，f '(x )至多有一个零点，f (x )不可能有两个极值A点．…7分（3）当0＜a ＜1时，设h (x )＝ln x ＋1－ax ，则h '(x )＝ 1x－a ．当x ∈(0， 1a)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增；当x ∈( 1a，＋∞)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减．…9分因为f '( 1 a )＝h ( 1 a )＝ln 1 a ＞0，f '( 1 e )＝h ( 1 e )＝－ ae＜0，所以f (x )在区间( 1 e ， 1a )有一极小值点x 1． (10)分由（Ⅰ）中的①式，有1≥ln x ＋1x ，即ln x ≤x －1，则ln 1 a ≤ 1a－1，故f '( 2 a 2)＝h ( 2 a 2)＝ln 2＋2ln 1 a ＋1－ 2 a ≤l n 2＋2( 1 a －1)＋1－ 2a＝ln 2－1＜0．所以f (x )在区间( 1 a ， 2a2)有一极大值点x 2．综上所述，a 的取值范围是(0，1)． (12)分（21）解：（Ⅰ）依题意，曲线E 是以(0，m )为焦点，以y ＝－m 为准线的抛物线．曲线E 的方程为x 2＝4my ． …2分设动圆圆心为A (a ，a 24m )，则圆C 方程为(x －a )2＋(y －a 24m )2＝(a 24m ＋m )2，令y ＝0，得(x －a )2＝a 22＋m 2．当a ＝0时，圆C 被x 轴截得弦长取得最小值2m ，于是m ＝ 12，故曲线E 的方程为x 2＝2y ． …5分（Ⅱ）假设存在题设的公共点B (b ， 1 2b 2)．圆C 方程为(x －a )2＋(y － 1 2a 2)2＝( 1 2a 2＋ 1 2)2，将点B 坐标代入上式，并整理，得(b －a )2[1＋ 1 4(a ＋b )2]＝ 1 4(a 2＋1)2．① (7)分对y ＝ 1 2x 2求导，得y '＝x ，则曲线E 在点B 处的切线斜率为b ．又直线AB 的斜率k ＝ 1 2b 2－ 1 2a 2b －a ＝ 12(a ＋b )．由圆切线的性质，有 12(a ＋b )b ＝－1．② (8)分由①和②得b 2(b 2－8)＝0．显然b ≠0，则b ＝±22． …9分所以存在题设的公共点B ，其坐标为(±22，4)，公切线方程为y ＝22(x －22)＋4或y ＝－22(x ＋22)＋4，即y ＝±22x －4． …12分（22）证明：（Ⅰ）连接BD ，因为D 为BC ︵的中点，所以BD ＝DC ．因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ．因为AC 为圆的直径，所以∠ABC ＝90︒，所以AB ∥DE ． …5分（Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ，则∠DAC ＝∠DCB ．又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ．所以AC CD ＝ADCE，AD ·CD ＝AC ·CE ，2AD ·CD ＝AC ·2CE ，因此2AD ·CD ＝AC ·BC ．…10分（23）解：（Ⅰ）将椭圆C 的参数方程化为普通方程，得x 24＋y 23＝1．a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点F 坐标为(－1，0)．l 是经过点(m ，0)的直线，故m ＝－1． …4分（Ⅱ）将l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理，得(3cos 2α＋4sin 2α)t 2－6t cos α－9＝0．设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，则|FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝93cos 2α＋4sin 2α＝93＋sin 2α．当sin α＝0时，|FA |·|FB |取最大值3；当sin α＝±1时，|FA |·|FB |取最小值 94． (10)分（24）解：（Ⅰ）当a ＝2时，f (x )＝2(|x －2|－|x ＋4|)＝⎩⎪⎨⎪⎧12，x ＜－4，－4x －4，－4≤x ≤2，－12，x ＞2．当x ＜－4时，不等式不成立；当－4≤x ≤2时，由－4x －4＜2，得－ 32＜x ≤2；当x ＞2时，不等式必成立．综上，不等式f (x )＜2的解集为{x |x ＞－ 32}．…6分（Ⅱ）因为f (x )＝|ax －4|－|ax ＋8|≤|(ax －4)－(ax ＋8)|＝12，当且仅当ax ≤－8时取等号．所以f (x )的最大值为12．故k 的取值范围是[12，＋∞)．…10分。

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…4 分
即yx22－－yx11·yx22－－((－－yx11))＝－
1 4
．
…5 分
又
kAE＝yx22－－yx11，kBE＝yx22－－((－－yx11))＝k2，所以
kAE·k2＝－
1 4
，
…6 分
由（ⅰ）k1＝4k2，则 k1·kAE＝－1，即 AB⊥AE，
故△ABE 是直角三角形．
…7 分
种．
中二等奖取法有两类：一类是前两次取到同一数字，从 10 个数字中取出 2 个，较大
的数是前两次取出的数，较小的数是第 3 次取出的数有C120＝45 种；另一类是后两次
取到同一数字，同理有C120＝45 种，共 90 种．则 P(M)＝19003＝0.09．
…3 分
（2）X 的可能取值为 0，2000，5000，10000. P(X＝2 000)＝C101303＝0.12； P(X＝5 000)＝19003＝0.09； P(X＝10 000)＝11003＝0.01； P(X＝0)＝1－P(X＝2 000)－P(X＝5 000)－P(X＝10 000)＝0.78．则 X 的分布列为
X 10 000 5 000 2 000
0
P
0.01 0.09 0.12 0.78
（3）由（2）可知 A 中奖奖金的期望 E(X)＝10 000×0.01＋5 000×0.09＋2 000×0.12＋0×0.78＝790 元．员工 B 每次中奖奖金的期望和 A 一样，由题意可知员工 B 中奖奖金的期望是 1 580 元．
令 g (x)＝f (x)＋2 x＋3－5，
…8 分 …12 分
…4 分 …6 分
则
g
(x)＝ 2
1
－ x
1 x
＋
1＝ x＋3
x2＋3x－2 x＋3＋2x． 2x x＋3
令 h (x)＝ x2＋3x－2 x＋3＋2x，x＞0，
则
h
(x)＝ 2
2x＋3 － x2＋3x
x1＋3＋2，
因为 x＞0，所以 2－ x1＋3＞0，从而 h (x)＞0，
E
设 AE＝t，则 A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，
0)，D (0，2，0)，E (0，0，t)，F (1，1，2t)．则
→ BE ＝(－1，0，t)，→ BF ＝(0，1，2t)，→ DE ＝(0，
A
－2，t)，
→ DF ＝(1，－1，2t)，
B
…6 分
x
C
…2 分 …3 分 …4 分 …6 分 …8 分 …10 分
因为 AE⊥平面 ABCD，CF⊥平面 ABCD，
所以 AE∥CF，因此 A，C，F，E 四点共面．
又 AC∩CF＝C，所以 CD⊥平面 ACFE，
因为 EF平面 ACFE，所以 CD⊥EF．
（2）如图，以 A 为原点，→ AB 、→ AD 、→ AE 分别
z
F
为 x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，
1 2
×|AD|×|x2－(－x1)|＝
1 2
×32y1×|x2＋x1|＝6x14yx121(＋x21＋y12y21)，
…9 分
因为x421＋y12＝1，所以 S△ABE＝(42x214＋x1yy112)((xx212＋ 1＋y421)y21)＝ 4xy221214＋(yx411＋ xy1212 xy＋11)17．
2
－
1 8
．
…9 分
所以当 cos 2α＝1,即 α＝0 时，S△POH 取得最大值 1．
…10 分
23．解：（1）因为 x＞0，y＞0，所以 x＋y≥2 xy，由 x＋y＝2xy 得 2xy≥2 xy，故 xy≥1，xy≥1，当且仅当 x＝y 时，等号成立．（2）由 x＋y＝2xy 得1x ＋1y＝2． |x|＋|2xy|＝12(1x ＋1y )|x|＋|2xy|＝|2xx|＋|2xy|＋|2xy|≥|2xx|＋2≥32．当且仅当|2xy|＝|2xy|，且 x＜0 时，两个等号同时成立．即当且仅当 x＝－21且 y＝41，|x|＋|2xy|的最小值是32．
…12 分
…1 分 …3 分
…5 分
Dy
设 m＝(x1，y1，z1)为面 BEF 的法向量，则 m·→ BE ＝0，m·→ BF ＝0，
即－ y1＋x1＋ 2tzt1z＝1＝00，，取 z1＝1，x1＝t，y1＝－2t，则 m＝(t，－2t，1)，
设 n＝(x2，y2，z2)为面 DEF 的法向量，则 n·→ DE ＝0，n·→ DF ＝0，
因此 h (x)在(0，＋∞)上单调递增，又 h (1)＝0，所以 0＜x＜1 时，h (x)＜h (1)＝0，从而 g (x)＜0，g (x)单调递减； x＞1 时，h (x)＞h (1)＝0，从而 g (x)＞0，g (x)单调递增，因此 g (x)≥g (1)＝0．
故 a≥1，af (x)＋2 x＋3－5≥0．
…4 分 …5 分2t＝z2＝0，0，取 z2＝2，x2＝－3t，y2＝t，则 n＝(－3t，t，2)，
…8 分 …10 分
若二面角 B-EF-D 是直二面角，则 m·n＝0，即 5t2＝2，解得 t＝ 510．
所以 AE＝ 510．
…12 分
19．解：
（1）记事件“员工 A 中二等奖的概率”为 M，有．放．回．的依次取三个球的取法有 103
所以
Tn＝
1 2
(1－
1 3
＋
1 3
－
1 5
＋…＋2n1－1－2n1＋1)
＝
1 2
(1－2n1＋1)＝2nn＋1．
18．解：
（1）连接 AC
因为 CF⊥平面 ABCD，CD平面 ABCD，
所以 CF⊥CD，
因为 AD＝2，AB＝BC＝1，
所以 AC＝CD＝ 2，
所以 AC2＋CD2＝AD2，从而有 AC⊥CD，
（1）由 x＝ρcos α，y＝ρsin α，ρ2＝x2＋y2 得
曲线 C：ρ2－2ρcos α＝0，即 ρ＝2cos α；
直线 l：θ＝34π（ρ∈R）．
…4 分
（2）依题意，设
P(ρ，α)，－
π 2
＜α＜
π 2
，则|OP|＝2cos
α，
…5 分
所以|OH|＝|OP|·|cos
(α＋
π 4
)|＝2cos
…7 分
…10 分 …11 分 …12 分
21．解：
( ) （1）（ⅰ）由题意可得 D x1，－y21 ，所以 k2＝－x21y－1－(－(－x1y)1)＝4yx11，
…2 分
又 k1＝yx11，因此 k1＝4k2．
…3 分
（ⅱ）因为 A(x1，y1)，E(x2，y2)都在 T 上，所以x421＋y12＝1，x422＋y22＝1，从而x22－4 x21＋(y22－y21)＝0，
当 n＝1 时，a1＋a2＝3a1＋1，得 a2＝3，即 a2＝3a1，
所以，当 n≥1 时，an＋1＝3an，
即{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，
所以 an＝3n－1．
（2）bn＝log3a2n＝log332n－1＝2n－1，
cn＝bnb1n＋1＝(2n－1)1(2n＋1)＝
1 2
(2n1－1－2n1＋1)，
…10 分
令yx11＋xy11＝t，则 t≥2，等号当且仅当 k1＝yx11＝1 时成立．
从而
S△ABE＝4t22＋4t 9＝4t2＋4
9， t
因为
4t＋
9 t
在[2，＋∞)上单调递增，所以
t＝2
时，4t＋
9 t
取得最小值225，
故 k1＝1 时，S△ABE 取得最大值2458．
…12 分
22．解：
唐山市 2019—2020 学年度高三年级第二次模拟考试
理科数学参考答案
一．选择题：
CACAB BDCBA BD
二．填空题：
13．0；
14．240；
15．323；
( ) 16．
1 2
，2
．
三．解答题：
17．解：
（1）由 Sn＋1＝3Sn＋1，
当 n≥2 时，Sn＝3Sn－1＋1，
两式相减，得 an＋1＝3an，
α·|cos
(α＋
π 4
)|，
|PH|＝|OP|·|sin
(α＋
π 4
)|＝2cos
α·|sin
(α＋
π 4
)|，
…7 分
因此
S△POH＝
1 2
·|OH|·|PH|
＝2cos
2α·|cos
(α＋
π 4
)·sin
(α＋
π 4
)|
＝cos 2α|cos 2α－sin2α|
| ) | ＝
2(cos
2α－
1 4
（2）由（1）得，AE：y＝－xy11(x－x1)＋y1＝－xy11x＋x21＋y1 y21，
将直线 AE 代入椭圆 T，并整理可得(4x12＋y21)x2－8x1(x12＋y21)x＋4(x21＋y21)2－4y12＝0，
所以 x1＋x2＝8x41x(x21＋21＋yy2121)．
…8 分
S△ABE＝
20．解：
（1）f
(x)＝ 2
1
－ x
1 x
＝
x2－x 2，x＞0．
所以 0＜x＜4 时，f (x)＜0，f (x)单调递减；
x＞4 时，f (x)＞0，f (x)单调递增，
从而 x＝4 时，f (x)取得最小值 2－2ln 2．（2）由（1）得，f (x)＞0，
所以当 a≥1 时，af (x)＋2 x＋3－5≥f (x)＋2 x＋3－5，