最新 湘教版数学 九年级下册 公开课课件 1.2二次函数的图象与性质(第5课时)课件(共14张PPT)
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九年级数学下第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质第5课时二次函数y=a2+k的图象与性质习题湘教
当 y＝0 时，－53x－252＋6145＝0，
解得 x＝－65或 2， ∴B(2，0)．
∵D(－1，1)， ∴BD2＝(2＋1)2＋(1－0)2＝10， CD2＝(0＋1)2＋(4－1)2＝10， BC2＝22＋42＝20， ∴BD2＋CD2＝BC2，且BD＝CD， ∴△BDC是等腰直角三角形．
(2)求tan ∠ABC. 解：令 x＝0，则 y＝13(0－4)2－3＝73，则 OC＝73. ∵二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，
∴点 B 与点 A 关于直线 x＝4 对称．
∴B 点坐标为(7，0)．∴OB＝7. 7
∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
探究培优 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月30日星期六2022/4/302022/4/302022/4/30
读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年4月2022/4/302022/4/302022/4/304/30/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/302022/4/30April 30, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
解得 x＝－65或 2， ∴B(2，0)．
∵D(－1，1)， ∴BD2＝(2＋1)2＋(1－0)2＝10， CD2＝(0＋1)2＋(4－1)2＝10， BC2＝22＋42＝20， ∴BD2＋CD2＝BC2，且BD＝CD， ∴△BDC是等腰直角三角形．
(2)求tan ∠ABC. 解：令 x＝0，则 y＝13(0－4)2－3＝73，则 OC＝73. ∵二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，
∴点 B 与点 A 关于直线 x＝4 对称．
∴B 点坐标为(7，0)．∴OB＝7. 7
∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
探究培优 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月30日星期六2022/4/302022/4/302022/4/30
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(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
1最新湘教版初中数学九年级下册精品课件.2 二次函数的图像与性质
8 6 4 2 -4 -2
24
函数
y
1 x2, y 2
2x2
的图象与函数
y=x2的图象相
比，有什么共同点和不同点？
相同点：开口方向：向上
顶点：原点（0,0）——最低点
对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8
6
y 2x2
简称：左降，右升 极值：x=0时,y最小=0 不同点：开口大小不同
点，
、
(4)当a<0时，抛物线开口向 ，顶点是最 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， a值越大，开口越 .
点，
探究 一、在同一坐标系中画二次函数的图象：
(1) y x2
(2) y x2 1
(3) y x2 1
归纳
用平移观点看函数：
抛物线 y ax2 c 可以看作是由
交于点A，与y轴相交于点B。若△ABO的面积 为8，求平移后的抛物线的解析式。
小结
二次函数 y a(x h)2 的图象及性质：
(1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、极值、开口大小； (3)对称轴两侧增减性。
第4课时
复习
1、抛物线 y 1 x2 1可以看作是由 2
巩固
5、已知一次函数 y ax c 的图象如图
所示，则二次函数 y ax2 c 的图象大
致是如下图的 ( )
y
y
y
y ax c
o
x
A
C
o
x
o
x
y
y
B
o
D x
湘教版数学九年级下册1.2二次函数的图象与性质(第5课时)课件(共14张PPT)
3 开始取值 2
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
二次函数的图象与性质第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件数学湘教版九年级下册
随 x 的增大而增大.
随 x 的增大而增大.
例 画函数y=(x-2)².
解：抛物线y=(x-2)²的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，0).
列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.
y
x 2 3 4 5 ···
y=(x-2)² 0 1 4 9 ···
描点连线： 画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到了y=(x-2)²的图象，如图.
轴右边，y 随 x 的增大而增大.
l' F
8 6 4 2
－4－2 2 4
O'
二次函数y=a(x-h)²的图象是抛物线，它的对称轴是直线 x=h，它的顶点坐标是(h，0). 当a＞0时，抛物线的开口向上； 当a＜0时，抛物线的开口向下.
类似地，可以证明二次函数 y = a(x-h)2的下列性质
y = a(x-h)2
O2
x
1.在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( A ) A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2 C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
2.对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( D ) A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m C．有最高点 D．与y轴不相交
所以 h＝－5或 h＝－13， 1 2
1
所以平移后的函数为 y ＝－ 2(x＋5)2 或 y ＝－ 2 (x＋13)2.
即抛物线的顶点坐标为 (－5，0) 或 (－13，0)，
所以应向左平移 5 或 13 个单位．
当向右平移 ︱h︱ 时 y = ax2
当向左平移 ︱h︱ 时
y = a(x-h)2 y = a(x+h)2
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数的图像和性质》公开课课件.ppt
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a>0
a>0h<0来自h<0K>0
K<0
a>0
a>0
h>0
h>0
K>0
K<0
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a<0
a<0
h<0
h<0
K>0
K<0
a<0 a<0
h>0 h>0
K<0 K>0
由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的 图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步 骤如下：
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
湘教版九年级下册数学精品课件 第1章 二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
大而减小；当 x > 6 时，函数
值随 x 的增大而增大.
O
（6,3）
5 10 x
归纳总结 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是：
b 4ac b2
( ,
).
2a 4a
对称轴是：直线 x b . 2a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y
x b 2a
O (1)
如果 a＞0，当 x＜ b 时，y 随x
的增大而减小；当
2a
x＞
b
时，
2a
y 随 x 的增大而增大；当 x = b
x
2a
时，函数达到最小值，最小值
为 4ac b2 .
4a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y x b
2a
O (2)
如果 a < 0，当 x< b 时，y 随 x
(2) y 5x2 80x 319; 直线 x = 8
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线 x = 1.25
(4) y x 12 x.
直线 x = 0.5
3, 5
8, 1
5 4
,
9 8
1 2
,
9 4
2. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长
度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为
那么现在你会画这个二次函2 数的图象吗?2
根据顶点式 y 1 (x 6)2 3 确定对称轴，顶点坐标.
二次函数的图象与性质(第5课时)PPT课件
A. (5，0)
B. (0，5) C. (0，3) D. (3，0)
4、对于抛物线y=-2x2+4x+1，下列说法正确的是（ C ）
A. y最大值=1 B. y最小值=1 C. y最大值=3 D. y最小值=3
5. 画二次函数y=x2-2x-1的图象.
配方：y=(x-1)2-2 对称轴：x=1， 顶点坐标：(1，-2)
动脑筋 画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
配方：y
= =
-
2 2
x2 +
x-
6
3 2
x-1 =
2
+2×
- 2( x2 - 3 x)-1=
94-1
=
-2
x- 32
-
2
x2
2
+72
.
-
3
x
+
-
3 2
2
-
-
3 2
2
-1
对称轴是直线 x =
3 2
，顶点坐标是
3 2
,
7
A. y=-(x-1)2-3
B. y=-(x+1)2-3
C. y=-(x-1)2+3
D. y=-(x+1)2+3
2、抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐标是（ A ）
A. (0，2) B. (1，0) C. (0，-3) D. (0，0)
3、把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的顶点
坐标为（ B ）
这个最大值等于顶点的纵坐标
7 2
.
从二次函数
y
=
1( 2
x
1.2二次函数的图象与性质(第1课时)课件(共13张ppt)
图象的开口向 上 ； 图象是轴对称图形，对称轴是_y轴____x_=_0 对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.
湘教版九年级下册数学 第1章 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
4．【中考·上海】下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
【点拨】A.∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B．∵
，∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，选项B不正确；
b 1 1 C．当x＝0时，y＝x2－x＝0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
【答案】D
6．【2021·江西】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx ＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
D
7. (易错题)若二次函数y＝ax2＋bx＋a2－4(a，b为常数)的图象如图所示，则a的值 为________． －2
【点拨】根据函数图象经过坐标原点可以确定a2－4＝0，解得 a＝±2.再利用图象开口向下进一步确定a＜0，∴a＝－2.本题 易错点是根据图象经过坐标原点求出a＝±2后忽略图象开口 向下的限制，不能进一步判断a的符号．
【答案】A
13．【原创题】若抛物线y＝－2x2－qx＋2q＋5中不论q为何值时都通过定点，
则定点坐标为__________．
(2，－3)
【点拨】∵y＝－2x2－qx＋2q＋5可化为y＝－2x2－q(x－2)＋5，当x＝2时， y＝－3且与q的取值无关．故不论q为何值时都通过定点(2，－3)．
14．定义：若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点和顶点构成直角三角形， 则称这条抛物线为“直角抛物线”．
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
解：由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝ .
1
∴点Q(1，n)关于直线x＝ 对称的点为点(0，n)．
湘教版九年级数学下册1.2.1：二次函数的图象和性质课件(19张ppt)
0
0.5
2
4.5 ...
在平面直角坐标系 内，以x取的值为横坐标，相 应的函数值为纵坐标，描出 相应的点，如右图
连线：根据上述分析，我们
可以用一条光滑曲线把原点和 y轴右边各点顺次连接起来； 然后利用对称性，画出图象在 y轴左边的部分（把y轴左边的 对应点和原点用一条光滑曲线 顺次连接起来），这样就得到 了 y 1 x2 的图象．如图
对称轴与图象的交点是__O_(_0_,_0_)_；
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
的图象．并比较它们的共同点和不同点。
4
列表
x
0
0.5
1
2
y 2x2
0
0.5
2
8
描点 连线
y 2x2
思考：
列表
x
y 1 x2 4
a的绝对值越大 图像的开口度越小
0
1
2
3
4
1
9
0
4
1
4
4
描点 连线
y 2x2
y 1 x2 4
结论：
二次函数
（a>0)的性质：
1.图象的对称轴是___y_轴__，对称轴与图象的交点是_O_（__0_，__0_）___; 图象的开口向____上____；
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如何画二次函数 y 2x2 6x 1 的图象
2 2 x 6 x 1 配方成 把
2( x d )2 h 我们会画 的图象 2 y 2( x d ) h
画二次函数 y 2x2 6x 1 的图象.
解 配方： y 2 x 6 x 1
bx c当
x等于顶点的横坐标时，达到
最大值（当a<0）或最小值
（当a>0），这个最大（小）
值等于顶点的纵坐标.
1 2 求函数 y x 2 x 1 2 1 解 配方： y x 2 2 x 1 2
的最大值
1 2 x 4 x 22 22 1 2 1 1 2 x 2 4 1 2 2
2 b b a x a 2 c 2a 4a
2
b 4ac b2 a x 2a 4a
b 4ac b 2 顶点坐标是 , 2 a 4 a
2
因此，当
b x 2a
时，函数达到最大值（当a<0）或最小值
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
位置 开口方向
增减性 最值
由a,b和c的符号确定
向上
b 时 2a ,y随着x的增大而减小. b 当x 时 , y随着x的增大而增大. 2a 当x 当x
时，函数值 （最大 ）这个 最大值等于顶点的纵坐标
3 当x等于顶点的横坐标 2
4
3 2
1
7 2
－1
1 －1
－2 －3
2
3
4
－4
－5
从图看出，二次函数 y
这个最小值等于多少？
1 2 x 1 3 ，当x等于多少时，函数值最小? 2
一般地，有下述结论： 二次函数y ax 2
4 2 2 －4 －2 －2 －4 4
向下
b 时 2a b 当x 时 2a
,y随着x的增大而增大. , y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
1.画二次函数
配方 列表 x
y x2 2 x 1 的图象.
y x2 2x 12 1 12
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
配方： y ax2 bx c
2 2 2 b b b a x x c a 2a 2a
描点和连线：画出图象在对称轴 右边的部分.
4 3 2
利用对称性，画出图象在对称轴 左边的部分，这样就得到 函数 y 2 x 2 6 x 1 的图象，如图 －1
1 1 －1 －2 －3 －4 －5 2 3 4
从图看出，当x等于多少时，函数 y 2 x2 6 x 1 的值最大？这个 最大值是多少？
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
3 开始取值 2
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
a 2 0 有最大值为5
x 1 2
2
－2 7
－1 2
0 －1
1 －2
2பைடு நூலகம்－1
3 2
4 7
y x2 2 x 1
描点
4 2 2 4
－4
－2 －2
－4
2.求下列二次函数的图象的顶点坐标：
1
y x2 3x 2
2 2
3 3 2 y x 3 x 配方 得 2 2 2
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
2
顶点坐标为（－2，5）
3.求下列各个二次函数的最大值或最小值．
1
y x2 3x 2
3 1 2 y x 3x 2 x 2 4
2
解： 配方得
1 a 1 0 有最小值为 4
2
y 2x2 8x 3
2 2
配方得 y 2 x 8 x 3 2 x 2 5
2 2 x 6 x 1 配方成 把
2( x d )2 h 我们会画 的图象 2 y 2( x d ) h
画二次函数 y 2x2 6x 1 的图象.
解 配方： y 2 x 6 x 1
bx c当
x等于顶点的横坐标时，达到
最大值（当a<0）或最小值
（当a>0），这个最大（小）
值等于顶点的纵坐标.
1 2 求函数 y x 2 x 1 2 1 解 配方： y x 2 2 x 1 2
的最大值
1 2 x 4 x 22 22 1 2 1 1 2 x 2 4 1 2 2
2 b b a x a 2 c 2a 4a
2
b 4ac b2 a x 2a 4a
b 4ac b 2 顶点坐标是 , 2 a 4 a
2
因此，当
b x 2a
时，函数达到最大值（当a<0）或最小值
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
位置 开口方向
增减性 最值
由a,b和c的符号确定
向上
b 时 2a ,y随着x的增大而减小. b 当x 时 , y随着x的增大而增大. 2a 当x 当x
时，函数值 （最大 ）这个 最大值等于顶点的纵坐标
3 当x等于顶点的横坐标 2
4
3 2
1
7 2
－1
1 －1
－2 －3
2
3
4
－4
－5
从图看出，二次函数 y
这个最小值等于多少？
1 2 x 1 3 ，当x等于多少时，函数值最小? 2
一般地，有下述结论： 二次函数y ax 2
4 2 2 －4 －2 －2 －4 4
向下
b 时 2a b 当x 时 2a
,y随着x的增大而增大. , y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
1.画二次函数
配方 列表 x
y x2 2 x 1 的图象.
y x2 2x 12 1 12
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
配方： y ax2 bx c
2 2 2 b b b a x x c a 2a 2a
描点和连线：画出图象在对称轴 右边的部分.
4 3 2
利用对称性，画出图象在对称轴 左边的部分，这样就得到 函数 y 2 x 2 6 x 1 的图象，如图 －1
1 1 －1 －2 －3 －4 －5 2 3 4
从图看出，当x等于多少时，函数 y 2 x2 6 x 1 的值最大？这个 最大值是多少？
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
3 开始取值 2
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
a 2 0 有最大值为5
x 1 2
2
－2 7
－1 2
0 －1
1 －2
2பைடு நூலகம்－1
3 2
4 7
y x2 2 x 1
描点
4 2 2 4
－4
－2 －2
－4
2.求下列二次函数的图象的顶点坐标：
1
y x2 3x 2
2 2
3 3 2 y x 3 x 配方 得 2 2 2
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
2
顶点坐标为（－2，5）
3.求下列各个二次函数的最大值或最小值．
1
y x2 3x 2
3 1 2 y x 3x 2 x 2 4
2
解： 配方得
1 a 1 0 有最小值为 4
2
y 2x2 8x 3
2 2
配方得 y 2 x 8 x 3 2 x 2 5