2017-2018学年河南省中原名校(豫南九校)高三数学上第四次质量考评(期中)(文)试题(附答案)

河南省中原名校（豫南九校）2018届高三上学期第四次质量考评（期中）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集2{3,1,21}U a a =-+,集合{1,3}A = ，{0}U A C =,则a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2- D ．1-2.复数11bii+-的实部与虚部相等，则实数b 的值为（ ） A ．0 B ．17 C ．17- D ．1- 3. 若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,0]-B ．(1,0)-C ．(,0)[1,)-∞+∞D ．()(,1)0,-∞-+∞ 4. 如果33log log 4m n +≥，那么m n +的最小值为（ ） A ．4 B． C. 9 D ．185. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABD6. 连接双曲线22221x y a b -=和22221y x b a-=（其中,0a b >）的四个顶点的四边形面积为1S ，连接四个焦点的四边形的面积为2S ，则21SS 的最小值为（ ）AB ．2C.D ．37. 已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）①()()()f b f a f c >>；②函数()f x 在x c =处取得极小值，在x e =处取得极大值； ③函数()f x 在x c =处取得极大值，在x e =处取得极小值； ④函数()f x 的最小值为()f d .A ．③B ．①② C.③④ D ．④ 8. 若将函数sin(3)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象向右平移4π个单位后得到的图象关于点(,0)3π对称，则ϕ=（ ） A ．4π-B ．4π C. 3π D ．3π- 9. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足NF =，则点F 到MN 的距离为（ ）A ．12B ．1 C. D ．210. 在ABC ∆中，222a c b +=cos A C +的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C.3 D ．411. 已知2214a b +=，则cos 2sin a b θθ+的最大值为（ ）A ．1B C. 2 D ．12. 已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 为增函数，且1()(())1f x f f x x⋅+=，则(1)f 等于（ ）A B C. D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.111123++>，111312372++++> ，111122315++++> ， 则按此规律可猜想第n 个不等式为 ．14.如图，长方体1111ABCD A B C D -的三个面的对角线1AD ，1A B ，AC 的长分别是1，2，3，则该长方体的外接球的表面积为 ．15.已知点M 在椭圆221369x y+=上，M P '垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P '，并且M 为线段PP '的中点，则P 点的轨迹方程是 ． 16.已知数列{}n a 满足11a =，122n n n n a a a +=+.记2nn nC a =，则数列{}n C 的前n 项和12...n C C C +++= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 海中一小岛C的周围8)n mile 内有暗礁，海轮由西向东航行至A 处测得小岛C 位于北偏东75︒，航行8nmile 后，于B 处测得小岛C 在北偏东60︒（如图所示）.（1）如果这艘海轮不改变航向，有没有触礁的危险？请说明理由.（2）如果有触礁的危险，这艘海轮在B 处改变航向为东偏南α（0α>）方向航行，求α的最小值.附：tan 752︒=+18.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//,2,1EF AB AB BC EF ===，60BAD ∠=︒，G 为BC 的中点.（1）求证：//FG 平面BED ； （2）求证：平面BED ⊥平面AED .19.在ABC ∆中，满足AB AC ⊥，M 是BC 中点.（1）若AB AC =，求向量2AB AC + 与向量2AB AC + 的夹角的余弦值；（2）若O 是线段AM 上任意一点，且AB AC ==，求OA OB OC OA ⋅+⋅ 的最小值.20.设椭圆2221(3x y a a +=的右焦点为F ，右顶点为A .已知1OA OF -=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程及离心率e 的值；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围. 21. 设函数()()f x mx n =+ln x .若曲线()y f x =在点(,())P e f e 处的切线方程为2y x e =-（e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式2()(1)f x x λ≤-恒成立，求实数λ的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，曲线2C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）.（1）将两曲线化成普通坐标方程；（2）求两曲线的公共弦长及公共弦所在的直线方程. 23.选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式32x x a -+-<. （1）当3a =时，解不等式；（2）如果不等式的解集为空集，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BAADD 6-10:BAABA 11、12：CB 二、填空题 13.11111123212n n ++++++>- 14.7π 15.2236x y += 16. 2n n ⋅ 三、解答题17.解：（1）如图1，过点作直线AB 的垂线，交直线AB 于点D . 由已知得15A ∠=︒，30CBD ∠=︒，15ACB ∠=︒， ∴8AB BC nmile ==.∴在Rt BCD ∆中，sin CD AB CBD =⋅∠=1842nmile nmile ⨯=.又48<，∴海轮由触礁的危险.（2）如图2，延长CD 至E ，使8)CE nmile =，故12)DE nmile =.由（1）得tan30CDBD ==︒.∴tan 2DE DBE BD ∠===-∵tan 752︒=tan152︒==-即tan tan15DBE ∠=︒，∴15DBE ∠=︒. 故海轮应按东偏南15°的方向航行.18.解：（1）解:（1）证明:取BD 中点O ，连接,OE OG .在BCD ∆中，因为G 是BC 中点，所以//OG DC 且112OG DC ==，又因为//EF AB ，//AB DC ，所以//EF OG 且EF OG =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以//FG OE . 又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以，//FG 平面BED .（2）证明:在ABD ∆中，1,2,60AD AB BAD ==∠=︒，由余弦定理可得BD =进而90ADB ∠=︒,即BD AD ⊥.又因为平面AED ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,平面AED ⋂平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面AED .又因为BD ⊂平面BED ,所以，平面BED ⊥平面AED . 19.解:（1）设向量2AB AC + 与向量2AB AC +的夹角为θ,()()22cos 22AB AC AB AC AB AC AB ACθ+⋅+=+⋅+ ，令AB AC a ==，224cos 5θ==. （2）∵AB AC == ，∴1AM =， 设OA x = ，则1OM x =-.而2OB OC OM += ，所以()2OA OB OC OA OM ⋅+=⋅ 22112cos 22222OA OM x x x π⎛⎫=⋅=-=-- ⎪⎝⎭ .当且仅当12x =时，()OA OB OC ⋅+ 的最小值是12-.20.解：（1）设(,0)F c ，∵1a c -=，∴1a c =+，2212a c c =++ 又222a b c =+，∴312c =+，1c =，∴2a =， 所以21c =，因此24a =.所以，椭圆的方程为22143x y +=.12c e a ==.（2）解：设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，设(,)B B B x y ， 由方程组22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得2222(43)1616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243B ky k -=+.由（1）知，(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =- ，2229412(,)4343k kBF k k -=++ .由BF HF ⊥，得0B F F H ⋅= ，所以222124904343H ky k k k -+=++，解得29412H k y k -=.因此直线M H 的方程为219412k y x k k-=-+.设(,)M M M x y ，由方程组2(2)19412y k x k y x k k =-⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，消去y ，解得2220912(1)M k x k +=+，在MAO ∆中，MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔≤，即2222(2)M M M Mx y x y -+≤+，化简得1M x ≥，即22209112(1)k k +≥+，解得k ≤，或k ≥所以，直线l的斜率的取值范围为(,)-∞+∞ . 21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ()ln mx nf x m x x+'=+. 依题意得()f e e =，()2f e '=，即0,2,me n me nm e +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩ 所以1,0m n ==.所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e，单调递增区间是1(,)e +∞.（2）设函数2()ln (1)H x x x x λ=+-，故对任意[1,)x ∈+∞，不等式()0(1)H x H ≤=恒成立. 又()ln 12H x x x λ'=+-，当()ln 120H x x x λ'=+-≤，即ln 12x xλ+≤恒成立时， 函数()H x 单调递减，设ln 1()x r x x+=，则2ln ()0x r x x -'=≤，所以max ()(1)1r x r ==，即1122λλ≤⇔≥，符合题意； 当0λ≤时，()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增. 于是，不等式()(1)0H x H ≥=对任意[1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意； 当102λ<<时，设()()ln 12q x H x x x λ'==+-， 则1()20q x xλ'=-=112x λ⇒=>； 当1(1,)2x λ∈时，1()20q x xλ'=->，此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增， 所以()ln 12H x x x λ'=+-(1)120H λ'>=->， 故当1(1,)2x λ∈时，函数()H x 单调递增. 于是当1(1,)2x λ∈时，()0H x >成立，不符合题意； 综上所述，实数λ的取值范围为：1[,)2+∞.22.解：（1）由题知，曲线1C ：1ρ=的直角坐标方程为：221x y +=①， 圆心为(0,0)，半径为1；曲线2C ：12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的直角坐标方程为22(1)(1)4x y -+-=②，（2）由①-②得，2210x y ++=，此即为过两圆的交点的弦所在的直线方程.圆心(0,0)到直线2210x y ++=的距离d故两曲线的公共弦长为. 23.解：（1）原不等式233x x -+-<.当2x <时，原不等式化为523x -<，解得1x >，∴12x << 当23x ≤≤时，原不等式化为13<，∴23x ≤≤.当3x >时，原不等式化为253x -<，解得4x <，∴34x <<.综上，原不等式解集为}{14x x <<.（2）解法一：作出23y x x =-+-与y a =的图象. 若使23x x a -+-<解集为空集，只须23y x x =-+-的图象在y a =的图象的上方，或y a =与1y =重合， ∴1a ≤，所以a 的范围为(,1]-∞.解法二：23y x x =-+-25(3)1(23)52(2)x x x x x -≥⎧⎪=≤≤⎨⎪-<⎩，当3x ≥时，1y ≥， 当23x ≤<时，1y =， 当2x <时，1y >，综上1y ≥，原问题等价于min [23]a x x ≤-+-，∴1a ≤.解法三：∵23231x x x x -+-≥--+=，当且仅当(2)(3)0x x --≤时，上式取等号，∴1a ≤.。