一元二次方程实根的分布
不等式一元二次方程根的分布
布2023-11-07•定义和公式•根的分布情况•图像表示目录•实例分析•解题技巧和注意事项•练习题与答案01定义和公式定义一元二次方程的标准形式是$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。
说明一元二次方程的标准形式是解决一元二次方程问题的基础，通过配方等方法可以将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，便于分析其根的分布情况。
一元二次方程的标准形式一元二次方程的解是满足方程的根，记作$x_{1}, x_{2}$。
定义根据判别式的性质，一元二次方程的解的情况分为三种：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根。
判别式$b^2 - 4ac$是判断一元二次方程解的分布情况的依据。
说明一元二次方程的解02根的分布情况当判别式Δ大于0时，一元二次方程有两个不相等的实根。
两根不等实根与系数关系图像表示两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。
在实数平面上表示为两个不相交的直线。
030201当判别式Δ等于0时，一元二次方程有两个相等的实根。
两根相等两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。
实根与系数关系在实数平面上表示为一条直线。
图像表示当判别式Δ小于0时，一元二次方程有两个不相等的虚根。
两根不等且虚根两个虚根的实部为0。
实部为0两个虚根的虚部为√(-Δ)/a。
虚部与系数关系在复数平面上表示为两个相交的直线。
图像表示当Δ < 0时，方程的根的分布03图像表示图像表示一元二次方程的解实数根对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果 $a > 0$，那么该方程有两个实数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$。
虚数根如果 $a < 0$，那么该方程有两个共轭虚数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$。
不等式一元二次方程根的分布
不等式一元二次方程根的分布xx年xx月xx日•不等式与一元二次方程的联系•不等式在一元二次方程中的应用•不等式与一元二次方程的综合应用•不等式在一元二次方程中的拓展应用目录01不等式与一元二次方程的联系如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
不等式的基本性质不等式的性质1如果a>b，c>0，那么ac>bd。
不等式的性质2如果a>b，c<0，那么ac<bd。
不等式的性质3一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac，当Δ>0时，方程有两个不同的实根；当Δ=0时，方程有两个相同的实根；当Δ<0时，方程没有实根。
一元二次方程的根与系数的关系x₁,x₂=[-b±√(b²-4ac)]/2a，其中x₁,x₂为一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根。
一元二次方程的根与系数的关系不等式与一元二次方程的关联01不等式和一元二次方程的联系在于一元二次方程的根的分布情况可以由不等式来表示。
02对于一元二次方程ax²+bx+c=0，如果判别式Δ>0，那么这个方程有两个不同的实根，这两个实根可以用不等式来表示。
03如果a>0，那么方程的两个实根x₁和x₂满足x₁<x₂；如果a<0，那么方程的两个实根x₁和x₂满足x₁>x₂。
02不等式在一元二次方程中的应用利用不等式求根公式通过求解不等式，可以求得一元二次方程的实数根。
确定不等式的解集根据一元二次方程的系数和判别式的值，可以确定不等式的解集，进而求得一元二次方程的根。
利用不等式求解一元二次方程的根通过构造不等式，可以证明一元二次方程在某个区间内至少有一个实数根。
利用不等式证明根的存在通过构造不等式，可以证明一元二次方程在某个区间内只有一个实数根。
利用不等式证明根的唯一性利用不等式证明一元二次方程的根的分布利用不等式判断根的实数性质通过求解不等式，可以判断一元二次方程的实数根是否为整数、有理数、无理数等。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
初中数学一元二次方程的实根分布
第六讲 一元二次方程的实根分布22.注意：（1）利用相应二次函数图象与x 轴交点位置写出相应的等价条件，一般考虑一下三个方面：①判别式Δ＝b 2－4ac 的符号；②对称轴x ＝－b2a的位置分布；③二次函数在实根分布界点处函数值的符号.（2）对于一元二次方程根和解是有区别的.一、一点同侧两根【例1】若关于x的方程x2－（k＋2）x＋4＝0有两个不等的负根，求实数k的取值范围.【练】若关于x的方程x2＋（m＋2）x＋m＋5＝0有两个正数根，求实数m的取值范围.【例2】若关于x的方程kx2－2kx＋（k－1）＝0有两个正实数根，求实数k的取值范围.【练】若关于x的方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0有两个负实根，求实数k的取值范围.【例3】若关于x的方程x2－mx＋（3＋m）＝0有两个大于1的根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程mx2＋（2m－1）x－m＋2＝0有两个小于1的根，求实数m的取值范围.二、一点异侧两根【例4】若关于x的方程4x2＋（m－2）x＋m－5＝0的一正根和一负根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程（2m＋1）x2－2mx＋m－1＝0有一正根和一个负根，求实数m的取值范围.【例5】若关于x的方程mx2＋（m＋2）x＋9m＝0有两个实数根x1和x2，且x1＜1＜x2，求m的取值范围.【练】若关于x的二次方程2mx2－2x－3m－2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数m的取值范围.三、一点一侧有根【例6】若关于x的方程x2－ax＋4＝0有正实根，则实数a的取值范围是【练】若方程x2＋x＋a＝0至少有一根为非负实数，求实数a的取值范围.【例7】若关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，求实数a的取值范围.【练】若关于x的一元二次方程mx2＋（m－3）x＋1＝0至少有一个正根，求m的取值范围.四、两点中间两根【例8】若关于x的方程x2－ax＋2＝0在区间（0，3）内有两个根，求实数a的取值范围.【练】若关于x的方程x2－2ax＋a2－1＝0的两个不等根在区间（－2，4）上，求实数a 的取值范围.【变】若关于x的二次方程（m－1）x2＋（3m＋4）x＋m＋1＝0的两个根属于（－1，1），求实数m的取值范围.【例9】当实数a和b满足何条件时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0在区间[－2，2]上有两个实根？【练】若关于x的方程x2＋（m－1）x＋1＝0有两个相异的实根，且两根均在区间[0，2]上，求实数m的取值范围.【变】若抛物线y＝x2＋ax＋2与连接两点M（0，1）、N（2，3）的线段有两个相异的交点，求a的取值范围.五、两点中间一根【例10】已知关于x的二次方程（2m＋1）x2－2mx＋m－1＝0有且只有一个实根属于（1，2），且x＝1，x＝2都不是方程的根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的二次方程（3m－1）x2＋（2m＋3）x－m＋4＝0有且只有一个实根属于（－1，1），求实数m的取值范围.【变】已知点A、B的坐标分别为(1，0)、（2，0），若二次函数f（x）＝x2＋（a－3）x＋3的图象与线段AB恰有一个交点，求实数a的取值范围.【例11】若关于x的方程ax2＋x＋a－3＝0在（－2，0）上有且只有一个实根，求实数a 的取值范围.【练】若关于x的方程mx2＋（2m－3）x＋4＝0有且只有一个小于1的正根，求实数m的取值范围.六、两点中间有根【例12】若方程x2－2mx＋m－1＝0在区间（－2，4）上有根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0在区间（0，2）内至少存在一根，求实数m的范围.【变】已知关于x的方程2ax2＋2x－a－3＝0在区间[－1，1]上有根，求实数a的取值范围.【例13】集合A＝{(x，y) | y＝x2＋mx＋2}，B＝{(x，y) | x－y＋1，且0≤x≤2}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.【练】已知抛物线y＝2x2－mx＋m与以点（0，0）和（1，1）为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求实数m的取值范围.七、两点隔两根【例14】关于x的方程4x2＋（m－2）x＋m－5＝0的一根小于1，另一根大于2，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程x2＋（2m－1）x＋m－6＝0的一个根不大于－1，另一个根不小于1，求实数m的取值范围.【变1】已知方程（a－1）x2＋（2a－6）x－4a＋1＝0的两根为x1，x2，且－1＜x1＜1＜x2，求实数a的取值范围.【变2】若关于x的方程2x2－（m－2）x－2m2－m＝0的两根在区间[0，1]之外，求实数m 的取值范围.八、多点隔两根【例15】若关于x方程x2－mx－m＋3＝0的一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围.【练】已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1.若方程有两个根，其中一个在区间（－1，0），另一根在区间（1，2）内，求m的范围.【变】若mx2－（m－1）x＋m2－m＋2＝0的两根分别在0＜x＜1和1＜x＜2的范围内，求实数m的取值范围.【作业】1、已知关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0，分别在下列条件下，求实数m的取值范围.（1）方程有两个正根；（2）方程两个根均小于1；（3）方程的一个根大于1，另一个根小于1；（4）方程的两个根均在（0，2）内；（5）方程的一个根小于2，另一个根大于4.（6）方程的一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内；（7）方程有一个正根，一个负根且正根的绝对值较大；（8）方程的两个根有且仅有一个在（0，2）内；2、若方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根，求实数m的取值范围.3、设|a|＝1，b为整数，关于x的方程ax2－2x－b＋5＝0有两个负实数根，求b的值.4、已知二次函数f（x）＝（m＋2）x2－（2m＋4）x＋3m＋3与x轴有两个交点，分别在点（1，0）左右两边，求实数m的取值范围.5、求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋2（m－1）x＋2m＋6＝0至少有一个正根.6、如果二次函数y＝mx2＋（m－3）x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.7、已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程两根均在区间（0，1）内，求实数m的取值范围.8、若关于x的方程7x2－（m＋13）x＋m2－m－2＝0在区间（0，1）、（1，2）上各有一个实根，求实数m的取值范围.9、已知关于x的方程x2＋（3m－1）x＋3m－2＝0的两根都属于（－3，3），且其中至少有一个根小于1，求实数m的取值范围.10、求证：关于x的方程3ax2＋2bx－（a＋b）＝0在（0，1）内至少有一个实根.。
一元二次方程实根的分布难
练一练 1.kx2+3kx+k-3=0的两根均为负，求k的取值范围。
2.如果二次方程mx2-（m+1）x+3=0的两根均大于-1， 求m 的取值范围。 3.如果f（x）=x2+2（m-1）x+2m+6的一个零点大于2， 另一个零点小于2,求m 的取值范围。
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3.一元二次方程ax2+bx+c=0有且仅有一根介于k1、k2之间
变3.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 有根在（0，1）， 求m的取值范围
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3.一元二次方程ax2+bx+c=0两根分别在区间（k1，k2） 以及（p1，p2）之间 y
k1
k2 p1 x1 o
p2
x2 x
a0
k1
x1
k2
p1
x2
p2
f（k1）0 f（k 2）0
f（p1）0
y
y
k1
k2 x1 o
x2 x
x1 o k1 x2k1 x
有且仅有：
k1〈x1或(x2)<k2 f（k1）f（k2）＜０
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练一练 1.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 有且仅有一实根 在（0，1），求m的取值范围。 2.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 较大根在（0，1）， 求m的取值范围。 3.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 较小根在（0，1）， 求m的取值范围
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二、新课 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均y 为正根
5.1一元二次方程实根的分布
实系数一元二次方程实根分布1：当m 为何值时，方程03524222=--++m m mx x的两根异号？答案：(321<<-m )2：已知方程02322=-+-k kx x 的两个根都大于1，求k 的取值范围。
答案：(2≥k )3：已知集合A ＝｛045|2≤+-x x x ｝，B ＝｛022|2≤++-a ax x x ｝，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围。
答案：(7181≤<-a )4、关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负的实根，则a_____________ (1≤a )5、01032=+-k x x 有两个同号且不相等的实根,则k__________- (3250<<k )6、要使关于x 的方程0322=+-kx x 的两个实根一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是__（ 5>k ）7、已知抛物线m x m x y +-+=)3(2与x 轴的正半轴交于两点，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿。
（10<<m ）8、设A ＝｛01|2=-x x ｝，B ＝｛012|22=-+-a ax x x ｝，若A ∩B ＝B ，则a 等于＿＿＿。
(0=a )9、已知A ＝｛01)2(|2=+++x p x x ，R x ∈｝，若A ∩R ＋＝φ，则p 的范围是＿＿＿＿＿。
(4->p )10、已知方程0222=++-a ax x 的两根都在区间（1,4）内， 求a 的取值范围。
(7182<≤a )11、若关于x 的方程0532=+-a x x 的一个根在（－2,0）内，另一个根在（1,3）内，求a 的取值范围。
12、已知方程01222=+-+m mx x 的两个实根都大于2,求实数m 的取值范围。
（4316-≤<-m ）13已知A ＝｛023|2≤+-x x x ｝，B ＝｛02|2≤+-a ax x x ，R a ∈｝，且A ∩B ＝B ，求a 的取值范围。
一元二次方程根的分布
此定理可直接由定理4推出，请 同学们自证。
【定理6】k1 x1 x2 k 2
b 2 4ac 0 a 0 f ( k1 ) 0 f (k ) 0 2 b k1 k2 2a
或
b 2 4 a c 0 a 0 f ( k1 ) 0 f (k ) 0 2 b k1 k2 2a
授课内容：一元二次方
程 根 的 分 布
一元二次方程根的分布是二 次函数中的重要内容。这部分 知识在初中代数中虽有所涉及， 但尚不够系统和完整，且解决 的方法偏重于二次方程根的判 别式和根与系数关系定理（韦 达定理）的运用。
函数与方程思想： 若
f x0 f ( x)
与 x 轴有交点 x0
。
f ( x) 与 =0 若 有交点 ( x0 y0 有解 x0 下面我们将主要结合二次函数 分两种情况系统地 图象的性质， 介绍一元二次方程实根分布的 充要条件及其运用。
三、例题与练习 2 [例5] 1 已知方程 x 11x m 2 0 求 的两实根都大于1， m 的取值范围。 129 （12 m 4 ） 2 若一元二次方程 mx (m 1) x 3 0 的两个实根 都大于-1，求 m 的取值范
2
围。 （m 2或m 5 2 6）
3
若一元二次方程 的两实根都 小于2， m 的取值范围。 求
mx2 (m 1) x 3 0
1 （m 2 或m 5 2 6 ）
[例 1 已知方程 x 2mx 2m 3 0 6] 有一根大于2，另一根比2小， 求 m 的取值范围。
2 2
（
2
2 2 1 m 1 2 2
一元二次方程实根的分布
x1 n x2 n
x1 n x2
b 2 4ac 0 ( x1 n)(x2 n) 0 ( x n) ( x n) 0 2 1
f ( n) 0
b 2 4ac 0 f ( n) 0 f ( m) 0 b n m 2a
1 1 . 2 4 1
问题的延伸：
x 2 (m 2) x 3 0 的两 1、若关于x的方程
个根都大于1，则实数 是 .
m 的取值范围
2、关于x的方程 x 2 2mx (m2 1) 0 的两个 根均大于 - 2小于4，求实数 m 的取值 范围.
问题的解决：
一元二次方程根的分布
令
f ( x) ax2 bx c(a 0)
，
方程 在给定区间 上有实根的条件，常见的几种情况列 f ( x) ax2 bx c(a 0) 0 表讨论如下： x1 , x2 （设是方程两个不相等的实根 且， x1 x 2 而 n, m 是常数，且 ）
x 2 2mx (m2 1) 0 的两个根
所以,实数m的取值范围是 (1,3) .
问题的解决：其实,有那么复杂吗? x 2 2mx (m2 1) 0 的两 例2、关于x的方程 个根均大于 - 2小于4，求实数 m 的取值范围. 另解: 原方程的两个根分别为 m 1, m 1 而 m 1 m 1，
nm
根的分布
x1 n
x2 n
图形特征
充要条件
2 b 4ac 0 f ( n) 0 b n 2a 2 b 4ac 0 f ( n) 0 b n 2a
3.1.2一元二次方程根的分布
2
x2
12
练习： 1、若方x程 2 (k3)xk 0 的两根都小 1， 于求k的取 x1 x2 0
-1
值范围？
2、若7方 x2程 k13xk2k20的两 根分0 别 ， 1和 在 1， 2内， k的 求取值范
1 0
2 13
练习：
1.已知关于x的方程 a 2 2 x a 1 x a 1 0
解少解题 有：分 一若析 个m：在=原函0，点数则的f(xf右()x=侧)m=x-，23+就x(m+是1-3,表)显x+明然1关的满于图足x象的要与方求x程轴. m的x交2+点(m至-
3)x+1若=0m至≠少0，有有一两个种正根情，况可：借助根与系数的关系来解。
( 1 ) 原 点 的 两 侧 各 有 一 个 ， 则 x 1 x 2 m 1 0 得 m 0
-
b 2a
>k
f(k)<0.
△=b2-4ac≥0
f(k)>0.
m< -
b 2a
<n
ห้องสมุดไป่ตู้
7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内
△=b2-4ac≥0 f(m)>0
f(n)>0.
3
注 ：涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根 分布问题, 一般从四个方面考虑:
① f(x) 图象的开口方向; ②方程 f(x)=0的判别式; ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; ④区间端点处函数值的符号.
1
x 1 x 2 2
反例x1： 3,x2
1 2
7
例题：已x知 2(方 k3程 )xk0 求满足下列 k的 条范 件围 的？
处理一元二次方程实根分布情况下求参问题的4个方法
处理一元二次方程实根分布情况下求参问题的4个方法一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，而x是未知数。
求解一元二次方程的根是数学中常见的问题，但是有时候方程的根的分布情况会对求参问题提出了一定的要求。
本文将介绍求解一元二次方程实根分布情况下的四种方法。
方法一：直接求解法直接求解法是最常见也是最简单的一种方法。
根据一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a，我们可以根据方程的系数a、b、c来求出方程的根。
此方法适用于一元二次方程只有一个根或两个重根的情况。
方法二：判别式法判别式法是针对不同根的情况进行求解的一种方法。
方程的判别式D=b²-4ac可以提供方程的根的情况。
1.当D>0时，方程有两个不相等的实根。
2.当D=0时，方程有两个相等的实根，即重根。
3.当D<0时，方程没有实根，而有两个虚根。
方法三：解曲线与直线的交点法解曲线与直线的交点法是一种几何方法。
根据一元二次方程的几何意义，我们可以绘制出方程的二次曲线和与其相交的直线。
通过观察交点的数量和位置，我们可以得到方程实根的情况。
当曲线和直线相交于两点时，方程有两个不相等的实根；当曲线和直线相切于一点时，方程有一个实根；当曲线和直线没有交点时，方程没有实根。
方法四：代数方法代数方法是一种基于代数运算的求解方法。
通过对方程进行变形、化简、整理等代数运算，我们可以得到方程的根的一些特征。
例如，通过配方法将一元二次方程转化为一个完全平方后，我们可以得到它的根（不一定是实根）；通过因式分解将一元二次方程分解为两个一次因式的乘积后，我们可以得到方程的根的数量和特征。
这四种方法可以根据实际情况的不同进行选择和组合使用。
其中，直接求解法适用于一元二次方程只有一个根或两个重根的情况；判别式法适用于判定方程的根的情况；解曲线与直线的交点法适用于通过图像观察根的情况；代数方法适用于通过代数运算得到根的特征的情况。
一元二次方程实根的分布
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第七章
不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学（文） ·高三总复习
(5) 已知方程 x2 ＋ (m － 2)x ＋ 2m － 1 ＝ 0 有一实根在 0 和 1 之 间，求m的取值范围．
1 2 【答案】 2<m<3
(6)已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0的较大实根在0和1之 间，求m的取值范围． 变式：改为较小实根．
【定理5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2⇔ a>0， fk1>0， fk2<0， fp1<0， fp2>0 a<0， fk1<0， 或fk2>0， fp1>0， 0 . fp2<
此定理可直接由定理4推出，请读者自证．
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第七章
不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学（文） ·高三总复习
【定理1】 x1>0，x2>0(两个正根)⇔ Δ＝b2－4ac≥0， x ＋x ＝－b>0， 1 2 a c x1x2＝ >0. a
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第七章
不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学（文） ·高三总复习
推 论 ： x1>0，x2>0⇔
Δ＝b2－4ac≥0， a>0， f0＝c>0， b<0
或
2 Δ ＝ b －4ac≥0， a<0， f0＝c<0， b>0.
上述推论结合二次函数图像不难得到．
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第七章
不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学（文） ·高三总复习
一元二次方程实数根的分布
第一课时：一元二次方程实数根的分布教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。
教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布−−→−转化图形问题−−→−转化代数表达式（不等式组）−−→−计算参数取值范围。
教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。
一、问题的提出若方程0)5()2(2=++++m x m x 的两根均为正数，求实数m 的取值范围.变式1：两根一正一负时情况怎样？变式2：两实根均大于5时情况又怎样？变式3：一根大于2，另一根小于-1时情况又怎样？问题：能否从二次函数图形角度去观察理解？若能试比较两种方法的优劣.方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根，如若从二次函数图形角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数2()0(0)f x ax bx c a =++=≠ 的抛物线与x 轴交点的横坐标.一元二次方程实根分布，实质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较.二、一元二次方程实根分布仿上完成下表一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 实根分布图解三、练习1.m 为何实数时，方程02)1(2=+++m x m x 的两根都在-1与1之间.2、若方程0)3()1(2=-++-a x a x 的两根中，一根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围.四、小结基本类型与相应方法：设 )0()(2≠++=a c bx ax x f ，则方程0)(=x f 的实根分布的基本类型及相应方法如下表：五作业：1．关于x 的一元二次方程222320ax x a ---=的一根大于1，另一根小于1.则a 的值是 （ ）（A ）0a >或4a <- （B ）4a <- （C ）0a > （D ）40a -<<2．方程227(13)20(x k x k k k -++--=为常数）有两实根,αβ，且01α<<，12β<<，那么k 的取值范围是 （ ）（A ）34k << （B ）21k -<<- （C ）21a -<<-或34k << （D ）无解3．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m = .4.若关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是m ＝5. 方程2(21)(6)0x m x m +-+-=的一根不大于－1，另一根不小于1.试求：（1）参数m 的取值范围；（2）方程两根的平方和的最大值和最小值. 第二课时 一元二次方程实数根分布的应用一复习二、例子例1 已知实数a 、b 、c 满足22211a b c a b c a b c ⎧>>⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b +的取值范围.解 由已知得1a b c +=-且222222()()(1)(1)22a b a b c c ab c c +-+---===-.所以,a b 是一元二次方程22(1)()0x c x c c --+-=的两根. 由a b c>>问题可转化为方程22(1)()0x c x c c --+-=的二根都大于c .令()f x =22(1)()x c x c c --+-，有2212()0(1)4()0c cf c c c c -⎧>⎪⎪>⎨⎪∆=--->⎪⎩ 即22123203210c c c c c c ->⎧⎪->⎨⎪--<⎩， 求得103c -<<，因此4(1,)3a b +∈.例2已知点(0,4)A 、(4,0)B .若抛物线21y x mx m =-++与线段AB (不包括端点A 及B )有两个不同的交点，则m 的取值范围是 . (1997年上海市高中数学竞赛)解： 显然直线AB 的方程为1(04)44x y x +=<<即4y x =-，代入抛物线方程并整理得2(1)(3)0x m x m +-+-=.设2()(1)(3)f x x m x m =+-+-，问题转化函数()y f x =的图象和x 轴在0到4之间有两个不同的交点，即方程2(1)(3)0x m x m +-+-=在(0,4)上有两个不相等的实根. 所以2(1)4(3)0(0)30(4)164(1)30104.2m m f m f m m m ⎧∆=--->⎪=->⎪⎪⎨=--+->⎪-⎪<<⎪⎩ 解得m 的取值范围是1733m <<. 例3关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=的两个实数根为,αβ，证明：①如果||2,||2αβ<<，那么2||4a b <+且||4b <；②如果 2||4a b <+且||4b <，那么||2,||2αβ<<.(1993年全国高考题)证明 ①设2()f x x ax b =++，由已知，函数()y f x =的图象与x 轴在2-到2之间有两个不同的交点. 所以240,(1)22,(2)2(2)420,(3)(2)420.(4)a b a f a b f a b ⎧∆=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-=-+>⎪=++>⎪⎩由(3)、(4)得(4)24b a b -+<<+，所以2||4a b <+.由(2)，得||4a <，结合(1)得2416b a <<，所以4b <. 将(3)+(4)得4b >-，因此44b -<<，即||4b <.②由于2||4a b <+且||4b <，可得4,2||448b a <<+=，所以||4a <，222a -<-<. 即函数()f x 的图象的对称轴2a x =-位于两条直线2x =-，2x =之间.因为(2)(2)(42)(42)2(4)0f f a b a b b -+=+++-+=+>，22(2)(2)(42)(42)(4)40f f a b a b b a -⋅=++-+=+-> .所以(2)0,(2)0f f ->>. 因此函数()f x 的图象与x 轴的交点位于-2和2之间，即||2,||2αβ<<.作业1．已知抛物线2(4)2(6),y x m x m m =++-+为实数.m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点都位于点(1,0)的右侧？2．已知,,a b c 都是正整数，且抛物线2()f x ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A 、B. 若A 、B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值.第三课时 应用提高例1若方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，求实数k 的取值范围. 解法一：方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，即方程0232=--k x x 在[]1,1-上有实根，设k x x x f --=23)(2，则根据函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标等价于方程0)(=x f 的根. （1）两个实根都在[]1,1-上，如图：可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-≥≥-≥∆1210)1(0)1(0a b f f ，解得2169-≤≤-k ； （2）只有一个实根在[]1,1-上，如图：可得0)1()1(≤⋅-f f ，解得 2521≤≤-k ，综合（1）与（2）可得 实数k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,169 解法二：方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，即存在[]1,1-∈x ，使得等式x x k 232-=成立，要求k 的取值范围，也即要求函数[]1,1,232-∈-=x x x k 的值域. 设[]1,1,1694323)(22-∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==x x x x x f k 又因，则)1(169-≤≤-f k ， 可得25169≤≤-k . 解法三：令,232x x y -=则k y =，则方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=k y x x y 232在[]1,1-上有实数解，也即等价于抛物线,232x x y -=与直线k y =在[]1,1-上有公共点，如图所示直观可得：25169≤≤-k .解法四：根据解法三的转化思想，也可将原方 程k x x =-232化成k x x +=232，然后令 k x y x y +==23,2，从而将原问题等价转化为 抛物线2x y =与直线k x y +=23在[]1,1-点时，“数形结合法”下去求参数k 的取值范围.根据图形直观可得：当直线k x y +=23过点)1,1(-， 截距k 最大；当直线k x y +=23与抛物线k x y +=23相切时，截距k 最小. 且169,25-==最小最大k k .故参数的取值范围为25169≤≤-k . 2已知实数a 、b 、c 满足021a b c m m m++=++，其中m 为正数.对于2()f x ax bx c =++. (1)若0a ≠，求证：()01m af m <+； (2) 若0a ≠，证明方程()0f x =在(0,1)内有实根.证明 (1)由021a b c m m m ++=++，求得()21am bm c m m =-+++，所以 222222211()[()()][()][]11112(1)2m m m m m af a a b c a a m m m m m m m m m=++=-=-+++++++ 又由22(1)20m m m +>+>，因此22110(1)2m m m -<++，故()01m af m <+. (2)要证明方程()0f x =在(0,1)内有实根，只须证明(0)(1)0f f ⋅< 或 (0)0,(1)0,0,0 1.2af af b a >⎧⎪>⎪⎪∆≥⎨⎪⎪<-<⎪⎩但两者都不易证明. 由01(0)1m m m <<>+，结合第(1)题()01m af m <+，对a 进行讨论： 当0a >时，有()01m f m <+. 只要证明(0)f c =和(1)f a b c =++中有一个大于零即可. 若0c >，则(0)0f >成立，问题得证；若0c ≤，由021a b c m m m ++=++求得(1)(1)2a m c m b m m++=--+，所以 (1)(1)(1)22a m c m a c f a b c a c m m m m ++=++=--+=-++. 由0,0,0a m c >>≤，知(1)0f >，命题得证. 故当0a >时，方程()0f x =在(0,1)内有实根. 同理可证，当0a <时，方程()0f x =在(0,1)内也有根.。
一元二次方程实根的分布.
一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。
本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。
一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。
一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则 1x 、2x 均为正⇔△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负⇔△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；1x 、2x 一正一负⇔1x 2x ＜0。
例1．关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆⎧⎪+< ⎨⎪> ⎩≥ ①②③由①得：2(1)32(7)0m m +--≥，2(15)0m -≥，恒成立。
由②得：18m +-＜0，解之，m ＞1-。
由③得：78m -＞0，解之，m ＞7。
综上，m 的取值范围是m ＞7。
例2．若n ＞0，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求m n的值。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆= ⎧⎪+⎨⎪> ⎩①＞ ②③由①得：2(2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。
若m n =，则1x ＋2x 22m n n n n =-=-=-＜0，不符合②，舍去。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x <<两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f 大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f 综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f 大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()0>k f 综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f a kkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，qp n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()0f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布
0
5 .方程两根都小于m (x1 m) (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
6. 方程一根大于m另一根小于m
(x1 m) (x2 m) 0
• 例1பைடு நூலகம் 方程x2+2ax+1=0有两个不等负
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
2.方程两根都小于m 3.方程一个根大于m另一根小于m 4.方程两根都大于m且都小于n
C.必要不充分条件 D.既不必要不充分条件
例5:求方程3x2－2mx+m+1=0一根在0,1之 间另一根在1,2之间的充要条件
例6 : 抛物线y=－x2+3x－m与直线y=3－x在 0<x<3时只有一个交点,求m的范围. －3<m≤0或m=1
根，求实数a的取值范围。(a>1)
例2: 方程mx2+(2m－1)x－3(m－1)=0 两根都大于3，求实数m的取值范围。
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；
替那些果实遮过阴凉、从枝头跌落、背井离乡的叶子。 祖母在秋天的离世毫无征兆，只是那一天刮了很大的风，院子里的那棵老柳树稀里哗啦地掉落了所有的叶子。其实，也只有风能让叶子喘息或者感叹。在叶子的生命中，风往往扮演着接生婆和送行者的双重角色，所以叶子的心思只 和风说，它只和风窃窃私语。 落叶也有遗言吗？在离开枝头的刹那，它和风都说了什么？谁
一元二次函数函数的根的分布(有图)
判别式
当判别式Δ=b^24ac大于0时，一元二 次方程有两个不相等 பைடு நூலகம்实根。
当判别式Δ=b^24ac小于0时，一元二 次方程没有实根。
当判别式Δ=b^24ac等于0时，一元二 次方程有两个相等的 实根。
02 根的分布条件
两个实根的条件
总结词
当判别式大于0时，一元二次函数有 两个实根。
详细描述
一元二次函数$ax^2+bx+c=0$的判 别式为$Delta=b^2-4ac$。当判别式 $Delta>0$时，一元二次函数有两个 不相等的实根。
一个实根的条件
总结词
当判别式等于0时，一元二次函数有一个实根。
详细描述
一元二次函数$ax^2+bx+c=0$的判别式为$Delta=b^2-4ac$。当判别式 $Delta=0$时，一元二次函数有一个实根。
无实根的条件
总结词
当判别式小于0时，一元二次函数无实根。
详细描述
一元二次函数$ax^2+bx+c=0$的判别式为$Delta=b^2-4ac$。当判别式$Delta<0$时，一元二次函 数无实根。
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03 根的分布与图像关系
两个实根在图像上的表现
总结词：两个交点
详细描述：当一元二次函数有两个实根时，其图像与x轴会有两个交点。这两个交点的横坐标即为函 数的两个实根。
一个实根在图像上的表现
总结词：一个交点
详细描述：当一元二次函数有一个实根时，其图像与x轴会有一个交点。这个交点的横坐标即为函数的实根。
一元二次函数函数的根的分布(有 图)
目录
• 一元二次函数的基本性质 • 根的分布条件 • 根的分布与图像关系 • 根的分布的实际应用 • 总结与展望
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t
一．一元二次方程实根的基本分布——零分布
1x 、2x 均为正⇔△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0；
1x 、2x 均为负⇔△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；
1x 、2x 一正一负⇔1x 2x ＜0。
二．一元二次方程实根的非零分布——k 分布
1x 、2x 均比常数k 大⇔△≥0，
（1x －k ）＋（2x －k ）＞0，（1x －k ）（2x －k ）＞0； 1x 、2x 均比常数k 小⇔△≥0，
（1x －k ）＋（2x －k ）＜0，（1x －k ）（2x －k ）＞0； 1x 、2x 一个比k 大，一个比k 小⇔△＞0，
（1x －k ）（2x －k ）＜0。
当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间（不包括2和4），或者两根中一根介于0与1之间，另一个根介于3与4之间，这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂。
那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数量运算较多，缺乏直观性。
这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解。
我们知道，如果二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有交点，那么交点的横坐标即为二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实数根。
反之亦然。
利用这一点来看
问题1：什么条件下，二次方程20(0)ax bx c a ++=≠两个实数根1x 、2x 一个比t 大，另
一个比t 小（t 是给定的常数）？问题等价于：什么条件下，二次函数()f x =2(0)ax bx c a ++≠图像与x 轴两个交点分布在点(,0)t 两侧？利用图像说明（简单起见，只画横轴，不画纵轴）。
显然，当0a ＞时，()0f t ＜； 当0a ＜时，()0f t ＞。
问题2：什么条件下，二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠两个实数根1x 、2x 都比常数t 大？
构造二次函数()f x =2(0)ax bx c a ++≠，结合图形，
x1
x2
t
当0
a＞时，△≥0，
2
b
t
a
-＞，()0
f t＞；当0
a＜时，△≥0，
2
b
t
a
-＞，()0
f t＜。
问题3：什么条件下，二次方程20(0)
ax bx c a
++=≠两个实数根
1
x、
2
x都比常数t小？
构造二次函数()
f x=2(0)
ax bx c a
++≠
当0
a＞时，△≥0，
2
b
t
a
-＜，()0
f t＞；当0
a＜时，△≥0，
2
b
t
a
-＜，()0
f t＜。
问题4：什么条件下，二次方程20(0)
ax bx c a
++=≠两个实数根
1
x、
2
x满足
1
x＜s，
2
x ＞t（其中s、t为给定常数且s＜t）？
构造二次函数()
f x=2(0)
ax bx c a
++≠，结合图形，
当0
a＞时，()0
f s＜，()0
f t＜；当0
a＜时，()0
f s＞，()0
f t＞。
问题5：什么条件下，二次方程20(0)
ax bx c a
++=≠两个实数根
1
x、
2
x均介于s、t之间（其中s、t为给定常数且s＜t）？
构造二次函数()
f x=2(0)
ax bx c a
++≠
当0
a＞时，△≥0，
2
s t
a
-
＜＜，()0
f s＞，()0
f t＞；
当0
a＜时，△≥0，
2
b
s t
a
-
＜＜，()0
f s＜，()0
f t＜。