线连续系统的描述及其响应冲激响应和阶跃响应卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
du (t ) 整理方程组得：d 2u2 (t ) + 7 2 + 6u2 (t ) = 6e(t ) dt 2 dt 特征方程：a2+7a+6=0 特征根：a=-1, a=-6 齐次解：rh(t) = A1e-t +A2e-6t
5
第二章 连续系统的时域分析
② 选定特解后，将它代入到原微分方程，即得到一个由 yh(t)及其各阶导数以及激励共同组成的一个非齐次微 分方程，依据此方程求出待定系数，然后可确定方程 的特解。
3. 求系统的全响应y(t)
y(t)＝方程的全解y(t)＝齐次解yh(t) + 特解 yP(t)
＝自由响应+强迫响应 将上面方程的全解代入系统的初始条件即可得齐次解中 的待定系数，从而进一步得到系统的全响应。此时， 方程的齐次解yh(t)为系统的自由响应，特解yP(t)为系 统的强迫响应（固有响应）。
解: 由原方程可得
dh 2 (t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) = 2δ ′(t ) + 3δ (t ) 2 dt dt
(t ≥ 0)
特征方程: λ2+3λ+2 = 0 特征根: λ1= -1，λ2= -2，且n > m
h (t ) = Ae − t u (t ) + e −2 t (t ) u(t)
20
第二章 连续系统的时域分析
式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程 式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激 响应为 h(t ) = e − t u(t ) + e −2 t (t )
21
第二章 连续系统的时域分析
信号与系统课后题解第二章
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
信号与系统第三章
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
第2章连续系统的时域分析
信号与线性系统 令 t 0 ，可得
2.2 LTI连续系统的响应
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0
0
iC ( )d 0
如果 iC ( t ) 为有限值，则
此时
0 0
iC ( )d 0
uC (0 ) uC (0 )
如果 iC ( t ) ( t ) ，则
y( t ) 2e
2 t
e
3 t
2 cos( t
4
),
t 0
瞬态响应
2-13
稳态响应
信号与线性系统
二、初始条件的确定
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t=0时刻进行
x(0 ) x(0 )
x(t)
0－ 0＋
：换路前一瞬间 ：换路后一瞬间
x(0 ) x(0 )
2-18
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
(3)初始条件的确定
这里我们介绍用冲激函数匹配法来确定 0 状态的
值，它的基本原理根据 t 0 时刻微分方程左右两端
的 ( t ) 及其各阶导数应该平衡相等。
2-19
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
例2-2：如果描述系统的微分方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 3 ( t ) ，给 定 0 状态起始值为 y(0 ) ，确定它 0 的状态 y(0 ) 。
2-4
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
信号与线性系统 (1)齐次解是齐次微分方程
2.2 LTI连续系统的响应 的解。
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
硕士研究生入学考试《电路、信号与系统》考试大纲
中国地质大学研究生院硕士研究生入学考试《电路、信号与系统》考试大纲(包括电路分析、信号与系统两部分)一、试卷结构（一）内容比例电路分析约70分信号与系统约80分全卷 150分（二）题型比例选择题、填空题和判断题约60%解答题约40%二、考试内容及要求电路分析（一）集总参数电路中电压、电流的约束关系考试内容电路中电流电压及功率等变量的定义、参考方向的概念；基尔霍夫定律；电阻元件的定义及V AR；电压源、电流源受控源的基本特性、电路两大约束方程的独立性以及支路分析法。
考试要求1. 了解集总参数电路模型的基本概念。
2. 掌握电压、电流及功率的定义和参考方向的概念。
3. 理解基尔霍夫定律，会理用基尔霍夫定律建立电路方程。
4. 了解电阻元件的定义、电阻元件得分类、以及有源电阻的判别依据。
5. 了解电压源、电流源的定义及基本性质。
6. 了解受控源的定义、分类和基本性质。
7. 了解电路中两大约束关系方程的独立性的基本内容。
8. 掌握支路分析法基本概念，能建立电路的支路电流或电压方程。
（二）电路的基本分析方法考试内容网孔分析法、节点分析法和含运算放大器的电路电路的分析。
考试要求1. 掌握网孔分析的基本分析方法，包括含有受控电源和电流源支路的电路。
2. 掌握节电分析的基本分析方法，包括含有受控电源和电压源支路的电路。
3. 掌握含有运算放大器的电阻电路的分析方法，会建立含运算放大器电路的节点方程，并利用理想运算放大器的特性进行电路的简化。
（三）电路的基本定理考试内容线性电路的比例性，叠加定理，互易定理，置换定理，戴维南定理，诺顿定理，最大功率传输定理，等效的概念以及简单电路的等效变换。
考试要求1．理解线性电路的比例性质，会利用电路的比例性质进行电路的求解。
2. 掌握叠加定理及其应用。
3. 了解互易定理的基本内容及适用范围。
4. 了解置换定理的基本内容以及使用条件。
5. 掌握戴维南定理的基本内容，戴维南等效电路的的计算方法，包括含受控源的电路。
[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应
![[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应](https://img.taocdn.com/s3/m/7c4dc7193968011ca30091ad.png)
2、冲激平衡法 求系统的单位冲激响应
h ( n ) (t ) an1h ( n1) (t ) a1h' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) bm1 ( m1) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
由于t >0+后, 方程右端为零, 故 n>m 时
求解系统的零状态响应yzs (t)方法：
1) 直接求解初始状态为零的微分方程。
2) 卷积法：
利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。
卷积法求解系统零状态响应yzs(t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合
2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应 —— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意 信号f(t)激励下系统的零状态响应yzs (t) 。
?线性时不变系统的描述及特点?连续时间lti系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质?离散时间lti系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质?冲激响应表示的系统特性第第3章系统的时域分析lti系统分析方法概述一系统理论中的主要问题
§3.1 线性时不变系统的描述及特点
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
解
1 电阻 iR t vt R
iR
iL
L C
电感
d vt 电容 iC t C dt iR t iL t iC t iS t 根据KCL
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1
第二章连续系统的时域分析
解得系数为 代入得
A1 2 A2 4
rzi (t) 2e2t 4et ,t 0
（3）零状态响应rzs(t) 满足 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t) 利用系数匹配法解得：
r'zs (0) r'zs (0) 2 2 rzs (0) rzs (0) 0 0
利用初始值解得： A1 1 A2 0
全响应为：
r(t)
e2t
3
t0
（2）零输入响应rzi(t), 激励为0 ， rzi (0+)= rzi (0-)= rzi (0-)=2 rzi’(0+)= rzi’(0-)= rzi’(0-)=0
根据特征根求得通解为：
rzi (t) A1e2t A2et
四．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)
零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
①自由响应：也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励 形式无关。对应于齐次解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。
解得 A1 + B0 = 2 A2= –1
最后得微分方程的全解为
r(t) 2e2t e3t te2t
上式第一项的系数A1+B0= 2，不能区分A1和B0，因而也不能 区分自由响应和强迫响应。
二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0－ 状态和 0＋ 状态 0－ 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储 能产生的； 0＋ 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统 的储能，还受激励的影响。 从 0－ 状态到 0＋ 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－ 状态到 0＋ 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及 其各阶导数。
信号与系统冲激响应和阶跃响应
对系统的微分方程进行拉普拉斯变换
01
将时域中的微分方程转换为复平面上的代数方程。
求解代数方程
02 根据复平面上的代数方程，求解系统的输出响应的拉
普拉斯变换式。
对输出响应的拉普拉斯变换式进行反变换
03
将复平面上的输出响应的拉普拉斯变换式反变换回时
域，得到系统的阶跃响应。
频域分析法求解阶跃响应
确定系统的频率响应函数
02 冲激响应与阶跃响应概述
冲激函数定义及性质
定义
冲激函数是一种特殊的信号，它在某一时刻取值为无穷大，而在其他时刻取值 为零。
性质
冲激函数具有筛选性、可加性、奇偶性等性质，其中筛选性是指冲激函数与任 何函数相乘的结果都等于该函数在冲激时刻的值。
阶跃函数定义及性质
定义
阶跃函数是一种在某一时刻发生跳变的信号，它的取值在跳变前为0，跳变后为1 （或其他常数）。
卷积积分法求解冲激响应
确定系统单位冲激响应。
利用卷积积分公式，将输入信号与系统单位冲激响应进 行卷积运算。
将输入信号表示为冲激函数的线性组合。
对卷积结果进行积分，得到系统的零状态响应，即为冲 激响应。
04 离散时间系统冲激响应分 析
差分方程求解方法
迭代法
通过逐步代入差分方程，求解系统的冲激响应。
区别
冲激响应描述的是系统在极短时间内对输入信号的响应，而阶跃响应描述的是系统在长时间内对输入信号的响应。 此外，冲激响应可以通过卷积运算得到系统的零状态响应，而阶跃响应则可以通过对冲激响应进行积分得到。
03 连续时间系统冲激响应分 析
微分方程求解方法
经典法
01
通过求解系统微分方程的通解，并根据初始条件确定特解，从
信号与系统 第二章
例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 解： 选新变量y1(t) 它满足 y1”(t)+5y1’(t)+6y1 (t)=f(t) 设 h1(t)为冲激 响应，得到系统的冲激响应 h(t)= h1”(t) + 2 h1’(t) + 3 h1(t) 式1 求h1？同例1，得其冲激响应 h1 (t)=(e-2t -e-3t)ε(t) 再求h1”(t) 、 h1’(t) ，并带入 式1 ， 等到系统的冲激响应为 h(t)= δ(t)+（3e-2t -6e-3t)ε(t)
ˆ (t ) f
n
f (n)p(t n)
lim
0
ˆ (t ) f (t ) f
f ( ) (t ) d
2 .任意信号作用下的零状态响应
f (t)
根据h(t)的定义： 由时不变性：
LTI系统 零状态
yf(t) h ( t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
对式(1)两端积分有
0
0
y' ' (t )dt 3 y' (t )dt 2 y(t )dt 2 (t )dt 6 (t )dt
0 0 0 0
0
0
0
0
由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续， 故 0 0 0 y(t )dt 0, 0 (t )dt 0
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
信号与系统(72学时)
《信号与系统》课程教学大纲课程代号：21100080总学时：72 （讲授/理论 64 学时，实验/技术/技能 8 学时，上机/课外实践学时）适用专业：电子信息工程，电子信息科学与技术，电子科学与技术先修课程：《高等数学》，《电路基础》，《数字电路》，《模拟电路》一、本课程地位、性质和任务信号与系统课程是电子技术，通讯，自动化，信号检测，信息处理，计算机等专业的一门主要的技术基础课，主要研究信号与线性系统分析的基本概念和基本分析方法；主要讨论确定信号与线性时不变的特性及数学模型，信号通过系统的基本分析方法及由某些典型信号通过某些典型系统引出的一些重要的基本概念。
通过该课程的学习，学生应掌握信号分析，线性时不变系统基本理论及信号通过线性时不变系统的基本分析方法。
要求学生掌握用系统的观点和方法分析求解电子系统的特性，为后续专业课程的学习和今后专业技术工作打下坚实的基础。
二、课程教学的基本要求本课程作为一门专业基础课，其先行课程基础是工程数学和电路原理（电路分析基础），教学安排在电子技术基础（模拟电子技术和数字电子技术）及计算机程序语言（Matlab）之后为宜。
从学科的性质来看，它综合应用现代数学的概念和分析的方法对工程技术比如电路设计，通信工程，信息处理，自动控制，计算机技术以及生命科学当中的实际问题提供指导思想和分析方法。
通过教学，使学生牢固树立信号与系统的概念，熟练应用数学工具分析典型的物理问题。
了解确知信号的时域、频域描述方法及其相互之间的关系，掌握确知信号通过线性时不变系统的时域、变换域分析方法，强调学以致用，结合实际应用巩固所学知识。
三、课程学时分配、教学要求及主要内容(一) 课程学时分配一览表(二) 课程教学要求及主要内容第1章信号与系统的基本概念教学目的和要求：（1）掌握信号的分类和基本运算；（2）熟练掌握阶跃函数和冲激函数的性质；（3）掌握系统的特性和分析方法。
教学重点和难点:阶跃函数和冲激函数的性质。
第二章(2)冲激响应和阶跃响应
由于等号右端只含有 (t ) ，故 g t 及其直到 n-1 阶导数均连续，即有
g 0 g 0 0, j 0 , 1 , 2 ,, n 1
j j
若方程的特征根均为单根，则 n 1 i t g( t ) ( C i e ) ( t ) a0 i 1 式中1/a0为特解，待定系数Ci由0+初始值确定。 2. 若n阶微分方程的等号右端含有激励f(t)及 其各阶导数，根据系统零状态响应的线性性质 和微分性质，可求得阶跃响应 。
y f ( t ) lim f ( k )hn ( t k )
f ht d
这是求解零状态响 应的另一种方法.
y f (t ) f t * ht
f t * ht
二、卷积的图示
第一步，画出 f1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到 f1 () f 2 () 和 的波形。
可见 h(0 ) h(0 ) 0
'
而 h (t )在
t 0 有跃变。
对 h(t ) 的微分方程从 0 到 0 逐项积分，得
h (0 ) h ( 0 ) 1
' '
h (0 ) 1
'
h(0 ) 0 ' h (0 ) 1
微分方程的特征根为 λ ,λ
求其冲激响应 ht 。 解：设新变量
'' y ( t
y t
它满足方程：
' ) y ( t
) y ( t )) h (t ) 2h (t ) 3h1 (t )
第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
线连续系统的描述及其响应冲激响应和阶跃响应卷积积分
2. 结构约束KCL与KVL
下面举例说明。
例2―1 图2.1所示电路，输入激励是电流源iS(t),试
列出电流iL(t)及R1
u1(t) 为输出响应变量的
方程式。
L
iC(t) iL (t)
iS(t)
＋
R 1 u 1(t)
R2
－
线连续系统的描述 及其响应冲激响应 和阶跃响应卷积积
解 由KVL，列出电压方程
30
线连续系统的描述 及其响应冲激响应 和阶跃响应卷积积
特征根λ1=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为 待定系数，将h(t)代入原方程式有
d [Ae3tu(t)]3Ae3tu(t)2(t)
dt
即 Ae3t(t)3Ae3tu(t)3Ae3tu(t)2(t) A(t)2(t)
解得A=2，因此，系统的冲激响应为
2.1 线性连续系统的描述及其响 应
2.1.1 系统的描述
描述线性非时变连续系统的数学模型是线 性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模 型的基本依据有如下两方面。
1. 元件约束VAR
在电流、电压取关联参考方向条件下：
(1)电阻R，uR(t)=R·iR(t)；
线连续系统的描述 及其响应冲激响应 和阶跃响应卷积积
uC (t0 ) uC (t0 )
iC (t0 ) iL (t0 )
线连续系统的描述 及其响应冲激响应 和阶跃响应卷积积
2.2 冲激响应和阶跃响应
2.2.1 冲激响应
一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单 位冲激信号δ(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲 激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激 信号δ(t)时，系统的零状态响应。其示意图如下图所示。
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
对t>0时，有 时
h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为– ， 微分方程的特征根为 2， – 3。故系统的冲激响应为 。 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 ， 求得C ， 求得 1=3，C2= – 6, 所以 h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得 结合式 得 h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
lim
∆→0
∞
ˆ f (t) = f (t ) = ∫
∞ −∞
f (τ )δ (t −τ ) d τ
第 任意信号作用下的零状态响应
f (t) 根据h(t)的定义： 的定义： 根据 的定义 由时不变性： 由时不变性：
∞
LTI系统 LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
3 .卷积积分的定义 卷积积分的定义
已知定义在区间（ 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数 1(t) ， ）上的两个函数f 和f2(t)，则定义积分 ，
∞
f (t) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t −τ )dτ
−∞
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 卷积； 与 的卷积积分，简称卷积 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的 为积分变量 下进行的， 为积分变量， 注意：积分是在虚设的变量 下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为 的函数。 为参变量。 为参变量 结果仍为t 的函数。
阶跃响应、冲激响应和卷积积分
清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应9.3 冲激响应清华大学电机系电路原理教学组•阶跃响应和冲激响应 本章重点•阶跃函数和冲激函数•卷积积分返回目录•电容电压和电感电流的跃变清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unit step function ）1. 定义tε(t )10()t ε用可描述开关的动作。
+–u C U S ε(t )RCdef0 (0)() 1 (0)t t t ε<⎧=⎨>⎩def S S 0 (0)() (0)t U t U t ε<⎧=⎨>⎩U SS+–u C R C开关在t =0 时闭合清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数tε(t-t 0)t 0def0000 ()() 1 ()t t t t t t ε<⎧−=⎨>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号U SS+–u C RC开关在t =t 0时闭合清华大学电机系电路原理教学组0()()()f t t t t εε=−−t 0t-ε(t -t 0)ε(t )0f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。
例1⎩⎨⎧><<<=), 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0tf (t )0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。
清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)f t t t t t εεε=−−+−11t1t1f (t )例2试用阶跃函数表示图示的波形。
解f (t ) 分成两段表示。
1t101t1+(0< t <1)()[()(1)]f t t t t εε=−−(1< t )()(1)f t t ε=−则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function ）1. 单位脉冲函数1()[()()]p t t t εεΔΔ=−−0lim ()()p t t Δδ→=令1ΔΔ→→∞面积不变Δ1/Δtp (t )0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
∫0
−
第 13 页
§2.6 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解与 • 卷积的图解法
第 14 页
一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解 信号的时域分解
• 预备知识
f1(t)
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
p(t)
1 ∆
A
t
−
f1 (t) = A ∆ p(t)
−
∆ 2
δ (tห้องสมุดไป่ตู้)
h(t )
T {0}
第 2页
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) d t n−1 +L+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t − 3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
阶跃响应冲击响应与卷积积分法
补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包括有电容和电感等动态元件，如此的电路称为动态电路。
在动态电路分析中，鼓励和响应都表示为时刻t 的函数，采纳微分方程求解电路和分析电路的方式，称为时域分析法。
本章要紧讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，和二阶电路在恒定输入下的零状态响应。
§1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变更的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。
本节就来讨论这两种函数的概念、性质及作用于线性动态电路时所引发的响应。
单位阶跃函数（unit step function ）用()t ε来表示，它概念为 0(0)()1(0)t t t ε<⎧=⎨>⎩ 波形如图1-1（a ）所示，在0t =处，()t ε由0跃变至1。
若是单位阶跃函数的跃变点不是在0t =处，而是在0t t =处，波形如图1-1（b ）所示，那么称它为延迟的单位阶跃函数，用0()t t ε-表示，即0000()()1()t t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩图1-1单位阶跃函数与任一常量K 的乘积()K t ε仍是一个阶跃函数，现在阶跃的幅度为K 。
单位阶跃函数与任一函数()f t 的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变成零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()t f t t f t t t t f t t t f t t t εε<⎧=⎨>⎩<⎧-=⎨>⎩因此，单位阶跃函数能够用来“起始”一个任意函数()f t ，这给函数的表示带来了方便。
例如关于线性函数()(f t Kt K =为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)能够清楚地看出()f t 、()()f t t ε及0()()f t t t ε-的不同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2 冲激响应和阶跃响应
2.2.1 冲激响应
一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单 位冲激信号δ(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲 激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激 信号δ(t)时，系统的零状态响应。其示意图如下图所示。
(t)
{×(0)}＝ {0}
h(t)
f (k )(u(t k ) u(t k ))
f (0) (u(t) u(t )) f ( ) u(t ) u(t 2 )
f (k ) (u(t k ) u(t k ))
f (k ) (u(t k ) u(t k ))
k
信号分解为冲激序列
从上图可见，将任意信号f(t)分解成许多小 矩形，间隔为Δτ，各矩形的高度就是信号f(t)在 该点的函数值。根据函数积分原理，当Δτ很小 时，可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近 似表示信号f(t)；而当Δτ→0时，可以用这些小 矩形来精确表达信号f(t)。即
f (t) f (0)(u(t) u(t )) f ( ) u(t ) u(t 2 ))
上式只是近似表示信号f(t),且Δτ越小，其误差越 小。当Δτ→0时，可以用上式精确地表示信号f(t)。 由于当Δτ→0时，kΔτ→τ，Δτ→dτ，且
(u(t k ) u(t k )) (t )
故式在Δτ→0时，有
f (t) lim
y(t)=yx(t)+yf(t)
在零输入条件下，式(2―7)等式右端均为
零，化为齐次方程。若其特征根全为单根，则
其零输入响应
n
yx (t)
c xi e i t
i 1
式中cxi为待定常数。
若系统的初始储能为零，亦即初始状态为
零，这时式(2―7)仍为非齐次方程。若其特征
根均为单根，则其零状态响应
n
yh (t) c1 cos dt c2teat cos dt cmtm1eat cos dt d1eat sin bt d2teat sin bt dmtm1eat sin dt
2.特解
特解的函数形式与激励函数的形式有关。 下表列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应 的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微 分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。
bm-1，…，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特 解组成。齐次方程的解即为齐次解，用yh(t)表示。非齐次方程的 特解用yp(t)表示。即有
y(t)=yh(t)+yp(t)
1.
齐次解满足齐次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
例： 已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为
y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0 试求系统的冲激响应h(t)。 解 冲激响应h(t)满足动态方程式
h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥0
由于动态方程式右边最高次为δ(t)，故方程左边 的最高次h′(t)中必含有δ(t)，故设
h′(t)=Aδ(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 将h′(t)与h(t)分别代入原动态方程有
h(t) 2e3tu(t) d [ f (t)gg(t)] f (t) g(t) f (t)gg(t) dt求导后，对含ຫໍສະໝຸດ δ(t)的项利用冲激信号δ(t)的取
样特性进行化简，即
f (t)gg(t) f (0)g (t)
2.等效初始条件法
系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法，称为 等效初始条件法。冲激响应h(t)是系统在零状态条件 下，受单位冲激信号δ(t)激励所产生的响应，它属于 零状态响应。
跃响应的一般形式(n≥m)为
n
g(t) (
i 1
cieit
b0 a0
)u(t)
2.3 卷积积分
2.3.1
在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解 为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变 为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可 以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解 为冲激信号序列就是其中的一个实例。
由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征 方程为
λn+a n-1λn-1+…+a1λ+a0=0
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根)，则微分方程的齐次解
n
yh (t) cieit
i 1
(2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，
即 有 λ1=λ2=λ3=…=λγ ， 而 其 余 (n-γ) 个 根
例2―1 图2.1所示电路，输入激励是电流源iS(t),试
列出电流iL(t)及R1
u1(t) 为输出响应变量的
方程式。
L
iC(t) iL(t)
iS(t)
＋
R1 u1(t)
R2
－
解 由KVL，列出电压方程
uC (t) u1(t) uL (t) R2iL (t)
L
diL (t) dt
R2iL (t)
R2
gdi1(t) dt
1 LC
i1
(t)
R1
d
2iS (t) dt 2
R1R2 L
gdiS (t) dt
(1)解得的数学模型，即求得的微分方程的阶数与 动态电路的阶数(即独立动态元件的个数)是一致的。
(2)输出响应无论是iL(t)、u1(t)，或是uC(t)、i1(t)， 还是其它别的变量，它们的齐次方程都相同。
n
n
n
cieit
cxieit
c fieit
i 1
i 1
i 1
在电路分析中，为确定初始条件，常常利用系统 内部储能的连续性，即电容上电荷的连续性和电感中 磁链的连续性。这就是动态电路中的换路定理。若换 路发生在t=t0时刻，有
uC (t0 ) uC (t0 )
iC (t0 ) iL (t0 )
对上式求导，考虑到
iC
(t)
C
duC (t) dt
R1iC (t) u1(t)
1 R1C
u1(t)
di1(t) dt
L
di2L (t) dt 2
R2
diL (t) dt
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而
u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
1 C
(iS
(t)
2.2.2
一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入 为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简 称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃 函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17所示。
u(t) 1
0
g(t)
{×(0)}＝ {0}
u(t)
线性非时
g(t)
变系统
t
0
t
阶跃响应示意图
(t)
线 性 非时
h(t)
(1 )
变系统
0
t
0
t
冲激响应示意图
1.冲激平衡法
冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的 恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导 数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。
例： 已知某线性非时变系统的动态方程式为
dy(t) 3y(t) 2 f (t) (t 0) dt
试求系统的冲激响应h(t)。
解 根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时， 即为h(t)，即原动态方程式为
dh(t) 3h(t) 2 (t) (t 0)
dt 由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保 持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。 这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)的形式。考虑到该动态 方程的特征方程为
如果描述系统的微分方程是式
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1
f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) ，
将f(t)=u(t)代入，可求得其特解
b0 u(t) a0
上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶
激励函数及所对应的解
3.
根据上节所讲，完全解是齐次解与特解之
和，如果微分方程的特征根全为单根，则微分
方程的全解为
n
y(t) cieit yp (t)
i 1
当特征根中λ1为γ重根，而其余(n-γ)个
根均为单根时，方程的全解为
n
y(t)
cit 1eit
cie jt y p (t)
i 1
iL
(t))
R1(
diS (t) dt
diL (t ) dt
)
L
d
2iL (t) dt 2
R2
diL (t ) dt
整理上式后，可得
d 2iL (t) dt 2
R1
L
R2
gdiL (t ) dt
1 LC
iL (t )
R1 L
diS (t) dt
1 LC
iS (t)
d
2i1 (t) dt 2
R1
L
y f (t) c fieit y p (t)
i 1
式中cfi为待定常数。 系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应，
也可分解为零输入响应和零状态响应，它们的关系为：
n
n
n
y(t) cieit y p (t) cxieit c fieit y p (t)