印度与阿拉伯数学

印度种姓制度又称瓦尔纳制度是在后期吠 陀时代形成的。它是古代世界最典型、最 森严的等级制度。四个等级在地位、权利、 职业、义务等方面有严格的规定：
第一等级婆罗门主要是僧侣贵族，拥有解 释宗教经典和祭神的特权， 第二等级刹帝利是军事贵族和行政贵族。 他们拥有征收各种赋税的特权。



第三等级吠舍是雅利安人自由平民阶层。 他们从事农、牧、渔、猎等，政治上没有 特权，必须以布施和纳税的形式来供养前 两个等级。 第四等级首陀罗绝大多数是被征服的土著 居民，属于非雅利安人，他们从事农、牧、 渔、猎等业以及当时被认为低贱的职业。



在苏曼尔哈里发时期，婆罗摩笈多、婆 什迦罗等印度天算家的著作在766年左 右进入巴格达，并译成阿拉伯文。


8世纪末9世纪初包括《几何原本》在内 的希腊众多希腊天文数学经典先后被译 成阿拉伯文。 到10 世纪这种翻译运动仍在继续。 他们的这种翻译为世界科学文化遗产的 保护起到了不可估量的积极运动。


中世纪有人厌恶这种繁琐的数学，作了一 首诗： “乘法原可恼，除法赤不良； 黄金律，太讨厌，练习真使我发狂。”

什么人改变了这一繁琐的计算方法， 使世界变成现在这样使用统一的数码 及计算方法呢？
1. 印度数学

古代印度的数学多数都与占星术有关。
他们的数学书籍带有浓厚的宗教气味， 将计算方法和结果用语句难懂的诗歌 写出来。

代表人物：花拉子米（783～850） 代表著作：《代数学》


花拉子米在书中将古希腊、印度等代数 问题给出一般性的讨论及解的方法，如： 引进 “移项、同类合并项” 等基本的 代数运算。

花拉子米的《代数学》约1140年被英国 人罗伯特译成拉丁文，作为标准的数学 课本在欧洲使用数百年。

花拉子米的另一本书《印度计算法》也 是数学史上十分有价值的数学著作。

这样就注定莉拉沃蒂永不能出嫁。婆什 迦罗为了安慰女儿，就把他所写的算术 书以她的名字命名，以使她的名字随同 这本书一起流芳百世。

这本树后来被帝王授意翻译成波斯文， 译者连同这段故事一起附上。
1.3 印度数学家对世界数学的 伟大贡献

（1）用圆圈符号 “0” 来表示零。这是印度 数学的一大发明。

如：
A x
D 12
B
48
C
已知：AD AC DB BC 求：AD ?, DC ? 设：AD x, 则AD AB 2 BC 2 BD BC 即：x 482 ( x 12) 2 12 48, 得 : x 8

印度人这样编题：

山上住着两个苦行者，一个是巫师，会 在空中飞行。他从 山顶笔直跳到空中到 达某一高度后斜降到某一小镇上；另一 个从山顶垂直入地，再步行到同一小镇。 二人所经过的距离相等，求山和小镇的 距离及巫师升高的高度。


又如有这样一道题： 有一条很厉害的黑蛇，长32 “哈土他” ， 71 它钻进一个洞里，5/14日内钻进 “ 安 2 23 吉拉”，但在1/4日它的尾巴增长 4 “安吉拉”，何时才能完全钻入洞中？


印度数学家婆什迦罗著作《莉拉沃蒂》最 为出名，其中许多代数问题也是用歌谣来 给出的。如： 一首诗歌导致一个无理方程：



素馨花开香扑鼻， 诱得蜜蜂来采蜜。 熙熙攘攘不知数， 一群飞入花丛里。 试问此群数有几？ 全体之半平方根。 另有两只在一起， 总数位九分之八， 徘徊在外做游戏。
.
解得答案为：=72
1.1 印度数学的特色


（1） 搞数学的印度人把自己当作天文学家。 由于种姓制度，数学教育几乎只属于僧侣； 印度人是有造诣的计算家，也是拙劣的几何 学者；
2. 阿拉伯数学

“ 阿拉伯数学” 并非单指阿拉伯国家 的数学，而是指 8~15 世纪阿拉伯帝国 统治下整个中亚和西亚地区的数学。

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传 播希腊、印度的文化，最终为近代欧洲 文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大 贡献。
2.1 阿拉伯的翻译运动（8-15世纪）

公元7世纪，先知穆罕默德统一了阿拉伯 半岛上处于游牧状态的阿拉伯人，又用 了一个世纪阿拉伯人打出了一个从印度 到北非并包括西班牙的帝国。
2.2 印度数系传向欧洲



印度数码刚传到欧洲时并不是现在的样子， 因为手写体总有变化，所以在欧洲经过若 干岁月的演变，逐渐变成接近现在的样子。 14世纪，中国印刷术传到欧洲， 1480年，英国一本印刷书中数码已相当接近 现代写法。
2.3阿拉伯的数学家

阿拉伯学者们在广泛吸收了古希腊、印度 （中国）的数学家成果基础上，也加上了 他们自己的创造，使阿拉伯数学对以后欧 洲数学的进步产生了深刻的影响。

印度十进制数字的演化过程： 公元前3世纪，印度表示 1~9 的一套独 特符号就已出现在一些石刻铭文中。它 们尚未演化成我们今天使用的符号，而 且也不包含零。

稍晚一些时候，零也加入进来从而形成 一个完整的体系。


该体系的一个稍加改变的版本被阿拉伯 人翻译传抄并传往欧洲。 1300年以后，印度再也没有产生任何伟大 数学家 。
1.4 创立了独一无二的数系并在全 世界推广使用。


这一数系包含四个要素： ① 以十为基底； ② 具有代表数一至九的特殊符号 1、2、3、4、5、6、7、8、9；0 ③ 具有位值制表示法； ④ 零的使用。


这就是现在全世界通用的数系。
这些要素中的每一项拿出来都不是印度 特有的，但所有这些要素的结合赋予了 印度数系以独有的高品质。


这个庞大的帝国分成以： 西班牙的科尔多瓦为首都的西部王国； 哈里发建立的中心位于巴格达的东部 王国。

东部的苏曼尔不论其种族和宗教信仰， 向一切学者开放巴格达的大门。 他们收买大量希腊人的手稿，邀请各地 科学家到首都从事科学研究，并设立的 “智慧室” 吸引了大批学者，在那里掀 起了著名的翻译运动。 使巴格达成为当时科学文化中心，
印度数学多半是经验的，很少给出证明 和推导。


（3）印度数学缺乏选择性，高质量的 和低质量的数学往往同时出现。有作 家称印度数学是 “珍珠和酸枣的混合”。
1.2 印度的数学家

婆什迦罗（1114~1185）。 他是这一时期印度最突出的数学家，长期 在天文台工作。代表著作： 《莉拉沃蒂》《算法本源》 内容涉及代数、几何、三角等，其中包括 零的运算法则的完整叙述，特别是对零作 除数的问题给出了有意义的解释，认为分 母为零的分数 “表示一个无限大量”。

《莉拉沃蒂》的书名，也带有印度特色， 里边有一个美丽动人的故事： 莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字，占星 家预言她终身不能结婚。

占星家的父亲婆什迦罗为女儿预测吉日， 他把一个底部有孔的杯子放入水中，让水 从孔中慢慢渗入，杯子沉没之时也就是女 儿出嫁的吉日来临之际。

女儿带着好奇观看这只待沉的杯子，不想 颈项上一棵珍珠落入杯中，正好堵塞了漏 水的小孔，杯子停止了下沉。


特征： 一是各等级职业世袭，父子世代相传。
二是各等级实行内部同一等级通婚，严格 禁止低种姓之男与高种姓之女通婚，但可 以低种姓之女嫁给高种姓之男。 三是首陀罗没有参加宗教生活的权利。 四是各等级在法律上是不平等的。


(2) 印度人用诗歌的形式来写作数学，并 且他们在世界的语言含糊而神秘。
CCXXXV 8个C，12个X，4个V缩写为： CCXXXV CCXXXV DC C C C X L CCXXXV 是40 X L

如果是多位数乘多位数，其复杂的程度 不难想见。 加法并不比乘法简单多少，乘法只是重 复写若干遍，而加法要逐个数，……， 然后再缩写成所求答案。


那时精通四则运算就可以算学者了。至 于分数，那简直是难于上青天。 直到现在，德文里还保留着这样的谚语， 形容一个人已经陷入绝境，束手待毙就 说他已经 “掉到分数里去了”。
其中系统介绍了印度数码十进制记数法， 以及相应的计算方法。


尽管在8世纪印度数码和记数法已随印度 的天文表传人阿拉伯，但并未引起人们 的广泛注意。 花拉子米的使它们在阿拉伯世界流行起 来。


更值得称道的是，它后来被译成拉丁文 在欧洲传播，所以欧洲人一直称这种数 码为阿拉伯数码。

阿拉伯人在代数、三角方面也取得了一 些自己的成就； 他们在几何上方面的工作主要是对希腊 几何的翻译与保存，并传给了欧洲。
印度与阿拉伯数学
罗马数码下的四则运算

罗马数字 I、V、X、L、C、D、M ： 表示：1、5、10、50、100、500、1000。 3888则写成
MMMDCCCLXX XVIII
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举一例子来说明当时的计算是多么烦冗。
公元800年左右的教科书中有一题： 235×4 IV CCXXXV 235 乘 4 . CCXXXV 将 分别重复写4遍：


阿拉伯人关于欧几里得《几何原本》中 第五公设的兴趣与研究的真诚，诱发了 后来欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧 几何的诞生产生了一定的影响 。

全世界都感谢阿拉伯人为译出大量令 人满意的印度、希腊等经典著作所作 的不屈不挠的努力。

（2）负数的引进与使用 在引进零的同时，几乎也引进了负值， 并写出了用负数在零进行运算的全部规 则。印度另一著名数学家婆罗摩及多 （598~665）的著作中：

“负数减去零是负数；正数减零为正数； 零减零什么也没有；零乘负数、正数或 零都是零……。”


婆什迦罗又把负量当作债务或损失，把 正数当作财产。这就为负数增添了一项 在今天看来仍然有效的用途。 婆什迦罗甚至把负数当作方程的根或解。