第5章 参数估计
统计第五章练习题
第五章参数估计（一）单项选择题(在下列备选答案中，只有一个是正确的，请将其顺序号填入括号内)1.在抽样推断中，必须遵循( )抽取样本。
①随意原则②随机原则③可比原则④对等原则2.抽样调查的主要目的在于( )。
①计算和控制抽样误差②了解全及总体单位的情况③用样本来推断总体④对调查单位作深入的研究3.抽样误差是指（）。
①计算过程中产生的误差②调查中产生的登记性误差③调查中产生的系统性误差④随机性的代表性误差4.在抽样调查中( )。
①既有登记误差，也有代表性误差②既无登记误差，也无代表性误差③只有登记误差，没有代表性误差④没有登记误差，只有代表性误差5.在抽样调查中，无法避免的误差是( )。
①登记误差②系统性误差③计算误差④抽样误差6.能够事先加以计算和控制的误差是( )。
①抽样误差②登记误差③系统性误差④测量误差7.抽样平均误差反映了样本指标与总体指标之间的( )。
①可能误差范围②平均误差程度③实际误差④实际误差的绝对值8.抽样平均误差的实质是( )。
①总体标准差②全部样本指标的平均差③全部样本指标的标准差④全部样本指标的标志变异系数9.在同等条件下，重复抽样与不重复抽样相比较，其抽样平均误差( )。
①前者小于后者②前者大于后者③两者相等④无法确定哪一个大10.在其他条件保持不变的情况下，抽样平均误差( )。
①随着抽样数目的增加而加大②随着抽样数目的增加而减小③随着抽样数目的减少而减小④不会随抽样数目的改变而变动11.允许误差反映了样本指标与总体指标之间的( )。
①抽样误差的平均数②抽样误差的标准差③抽样误差的可靠程度④抽样误差的可能范围12.极限误差与抽样平均误差数值之间的关系为( )。
①前者一定小于后者②前者一定大于后者③前者一定等于后者④前者既可以大于后者，也可以小于后者13.所谓小样本一般是指样本单位数（）。
①30个以下②30个以上③100个以下④100个以上14.样本指标和总体指标( )。
第二讲-第五章 t检验-2011
二、配对设计两样本平均数的差异显著性检验
非配对设计要求试验单位尽可能一致。如 果试验单位变异较大，如试验动物的年龄、体 重相差较大，若采用上述方法就有可能使处理 效应受到系统误差的影响而降低试验的准确性 与精确性。 为了消除试验单位不一致对试验结 果的影响，正确地估计处理效应，减少系统误 差，降低试验误差，提高试验的准确性与精确 性，可以利用局部控制的原则，采用配对设计。
表 非配对设计资料的一般形式
非配对设计两样本平均数差异显著性检 验的基本步骤如下：
（一）提出无效假设与备择假设
H0：1 2 ，H A：1 2
（二）计算t值 计算公式为：
t x1 x2 S x1x2
df (n1 1) (n2 1)
其中：
S x1x2
受 H A：1 2 ，表明长白后备种猪与蓝塘后
备种猪90kg背膘厚度差异极显著，这里表现 为长白后备种猪的背膘厚度极显著地低于蓝 塘后备种猪的背膘厚度。
【例5.4】 某家禽研究所对粤黄鸡进行饲 养对比试验，试验时间为60天，增重结果如 表5-4，问两种饲料对粤黄鸡的增重效果有无 显著差异？
一是非配对设计或成组设计两样本平均数差 异显著性检； 二是配对设计两样本平均数差异显著性检。
一、非配对设计两样本平均数的差异显著性检验 非配对设计或成组设计是指当进行只有两个处
理的试验时，将试验单位完全随机地分成两个组， 然后对两组随机施加一个处理。在这种设计中两组 的试验单位相互独立，所得的二个样本相互独立， 其含量不一定相等。非配对设计资料的一般形式见 下表。
两尾概率为0.01的临界t值：t0.01(18) =2.878，即：
P（|t|>2.101）= P（t>2.101） + P（t <-2.101）=0.05
统计第五章练习题
统计第五章练习题部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第五章参数估计<一）单项选择题(在下列备选答案中，只有一个是正确的，请将其顺序号填入括号内>1.在抽样推断中，必须遵循( >抽取样本。
①随意原则②随机原则③可比原则④对等原则2.抽样调查的主要目的在于( >。
①计算和控制抽样误差②了解全及总体单位的情况③用样本来推断总体④对调查单位作深入的研究b5E2RGbCAP3.抽样误差是指< ）。
①计算过程中产生的误差②调查中产生的登记性误差③调查中产生的系统性误差④随机性的代表性误差4.在抽样调查中( >。
①既有登记误差，也有代表性误差②既无登记误差，也无代表性误差③只有登记误差，没有代表性误差④没有登记误差，只有代表性误差5.在抽样调查中，无法避免的误差是( >。
①登记误差②系统性误差③计算误差④抽样误差6.能够事先加以计算和控制的误差是( >。
①抽样误差②登记误差③系统性误差④测量误差7.抽样平均误差反映了样本指标与总体指标之间的( >。
①可能误差范围②平均误差程度③实际误差④实际误差的绝对值8.抽样平均误差的实质是( >。
①总体标准差②全部样本指标的平均差③全部样本指标的标准差④全部样本指标的标志变异系数p1EanqFDPw9.在同等条件下，重复抽样与不重复抽样相比较，其抽样平均误差( >。
①前者小于后者②前者大于后者③两者相等④无法确定哪一个大10.在其他条件保持不变的情况下，抽样平均误差( >。
①随着抽样数目的增加而加大②随着抽样数目的增加而减小③随着抽样数目的减少而减小④不会随抽样数目的改变而变动DXDiTa9E3d11.允许误差反映了样本指标与总体指标之间的( >。
①抽样误差的平均数②抽样误差的标准差③抽样误差的可靠程度④抽样误差的可能范围12.极限误差与抽样平均误差数值之间的关系为( >。
SPSS第5章 总体分布、样本分布与参数估计(修改)解读
X -7 令Y ，则： 2.2 P(Y 0.2273 )
其中Y ~ N (0,1),查表得 P(Y 0.2273 )?
标准正态分布表
φ ( - x ) = 1 –φ ( x )
x 0 0 0.500 0 0.01 0.504 0 0.02 0.508 0 0.03 0.512 0 0.04 0.516 0 0.05 0.519 9 0.06 0.523 9 0.07 0.527 9 0.08 0.531 9 0.09 0.535 9
X Y n
~ t(n )
其中，X ~ N(0，1)，Y ~2(n)分布，且X与Y相互独立。 密度函数为：
n 1 ) 2 n 1 x 2 fn(x ) (1 ) 2 n n (n / 2) x
(
t 分布图
3、F 分布
F
U m V n
~ F (m ,n )
样本(累积)分布函数Fn(x)是对总体的累积分布函数F(x)的近似， n越大, Fn(x)对F(x)的近似越好。
格利文科 ( Glivenko )定理
当样本容量 n 趋于无穷大时，Fn(x)以概率1(关于 x )均匀地收敛于F(x).
P(lim sup
n x
Fn ( x) F ( x) 0) 1
Z X
~N(0， 1) ~2(n-1) ~t(n -1)
n
( n 1) S 2
T
2
X S n
(6)
1
2 ( X ) ~2(n) i 2 i 1
n
定理：若X1，X2，· · · , Xn1 和Y1，Y2，· · · , Yn2 分别是正态总 体N(1， 12)和N(2， 22)的一个随机样本，且它们相互独立 ，则满足如下性质： (1)
曾五一《统计学导论》配套题库【章节题库】第五章 抽样分布与参数估计 【圣才出品】
12．样本均值的抽样标准差 x ，（ ）．
A．随着样本量的增大而变小 B．随着样本量的增大而变大
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C．与样本量的大小无关
D．大于总体标准差
【答案】A
【解析】根据样本均值的抽样分布可知，样本均值抽样分布的标准差 x
D．服从 2 分布
【答案】B
【解析】当 n 比较大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。题中 n 36 30 为
大样本，因此样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
5．估计量的含义是指（ ）。 A．用来估计总体参数的统计量的名称
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第五章 抽样分布与参数估计
一、单项选择题 1．抽样分布是指（ ）。 A．一个样本各观测值的分布 B．总体中各观测值的分布 C．样本统计量的分布 D．样本数量的分布 【答案】C 【解析】统计量是样本的函数，它是一个随机变量。样本统计量的分布称为抽样分布。
2．根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布， 其分布的均值为（ ）。
A．
B． X C． 2
2 D．
n 【答案】A
【解析】根据中心极限定理，设从均值为 ，方差为 2 的任意一个总体中抽取样本量 为 n 的样本，当 n 充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为 ，方差为 2 n 的正
n
，样本
量越大，样本均值的抽样标准差就越小。
13．在用正态分布进行置信区间估计时，临界值 1.645 所对应的置信水平是（ ）。 A．85％ B．90％ C．95％ D．99％ 【答案】B 【解析】置信水平是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在
第5章多普勒参数估计
第5章多普勒参数估计多普勒参数估计是指通过接收到的多普勒频移信息，估计目标物体的速度、角度和距离等参数的过程。
在雷达、超声波测速仪等领域都应用了多普勒参数估计技术。
多普勒频移是由运动物体引起的频率变化，实际上表征了物体相对于接收器运动的信息。
在雷达系统中，通过接收到的回波信号的频率，可以推断出目标物体的运动情况。
为了实现多普勒参数估计，需要进行时间和频率域的信号分析。
时间域信号分析是指通过分析接收到的回波信号的时域波形，来推测目标物体的运动情况。
通过观察回波信号的波形，可以估计出物体的运动速度，并计算出速度的大小和方向。
然而，时间域方法只能很粗略地估计运动速度，对于更精确的参数估计，需要进行频域分析。
频域信号分析是指通过分析接收到的回波信号的频谱信息，来推测目标物体的运动情况。
通过对回波信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱。
目标物体的速度会引起信号频率的变化，而频率的变化幅度与速度成正比。
因此，通过观察频谱的峰值位置和幅度，可以推断出目标物体的速度。
多普勒参数估计的另一个重要应用是测量目标物体的距离。
在雷达系统中，可以通过利用回波信号的时延信息，结合多普勒频移信息，来估计目标物体的距离。
通过计算回波信号的时延，可以得到目标物体到接收器的距离。
而多普勒频移则提供了目标物体的相对速度信息。
因此，通过综合利用时延和多普勒频移信息，可以准确测量目标物体的距离。
另外，多普勒参数估计还可以应用于估计目标物体的角度。
在雷达系统中，可以通过接收到的来自不同方向的回波信号的多普勒频移信息，来估计目标物体的角度。
通过分析各个方向上的回波信号的频谱，可以确定目标物体相对于雷达的方向。
因此，通过综合利用不同方向上的多普勒频移信息，可以准确估计目标物体的角度。
总之，多普勒参数估计是通过分析目标物体引起的多普勒频移信息，来测量物体的运动速度、角度和距离等参数。
通过时间和频率域的信号分析，可以实现对多普勒频移信息的提取和估计。
第五章 参数估计
1
X 2 t n1 n2 2
2
2 Sp
n1
n2
X
1
X 2 z
2
2 S12 S 2 n1 n2
2 Sp
2 2 n1 1S1 n2 1S 2
n1 n2 2
20
例题：
分别在城市1和城市2中随机抽取n1=400， n2=500的职工进行调查，经计算两城市职工的 平均月收入及标准差分别为X1=1650元，
22
思考题：
一个研究机构做了一项调查，以确定稳定的吸 烟者每周在香烟上的消费额。他们抽取49位固 定的吸烟者，发现均值为20元，标准差5元。
1.总体均值的点估计是多少？
2.总体均值μ的95%置信区间是什么？
23
思考题解答：
1.总体均值的点估计是20元。
2.总体均值μ的95%置信区间： 随机变量X表示每周香烟消费额，由题意可知，X=20， S=5，1-α=0.95，α=0.05；n=49 属于大样本，σ 未知以S估计。总体均值μ的95%置信区间为
P z Z z 1 2 2
P L U 1
X P z z 1 2 2 n
Step3：将上面等式进行等价变换即可。
P L U 1
第五章 参数估计
第五章 参数估计
利用样本数据对总体特征进行推断，通常在以下 两种情况下进行：
当总体分布类型已知(如：正态)，根据样本数据对 总体分布的未知参数进行估计或检验。参数估 计或参数检验。（如：μ或σ为何？） 当总体分布类型未知或知道很少，根据样本数据 对总体的未知分布的形状或特征进行推断。非参 数检验。（如：是否正态分布？是否随机？）
应用统计学 第五章 参数估计
二、点估计与区间估计
参
数 估
（一）
点估计
计
点估计是指用样本估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。例如，用样本均
值直接作为总体均值的估计，用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计等。虽
然在重复抽样的情况下，点估计均值的期望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出
一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值。一个点估计量的可靠性是用抽样
两个：FDIST用于计算给定F值和自由度时F分布的概率；FINV用于计算给定概率
和自由度时的相应F值。
16
第一节 参数估计的基本原理
第 五 章 参 数 估 计
17
CONTENTS PAGE
参数估计的 基本原理
一个总体参 数的区间估
计
两个总体参 数的区间估
计
样本量的确 定
第一节
第二节
第三节
第四节
目
出的，后来由海尔墨特（Hermert）和卡•皮尔逊（Karl Pearson）分别于1875
年和1900年推导出来。在总体方差的估计和非参数检验中，会用到 2 分布。图
5-2是不同容量样本的 2 分布，从图中可以看出， 2 分布的变量值始终为正，
分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度
n
（5-6）
22
第二节 一个总体参数的区间估计
第 五 章
三、总体方差的区间估计
参
数
估 计
若总体服从正态分布，根据样本方差的抽样分布可知，样本方差服从自由度为 n 1
的 2 分布，因此可用 2 分布构造总体方差的置信区间。若给定一个显著性水平 ，用
2 分布构造的总体方差 2 的置信区间可用图5-5表示。总体方差 2 在1 置信水平
数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma分布，Gamma分布与其他分布的联系
数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma分布，Gamma分布与其他分布的联系今天的主⾓是指数分布，由此导出\(\Gamma\)分布，同样，读者应尝试⼀边阅读，⼀边独⽴推导出本⽂的结论。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：指数分布的参数估计指数分布是单参数分布族，总体\(X\sim E(\lambda)\)有时也记作\(\mathrm{Exp}(\lambda)\)，此时的总体密度函数为\[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}I_{x>0}. \]现寻找其充分统计量，样本联合密度函数为\[\begin{aligned} f(\boldsymbol{x})&=\lambda^n\exp\left\{-\lambda\sum_{j=1}^n x_j \right\}I_{x_1>0}\cdots I_{x_n>0}\\ &=\lambda^ne^{-n\lambda \barx}I_{x_{(1)}>0}, \end{aligned} \]由因⼦分解定理，取\[g(\bar x,\lambda)=\lambda^ne^{-n\lambda \bar x},\quad h(\boldsymbol{x})=I_{x_{(1)}>0}, \]可以得到\(\bar X\)是\(\lambda\)的充分统计量。
但是指数分布的参数并⾮均值，⽽是均值的倒数，所以对\(\bar X\)也有\[\mathbb{E}(\bar X)=\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}. \]注意，千万不要想当然地认为期望和⼀般的函数之间是可交换的，即⼀般来说\(\mathbb{E}[f(X)]\ne f[\mathbb{E}(X)]\)，所以你不能认为\(\bar X^{-1}\)就是\ (\lambda\)的⽆偏估计量。
统计学习题05
2.下面哪些是影响必要样本容量的因素（）。
A.总体各单位标志变异程度B.允许的极限误差大小
C.推断的可靠程度D.抽样方法和抽样组织方式
E.样本均值和样本统计量
答案：ABCD
3.评价估计量是否优良的常用标准有（ ）。
A.无偏性B.有效性
C.准确性D.一致性
E.随机性
答案：ABC
4.点估计（ ）。
[参考答案]
28.306
2.现有一大批种子，为了估计其发芽率，随机抽取400粒进行发芽试验。结果有15粒每发芽。试以90%的置信度估计这批种子的发芽率。
[参考答案]
[ 0.95 , 0.97 ]
3.设总体X服从参数 的泊松分布，其概率分布率为 ，
x=0，1，2，……试求参数 的极大似然估计量及矩估计量。
A.求每晚睡眠时间总体均值的点估计。
B.假定总体是正态分布，求总体均值的点估计的95%置信区间。
[参考答案]
A.6.86，B.[6.54 , 7.18]
5.在某地方选举进行以前展开的民意测验表明，在随机抽取的121名居民中有65名支持某候选人，试求该候选人支持率的信赖区间。（ =5%）
[参考答案]
0.54-0.089=0.451
答案：C
21.已知σ2的1-α置信区间为，该区间也可表示为（）。
（D）以上答案都不正确
答案：B
二、多项选择题
1.在区间估计中，如果其他条件保持不变，置信度与精确度之间存在下列关系( )。
A.前者愈低，后者也愈低B. 前者愈高，后者也愈高
C. 前者愈低，后者愈高D.前者愈高，后者愈低
E. 两者呈相反方向变化
3.在进行参数估计时，我们并不是直接用一个个的具体样本之来估计、推断总体参数，而是根据样本构造出一些特定的量，用这些特定量来估计总体参数，这些根据样本构造的特定量就称为样本统计量。在估计过程中，我们把用来推估总体参数的样本统计量称为估计量。
统计学课件05第5章抽样与参数估计
反映样本数据的集中趋势和平均水平。
样本方差
定义
样本方差是每个样本数据与样本均值差的平方和的平均值，即 $s^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^2$。
计算方法
先计算每个样本数据与样本均值的差，然后将差平方，最后求和平 均。
作用
反映样本数据的离散程度和波动情况。
样本量的确定
根据调查目的和精度要求确定样 本量：精度要求越高，需要的样
本量越大。
根据总体规模和抽样方法确定样 本量：总体规模越大，需要的样 本量越大；分层或整群抽样较简 单随机抽样需要的样本量更大。
根据调查资源确定样本量：资源 有限时，需要在满足调查目的和 精度要求的前提下，合理确定样
本量。
02 参数估计
大数定律的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布函数F(x)，则对于任意正实数ε，有 lim(n->∞)P(|X1+X2+...+Xn/n-E(X))/ε)=0，其中E(X)是随机变量X的期望值。
大数定律的实例
在抛硬币实验中，随着实验次数的增加，正面朝上的频率将趋近于0.5。
中心极限定理
中心极限定理定义
中心极限定理是指在大量独立同分布的随机变量中，不论 这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布总是趋 近于正态分布。
中心极限定理的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布 函数F(x)，则对于任意实数x，有lim(n->∞)P(∑Xi≤x)=∫(∞->x)F(t)dt。
样本分布的性质
无偏性
如果样本统计量的数学期 望等于总体参数，则该统 计量是无偏的。
第五章参数估计与非参数估计
N
k
∴ 条件密度的估计：P(x) N
V
(V足够小)
讨论:① 当V固定的时候N增加, k也增加,当 N 时 k
P
k
1
P(x)
k N
1
只反映了P(x)的空间平均估计
N
VV
而反映不出空间的变化
② N固定,体积变小
k
当 V 0时,k=0时 P(x) N 0
V
k
k 0 时 P(x) N
i=1,2,…M
所以后验概率
P(
|
X
i)
P( X i | ).P() P(X i | )P()d(贝叶斯公式)
因为N个样本是独立抽取的，所以上式可以写成
N
P( | X i) a P(X k | ).P()
k 1
其中 a
1
P( X i | )P()d 为比例因子,只与x有关,与μ无关
∵ P(Xk| μ)=N(μ,σ2),P(u)=N(μ0,σ02)
P( X i | i) 服从正态分布
待估参数为 i 1
N
k1
logP(X k | ) 0
所以在正态分布时
P(
X
k
|
)
1 2
log[
2
n
|
|]
1 2
X
k
T
1 X k
代入上式得
N
1 X k 0
k 1
N
1 X k 0 k 1
N
所以 1( X k N) 0 k 1
出使它最大时的θi值。
∵学习样本独立从总体样本集中抽取的
N
∴ P( X i | i. i) P( X i | i) P( X k | i)
第5章 参数估计
猎物射击,结果该猎物身中一弹,你认为谁打中的可能
性最大? 根据经验而断:老猎人打中猎物的可能性最大. 极大似然估计法的思想就是对固定的样本值，选
择待估参数的估计值使“样本取样本值”[离散型]或 “样
本取值落在样本值附近”[连续型] 的概率最大。
(2、极大似然估计的求法
单参数情形
根据总体分 布律写出似 然函数：换x 为xi
来得到待估参数θ 的极大似然估计值(驻点);
③ 、必要时,参照极大似然估计值写出极大似然
估计量.
【例6】求服从二项分布B(m，p)的总体X未知参数 p的极大似然估计量。 〖解〗单参数，离散型。 因为总体 X
~ B(m, p),
x m x
其分布律为
m x
f ( x; p) C p (1 p)
下面分离散型与连续型总体来讨论. 设离散型总体X的分布律
P{X x} p( x; )
( )
形式已知,θ 为待估参数. X 1 , X 2 ,..., X n 为来自总体X的
样本, x1 , x2 ,..., xn 为其样本值,则 X 1 , X 2 ,..., X n 的联合分
布律为:
用其观察值
ˆ( X , X ,..., X ), 1 2 n
——θ 的估计量
ˆ( x , x ,..., x ) 1 2 n
——θ 的估计值
来估计未知参数θ .
今后,不再区分估计量和估计值而统称为θ 的估计,
ˆ . 均记为
二、构造估计量的两种方法
1、矩估计法 理论根据:样本矩(的连续函数)依概率收敛于总
因为X~N(μ ,σ 2),所以X总体的概率密度为
2 1 (x ) 2 f ( x; , ) exp ( R, 0) 2 2 2
第5章 参数估计及点估计
第5章参数估计及点估计5.1考点归纳一、点估计1．矩估计法（1）定义设X为连续型随机变量，其概率密度为，或X为离散型随机变量，其分布律为，其中为待估参数，，，，是来自X的样本，假设总体X的前k阶矩或（X离散型）存在，其中，＝1，2，…，k．一般来说，它们是的函数，基于样本矩依概率收敛于相应的总体矩（＝1，2，，k），样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量，这种估计方法称为矩估计法．（2）矩估计法的具体做法设这是一个包含k个未知参数的联立方程组，一般来说，可以从中解出，得到以分别代替上式中的，i＝1，2，…，k，就以，i＝1，2，…，k，分别作为，＝1，2，…，k的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值．2．克拉默-拉奥（Cramer-Rao）不等式（1）克拉默一拉奥不等式克拉默一拉奥不等式设ξ1，ξ2，…，ξn为取自具有概率函数f（x；0），θ∈Θ={θ：a<0<b}的母体ξ的一个子样，a，b为已知常数，a可以取－∞，b可以取＋∞。
又η=u（ξ1，ξ2，…，ξn）是g（θ）的一个无偏估计，且满足正则条件：①集合{x：f（x；0）>0}与0无关；②与存在，且对一切θ∈Θ，；③令称为信息量，则等式成立的充要条件为存在一个不依赖于但可能依赖于θ的K，使得等式依概率1成立。
特别当g（θ）=θ时，上式可化为：称它为克拉默—拉奥不等式。
也称为信息不等式。
（2）重要性质及定义①性质：若则②定义a．若θ的一个无偏估计使克拉默一拉奥不等式中等式：成立，则称的有效估计。
b．若的一个无偏估计，且克拉默一拉奥不等式下界存在，则称下界与的比为估计的有效率，这里。
c．若当时，一个估计的有效率则称为参数的渐近有效估计。
3．拉奥-勃拉克维尔（Rao-Blackwell）定理（1）拉奥-勃拉克维尔定理设ξ与η是两个随机变量，且Eη＝μ，Dη＞0．设ξ＝x条件下叼的条件期望，则（2）相关定理设ξ1，ξ2，…，ξn是取自一个母体ξ的子样，ξ有概率函数，且是θ的一个充分统计量，不仅是η的函数，且Eη2＝θ，则是θ的充分统计量的函数，其均值＝0，方差。
第5章概率论与假设检验简介
样本均 值分布
σ σx = n
µx = µ
2011-4-27
X
23
2.样本方差的分布
Statistics Statistics
设总体～ 的样本， 设总体 ～ N(µ,σ2 )， 取容量 的样本 ， 则样 ， 取容量n的样本 本方差 s2
χ2(n – 1)：自由度为 ：自由度为(n-1)的卡方分布 的卡方分布
1. 2.
密度函数f(x)曲线下的面积等于 曲线下的面积等于1 密度函数 曲线下的面积等于 分布函数是f(x) 下小于 x0 的面积 分布函数是
f(x)
F ( x0 )
x0
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x
8
期望和方差
Statistics Statistics
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E( X ) = ∫ xf (x)dx = µ
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12
正态分布标准化
Statistics Statistics
1. 标 准 化 线 性变换
2.
标准正态 分布的概 率密度和 分布函数
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13
一般正态分布
标准正态分布
σ
σ =1
µ
x
µ=0
Z
Excel:正态分布函数
Statistics Statistics
NORMDIST (x, mean, std, cumulative) Cumulative=0：返回指定平均值和标准差的正态分 ： 布函数的概率密度 Cumulative=1：返回累积概率密度（分布函数值） ：返回累积概率密度（分布函数值） NORMINV (prob, mean, std) NORMDIST (x, mean, std, 1)的反函数 的反函数 NORMSDIST(z) 返回标准正态分布函数的累积概率P(X ≤ z ) 返回标准正态分布函数的累积概率 NORMSINV(probability) NORMSDIST(z)的反函数 的反函数
参数估计习题
参数估计习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第5章参数估计练习题一．选择题1.估计量的含义是指（）A.用来估计总体参数的统计量的名称B.用来估计总体参数的统计量的具体数值C．总体参数的名称D．总体参数的具体取值2．一个95%的置信区间是指（）A.总体参数有95%的概率落在这一区间内B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。
D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。
%的置信水平是指（）A.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95%B．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95%C．总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5%D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5%4.根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（）A．以95%的概率包含总体均值B．有5%的可能性包含总体均值C.一定包含总体均值D．要么包含总体均值，要么不包含总体均值5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（）A.随着置信水平的增大而减小B. .随着置信水平的增大而增大C．与置信水平的大小无关 D。
与置信水平的平方成反比6.当置信水平一定时，置信区间的宽度（）A.随着样本量的增大而减小B. 随着样本量的增大而增大C．与样本量的大小无关 D.与样本量的平方根成正比7.在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。
这种评价标准称为（）A．无偏性B. 有效性 C. 一致性 D. 充分性8、对一总体均值进行估计，得到95%的置信区间为（24, 38），则该总体均值的点估计为（ ）A ．24 B. 48 C. 31 D. 无法确定9. 在总体均值和总体比例的区间估计中，边际误差由（ ） A ．置信水平决定 B. 统计量的抽样标准差确定C. 置信水平和统计量的抽样标准差D. 统计量的抽样方差确定10. 当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（ ）A.正态分布B. t 分布C.χ2 分布D. F 分布11. 当正态总体的方差未知，且为大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（ ）A.正态分布B. t 分布C.χ2 分布D. F 分布12. 当正态总体的方差已知时，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（ ）A.正态分布B. t 分布C.χ2 分布D. F 分布13. 当正态总体的方差已知时，且为大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（ ）A.正态分布B. t 分布C.χ2 分布D. F 分布14. 对于非正态总体，在大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（ ） A.正态分布 B. t 分布 C.χ2 分布 D. F 分布15.对于非正态总体，在大样本条件下，总体均值在（1-α）置信水平下的置信区间可以写为（ ） A. nz x 22/σα± B. nz x 22/σα± C. nz x σα2/± D. ns z x 22/α± 16.正态总体方差已知时，在小样本条件下，总体均值在（1-α）置信水平下的置信区间可以写为（ ） A. nz x 22/σα± B. ns t x 2/α± C. nz x σα2/± D. ns z x 22/α± 17.正态总体方差未知时，在小样本条件下，总体均值在（1-α）置信水平下的置信区间可以写为（ ） A. nz x 22/σα± B. ns t x 2/α± C. nz x σα2/± D. ns z x 22/α± 18. 在进行区间估计时，若要求的置信水平为90%，则其相应的临界值为（ ） B. C. D.19.在其他条件相同的条件下，95%的置信区间比90%的置信区间（ ） A.要宽 B.要窄 C.相同 D. 可能宽也可能窄 20.指出下面的说法哪一个是正确的（ ）A.置信水平越大，估计的可靠性越大B. 置信水平越大，估计的可靠性越小C. 置信水平越小，估计的可靠性越大D. 置信水平的大小与估计的可靠性无关21. 指出下面的说法哪一个是正确的（ ）A.样本量越大，样本均值的抽样标准误差就越小B. 样本量越大，样本均值的抽样标准误差就越大C. 样本量越小，样本均值的抽样标准误差就越小D.样本均值的抽样标准误差与样本量无关22. 一项调查表明，有33%的被调查者认为她们所在的公司十分适合女性工作。
参 数 估 计
二、参 数 估 计
【例5-5】 设X～B(1,p)，(X1，X2,…,Xn)是取自总体X的一个子样， 试求参数p的极大似然估计量。
解：设(x1,x2,…,xn)是子样(X1，X2,…,Xn)的一组相应的取值。总体X 的分布律为
则似然函数为 取对数后，有 令
二、参 数 估 计
从而得p的极大似然估计值为 p的极大似然估计量为
项目
参数估计
二、参 数 估 计
一、 参数估计的基本原理
参数估计是指由样本指标值（统计量）估计总体指标值 （参数），即当总体的分布性质已知，但其所含参数真值未 知时，根据一组样本的观察值X1，X2,…,Xn来估计总体中未 知参数θ或θ的某函数。首先从样本(X1，X2,…,Xn)中提取有 关总体X的信息，即构造样本的函数——统计量 g(X1X2,…,Xn)；然后用样本值代入，求出统计量 g(x1,x2,…,xn)的值，用该值来作为相应待估参数的值。
二、参 数 估 计
二 、 评价估计量的标准
在参数估计中，用样本估计量 作为总体参数θ的估 计量，实际上，对于同一参数，用不同的估计方法求出的估 计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量。 也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，从原则上 讲，任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪 一个估计量好呢？这就涉及估计量的评价问题，而判断估计 量好坏的标准是：有无系统偏差，波动性的大小，伴随样本 容量的增大是否越来越精确，这就是估计的无偏性、有效性 和一致性。
区间的概念，并给出在一定可信程度的前提下求置信区间的
方法，使区间的平均长度最短。
二、参 数 估 计
用给定的置信度1－α说明区间估计的可靠程度
，通常α取值很小，如取0.05、0.01，有时取0.1。
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解:已知n＝25，1-＝95% ,根据样本数据计算得 s2 =93.21
2 2 (n 1) 0.025 (24) 39.3641 12 (n 1) 02.975 (24) 12.4011
2 2
2置信度为95%的置信区间为
39.3641 56.83 2 180.39
2
p (1 p ) n
65% 1.96
65%(1 65%) 100
65% 9.35% 55.65%,74.35%
该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为55.65%~74.35%
说明
• 样本容量多大可以使p近似服从正态分布
• p≈0.5，用较小的样本即可（30左右） • p接近0和1时，要用很大的样本（600左右）
36个投保人年龄的数据
23
36 42
35
42 53
39
46 45
27
43 54
36
31 47
44
33 24
34
39 34
28
49 39
39
38 45
36
34 48
44
48 45
40
50 32
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数据 计算得： 39.5 ， 7.77 s x 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
• • 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的 区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真 值的区间中的一个 总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的
置信区间(95%的置信区间)
点估计值
重复构造出的20个置信区间
置信区间与置信水平
均值的抽样分布
/2
x
1 –
/2
25袋食品的重量 112.5 101.0 103.0 102.0 100.5
102.6
100.0 116.6 136.8
107.5
123.5 95.4 102.8
95.0
102.0 97.8 101.5
108.8
101.6 108.6 98.4
115.6
102.2 105.0 93.3
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根 据样本数据计算得： 105.36 。由于是正态总体，且 x 方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为
• 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平 是95%
区间估计的图示
- 2.58x
-1.65 x
+1.65x
+2.58x
x
-1.96 x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
置信水平(confidence level)
1.
2.
3. 4.
将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体 参数真值的次数所占的比例称为置信水平 表示为 (1 - 为是总体参数不在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10 区间估计是根据给定的置信水平要求，指出总体参数被 估计的上限和下限，即P (θ1<θ<θ2) = 1 −α 置信区间 样本统计量 (点估计)
• 无偏性 • 有效性 • 一致性
• 评价一个统计量好坏的标准很多；而且许多都涉 及一些大样本的极限性质。我们不在这里涉及太 多此方面的细节
5.2 一个总体参数的区间估计
• 5.2.1 总体均值的区间估计 • 5.2.2 总体比例的区间估计 • 5.2.3 总体方差的区间估计
5.2.1 总体均值的区间估计
估计量与估计值
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
• • 如样本均值，样本比例、样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
ˆ 2. 参数用 表示，估计量用 表示 3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值
• 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
5.1.1 估计方法 估 计 方 法
点 估 计 区间估计
点估计
矩估计法 最大似然法 顺序统计量法 最小二乘法
用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；
• 区间估计
在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围， 该区间由样本统计量加减估计误差而得到
区间估计
根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量 与总体参数的接近程度给出一个概率度量
Expected Normal Value
0 .5 0 .0 -0 .5 -1 .0 -1 .5 -2 .0 1440
1460
1480 灯泡寿命
1500
1520
1540
一个总体均值的区间估计
待估参数： x z 均值
2
n
或 x z 2
s n
( 未知)
大样本 2已知 Z分布 2未知 Z分布 t分布 Z分布
5.2.3 总体方差的区间估计
1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 假设总体服从正态分布 3. 总体方差 2 的点估计量为s2,且
n 1s 2
2
2 4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为
~ 2 n 1
n 1s 2 n 1s 2 2 n 1 12 2 n 1
第5章 参数估计
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
第5章 参数估计
●5.1 参数估计的一般问题 ●5.2 一个总体参数的区间估计 ●5.3 两个总体均值的区间估计 ●5.4 样本容量的确定
5.1 参数估计的一般问题
• 估计就是根据你拥有的信息来对现实世界进行某种判断。
• 根据一个人的衣着、言谈和举止判断其身份
2
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某 天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如 下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95% 的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
25袋食品的重量 112.5 102.6 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 108.8 101.6 108.6 98.4 单位：g 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
EXCEL计算均值的置信区间
• 用“数据分析”-“描述统计” • 用函数
5.2.2 总体比例的区间估计
1. 假定条件
总体服从二项分布 可以由正态分布来近似
2. 使用正态分布统计量 z，实际上π是要估计的所以要 用样本p来代替总体比例π
p z ~ N (0,1) (1 ) n 3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为
Z分布
5.3 两个总体均值差的区间估计
1.假定条件
2.
两个总体都服从正态分布，1２ ， 2２已知 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130 和n230) 两个样本是独立的随机样本
2.使用正态分布统计量 z
z ( x1 x 2 ) ( 1 2 )
12
置信下限
置信上限
置信区间 (confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置 信区间 2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的 总体参数，所以给它取名为置信区间 3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间， 我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体 参数的真值
x t
2
s 24.77 1490 2.131 n 16 1490 13.2 1476.8,1503.2
该 种 灯 泡 平 均 使 用 寿 命 的 置 信 区 间 为 1476.8h ～ 1503.2h
正态性评估
N o rm a l P ro b a b i l i ty P l o t 2 .0 1 .5 1 .0
小样本(正态 总体)
2已知
2未知
x t 2
s n
练习
• 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3 周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。如果样 本均值为120元，总体标准差为15元，求总体均值μ的95% 的置信区间 • 利用下面的信息，构建总体均值μ的置信区间 s 1)总体服从正态分布，且已知σ=500，n=15，x=8900， 置信水平95% 2)总体未知，且已知σ=500，n=35，x=8900，置信水平 95% 3)总体未知，σ未知，n=35，x=8900，s=500，置信水平 为90%
n1
2 2
~ N (0,1)
n2
大样本总体
1. 1２， 2２已知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为
x z
2
s 7.77 39.5 1.645 n 36 39.5 2.13 37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
【例3】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一 批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h) 如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间
估计均值
大样本 2已知 Z分布 Z分布
小样本 2未知 t分布
总体均值的区间估计
• 1.假定条件 • 小样本，方差(２) 已知 • 或大样本
2. 使用正态分布统计量 z x z ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为 s x z 2 或 x z 2 ( 未知) n n