七年级数学综合与实践：探寻神奇的幻方教案.pptx

六、布置作业
1、（必做题）自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行、每列、每条对角线上的三
个数之和都等于 60.
2、（选做题）用 1～25 这 25 个数构造一个五阶幻方。 【设计意图：分层次作业的设置，为学生搭建不同高度的学习平台，满足不同层次学生
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学习数学的需要，鼓励学有余力的学生课外自主探究。】
三、展示交流 适时点拨
［师］同学们讨论时间到了，你们完成任务了吗 ？ 学生自信地齐声回答：完成了。 ［师］好，我们找小组的同学到黑板展示第 1 题，哪一个小组愿意带头？ 学生纷纷举手，跃跃欲试。教师找一名学生展示答案。 ［生 1］我们小组发现每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于 15，所以它们都相等。 ［师］哪组同学到黑板连线一下，展示第 2 题。 ［生 2］（画图如下）特点：“5”在中间，四个角上的数是偶数，其他位置的数是奇数。
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［师］你们小组画出几个符合条件的幻方？第 x 组同学展示你们的成果。 生 3 到黑板画幻方。其他小组同学观察、思考、计算幻方是否符合条件。画错的其他同学订 正。他没有想到的其他同学补充。
［师］谈谈你是怎样构造幻方的？ ［生 4］我是把 4 和 6 会换，9 和 1 互换，2 和 8 互换，3 和 7 互换构造的。 ［师］同学仔细看答案，你发现了什么现象
［师］要想解释这首诗的意思，先让我们先看看这首诗的来历吧。（引入神话传说）
相传三千多年前大禹治水的时候，有一只神龟出自洛水。龟背上刻有神奇的图案
。
（出示投影片：龟背图）
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图1
这个龟背图很特别，用黑白圈来表示数，并用直线连接这 9 个数。你能说出它们分别代表哪 些数吗？
学生回答。白色是单数，黑色是双数。 ［师］这幅图被称为“洛书”，实际上是一个三阶幻方，（即三行三列九个方格）如图 2（出 示投影片 2）。学生认识图 2。 ［师］由于洛书是 9 个数组成，故称为“九宫”。我国的少数民族如：藏族和纳西族都曾有 “九宫图”。这首诗就是当时赞美九宫图的。九宫图还有很多好听的名字，如宋朝数学家 杨 辉曾给它起名“纵横图”，后来传到外国，取名为“幻方”，意思是变幻莫测的方块。幻 方曾 使大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林很感兴趣。但是外国人研究幻方比我们的祖 先晚了 两千多年。今天我们就来探寻神奇的幻方。教师板书课题。
板书设计
探寻神奇的幻方
一、幻方的特点：
二、幻方的构造
教学反思：
本课是初中阶段数学学学习中“综合与探究”第一课，教学中首先以探寻三阶幻方的本质 特 征为中心，帮助学生感受数学之美，引导学生体验综合运用数学知识解决问题的过程， 培养 学生运用数学解决问题的能力。教学中要给学生提供充足的探究时间，建议课前学生 安排学 生通过各种途径自学幻方，教学中鼓励学生从多个角度进行尝试，不要以教师的讲 解代替学 生的思考和讨论交流。对于补充两个构造幻方的方法，有条件的话教师介绍为学 生，但不要 过多讲解，主要目的是吸引学生的学习热情，让课外时间学生去探究幻方的构 造。
在如图的三阶幻方中：
1
每行、每列、每条对角线上的三个数之和分别是多少？你能发现哪些相等的关系？
2
如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线会构成一个怎样的图形？描述你得到
的图形有什么特点？
3
你能否改变幻方中数字的位置，使它们仍然满足你刚才发现的那些相等关系？
4
在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的数？
教法：情景体验法、引导发现法。具体地，首先通过神话故事引入三阶幻方，学生从图形 感 受三阶幻方的对称美，然后设计一系列开放性的问题串引导学生独立思考、大胆质疑、交 流 合作，从而引导学生借助有理数混合运算、字母表示数及其运算，揭示简单的三阶幻方 的本 质特征，最后让学生应用归纳得到的本质特征尝试构造满足要求的三阶幻方，初步获 取构造 三阶幻方的经验。 学法：小组讨论、自主探究、合作交流．
？ 学生讨论后回答。
［生 5］相当于外边的数绕“5”转圈圈。 ［师］很好，哪个小组的同学说一说第 4 题的答案呀？ ［生 6］最核心位置的是正中间的那一个，有四对成对的数出现：4 和 6、3 和 7、2 和 8、1 和 9。 ［师］为什么“5”在正中间的位置呢？（估计大部分学生没有认真思考这个问题，教师要 引导学生从两个方面思考）三个数的和等于 15 的算式有哪些？
【 设计意图：用一首古诗引入新课，可以激发学生强烈的求知欲；介绍神话故事和幻方的 历史，使学生对幻方简单的了解，不仅有利于学生课余时间对幻方深入探究，还培养了学 生 民族自豪感。】
二、明确任务 小组探究
［师］同学们仔细观察图 2 的幻方，先独立思考一下问题，然后小组讨论你没有解决的问题， 10 分钟后，每个小组选派一名代表展示你们的答案，比一比哪一个小组完成的更好！ 教师出示学习任务。(投影片出示课本“议一议”)
［生］ 2 5 8 15 3 5 7 15 4 5 6 15 1 5 9 15
1 6 8 15 2 6 7 15
2 4 9 15 3 4 8 15
这 8 个算式中“5”在四个算式中出现，它出现的次数最多，而中间位置的数字与 4 条线段
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关联，因此最中间的数字必定是“5”。 ［师］我们能不能用字母表示数来解决这个问题呢/？我们不妨设这 9 个位置的数分别是a、 b、c、d、e、f、g、h、i（如图 3），因为每行、每列、每条对角线三个数的和都等于 15，你 能写出它们满足的算式吗？
送子回家 清除辅助”（出示投影）
1
4ห้องสมุดไป่ตู้
2
7
5
3
8
6
9
【设计意图：通过这两种方法的介绍，不是增加学生的负担，相反是为了提高学生课余时间 研究幻方的兴趣，加深学生对构造幻方方法的深层探究，教师不可用时过多，只供学有能 力 的学生了解即可。】
五、总结概括，整理知识
1. 本节课主要学习了什么知识？你有哪些收获？ 学生回顾两个目标：（1）幻方的特点： （2）构造幻方的方法
生探
究三阶幻方本质特征。】
四、构造幻方 方法共享
活动一:三阶幻方的构造
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［师］试将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6 填入到 3×3 的方格中，使得每行、每列、每 条对角线上的三个数之和相等。
学生根据刚才三阶幻方的特点，实践去构造满足条件的幻方。 ［师］试将 2、4、6、8、10、12、14、16、18 填入到 3×3 的方格中，使得每行、每列、
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（5） 你还有什么新的发现？
学生对于 1、2 两个问题可以独立思考得到答案，问题 3 对于一般的学生只能得到 1～2
种答案，所以要发挥小组集体的力量来获取更多的答案，为发现第 4 题的规律做准备。第 5
题也要求小组讨论发现新规律。 【设计意图：学生根据教师布置的学习任务，通过独立思考、小组讨论、合作探究等形式， 基本能掌握三阶幻方的特点和构造三阶幻方的方法，为下一步探究埋下伏笔。】
活动三、构造幻方方法介绍
［师］同学们，我国宋代数学家杨辉是世界上第一个对幻方详细研究的学者，并取得了丰 硕 成果，他总结出了“洛书”幻方的构造方法。（出示投影片）
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学生自学方法，教师简单作解释。
［师］法国数学家梅齐利亚克创造了一种构造奇数幻方的方法-----阶梯法。口诀为“画格
辅 助 九子斜排
每条对角线上的三个数之和相等。 【设计意图：让学生构造三阶幻方是让学生通过实践来逐步显现规律，教学中一定要留 给学生充足的时间来操作、尝试。】
活动二：交流构造幻方的方法
教师投影学生完成的作业，出示投影“想一想”，然后让学生交流构造幻方的方法。 ［师］想一想： 1 你是怎样解决上述问题的？ 2 你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方？应怎样把九个数填入幻方？结合你填好 的幻 方说说你的理由。
？ 学生解释古诗的意思，特别是最后一句。
［师］你还有什么新发现？
让学生大胆发言，教师要根据教学情况加以引导。 【设计意图：通过学生的展示交流，让学生体验综合利用数学知识（有理数的运算和字母表
示数）分析、抽象出幻方的特征，感受数学知识的内在联系，加深了学生对三阶幻方本质
特 征的了解和掌握，同时也有利于教师了解学情，进行二次备课，有的放矢，适时引导学
四式相加得： d e f b e h a e i c e g 15 15 15 15
即： (a b c d e e f g h i) 3e 60
3e 60 45
因此最中间位置的数是 5
e 5
教师根据学生情况可以适当的点拨和讲解。 ［师］最中间的位置很重要，所以诗中称之为王子位。你能解释开头那首诗的意思了吧
ab c
de f
gh i
［生］写出算式： a b c 15
g h i 15
a d g 15 b e h 15 c f i 15
a e i 15 c e g 15
［师］我们最关心的数是中间位置的“e”，把含有“e”的算式找出来，然后相加。
［生］ d e f 15， b e h 15 ， a e i 15 ， c e g 15
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综合与实践：探寻神奇的幻方
教学目标
1. 综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征。 2. 经历观察、猜想、归纳、类比等活动初步积累构造三阶幻方的经验。 3. 进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。
教学重点
探索三阶幻方的本质特征
教学难点
构造符合要求的三阶幻方
教法与学法指导:
3 你还有什么新的猜想？ ［生 1］回答（1）最中间的位置填入 2，因为 2 在这 9 个数的中间，其余的 8 个数分成 4 组，-2 和 6、-1 和 5、0 和 4、1 和 3，第 1 组和第 3 组应该填在中间，其余两组填在四个 对角。 ［生 2］回答（2）连线的九个数可以满足三阶幻方。等差数列的九个数可以满足三阶 幻方。 对于这两个问题，教师要鼓励学生大胆发言，让更多的学生参与讨论和交流，以便方法 共享，经验得到推广。问题 2 的答案可能学生倾向于与原来的幻方对比是减去 3、乘以 2， 这种类比、归纳、猜想的数学思想方法在教学中要注意渗透。 【设计意图：让学生谈谈自己构造幻方的方法和道理，培养学生分享成功的经验的良好学 习 习惯，在教学中要注意数学思想方法的渗透。】