第八章 相量法 8-1 正弦电压和电流
第八章 相量法
ψ
0
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素 正弦量的三要素 正弦量的
i(t)=Imcos(ω t+ψ) 二,正弦量的三要素 1, 幅值 (振幅, 最大值 m , 振幅, 振幅 最大值)I
i
ωT=2π π
ψ
0
ωt
2, 角频率ω : 反映正弦量变化的快慢. ω =d(ω t+ψ )/dt , 反映正弦量变化的快慢. 单位时间内变化的角度 单位: rad/s,弧度 秒 单位: ,弧度/秒 周期T 完成一个循环变化所需时间, 周期 : 完成一个循环变化所需时间,单位 s. . 频率f 每秒钟完成循环的次数,单位: 赫兹) 频率 : 每秒钟完成循环的次数,单位:Hz(赫兹 . 赫兹
T i 2 ( t ) Rdt R W交 = ∫0
周期电压如图所示.求其有效值U. 例 周期电压如图所示.求其有效值 . u(t)/V 2 1 0 1 2 3 4 5 6 t/s
根据有效值的定义, 解 根据有效值的定义,有
1 U= T =
∫
T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 1 dt + ∫ 2 dt + ∫ 0 2 dt = 1.29 V ∫0 1 2 3
π
UL
I
相量图
或
U I= ωL
I
3,相量形式: ,相量形式: jω L
+
UL
U L = jωLI = jX L I
XL=ω L,称为感抗,单位为 (欧姆 欧姆) ,称为感抗,单位为 欧姆
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相量模型 4,感抗的物理意义 ,
U (1) 表示限制电流的能力; I = 表示限制电流的能力; ωL (2) 感抗和频率成正比 ω =0 直流(XL=0) , ω→∞开路; 感抗和频率成正比, 直流( →∞开路 开路; XL
电路原理(邱关源)习题答案第八章 相量法
第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。
这就是用相量分析电路的理论根据。
8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=；（4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。
解：（1）a j F =--=551θ∠25)5()5(22=-+-=a13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限)故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限）（3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F（4） 9010104∠==j F（5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a += 12arctan a a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a =需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。
8－2 将下列复数化为代数形式：（1） 73101-∠=F ；（2） 6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6） 135101-∠=F 。
电路原理 第八章_相量法
复数 复数
—
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法(续）
—
已知正弦量 220√ 2 cos ( ω t－35° ) 有效值相量 最大值相量 220/ －35° — 220√ 2 /－35°
已知 相量 10/45° and 正弦量的角频率ω 相应的正弦量 — 10 √ 2 cos( ωt + 45° )
0 ωt1
ωt2
ωt
φ
图8-5 用旋转矢量表示的正弦量
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法 F = ⎪F⎪e j(ω t + ϕ )
ejθ = cosθ + jsinθ
设：有一复数
欧拉公式
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ) + j⎪F⎪sin(ωt +ϕ) Re [F] = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ ) Im [F] = ⎪F⎪sin(ωt + ϕ )
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第8章
三、旋转因子
/ϕ 旋转因子: e jϕ = 1 — A = ⎪A⎪ejα Aejϕ = ⎪A⎪ejαejϕ = ⎪A⎪ej(α+ϕ ) ejπ/2 = j1 e－jπ/2 = − j1
+j
Aejϕ
ϕ α
0
A
+1
e－jπ = − 1
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第8章
ϕ 12 = ϕ 1－ ϕ 2 —— u1 超前于 u2 的相角 ϕ 21 = ϕ 2－ ϕ 1 —— u2 超前于 u1 的相角
（完整版）第八章相量图和相量法求解电路
（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路第⼋章相量图和相量法求解电路⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。
5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。
⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。
1. 复数的四种表⽰形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三⾓形式：两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。
若则即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。
图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。
若则即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。
除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转⼀个⾓度θ，⽽模不变，如图 8.4 所⽰。
相量法
▪幅值、初相、角频率可确定一个正弦量，称为 正弦量的三要素。
二、同频率正弦量的比较 例：
u1(t)=U1mcos(t+1)
u2(t)=U2mcos(t+2)
(1) 相位差：相角或相位之差，也称相位角差。 用表示， = (t+1) - (t+2) = 1 - 2 相位差在任何瞬间都是一个常数，即等于它们的 初相之差，而与时间无关。 相位差与计时起点的选择无关。
如图5-2（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
三、正弦电流、电压的有效值 1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直 流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周 期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有 效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效 值用大写字母I、U表示。
部分别相加或相减。
复数的加减运算可以用平行四边形法则在复平 面上用作图法来进行。
(3)乘法运算 ：用极坐标形式或指数形式来进行。 A• B ab(a b ) abe j(a b )
即：复数相乘，其模相乘，其辐角相加。 (4)除法运算 ：用极坐标形式或指数形式来进行。
A/ B a / b(a b ) a / be j(a b ) 即：复数相除，其模相除，其辐角相减。 (5)旋转因子：复数ej称为旋转因子。
同理：
U
1 2
Um
0.707 U m
U m 2U
▪通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。
§8-3 相量法的基础
相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电 路的微分(积分)方程转化为代数形式的方程，而这 些方程在形式上与电阻电路的方程相类似，从而 使正弦激励下的电路的分析和计算大大简化。
邱关源《电路》第五版 第八章 相量法
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
第08章 相量法
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路分析相量法
量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
第8章( 8.1-8.3) 相量及相量分析法
例
i(t)
+ u(t) -
R
已知： u( t ) U m sin(wt y u ) 解: L
求：稳态解 i(t)
1. 经典法: 一阶常系数 di(t ) Ri (t ) L U m sin(wt y u ) 线性微分方程 dt 自由分量(齐次方程通解)： A e-(R/L) t
全解：
第8章 相量及相量分析法 8.1-8.3 重点：
复数及其运算 相位差
相量和相量图 正弦量的相量表示
电路元件VCR 的相量形式
电路定律的相量形式
8 .1 .1 正弦量的基本概念 正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
u (t ) 2U cos(wt y ) U Uy
例1. 已知
解： I 10030o A
o
i 141.4 cos(314t 30 ) A u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示 i, u 。
U 220 60o V
14
例2. 已知 I 5015o A, f 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。
y
Re
a
Re
A a jb
A A e jy | A | y
11
2. 复数运算
(1)加减运算——直角坐标
(2) 乘除运算——极坐标 3. 旋转因子
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 A2 A1 A2 y 1 y 2
复数 e jy = cos y + jsin y = 1∠y A e jy A逆时针旋转一个角度y ，模不变
电路课件 电路08 相量法32页PPT
工程中以频率区分，如音频、高频、甚高频电路。
φi是在t=0时刻相位，称初相位(角)，简称初相：
(ωt+φi)|t=0 =φi 单位用弧度或度，主值范围内取值，|φi|≤180°
初相与计时零点有关。任一正弦量初相允许任意指定， 但一个电路许多相关正弦量，只能相对共同计时零点 确定各自相位。
正弦量三要素是正弦量间进行比较和区分的依据。
图8-4正弦电流i，在参考方向下，数学表达式定义：
i=Imcos(ωt+φi)
(8-1)
3个常数Im、ω和φi称正弦量三要素。
Im称正弦量振幅，是正弦量在整个振荡过程中达到最
大值，即cos(ωt+φi)=1时，有 imax=Im
也是正弦量极大值。
cos(ωt+φi)=-1时，
有最小值(也是极小值)：
复数相加和相减运算可按平行四边形法在复平面 上用向量相加和相减求得，图8-2。
19.04.2020
第八章 相量法
8-1 复 数
4
两个复数相乘
复数相乘用指数形式方便： F1F2 =|F1|ejθ1|F2|ejθ2 =|F1||F2|ej(θ1+θ2)
所以： |F1F2|=|F1||F2|
arg(F1F2)＝arg(F1)+arg(F2) 两个复数相乘的代数形式：
F 13 j4 5 5.1 3 0 .5 1.1 8 0 8 .5 1.9 7 1 F 2 1 1 0 31 5 1 0 35
19.04.2020
第八章 相量法
8-1 复 数
9
8-2 正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称正弦量。
正弦量数学描述，可用sine函数，也可用cose函数。 本书用cose函数。
第八章相量法
A 可在复平面中画出
佛山科学技§术学8院-1 复数
现代制造装备工程技术开发中心
（3）直角坐标和极坐标间转换
A = a + jb = a2 + b2 tan-1 a b
A = A φ = A cosφ + j A sinφ
例： A = 1 + j = 245 A = 230 = 2cos30 + j 2sin30
B b1 + jb2
b12
+
b2 2
b2 1
+
b2 2
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三，复数的旋转因子
（1） 含义： A • e jΨ = A （φa + Ψ） 复数模不变，将此复数向量逆时针旋转
一个角度
A • e jΨ
A
φa
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佛山科学§技术8学-院2 正弦量
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二、正弦 、 （以正弦 为例）
1、正弦 ：一种特殊的、周期的、交变的电流
2、正弦 表示方法：
（1）数学式： i = Imcos(ωt + φi )
说明： ——正弦电流的最大值，振幅 ——角频率（反映正弦量变化快慢） ——周期 ——频率
乘法：模相乘， 角相加。
A = A φa
说明：
AB = A B φa + φb
B=
B
Байду номын сангаасφb
A
=
A φa - φb
B B
AB = (a1 + ja2)(b1 + jb2) = (a1b1 - a2b除2)法+ ：j(模a1b相2 +除a，2b1)
第8章 相量法
T
0
i (t ) Rdt I RT
2 2
1 T 2 I 0 i (t )dt T
(1)式中代入
(1)式
i(t ) I m cos( t i ) 得
Im I 2
i(t ) I m cos( t i )
2.角频率（周期T、频率f）：表示变化快慢 Angular frequency(period, frequency) 定义：相角(t+i)随时间变化的速度（rad/s）
The Phasor
相量法即用复数为工具来表示正弦量。 正弦量 相量(复数)
变换的思想
相量是一个包含正弦量“幅值”和“相 位”信息的复数。
一、复习复数：
1.复数的表示形式 (1)代数形式 b 0
+j
F
r
θ
a +1
F a jb
(2)三角形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
F r
a b
u(t ) 2U cos( t u )
X Y 53.1
xy 3 X Y
4
2.复数的代数运算 相加(减):使用代数形式
(a jb) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
相乘（除）:使用指数形式
F F1F2 r1r2e
j (1 2 )
F1 r1 j (12 ) F e F2 r2
二．正弦信号的相量表示
根据欧拉公式:
e
jx
cos x j sin x
j (t )
对于同频 正弦量而 言相同
u 2U cos ( t ) Re[ 2Ue
时域 一 一 对 应
] Re[ 2Ue j e jt ]
第08章相量法
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
电路理论课后习题解答08
电路理论课后习题解答08第八章相量法8-1如果已知I1？？5秒？314t？60?? a、 i2？10罪？314t？60?? a、 i3？4cos？314t？60?? a、（1）写出上述电流的相量并绘制相量图；（2） I1和I2之间以及I1和I3之间的相位差；（3）绘制I1的波形图；(4)若将i1表达式中的负号去掉将意味着什么？(5)求i1的周期t和频率f。
解决方案：（1）I1？？5秒？314t？60 5秒？314t？60?? 180度？A.5秒？314t？120度？i2？10si？n3t1？4.因此，I1、I2和I3的相量表达式为.??6?041ts?3?1?0coo30i1?52??120a,i2?o.102??30a,i3?o.42?60aO其相量图如图（a）所示5+ji1?t?060?120??0??30+1-2.5-5t(a)题解8-1图(b)(2)? 12?? 1.2.90度？13?? 1.3.有关180o（3）波形图，请参见图（b）(4)意味着i1的初相位超前了180o，即i1的参考方向反向。
(5)t?220ms，f?1t?50hz8-2如果已知具有相同频率的两个正弦电压的相量为U1？50? 30，u2？？100?? 150伏o..其频率f?100hz。
求：(1)写出u1,u2的时域形式；(2)u1与u2的相位差。
解决方案：（1）OU1？T502cos？2.英尺？30度？？502cos？628t？30点？五、u2?t1002cos?2?ft?150.o.o??1002cos?628t?150?180oo??1002cos?628t?30o?v（2） u1？50? 30岁，u2？100? 30ov，所以相位差是？？0，即它们是同相的。
8-3已知三个电压源的电压分别为：ua?2202cos??t?10??v，乌布？2202cos？？T110? 五、加州大学？2202cos？？T130?? v、求：（1）三个电压之和；(2)uab,ubc；(3)画出它们的相量图。
相量法
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
高等教育出版社第六版《电路》第8章_相量法讲解
定义：随时间按正弦规律变化的电压和电流，称为正弦量。 i
&#， i(t) Im cos(t i )
注意：方向是随时间在周期性的变化，所以更要标定参考方向。 5
1、变化的快慢： ①频率f：每秒变化的次数。单位：Hz ②周期T：变化一次所需的时间。单位：s ③角频率ω：每秒变化的弧度数。单位：rad/s
一般地 i 2I cos(t i )A
可用相量表示为： I I e ji I iA
9
二、相量和正弦量的比较：
①联系： 实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应。
欧拉公式：e j cos jsin，
i 2I cos(t i ) Re[ Re[ 2 I eji ejt ] Re[
F
其中 F ： 模、§幅8值-1 复数： 幅角
b
四者之间有： a F cos b F sin
F a2 b2
arctan b
a
a
请注意：上式与教材P202倒数第二行的差别。
为正确判定θ所在的象限，我们将a、b的正负号分别
保留在分母分子中，而不用小括号。
例：
F
4
j4，
arctan
4 4
45
(第四象限)。
意
②正弦量的一个重要性质：
正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频 正弦量的代数和等，结果均为同频正弦量。
8
§8 - 3 相量法的基础(****)
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。 例如：
正弦量 i 220 2 cos(314t 30 )A
可用相量I 220 ej30 A表示。
例 u(t) Um sin(t u )
电路分析第08章.相量法
w1 w2
不能比较相位差
(4) i1(t ) 5 cos(100 t 300 ) i2 (t ) 3 cos(100 t + 300 )
i2 (t ) 3 cos(100t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
则:
A1 A2
A1 e jq1
A2 e jq2
A1
A e j(q1 +q2 ) 2
A1 A2 q1 + q 2 乘法：模相乘，幅角相加。
A1 A2
| A1 | θ 1 | A2 | θ 2
| A1 | e jθ1 | A2 | e jθ 2
| A1 | e j( θ 1θ 2 ) | A2 |
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率(angular frequency)ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w
d dt
2
f
2
T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
i
T
(3) 初相位(initial phse angle)qi
反映正弦量的计时起点时 的相角，常用角度表示。
qi
Im O
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，幅角相减。
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(3) 旋转因子：
复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q
Im
A• ejq
q A
0
Re
A• ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故