油气层渗流力学

y
(vz ) dxdydzdt
z
dt 时间内，纯流入微元体的流体质量为：
[(vx ) (vy ) (vz )]dxdydzdt
x
y
z
● ●微元体封闭表面内的液体质量变化
dt 时间内，微元体中流体质量增加量为：
() dxdydzdt
t
微元体内流体质量
dxdydz
●渗流力学研究主要解决两类基本问题： ★单相渗流问题中，弄清流域内压力和流速的分布及变化； ★在多相渗流过程中和非等温渗流过程中，弄清流域内饱和 度和温度的分布及变化。
因变量： P、 v、 s、T
自变量： (x, y, z,t)
三、建立数学模型的步骤
2、研究各物理量的条件和情况
过程状况：是等温过程还是非等温过程 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝析系统 相态状况：是单相还是多相甚至是混相 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流规律，

K

0
(
2P x2

2P y 2

2P) z 2

Ct 0
P t
整理得：
2P x2

2P y 2

2P z 2

1

P t
或：
2P 1 P
t
K 称为导压系数，物理意义为单位时间内压力传
Ct 播的地层面积，表明地层压力波传导的速度。
单位为 m2 / s 或 cm2 / s 。
P t
[0
CL 0 (P P0 )]C f
P} t
(C f
0CL )0
P t

Ct
0
P t
CL C f
相对较小，
可忽略不计。
C f 0CL 称为综合压缩系数，表示单位体积岩
石在降低单位压力时，由于孔隙收缩
和液体膨胀所排挤出来的液体体积。
● ● ●方程左端等于方程右端：
二、油气渗流数学模型的一般结构
﹡在渗流过程中，有时伴随发生一些物理化学现象，如能 量传递、弥散、双重孔隙介质中的窜流等，此时还应建立描述 这种特殊现象的特征方程。
基本渗流 微分方程
运动方程 流体和岩石的状态方程 连续性方程
特征方程
边界条件和初始条件
三、建立数学模型的步骤
1、确定建立模型的目的和要求
二、油气渗流数学模型的一般结构
●油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的
流体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象 的内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几 方面的因素：
﹡ 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； ﹡ 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所 以需要建立流体和岩石的状态方程； ﹡ 质量守恒定律是自然界的一般规律，因此基本渗流微 分方程的建立必须以表示物质守恒的连续性方程为基础；
油气层渗流力学
第二章 油气渗流的数学模型
主要内容
§2.1 概述 §2.2 渗流基本微分方程的建立 §2.3 定解条件
§2.1 概 述
●油气渗流数学模型：用数学语言综合表达油气渗流过
程中全部力学现象和物理化学现象的内在联系和运动规律的方 程式（或方程组）。
完 整
渗流综合微分方程（渗流基本微分方程）
微分法 在地层中取一微小的平行六面体单元如图：
M 点质量流速：v
z
分速度分别为：vx
vx

(vx )
x
dx 2
M
dz
vy
vz
M
M
dy
vx

( vx
x
)
dx 2
dx
o
x
y
●同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差
x 方向
dt 时间内，从左侧面流入微元体的质量流量为：
是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流
三、建立数学模型的步骤
3、确定未知量和其它物理量之间的关系
运动方程：速度和压力梯度的关系
dp
vi

f ( A, B, ) dx
状态方程：物理参数和压力关系 Ai fi ( p), Bi fi ( p)
连续性方程：渗流速度V和坐标及时间 或饱和度与坐标和时间的关系
x
y
z
t
§2.2 渗流基本微分方程的建立
四、渗流基本微分方程（数学模型）
将运动方程、状态方程代入连续性方程。 ●方程左端：
(vx )
x

x
[

0
eC
L
(
P

P0
)
(
K

P )] x

K

0
[eCL (PP0 ) x
P ] x

K

0
2P x 2
2P y 2

y2 r2
d 2P dr 2

x2 r3
dP dr
d( 1 y2 / r2 )

dr

y2 r2x
2P 2P d 2P 1 dP
x2

y 2

dr 2
r
dr
或
2P x2

2P y 2

1 r
d dr
(r
dP ) dr
综合压缩系数与导压系数的对应关系
Ⅰ型
Ⅱ型
综合压缩系数 定义式

d (P / dr
x)
r x
y
r2 x2 y2
r
r x2 y2

m(x, y)
(r, )
x

[
x r
d 2P dr 2

d(x / dr
r)
dP dr
]
x r
d(x / r) d( r2 y2 / r)

dr
dr

x2 r2
d 2P dr 2

y2 r3
dP dr
同理：
x2 t
平面径向流
d 2P dr 2

1 r
dP dr

0
2P r 2

1 r
P r

1

P t
球面径向流
d 2P 2 dP
dr 2
r
dr
0
2P 2 P 1 P
r 2
r
r


t
▲坐标变换
P dP r x dP x dr x r dr
2P x2
x
y
z
div(v) 0
两相渗流的基本微分方程（不考虑岩石和流体的压缩性）：
vo


Ko
o
gradP
vw


Kw
w
gradP
(vo x ) (voy ) (voz ) So
x
y
z
t
(vw x ) (vwy ) (vwz ) Sw
div(v) 0
单相渗流的基本微分方程：
K P
vx x
考虑 岩石
v K gradP

vy


K

P y
vz


K

P z
和流 体的
eCL (PP0 ) 0
0[1 CL(P P0 )]
压缩 性
0 C f (P P0 )
M
vy o
v
vx x
§2.2 渗流基本微分方程的建立
二、状态方程
状态方程：描述液体、气体、岩石的状态参数随压力变化 规律的数学方程。
1.液体的状态方程 ( )
CL

1 VL
VL P
CL

1 VL
dVL dP
取全微分
流体质量 M VL
dM dVL VLd 0
整理 dVL d
单相微可压缩流体在微可压缩地层中按达西定律渗流的 渗流基本微分方程。
式中 2 为拉普拉斯算子（算符）。
2

2
x2

2
y 2

2
z 2

为哈密尔顿算子（算符）。



i



j



k
x y z
v () (v) 0 t v K P
[ vx

( vx
x
)
dx ]dydzdt 2
dt 时间内，从右侧面流出微元体的质量流量为：
[ vx

(vx )
x
dx ]dydzdt 2
则微元体在dt 时间内，沿 x 方向流入流出的质量流量差为：
同理：
y方向
z 方向
(vx ) dxdydzdt
x
(vy ) dxdydzdt
eCL (PP0 ) P
eCL ( PP0 )
[
]
x x CL
[1 CL (P P0 ) ]
x
CL
P x
同理：
(vy )
y


K

0
2P y 2
(vz )
z


K

0
2P z 2
则方程左端为：
div(v) (vx ) (vy ) (vz )
VL

CL

1

d
dP
分离变量积分
P P0
CLdP