印度与阿拉伯数学
印度和阿拉伯的数学
印度和阿拉伯的数学
数学是科学的大门和钥匙
Ragen Bacan
印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度人在算术和代数作出了杰出的贡献，《绳法经》是印度最早的数学文献，其中最重要的内容是祭坛的建造问题，即利用绳子和竹杆给出固定的测量法则。
印度人在算术运算的贡献如：0的运算，负数的运算；正视无理数的存在，不定方程的研究及其应用等，并推导出运算公式：ab
(+
+
=
+代数被应用在普通商业问
)
b
a2
a
b
题上，如计算利息、财产划分等，但是在几何方面一直没有出色的进展。
公元200—1200年时期是阿拉伯人的数学成就，这段时间，阿拉伯人所能掌握的文化来源是非常丰富的，除延请印度科学家到巴格达外，希腊文明衰落后，许多学者跑到波斯。
阿拉伯人在用圆锥曲线相交来解三次方程上推进了一大步。
阿拉伯人在数学上没有什么重要的推进，他们所做的是吸收了希腊和印度的数学，把他们保存下了，并最终传给了欧洲，其中值得一提的是以10为底的进位制记数不，对1到9的量的数字记号，以及把0作为一个数引入。
1100—1300年间，基督徒十字军和蒙古的入侵，导致该地区的数学和科学活动逐步衰落。
第三讲印度与阿拉伯的数学
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
13
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
在数学方面，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有 重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕 有弧度制的观念。
阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法” （梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方 程研究之先河。
日，印巴分治，印度独立。
1950年1月26日，印度共和国成立，为英联邦成员国。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
3
印度数学
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
4
印度数学
公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造 了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶， 操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了 达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。
零号的发明是对世界文明的杰出贡献。
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印度与阿拉伯的数学
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表示数字1到9的符号在印度的婆罗门教文献中已经 出现，它们至少可追溯到公元前3世纪中叶，许多 可在柱子上的国王的法令中有这些数的符号。约 在8世纪，伊斯兰国家入侵印度难度，同时征服了 地中海地区大部分国家，然后他们采用了这些数 字。一个世纪后，这些数字在西班牙出现，再晚 些又在意大利和欧洲出现。
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印度与阿拉伯的数学
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“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
32～33、余数粉碎法（库塔卡） 对应于较大余数 的除数除以对应于较小余数的除数。[不计商数]所 得余数[又与除数]相除。[直至最后余数足够小， 而商是偶数个]。最后一个余数乘以某一选定的 数。……
印度数学与阿拉伯数学
第一节 印度数学
2、婆罗摩笈多 • 约公元598年生，约660年卒 • 印度印多尔北部乌贾因地方人（原籍可能为现在巴 基斯坦的信德），长期在乌贾因工作 • 30岁左右，编著了《婆罗摩修正体系》（公元628 年），分24章，其中《算术讲义》和《不定方程讲 义》两章专论数学，其他各章关于天文学研究 • 前者研究三角形、四边形、零和负数的算术运算规 则、二次方程等；后者研究一阶和二阶不定方程；
第一节ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ印度数学
二、印度数学史的分期 印度数学的多元化背景；（多民族的交替入侵，使古 代印度文化包括印度数学不可避免地呈现多元化的 复杂背景） 宗教影响；（婆罗门教，佛教，蓍那教）
第一节 印度数学
• 河谷文化：雅利安人入侵以前的达罗毗荼 人时期（前3500—前1500）； • 吠陀时期：（前10世纪至公元前3世纪） • 悉檀多时期：约自公元3世纪到12世纪。悉 檀多指历法的总名，意译为“历数书”。
第一节 印度数学
• 1、河谷文化：象形文字至今不能解读； • 2、吠陀时代的数学：公元前10世纪，至公元前3世 纪。吠陀，原意为知识、光明。《吠陀》为婆罗门 教和印度教的经典。 • 《绳法经》：《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与 测量的部分，有一些数学内容。 • 蓍那教的经典由宗教原理，数学原理，算术和天文 等部分组成，流传下来的原始文献较少；
• “巴克沙利手稿”内容：涉及到分数、平
方根、数列、收支与利润计算、比例算法、 级数求和、代数方程等，其代数方程包括一 次方程、联立方程组、二次方程。 • 出现了10个完整的十进制数码，用点表示 “0”。
第一节 印度数学
• 关于印度数码中的“0” • 用圆圈符号“0”表示零，是印度数学的一大发明； • “0”的意义：无；位置记数种的空位；数域中的基本 元素； • 巴比伦和玛雅人也有表示空位的符号，但未看成一 个单独的数； • 印度人起初用空位表示零，后来变为点号，最迟9世 纪发展为圈号；11世纪，包含零号的印度数码和十 进位值计数法成熟； • 印度数码8世纪传入阿拉伯国家； • 后又经阿拉伯人传入欧洲，最迟13世纪费波纳气的 《算经》中就有完整的印度数码介绍。
印度与阿拉伯数学分解
（2沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：
有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜 廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的 数“0”．瓜廖尔数系为：
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发 明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概 念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素， 可以与其他数一起运算．
(二)婆罗摩笈多
婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和 《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成 就十分可贵． ●比较完整地叙述了零的运算法则 ●利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表 ●获得了边长为 a, b, c, d 的四边形的面积公式（有误）：
S ( p a)( p b)( p c)( p d )
4.1.2“巴克沙利手稿”
关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也 很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利 (Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓 “巴克沙利手稿”． 其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与 利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括 一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使 用了一些数学符号 : （1）减号：“12-7”记成“12 7+”．
（一）阿耶波多
阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他 只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最 突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。 阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应 (见图)，成为 1 今天的习惯，同时他以半径的 3438 作为度量弧的单位，实际是 弧度制度量的开始．他还给出了第一象限内间隔为3º 45’的正弦 差值表． 阿耶波多最大贡献是建立了丢 番图方程求解的所谓“库塔 卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法， 采用辗转相除法的演算程序，接近 于连分数算法．
印度与阿拉伯的数学
基督教的兴起、柏拉图学院被封、 亚历山大图书馆被烧，可以看成古 典文化衰落的标志。此后500年， 欧洲进入了黑暗年代，经济大倒退、 文化跌入低谷，人们的精神陷于愚 昧和迷信之中。
随着希腊科学的终结，数学发展的 中心移到了东方的中国、印度和阿 拉伯。这些地方的数学主要是由于 计算的需要，特别是由于天文学的 需要而得到迅速发展。他们对希腊 的几何学几乎没有添加任何显著结 果，但是在算术和代数领域取得了 巨大成就。
3.2 阿拉伯的数学
早期:8世纪中叶—9世纪：以翻译和学习 印度、希腊的数学经典为主 中期：10世纪—12世纪：在消化、吸收 的基础上进行独立的数学研究 后期：13世纪—15世纪上半叶
3.2 阿拉伯的数学
阿尔•花拉子米《代数学》、《算术》 奥马•海雅姆《代数学》：用圆锥曲线来 解释代数方程 纳西尔丁•图西《论四边形》：三角学的 系统化 卡西《算术之匙》：将圆周率精确到小 数点后16位。是中国境外第一个应用十 进小数的人
对一般形式的一元二次方程有一般形式 的解
3.1.2 印度的代数
用“辗转相除法”求不定方程的所有正 整数解
如果第一个数除以第二个数，余数不等于零， 那么这两个数的最大公因数就是第二个数与 这个余数的最大公数。 即，如果a÷b=q（余r），那么(a,b)=(b,r)。
如果第一个数除以第二个数，余数不等于零， 那么这两个数的最大公因数就是第二个数与 这个余数的最大公因数。 即，如果a÷b=q（余r），那么(a,b)=(b,r)。 例如，求391与299的最大公因数。 391÷299=1……92，则(391,299)=(299,92) 299÷92=3……23, 则(299,92)=(92,23) 92÷23=4……0, 则(92,23)=23 故 (391,299)=23
印度数学与阿拉伯数学
印度数学与阿拉伯数学数学，作为一门古老而深邃的学科，在人类文明的发展历程中扮演着至关重要的角色。
其中，印度数学和阿拉伯数学犹如两颗璀璨的明珠，各自闪耀着独特的光芒，为数学的宝库增添了丰富而珍贵的财富。
印度数学的起源可以追溯到数千年前的吠陀时期。
当时的印度学者就已经对数学有了初步的探索和研究。
印度人发明了十进制计数法，这一伟大的创造使得数字的表示和运算变得更加简便和高效。
十进制计数法以其简洁明了的特点，被广泛应用于世界各地，成为现代数学的基础之一。
印度数学在算术方面有着卓越的成就。
例如，他们很早就掌握了整数和分数的运算规则，并且能够熟练地进行加减乘除等基本运算。
印度数学家还提出了“零”的概念，这是数学史上的一个重大突破。
“零”的引入不仅丰富了数学的内涵，也为后续的数学发展奠定了坚实的基础。
在代数领域，印度数学也有着显著的贡献。
印度数学家发明了用字母表示未知数的方法，这为现代代数的发展铺平了道路。
他们还研究了一元二次方程的求解方法，并得出了一系列准确而实用的公式。
此外，印度数学中的排列组合知识也相当丰富，为后来的概率论的发展提供了重要的思想源泉。
印度的几何数学同样不容忽视。
在测量和建筑领域，印度人积累了丰富的经验，形成了独特的几何理论。
他们对三角形、圆形等基本图形的性质有着深刻的理解，并能够运用这些知识解决实际问题。
与印度数学相比，阿拉伯数学在吸收和融合其他文明数学成果的基础上，也取得了令人瞩目的成就。
阿拉伯人在数学传播方面发挥了关键作用。
在中世纪时期，欧洲的数学发展相对滞后，而阿拉伯地区则成为了数学知识的重要交流中心。
阿拉伯学者将印度数学、古希腊数学等不同文明的数学成果翻译成阿拉伯文，并加以整理和研究，使得这些宝贵的知识得以保存和传承。
阿拉伯数学在代数方面的成就尤为突出。
阿拉伯数学家对代数方程的研究更加深入和系统，他们完善了一元二次方程的求解方法，并将其推广到更高次方程的求解。
此外，他们还发展了多项式的运算理论，为代数学的进一步发展奠定了基础。
第 五 章 印 度 及 阿 拉 伯 数 学
第五章印度及阿拉伯数学一．印度数学1．历史背景古代印度是指现在的南亚次大陆，它是古代这块大陆上各个部落或国家的统称。
印度文明的发源可追溯到公元前3000年以前。
与其它几个文明古国一样，印度文明也是在农业基础上发展起平的。
古印度人主要居住在印度河和恒河的两河流域地带。
为了掌握四季的变迁，印度人开始对星体运动进行研究。
宗教对印度文明的发展也起了一定的推动作用。
公元前遍布全印的耆那教和佛教都十分重视数学，他们在建筑礼拜用的圣坛时对数学知识的大量需求，推动了数学的发展。
遗憾的是，早期的印度数学没有留下任何记载。
但我们可从其它著作以及钱币、铭文中找到少量的有关数学的史实。
有文献可证的印度最早的历史时期是吠陀时代。
《吠陀》经反映了公元前1500~1000年左右雅利安人形成时期的一些社会状况。
其中表明，早在吠陀时代他们就认识了许多星宿，并把黄道附近的恒星划为28个星座。
以此为背景来观察太阳及行星在天空的位置。
与此相应的数学则有勾股定理等。
公元前10世纪，雅利安部落从印度河上游东迁到整个恒河流域，铁器开始被使用。
原始社会转向奴隶社会。
但这一时期尚无具体的史料。
可靠的印度政治及文化史是从公元前6世纪摩揭陀王国兴起后开始的。
这时，出现了对印度文化具有重大影响的佛教和耆那教，约在分元前160年，孔雀王朝第三代皇帝阿育王皈依了佛教，极大地增强了佛教的感召力，同时也使文化活动在佛教的形式和范围内展开。
据石刻记载，阿育王曾任命佛教僧人从事文化设施的管理，这时石刻还表明当时已有了近似后来的印度——阿拉伯记数方法。
公元前1世纪中叶，大月氏人在印度建立贵霜帝国。
不久即侵占了印度西北部的广大地区，并把帝国的首都从中亚迁到了印度西北部的富楼沙城。
分元1~2世纪，贵霜帝国是与当时的罗马帝国、安息帝国和中国的东汉王朝并驾齐驱的四大帝国之一。
贵霜文化是古代印度、伊朗、希腊文化的混和。
贵霜帝国时代，印度文化对中亚诸国发生过很大影响，尤其是佛教，通过中亚传入中国并由中国传入朝鲜和日本。
第3章印度与阿拉伯的数学解析
他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题 的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算 法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方 程． 奥马· 海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数 为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几 何解法。 3 3 2 2 例如解 x ax b ，首先将其化为 x c x c d (这 2 2 a , b 是线段， 里 c a, c d b ， 按照希腊人的数学传统， c 2正 方形， c 2 d 为长方体)。
3.2.1 阿拉伯的代数
(一)花拉子米(代数学)
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米 (Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数 学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820 年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉 伯语“al-jabrwa’l-muqabala” ”，意为移项对消之意．传入欧洲后， 到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文 “algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》 ． 书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了 一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同 类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数 学开拓了道路．
3 2 2 方程 x c x c d 的解就是抛物线 2 圆 y x(d x) 交点横坐标x．
x 2 cy 与半
数学史课件第四讲印度与阿拉伯数学
《圆锥曲线论》、《圆的度量》
阿德第一拉所德大《学原, 1本08》8拉 （丁圭文亚译那本，的20插00页）
1207年亚里士多德的著作全部被译 成拉丁文
欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学， 构成后来欧洲数学发展的基础
托马斯·阿奎那(意, 1225-1274)
第4讲 印度与阿拉伯的数学
印度数学 阿拉伯数学
印度数学
达罗毗荼人时期 （约公元前3000——前1400年） 吠陀时期 （约公元前10世纪——前3世纪） 悉檀多时期 （公元5世纪——12世纪）
印度数学
古代《绳法经》（吠陀时代）
《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计和测量的部分。
巴克沙利手稿 （公元前2世纪—公元3世纪）
航海（葡萄牙，1989）
欧洲出现新兴城市
商业与航海
创立大学
1088年博洛尼亚大学 1160年巴黎大学 1167年牛津大学
11220198“年年十剑萨字桥拉大曼军学卡东大征学” 12(2120年96帕-1多2瓦91大) 学
科学复苏
阿德拉德(英，约1090－约1150) ——《原本》和花拉子米的天文表
印度数学
婆什迦罗第二(1114-约1185) 古印度数学最高成就《天 文系统之冠》（1150）
《莉拉沃蒂》、《算法本源》
“婆什迦罗号”人造卫星 （1979）
带着微笑眼睛的美丽少女， 请你告诉我，按照你理解的正确 反演法，什么数乘以3，加上这 个乘积的3/4，然后除以7，减去 此商的1/3，自乘，减去52，取 平方根，加上8，除以10，得2？
印度(公元5-12世纪)
阿拉伯代数学
花拉子米 (苏联, 1983)
起源于印度的数字为什么被称为阿拉伯数字
起源于印度的数字为什么被称为阿拉伯数字？500年左右，印度的旁遮普地区的数学成就在世界上处于领先地位，尤其在简化数字方面有了重大的突破。
印度学者把数字记在一个个格子里，如果第一格里有一个符号，比如是一个代表1的圆点，那么第二格里同样的圆点就表示10，而第三格里的圆点就代表100。
这样，整个数字就是由数字符号及其所在的位置次序共同来表示。
之后，印度的学者又创造了零的符号。
这些数字符号和表示方法就是今天阿拉伯数字的最初形式。
大约700年左右，阿拉伯人征服了旁遮普地区。
他们吃惊地发现，印度人的数学成就比自己先进得多。
为了吸收印度的数学成就，771年，阿拉伯人把印度北部的数学家抓到了巴格达，迫使他们传授印度数字及其计数法。
从此，印度数字和印度计数法以其简单而又方便的优点，在阿拉伯地区广泛流行起来。
就连阿拉伯的商人们去世界各地做生意也采用这种方法。
后来，这种数字被阿拉伯人传入西班牙，10世纪时又由教皇兼学者热尔贝传到欧洲其他国家。
1200年左右，阿拉伯数字被欧洲的学者正式采用，之后逐渐走进了普通欧洲人的世界。
到15世纪时，欧洲已经普遍使用阿拉伯数字。
不过，那时的阿拉伯数字的书写方式与现代的阿拉伯数字尚不完全相同，后来经过许多学者的努力，才使它们变成今天的样子。
大约在13～14世纪，阿拉伯数字传入中国，由于中国古代有一种数字叫“筹码”，写起来比较方便，所以阿拉伯数字在当时没有受到重视。
20世纪初，随着中国对外国数学成就的引进和吸收，阿拉伯数字在中国才开始正式使用。
尽管阿拉伯数字在中国推广时间较晚，但它很快就成为中国最常用的数字了。
阿拉伯数字虽然起源于印度，但却是经由阿拉伯人的传播后才为世界各地所广泛接受的，因此人们将其称为阿拉伯数字。
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2007年9月
印度与阿拉伯的数学
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一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多 32～33、余数粉碎法（库塔卡） 对应于较大余数 的除数除以对应于较小余数的除数。[不计商数]所 得余数[又与除数]相除。[直至最后余数足够小， 而商是偶数个]。最后一个余数乘以某一选定的 数。……
2007年9月
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
2
一、印度数学
印度数学的发展可以划分为3个重要时期： Ⅰ雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期（约公元前 3000－前1400），史称河谷文化； Ⅱ吠陀时期（约公元前10世纪－前3世纪）； Ⅲ悉檀多时期（5世纪－12世纪）。
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
3
一、印度数学 1、古代《绳法经》
印度与阿拉伯的数学
10
一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
婆罗摩笈多 婆罗摩笈多著有《婆罗摩修正体系》（628）和 《肯德卡迪亚格》（约665），都含有大量的数 学内容。 《婆罗摩修正体系》全书24章，专论数学的有两章 （第12章，“算术”；第18章，“代数”）。
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
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一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多 在数学方面，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有 重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕 有弧度制的观念。 阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法” （梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方 程研究之先河。
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一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
婆罗摩笈多 《婆罗摩修正体系》中比较完整地叙述了零的运算 法则；同时，婆罗摩笈多是最早认识负数概念的 数学家之一，并在历史上第一次提出负数的乘除 法则。 婆罗摩笈多最突出的贡献是给出了佩尔方程的一种 特殊解法，名为“瓦格布拉蒂”。
印度与阿拉伯的数学
古代《绳法经》中的数学
《吠陀》——婆罗门教的经典
《绳法经》——《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的
部分《测绳的法规》——几何内容和建筑中的代数计算问题。
如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一
些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了
圆周率的以下近似值：
41 1 1 1
= y 2的一组特解，使用“瑟马萨”组合，得到
x m y m a
满足a x2 + k (m2 -a）= y 2, 即
a
m
k
2
m2 k
a
m k
a
2
最后根据“库塔卡”方法，可以找到 m 使 k m + , 并且使 m2 a
最小。计算
m
k
1
m2 a k k1
m
a
k
1
则（1 ，1）是方程ax 2 + k1 = y2的解。用1 ，1，k1代替 ，，k，重
《算法本源》主要是算术和代数著作。 什迦罗对不定方程有特别的兴趣，除对“库塔卡”
问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成 一般性的解法。对ax 2 + 1 = y 2 ，婆什迦罗首先选择适当
的整数k ，找出a x 2 + k = y 2的一组特解( , )，即a 2 + k = 2，另外再找一个整数 m，使（1，m）是a x 2 +（m2 -a）
+ k ’ = y2的解( , )与(‘, ’ ),再做所谓“瑟马萨” 的组合,得
到:
x ' '
y ' a '
, 为ax2 + k k' = y2的解.
印度与阿拉伯数学
巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：
有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜 廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的 数“0”．瓜廖尔数系为：
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发 明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概 念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素， 可以与其他数一起运算．
型方程；
型方程； ax ▲第3章讨论“根等于数”的方程，即一次方程 = b ； ▲第4、5、6章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三 种类型的二次方程： x 2 + px = q, x 2 + q = px, x 2 = px + q 都给出了相应的求根公式．
花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原”与 “对消”(即移项与合并同类项)的步骤化成他所讨论的六种类 型方程．由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的 算术方式，具有明显的代数特征 。 花拉子米的另一本书《印度计算法》(Algoritmi de numero indorum)也是数学史上十分有价值的数学著作，其中系统介绍 了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法． 正是花拉子米的这本书使它们在阿拉伯世界流行起来， 更值得称道的是，它后来被译成拉丁文在欧洲传播，所以欧 洲一直称这种数码为阿拉伯数码． 该书书名全译应为“花拉子米的印度计算法”，其中 Algoritmi是花拉子米的拉丁译名，现代术语“算法”(Algorithm) 即源于此．
[ p = (a + b + c + d ] / 2]
实际上这一公式只 适用于圆内接四边形，婆罗摩笈多未意 识到这一点，后来马哈维拉，由这一公式出发将三角形视为有 一边为零的四边形，得到了海伦公式。
古印度与阿拉伯数学的数学教育与普及
古印度与阿拉伯数学的数学教育与普及近代数学的发展离不开古代数学的贡献，其中古印度和阿拉伯地区的数学教育与普及起到了重要的推动作用。
本文将从古印度与阿拉伯数学的起源开始介绍，紧接着探讨它们在数学教育和普及方面的贡献，最后总结其影响和意义。
一、古印度与阿拉伯数学的起源古印度和阿拉伯数学的起源可以追溯到公元前数世纪的古代印度文明和波斯帝国时期。
古印度数学以《吠陀经》为代表，阐述了许多数学原理和定理，如勾股定理、二次方程等。
而阿拉伯数学则是在古希腊和印度数学基础上发展起来的，主要通过翻译和研究古印度数学著作，将其传播到阿拉伯地区。
二、古印度与阿拉伯数学在教育方面的贡献1. 古印度数学教育古印度对数学的重视可见于其在教育体系中的地位。
古印度的数学教育分为两个主要阶段：子时期和弟子时期。
子时期是通识教育阶段，弟子时期则专注于数学和科学知识的传授。
古印度的数学课程广泛涵盖了算术、代数、几何等领域，并将数学与实际问题相结合，培养学生的应用能力。
2. 阿拉伯数学教育阿拉伯数学教育的发展主要受到伊斯兰教的影响。
伊斯兰文化倡导知识的普及和传播，这也为阿拉伯数学教育提供了良好的环境。
在10至12世纪的亚兹里襄教学派和芝萨比派的教育体系中，数学作为重要的学科之一，得到了广泛的教授和传承。
三、古印度与阿拉伯数学在数学普及方面的贡献1. 古印度数学普及古印度数学的普及得益于其在实际生活中的应用，特别是在贸易、工程和农业领域。
古印度人使用数学知识解决实际问题，例如计算土地面积、商业交易等，这促进了数学在当时社会的普及。
2. 阿拉伯数学普及阿拉伯数学的普及主要是通过翻译和传播古希腊和印度数学著作实现的。
阿拉伯数学学者将这些著作翻译成阿拉伯语，然后在教育机构和学术界进行传授和研究，推动了数学知识的普及。
四、古印度与阿拉伯数学教育与普及的影响和意义1. 对现代数学教育的影响古印度和阿拉伯数学教育的发展为后来的数学教育提供了宝贵的经验，并为现代数学教育的理念和方法奠定了基础。
第四讲印度与阿拉伯的数学
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
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一、印度数学
印度数学的发展可以划分为3个重要时期： Ⅰ雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期（约公元前
3000－前1400），史称河谷文化； Ⅱ吠陀时期（约公元前10世纪－前3世纪）； Ⅲ悉檀多时期（5世纪－12世纪）。
第四讲 印度与阿拉伯的数学
印度数学
⒈古代《绳法经》 ⒉“巴克沙利手稿”与零号 ⒊“悉檀多”时期的印度 数学
阿拉伯数学
⒈阿拉伯的代数 ⒉阿拉伯的三角学与几何 学
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印度与阿拉伯的数学
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一、印度数学
公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造 了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶， 操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了 达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。
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二、阿拉伯数学 2、主要成果
代数方面
《代数学》约1140年被英国彻斯特地方的罗伯特译 成拉丁文，作为一种标准的数学课本在欧洲行用 了数百年，引导了16世纪意大利数学家在三、四 次方程求解方面的突破。
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二、阿拉伯数学 2、主要成果
几何学方面
几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存， 并传给了欧洲。在评注《几何原本》的过程中， 对第五公设引起了注意。对非欧几何的诞生产生 了一定的影响。
（无理量概念，确定立体体积的穷竭原理）
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二、阿拉伯数学 3、主要思想方法
总结概括文献方法（观察法、实验法），逻辑思维 方法
第四章印度与阿拉伯数学
2.2 印度数系传向欧洲
印度数码刚传到欧洲时并不是现在的样子， 因为手写体总有变化，所以在欧洲经过若 干岁月的演变，逐渐变成接近现在的样子。 14世纪，中国印刷术传到欧洲， 1480年，英国一本印刷书中数码已相当接近 现代写法。
2.3阿拉伯的数学家
阿拉伯学者们在广泛吸收了古希腊、印度 （中国）的数学家成果基础上，也加上了 他们自己的创造，使阿拉伯数学对以后欧 洲数学的进步产生了深刻的影响。
其中系统介绍了印度数码十进制记数法， 以及相应的计算方法。
尽管在8世纪印度数码和记数法已随印度 的天文表传人阿拉伯，但并未引起人们 的广泛注意。 花拉子米的使它们在阿拉伯世界流行起 来。
更值得称道的是，它后来被译成拉丁文 在欧洲传播，所以欧洲人一直称这种数 码为阿拉伯数码。
阿拉伯人在代数、三角方面也取得了一 些自己的成就； 他们在几何上方面的工作主要是对希腊 几何的翻译与保存，并传给了欧洲。
如：
A x
D 12
B
48
C
已知：AD AC DB BC 求：AD ?, DC ? 设：AD x, 则AD AB 2 BC 2 BD BC 即：x 48 2 ( x 12 ) 2 12 48, 得 : x 8
印度人这样编题：
山上住着两个苦行者，一个是巫师，会 在空中飞行。他从 山顶笔直跳到空中到 达某一高度后斜降到某一小镇上；另一 个从山顶垂直入地，再步行到同一小镇。 二人所经过的距离相等，求山和小镇的 距离及巫师升高的高度。
在苏曼尔哈里发时期，婆罗摩笈多、婆 什迦罗等印度天算家的著作在766年左 右进入巴格达，并译成阿拉伯文。
3印度与阿拉伯数学
带有数字0的运算是位值制系统计算的重要内容．印度 人不仅仅把0看作是“一无所有”或空位，而且把0看成是一 个数．这是印度算术的一大贡献．这种看法在3世纪时已经 出现．在天文学家瓦拉哈米希拉的著作中．瓦拉哈米希拉 (Varāha－Mihira)是6世纪著名学者．他通晓哲学、天文学 和数学，是《五大历数全书汇编》的作者．此书是希腊、埃 及、罗马和印度天文学的一部提要，最重要的一部分是《太 阳的知识》．(Sūrya Siddhānta)．其内容并不是有关太阳的 知识，而是由太阳神传授的知识，具有神话色彩．另外还包 括四部历数书．这部著作的计算图表是以希腊算法和亚历山 大算法为基础推算的 一个多世纪以后，婆罗门笈多在他的著作中有比较完整的叙 述：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零还 是零；零乘正数、负数或零都是零．……零除以零空无一物， 正数或负数除以零是一个以零为分母的数．”最后一种情形 没有进一步说明．婆什迦罗Ⅱ把a÷0称为Khahara，与无穷 大有相似的含义．
关外西天取经第一人 比唐玄奘早209年
北燕僧人昙无竭，于公元420年招集同志沙门25人，从龙城出发，远赴印度，取 回《观世音受记经》一部，译成汉文，收录在《大藏经》内，广为传诵。据考证， 昙无竭是继法显之后我国最早西行求法僧人之一，堪称关外西天取经第一人，比 唐僧玄奘西天取经还要早209年。 有关昙无竭是关外西天取经第一人的信息，来自于南北朝时期慧皎和尚编写的一 部史书《高僧传》，书中有关于昙无竭西天取经的文字记载。昙无竭，本姓李， 朝阳人，大概生于后燕时期，10来岁就出家到寺庙当沙弥，修炼苦行，遵守戒 律，念诵佛经，受到法师和众僧的器重。昙无竭常慨叹佛经残缺不全，听说僧人 法显等从古印度取回真经，下定决心亲赴西天取经。公元420年，昙无竭招集志 同道合的和尚僧猛、昙朗等25人，从燕都龙城出发，向西天行进。他们在中国 境内的西行路线大致为：龙城——今青海湖一带——今甘肃省河西走廊——今新 疆吐鲁番东——塔里木盆地北缘，途经今新疆喀什一带，攀登了帕米尔高原和昆 仑山等山脉。面对飞鸟难越的雪山、湍急的河水，以及两山之间以绳索为桥渡河 的险境，昙无竭一行25人没有停止西行的脚步，他们分3次过河，又用一整天翻 越雪山。过完雪山，同行25人竟然有12人半途坠崖而死。 为取得真经，昙无竭在天竺各地礼拜佛陀圣迹，寻访名师，学习梵文经典数年后， 从南天竺搭乘商船，漂印度洋，过南海，一行5人安全到达广州。回国后，昙无 竭住在江南某寺，弘扬佛法，直至去世。
第 五 章 印 度 及 阿 拉 伯 数 学
第五章印度及阿拉伯数学一．印度数学1．历史背景古代印度是指现在的南亚次大陆，它是古代这块大陆上各个部落或国家的统称。
印度文明的发源可追溯到公元前3000年以前。
与其它几个文明古国一样，印度文明也是在农业基础上发展起平的。
古印度人主要居住在印度河和恒河的两河流域地带。
为了掌握四季的变迁，印度人开始对星体运动进行研究。
宗教对印度文明的发展也起了一定的推动作用。
公元前遍布全印的耆那教和佛教都十分重视数学，他们在建筑礼拜用的圣坛时对数学知识的大量需求，推动了数学的发展。
遗憾的是，早期的印度数学没有留下任何记载。
但我们可从其它著作以及钱币、铭文中找到少量的有关数学的史实。
有文献可证的印度最早的历史时期是吠陀时代。
《吠陀》经反映了公元前1500~1000年左右雅利安人形成时期的一些社会状况。
其中表明，早在吠陀时代他们就认识了许多星宿，并把黄道附近的恒星划为28个星座。
以此为背景来观察太阳及行星在天空的位置。
与此相应的数学则有勾股定理等。
公元前10世纪，雅利安部落从印度河上游东迁到整个恒河流域，铁器开始被使用。
原始社会转向奴隶社会。
但这一时期尚无具体的史料。
可靠的印度政治及文化史是从公元前6世纪摩揭陀王国兴起后开始的。
这时，出现了对印度文化具有重大影响的佛教和耆那教，约在分元前160年，孔雀王朝第三代皇帝阿育王皈依了佛教，极大地增强了佛教的感召力，同时也使文化活动在佛教的形式和范围内展开。
据石刻记载，阿育王曾任命佛教僧人从事文化设施的管理，这时石刻还表明当时已有了近似后来的印度——阿拉伯记数方法。
公元前1世纪中叶，大月氏人在印度建立贵霜帝国。
不久即侵占了印度西北部的广大地区，并把帝国的首都从中亚迁到了印度西北部的富楼沙城。
分元1~2世纪，贵霜帝国是与当时的罗马帝国、安息帝国和中国的东汉王朝并驾齐驱的四大帝国之一。
贵霜文化是古代印度、伊朗、希腊文化的混和。
贵霜帝国时代，印度文化对中亚诸国发生过很大影响，尤其是佛教，通过中亚传入中国并由中国传入朝鲜和日本。
3 印度与阿拉伯的数学
一、印度的数学1、阿耶波多《阿耶波多文集》中一章专讲数学，介绍了比例、开方、二次方程、一次不定方程、算术级数等问题，得出了圆周率为3.1416的较精确的近似值。
2、婆罗摩笈多《婆罗摩修正体系》包括算术讲义、不定方程讲义等，其中有算术、勾股定理、面积、体积等内容3、摩诃毗罗《数学九章》算术运算、开平方和开立方二次方程及组合问题，还涉及二次不定方程的解法等4、婆什伽罗《丽罗娃提》《算法本原》有理数的四则运算、线性方程和不定方程（一）印度的算术1、印度数码2、10进位值制计数法3、负数4、分数5、开平方和开立方6、级数求和（二）印度的代数1、印度数学家使用缩写文字和记号来记述代数方程2、印度数学家常用假设法作为解方程或方程组的工具3、二次方程4、双二次方程和一些特殊的三次方程5、不定方程（三）印度的几何与三角1、一些常见的几何的体积公式2、沿用古希腊数学家托勒密的方法，把圆分成360度或21600分3、正弦表二、阿拉伯的数学对数学的传播和保留（一）阿拉伯数学的分期与杰出的数学家1、早期：8世纪中叶——9世纪（高峰期）花拉子米——编辑了阿拉伯最古老的天文表、《代数学》、《算术发发》介绍印度数码的计算2、中期：10世纪——12世纪巴塔尼——天文学研究需要而致力于三角学的研究阿布。
瓦法——三角学和算术都有重要贡献奥玛。
海雅梅——《代数学》比花拉子米的《代数学》有明显进步，详尽研究了三次方程的根的几何作图法，提出了利用圆锥曲线图形的理论3、后期：13世纪——15世纪中叶纳西尔丁。
图西卡西——《算术之钥》二项式展开、高次方程的数值解法（二）阿拉伯的算术与代数1、花拉子米的《代数学》第一部分现代意义下的初等代数（系统讨论了6中类型的一次或二次方程的解法，介绍了配平法）第二部分论及各种实用算术问题第三部分例举了有关继承遗产的各种类型的问题2、奥玛。
海雅梅《代数学》中用圆锥曲线来解代数方程（用几何来解决代数问题）（三）阿拉伯的几何与三角1、探讨平行公设问题的先驱2、阿布。
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尽管在8世纪印度数码和记数法已随印度 的天文表传人阿拉伯，但并未引起人们 的广泛注意。 花拉子米的使它们在阿拉伯世界流行起 来。
更值得称道的是，它后来被译成拉丁文 在欧洲传播，所以欧洲人一直称这种数 码为阿拉伯数码。
阿拉伯人在代数、三角方面也取得了一 些自己的成就； 他们在几何上方面的工作主要是对希腊 几何的翻译与保存，并传给了欧洲。
在苏曼尔哈里发时期，婆罗摩笈多、婆 什迦罗等印度天算家的著作在766年左 右进入巴格达，并译成阿拉伯文。
8世纪末9世纪初包括《几何原本》在内 的希腊众多希腊天文数学经典先后被译 成阿拉伯文。 到10 世纪这种翻译运动仍在继续。 他们的这种翻译为世界科学文化遗产的 保护起到了不可估量的积极运动。
素馨花开香扑鼻， 诱得蜜蜂来采蜜。 熙熙攘攘不知数， 一群飞入花丛里。 试问此群数有几？ 全体之半平方根。 另有两只在一起， 总数位九分之八， 徘徊在外做游戏。
.
解得答案为：=72
1.1 印度数学的特色
（1） 搞数学的印度人把自己当作天文学家。 由于种姓制度，数学教育几乎只属于僧侣； 印度人是有造诣的计算家，也是拙劣的几何 学者；
特征： 一是各等级职业世袭，父子世代相传。
二是各等级实行内部同一等级通婚，严格 禁止低种姓之男与高种姓之女通婚，但可 以低种姓之女嫁给高种姓之男。 三是首陀罗没有参加宗教生活的权利。 四是各等级在法律上是不平等的。
(2) 印度人用诗歌的形式来写作数学，并 且他们在世界的语言含糊而神秘。
印度数学多半是经验的，很少给出证明 和推导。
（3）印度数学缺乏选择性，高质量的 和低质量的数学往往同时出现。有作 家称印度数学是 “珍珠和酸枣的混合”。
1.2 印度的数学家
婆什迦罗（1114~1185）。 他是这一时期印度最突出的数学家，长期 在天文台工作。代表著作： 《莉拉沃蒂》《算法本源》 内容涉及代数、几何、三角等，其中包括 零的运算法则的完整叙述，特别是对零作 除数的问题给出了有意义的解释，认为分 母为零的分数 “表示一个无限大量”。
2. 阿拉伯数学
“ 阿拉伯数学” 并非单指阿拉伯国家 的数学，而是指 8~15 世纪阿拉伯帝国 统治下整个中亚和西亚地区的数学。
在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传 播希腊、印度的文化，最终为近代欧洲 文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大 贡献。
2.1 阿拉伯的翻译运动（8-15世纪）
公元7世纪，先知穆罕默德统一了阿拉伯 半岛上处于游牧状态的阿拉伯人，又用 了一个世纪阿拉伯人打出了一个从印度 到北非并包括西班牙的帝国。
这个庞大的帝国分成以： 西班牙的科尔多瓦为首都的西部王国； 哈里发建立的中心位于巴格达的东部 王国。
东部的苏曼尔不论其种族和宗教信仰， 向一切学者开放巴格达的大门。 他们收买大量希腊人的手稿，邀请各地 科学家到首都从事科学研究，并设立的 “智慧室” 吸引了大批学者，在那里掀 起了著名的翻译运动。 使巴格达成为当时科学文化中心，
《莉拉沃蒂》的书名，也带有印度特色， 里边有一个美丽动人的故事： 莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字，占星 家预言她终身不能结婚。
占星家的父亲婆什迦罗为女儿预测吉日， 他把一个底部有孔的杯子放入水中，让水 从孔中慢慢渗入，杯子沉没之时也就是女 儿出嫁的吉日来临之际。
女儿带着好奇观看这只待沉的杯子，不想 颈项上一棵珍珠落入杯中，正好堵塞了漏 水的小孔，杯子停止了下沉。
CCXXXV 8个C，12个X，4个V缩写为： CCXXXV CCXXXV DC C C C X L CCXXXV 是40 X L
如果是多位数乘多位数，其复杂的程度 不难想见。 加法并不比乘法简单多少，乘法只是重 复写若干遍，而加法要逐个数，……， 然后再缩写成所求答案。
那时精通四则运算就可以算学者了。至 于分数，那简直是难于上青天。 直到现在，德文里还保留着这样的谚语， 形容一个人已经陷入绝境，束手待毙就 说他已经 “掉到分数里去了”。
1.4 创立了独一无二的数系并在全 世界推广使用。
这一数系包含四个要素： ① 以十为基底； ② 具有代表数一至九的特殊符号 1、2、3、4、5、6、7、8、9；0 ③ 具有位值制表示法； ④ 零的使用。
这就是现在全世界通用的数系。
这些要素中的每一项拿出来都不是印度 特有的，但所有这些要素的结合赋予了 印度数系以独有的高品质。
印度十进制数字的演化过程： 公元前3世纪，印度表示 1~9 的一套独 特符号就已出现在一些石刻铭文中。它 们尚未演化成我们今天使用的符号，而 且也不包含零。
稍晚一些时候，零也加入进来从而形成 一个完整的体系。
该体系的一个稍加改变的版本被阿拉伯 人翻译传抄并传往欧洲。 1300年以后，印度再也没有产生任何伟大 数学家 。
2.2 印度数系传向欧洲
印度数码刚传到欧洲时并不是现在的样子， 因为手写体总有变化，所以在欧洲经过若 干岁月的演变，逐渐变成接近现在的样子。 14世纪，中国印刷术传到欧洲， 1480年，英国一本印刷书中数码已相当接近 现代写法。
2.3阿拉伯的数学家
阿拉伯学者们在广泛吸收了古希腊、印度 （中国）的数学家成果基础上，也加上了 他们自己的创造，使阿拉伯数学对以后欧 洲数学的进步产生了深刻的影响。
印度与阿拉伯数学
罗马数码下的四则运算
罗马数字 I、V、X、L、C、D、M ： 表示：1、5、10、50、100、500、1000。 3888则写成
MMMDCCCLXX XVIII
举一例子来说明当时的计算是多么烦冗。
公元800年左右的教科书中有一题： 235×4 IV CCXXXV 235 乘 4 . CCXXXV 将 分别重复写4遍：
代表人物：花拉子米（783～850） 代表著作：《代数学》
花拉子米在书中将古希腊、印度等代数 问题给出一般性的讨论及解的方法，如： 引进 “移项、同类合并项” 等基本的 代数运算。
花拉子米的《代数学》约1140年被英国 人罗伯特译成拉丁文，作为标准的数学 课本在欧洲使用数百年。
花拉子米的另一本书《印度计算法》也 是数学史上十分有价值的数学著作。
（2）负数的引进与使用 在引进零的同时，几乎也引进了负值， 并写出了用负数在零进行运算的全部规 则。印度另一著名数学家婆罗摩及多 （598~665）的著作中：
“负数减去零是负数；正数减零为正数； 零减零什么也没有；零乘负数、正数或 零都是零……。”
婆什迦罗又把负量当作债务或损失，把 正数当作财产。这就为负数增添了一项 在今天看来仍然有效的用途。 婆什迦罗甚至把负数当作方程的根或解。
中世纪有人厌恶这种繁琐的数学，作了一 首诗： “乘法原可恼，除法赤不良； 黄金律，太讨厌，练习真使我发狂。”
什么人改变了这一繁琐的计算方法， 使世界变成现在这样使用统一的数码 及计算方法呢？
1. 印度数学
古代印度的数学多数都与占星术有关。
他们的数学书籍带有浓厚的宗教气味， 将计算方法和结果用语句难懂的诗歌 写出来。
阿拉伯人关于欧几里得《几何原本》中 第五公设的兴趣与研究的真诚，诱发了 后来欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧 几何的诞生产生了一定的影响 。
全世界都感谢阿拉伯人为译出大量令 人满意的印度、希腊等经典著作所作 的不屈不挠的努力。
印度种姓制度又称瓦尔纳制度是在后期吠 陀时代形成的。它是古代世界最典型、最 森严的等级制度。四个等级在地位、权利、 职业、义务等方面有严格的规定：
第一等级婆罗门主要是僧侣贵族，拥有解 释宗教经典和祭神的特权， 第二等级刹帝利是军事贵族和行政贵族。 他们拥有征收各种赋税的特权。
第三等级吠舍是雅利安人自由平民阶层。 他们从事农、牧、渔、猎等，政治上没有 特权，必须以布施和纳税的形式来供养前 两个等级。 第四等级首陀罗绝大多数是被征服的土著 居民，属于非雅利安人，他们从事农、牧、 渔、猎等业以
A x
D 12
B
48
C
已知：AD AC DB BC 求：AD ?, DC ? 设：AD x, 则AD AB 2 BC 2 BD BC 即：x 482 ( x 12) 2 12 48, 得 : x 8
印度人这样编题：
山上住着两个苦行者，一个是巫师，会 在空中飞行。他从 山顶笔直跳到空中到 达某一高度后斜降到某一小镇上；另一 个从山顶垂直入地，再步行到同一小镇。 二人所经过的距离相等，求山和小镇的 距离及巫师升高的高度。
又如有这样一道题： 有一条很厉害的黑蛇，长32 “哈土他” ， 71 它钻进一个洞里，5/14日内钻进 “ 安 2 23 吉拉”，但在1/4日它的尾巴增长 4 “安吉拉”，何时才能完全钻入洞中？
印度数学家婆什迦罗著作《莉拉沃蒂》最 为出名，其中许多代数问题也是用歌谣来 给出的。如： 一首诗歌导致一个无理方程：
这样就注定莉拉沃蒂永不能出嫁。婆什 迦罗为了安慰女儿，就把他所写的算术 书以她的名字命名，以使她的名字随同 这本书一起流芳百世。
这本树后来被帝王授意翻译成波斯文， 译者连同这段故事一起附上。
1.3 印度数学家对世界数学的 伟大贡献
（1）用圆圈符号 “0” 来表示零。这是印度 数学的一大发明。