高等数学(同济第六版)课件 第三章习题课

四、函数单调性与凹凸性
1.单调性：
函数y=f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内f(x)的导数恒为 正（负），则f(x)在[a,b]上单增（减）。
2.凹凸性： 函数y=f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内f(x)的二阶导数 恒为正（负），则y=f(x)在[a,b]凹（凸）。
3.拐点：函数y=f(x)在(x0, f (x0))点两侧凹凸性相反， (x0, f (x0))点为y=f(x)的拐点。
2 x y 0 2 2 x xy y 3 x 1 得 y 2 x 1 y 2
故椭圆 x 2 xy y 2 3上纵坐标最大 和最小的点为(1,2)、 1,2) (
五、曲率
1.平均曲率：
2.一点处的曲率：
3.曲率的计算公式：
f ( n1 ) ( ) ( x x0 )n1 ( 在 x0与x 之间) 其中 Rn ( x ) ( n 1)!
(1)式称为f(x)按 x-x0 的幂展开的n阶泰勒公式
2. 麦克劳林公式
f ( n ) ( 0) n f (0) 2 x Rn ( x ) f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x n! 2! f ( n 1 ) ( ) n 1 f ( n 1 ) ( x ) n 1 Rn ( x ) x x (0 1) ( n 1)! ( n 1)!
二、洛必达法则
1. 使用洛必达法则求极限时注意： 0 (1) 极限必须为 或 型。 0 (2) f(x), g(x)必须在x0的去心邻域内可导 (3) 其导数之比的极限必须存在或为无穷大
2. 求极限时，要注意式子化简、利用等价无穷小
3.其它未定式：0 ， ，00， ， 0 1
1 a f ( ) 1 0, e e
f (e a ) a ae a a (1 e a ) 0
1 当0 a 时, e
1 最大值：f ( ) 0 a
方程 lnx=ax (a>0) 有二个实根。
1 当a 时, e
1 最大值：f ( ) 0 a
方程 lnx=ax (a>0) 有一个实根。
证明 x x0 时，( x ) ( x ) 证 设 f ( x ) ( x ) ( x )
f ( k ) ( x ) ( k ) ( x ) ( k ) ( x )
( k ) ( x0 ) ( k ) ( x0 )
( k 1,2,, n)
( k 0,1,2,, n 1)
的值为（
）
3. 已知f(x)连续，且 lim
1 cos( xf ( x )) (e
x2
x 0
1) f ( x )
1 则f(0)=( )
4.设g(x)在(-∞,+∞)单调减少, f(x)在x=x0处有极大值， 则必有（ ） B （A） g( f (x))在x=x0处有极大值 （B） g( f (x))在x=x0处有极小值 （C） g( f (x))在x=x0处有最小值 （D） g( f (x))在x=x0处既无极值也无最小值
y ( x x0 )2 ( x ) 的拐点。 故点(x0,0)为曲线
4.极值
（1）可导函数的极值点必为驻点。 （2）连续函数求极值方法： 方法一：通过讨论函数的单调性求极值 方法二：对二阶可导函数，若驻点处二阶导数 为正（负），则该驻点必为极小（大）点。 （3）求[a,b]上函数最值的方法：
e x x2 … xn x n1 (0 1). ex 1 x n! ( n 1)! 2!
( 1)n1 2 n1 1 3 1 5 sin x x x x … x o( x 2n ) ( 2n 1)! 3! 5!
( x ) ( x ) 都n阶可导，( k ) ( x0 ) ( k ) ( x0 ) 例4若 ( k 0,1,2,, n 1) 当 x x0 时 ( n ) ( x ) ( n ) ( x )
D 5. 若 f (x)在x=0点取得极大值, 则必有____ ( A) f (0) 0 (C ) f (0) 0, f (0) 0 ( B ) f (0) 0 ( D ) f (0) 0 或 f (0) 不存在 6. 若 y=f (x)在某邻域内满足 f ( x ) 0, f ( x ) 0,
比较函数不可导点、驻点和区间端点处函数值 的大小。
（4）应用题：列出目标函数，求最值。
例7 讨论方程 lnx=ax (a>0) 有几个实根。
解 设 f(x)= lnx - ax ,
1 1 a， 驻点： x x a 1 当 0 x a 时， f ( x ) 0 函数 f(x)单增 , 1 当 a x 时， f ( x ) 0 函数 f(x)单减 , 1 f ( ) 1 ln a 为 f(x)的最大值。 a f ( x )
三、泰勒公式 1.泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f (x)在含有 x 0 的
开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数, 则x (a , b) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 ( x0 )( x x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) (1) n!
使 f(b)－f(a) f ()(b a )
推论 若函数 f(x) 在闭区间[a,b]上连续, 在(a,b)内 恒有 f ( x ) 0，则函数 f(x) 在[a,b]上是一个常数.
3.柯西定理 如果函数 f (x)、F(x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导,
f ( k ) ( x0 ) ( k ) ( x0 ) ( k ) ( x0 ) 0
( n ) ( x ) ( n ) ( x ), f ( n ) ( x ) ( n ) ( x ) ( n ) ( x ) 0
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2!
当x<10000时， f ( x ) 0, 当x>10000时， f ( x ) 0,
函数 f(x)单增 , 函数 f(x)单减 ,
故n=10000时，为该数列的最大项。
x 2 xy y 2 3 纵坐标最大的点 例9 求椭圆上和纵坐标 Nhomakorabea小的点。 解
2x y 2 x y xy 2 yy 0 y x 2y 2x y 令y 0 得2 x y 0 x 2y
1 当a 时, e
1 最大值：f ( ) 0 a
方程 lnx=ax (a>0) 没有实根。
n 例8 求数列 的最大项 n 10000 x , 设 f ( x) x 10000 1 ( x 10000) x 10000 x 2 x f ( x ) 2 2 x ( x 10000)2 ( x 10000)
且在(a, b)内每一点处 F ( x ) 均不为零，
则在(a, b)内至少有一点ξ ,
f ( b ) f ( a ) f ( ) 使等式 成立 F ( b ) F ( a ) F ( )
例1. 若 f (a)= g(a) , 且当 x > a时，f ( x ) g( x ) 则当 x a 时必有____ ( A) f ( x ) g( x ) (C ) f ( x ) g ( x ) ( B ) f ( x ) g( x ) ( D ) f ( x ) g(a ) 例2. 设f(x)在[a ,)连续，且当x>a时 f ( x ) K (K是正的常数），又 f (a ) 0 f (a ) )内必仅有一个实根。 证明方程 f(x)=0在 (a , a K
e (1 x ) 1,
x
1 e 1 x
x
例6 设 ( x ) 有三阶导数，且 ( x0 ) 0， ( x0 ) 0
证明曲线 y ( x x0 ) ( x )必有拐点，其坐标为 ( x0 ,0)
2
记 f ( x ) ( x x0 ) 2 ( x ) 计算得：f ( x0 ) 0， f ( x0 ) 6( x0 ) 0 f ( x ) f ( x0 ) 0 若 ( x0 ) 0， 则 f ( x0 ) lim x x0 x x0
f ( n1) ( x0 ) f ( n ) ( ) ( x x0 )n1 ( x x0 )n ( 在x0与x之间) ( n 1)! n!
f ( n ) ( ) f ( x) ( x x0 ) n , n!
故当x>x0时，f ( x ) ( x ) ( x ) 0, ( x ) ( x )
例3
a3x a2x (1) 极限 lim 的值为（ x 0 sin x sh2 x (2) 极限 lim 的值为（ x 0 ln chx
）
）
(3) 设f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0,
f (1 cos x ) 试求：lim f (0) 2， 2 x 0 tan x
f (1 cos x ) f (1 cos x ) ( 3)lim lim 2 x 0 x 0 tan x x2 f (1 cos x )sin x lim f (1 cos x ) lim x 0 2 x 0 2x 1 f ( 0 ) 1 f (lim (1 cos x )) x 0 2 2
f ( x ) 0 即 lim x x0 x x 0
故存在 0