九年级数学下册《二次函数》PPT课件
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《二次函数》课件
一二
元次
二函
次数
方与
程
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的横坐
标即一元二次方程ax2+bx+c =0的根
抛物线
与x轴
的公共
点情况
有两个公共点⇔∆> 0
有一个公共点⇔∆= 0
没有公共点⇔∆< 0
利用图象法求一元二次方程的根
抛物线
拓 与直线
展 的公共
点个数
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标
羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x
=-2(x-10)2+200(0＜x＜20).
∴当x=10时，S有最大值，此时S=200.
∵200＞187.5，∴张大伯的设计不合理.
应当设计羊圈与墙垂直的两边长为10 m，
与墙平行的一边长为20m.
3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个
2
2
1 2 1
3 2
2
x - (2x-30) = − x +60x-450.
2
2
2
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作
DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F
处，DF交BC于点G.
(3) 当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
(1) 请你求出矩形羊圈的面积；
解：(1)由题意，得羊圈的长为25 m，
宽为(40-25)÷2=7.5(m).
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
《二次函数》PPT课件 图文
此式表示了两年后的产
即
y 20x2 40x 20
量y与计划增产的倍数x 之间的关系，对于x的 每一个值，y都有唯一 的一个对应值，即y是x
的函数。
式子①②③④有什么共同点?
y=6x2
d
1 2
n2
1 2
n
d
1 2
n
2
3n 2
y 20x2 40x 20
函数都是用自 变量的二次整
式表示的
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠ 0)的 函数叫做二次函数。其中a为二次项系数，b 为一次项系数，c为常数项。
解答过程
3、若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次 函数，求m、n的值。
解：根据题意得
①∵
2m+n=2②∵
2m+n=1
③∵
2m+n=2
④∵
2m+n=2
⑤∵
2m+n=0
m-n=1 m-n=2
m-n=2 m-n=0 m-n=2
∴ m=1
m=1
∴
n=0
n=-1
m=4/3
∴
n=-2/3
(2)现根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必 须是18平方米，在满足（1）的条件下，矩形的长 和宽各为多少米？
1、下列函数中，（x是自变量），哪些是二次 函数？为什么？
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4Байду номын сангаас
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=
，y
=2x2的图象.
①列表； ②描点； ③连线.
10
y
y=2x2
9
x
··· －2 －1
y =x2
8
0
1
2
···
7
6
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
=
−
-4
− .
如图所示
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
典例精析
已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
二次函数课件 二次函数PPT
y 2(x 2)2 3
向右平移
向下平移3
2个单位
个单位
y 2x2 向左平移 y 2(x 2)2 向上平移3 y 2(x 2)2 3
2个单位
个单位
（检测学生对该节课的掌握程度，并对该节课的内 容进行巩固。）
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我 们可以利用配方法推导出它的对称轴和 顶点坐标.
画图： 步骤：列表，描点，连线（光滑曲线）
y 3x2 y 3(x 1)2
老师指导学生按照步 骤画出图像，然后让 他们互相讨论，再做 总结，让学生在动手 操作中的过程中学到 知识，感受学习带来 的乐趣。
观察两个图形有什么关系？
老师给予适当的提示，引发学生思考，培养学生勤于思考的习惯。
函数 y 3x2 的图像
式是（A）
4
A、y 1 (x 2)2 2
4
B、y
1 4
(x
2)2
2
C、y 1 (x 2)2 2 4
D、y
1 4
(x
2)2
2
3、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图 象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴 整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平 移;当k<0时,向下平移)得到的.
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件(共18张PPT)
6050 0
60495
60480
6045 5
6042 0
60600 y/个
60500
60400
60300
60200
60100 60000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 14 x/棵
议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子 树的棵数之间的关系.
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
(2)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量 最多？X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值； (2)当t=3s时，求S的值； A
B
(3)当5s≤t≤8s时，求S 与t的函数关系式，并求
MP
S的最大值。
lD Q
C
R
做一做
何时橙子总产量最大
N
2y
xb
x
3
x
30
3
x2
30x
3 x 202
300.
4
4
4
或用公式 :当x
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
二次函数(共26张PPT)
零点
零点
零点是函数与x轴的交点，对应于抛物线与x轴的交 点。
美丽的桥梁
这张照片是一张桥梁夕阳美景的照片，代表着美丽 与自然的结合。
判别式
二次函数的判别式Δ=b²-4ac表示抛物线与x轴的交点个数。如果Δ>0，则有两个 交点；如果Δ=0，则有一个交点；如果Δ<0，则没有交点。
基本形式
1 标准式
f(x)=ax²
二次函数
二次函数在数学中是一个重要的概念，涉及到图像、最值、应用等方面。本 次26张PPT涵盖了二次函数的各个方面，希望能帮助大家更好地理解这个概念。
定义
二次函数是形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的 抛物线。
图像
二次函数图像
2 顶点式
f(x)=a(x-h)²+k
3 一般式
f(x)=ax²+bx+c
标准形式
定义
标准式是二次函数的一种形式， 其中二次项系数a=1，常数项 c=0。
公式
f(x)=x²
图像
开口朝上或下，左右对称
图像美学
蔚蓝海岸线和彩色天空构成完美背景，并营造出温 馨优美的氛围。
对称轴
二次函数的对称轴是过抛物线顶点的一条直线。对称轴可以是水平或垂直线。
顶点
顶点坐标
顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))
寻找顶点
找到对称轴，然后代入函数公式求得顶点坐标
ห้องสมุดไป่ตู้
美丽的山景
这幅精美的照片展现了一个山丘和群山的自然美景，使我们感叹自然之美。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
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有一次项和常数项，但不能没有二次项.
（4）x的取值范围通常情况是任意实数 .
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a≠0) a是二次项系数 b是一次项系数 C是常数项
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1
y = (60-x-4)(x-2) 1
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
x
3
y =πx2 y = 2(1+x)2 =2x2+4x+2 y= (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？ 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？ 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的，
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( ) ACy=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+
x2 1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C) A m，n是常数，且m≠0 B m，n是常数，且n≠0 C m，n是常数，且m≠n D m，n为任何实数
已知二次函数 y 2(x 1)2 4
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时，函数y有最小值为4
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ x取任意实数
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？ 例如：圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x
（cm)的函数关系是 y =πx2
例、下列函数中，哪些是二次函数？若是， 分别指出二次项系数，一次项系数，常数 项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t²
(4) y=(x+3)²-x²
(5) v=10πr²
先化简后判断
二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系数是 ________，常数项是______.
当k=_______时，函数y=(k-1)xk2+1+3x 是二次函数
正方形的边长是4，若边长增加x，则面积 增加y， 则y关于x的函数关系式是＿＿＿＿＿ ， 它是二次函数吗？
已知二次函数y= ax2+bx+c， 当x=0时，y= 3；当x= 2 时，y= -1； 当x= -2 时，y= 4.你能求出二次函 数的解析式吗？
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
(a，b，c是常数，a≠0 )
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b， c是常数，a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x 的 整式
（2）a，b，c为常数，且a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没
二次函数
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个 变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm ) y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月 增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的 利润为y y = 2(1+x)2
(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围 是一个矩形，周长为120m ， 室内通道的尺寸如图， 设一条边长为 x (m)， 种植面积为 y (m2).
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
注意:当二次函 数表示某个 实际问题时，还必须根据题 意确定自变量的取值范围.
（4）x的取值范围通常情况是任意实数 .
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a≠0) a是二次项系数 b是一次项系数 C是常数项
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1
y = (60-x-4)(x-2) 1
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
x
3
y =πx2 y = 2(1+x)2 =2x2+4x+2 y= (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？ 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？ 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的，
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( ) ACy=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+
x2 1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C) A m，n是常数，且m≠0 B m，n是常数，且n≠0 C m，n是常数，且m≠n D m，n为任何实数
已知二次函数 y 2(x 1)2 4
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时，函数y有最小值为4
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ x取任意实数
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？ 例如：圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x
（cm)的函数关系是 y =πx2
例、下列函数中，哪些是二次函数？若是， 分别指出二次项系数，一次项系数，常数 项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t²
(4) y=(x+3)²-x²
(5) v=10πr²
先化简后判断
二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系数是 ________，常数项是______.
当k=_______时，函数y=(k-1)xk2+1+3x 是二次函数
正方形的边长是4，若边长增加x，则面积 增加y， 则y关于x的函数关系式是＿＿＿＿＿ ， 它是二次函数吗？
已知二次函数y= ax2+bx+c， 当x=0时，y= 3；当x= 2 时，y= -1； 当x= -2 时，y= 4.你能求出二次函 数的解析式吗？
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
(a，b，c是常数，a≠0 )
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b， c是常数，a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x 的 整式
（2）a，b，c为常数，且a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没
二次函数
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个 变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm ) y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月 增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的 利润为y y = 2(1+x)2
(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围 是一个矩形，周长为120m ， 室内通道的尺寸如图， 设一条边长为 x (m)， 种植面积为 y (m2).
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
注意:当二次函 数表示某个 实际问题时，还必须根据题 意确定自变量的取值范围.