2020年高考数学解答题核心：数列的综合问题(答题指导)(学生版)

专题05 数列的综合问题（答题指导）
【题型解读】
▶▶题型一 数列的通项与求和
数列的通项与求和是高考必考的热点题型,求通项属于基本问题,常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量运算．求和问题关键在于分析通项的结构特征,选择合适的求和方法,常考的求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．
【例1】 S n 为数列{}a n 的前n 项和,已知a n ＞0,a 2
n ＋2a n ＝4S n ＋3.
(1)求{}a n 的通项公式； (2)设b n ＝
1
a n a n ＋1
,求数列{}b n 的前n 项和．
【素养解读】
本例(1)中由已知直接推导求出{a n }的通项公式,体现了逻辑推理的核心素养；(2)中用裂项相消法求得{b n }的前n 项和体现了数学抽象和数学运算的核心素养．
【突破训练1】 已知等差数列{a n
}的前n 项和为S n
,若S
m －1
＝－4,S m ＝0,S m ＋2＝14(m ≥2,且m
∈N *
)． (1)求m 的值；
(2)若数列{b n }满足a n
2
＝log 2b n (n ∈N *
),求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．
【突破训练2】(2019·湖南十二校一联)已知数列{a n}满足a1＝1,a2＝4,a n＋2＋2a n＝3a n＋1,n ∈N*.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)记数列{a n}的前n项和S n,求使得S n＞21－2n成立的最小整数n.
▶▶题型二 数列与函数的综合问题
1．数列是特殊的函数,以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点,该类考题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力,因而一直是高考命题者的首选． 2．数列与函数问题的解题技巧
(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性质、图象,研究数列问题；②已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的定义、公式、求和方法,对式子化简变形．
(2)解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 【例2】 已知数列{a n }满足a 1＝1,a n a n ＋1＝2n
,n ∈N *
. (1)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝
π
6
处取得最大值a 4＋1,求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π12，π2上的值域；
(2)求数列{a n}的通项公式．
【素养解读】
本例中将三角函数的性质与解析式求解与数列结合在一起,综合考查了数学运算和直观想象的核心素养．
【突破训练3】 已知首项为2的数列{a n
}的前n 项和为S n
,若点(a
n ＋1
,S n )在函数f (x )＝1
3
x －
2
3
的图象上,设b n ＝log 2a n . (1)判断数列{b n }是否为等差数列,并说明理由；
(2)求数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫4
（b n ＋1）（b n ＋3）的前n 项和T n .
▶▶题型三 数列与不等式的综合问题
1．数列与不等式的综合问题
数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时,如果是证明题,要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法等．如果是解不等式问题,要使用不等式的各种不同解法,如数轴法、因式分解法等． 2．数列中不等式的处理方法
(1)函数法：即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式．
(2)放缩法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．一般地,数列求和中的放缩的“目标数列”为“可求和数列”,如等比数列、可裂项相消求和的数列等． (3)比较法：作差比较或作商比较．
【例3】 已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n ＋1＝qS n ＋1,其中q >0,n ∈N *
. (1)若2a 2,a 3,a 2＋2成等差数列,求数列{a n }的通项公式；
(2)设双曲线x 2
－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ,且e 2＝53,证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3
n
3
n －1.
【素养解读】
本例(1)中直接计算通项公式考查了数学运算的核心素养；(2)中证明不等式采用了放缩法,考查了数学建模和逻辑推理的核心素养．
【突破训练4】在等差数列{a n}中,a2＝6,a3＋a6＝27.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)记数列{a n}的前n项和为S n,且T n＝
S n
3·2n－1
,若对于一切正整数n,总有T n≤m成立,求实数m的取值范围．。