101弹塑性力学第一章

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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
5.1 力学中常用的物理量
1.标量：
只有大小、没有方向性的物理量，与 坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
2. 矢量：有大小，又有方向性的物理量 如矢径 r （或黑体）、位移 u 、力 F 等， 矢量的符号记法。 矢量也可以用它的标量表示：
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第一章 绪论
§1-1 弹塑性力学的任务和对象 §1-2 基本假设和基本规律
§1-3 弹性力学的研究方法
§1-4 弹性力学的发展梗概（略）
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识
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§1-1 弹塑性力学的任务和对象
1.1 任务： 弹塑性力学是固体力学的一个分支学科， 它是研究可变形固体当受到外部因素（如载荷 作用、温度变化、边界约束移动等）作用时， 研究变形固体的变化和内力，为保证变形体或 结构在使用周期内有足够的强度、刚度和稳定 性，提供设计和施工（制造）的依据。
i 1 j 1 3 3
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个 并在一起基矢量（并矢），称为二阶张量。矢 量可称为一阶张量，标量为零阶张量。
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5.2求和约定
在张量表示说明中，看到张量分量表示是 一组符号之和，很长，特别是高阶张量，为了 书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出 现两次时，则表示该项在该指标的取值范围内 遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的 下标为哑标。
1.2 研究的对象： 材料力学和结构力学是大学的主干课程， 它们也是固体力学中较基本的力学课程。在 许多工程设计中，工程师运用它们进行设计 和计算，但它们研究的对象单一：杆件型构 件或杆系结构，（一维问题），具有局限性。
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§1-1 弹塑性力学的任务和对象
1.2 研究的对象：
弹塑性力学研究的对象就广泛的多，除 了杆件外，二维、三维实体结构、板、壳结 构。所以弹塑性理论基本方程要复杂的多， 具有一般性。
u u1 e1 u 2 e 2 u 3 e3 u i ei
i 1 3
e3
r
e2
x1
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e1
x2
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
3. 张量：有大小，并具有多重方向性的量
如应力 、应变 ，张量的符号记法。
11e1 e1 12 e1 e 2 ...... 33 e3 e3 ij ei e j
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§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设 假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。 从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。
两个任意向量点积
a b (ai ei ) (b j e j ) ai b j ij ai bi
如果 ij 符号的两个指标中有一个指标和同 项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的 那个重指标替换成 ij 的另一个指标，而 ij 自 动消失。ij 也称为 换标符号。
5.3自由指标 一个表达式中如果出现非重复的标号或一 个方程每项中出现非重复的而且为相同字母的 指标，称为自由指标。
矢 径 r 的 表 示 ： 矢 径 的 三 个 分 量 为 ri (i=1,2,3)，用ri表示矢径； 同样位移矢量u ， 用ui 表示位移， ij 表示 应力 张量。
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§1-1 弹塑性力学的任务和对象
弹塑性力学是根据固体材料受外因 作用时所呈现的弹性与塑性性质而命名。 它们是固体材料变化过程的两个阶段。
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§1-1 弹塑性力学的任务和对象
当外部因素作用时，固体发生变形，如果当 外因去掉，变形体恢复原样（状），称固体 （材料）处于弹性性质， 单值；
eijk
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排列符号的作用可以简化公式书写，如： 1． 三阶行列式：
A11 A A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 eijk Ai1 A j 2 Ak 3 eijk A1i A2 j A3k A33
（共六项，三项为正，三项为负）。
弹塑性力学
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 绪论 应力分析 应变分析 应力应变关系 线弹性力学问题的基本 解法和一般性原理
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弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
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由 ij 定义9个 元素组成矩 阵为单位阵：
11 21 31
12 22 32
23 33 1 0
0 0 I 1
ij符号的应用
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5.4 克罗内克符号 ij （Kronecker delta）
定义：ij（i,j为自由指标）共有九个分量， i,j 各取1—3。
1 ij 0
当i j时 当i
（i, j 1,2,3) j时
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5.5 排列符号（levi－civtita）eijk
eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素。
定义：
1 若(i, j , k ) (1,2,3)或(2,3,1)或(3,1,2)时 正排列顺序 － 若(i, j , k ) (2,1,3)或（ ，2）或（3，1 1 1 3， 2， ）时 逆排列顺序 0 若i, j , k中任意两指标相同时
笛卡尔坐标系的 基向量的点积
ei e j ij
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1 ei e j 0
i j时 i j时
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由 ij 定义及哑标、自由标定义，可得：
ii 11 22 33 3



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§1-1 弹塑性力学的任务和对象
如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并 存在永久变形，变形固体在外因作用时已进 入塑性阶段， 曲线不是单值函数。


当然变形体常遇到在物 体某一局部处于弹性、而另 一区域处于塑性状态，弹塑 性交织在一起 。
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§1-1 弹塑性力学的任务和对象
ij a j i1a1 i 2 a2 i 3 a3 (i )( i ) ai ai
ik kj i11 j i 2 2 j i 3 3 j
1 0 i j i j ij
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
哑标如：
r r e1 r2 e2 r3e3 ri ei ri ei r e 1 j j
3
3
u u1e1 u2 e2 u3e3 ui ei ui ei u j e j
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
3．向量叉积的展开式：
a ai ei
3 r r1 e1 r2 e 2 r3 e3 ri ei i 1
x3
e3
r
e2
x1
e1
x2
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识 其中 e1、e2 、 3为坐标的基方向（单位向量）， e
r1、r2、r3为r在坐标轴的投影（分量），都有 x3 一个下标。
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参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册.第三版,高等教育
出版社.1990年
2.陆明万.罗学富,弹性理论基础,清华大学出版
社. 1990年
3.杜庆华.余寿文.姚振汉,弹性理论,科学出版社.
1986年
4.王龙甫,弹性理论.第二版,科学出版社. 1984年 5.吴家龙,弹性力学：高等教育出版社.2001年
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§1-2 基本假设和基本规律
假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内 各点的材料性质相同（力学特性相同），所 以从物体内任一部分中取出微元体进行研究， 它的力学性质代表了整个物体的力学性质。
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§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物 体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
2. 基向量的叉积：右手系