2017年安徽省示范高中皖北协作区高考数学模拟试卷(理科)

2017年安徽省示范高中皖北协作区高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．已知i是虚数单位，则||=（）A．2 B．C．D．12．已知集合A={y|y=}，B={x|y=lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）=（）A．[0，）B．（﹣∞，0）∪[，+∞）C．（0，）D．（﹣∞，0]∪[，+∞）3．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），若直线y=2x，被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．x2=2y D．x2=y4．设点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，其中A（1，1），B（2，4），C（3，1），则的取值范围是（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（，2）D．[，2]5．已知在各棱长都为2的三棱锥A﹣BCD中，棱DA，DB，DC的中点分别为P，Q，R，则三棱锥Q﹣APR的体积为（）A．B．C．D．6．若函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A．（0，2） B．[，2）C．（0，]D．[2，+∞）7．如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是14，则判断框内填入的条件可以是（）A．S≥10？ B．S≥14？ C．n＞4？D．n＞5？8．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，已知某随机变量Y近似服从正态分布N（2，σ2），若P（Y＞3）=0.1587，则P（Y＜0）=（）A．0.0013 B．0.0228 C．0.1587 D．0.59．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为2，当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣x，则函数f（x）在[0，2017]上的零点个数是（）A．1008 B．1009 C．2017 D．201810．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线（实线和虚线）为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．24πB．29πC．48πD．58π11．数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知=1，且a1=，则tanS n的取值集合是（）A．{0， }B．{0，， }C．{0，，﹣}D．{0，，﹣}12．已知F1，F2是双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且F2是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，P是双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点，线段PF2的中点为M，且|OM|=|F1F2|，其中O为坐标原点，则双曲线C1的离心率是（）A．2+B．1+C．2+D．1+二、填空题(本大题共4小题，每小题5分）13．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为．14．设M是△ABC边BC上的任意一点，=，若=λ+μ，则λ+μ=．15．江湖传说，蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花，2种南海蛇毒和1种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花的添加顺序不能相邻，同时南海蛇毒的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序多药效的影响，则总共要进行次试验．16．定义下凸函数如下：设f（x）为区间I上的函数，若对任意的x1，x2∈I总有f（）≥，则称f（x）为I上的下凸函数，某同学查阅资料后发现了下凸函数有如下判定定理和性质定理：判定定理：f（x）为下凸函数的充要条件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）为f （x）的导函数f′（x）的导数．性质定理：若函数f（x）为区间I上的下凸函数，则对I内任意的x1，x2，…，x n，都有≥f（）．请问：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为．三、解答题17．如图，∠BAC=，P为∠BAC内部一点，过点P的直线与∠BAC的两边交于点B，C，且PA⊥AC，AP=．（Ⅰ）若AB=3，求PC；（Ⅱ）求的取值范围．18．2016年美国总统大选过后，有媒体从某公司的全体员工中随机抽取了200人，对他们的投票结果进行了统计（不考虑弃权等其他情况），发现支持希拉里的一共有95人，其中女员工55人，支持特朗普的男员工有60人．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表：据此材料，是否有95%的把握认为投票结果与性别有关？（Ⅱ）若从该公司的所有男员工中随机抽取3人，记其中支持特朗普的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．（用相应的频率估计概率）附：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC 的中点，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）若二面角E﹣BD﹣P大于60°，求四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围．20．已知椭圆C：=1，直线l过点M（﹣1，0），与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点N．（1）设MN的中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；（2）设=λ，=μ，试探究λ+μ是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）设函数g（x）=，求g（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）=t有两个不相等的实数根x1，x2，求证：x1+x2．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，α∈[0，π）），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与C2交于A，B两点，且|AB|＞，求α的取值范围．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=a|x|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．2017年安徽省示范高中皖北协作区高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．已知i是虚数单位，则||=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：=，则||=2．故选：A．2．已知集合A={y|y=}，B={x|y=lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）=（）A．[0，）B．（﹣∞，0）∪[，+∞）C．（0，）D．（﹣∞，0]∪[，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求函数的值域得集合A，求定义域得集合B，根据交集和补集的定义写出运算结果．【解答】解：集合A={y|y=}={y|y≥0}=[0，+∞）；B={x|y=lg（x﹣2x2）}={x|x﹣2x2＞0}={x|0＜x＜}=（0，），∴A∩B=（0，），∴∁R（A∩B）=（﹣∞，0]∪[，+∞）．故选：D．3．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），若直线y=2x，被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．x2=2y D．x2=y【考点】抛物线的简单性质．【分析】将直线方程代入抛物线方程，求得交点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线方程．【解答】解：由，解得：或，则交点坐标为（0，0），（4p，8p），则=4，解得：p=±1，由p＞0，则p=1，则抛物线C的方程x2=2y，故选C．4．设点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，其中A（1，1），B（2，4），C（3，1），则的取值范围是（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（，2）D．[，2]【考点】简单线性规划．【分析】根据A、B、C的坐标画出如图可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域．设P（x，y）、O（0，0），可得k=表示直线P、O连线的斜率，运动点P得到PO斜率的最大、最小值，即可得到的取值范围．【解答】解：根据A、B、C的坐标作出图形，得到如图所示的△ABC及其内部的区域设P（x，y）为区域内的动点，可得O（0，0），则k=表示直线P、O连线的斜率，运动点P，可得当P 与B 点重合时，k BC ==2达到最大值；当P 与C 点重合时，k CO =达到最小值∴k 的取值范围是[，2]． 故选：D ．5．已知在各棱长都为2的三棱锥A ﹣BCD 中，棱DA ，DB ，DC 的中点分别为P ，Q ，R ，则三棱锥Q ﹣APR 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】取CD 中点O ，连结BE ，AE ，作AO ⊥底面BCD ，交BE 于O ，A 到平面PQR 的距离h=，三棱锥Q ﹣APR 的体积为V Q ﹣APR =V A ﹣BCD ，由此能求出结果．【解答】解：取CD 中点O ，连结BE ，AE ，作AO ⊥底面BCD ，交BE 于O ，∵在各棱长都为2的三棱锥A ﹣BCD 中，棱DA ，DB ，DC 的中点分别为P ，Q ，R ，∴QR=QP=PR=1，∴S △PQR ==，BE=AE=，OE=，AO==，A 到平面PQR 的距离h=，∴三棱锥Q ﹣APR 的体积为：V Q ﹣APR =V A ﹣BCD ===．故选：C．6．若函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A．（0，2） B．[，2）C．（0，]D．[2，+∞）【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】根据x∈[﹣，]求出ωx的取值范围，结合题意列出ω的不等式组，从而求出ω的取值范围．【解答】解：函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，∴ωx的取值范围是[﹣ω，ω]；∴﹣ω≤﹣且ω＜，解得≤ω＜2，∴ω的取值范围是[，2）．故选：B．7．如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是14，则判断框内填入的条件可以是（）A．S≥10？ B．S≥14？ C．n＞4？D．n＞5？【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件，跳出循环，计算输出s的值．【解答】解：模拟执行程序，可得：S=0，n=1第二次循环n=2，s=0+1+2=3；第三次循环n=3，s=3﹣1+3=5；第四次循环n=4，s=5+1+4=10．第五次进入循环体后，n=5，s=10﹣1+5=14，满足条件S≥14？，跳出循环．故选B．8．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，已知某随机变量Y近似服从正态分布N（2，σ2），若P（Y＞3）=0.1587，则P（Y＜0）=（）A．0.0013 B．0.0228 C．0.1587 D．0.5【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据3σ原则，即可得出结论．【解答】解：∵P（Y＞3）=0.1587，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，∴P（Y＜0）=（1﹣0.9544）=0.0228，故选B．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为2，当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣x，则函数f（x）在[0，2017]上的零点个数是（）A．1008 B．1009 C．2017 D．2018【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数零点存在定理和函数的奇偶性和周期性即可求出答案．【解答】解：当f（x）=0时，x=1，此时有一个零点，∵f（x）周期为2，∴f（x+2）=f（x），∴x=3，5，7，9…均是函数的零点，∵x∈[0，2017]，∴零点的个数为=1009，故选：B．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线（实线和虚线）为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．24πB．29πC．48πD．58π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由长方体截割去4个等体积的三棱锥所得到的几何体，由此求出几何体的外接球的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得：该几何体是由长方体截割得到，如图中三棱锥A﹣BCD，由三视图中的网络纸上小正方形边长为1，得该长方体的长、宽、高分别为3、2、4，体对角线长为=则几何体外接球的表面积为=29π．故选：B．11．数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知=1，且a1=，则tanS n的取值集合是（）A．{0， }B．{0，， }C．{0，，﹣}D．{0，，﹣}【考点】数列的求和．【分析】已知=1，化为[na n+1﹣（n+1）a n]（a n+1+a n）=0，a n，a n+1＞0．可得．可得a n=×n．S n．可得tanS n=tan[]，对n分类讨论即可得出．【解答】解：∵=1，∴na=（n+1）a+a n a n+1，∴[na n+1﹣（n+1）a n]（a n+1+a n）=0，a n，a n+1＞0．∴na n+1﹣（n+1）a n=0，即．∴=…==．∴a n=×n．∴S n=．∴tanS n=tan[]，n=3k∈N*时，tanS n==0；n=3k﹣1∈N*时，tanS n=tan=0；n=3k﹣2∈N*时，tanS n=tanπ=．综上可得：tanS n的取值集合是{0， }．故选：A．12．已知F1，F2是双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且F2是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，P是双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点，线段PF2的中点为M，且|OM|=|F1F2|，其中O为坐标原点，则双曲线C1的离心率是（）A．2+B．1+C．2+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P在抛物线准线的射影为A，在直角△F1AP中．利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设点P（x0，y0），F2（c，0），设P在抛物线准线的射影为A，由双曲线定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a，由抛物线的定义可得|PA|=x0+c=2c﹣2a，∴x0=c﹣2a，在直角△F1AP中，|F1A|2=8ac﹣4a2，∴y02=8ac﹣4a2，∴8ac﹣4a2=4c（c﹣2a），∴c2﹣4ac+a2=0，∴e2﹣4e+1=0，∵e＞1，∴e=2+，故选：A．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分）13．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为7．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意，分析可得该女子每天织布的量组成了等比数列{a n}，且其公比q=2，又由她5天共织布5尺，可得S5==5，解可得a1的值，结合题意，可得S n=≥20，解可得n的范围，即可得答案．【解答】解：由题意可得：该女子每天织布的量组成了等比数列{a n}，且其公比q=2，若她5天共织布5尺，即S5=5，则=5，解可得a1=，若S n≥20，则有≥20，即2n≥125解可得n≥7，即若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需7天；故答案为：7．14．设M是△ABC边BC上的任意一点，=，若=λ+μ，则λ+μ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=t，根据向量的加减的几何意义，表示出，即可找到λ和μ的关系，从而求出λ+μ的值．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=，所以==（+）=+t=+t（﹣）=（﹣t）+t，因为=λ+μ，所以λ+μ=﹣t+t=，故答案为：．15．江湖传说，蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花，2种南海蛇毒和1种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花的添加顺序不能相邻，同时南海蛇毒的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序多药效的影响，则总共要进行48次试验．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先不考虑蛇，再减去蛇相临情况，即可得出结论．【解答】解：先不考虑蛇N1=C42×C53，再减去蛇相临情况，N2=N1﹣C31C43=48，故答案为48．16．定义下凸函数如下：设f（x）为区间I上的函数，若对任意的x1，x2∈I总有f（）≥，则称f（x）为I上的下凸函数，某同学查阅资料后发现了下凸函数有如下判定定理和性质定理：判定定理：f（x）为下凸函数的充要条件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）为f （x）的导函数f′（x）的导数．性质定理：若函数f（x）为区间I上的下凸函数，则对I内任意的x1，x2，…，x n，都有≥f（）．请问：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数f（x）=sinx，x∈（0，π），求导，则f″（x）≤﹣sinx，由正弦函数的图象可知f″（x）＜0成立，则f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函数，根据凸函数的性质sinA+sinB+sinC≤3sin（），即可求得sinA+sinB+sinC的最大值．【解答】解：设f（x）=sinx，x∈（0，π），则f′（x）=cosx，则f″（x）≤﹣sinx，x∈（0，π），由当x∈（0，π），0＜sin≤1，则f″（x）＜0成立，则f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函数，由凸函数的性质可知：≤f（）．则sinA+sinB+sinC≤3sin（）=3×sin=，∴sinA+sinB+sinC的最大值为，故答案为：．三、解答题17．如图，∠BAC=，P为∠BAC内部一点，过点P的直线与∠BAC的两边交于点B，C，且PA⊥AC，AP=．（Ⅰ）若AB=3，求PC；（Ⅱ）求的取值范围．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出PB的长，再解直角三角形即可求出答案，（Ⅱ）根据正弦定理得PB=，在Rt△APC中，PC=，继而得到于是+=sinθ，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理知PB2=AP2+AB2﹣2AP•ABcos=3，得PB==AP，则∠BPA=，∠APC=，在Rt△APC中，PC==2，（Ⅱ）因为∠APC=θ，则∠ABP=θ﹣，在Rt△APC中，PC=，在△PAB中，由正弦定理知=，得PB=，于是+=+==sinθ，由题意知＜θ＜，故＜sinθ＜1，即+的取值范围为（，1）18．2016年美国总统大选过后，有媒体从某公司的全体员工中随机抽取了200人，对他们的投票结果进行了统计（不考虑弃权等其他情况），发现支持希拉里的一共有95人，其中女员工55人，支持特朗普的男员工有60人．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表：据此材料，是否有95%的把握认为投票结果与性别有关？（Ⅱ）若从该公司的所有男员工中随机抽取3人，记其中支持特朗普的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．（用相应的频率估计概率）附：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据条件中所给的数据，写出列联表；根据列联表和求观测值的公式，把数据代入公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有95%的把握认为投票结果与性别有关．（Ⅱ）X可能取值为0，1，2，3，X～B（3，），求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）根据已知条件，可得2×2列联表：K2=≈4.51＞3.841，∴有95%的把握认为投票结果与性别有关．（Ⅱ）支持特朗普的概率为并且X～（3，）．X=0，1，2，3P（X=0）=C30（）3=，P（X=1）=C31（）（）2=，P（X=2）=C32（）2（）=，P（X=3）=C33（）3=，其分布列如下：∴E（X）=3×=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC 的中点，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）若二面角E﹣BD﹣P大于60°，求四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，再由PA⊥AB，能证明PA ⊥平面ABCD．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）∵平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中点，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．∴AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴PA⊥AB，∵AB∩BC=B，∴PA⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=t，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，t），C（2，2，0），E（1，1，），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，t），=（0，1，），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（2，1，），设平面BDE的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（2，1，﹣），∵二面角E﹣BD﹣P大于60°，∴|cos＜＞|==＜cos60°=，解得，S四边形ABCD==5，∴四棱锥P﹣ABCD体积V==∈（，）．∴四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围是（，）．20．已知椭圆C：=1，直线l过点M（﹣1，0），与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点N．（1）设MN的中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；（2）设=λ，=μ，试探究λ+μ是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设点N（0，n），表示出MN中点坐标，代入椭圆方程即可求得n 值，从而可得直线方程；（2）直线AB的斜率存在且不为0，设直线方程为x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣），联立，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，利用韦达定理，以及向量共线的坐标可得λ=﹣1﹣，同理可得μ=﹣1﹣，然后化简即可．【解答】解：（1）设点N（0，n），则MN的中点为（﹣，），∴+=1，解得n=±，所以直线l的方程为：y=±（x+1）；（2）由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，可设直线方程为x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣），由=λ，=μ，可得y1+=λ（0﹣y1），y2+=μ（0﹣y2），联立，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，所以y1+y2=，y1y2=﹣．得λ=﹣1﹣，同理可得μ=﹣1﹣，所以λ+μ=﹣2﹣（+）=﹣2﹣（）=﹣2﹣•=﹣．故λ+μ为定值﹣．21．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）设函数g（x）=，求g（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）=t有两个不相等的实数根x1，x2，求证：x1+x2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导，根据函数的单调性导数的关系，构造辅助函数，求导h′（x）=1﹣（x＞0，且x≠1），则h（x）＞h（1）=0，则f′（x）＞0，即可求得g（x）的单调区间；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f（x﹣），求导F′（x）=2+lnx（﹣x），根据函数单调性可知F（x）＞0，（0＜e＜），当0＜x1＜，得F（x1）=f（x1）﹣f（﹣x1）＞0，f（x）在（，+∞）上单调递增，故x2＞﹣x1，即可求证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=（x＞0，且x≠1），则g′（x）=（x ＞0，且x≠1），设h（x）=x﹣lnx﹣1（x＞0，且x≠1），则h′（x）=1﹣（x＞0，且x≠1），当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；∴h（x）＞h（1）=0，∴当x＞0，且x≠1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴g（x）的单调递增区间（0，1），（1，+∞），无单调递增区间；（Ⅱ）证明：f′（x）=1+lnx，当0＜x＜，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）单调递减，当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）在（，+∞）上单调递增，当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1，f（x）＞0，设0＜x1＜x2＜1，构造函数F（x）=f（x）﹣f（x﹣），则F′（x）=f′（x）﹣f′（﹣x）=2+lnx（﹣x），当0＜x＜，x（﹣x）＜，则F′（x）＜0，F（x）在（0，）单调递减，由F（）=0，故F（x）＞0，（0＜e＜），由0＜x1＜，得F（x1）=f（x1）﹣f（﹣x1）＞0，则f（x1）=f（x2）＞f（﹣x1），又x2＞，﹣x1＞，∴f（x）在（，+∞）上单调递增，故x2＞﹣x1，∴x1+x2．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，α∈[0，π）），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与C2交于A，B两点，且|AB|＞，求α的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C2：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ代入可得C的直角坐标方程．（Ⅱ）求出圆心到直线的距离d，利用|AB|＞，求α的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为C2：（x﹣2）2+y2=4，可得圆心（2，0），半径r=2；（Ⅱ）设曲线C1的方程为y=k（x+1），即kx﹣y+k=0，圆心到直线的距离d=∵曲线C1与C2交于A，B两点，且|AB|＞，∴d=＞，∴∴k＜﹣或k＞，∴30°＜α＜120°．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=a|x|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，不等式f（x）＞2g（x）+1为|x﹣4|＞4|x|+1，分类讨论求得x的范围．（2）由题意可得|x﹣4|≥a|x|﹣4对任意x∈R恒成立．当x=0时，不等式显然成立；当x≠0时，问题等价于a≤对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＞2g（x）+1为|x﹣4|＞4|x|+1，x＜0，不等式化为4﹣x＞﹣4x+1，解得x＞﹣1，∴﹣1＜x＜0；0≤x≤4，不等式化为4﹣x＞4x+1，解得x＜，∴0≤x＜；x＞4，不等式化为x﹣4＞4x+1，解得x＜﹣，无解；综上所述，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，即|x﹣4|≥a|x|﹣4对任意x∈R恒成立，当x=0时，不等式|x﹣4|≥a|x|﹣4恒成立；当x≠0时，问题等价于a≤对任意非零实数恒成立．∵≥=1，∴a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．。