【优选】备战2020中考数学专题复习分项提升第04讲 分式(学生版)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
2020年中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练 分式的计算
2020中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练分式的计算一．选择题.1. 某机车加工车间共有26名工人,现要加工2 100个A 零件,1 200个B 零件,已知每人每天加工A 零件30个或B 零件20个,问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)?设安排x 人加工A 零件,由题意列方程得 ( ) A.2 10030x =1 20020(26-x ) B.2 100x =1 20026-xC.2 10020x =1 20030(26-x ) D.2 100x ×30=1 20026-x ×202.关于x 的分式方程x+m x -2+2m2-x =3的解为正实数,则实数m 的取值范围是 ( ) A.m<-6且m ≠2 B.m>6且m ≠2 C.m<6且m ≠-2D.m<6且m ≠23. 对于实数a,b,定义一种新运算“”为ab=1a -b 2,这里等式右边是实数运算.例如:13=11-3=-18.则方程x (-2)=2x -4-1的解是 ( ) A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7二．填空题. 1. a,b 为实数,且b=√a 2-9+√9-a 2a+3+4,则a+b 的值为______.2. 化简a+1a 2-2a+1÷(1+2a -1)的结果是________.3. 若关于x 的分式方程2x -a x -2=12的解为非负数,则a 的取值范围是______. 三．解答题. 1. 先化简:(a 2+1a+1-a)÷a 2-2a+1a+1再从-1,0,1中选取一个数并代入求值.2.先化简,再求值:x 2+2x+1y·(1-1x+1)-x 2y 其中x=2,y=√2.3. 解方程:2x+93x -9=4x -7x -3+2.4. 解分式方程:x -3x -2+1=3x -2.5.某校学生利用双休时间去距学校10 km 的炎帝故里参观,一部分学生骑自行车先走,过了20 min 后,其余学生乘汽车沿相同路线出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度和汽车的速度.6. A,B 两种型号的机器加工同一种零件,已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20个零件,A 型机器加工400个零件所用时间与B 型机器加工300个零件所用时间相同,求A 型机器每小时加工零件的个数.2020中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练分式的计算（答案版）一．选择题.1. 某机车加工车间共有26名工人,现要加工2 100个A 零件,1 200个B 零件,已知每人每天加工A 零件30个或B 零件20个,问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)?设安排x 人加工A 零件,由题意列方程得 ( ) A.2 10030x =1 20020(26-x ) B.2 100x =1 20026-xC.2 10020x =1 20030(26-x ) D.2 100x ×30=1 20026-x ×20【解析】选A.设安排x 人加工A 零件,根据等量关系“共有26人”可知有(26-x)人加工B 零件,根据等量关系“完成A 零件时间=完成B 零件时间”可列方程:2 10030x=1 20020(26-x ).2.关于x 的分式方程x+m x -2+2m2-x =3的解为正实数,则实数m 的取值范围是 ( ) A.m<-6且m ≠2 B.m>6且m ≠2 C.m<6且m ≠-2D.m<6且m ≠2【解析】选D.x+m x -2+2m2-x =3,方程两边同乘(x-2)得,x+m-2m=3x-6, 解得,x=6-m 2,∵6-m 2≠2,∴m ≠2, 由题意得,6-m 2>0,解得,m<6,实数m 的取值范围是m<6且m ≠2. 3. 对于实数a,b,定义一种新运算“”为ab=1a -b 2,这里等式右边是实数运算.例如:13=11-32=-18.则方程x (-2)=2x -4-1的解是 ( )A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7【解析】选B.根据题意,得1x -4=2x -4-1, 去分母得1=2-(x-4), 解得x=5,经检验x=5是分式方程的解. 二．填空题. 1. a,b 为实数,且b=√a 2-9+√9-a 2a+3+4,则a+b 的值为______.【解析】∵b=√a 2-9+√9-a 2a+3+4,∴a 2-9=0且a+3≠0,解得a=3,b=0+4=4,则a+b=3+4=7. 答案:72. 化简a+1a 2-2a+1÷(1+2a -1)的结果是________. 【解析】原式=a+1(a -1)2÷a+1a -1=a+1(a -1)2·a -1a+1=1a -1. 答案:1a -13. 若关于x 的分式方程2x -a x -2=12的解为非负数,则a 的取值范围是______. 【解析】去分母得,2(2x-a)=x-2, 解得x=2a -23, 由题意得2a -23≥0且2a -23≠2,解得a ≥1且a ≠4.答案:a ≥1且a ≠4 三．解答题. 1. 先化简:(a 2+1a+1-a)÷a 2-2a+1a+1再从-1,0,1中选取一个数并代入求值.【解析】原式=(a 2+1-a (a+1)a+1)·a+1(a -1)2=1-a (a -1)2=11-a .∵a+1≠0,a-1≠0,∴a ≠-1,a ≠1,∴a=0. 当a=0时,原式=11-0=1. 2.先化简,再求值:x 2+2x+1y·(1-1x+1)-x 2y 其中x=2,y=√2.【解析】原式=(x+1)2y·xx+1-x 2y=x 2+x y -x 2y=xy .将x=2,y=√2代入,得:原式=√2=√2.3. 解方程:2x+93x -9=4x -7x -3+2. 去分母得2x+9=3(4x-7)+6(x-3), 整理得-16x=-48, 解得x=3.检验:当x=3时,3(x-3)=0, 则x=3是原方程的增根. 故原方程无解.4. 解分式方程:x -3x -2+1=3x -2. 【解析】去分母得:x-3+x-2=3, 解得:x=4,经检验x=4是分式方程的解.5.某校学生利用双休时间去距学校10 km 的炎帝故里参观,一部分学生骑自行车先走,过了20 min 后,其余学生乘汽车沿相同路线出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度和汽车的速度.【解析】设骑车学生的速度为x 千米/小时,汽车的速度为2x 千米/小时, 可得:10x =102x +2060, 解得:x=15,经检验x=15是原方程的解,2x=2×15=30.答:骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15 km,30 km.6. A,B 两种型号的机器加工同一种零件,已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20个零件,A 型机器加工400个零件所用时间与B 型机器加工300个零件所用时间相同,求A 型机器每小时加工零件的个数.【解析】设A 型机器每小时加工零件x 个,则B 型机器每小时加工零件(x-20)个.根据题意列方程得:400x=300x -20,解得:x=80,经检验,x=80是原方程的解. 答:A 型机器每小时加工零件80个.。
2020年中考数学考点总动员 专题04 分式(解析版)
专题04 分式1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则;;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n ba b a n nn = ;cb ac b c a ±=± bdbc ad d c b a ±=±【例1】（2019•浦东新区二模）如果分式x y x y +-有意义，则x 与y 必须满足( ) A ．x y =- B ．x y ≠- C ．x y = D ．x y ≠【分析】根据分式有意义的条件是0x y -≠，可得0x y -≠，进而可得答案．【解答】解：由题意得：0x y -≠，即：x y ≠，故选：D ．【例2】（2018秋•奉贤区期末）若分式22xy x y +中的x ，y 的值同时扩大到原来的2倍，则此分式的值( )A ．扩大到原来的4倍B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的12 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：22444xy x y + 22xy x y =+， 故选：C ．【例3】（2018•浦东新区二模）计算：323b a a b=g ． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式23ab =故答案为：23ab【例4】（2018•上海）先化简，再求值：22212()11a a a a a a+-÷-+-，其中a ． 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 【解答】解：原式212[](1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a -+=-÷+-+-- 1(1)(1)(1)2a a a a a a +-=+-+g 2a a =+，当a 时，原式5===-1．（2018秋•嘉定区期末）下列四个选项中，可以表示2111x x x -++的计算结果的选项是( ) A ．21x - B ．1x - C ．2(1)x - D ．2(1)1x x -+ 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果 【解答】解：2211(1)(1)11111x x x x x x x x x -+--===-++++， 故选：B ．2．（2018秋•静安区期末）分式11x x +-有意义的条件是( ) A ．1x = B ．1x ≠ C ．1x =- D ．1x ≠-【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【解答】解：要使11x x +-有意义，得 10x -≠． 解得1x ≠，当1x ≠时，11x x +-有意义， 故选：B ．3．（2018秋•浦东新区期末）当2y =时，下列各式的值为0的是( )A ．22y -B ．224y y +-C ．224y y --D ．224y y -+ 【分析】根据分式的值为零的条件进行判断．【解答】解：A 、当2y =时，20y -=，由于分式的分母不能为0，故A 错误；B 、当2y =时，240y -=，分式的分母为0，故B 错误；C 、当2y =时，240y -=，故C 错误；D 、当2y =时，20y -=，且240y +≠，故D 正确；故选：D ．4．（2018秋•浦东新区期末）下列变形不正确的是( )A ．3344a a a a --=--B ．3223b a a b c c --+=-C ．22b a b a c c -++=-D ．221111a a a a --=--- 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：（C ）原式(2)2b a b a c c---==-，故C 错误； 故选：C ．5．（2018秋•浦东新区期末）下列分式是最简分式的是( ) A ．2144x x -- B ．222345x x x x ---- C ．221x x -- D ．336x x - 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A ．21(1)(1)1444(1)4x x x x x x -+-+==--，不符合题意； B ．2223(1)(3)345(1)(5)5x x x x x x x x x x --+--==--+--，不符合题意； C ．221x x --是最简分式，符合题意； D ．33363(2)2x x x x x x ==---，不符合题意； 故选：C ．6．（2018•奉贤区二模）计算：112a a-= ． 【分析】首先通分，然后再根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．进行计算即可． 【解答】解：原式211222a a a=-=， 故答案为：12a ． 7．（2018秋•嘉定区期末）分式221x y -与分式21x xy-的最简公分母是 ． 【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案． 【解答】解：两个分式可化为：1()()x y x y +-，1()x x y -， 故最简公分母：()()x x y x y +-，故答案为：()()x x y x y +-．8．（2018秋•嘉定区期末）要使代数式423x +有意义，那么字母x 所表示的数的取值范围是 ． ． 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由分式有意义的条件可知：230x +≠，32x ∴≠- 故答案为：32x ≠-． 9．（2018秋•浦东新区校级月考）化简：2242x x x -=+- ． 【分析】先将分子、分母分别因式分解，再约去公因式即可得． 【解答】解：原式(2)(2)2(1)(2)1x x x x x x +--==-+-， 故答案为：21x x --．10．（2019•长宁区二模）先化简，再求值：22244(4)2x x x x x-+÷-+，其中x = 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算除法运算，化简后，代入x 的值求解． 【解答】解：原式2(2)(2)44(2)x x x x x x x+--+=÷+ 22(2)x x x x -=-g 12x =-．当x 122x ===-．11．（2019•奉贤区二模）先化简，再求值：22693111x x x x x x x -+--÷--+，其中x =【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x =代入，根据分母有理化法则计算即可． 【解答】解：原式2(3)11(1)(1)3x x x x x x x -+=--+--g 311x x x x -=--- 31x =-，当x =时，原式3==．12．（2019•崇明区二模）先化简，再求值：2221(1)121a a a a a a +-÷+---+，其中a = 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算，得到答案．【解答】解：原式22(1)1111(1)a a a a a +-=--+-g 2111a a =--- 11a =-，当a 1．13．（2019•杨浦区三模）先化简，再计算：2221222x x x x x x x--+--+g ，其中1x =． 【分析】原式约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式(1)(2)12(1)1212(1)x x x x x x x x x x x x+-++-=-=-=-+g ，当1x =时，原式2==14．（2018•虹口区二模）先化简，再求值：2344(1)11a a a a a -+--÷++，其中a = 【分析】首先将括号里面通分运算，再将分子与分母分解因式，进而化简得出答案． 【解答】解：原式22131144a a a a a --+=+-+g 2(2)(2)11(2)a a a a a +-+=+-g 22a a +=-，当a =原式7==--。
2020年春数学中考一轮复习4.重庆数学 第4讲分式的概念及运算
16. (2019·湘潭)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式 和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式， 其公式如下： 立方和公式：x3+y3＝(x+y)(x2-xy+y2) 立方差公式：x3-y3＝(x-y)(x2+xy+y2) 根据材料和已学知识，先化简，再求值：x23−x2x-x2x+32−x8+4，其中x＝3.
焦点1 分式的概念与性质
样题1 (2017·重庆A)要使分式x−43有意义，x应满足的条件是( D)
A.x＞3
B.x=3
C.x＜3
D.x≠3
［解析］根据分式有意义的条件：分母≠0，列式解出即可.
当x-3≠0，即x≠3时，分式x−43有意义， 故选D.
变式训练
1.(2017·重庆B)若分式x−13有意义，则x的取值范围是( C )
3.分式AB的值为0的条件是__A_=_0_且__B__≠_0___； 分式的值为正：分子、分母同号； 分式的值为负：分子、分母异号.
考点2 分式的基本性质：掌握并会运用
ba＝ba··mm，ba＝ba÷÷mm (m≠0). 1.理解与运用 化系数为整数：分式的分子与分母都乘各分母的最小公倍数. 分式变号法则：分式有三个符号——分子、分母、分式本身.每次变号， 要使分式的值不变，必须同时改变其中的任意两个. 使分子、分母中的最高次项系数为正(负)：借用变号法则.
5.a－n＝a1n.
03 考场 ·笑傲全国题
一、选择题
1.(2019·常州)若代数式xx+−13有意义，则实数x的取值范围是( D)
A.x＝-1
B.x＝3
C.x≠-1
D.x≠3
中考数学复习 第一部分 数与代数 第四课时 分式课件
或通分),这样可使答题简便.
K12课件
9
-10-
【考点变式】
1.(2017·徐州)
1+ 4
������-2
÷ ������2���-���4+������2+4.
解:原式=������-2+4 ·(������-2)2=������+2 ·(������-2)2 =x-2.
������-2 ������+2 ������-2 ������+2
1.(2017·宿迁)先化简,再求值:���������-���1 + ������������2+-11,其中 x=2.
解:原式= ������ + ������+1 = ������ + 1 = ������+1,
第4课时 分 式
K12课件
1
-2-
考纲要求 1.了解分式和最简分式的概念. 2.会利用分式的基本性质进行约 分和通分.
3.会进行简单的分式加、减、 乘、除运算.
中考动向
1.题型:选择题、填空题和解 答题 2.难度:中、低档题 3.分值:3~7 分 4.热点和趋势: (1)分式的三种取值; (2)分式的运算; (3)分式的化简与求值.
·(������ +1���)���(������ -1)=������������+-11.
K12课件
10
-11-
考点3 分式的化简求值 【例3】(2016·广东)先化简,再求值:
������ +3 ������
·
������
2
6 +6������
+9
+
中考数学题型专项研究第4讲：分式与分式方程
第4讲分式与分式方程分式的化简求值．分式的性质用错，常会把分子分母同时加上同一个式子；通分时a 常会通分成a a ；添括号时不变符号；加减的两个分式进行分子分母约分；代值时容易代入使分式无意义的数．分式的化简求值首先把分式约分、通分，再进行加减乘除运算，化简后把值代入．通分的关键是寻找最简公分母，找分子、分母的公因式方法如下：(1)定系数：最大公约数．(2)定字母：相同字母取最低次幂．(3)若分子、分母是多项式应先把分子、分母因式分解，然后确定公因式．化简求值类一定要先化简再求值，分数线有括号的作用，去分母后分子要加括号，注意结果一定是最简分式．化简时要有整体意识和符号意识．【典例解析】【例题1】（2017山东临沂）计算：÷（x ﹣）= ．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•=， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．【例题2】（2017毕节）关于x 的分式方程+5=有增根，则m 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【考点】B5：分式方程的增根．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x ﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．【解答】解：方程两边都乘（x ﹣1），得7x +5（x ﹣1）=2m ﹣1，∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣1）=0，解得x=1，当x=1时，7=2m ﹣1，解得m=4，所以m 的值为4．故选C ．【例题3】（2017哈尔滨）方程=的解为（ ）A ．x=3B ．x=4C ．x=5D ．x=﹣5【考点】B3：解分式方程．【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．【解答】解：2（x ﹣1）=x +3，2x ﹣2=x +3，x=5，令x=5代入（x +3）（x ﹣1）≠0，故选（C ）【例题4】（2017乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是（ ）A ．﹣=5B ．﹣=5C ． +5=D ．﹣=5【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，∵提前5天完成任务，∴﹣=5，故选（A）【例题5】（2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．（1）求这种笔和本子的单价；（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可．【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：=，解得：x=10，经检验：x=10是原分式方程的解，则x﹣4=6．答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，由题意得：10m+6n=100，整理得：m=10﹣n，∵m、n都是正整数，∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；∴有三种方案：①购买这种笔7支，购买本子5本；②购买这种笔4支，购买本子10本；③购买这种笔1支，购买本子15本．【专项训练】一、选择题：1.（2017•乐山）若a2﹣ab=0（b≠0），则错误！未找到引用源。
2020北京中考数学一轮复习课件：第04课时 分式
1-���3���
÷������������+-33-������������ ++63=���������-���3·������������+-33-������������
+6 +3
=������+3-������+6=������ 2+6������+9-������ 2-6������
���2018·朝阳一模]先化简,再求值: ���2���2-���-���1÷������1-1+������������+-11 ,其中 a=4.
18.[2019·顺义一模]已知
x2+3x-3=0,求代数式
1-3
������
÷������������+-33-������������ ++63的值.
������ ������-������
������
������ -������
=a+b=2.
12.[2019·海淀一模]如果 a2-ab-1=0,那么代数式 ������2 ·a+������2-2������������
������ -������
������
的值是 (
B
)
A.-1
B.1
C.-3
考向一 分式有意义及值为0的条件
1.[2017·北京 2 题]若代数式 ������ 有意义,则实数 x 的取值范围是
������-4
(D
)
A.x=0
B.x=4
C.x≠0
D.x≠4
2.[2019·北京 9 题]若分式������-1的值为 0,则 x 的值为 1
2020年中考数学复习第一轮数与式 第四讲 分式(32张PPT)
−
2������-2 ������+1
=
2������-2������+2 ������+1
=
������+2 1.
不等式 x≤2 的非负整数解是 0,1,2.
答案不唯一,如:把 x=0 代入������+21=2. (2)由 x2-x-2=0,得 x2-x=2.
将 x2-x=2 代入原式,
得(���������2���2-���-������)���2+-21+3
x
1
y
x
1
y
xy
1
y2
，其中
x 5 2, y 5 2
解：原式= x y x y 1 (x y)(x y) (x y)(x y) y(x y)
2x
* y(x y)
(x y)(x y)
2xy x y
(1)分式的加减运算 ①同分母运算：分母不变，分子相加减，即
a c
b c
ab
＝___c____；
②异分母运算：先通分，变为同分母分式，再加减，
即
a b
c d
ad bc
＝___b_d___．
(2)分式的乘除运算
①乘法运算：a c
bd
ac
＝___bd___；
②除法运算：a
b
c d
ad
＝___b_c__．
=���a���+−22
−
������
2 ������ −2
= ������ − 2
命题点 4 分式化简及求值
【中考数学】中考复习第4课时 分式
第一章 数与式第4课时 分式1.了解分式和最简分式的概念，2.会利用分式的最基本性质进行约分和通分，3.会进行简单的分式加、减、乘、除运算...一、预习考点阅读中考帮13页，了解分式的概念、基本性质方法和分式的运算法则。
将预学中的疑问用笔标出。
（3-5分钟）二、考点分析考点1：分式的概念1定义：能识别给定的代数式是整式还是分式典例：下列哪些是整式，哪些是分式？2.分式有无意义和值为零的条件典例：若分式x 2－1x ＋1的值有意义，则 ，那么x 的取值范围若分式x 2－1x ＋1的值无意义，则 ，那么x 的取值范围若分式x 2－1x ＋1的值为零，则 且 ，那么x 的值 考点2：能利用分式的基本性质进行约分和通分1.通过类比分数的基本性质引导学生掌握分式的基本性质（中考帮P13）2.最简分式、最简公分母、约分、通分的含义（中考帮P13）典例：1.中考帮典例32.化简y x xy m x x b 221)4(33(41)2(,2)1(+-+-，π），考点3：分式的运算1.分式的乘除法则典例：（1）226283a y y a ⋅（2） x y xy 2262÷ （3）22122a a a a+⋅-+（4）41441222--÷+--a a a a a 2.分式的加减法法则典例：同分母分式相加减（1）y x y y x x -+-；（2）a a a a ----12112；（3）mn n n m n m n n m ---+-+22 典例：异分母分式相加减 x xy x xy y -++1)1(； 11)2(2+-+x x x ； 31913)3(2+---+-a a a a a 备选题目：112)1(--x ； 1312(22--+-a a a a ）； 222)3(n m m n m n n m m -++++ 3.分式的乘方法则4.分式的混合运算典例：见中考帮典例4、变式3、典例5备选题目：（1）341213-31222+-+-•---x x x x x x x （2） xx x x x -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2422 ，其中x =–1． 三、随堂巩固：随堂帮第4页四、学习体会本节课你有哪些收获？ 预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？五、布置作业作业帮第4页A 、B 层：第1-13题C 、D 层：第1-9题E 层：第1-8题 ，，121)2(205)1(222+--x x x y x xy。
第4讲 分式-2020届广东九年级数学中考总复习课件 (共22张PPT)
第一章 数与式
第4讲 分式
近五年广东中考情况
2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 (6分) (6分) (6分) (6分) （6分）
分式的化 分式的化 分式的化 分式的化 分式的化 简求值 简求值 简：
形如 (A，B为两个整式，B中含有字母)的
17. （2019烟台）先化简 ，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值.
18. （2019本溪）先化简，再求值 ，其中a满足a2+3a-2＝0.
解：原式
∵a2+3a-2＝0， ∴a2+3a＝2. ∴原式＝ ＝1.
C组 19. （2019泰安）先化简，再求值：
，其中a＝ .
A组
10. （2018温州）若分式
的值是( A )
A. 2
B. 0
C. -2
11. （2019泰州）若分式
值范围是___x_≠________.
12.（2019山西）化简
的值为0，则x
D. -5 有意义，则x的取
的结果是
____________.
13. （2018盐城）先化简，再求值： ，其中x=2+1.
(5)
bc
(通分).
易错题汇总
1. 将下列分式化简：
(1)1+
=____________;
(2)2-
=____________;
(3)a-
=____________;
(4)
-x+1=____________;
(5)
=__________________;
(6)
=_____1_______.
2. 化简：
【精选】备战2020中考数学专题复习分项提升第04讲 分式(学生版)
第04讲 分式1．分式的基本概念(1)形如A B(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式． (2)当B≠0时，分式A B 有意义；当B ＝0时，分式A B 无意义；当A ＝0 时，分式A B的值为零. 2．分式的性质(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即A B ＝A×M B×M ，A B ＝A÷M B÷M；(M 是不等于零的整式)(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即A B ＝－－A B ＝－A －B ＝－A －B. 3．最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．4．分式的运算(1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．(2)确定最简公分母：确定方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．(3)约分：把分式中分子与分母的___ ____约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．(4)分式的运算法则：①加减法：同分母加减法：a c ±b c ＝_a±b c_； 异分母加减法：b a ±d c ＝bc±ab ac. ②乘除法：a b ·c d ＝ac bd ； a b ÷c d＝___． ③乘方：(a b )n ＝a nb n .考点1： 分式的化简【例题1】下列变形错误的是（ ） A.46323224y y x y x -=- B.1)()(33-=--x y y x C.9)(4)(27)(12323b a x b a b a x -=-- D.y x a xy a y x 3)1(9)1(32222-=--考点2： 分式的化简【例题2】（2018包头）化简；22442x x x x-++÷（42x +﹣1）= ．考点3：分式的加减乘除运算【例题3】先化简，再求值：9－3a 2a －4÷(a ＋2－5a －2)，其中a 满足a 2－a －6＝0.归纳：1.分式化简时，应注意：当自主确定代数式中字母的取值时，一定要注意所选取的值不能使原分式中的分母为0；另外对于所给值是代数式时，可考虑整体代入思想计算以达到简便计算的目的．2．分式化简求值的一般步骤：第一步：若有括号的，先计算括号内的运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；第二步：若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子、分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋、－”就只有“×或·”，简称：除法变乘法；第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算，简称：先算乘法；第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式，简称：再算加减； 第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义，简称：代入求值．一、选择题：1. （2018•金华）若分式的值为0，则x 的值为（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．3或﹣3 D ．02. （2018•台州）计算，结果正确的是（ ）A ．1B ．xC ．D ． 3. （2019•江苏扬州•3分）分式x -31可变形为( D ) A.x +31 B.-x +31 C.31-x D.31--x 4.（2019•河北省•2分）如图，若x 为正整数，则表示﹣的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④5. （2019•四川省达州市•3分）a 是不为1的有理数，我们把称为a 的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2019的值是（ ）A ．5B ．﹣C ．D ． 二、填空题：6. （2019•江苏泰州•3分）若分式121x -有意义，则x 的取值范围是 ． 7. （2018•襄阳）计算﹣的结果是 ．8. （2018·四川自贡·4分）化简+结果是 ． 9. 先阅读下面一段文字，然后解答问题：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（m 2﹣1）元，（m 为正整数，且m 2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m 2﹣1）元．设初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支应为元；③批发价每支应为元．（用含x、m的代数式表示）．三、解答题：10. （2018•玉林）先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．11.（2017张家界）先化简（1﹣）÷，再从不等式2x﹣1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．12. (2018·遵义)化简分式(a2－3aa2－6a＋9＋23－a)÷a－2a2－9，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．13. (2018·石家庄模拟)化简aa2－4÷a2－3aa＋2－12－a，并求值，其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．14. 问题探索：（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．。
专题04 二次根式的核心知识点精讲-备战2024年中考数学一轮复习考点帮 (2)
专题04 二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠21．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．92.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝．2．（2023•山西）计算：的结果为．3．（2023•兰州）计算：．4．（2023•陕西）计算：．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3 4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣410．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为．12．（2023春•固镇县月考）计算＝．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞43．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．55．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝．7．（2023春•中江县月考）已知的值是．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7 4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．36．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9.（2022•武汉）计算的结果是．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．。
2024年中考数学一轮复习提高讲义：分式及其运算
分式及其运算知识梳理1.分式的概念表示两个整式相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就是分式.注意：分式中字母的取值不能使分母为零.当分母的值为零时，分式没有意义.2.分式的基本性质和变号法则(1)分式的基本性质：AB =A×MB×M=A÷MB÷M(2)分式的变号法则：−a−b =−−a+b=−a−b=ab3.分式的运算(1)分式的乘除:①分式的乘法：ab ⋅cd=acbd②分式的除法：ab ÷cd=ab⋅dc=adbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分.(2)分式的加减①同分母分式相加减：ac ±bc=a±bc②异分母分式相加减：ba ±dc=bcac±adac=bc±adac(3)分式的乘方：应把分子分母各自乘方，即(ab )′′=a nb n(n为正整数).4.分式求值(1)先化简,再求值.(2)由化简后的形式直接代入所求分式的值.(3)式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中.典型例题例 1分式x2−4x+2的值为0,则( ).A. x=-2B. x=±2C. x=2D. x=0分析分式的值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0. 解由题意，得x²−4=0,且x+2≠0,解得x=2.故选 C.例 2若ab+a-b-1=0,试判断1a−1,1b+1是否有意义.分析要判断1a−1,1b+1是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断a-1,b+1与零的关系.解因为ab+a-b-1=0,所以a(b+1)-(b+1)=0,即(b+1)(a-1)=0,所以b+1=0或a-1=0,所以1a−1,1b+1中至少有一个无意义.例3计算：1+n−mm−2n ÷m2−n2m2−4mn+4n2.分析分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解.解原式=1−m−nm−2n ⋅(m−2n)2 (m+n)(m−n)=1−m−2nm+n =m+n−m+2nm+n=3nm+n例 4已知 abc=1,求 a ab+a+1+b bc+b+1+cac+c+1的值.分析 若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了. 解 原式 =a ab+a+1+ab abc+ab+a +abca 2bc+abc+ab =a ab+a+1+ab 1+ab+a +abca+1+ab =a+ab+1ab+a+1 =1 双基训练1.下列代数式中： x π,12x −√a−b √a+b x 2−y 2x+y ,1x+y x−y,是分式的有 . 2.下列式子中是分式的是( ).A. x/2B. 2x C.x π D.x+y 23.下列分式中，最简分式有( ).a 33x 2,x−yx 2+y 2,m 2+n 2m 2−n 2,m+1m 2−1,a 2−2ab+b 2a 2−2ab−b 2A. 2个B. 3 个C. 4 个D. 5 个 4.下列变形不正确的是( ). A.2−a −a−2=a−2a+2B.1x+1=x−1x 2−1(x ≠1) C.x+1x 2+2x+1=12 D.6x+33y−6=2x+1y−25.若2x+y=0,则x 2+xy+y 22xy−x 2的值为( ).A.−15B.−35C. 1D.无法确定 6.若把分式 x+yxy 中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值( ). C.缩小为原来的 12 D.缩小为原来的 14A.扩大 2倍 B. 不变7.若x+y=1,且x≠0,则(x+2xy+y2x )÷x+yx的值为 .8.已知分式2x+1x−2,当x= 时，分式没有意义；当. x=时，分式的值为0；当x=-2时,分式的值为 .9. 分式1x−1,1x,2x2−2x+1的最简公分母是 .10.某校组织学生春游，有m 名师生租用n座的大客车若干辆，共有3个空座位，那么租用大客车的辆数是 (用m，n 的代数式表示).11. 化简.(1)a2−4a2+2a−8÷(a2−4)⋅a2−4a+4a−2;(2)x2−1x2−4x+4÷(x+1)⋅x2−3x+2x−1.12. 当x 取何值时,式|x|−2x2+3x+2有意义?当x取什么数时，该式的值为零?13. 先化简(1x−1−1x+1)÷x2x2−2,再求当x=2时的分式值.14.有一道题：“先化简，再求值：(x−2x+2+4xx2−4)÷1x2−4其中，x=-3”.小玲做题时把“x=−3”错抄成了x=3”,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?15. 已知3x²+xy−2y²=0(x≠0,y≠0),求xy −yx−x2+y2xy的值.16.已知实数 m,n 满足关系1m+n +1m−n=nm2−n2,求2mn+n2m2的值.17.课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3,5−2√2,7+√3时，求代数式x2−2x+1x2−1÷2x−2x+1的值.小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢?”你能帮小明解决这个问题吗?请你写出具体的解题过程.18.先化简: (3x+1−x+1)÷x2−4x+4x+1,然后从-1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值.19.已知:非零实数a,b,c 满足1a −1b=1b−1c,求证:ab+bc=2ac.20.已知分式: A=2x2−1,B=1x+1+11−x.(x≠±1).有下面三个结论：①A，B 相等；②A，B 互为相反数；③A，B 互为倒数.上述结论中哪个正确?为什么?能力提升21.已知Mx2−y2=2xy−y2x2−y2+x−yx+y,则M=.22.已知分式x−5x2−4x+a,当x=55时，分式的值为零，求a 的取值范围；当x 取任何值时，这个分式一定有意义，求a 的取值范围 .23.如果记 y =x 21+x2=f (x ),并且f(1) 表示当x=1时y 的值,即 f (1)=121+12=12; f (12)表示当 x =12时y 的值，即f (12)=(12)21+(12)2=15; 那么f (1)+f (2)+f (12)+f (3)+f (13)+⋯+f (n )+f (1n)=¯(结果用含n 的代数式表示).24. 若 a²+b²=3ab,则 (1+2b 3a 3−b 3)÷(1+2ba−b )的值等于( ). A. 12B.0C. 1D.2325.若 P =12012−12013,Q =20112012−20102011,R =20122013−20112012,那么 P,Q,R 的大小关系为( ).A. P>Q>RB. P<Q<RC. P=R>QD. P=R<Q 26.已知:方程 a x−3=1x 的解为x=-3,求 a a−1−1a 2−a 的值.27.已知:a+b+c=0, abc=8,求证: 1a +1b +1c <0.28.已知 a²−6a +9与|b-1|互为相反数，求代数式 (4a 2−b2+a+bab 2−a 2b)÷a 2+ab−2b 2a 2b+2ab 2+ba的值.29.若 A =99991111+199992222+1,B =99992222+199993333+1,试比较A 与B 的大小.30.设a,b,c,d 都不等于 0,并且 ab =cd ≠1,按照下面的步骤探究 a+ba−b 和 c+dc−d 之间的关系.(1) 请你任意取3组a,b,c,d 的值,通过计算猜想a+ba−b 和c+dc−d之间的关系.(2)证明你的猜想. 拓展资源31.已知a,b,c 为实数,且aba+b =13,bcb+c=14,cac+a=15,那么abcab+bc+ca的值是多少?32.当x 的值变化时，求分式8−2(x+1)2+1的最小值.33.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,xyz≠0,求x+y−zx−y+2z的值.34.(1) 已知恒等式x³−x²−x+1=(x−1)(x²+kx−1),求 k 的值.(2)若x 是整数,求证x3−x2−x+1x2−2x+1是整数.35.解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等.(1) 设A=3xx−2−xx+2,B=x2−44,求 A 与 B 的积.(2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题.第二十二讲1.x2−y2x+y ,1x+yx−y2. B3. C4. C5. B6. C7.18.2,- 12, 349. x(x-1)²10.m+3n11.(1) 原式=a2−4(a−2)(a+4)⋅1a2−4⋅(a−2)2a−2=1a+4.(2) 原式=(x+1)(x−1)(x−2)2⋅1x+1⋅(x−1)(x−2)x−1=x−1x−2,12. 由x²+3x+2=(x+1)(x+2)=0,得x=-1或-2所以,当x≠-1和x≠-2时,原分式有意义.由分子|x|-2=0得x=±2,当x=2时,分母x²+3x+2≠0;当x=-2时,分母x²+3x+2=0,原分式无意义. 所以当x=2时, |x|−2x2+3x+2的值为零.13. 原式=x+1−x+1(x+1)(x−1)÷x2(x+1)(x−1)=x+1−x+1(x+1)(x−1)⋅2(x+1)(x−1)x=4x,当x=2时,原式=2.14.原式计算的结果等于x²+4,所以不论x 的值是+3还是-3结果都为13.15.先化简，得原式=−2yx,又因3x²+xy−2y²=0,所以(3x-2y)(x+y)=0,所以x=23y或x=-y,当x=23y时,原式=-3;当x=-y时,原式=2.16. 由1m+n +1m−n=nm2−n2可得:n=2m;则2mn+n2m2=2nm+n2m2=4+4=8.17. 原式=(x−1)2(x+1)(x−1)⋅x+12(x−1)=12.由于化简后的代数中不含字母x，故不论x取任何值，所求的代数式的值始终不变.所以当x=3,5−2√2,7+√3时，代数式的值都是12.18.化简得原式=x+22−x,当x=1时,原式=3.19. 因为1a −1b=1b−1c,所以b−aab=c−bbc,所以c(b-a)=a(c-b),所以bc-ac=ac-ab,所以ab+bc=2ac.20.②的结论正确.理由如下：因为B=1x+1+11−x=x−1(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)=(x−1)−(x+1)(x+1)(x−1)=−2x2−1=−A所以 A，B互为相反数.21. x² 22. a≠-5,a>4 23.n−1224. A 2 5. D26. 因为方程ax−3=1x的解为.x=-3.所以a−3−3=−13,解得a=2,所以aa−1−1a2−a=a2a(a−1)−1a(a−1)=(a+1)(a−1)a(a−1)=a+1a;当a=2时,原式=2+12=32.27.证明:因为a+b+c=0,)所以( (a+b+c)²=0,即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=0,所以ab+bc+ac=−12(a2+b2+c2),又因为1a +1b+1c=bc+ac+ababc=−116(a2+b2+c2),且已知abc=8,所以a,b,c均不为零, 所以a²+b²+c²>0,所以1a +1c+1c<0.28. 由已知得a--3=0,b-1=0,解得a=3,b=1.原式 =[4(a+b )(a−b )+a+b ab (b−a )]÷a 2+ab−2b 2ab (a+2b )+ba=[−(a−b )2ab (a−b )(a+b )]÷a 2−b 2+ab−b 2ab (a+2b )+ba=−(a−b )2ab (a−b )(a+b )⋅ab (a+2b )(a−b )(a+2b )+ba=−1a+b +ab把a=3,b=1代入得:原式 =114.29. 设a=9999¹¹¹¹,则 A =a+1a 2+1,B =a 2+1a 3+1 所以 A −B =a+1a 2+1−a 2+1a 3+1=a 4+a 3+a+1−a 4−2a 2−1(a 2+1)(a 3+1)=a (a−1)2(a 2+1)(a 3+1)>0所以 A>B.30.(1) 可取a=1,b=2,c=2,d=4;a=1,b=2,c=3,d=6;a=2,b=3,c=6,d=9,再分别代入 a+b a−b和c+d c−d中进行计算，由计算结果可得到 a+b a−b 利 c+dc−d 的关系是相等.(2) 证明:因为a,b,c,d 都不等于0,并且 a b =cd ≠1, 所以 a =cd ⋅b,所以 a+ba−b =cd ⋅b+b cd⋅b−b =c d +1c d−1=c+dc−d .31.由已知条件得： 1a +1b =3,1b +1c =4,1c +1a =5.所以 2(1a +1b +1c )=12即 1a +1b +1c =6,又因为ab+bc+caabc=1c+1b +1a =6,所以 abc ab+bc+ca =16. 32. 因为( (x +1)²≥0,所以( (x +1)²+1的最小值为1，所以 2(x+1)2+1的最大值为2，所以 8−2(x+1)2+1的最小值为6.33. 因为4x-3y-6z=0①,x+2y-7z=0②由①,②解得 {x =3z y =2z,所以 x+y−z x−y+2z =3z+2z−z 3z−2z+2z =43.34.(1) 由题设知, (x −1)(x²+kx −1)=x³+(k −1)x²−(k +1)x +1,所以 x³−x²−x +1=x³+(k −1)x²−(k +1)x +1,从而有k-1=-1,-k-1=-1,解得k=0. (2) 由(1)知k=0,则 x³−x²−x +1=(x −1)(x²−1)=(x −1)²(x +1), 所以 x 3−x 2−x+1x 2−2x+1=(x−1)2(x+1)(x−1)2=x +1.又因为x 是整数，所以x+1是整数.所以x 3−x 2−x+1x 2−2x+1是整数.35.(1)A ⋅B =(3x x−2−xx+2)⋅x 2−4x=2x (x+4)(x−2)(x+2)⋅x 2−4x=2x +8;(2)“逆向问题”:已知 A ⋅B =2x +8,B =x 2−44,求 A. 解答： A =(A ⋅B )÷B =2x +8xx 2−4=2x 2+8x x 2−4.。
河北省2020届中考数学一轮复习讲义第四节 分式
玩转河北10年中考真题
考点特训营
目
录
核心素养提升
玩转河北10年中考真题
命题点 1 分式化简（10年6考）
1.
(2017河北13题2分)若
3 2x x1
(
A. －1
B. －2
)
x
1 1
，则(
C. －3
D. 任意实数
2. (2010河北7题2分)化简 a2 b2 的结果是( B )
m m
1 1
4m m2
1
的过程，共五步．
其中错误的一步是( D ) A. 第二步 C. 第四步
B. 第三步 D. 第五步
例2
(2018秦皇岛一模)已知：1 1 2，则代数式
xy
2x 14xy 2 y x 2xy y
9
的值为____2____．
练习 1 A. 1
(2018邯郸二模)化简 (a b)2 (a b)2 的结果是( A )
乘方运算：( A)n
B
An
__B_n_
混合运算：同实数的运算顺序，结果一定要化为最简分式或整式
【满分技法】1.可以因式分解的一定要先因式分解，再约分，化 为最简分式或整式； 2.当整式与分式进行加减运算时，要将整式看作分母为 １的分 式，然后进行通分
重难点突破
分式化简及求值
例1
(2019石家庄藁城区模拟)下面是刘涛同学计算
性 基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0的整式，分式 质
的值_不___变__，即 A A M , A A M , 其中 M是不等于 0的整式
B BM B BM
通分、 约分
2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—分式
2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—分式→➊考点精析←一、分式1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B，可以表示成AB的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注意】①若B≠0，则AB有意义；②若B=0，则AB无意义；③若A=0且B≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A，B，C 均为整式．3．约分及约分法则（1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：((nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．→➋真题精讲←考向一分式的有关概念1．分式的三要素：（1）形如AB的式子；（2）,A B 均为整式；（3）分母B 中含有字母．2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B ≠．（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．1．（2020·湖南衡阳·中考真题）要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（）A ．1x >B ．1x ≠C ．1x =D ．0x ≠【答案】B【分析】根据分式有意义的条件即可解答．【解析】根据题意可知，10x -≠，即1x ≠．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．2．（2020·浙江金华·中考真题）分式52x x +-的值是零，则x 的值为（）A ．5B ．2C ．－2D ．－5【答案】D【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解析】解：依题意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．故选：D ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．3．（2020·湖南郴州·中考真题）若分式11x +的值不存在，则x =__________．【答案】-1【分析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可．【解析】∵分式11x +的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．4．（2020·湖北黄石·中考真题）函数13y x =+-的自变量x 的取值范围是（）A ．2x ≥，且3x ≠B ．2x ≥C ．3x ≠D ．2x >，且3x ≠【答案】A【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【解析】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得2x ≥，且3x ≠故选A ．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．考向二分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．5.分式233x yxy+中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为A ．扩大为原来2倍B ．缩小为原来的12倍C ．不变D ．缩小为原来的14倍【答案】B【解析】∵若x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则为()()()223462312312432323x y x y x y x yxy xy xy xy++++===⋅∴把分式233x y xy +中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的12，故选B ．【点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．6．（2019·江苏扬州·中考真题）分式13-x 可变形为()A ．13x+B ．-13x+C ．31-x D ．1-3x -【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.【解析】A.13x +≠13-x ，故A 选项错误；B.-13x +=13-x -≠13-x，故B 选项错误；C.65x ==-13-x ，故C 选项错误；D.1-3x -=1x-3)-（=13-x，故D 选项正确，故选D.【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．考向三分式的约分与通分约分与通分的区别与联系：1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．7.关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A ．211x x +-约分的结果是1x B ．分式211x -与11x -的最简公分母是x-1C ．22xx 约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x2-1，故本选项错误；C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．8．（2023·湖南·统考中考真题）已知5x =，则代数式2324416x x ---的值为________．【答案】13【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．【详解】解：原式=()()()()()34244444x x x x x +--+-+()()31244x x x -=-+34x =+ 5x =333145493∴===++x 故答案为：13.【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．9．（2023·四川遂宁·统考中考真题）先化简，再求值：2221111x x x x -+⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭，其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】1x x-，12【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭代入化简结果求解即可．【详解】解：2221111x x x x -+⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭()()()21111x x x x x-+=⋅+-1x x-=，当1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭时，原式21122-==．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．10.（2020.成都市中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A ．211x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x-1C ．22xx约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x2-1，故本选项错误；C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．11．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x-的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________．【答案】()2x x -x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x-的最简公分母是()2x x -，方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-，移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．考向四分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．12．（2023·广东·统考中考真题）计算32a a+的结果为（）A ．1aB ．26a C ．5aD ．6a【答案】C【分析】根据分式的加法运算可进行求解．【详解】解：原式5a=；故选：C ．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．13．（2023·天津·统考中考真题）计算21211x x ---的结果等于（）A ．1-B ．1x -C ．11x +D ．211x -【答案】C【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．【详解】解：()()()()21212111111x x x x x x x +-=----+-+()()1211x x x +-=-+()()111x x x -=-+11x =+；故选：C ．【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简422x x +-+的结果是（）A ．1B ．224x x -C ．2x x +D ．22x x +【答案】D【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案.【详解】解：422x x +-+()()4222x x x ++-=+22x x =+.故选：D.【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.15．（2023·湖北武汉·统考中考真题）已知210x x --=，计算2221121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把21x x =+代入原式即可求出答案．【详解】解：2221121-⎛⎫-÷⎪+++⎝⎭x x x x x x =()()()()2121111x x x x x x x x x ⎡⎤-+-÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=()()()21111x x x x x x +-⋅+-=21x x +，∵210x x --=，∴21x x =+，∴原式=21x x +=1，故选：A.【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷= ⎪--+-⎝⎭_______．【答案】12x -【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．【详解】解：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭()()()()()2221242x x x x x x x x x +----=⨯--()()2222442x x x x xx x x ---+=⨯--12x =-；故答案为：12x -．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．17．（2020·山西中考真题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++第一步32132(3)x x x x -+=-++第二步2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++第三步26(21)2(3)x x x --+=+第四步26212(3)x x x --+=+第五步526x =-+第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：726x -+；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．【解析】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；故答案为：五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：解；229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++32132(3)x x x x -+=-++2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++26(21)2(3)x x x --+=+26212(3)x x x ---=+726x =-+．任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．考向五分式化简求值18．（2023·广东深圳·统考中考真题）先化简，再求值：22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中3x =．【答案】1x x +，34【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭()()()21111x x x x x +-=÷--111x x x x -=⨯-+1xx =+∵3x =∴原式33314==+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（2023·四川眉山·统考中考真题）先化简：214111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，再从2,1,1,2--选择中一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】12x +；1【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．【详解】解：214111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()2211111x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭=()()()12122x x x x x =--⋅-+-12x =+，∵1x ≠，2±，∴把=1x -代入得：原式1112==-+．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．20．（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭，其中a 是使不等式112a -≤成立的正整数．【答案】33a a -+；12-【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a 的值，再代入数据计算即可．【详解】解：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭()()()23225222a a a a a a -+-⎡⎤=÷+⎢⎥---⎣⎦()2234522a a a a --+=÷--()()()232233a a a a a --=⋅-+-33a a -=+，解不等式112a -≤得：3a ≤，∵a 为正整数，∴1a =，2，3，∵要使分式有意义20a -≠，∴2a ≠，∵当3a =时，552320223a a ++=++=--，∴3a ≠，∴把1a =代入得：原式131132-==-+．【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．21．（2023·江西·统考中考真题）化简2111x x x x x x-⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：解：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x⎡⎤-+-=+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦……解：原式221111x x x x x x x x--=⋅+⋅+-……(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．【答案】(1)②，③；(2)见解析【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③；（2）解：甲同学的解法：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x⎡⎤-+-=+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦()()()()221111x x x x x x x x x =⋅+++---+()()()()211112x x x x x x =⋅+-+-2x =；乙同学的解法：原式221111x x x x x x x x--=⋅+⋅+-()()()()111111x x x x x x x x x x=⋅+⋅+-+--+11x x =-++2x =．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．22．（2023·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值：222211a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中a 的值从不等式组1a -<<的解集中选取一个合适的整数．【答案】21a a a --，12【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．【详解】解：原式222223111a a a a a a a ⎛⎫=-÷ ⎪-⎝⎭---()2222111a a aa a a =⋅----21a aa =--；∵220,10a a ≠-≠，∴0,1a a ≠≠±，23=<=，∴1a -<<0,1,2，∵0,1a a ≠≠±，∴2a =，原式2122221--==．【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．23．（2023·山东滨州·统考中考真题）先化简，再求值：22421244a a a a a a a a -+-⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭，其中a 满足1216cos6004a a -⎛⎫-⋅+ ⎪⎭︒=⎝．【答案】244a a -+；1【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得2430a a -+=的值，最后将2430a a -+=代入化简结果即可求解．【详解】解：22421244a a a a a a a a -+-⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭()()()()()22221422a a a a a a a a a a ⎡⎤+---=÷⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()()()()222142a a a a a a a a +----=÷-()222244a a a a a a a--=⨯--+()22a =-244a a =-+；∵1216cos6004a a -⎛⎫-⋅+ ⎪⎭︒=⎝，即2430a a -+=，∴原式2=431011a a -++=+=．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．24．（2023·湖北荆州·统考中考真题）先化简，再求值：222222x y x xy y x y x y x y x y ⎛⎫--+--÷ ⎪+-+⎝⎭，其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0(2023)y =-．【答案】-x x y，2【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将x 和y 的值代入即可求出答案．【详解】解：222222x y x xy y x y x y x y x y⎛⎫--+--÷ ⎪+-+⎝⎭()()()22x y x y x y x y x y x y x y⎡⎤--+=-⋅⎢⎥++--⎢⎥⎣⎦2x y x y x y x y x y x y⎛⎫--+=-⋅ ⎪++-⎝⎭x x y x y x y+=⋅+-xx y=-1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0(2023)1y =-=∴原式2221x x y ===--．故答案为：-x x y ，2．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．。
专题04分式(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)
中考数学一轮复习学案04 分式考点课标要求考查角度1分式的概念①了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会确定使分式有意义的字母的取值范围；②会求分式值为零时x的值．考查分式的意义和分式值为零的情况．常以选择、填空题为主．2分式的运算①掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分；②能熟练地进行分式的加、减、乘、除运算及混合运算，并能解决相关的化简求值问题．考查分式的基本性质和分式的运算．常以选择、填空题、解答题的形式命题．中考命题说明思维导图1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．分式AB中，A叫做分子，B叫做分母．三个条件缺一不可：①是形如AB的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．特别说明：11aa-+也可以表示为(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因为它不符合AB的形式．判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，4aa就是分式．2．有意义的条件：分母B的值不为零(B≠0).3. 分式的值为零的条件：当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)【例1】（2022•怀化）代数式25x，1π，224x+，223x-，1x，12xx++中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】分式的定义【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式AB叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：22 4x+，1x，12xx++，整式有：25x，1π，223x-，分式有3个，故选：B．知识点1：分式的相关概念知识点梳理典型例题【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式是解题的关键，注意π是数字． 【例2】（2022•凉山州）分式13x+有意义的条件是（ ） A ．x ＝－3B ．x ≠－3C ．x ≠3D ．x ≠0【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3＋x ≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 3＋x ≠0， ∴x ≠－3， 故选：B ．【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【例3】（2022•广西）当x ＝ 时，分式22xx +的值为零． 【考点】分式的值为零的条件【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x ＝0且x ＋2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 2x ＝0且x ＋2≠0， ∴x ＝0且x ≠－2， ∴当x ＝0时，分式22xx +的值为零， 故答案为：0．【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．1．分式的基本性质：A A MB B M⨯=⨯，A A M B B M ÷=÷ （M 为不等于零的整式）． 2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．知识点2：分式的基本性质知识点梳理3．最简分式：分子与分母没有 公因式 的分式叫做最简分式．4．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等 的同分母的分式，叫做分式的通分．5. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．6. 变号法则：A A A AB B B B--=-=-=--．【例4】（3分）（2020•河北7/26）若a ≠b ，则下列分式化简正确的是（ ）A ．22a a b b+=+ B ．22a ab b-=- C ．22a ab b= D ．1212aa b b = 【考点】分式的基本性质【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵a ≠b ， ∴22a ab b+≠+，故选项A 错误； 22a ab b-≠-，故选项B 错误； 22a ab b≠，故选项C 错误； 1212aa b b =，故选项D 正确； 故选：D ．【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【例5】若把分式3xyx y-（x ，y 均不为0）中的x 和y 都扩大3倍，则原分式的值是（ ） A ．扩大3倍 B ．缩小至原来的13C ．不变D ．缩小至原来的16典型例题【分析】若把分式3xyx y-（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则分子扩大了3×3＝9倍，分母的x和y均扩大3倍，可用提取公因数法将3提到前面，9÷3＝3，故原分式的值扩大了3倍．故选A．【答案】A．【例6】下列分式变形中，正确的是（）A．22a ba ba b+=++B．1x yx y-+=-+C．a amb bm=D．32()()n mn mm n-=--【例7】约分：2332415a ba b-=（）A．85baB．285ba-C．85ba-D．283ab11112242222(2)(2)(2)(2)x x B x x x x x x x x ---=+=-==-+-+-+-+-， 故A ＝-B. 【答案】C ．1．分式的乘除法： （1）乘法法则：(0)a c acbd b d bd=≠； （2）除法法则：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝adbc .(bcd ≠0)2．分式的加减法： （1）同分母分式相加减：a b a bc c c±±=(c ≠0) （2）异分母分式相加减：a b ±c d ＝ad ±bcbd.(bd ≠0)3. 分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (n 为整数，b ≠0)4. 分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．①实数的各种运算律也适用于分式的运算；②分式运算的结果要化成最简分式或整式．【例9】（2022•济南）若m －n ＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（ ） A ．－2B ．2C ．－4D ．4【考点】分式的乘除法【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把m －n 的值代入计算即可． 【解答】解：原式()()2m n m n mm m n+-=⋅+ ＝2(m －n )．知识点3：分式的运算知识点梳理典型例题当m －n ＝2时．原式＝2×2＝4． 故选：D ．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【例10】（2022•山西）化简21639a a ---的结果是（ ） A ．13a + B ．a －3 C ．a ＋3 D ．13a - 【考点】分式的加减法【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：21639a a --- 36(3)(3)(3)(3)a a a a a +=-+-+- 36(3)(3)a a a +-=+-3(3)(3)a a a -=+-13a =+， 故选：A ．【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键． 【例11】（3分）（2021•包头14/26）化简：2211()422m m m m +÷=--+ ． 【考点】分式的混合运算【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：原式2(2)(2)(2)(2)m m m m m -+=⋅++-2=12m m -=-．故答案为1．【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【例12】（5分）（2021•重庆B 卷19（2）/26）计算：22293()211x x x x x x --÷++++． 【考点】分式的混合运算【分析】先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．【解答】解：原式222(3)(3)3()(1)11x x x x x x x x +-+-=÷++++2(3)(3)3(1)1x x x x x +-+=÷++ 2(3)(3)1(1)3x x x x x +-+=⋅++ 31x x -=+． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序及其运算法则．【例13】（6分）（2020•安徽17/23）观察以下等式： 第1个等式：121(1)2311⨯+=-，第2个等式：321(1)2422⨯+=-，第3个等式：521(1)2533⨯+=-，第4个等式：721(1)2644⨯+=-．第5个等式：921(1)2755⨯+=-．⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示），并证明． 【考点】规律型：数字的变化类；列代数式【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n 表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 【解答】解：（1）第6个等式：1121(1)2866⨯+=-； （2）猜想的第n 个等式：2121(1)22n n n n-⨯+=-+． 证明：∵左边21221122n n n n n n n-+-=⨯==-=+右边， ∴等式成立． 故答案为：1121(1)2866⨯+=-；2121(1)22n n n n-⨯+=-+．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．1. 分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．2. 分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．【例14】（2022•内蒙古）先化简，再求值：2344(1)11x x x x x -+--÷--，其中x ＝3． 【考点】分式的化简求值【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x ＝3代入计算即可． 【解答】解：原式223(1)11(2)x x x x ---=⋅-- 2(2)(2)11(2)x x x x x +--=-⋅-- 22x x +=--， 当x ＝3时， 原式3232+=-- ＝－5． 【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简． 【例15】（2022•菏泽）若a 2－2a －15＝0，则代数式244()2a a aa a --⋅-的值是 ．【考点】分式的化简求值【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．知识点4：分式的化简求值知识点梳理典型例题【解答】解：244()2a a a a a --⋅- 22442a a a a a -+=⋅- 22(2)2a a a a -=⋅- 22a a =-，∵a 2－2a －15＝0， ∴a 2－2a ＝15， ∴原式＝15． 故答案为：15．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【例16】（2022•黄石）先化简，再求值：2269(1)11a a a a +++÷++，从－3，－1，2中选择合适的a 的值代入求值． 【考点】分式的化简求值【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式23(3)11a a a a ++=÷++ 2311(3)a a a a ++=⋅++ 13a =+， 由分式有意义的条件可知：a 不能取－1，－3， 故a ＝2， 原式11235==+． 【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例17】（3分）（2019·河北省13/26）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1+441x x x x +-++的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【考点】分式的加减法，化简求值．【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【解答】解：∵22(2)+44x x x ++﹣11x +＝22(2)(2)x x ++﹣11x +＝1﹣11x +＝1x x +又∵x 为正整数，∴12≤1xx +＜1 故表示22(2)+44x x x ++﹣11x +的值的点落在②故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．1．（2022•德阳）下列计算正确的是( ) A ．222()a b a b -=- B ．2(1)1-= C ．1a a a a÷⋅= D ．233611()26ab a b -=-2．（2022•天津）计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2aa + 3．（2022•眉山）化简422a a +-+的结果是( ) A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa +4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式111()v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像)到镜头的距离．已知f ，v ，则(u = )A ．fvf v- B ．f vfv- C ．fvv f- D ．v ffv- 5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅= 巩固训练C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子11()a b a b +÷+-★2a b=+被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．aa b- B ．a ba- C ．aa b+ D ．224aa b -7．（2022•玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②8．（2022•河北）若x 和y 互为倒数，则11()(2)x y y x+-的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（2022•南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111()()a b a b+÷-的值是( )AB ．CD ．10．（2022•南通）分式22x -有意义，则x 应满足的条件是 ． 11．（2022•湖北）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是 ． 12．（2022•湖州）当1a =时，分式1a a+的值是 ． 13．（2022•襄阳）化简分式：ma mba b a b+=++ ． 14．（2022•益阳）计算：2211a a a -=-- ． 15．（2022•张家界）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S = ．16．（2022•包头）计算：222a b aba b a b -+=-- ． 17．（2022•苏州）化简2222x xx x ---的结果是 ． 18．（2022•衡阳）计算：2422a a a +=++ ．19．（2022•怀化）计算5322x x x +-=++ ． 20．（2022•温州）计算：22x xy xy x xy xy+-+= ．21．（2022•黔西南州）计算：2x y yx y x y+-=-- ． 22．（2022•武汉）计算22193x x x ---的结果是 ． 23．（2022•淄博）计算：2211x x x+=-- ． 24．（2022•湘西州）计算：111x x x -=-- ． 25．（2022•沈阳）化简：211(1)1x x x --⋅=+ ．26．（2022•自贡）化简：223424432a a a a a a --⋅+=++-+ ．27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 ．28．（2022•衢州）（1）因式分解：21a -． （2）化简：21111a a a -+-+． 29．（2022•临沂）计算： （1）34112()963-÷⨯-；（2）1111x x -+-． 30．（2022•舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，⋯⋯ （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）． （2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．31．（2022•连云港）化简221311x x x x -+--．32．（2022•重庆）计算： （1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244(1)24m m m m m -+-÷+-． 33．（2022•德州）（1）化简：52(2)23m m m m -+-⋅--； （2）解方程组：43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩．34．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32tan 45-+-︒； （2）化简：23(1)93a a a ÷+--． 35．（2022•徐州）计算：（1）202211(1)3|()3--+-+（2）22244(1)x x x x +++÷．36．（2022•镇江）（1）计算：11()tan 451|2--︒+；（2）化简：11(1)()a a a-÷-．37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． 212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅⋯--第一步 22242x x x x ---=⋅⋯-第二步22(2)(2)2x x x --=⋅⋯+-第三步 12x =-⋯+第四步 任务一：填空①以上化简步骤中，第 一 步是通分，通分的依据是 ． ②第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 38．（2022•南通）（1）计算：22242a a aa a a -⋅+-+；（2）解不等式组：211418x x x x ->+⎧⎨-+⎩．39．（2022•西藏）计算：222242a a a a a a +⋅---． 40．（2022•兰州）计算：21()(1)x x x x ++÷．41．（2022•大连）计算：2224214424x x x x x x x -+÷--+-．42．（2022•十堰）计算：2222()a b b aba a a--÷+．43．（2022•常德）化简：231(1)22a a a a a +--+÷++． 44．（2022•陕西）化简：212(1)11a aa a ++÷--． 45．（2022•泰安）（1）化简：244(2)24a a a a ---÷--； （2）解不等式：5231234x x -+->． 46．（2022•江西）以下是某同学化简分式2113()x +-÷的部分运算过程： （1）上面的运算过程中第 步出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程．47．（2022•甘肃）化简：22(3)3322x x x x x x ++÷-++．48．（2022•泸州）化简：22311(1)m m m m m-+-+÷． 49．（2022•重庆）计算： （1）2(2)(4)x x x ++-；（2）22(1)2a a b b b--÷．50．（2022•阜新）先化简，再求值：22691(1)22a a a a a -+÷---，其中4a =．51．（2022•辽宁）先化简，再求值：22221124()11x x x x x x x -+--÷-++，其中6x =． 52．（2022•福建）先化简，再求值：211(1)a a a-+÷，其中21a =+．1．（2022•德阳）下列计算正确的是( ) A ．222()a b a b -=- B ．2(1)1-= C ．1a a a a÷⋅= D ．233611()26ab a b -=-【考点】算术平方根；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；分式的乘除法【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．【解答】解：A ．222()2a b a ab b -=-+，故A 选项错误，不符合题意；2.(1)11B -==，故B 选项正确，符合题意；C ．1111a a a a a÷⋅=⨯=，故C 选项错误，不符合题意； D ．233611()28ab a b -=-，故D 选项错误，不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算． 2．（2022•天津）计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2aa + 【考点】分式的加减法【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可． 【解答】解：原式112a a ++=+ 22a a +=+ 1=．故选：A ．【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．巩固训练解析3．（2022•眉山）化简422a a +-+的结果是( ) A ．1B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa + 【考点】分式的加减法【分析】先通分，根据分式的加减法法则计算即可． 【解答】解：422a a +-+ 24422a a a -=+++ 22a a =+． 故选：B ．【点评】本题考查了分式的加减法，把2a -看成分母是1的分数进行通分是解题的关键． 4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式111()v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像)到镜头的距离．已知f ，v ，则(u = )A ．fvf v- B ．f vfv- C ．fvv f- D ．v ffv- 【考点】分式的加减法【分析】利用分式的基本性质，把等式111()v f f u v=+≠恒等变形，用含f 、v 的代数式表示u ．【解答】解：111()v f f u v=+≠， 111f u v =+， 111u f v =-， 1v fu fv -=， fvu v f=-． 故选：C ．【点评】考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅=C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=【考点】合并同类项；分式的混合运算【分析】根据合并同类项的法则、分式运算的法则逐项判断即可． 【解答】解：3332a a a +=，故A 错误，不符合题意； 2111aa b a b b b b÷⋅=⋅⋅=，故B 错误，不符合题意； 22222(1)21111a a a a a a a ---===----，故C 正确，符合题意； 3326()b b a a=，故D 错误，不符合题意； 故选：C ．【点评】本题考查合并同类项、分式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则、分式相关运算的法则．6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子11()a b a b +÷+-★2a b=+被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．aa b- B ．a b a- C ．aa b+ D ．224aa b- 【考点】分式的混合运算【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是112()a b a b a b+÷+-+，再根据分式的运算法则进行计算即可； 【解答】解：11()a b a b +÷+-★2a b=+， ∴被墨汁遮住部分的代数式是112()a b a b a b+÷+-+ ()()2a b a b a ba b a b -+++=⋅+- 212a a b =⋅- aa b=-； 故选：A ．【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．7．（2022•玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②【考点】数轴；分式的化简求值【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断． 【解答】解：原式22(2)(2)2(2)x x x x x +-=-++ 2222x x x x -=-++ 2(2)2x x x --=+222x x x -+=+22x x +=+ 1=，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是②． 故选：B ．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（2022•河北）若x 和y 互为倒数，则11()(2)x y y x+-的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】分式的化简求值【分析】根据x 和y 互为倒数可得1xy =，再将11()(2)x y y x+-进行化简，将1xy =代入即可求值． 【解答】解：x 和y 互为倒数，1xy ∴=， 11()(2)x y y x +-1212xy xy=-+-21121=⨯-+- 2121=-+-2=．故选：B ．【点评】本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．9．（2022•南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111()()a b a b+÷-的值是( )A B ．C D ．【考点】分式的化简求值【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由223a b ab +=，得出2()5a b ab +=，2()a b ab -=，由0a b >>，得出a b +a b -=可得出答案．【解答】解：2221111()()a b a b+÷-2222222()a b b a a b a b +-=÷ 22222()()()a b a b a b b a b a +=⋅+- a ba b+=--， 223a b ab +=，2()5a b ab ∴+=，2()a b ab -=， 0a b >>，a b ∴+a b -=a b a b +∴-===-， 故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化简是解决问题的关键． 10．（2022•南通）分式22x -有意义，则x 应满足的条件是 2x ≠ ． 【考点】分式有意义的条件【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可． 【解答】解：分母不等于0，分式有意义，20x ∴-≠，解得：2x ≠，故答案为：2x ≠．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键．11．（2022•湖北）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是 1x ≠ ． 【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件可知10x -≠，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：10x -≠，解得：1x ≠，故答案为：1x ≠．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．12．（2022•湖州）当1a =时，分式1a a+的值是 2 ． 【考点】分式的值【分析】把1a =代入分式计算即可求出值．【解答】解：当1a =时， 原式1121+==． 故答案为：2．【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2022•襄阳）化简分式：ma mb a b a b+=++ m ． 【考点】分式的加减法【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式ma mb a b +=+ ()m a b a b +=+ m =，故答案为：m ．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型．14．（2022•益阳）计算：2211a a a -=-- 2 ． 【考点】分式的加减法 【分析】根据同分母分式加减法则进行计算即可．【解答】解：原式221a a -=- 2(1)1a a -=- 2=．故答案为：2【点评】本题考查了同分母分式的加减，同分母分式的加减，分母不变，分子相加减．15．（2022•张家界）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S = 201182． 【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．【解答】解：13111311123222212a ===⨯+-⨯⨯⨯+； 25511131234242212222a ===⨯+-⨯⨯⨯++； 37711131345602331232a ===⨯+-⨯⨯⨯++； ⋯，2111131(1)(2)2122n n a n n n n n n +==⨯+-⨯++++， 当12n =时， 原式11111113111(1...)(...)(...)22312231323414=++++++++-⨯+++ 201182=， 故答案为：201182． 【点评】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．16．（2022•包头）计算：222a b ab a b a b-+=-- a b - ． 【考点】分式的加减法【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，分子分解因式后，一定要约分．【解答】解：原式222a ab b a b-+=- 2()a b a b-=- a b =-，故答案为：a b -．【点评】本题考查了分式加减法，熟练运用同分母分式加减法法则是解题关键．17．（2022•苏州）化简2222x x x x ---的结果是 x ． 【考点】分式的加减法【分析】依据同分母分式的加减法法则，计算得结论．【解答】解：原式222x x x -=- (2)2x x x -=- x =．故答案为：x ．【点评】本题考查了分式的减法，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．18．（2022•衡阳）计算：2422a a a +=++ 2 ． 【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：2422a a a +++ 242a a +=+ 2(2)2a a +=+ 2=，故答案为：2．【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．19．（2022•怀化）计算5322x x x +-=++ 1 ． 【考点】分式的加减法【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式532x x +-=+ 22x x +=+ 1=．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2022•温州）计算：22x xy xy x xy xy+-+= 2 ． 【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．【解答】解：原式22x xy xy x xy++-=， 2xy xy=， 2=．故答案为：2．【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．21．（2022•黔西南州）计算：2x y y x y x y+-=-- 1 ． 【考点】分式的加减法【分析】利用分式的减法法则，化简得结论．【解答】解：原式2x y y x y +-=- x y x y -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查了分式的减法，题目比较简单，掌握分式的减法法则是解决本题的关键．22．（2022•武汉）计算22193x x x ---的结果是 13x + ． 【考点】分式的加减法【分析】先通分，再加减．【解答】解：原式23(3)(3)(3)(3)x x x x x x +=-+-+- 23(3)(3)x x x x --=+-3(3)(3)x x x -=+- 13x =+． 故答案为：13x +． 【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．23．（2022•淄博）计算：2211x x x+=-- 2- ． 【考点】分式的加减法【分析】先变形，再根据分式的加减法则求出即可．【解答】解：原式2211x x x =--- 221x x -=- 2(1)1x x --=- 2=-，故答案为：2-．【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用运算法则进行化简是解此题的关键．24．（2022•湘西州）计算：111x x x -=-- 1 ． 【考点】分式的加减法【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式11x x -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．25．（2022•沈阳）化简：211(1)1x x x--⋅=+ 1x - ． 【考点】分式的混合运算【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．【解答】解：211(1)1x x x--⋅+11(1)(1)1x x x x x +-+-=⋅+ (1)(1)1x x x x x+-=⋅+ 1x =-，故答案为：1x -．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．26．（2022•自贡）化简：223424432a a a a a a --⋅+=++-+ 2a a + ． 【考点】分式的混合运算【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．【解答】解：223424432a a a a a a --⋅+++-+ 23(2)(2)2(2)32a a a a a a -+-=⋅++-+ 2222a a a -=+++ 2a a =+， 故答案为：2a a +． 【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 5 ．【考点】合并同类项；分式的化简求值【分析】先将题目中的分式化简，然后令化简后式子的值为1-，求出相应的x 的值即可．【解答】解：314x x -+-344x x x -+-=- 14x=-， 当114x =--时，可得5x =， 检验：当5x =时，40x -≠，∴图中被污染的x 的值是5，故答案为：5．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．28．（2022•衢州）（1）因式分解：21a -．（2）化简：21111a a a -+-+． 【考点】分式的加减法；因式分解-运用公式法【分析】（1）应用因式分解-运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案；（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．【解答】解 （1）21(1)(1)a a a -=-+；（2）21111211111a a a a a a -+=+=-++++． 【点评】本题主要考查了分式的加减法及因式分解-运用公式法，熟练掌握分式的加减法及因式分解-运用公式法的方法进行求解是解决本题的关键．29．（2022•临沂）计算：（1）34112()963-÷⨯-； （2）1111x x -+-． 【考点】有理数的混合运算；分式的加减法【分析】（1）利用有理数的混合运算法则运算即可；（2）利用异分母分式的减法法则运算即可．【解答】解：（1）原式9128()466=-⨯⨯- 91846=⨯⨯3=；（2）原式1(1)(1)(1)x x x x --+=+- 221x -=- 221x =-． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，分式的减法，正确利用相关法则进行运算是解题的关键．30．（2022•舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，⋯⋯ （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含n 的等式表达即可；（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式．【解答】解：（1）观察规律可得：1111(1)n n n n =+++； （2）111(1)n n n +++ 1(1)(1)n n n n n =+++ 1(1)n n n +=+ 1n=， ∴1111(1)n n n n =+++． 【点评】本题考查探索规律及分式的运算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．31．（2022•连云港）化简221311x x x x -+--． 【考点】分式的加减法【分析】先通分，再计算通分母分式加减即可．【解答】解：原式213(1)(1)(1)(1)x x x x x x x +-=++-+- 221(1)(1)x x x x -+=+- 2(1)(1)(1)x x x -=+-11x x -=+． 【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的通分是解题关键．32．（2022•重庆）计算：（1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244(1)24m m m m m -+-÷+-． 【考点】单项式乘多项式；平方差公式；分式的加减法【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式可以解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）()()(2)x y x y y y +-+-2222x y y y =-+-22x y =-；（2）原式22(2)2(2)(2)m m m m m m +--=÷+-+ 2222m m m +=⋅+- 22m =-． 【点评】本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．33．（2022•德州）（1）化简：52(2)23m m m m -+-⋅--； （2）解方程组：43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩． 【考点】解二元一次方程组；分式的混合运算【分析】（1）先通分，把能分解的因式进行分解，再进行约分即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．【解答】解：（1）52(2)23m m m m -+-⋅-- 245223m m m m ---=⋅-- (3)(3)223m m m m m -+-=⋅-- 3m =+；（2）43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩①②， ②2⨯得：4106x y -=-③，①-③得：99y =，解得1y =，把1y =代入①得：413x -=，解得1x =，故原方程组的解是：11x y =⎧⎨=⎩． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．34．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32tan 45-+-︒；（2）化简：23(1)93a a a ÷+--． 【考点】零指数幂；分式的混合运算；实数的运算；特殊角的三角函数值【分析】（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．【解答】解：（1）原式5121=+-⨯512=+-4=；（2）原式(3)(3)3a a a a a =÷+-- 3(3)(3)a a a a a -=⨯+- 13a =+． 【点评】本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．35．（2022•徐州）计算：（1）202211(1)3|()3--+-+ （2）22244(1)x x x x +++÷．【考点】负整数指数幂；实数的运算；分式的混合运算【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）202211(1)3|()3--+-1333=++4=；（2）22244(1)x x x x +++÷ 222(2)x x x x +=⋅+ 2x x =+． 【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．36．（2022•镇江）（1）计算：11()tan 451|2--︒+； （2）化简：11(1)()a a a-÷-． 【考点】实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】（1）利用负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则计算即可；（2）利用分式的混合运算来做即可．【解答】解：（1）原式211=-=（2）原式211()()a a a a a a=-÷- 211a a a a -=⨯- 1(1)(1)a a a -=-+ 11a =+． 【点评】本题考查了实数的运算和分式的混合运算，做题关键要掌握负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则、通分、约分．37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅⋯--第一步 22242x x x x ---=⋅⋯-第二步 22(2)(2)2x x x --=⋅⋯+-第三步 12x =-⋯+第四步 任务一：填空①以上化简步骤中，第 一 步是通分，通分的依据是 ．②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【考点】分式的混合运算；通分【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质． ②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：①一，分式的性质．②二，去括号没有变号．任务二：212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅-- 22242x x x x -+-=⋅- 22(2)(2)2x x x -=⋅+- 12x =+． 【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．38．（2022•南通）（1）计算：22242a a a a a a -⋅+-+；。
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第04讲 分式
1．分式的基本概念
(1)形如A B
(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式． (2)当B≠0时，分式A B 有意义；当B ＝0时，分式A B 无意义；当A ＝0 时，分式A B
的值为零. 2．分式的性质
(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即A B ＝A×M B×M ，A B ＝A÷M B÷M
；(M 是不等于零的整式)
(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即A B ＝－－A B ＝－A －B ＝－A －B
. 3．最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．
4．分式的运算
(1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
(2)确定最简公分母：
确定方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
(3)约分：把分式中分子与分母的___ ____约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．
(4)分式的运算法则：
①加减法：
同分母加减法：a c ±b c ＝_a±b c
_； 异分母加减法：b a ±d c ＝bc±ab ac
. ②乘除法：
a b ·c d ＝ac bd ； a b ÷c d
＝___． ③乘方：(a b )n ＝a n
b n .
考点1： 分式的化简
【例题1】下列变形错误的是（ ） A.46323224y y x y x -=- B.1)()(33-=--x y y x C.9)(4)(27)(12323b a x b a b a x -=-- D.y x a xy a y x 3)1(9)1(32
222-=--
考点2： 分式的化简
【例题2】（2018包头）化简；22442x x x x
-++÷（42x +﹣1）= ．
考点3：分式的加减乘除运算
【例题3】先化简，再求值：9－3a 2a －4÷(a ＋2－5a －2
)，其中a 满足a 2－a －6＝0.
归纳：1.分式化简时，应注意：当自主确定代数式中字母的取值时，一定要注意所选取的值不能使原分式中的分母为0；另外对于所给值是代数式时，可考虑整体代入思想计算以达到简便计算的目的．
2．分式化简求值的一般步骤：
第一步：若有括号的，先计算括号内的运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；
第二步：若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子、分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋、－”就只有“×或·”，简称：除法变乘法；
第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算，简称：先算乘法；
第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式，简称：再算加减； 第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义，简称：代入求值．
一、选择题：
1. （2018•金华）若分式
的值为0，则x 的值为（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．3或﹣3 D ．0
2. （2018•台州）计算，结果正确的是（ ）
A ．1
B ．x
C ．
D ． 3. （2019•江苏扬州•3分）分式x -31可变形为( D ) A.x +31 B.-x +31 C.31-x D.3
1--x 4.（2019•河北省•2分）如图，若x 为正整数，则表示
﹣的值的点落在（ ）
A ．段①
B ．段②
C ．段③
D ．段④
5. （2019•四川省达州市•3分）a 是不为1的有理数，我们把
称为a 的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2019的值是（ ）
A ．5
B ．﹣
C ．
D ． 二、填空题：
6. （2019•江苏泰州•3分）若分式121
x -有意义，则x 的取值范围是 ． 7. （2018•襄阳）计算﹣的结果是 ．
8. （2018·四川自贡·4分）化简
+结果是 ． 9. 先阅读下面一段文字，然后解答问题：
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（m 2﹣1）元，（m 为正整数，且m 2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m 2﹣1）元．
设初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是 ；
②铅笔的零售价每支应为元；
③批发价每支应为元．（用含x、m的代数式表示）．
三、解答题：
10. （2018•玉林）先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．
11.（2017张家界）先化简（1﹣）÷，再从不等式2x﹣1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．
12. (2018·遵义)化简分式(
a2－3a
a2－6a＋9
＋
2
3－a
)÷
a－2
a2－9
，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a
的值代入求值．
13. (2018·石家庄模拟)化简
a
a2－4
÷
a2－3a
a＋2
－
1
2－a
，并求值，其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整
数．
14. 问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．。