洞察高考43个热点《热点七 考查函数零点区间的判断及方程根的问题》课件 理 新人教版
合集下载
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
《函数的零点》课件
《函数的零点》PPT课件
函数的零点是函数图像与横轴相交的点，它们在数学和实际应用中扮演着重 要角色。本课程将探索不同方法寻找和应用函数的零点。
什么是函数的零点
函数的零点是指函数图像与横轴相交的点。它们表示使函数取值为零的输入 值，有着重要的数学和实际意义。
如何寻找函数的零点
1
二分法
通过不断将区间一分为二来逼近零点。
2
牛顿迭代法
利用切线逼近零点，快速收敛。
3
增量法
通过不断加减零点附近的增量来逼近零点。
实用的寻找零点的方法
割线法
结合了二分法和牛顿迭代 法的优点，快速且稳定。
区间估计法
通过划定区间来估计零点 的位置，有效节省计算资 源。
图像法
观察函数图像上横轴与函 数相交的点，直观且易于 理解。
零点的存在定理
1 布尔查诺定理
指出了函数连续性和 函数值异号的关系， 确保在某个区间内存 在至少一个零点。
2 柯西中值定理
3 零点存在理的
利用导数存在的条件，
应用
确保在某个区间内存
在证明上述定理的基
在至少一个零点。
础上，可以推导和应
用更多零点存在定理。
应用领域
工程计算
寻找函数零点可以解决各种 工程设计和优化问题。
物理计算
零点与物理方程的交点提供 了物理问题的解。
金融计算
函数零点可以用于金融预测 和风险管理。
其他应用领域
数据分析
寻找函数的零点可以解 决大量的数据分析问题。
生物学
零点分析在生物学中用 于理解生物过程和解决 生物问题。
化学计算
函数零点在化学计算中 起着重要作用，支持反 应和物质计算。
方程的根与函数的零点 课件
如y＝图|lo所ga示x|(．0<a<1)的图象如图所示．
由图可知，两函数的图象有两个交点，
由图可知，两函数的图象有两个交点，
所以函数 所以函数
yy＝＝22xx||llooggaaxx||－－11
有两个零点． 有两个零点．
[解] 由 f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐标系中分别画出 y＝|2x－2|与 y＝b 的图象，如图所示．
已知 0<a<1，则函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
思路探究：
构造函数fx＝a|x|0<a<1 与gx＝|logax|0<a<1
→
画出fx与 gx的图象
→
观察图象得 零点的个数
B [函数 y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方 程 a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数 f(x) ＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点 的个数． 画出函数 f(x)＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的 图象，如图所示，观察可得函数 f(x)＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象 的交点的个数为 2，从而函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为 2.]
判断函数零点所在的区间
(1)函数 f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )
A．(3,4)
B．(2，e)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的零点问题PPT课件
(2) f (2) 0
f (1) 0
f (0) 0,解得a的取值范围是（0，1）. 3
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The
More You Know, The More Powerful You Will Be
函数与方程
函
数 零
函数
使 f ( x) 0的实数 x
点
数形结合
图象 与x 轴交点的横坐标
零点的存在性定理
f (x)在a,b上连续
f ( x)在 a, b上单调
f (a) f (b) 0
f ( x)在a, b 有唯一
零点
一、直接求函数的零点
求根定零点
[例1](2012湖北)函数 f (x) x cos x2 在区间[0，4]
函数的零点问题
高考地位
函数零点是新课标教材的 新增内容之一,纵观近几年全国 各地的高考试题,经常出现一些 与零点有关的问题,它可以以选 择题、填空题的形式出现，也 可以在解答题中与其它知识交 汇后闪亮登场，可以说”零点” 成为了高考新的热点、亮点和 生长点.
方程 方程 f ( x) 0的实数根
上的零点的个数为
(C )
A.4 B.5
C.6
D.7
f (x) x cos x2 0 x 0或 cos x2 0
x 0或2x k , k .
x
0或x
k
2
0, 2
. k
0,1, 2,3
24
B
二、确定零点的大致位置
异号定零点位置
A
f (a) f (b) 0 f (b) f (c) 0 [练习]若函数 f (x)的零点与g( x) 4x 2x 2的零点
f (1) 0
f (0) 0,解得a的取值范围是（0，1）. 3
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The
More You Know, The More Powerful You Will Be
函数与方程
函
数 零
函数
使 f ( x) 0的实数 x
点
数形结合
图象 与x 轴交点的横坐标
零点的存在性定理
f (x)在a,b上连续
f ( x)在 a, b上单调
f (a) f (b) 0
f ( x)在a, b 有唯一
零点
一、直接求函数的零点
求根定零点
[例1](2012湖北)函数 f (x) x cos x2 在区间[0，4]
函数的零点问题
高考地位
函数零点是新课标教材的 新增内容之一,纵观近几年全国 各地的高考试题,经常出现一些 与零点有关的问题,它可以以选 择题、填空题的形式出现，也 可以在解答题中与其它知识交 汇后闪亮登场，可以说”零点” 成为了高考新的热点、亮点和 生长点.
方程 方程 f ( x) 0的实数根
上的零点的个数为
(C )
A.4 B.5
C.6
D.7
f (x) x cos x2 0 x 0或 cos x2 0
x 0或2x k , k .
x
0或x
k
2
0, 2
. k
0,1, 2,3
24
B
二、确定零点的大致位置
异号定零点位置
A
f (a) f (b) 0 f (b) f (c) 0 [练习]若函数 f (x)的零点与g( x) 4x 2x 2的零点
方程的根与函数的零点课件
(2)判别式法：可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法 来判断根的个数．
(3)图象法：指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决． (4)单调性法：常规方法不易判断时，可利用函数的单调性来判断函数
零点的个数．
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析： (1)∵f(6)＝lg 6－96＝lg 6－23<0， f(7)＝lg 7－97<0，f(8)＝lg 8－98<0， f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－190>0， ∴f(9)·f(10)<0. ∴f(x)＝lg x－9x的零点的大致区间为(9,10)．
A．(6,7)
B．(7,8)
C．(8,9)
D．(9,10)
(2)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求 a，b，c 的值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根所在的
区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
(2) 已 知 函 数 f(x) 在 区 间 [a， b] 上 单 调 且 图 象 连 续 ， 且
f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在区间(a，b)上( )
A．至少有三个零点
B．可能有两个零点
C．没有零点
D．必有唯一零点
[思路探究] 1．函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？ 2．函数在区间(a，b)上存在唯一零点应具备什么条件？
(3)图象法：指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决． (4)单调性法：常规方法不易判断时，可利用函数的单调性来判断函数
零点的个数．
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析： (1)∵f(6)＝lg 6－96＝lg 6－23<0， f(7)＝lg 7－97<0，f(8)＝lg 8－98<0， f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－190>0， ∴f(9)·f(10)<0. ∴f(x)＝lg x－9x的零点的大致区间为(9,10)．
A．(6,7)
B．(7,8)
C．(8,9)
D．(9,10)
(2)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求 a，b，c 的值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根所在的
区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
(2) 已 知 函 数 f(x) 在 区 间 [a， b] 上 单 调 且 图 象 连 续 ， 且
f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在区间(a，b)上( )
A．至少有三个零点
B．可能有两个零点
C．没有零点
D．必有唯一零点
[思路探究] 1．函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？ 2．函数在区间(a，b)上存在唯一零点应具备什么条件？
方程的根与函数的零点 课件
因为f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)内必有根,又f(2)=-4<0,
f(4)=6>0,所以在(2,4)内必有根.
结合选项可判断选A.
方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x的图象, 由图象知h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)= ln(x-1)+0.01x有且只有一个零点.
类型三 确定函数零点所在的区间
【典例】1.函数f(x)=lnx- 2 的零点所在的大致区间是 ( )
【总结提升】 1.函数f(x)在区间[a,b]上的零点的情况 (1)有唯一零点: 此时f(x)在[a,b]上与x轴有唯一公共点或f(x)在[a,b]上满足以下 三条: ①图象是连续不断的一条曲线; ②f(a)·f(b)<0; ③f(x)在[a,b]上是单调函数.
(2)有多个零点:
此时f(x)在[a,b]上满足情况(1)中的①且图象多次与x轴相交.
和b的值.
【解题探究】1.典例1中要求函数的零点,只要使该函数的值怎样? 提示:令y=4x-2=0,求解方程即可. 2.典例2中函数的零点2如何利用? 提示:将2代入该函数,此时函数值等于0,解方程即可. 3.典例3中的两个零点与a,b有何关系? 提示:2和3是方程x2-ax-b=0的两根,则有2+3=-(-a),2×3=-b.
幂函数y=xα
α>0 α≤0
零点(或零点个数)
一个零点
b k
无零点
两个零点 b
2a
一个零点 b
2a
无零点 无零点 一个零点1 一个零点0 无零点
知识点2 函数零点的判断 观察图形,回答下列问题:
f(4)=6>0,所以在(2,4)内必有根.
结合选项可判断选A.
方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x的图象, 由图象知h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)= ln(x-1)+0.01x有且只有一个零点.
类型三 确定函数零点所在的区间
【典例】1.函数f(x)=lnx- 2 的零点所在的大致区间是 ( )
【总结提升】 1.函数f(x)在区间[a,b]上的零点的情况 (1)有唯一零点: 此时f(x)在[a,b]上与x轴有唯一公共点或f(x)在[a,b]上满足以下 三条: ①图象是连续不断的一条曲线; ②f(a)·f(b)<0; ③f(x)在[a,b]上是单调函数.
(2)有多个零点:
此时f(x)在[a,b]上满足情况(1)中的①且图象多次与x轴相交.
和b的值.
【解题探究】1.典例1中要求函数的零点,只要使该函数的值怎样? 提示:令y=4x-2=0,求解方程即可. 2.典例2中函数的零点2如何利用? 提示:将2代入该函数,此时函数值等于0,解方程即可. 3.典例3中的两个零点与a,b有何关系? 提示:2和3是方程x2-ax-b=0的两根,则有2+3=-(-a),2×3=-b.
幂函数y=xα
α>0 α≤0
零点(或零点个数)
一个零点
b k
无零点
两个零点 b
2a
一个零点 b
2a
无零点 无零点 一个零点1 一个零点0 无零点
知识点2 函数零点的判断 观察图形,回答下列问题:
高考文科数学专题复习《函数的零点PPT 课件
-10
1
(1,0)
一个零点 x=1
-12
-2
x2-2x+3=0 无实数根 y=x2-2x+3
4 -14
-24
-16
没有 交点
没有 零点
-15
-10
-5
-18 1
-6
结 论:函数的零点就是方程f(x)-2=-200的实数根，也就是函数y=f(x)的 --48 图象与x轴的交点的横坐标 -6
-10
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的
（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点
函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点
f(a)·f(b)<0 f(a)·f(b)<0。
f(a)·f(b)>0
（3）函数y=f(x)在单调区间(a,b)内有零点 f(a)·f(b)<0
a
a
b
b
a
b
析:
aRa0f (x)2x3判断零点是否[在 1,1]
2
a
x 1 b
a
-2
a b
b
注意:
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线：
（1） f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间
(a,b)内有零点；
（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点
f(a)·f(b)<0。
2
a
a
-10
b
-5
a
x 1 b
b
-2
（1）f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；
“f(x)在区间D上有不动点”当且仅当“F(x)=f(x)-x在区间D上有零点”
函数的零点与方程的解ppt课件
二、函数零点的性质及求法
【强调3】f(a)f(b)<0（异号性）
对于[a,b]上的函数f(x)，“异号”和“连续”能够证明在 （a,b）内存在零点。 “连续不异号”：不能说明是否有零点 “异号不连续”：不能说明是否有零点 “不异号不连续”：不能说明是否有零点
二、函数零点的性质及求法
函数零点的求法：
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
二、函数零点的性质及求法
零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线， 并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一 个零点。
函数零点个数的判定： （3）利用单调性和奇偶性综合判断 已知，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x+x, 则函数y=f(x)有几个零点？
三、课堂小结
把这里的实数a与b都叫做相应区间上的端点。
一、函数零点的概念
对于一般函数y=f(x)，我们把f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x)的零点。
【强调】函数的零点不是一个点，而是一个实数。
一、函数零点的概念
【练习1】函数f(x)=x2-5x+6的零点为： A. 2，3 B.（2，0），（3，0） C.（2，3） D. -2，-3
即存在
，使得
，这个c也就是方程f(x)=0的解。
二、函数零点的性质及求法
【强调1】连续不断（连续性） 【练习】（多选）下列函数中是连续函数的是：
二、函数零点的性质及求法
【强调2】闭区间[a,b]
二、函数零点的性质及求法
高中数学方程的根与函数的零点课件必修一
零点的判定
零点存在性定理
如果函数在区间两端取值异号，则函数在这个区间内至少有一个零点。
零点存在性的其他判定方法
通过导数、中值定理等工具判定零点的存在性。
零点与函数图像的关系
01
函数图像与x轴交点的横坐标即为 函数的零点。
02
通过观察函数图像的变化趋势， 可以推断出函数零点的个数和位 置。
03
一元二次方程的根与函数的 零点
单调性
利用函数零点将函数图像 分割成若干部分，研究各 部分函数的单调性。
奇偶性
通过分析函数在零点附近 的函数值的正负，判断函 数的奇偶性。
周期性
利用函数零点确定函数的 周期，研究函数的周期性 质。
在解决实际问题中的应用
经济问题
利用函数零点确定经济活动中供需平衡的点，分析市场价格变化 。
物理问题
利用函数零点确定物理量之间的关系，解决物理问题中的临界点和 极值问题。
05
02
解析1
通过因式分解法，将方程化为$(x - 3)(x + 1) = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$。
04
解析2
令$f(x) = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$。
06
解析3
通过零点存在定理，由于函数在区间端点的函 数值异号，即$f(0) > 0$，$f(1) < 0$，故函 数在区间$(0,1)$上存在零点。
高中数学方程的根与函数的零点课件必修一
目录 Contents
• 引言 • 方程的根与函数的零点概述 • 一元二次方程的根与函数的零点 • 函数零点存在定理与函数零点定理 • 函数零点与方程根的应用 • 习题与解答
方程的根与函数的零点ppt文档
即时训练1-1:判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=x2+7x+6; (2)f(x)=1-log2(x+3);
解:(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0, 得x=-1或x=-6, 所以函数存在零点,零点是-1,-6. (2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1, 所以函数存在零点,零点是-1.
探究2:函数y=f(x)在[a,b]上连续不间断,当f(a)f(b)<0时,函数零点个数 是否唯一? 答案:不唯一.只有函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数时函数)函数f(x)=log2(x-1)的零点是( D ) (A)(1,0) (B)(2,0)
(C)1
(A)没有零点
(B)有无数个零点
(C)有两个零点 (D)有一个零点
解析:(1)当x2+4x+4=0时,即(x+2)2=0,x=-2.
因为-2∈[-4,-1],所以-2是函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上的一 个零点.故选D.
(2)已知函数f(x)= 3 x , x 1 , 则函数y=f(x)+x-4的零点个数为( )
解:(2)由已知得 f(3)=0 即 3a-b=0,即 b=3a. 故 g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1). 令 g(x)=0,即 ax(3x+1)=0, 解得 x=0 或 x=- 1 .
3 所以函数 g(x)的零点为 0 和- 1 .
3
方法技巧 (1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解,求解时注意函数 的定义域. (2)已知x0是函数f(x)的零点,则必有f(x0)=0.
方程的根与函数的零点 教学PPT课件
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
y
.
.
2
.1
.
－1 0 1 2 3 x －1
－2
. －3
－4
.y
.
2
1. .
. －1 0 1 2
x
y
.5 .
.
3 2
4
.
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1=－1,x2=3
无实Байду номын сангаас根
函数y= ax2 +bx+c (a>0)的图象
x1 0 x2 x
0 x1 x
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
无交点
函数零点的定义：零点是点吗？
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的 实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
4. 求函数零点个数问题可以转化为求 两函数图象的交点个数问题.
3.1.1
解方程
求下列方程的根．
（1） 3x 2 0 ；
（2） x2 5x 6 0 ；
（3） x2 2x 3 0 .
思考：方程与函数有怎么样的关系？ 方程的根与函数图象有怎么样的联系？
一元一次方程与一元一次函数
y
0
x
思考：一元二次方程与一元二次函数有什么关系？
方程
函数
函 数 的 图 象
函数y=f(x)有零点
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1－ 16
3
ห้องสมุดไป่ตู้
，0
命题研究：1.以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点
所在的区间.
2.以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系.
【押题 13】 已知函数 f(x)＝2x＋x， g(x)＝x－
x， h(x)＝log2x
－ x的零点分别为 x1，x2，x3，则 x1，x2，x3 的大小关系是 ( A．x1＞x2＞x3 C．x1＞x3＞x2 B．x2＞x1＞x3 D．x3＞x2＞x1 )．
就是以数形结合为指导的一种解题策略．
图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题
比直接计算求解更能抓住问题的实质、简捷迅速地得到结
果．不过，运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程 曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象会导致错误的选 择．
【例17】► (2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零
答案:
D [由 f(x)＝x＋2x＝0，得－x＝2x，则其零点 x1＜0；由 x＝0，得 x＝ x，则其零点 0＜x2＜1；由 h(x)
g(x)＝x－
＝log2x－ x＝0， x＝log2x， 得 则其零点 x3＞1.因此 x1＜x2＜x3.]
[押题14]
log (x＋1)，x＞0， 2 已知函数f(x)＝ －x2－2x，x≤0，
若函数g(x)＝f(x)
－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析 函数 f(x)的图象如图所示，函数 f(x)＝－x2－2x(x≤0)的 最大值是 1，故只要 0＜m＜1 即可使方程 f(x)＝m 有三个相异 的实数根，即函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点． 答案 (0,1)
专题一 高考中选择题、
填空题解题能力大突破
考查函数零点区间的判断及方程根的问题
(数形结合法)
数形结合法：根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图
形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形 结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意 义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、 形状、位置、性质等，综合图象的特征得出结论．图形化策略
f(x)＝m(m∈R)
x1x2x3的取值范围是________．
解析
f(x)＝(2x－1)*(x－1)
(2x－1)2－(2x－1)(x－1)，x≤0， ＝ (x－1)2－(2x－1)(x－1)，x＞0， 2x2－x，x≤0， 即f(x)＝ 2 －x ＋x，x＞0.
如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1， x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0 1 ＜m＜4.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3. 当x＞0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，
x2＋x3 1 2 ∴0＜x2x3＜ ，即0＜x2x3＜4； 2
1 2 2x －x＝ ， 1－ 3 4 当x＜0时，由 得x＝ 4 ， x＜0， 1－ 3 3－1 ∴ 4 ＜x1＜0，∴0＜－x1＜ 4 . 3－1 1－ 3 ∴0＜－x1x2x3＜ 16 ，∴ 16 ＜x1x2x3＜0. 答案
y＝kx－2的图象恒过点(0，－2)，所以两个函数图象有两 个交点时，0＜k＜1或1＜k＜4. 答案 (0,1)∪(1,4)
【例19】►
(2012· 福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝ 设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程 恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则
a2－ab，a≤b， 2 b －ab，a＞b.
点个数是(
A．0 解析 法一
)．
B．1 C．2 D．3
因为f(0)＝1＋0－2＝－1，
f(1)＝2＋1－2＝1，即f(0)·f(1)＜0， 且函数f(x)在(0,1)内连续不断，故f(x)在(0,1)内的零点个数 是1. 法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中作出两函数的
图象如图所示，可知B正确． 答案 B
|x2－1| 【例18】► (2012· 天津)已知函数y＝ 的图象与函数y＝kx x－1 －2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 ________． 解析 去掉绝对值转化为分段函数后，作出图象利用数形
结合的方法求解．因为函数
|x2－1| x＋1，x≤－1或x＞1， y＝ ＝ 根据图象易知，函数 －x－1，－1＜x＜1， x－1
3
ห้องสมุดไป่ตู้
，0
命题研究：1.以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点
所在的区间.
2.以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系.
【押题 13】 已知函数 f(x)＝2x＋x， g(x)＝x－
x， h(x)＝log2x
－ x的零点分别为 x1，x2，x3，则 x1，x2，x3 的大小关系是 ( A．x1＞x2＞x3 C．x1＞x3＞x2 B．x2＞x1＞x3 D．x3＞x2＞x1 )．
就是以数形结合为指导的一种解题策略．
图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题
比直接计算求解更能抓住问题的实质、简捷迅速地得到结
果．不过，运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程 曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象会导致错误的选 择．
【例17】► (2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零
答案:
D [由 f(x)＝x＋2x＝0，得－x＝2x，则其零点 x1＜0；由 x＝0，得 x＝ x，则其零点 0＜x2＜1；由 h(x)
g(x)＝x－
＝log2x－ x＝0， x＝log2x， 得 则其零点 x3＞1.因此 x1＜x2＜x3.]
[押题14]
log (x＋1)，x＞0， 2 已知函数f(x)＝ －x2－2x，x≤0，
若函数g(x)＝f(x)
－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析 函数 f(x)的图象如图所示，函数 f(x)＝－x2－2x(x≤0)的 最大值是 1，故只要 0＜m＜1 即可使方程 f(x)＝m 有三个相异 的实数根，即函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点． 答案 (0,1)
专题一 高考中选择题、
填空题解题能力大突破
考查函数零点区间的判断及方程根的问题
(数形结合法)
数形结合法：根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图
形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形 结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意 义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、 形状、位置、性质等，综合图象的特征得出结论．图形化策略
f(x)＝m(m∈R)
x1x2x3的取值范围是________．
解析
f(x)＝(2x－1)*(x－1)
(2x－1)2－(2x－1)(x－1)，x≤0， ＝ (x－1)2－(2x－1)(x－1)，x＞0， 2x2－x，x≤0， 即f(x)＝ 2 －x ＋x，x＞0.
如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1， x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0 1 ＜m＜4.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3. 当x＞0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，
x2＋x3 1 2 ∴0＜x2x3＜ ，即0＜x2x3＜4； 2
1 2 2x －x＝ ， 1－ 3 4 当x＜0时，由 得x＝ 4 ， x＜0， 1－ 3 3－1 ∴ 4 ＜x1＜0，∴0＜－x1＜ 4 . 3－1 1－ 3 ∴0＜－x1x2x3＜ 16 ，∴ 16 ＜x1x2x3＜0. 答案
y＝kx－2的图象恒过点(0，－2)，所以两个函数图象有两 个交点时，0＜k＜1或1＜k＜4. 答案 (0,1)∪(1,4)
【例19】►
(2012· 福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝ 设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程 恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则
a2－ab，a≤b， 2 b －ab，a＞b.
点个数是(
A．0 解析 法一
)．
B．1 C．2 D．3
因为f(0)＝1＋0－2＝－1，
f(1)＝2＋1－2＝1，即f(0)·f(1)＜0， 且函数f(x)在(0,1)内连续不断，故f(x)在(0,1)内的零点个数 是1. 法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中作出两函数的
图象如图所示，可知B正确． 答案 B
|x2－1| 【例18】► (2012· 天津)已知函数y＝ 的图象与函数y＝kx x－1 －2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 ________． 解析 去掉绝对值转化为分段函数后，作出图象利用数形
结合的方法求解．因为函数
|x2－1| x＋1，x≤－1或x＞1， y＝ ＝ 根据图象易知，函数 －x－1，－1＜x＜1， x－1