高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线方程课件理
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程讲义理含解析
第八章 平面解析几何第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程1．直线的斜率(1)当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即□01k ＝tan α.当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．(2)斜率公式给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，P 2两点的直线的斜率公式为□02k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式1．概念辨析(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．小题热身(1)已知直线l 过点(0,0)和(3,1)，则直线l 的斜率为( ) A ．3 B ．13 C ．－13D ．－3答案 B解析 直线l 的斜率为k ＝1－03－0＝13. (2)在平面直角坐标系中，直线3x ＋y －3＝0的倾斜角是( ) A.π6B ．π3C ．5π6D ．2π3答案 D解析 直线3x ＋y －3＝0的斜率为－3，所以倾斜角为2π3.(3)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 由题意得直线l 的点斜式方程为y －5＝－34[x －(－2)]，整理得3x ＋4y －14＝0.(4)已知直线l 的斜率为k (k ≠0)，它在x 轴，y 轴上的截距分别为k,2k ，则直线l 的方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x －y ＋4＝0C ．2x ＋y －4＝0D ．2x ＋y ＋4＝0 答案 D解析 由题意得，直线l 的截距式方程为x k ＋y2k ＝1，又因为直线l 过(k,0)，(0,2k )两点，所以2k －00－k ＝k ，解得k ＝－2，所以直线l 的方程为x －2＋y－4＝1，即2x ＋y ＋4＝0.题型 一 直线的倾斜角与斜率1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π 答案 B解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.2．(2018·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C.2±52D ．2＋52或0答案 A解析 若A ，B ，C 三点共线，则有k AB ＝k AC ，即a 2－－a2－1＝a 3－－a3－1，整理得a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.3．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．1．直线的倾斜角与其斜率的关系2根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内，由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内，由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.3．三点共线问题若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．1．设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞) 解析 当π4≤α<π2时，k ＝tan α∈[1，＋∞)；当π2<α≤5π6时，k ＝tan α∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33，所以斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)． 2．(2018·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D ．23答案 B解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.题型 二 直线方程的求法1．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x＋13y ＋5＝0.2．(1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为k ， 依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.条件探究 把举例说明2(1)中所求直线绕点A (1,3)，顺时针旋转45°，求所得直线的方程．解 设举例说明2(1)中所求直线的倾斜角为α， 则由举例说明2(1)解析知tan α＝－43，所以90°<α<180°，此直线绕点A (1,3)顺时针旋转45°，所得直线的倾斜角为α－45°， 斜率k ′＝tan(α－45°)＝tan α－11＋tan α＝－43－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝7，点斜式方程为y －3＝7(x －1)， 整理得7x －y －4＝0.给定条件求直线方程的思路(1)求直线方程常用的两种方法①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．(2)设直线方程的常用技巧①已知直线纵截距b 时，常设其方程为y ＝kx ＋b . ②已知直线横截距a 时，常设其方程为x ＝my ＋a .③已知直线过点(x 0，y 0)，且k 存在时，常设y －y 0＝k (x －x 0)．1．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)答案 D解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.2．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解 (1)由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别为－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，则它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 题型 三 直线方程的综合应用角度1 由直线方程求参数问题1．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．角度2 与直线方程有关的最值问题 2．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·＋2k2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．2．过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0. (2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y－6＝0.。
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程课件理
冲关针对训练 已知直线 l 过点 M(1,1)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线 l 的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2 取得最小值时，直线 l 的方程．
第三十四页，共46页。
解 (1)设 A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)．
第四页，共46页。
2．直线方程的五种形式
第五页，共46页。
第六页，共46页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)直线的斜率为 tanα，则其倾斜角为 α.( × ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × ) (3)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0) 表示．( × ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线 都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
设直线 l 的方程为ax＋by＝1，则1a＋1b＝1，
所以
|OA|＋|OB|＝a＋
b
＝
(a
＋b)1a＋1b＝2
＋
a b
＋ba≥2＋
2 ab·ba＝4， 当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线 l 的方程为 x
＋y－2＝0.
第三十五页，共46页。
(2)设直线 l 的斜率为 k，则 k<0， 直线 l 的方程为 y－1＝k(x－1)， 则 A1－1k，0，B(0,1－k)， 所以|MA|2＋|MB|2＝1－1＋1k2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2 ＋k2＋k12≥2＋2 k2·k12＝4. 当且仅当 k2＝k12，即 k＝－1 时取等号，此时直线 l 的 方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0.
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程课件
4．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________． π4或34π [设直线的倾斜角为α，则|tan α|＝1，∴tan α＝±1. 又α∈[0，π)，∴α＝π4或34π.]
1234
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
直线的倾斜角与斜率 直线方程的求法 直线方程的综合应用
1234
ABC [对于A选项，该方程不能表示过点P且垂直于x轴的直线， 即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A不正确；对于B选项，该 方程不能表示过点P且平行于x轴的直线，即该方程不能表示斜率为零 的直线，所以B不正确；对于C选项，斜截式不能表示斜率不存在的直 线，所以C不正确；对于D选项，经过任意两个不同的点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示，是 正确的，该方程没有任何限制条件，所以D正确．]
选A.]
1234
3．(多选)下面说法中错误的是( ) A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程x－x0＝m(y－y0)表示 C．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用 方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
截距式 一般式
纵、横截距
不过原点，且与两坐 ___ax_＋__by_＝__1__ 标轴均不垂直的直线 Ax＋By＋C＝0 平面内所有直线都适 (A2＋B2≠0) 用
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负， 也可以是零，而“距离”是一个非负数．
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第1节 直线的倾斜
(1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y＝－4x 的斜率的13的直线方程． (2)求经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程．
解析
解析：①当 m＝2 时，直线 l 的方程为 x＝2； ②当 m≠2 时，直线 l 的方程为3y－－11＝mx－－22， 即 2x－(m－2)y＋m－6＝0. 因为 m＝2 时，代入方程 2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为 x＝2， 所以直线 l 的方程为 2x－(m－2)y＋m－6＝0. 答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0
1．直线 x＝π3的倾斜角等于
A．0
B．π3
C．π2
解析：直线 x＝π3，知倾斜角为π2.
答案：C
D．π
()
2．(易错题)(2015·绥化一模)直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜角的
取值范围是
()
A．[0，π) C．0，π4
B．0，π4∪34π，π D．0，π4∪π2，π
第八章 解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
向上方向 平行或重合
[0，π)
y2－y1 x2－x1
tan α
名称 点斜式 斜截式
方程 _y－__y_0_＝__k_(_x_－__x_0)_
_y＝__k_x_＋__b__
适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线
名称
方程
适用范围
两点式 截距式
2．过点 M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方 程为________． 解析：①若直线过原点，则 k＝－43， 所以 y＝－43x，即 4x＋3y＝0. ②若直线不过原点．设xa＋ay＝1，即 x＋y＝a. 则 a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为 x＋y＋1＝0. 答案：4x＋3y＝0 或 x＋y＋1＝0
高考一轮复习第8章解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程
第八章 解析几何第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__． 知识点二 直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．知识点三 直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 __y －y 0＝k(x －x 0)__不含直线x ＝x 0 斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于x 轴、平行于x 轴和__过原点的__直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 其中要求__A 2＋B 2≠0__适用于平面直角坐标系内的所有直线重要结论直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k 0k ＞0且α越大，k 就越大不存在k ＜0且α越大，k 就越大双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 38T3)经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3．3．(必修2P 100A 组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0__．[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5．所以直线方程为x ＋y －5＝0． 题组三 走向高考4．(2016·北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x ，y)在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( C ) A ．－1 B ．3 C ．7D ．8[解析] 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)， 2≤x≤4．即2x ＋y －9＝0,2≤x≤4，因为P(x ，y)在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9．又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x －y 最大值为7．5．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[解析] 由题意可知切线的斜率k ＝tan α＝－4exe x＋12＝－4e x＋1ex ＋2，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴3π4≤α＜π，故选D ．考点突破·互动探究考点一 直线的倾斜角与斜率——自主练透例 1 (1)(2021·兰州模拟)直线2xcos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π (3)已知曲线f(x)＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( C )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e[解析] (1)直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α．由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3．(2)如图所示，设直线l 的倾斜角为α，α∈[0，π)． k PA ＝－1＋20－1＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1．∵直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点， ∴－1≤tan α≤1．∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π．故选A ．(3)解法一：∵f(x)＝ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x ．设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率k ＝f′(x 0)＝1x 0＝ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e．解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x 及曲线f(x)＝ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C ．[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l 的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．[引申2]若将题(2)中A(1，－2)改为A(－1,0)，其它条件不变，求直线l 斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为__⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4__．[解析]∵P(0，－1)，A(－1,0)，B(2,1)，∴k AP ＝－1－00－－1＝－1，k BP ＝1－－12－0＝1．如图可知，直线l 斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4．名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．(2)求直线斜率的方法： ①定义法：k ＝tan α； ②公式法：k ＝y 2－y 1x 2－x 1；③导数法：曲线y ＝f(x)在x 0处切线的斜率k ＝f′(x 0)．(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为π2，直线垂直于x 轴．〔变式训练1〕(1)(2021·大庆模拟)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( B ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π (2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的值可以是( ABC )A ．12 B ．－2 C ．0D ．1[解析] (1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，选B ．(2)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如图所示，若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k≤k PB ， ∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k≤12，故选A 、B 、C ．考点二 直线的方程——师生共研例2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半； (3)过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍； (4)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．[解析] (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35．∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34．又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5．即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0．(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3．又直线过点(－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0． (3)若直线过原点，则其斜率k ＝25，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0．若直线不过原点，则设其方程为x 2b ＋y b ＝1，由52b ＋2b ＝1得b ＝92，故所求直线方程为x 9＋2y9＝1，即x＋2y －9＝0．∴所求直线的方程为x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0．(4)直线3x －4y －5＝0的斜率为34，与y 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，故所求直线的斜率为－34，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，∴所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0．名师点拨求直线方程应注意的问题(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．〔变式训练2〕(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为__x ＋13y ＋5＝0__．(2)直线3x －y ＋4＝0绕其与x 轴的交点顺时针旋转π6所得直线的方程为__3x －3y ＋4＝0__．(3)已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为__x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0__．[解析] (1)由题意可知BC 的中点为H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴k AH ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－5－32＝－113．故所求直线的方程为y －0＝－113(x ＋5)，即x ＋13y ＋5＝0．(2)直线3x －y ＋4＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，0，斜率为3，倾斜角θ为π3，可知所求方程直线的倾斜角为π6，斜率k ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫或由k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6求，故所求直线的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋433，即3x －3y ＋4＝0．(3)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则3b 2＝3，∴b ＝±1，故所求直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．考点三 直线方程的应用——多维探究例3 已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当△AOB 面积最小时，直线l 的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l 的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l 的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． [解析] 设直线的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b＝1．(1)∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4．此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1．即x ＋2y －4＝0．(2)a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·a b ＝3＋22．故a ＋b 的最小值为3＋22，此时2ba＝a b ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋2．此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1．即x ＋2y －2－2＝0． (3)解法一：设∠BAO ＝θ，则sin θ＝1|MA|，cos θ＝2|MB|，∴|MA|·|MB|＝2sin θcos θ＝4sin 2θ，显然当θ＝π4时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时k l ＝－1，所求直线的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y－3＝0．解法二：|MA|·|MB|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4．当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0． 解法三：若设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1k＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．(4)同(3)|MA|＝1sin θ，|MB|＝2cos θ，∴|MA|2＋|MB|2＝1sin 2θ＋4cos 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ≥9． ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当cos 2θ＝2sin 2θ，即tan θ＝22时取等号∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，此时直线的斜率k ＝－22， 故所求直线的方程为y －1＝－22(x －2)， 即2x ＋2y －2(2＋1)＝0．注：本题也可设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)求解．名师点拨利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．〔变式训练3〕已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，O 为坐标原点．若S △AOB ＝92，求直线l的方程．[解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1b ＝1，ab ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝32故所求直线方程为x 3＋y 3＝1或x 6＋2y3＝1，即x ＋y －3＝0或x ＋4y －6＝0．名师讲坛·素养提升(1)定点问题例4 (此题为更换后新题)已知直线l ：kx －y ＋1＋3k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第一象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋3)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－3,1)． (2)令x ＝0得y ＝3k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，3k ＋1≤0解得k≤－13．故k 的取值范围是(－∞，－13]．(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第四象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋2)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－2,1)． (2)令x ＝0得y ＝2k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，2k ＋1≥0解得k≥0．故取值范围是[0＋∞)．名师点拨过定点A(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．方程为y －y 0＝k(x －x 0)是直线过定点A(x 0，y 0)的充分不必要条件．(2)曲线的切线问题例5 (2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )A ．2B ．12C ．1D ．3[解析] 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，1m ，m≠0，y ＝1x 的导数为y′＝－1x 2，可得切线的斜率k ＝－1m 2，切线方程为y －1m ＝－1m 2(x －m)，代入(2,0)，可得－1m ＝－1m 2(2－m)，解得m ＝1，则切线方程为y －1＝－x ＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为12×2×2＝2．故选A ．〔变式训练4〕(1)直线y ＝kx －k －2过定点__(1，－2)__．(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为__2x －y －2＝0__．。
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率直线的方程课件理
为－34，则直线 l 的方程为(
)
A．3x＋4y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0
D．4x－3y＋14＝0
解析 由点斜式方程知直线 l 的方程为 y－5＝－34(x＋
2)，即 3x＋4y－14＝0.
2．[课本改编]直线 x＋ 3y＋1＝0 的倾斜角是(
)
π
π
2π
5π
A.6 B.3 C. 3 D. 6
以直线方程为 y－3＝－x，即 x＋y－3＝0.
4．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为 ___4___．
解析 kAC＝56－ －34＝1，kAB＝a5－ －34＝a－3.由于 A，B，C 三点共线，所以 a－3＝1，即 a＝4.
板块二 典例探究·考向突破
考向 直线的倾斜角与斜率 例1 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 3 )为端点 的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 (_－__∞__，__－___3_]_∪__[_1_，__＋__∞__)_．
解析 由题意可知，直线 l 的斜率 k＝m12－－21＝1－m2≤1.
又 直 线 l 的 倾 斜 角 为 α， 则 有 tanα≤1 ， 即 tanα<0 或
0≤tanα≤1，所以π2<α<π 或 0≤α≤π4.
考向 求直线的方程 例 2 根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.
y2－y1 式为 k＝__x_2_－__x_1 __.
考点 2 直线方程的几种形式
高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程课件(理)
第八章
平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
[考纲考情] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过 两点的直线斜率的计算公式．
2．掌握确定直线位置的几何要素． 3．掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式 等)，了解斜截式与一次函数的关系．
主干知识·整合 热点命题·突破
2．过点 M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( )
A．1
B．4
C．1 或 3
D．1 或 4
解析：由题意知，4m－＋m2＝1，解得 m＝1. 答案：A
直线方程
1．直线方程的五种形式
名称 几何条件
方程
斜截 纵截距、 ____________
式 斜率
点斜 过一点、 ____________
的中点 M 的坐标为(x，y)，则xy＝ ＝
， ，此公式为线段
P1P2 的中点坐标公式．
答案
1．y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0) yy2－－yy11＝xx2－－xx11 ax＋by＝
1
2.x1＋2 x2
y1＋y2 2
3．判断正误 (1)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0) 表示．( ) (2)过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线一定可用两点式表 示．( ) (3)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表 示．( )
2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的________叫做这条直 线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝________，倾 斜角是 90°的直线斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公 式为 k＝________．
全国版2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率直线的方程课件理
பைடு நூலகம் 4.直线方程的五种形式
名 称 已知条件
点斜式 斜截式
斜率k与点 (x1,y1) 斜率k与直 线在y轴上 的截距b
方程
适用范围
_y_-_y_1_=_k_(_x_-_x_1)_ 不含直线x=x1
_______ y=kx+b
不含垂直于x 轴的直线
名 称 已知条件
方程
适用范围
两点式 截距式
两点(x1,y1), (x2,y2)
答案:
∪[5,（+∞ ), 1 ] 2
（ , 1 ] 2
【一题多解】解答本题,还有如下解法: 设直线l的斜率为k, 则直线l的方程为y-2=k(x+1), 即kx-y+k+2=0.
因为A,B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上,
所以(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)≤0,
即(k-5)(4k+2)≥0,所以k≥5或k≤
2.若将本例题(2)中点P的坐标改为P(-3,2),则直线l的 斜率的取值范围是什么?
【解析】因为P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则
k PA
3 2
2 3
5,
k PB
3
0
2
3
1 3
,
借助图形可知,直线l的斜率的取值范围为 [5, 1]. 3
【变式训练】已知△ABC的三个顶点为A(-3,0), B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC所在直线的方程. (2)BC边的垂直平分线DE的方程. (3)过点A与BC平行的直线的方程.
【解析】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,
高三数学一轮复习 8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件
完整版ppt
17
如图所示:
因此,直线l的斜率k的取值范围为k≤-4或 k 或3 k不存在.
4
完整版ppt
18
方法二:当直线l的斜率k不存在时,方程为x=1,此时符合题意; 当直线l43;1-k=0, 若直线l与线段AB有交点,则A,B两点在直线l的异侧(或A,B之一 在直线l上), 故(2k+4-k)·(-3k+3-k)≤0,
完整版ppt
19
即(k+4)(4k-3)≥0,解得k≤-4或 k 3 .
4
综合可知:k≤-4或 k 或3 k不存在.
4
答案:k≤-4或 k 或3 k不存在
4
完整版ppt
20
【互动探究】若本例(2)中的条件“直线l过点P(1,1)且与线段 AB有交点”改为“直线l过点P(1,1)且与线段AB没有交点”,则k 的取值范围如何? 【解析】由本例(2)可知k的取值范围为 4＜ k＜ 3 .
完整版ppt
16
【规范解答】
(1)选B.因为直线方程为x+(a2+1)y+1=0,所以直线的斜率
k＝－ 故1 k，∈[-1,0),由正切函数图象知倾斜角
a2 1
(2)方法一:因为A(2,-3),
[3 , ). 4
B(-3,-2),P(1,1), 所以 k P A 2 3 1 1 4 ， k P B 2 3 1 1 4 3 ,
②计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴, 则k=__xy_22___xy11_(_x_1___x_2)_.
完整版ppt
4
2.两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件
两直线位置关系
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程课件
直线的倾斜角和斜率
(1)直线 x－ycos θ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角 α 的取值范围是 ________．
(2)(2017·舟山模拟)若直线 l 过点 P(－3,2)，且与以 A(－2，－3)， B(3,0)为端点的线段相交，则直线 l 的斜率的取值范围是________．
(1)π4，34π (2)－5，－13 [(1)当 θ＝kπ＋π2(k∈Z)时，cos θ＝0，直线为 x＋1 ＝0，其倾斜角为π2.
令－3＜1－2k＜3，解不等式得 k＜－1 或 k＞12. (2)直线 l 的斜率 k＝13＋－m22＝1＋m2≥1，所以 k＝tan α≥1. 又 y＝tan α 在0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.]
2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确计算； (2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为 k≤－5 或 k≥－13.
[变式训练 1] (1)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，
则其斜率 k 的取值范围是( )
A．－1＜k＜15
B．k＞1 或 k＜12
2．(教材改编)若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的
中点坐标为(1，－1)，则直线 l 的斜率为( )
1 A.3
B．－13
C．－32
2 D.3
B [设 P(x,1)，Q(7，y)，则x＋2 7＝1，y＋2 1＝－1，
∴x＝－5，y＝－3，即 P(－5,1)，Q(7，－3)，
当 θ≠kπ＋π2(k∈Z)时，直线 l 的斜率为
tan α＝co1s θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以直线 l 的倾斜角的取值范围是π4，π2∪π2，34π.
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 81 直线的倾斜角与斜率、直线方程课件 理
2021/12/8
第十九页，共四十二页。
斜率取值范围的两种求法 1．数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形， 结合正切函数的单调性确定。 2．函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之 亦可。
2021/12/8
第二十页，共四十二页。
答案 (1)0，4π∪34π，π
2021/12/8
第二十一页，共四十二页。
(2)已知两点 M(2，－3)，N(－3，－2)，斜率为 k 的直线 l 过点 P(1,1)且 与线段 MN 相交，则 k 的取值范围是________。
解析 (2)因为 kPM＝1－1－－23＝－4，kPN＝11－ －－ －23＝34，所以 k 的取值 范围为(－∞，－4]∪34，＋∞。
2021/12/8
第六页，共四十二页。
3．直线方程的五种形式
名称
条件
点斜式 斜率 k 与点(x0，y0)
斜截式 斜率 k 与截距 b
两点式 两点(x1，y1)， (x2，y2)
方程 y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b yy2－－yy11＝xx2－－xx11
适用范围
不含直线 x＝x0
不含垂直于 x 轴 的直线 不含直线 x＝ x1(x1＝x2)和直线 y＝y1(y1＝y2)
答案 (2)(－∞，－4]∪34，＋∞
2021/12/8
第二十二页，共四十二页。
考点二 直线的方程 【例 2】 (1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y＝－4x 的斜率的13的直线方程。 (2)求经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直 线方程。
解 (1)设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－4×13＝－43。又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝－43(x－1)，即 4x＋3y－13＝0。
高考数学一轮总复习第八章解析几何8.1直线的倾斜角与斜率直线的方程课件理
A．3x＋4y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0
D．4x－3y＋14＝0
解析：y－5＝－43(x＋2)，即 3x＋4y－14＝0.
答案：A
第十二页，共42页。
3．如果 AC<0，BC<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
第二十六页，共42页。
求直线方程的 2 个注意点 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适合条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式， 应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
第二十七页，共42页。
[自 主 演 练] 已知点 A(3,4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点 A 且在两坐标轴上截距相等； (2)经过点 A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
第三页，共42页。
1
考情分析
第四页，共42页。
考点分布 直线方程
考纲要求
1.在平面直角坐标系中，结合具体图 形，确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过两点的直线斜率的计算公式 .
3.能根据两条直线的斜率判定这两条 直线平行或垂直.
4.掌握确定直线位置的几何要素，掌 握直线方程的几种形式(点斜式、 两点式及一般式)，了解斜截式与 一次函数的关系.
必修(bìxiū)部分
第八章 解析几何(jiě xī jǐhé)
第一节 直线的倾斜角与斜率(xiélǜ)、直线的 方程
第一页，共42页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 3 )为端点的线段有公共点，则 直线l斜率的取值范围为__________．
(－∞，－ 3]∪[1，＋∞) [如图，
一条直线经过点 A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面 积为 1，则此直线的方程为________．
x＋2y－2＝0 或 2x＋y＋2＝0 [设所求直线的方程为ax＋by＝1. ∵A(－2,2)在直线上，∴－2a＋2b＝1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1，∴12|a|·|b|＝1.② 由①②可得(1)aa－ b＝b＝ 2，1， 或(2)aa－ b＝b＝ －－ 2. 1，
A.0，π4
B.34π，π
C.0，π4∪π2，π
D.π4，π2∪34π，π
B [由直线方程可得该直线的斜率为－a2＋1 1，又－1≤－a2＋1 1＜0，所以倾 斜角的取值范围是34π，π.]
2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__________．
(2)由题设知横截距与纵截距都不为 0，设直线方程为ax＋12－y a＝1， 又直线过点(－3,4)，从而－a3＋124－a＝1，解得 a＝－4 或 a＝9. 故所求直线方程为 4x－y＋16＝0 或 x＋3y－9＝0.
[规律方法] 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各 种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采 用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－
y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(教材改编)若过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值
为( )
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线 l 的方程为6x＋3y＝1，
即 x＋2y－6＝0.
[规律方法] 与直线方程有关的最值问题的解题思路 1借助直线方程，用 y 表示 x 或用 x 表示 y； 2将问题转化成关于 x或 y的函数；,3利用函数的单调性或基本不等式求 最值.
已知直线 l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当 0＜a ＜2 时，直线 l1，l2 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实 数 a 的值．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C [由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－A>0，在 y 轴上的截距 －CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]
直线的倾斜角和斜率
1．(2019·石家庄模拟)直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是( )
1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向__上__方__向__ 之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴_平__行__或__重__合___时，规定它的倾 斜角为0. (2)范围：直线l倾斜角的取值范围是_[_0_，__π_) __． 2．斜率公式 (1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝__ta_n__α__. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝yx22－ －yx11.
[常用结论]
牢记倾斜角α与斜率k的关系
(1)当α∈0，π2且由0增大到2πα≠π2时，k的值由0增大到＋∞.
(2)当α∈
π2，π
时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由
π 2
α≠π2
增大
到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．
[基础自测]
[解] 由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截距为 2－a， 直线 l2 在 x 轴上的截距为 a2＋2，
所以四边形的面积 S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2) ＝a2－a＋4＝a－122＋145， 当 a＝12时，四边形的面积最小， 故实数 a 的值为12.
A．x＋y＝2
B．x＋y＝1
C．x＝1 或 y＝1
D．x＋y＝2 或 x＝y
D [若直线过原点，则直线为 y＝x，符合题意，若直线不过原点，设直线 为mx ＋my ＝1，代入点(1,1)，解得 m＝2，直线方程整理得 x＋y－2＝0，故选 D.]
5．如果 A·C<0 且 B·C<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( )
∵kAP＝12－ －01＝1，kBP＝ 03－－10＝－ 3，∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．]
[规律方法] 直线倾斜角的范围是[0，π，根据斜率求倾斜角的范围时，要
分
两种情况讨论.
易错警示：由直线的斜率 k 求倾斜角 α 的范围时，要对应正切函数的图象来 确定，要注意图象的不连续性.
直线的方程
由(1)解得ab＝ ＝21， ， 或ab＝ ＝－ －12， ， 方程组(2)无解． 故所求的直线方程为2x＋1y＝1 或－x1＋－y2＝1，即 x＋2y－2＝0 或 2x＋y＋2 ＝0 为所求直线的方程．]
直线方程的综合应用
【例 2】 过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为 坐标原点．
所以当 a＝8，b＝2 时，△AOB 的面积最小，
此时直线 l 的方程为8x＋2y＝1，即 x＋4y－8＝0.
(2)因为4a＋1b＝1，a＞0，b＞0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·4a＋1b＝5＋ab＋4ab≥5＋2 当 a＝6，b＝3 时等号成立，
ab·4ab＝9，当且仅
A．1
B．4
C．1 或 3
D．1 或 4
A [由题意得－m2－－4m＝1，解得 m＝1.]
3．直线 3x－y＋a＝0 的倾斜角为( )
A．30°
B．60° C．150° D．120°
B [设直线的倾斜角为 α，则 tan α＝ 3，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.]
4．(教材改编)经过点 M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要 素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌 握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般 式)，了解斜截式与一次函数的关系．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．
()
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．
()
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．
()
(4)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示． ( )
(1)当△AOB 面积最小时，求直线 l 的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程．
[解] 设直线 l：ax＋by＝1(a＞0，b＞0)，
因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a＋1b＝1.
(1)4a＋1b＝1≥2
4a·1b＝
4， ab
所以 ab≥16，当且仅当 a＝8，b＝2 时等号成立，
【例 1】 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12.
[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝ 1100(0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y＝±13(x＋4)． 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
点斜式
_y_－__y_0＝__k_(_x_－__x0_)_
斜截式
__y_＝__kx_＋__b___
两点式
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
截距式 一般式
ax＋by＝1 _A_x_＋__B_y_＋__C_＝__0_，__A_2_＋__B_2_≠__0_
适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝ y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直 线 平面内所有直线都适用