苏科版九年级下册5.1二次函数

5.1二次函数
一、选择题
1.下列函数中是二次函数的是( )
A. y=2(x−1)
B. y=(x−1)2−x2
C. y=a(x−1)2
D. y=2x2−1
2.把抛物线y=−2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是( )
A. y=−2(x+1)2+1
B. y=−2(x−1)2+1
C. y=−2(x−1)2−1
D. y=−2(x+1)2−1
3.若二次函数y=−2x2上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且
x1>x2>0，则( )
A. y1=y2
B. y1>y2
C. y1<y2
D. 无法比较
4.若函数y=(a2+a)x|a|+1+2x+m是二次函数，则a的值为( )
A. ±1
B. 1
C. −1
D. 1或0
5.将抛物线y=x2−4x−4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的
函数表达式为( )
A. y=(x+1)2−13
B. y=(x−5)2−3
C. y=(x−5)2−
13 D. y=(x+1)2−3
6.二次函数y=3x2−1图象的顶点坐标是( )
A. (0，−1)
B. (1，0)
C. (−1，0)
D. (0，1)
7.已知一个二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过(−2，6)，则下列点中不在该函数的
图象上的是( )
A. (2，6)
B. (1，1.5)
C. (−1，1.5)
D. (2，8)
8.抛物线y=−2x2−4x−5的顶点坐标是( )
A. (1，3)
B. (−1，3)
C. (1，−3)
D. (−1，−3)
9.抛物线y=x2−ax+a−2与x轴的交点个数是( )
A. 1或2
B. 2
C. 0
D. 1
10.用列表法画二次函数y=x2+bx+c的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值
以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：
20，56，110，182，272，380，516，650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是( )
A. 182
B. 274
C. 380
D. 516
二、解答题
11.已知二次函数y=5x2−12x+7．
(1)求自变量x=1时的函数值；
(2)求该二次函数的图象与x轴公共点的坐标．
12.已知二次函数y=x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过点A(1，0)与点C(0，−3)，
其顶点为P．
(Ⅰ)求二次函数的解析式；
(Ⅱ)若Q为对称轴上的一点，且QC平分∠PQO，求Q点坐标；
(Ⅲ)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是−4≤y≤2m，求m的值．
13.已知直线l：y=x，抛物线C：y=x2+bx+c．
(1)当b=4，c=1时，求直线l与抛物线C的交点坐标；
(2)当b=3，c=−4时，将直线l绕原点逆时针旋转15∘后与抛物线C交于A，B两
点(A点在B点的左侧)，求A，B两点的坐标；
(3)若将(2)中的条件“c=−4”去掉，其他条件不变，且2≤AB≤4，求c的取值
范围．
14.已知二次函数y=x2+2bx+c(b、c为常数)．
(Ⅰ)当b=1，c=−3时，求二次函数在−2≤x≤2上的最小值；
(Ⅱ)当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；
(Ⅲ)当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
【答案】
1. D
2. B
3. C
4. B
5. D
6. A
7. D
8. D 9. B 10. D 11. 解：(1)当x =1时，y =5−12+7=0，
∴自变量x =1时的函数值是0；
(2)令y =0，得5x 2−12x +7=0，
解得x 1=1，x 2=75，
∴该二次函数的图象与x 轴公共点的坐标为(1，0)和(75，0)
12. 解：(I )∵点A 、C 在二次函数的图象上，
∴ 1+b +c =0c =−3
， 解得 b =2c =−3
， ∴二次函数的解析式为：y =x 2+2x −3，
(Ⅱ)如图，二次函数的对称轴为：x =−1，
∵PQ //OC ，
∴∠PQC =∠QCO ，
∵∠OQC =∠QCO ，
∴OC =OQ ，
设Q (−1，t )，
∴ 1+t 2= 32，
解得：t =±2 ，
∴点Q 的坐标为(−1，2 2)或(−1，−2 2)；
(Ⅲ)当m≤x≤m+1时，y的最小值为−4，
∴m≤−1≤m+1，
即−2≤m≤−1；
①−2≤m<−3
2
，y max=m2+2m−3．
由m2+2m−3=2m，
解得m=3(舍去)或m=−3．
②当−3
2
≤m≤−1时，y max=(m+1)2+2(m+1)−3，由(m+1)2+2(m+1)−3=2m，
解得m=0(舍去)或m=−2(舍去)，
综上所述：m的值为−3．
13. 解：(1)∵b=4，c=1，
∴抛物线C：y=x2+4x+1．
解y=x
y=x2+4x+1得
x=−3+5
2
y=−3+5
2
或
x=−3−5
2
y=−3−5
2
，
∴直线l与抛物线C的交点坐标是(−3+5
2，−3+5
2
)或(−3−5
2
，−3−5
2
)；
(2)设直线绕原点逆时针旋转15∘得到直线AB，而直线l与x轴的夹角为45∘，
∴旋转后直线AB与x轴的夹角为60∘，
∴旋转后的直线AB的解析式为y=3x，
解y=3x
y=x2+3x−4
得
x=2
y=23或
x=−2
y=−23，
∴A(−2，−23)，B(2，23)；
(3)y=x2+3x+c y=3x
整理得，x2+c=0，
解得x=±−c，
∴A(−−c，−−3c)，B(−c，−3c)，
∴AB=(−c+−c)2+(−3c+−3c)2=4−c，
∵2≤AB≤4，
∴2≤4−c≤4，
∴−1≤c≤−1
4
．
14. 解：(Ⅰ)当b=1，c=−3时，二次函数解析式为y=x2+2x−3=(x+1)2−4，∴x=−1在−2≤x≤2的范围内，此时函数取得最小值为−4，
(Ⅱ)y=x2+2bx+3，的对称轴为x=−b，
①若−b<0，即b>0时，当x=0时，y有最小值为3，
②若0≤b≤4，即：−4≤b≤0时，当x=−b时，y有最小值−b2+3；
③若−b>4，即b<−4时，当x=−4时，y有最小值为8b+19，
(Ⅲ)当c=4b2时，二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为x=−b的抛物线，
①若−b<2b，即b>0时，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，
∴当x=2b时，y=(2b)2+2b×2b+(2b)2=12b2为最小值，
∴12b2=21，
∴b=7
2或b=−7
2
(舍)
∴二次函数的解析式为y=x2+7x+7，
②若2b≤−b≤2b+3，即−1≤b≤0，
当x=−b时，代入y=x2+2bx+4b2，得y最小值为3b2，
∴3b2=21
∴b=−7(舍)或b=7(舍)，
③若−b>2b+3，即b<−1，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小，
∴当x=2b+3时，代入二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2中，得y最小值为
12b2+18b+9，
∴12b2+18b+9=21，
(舍)，
∴b=−2或b=1
2
∴二次函数的解析式为y=x2−4x+16．
或b=−2，此时二次函数的解析式为y=x2+7x+7或y=x2−
综上所述，b=7
2
4x+16。