印度数学与阿拉伯数学

第一节 印度数学
• 记数系统；日、月、行星的运动； • 第一象限内每隔3度45分正弦值之差； • 弦表；三角学方面的改进：定半径为3438，用半径 度量圆周；用正弦线进行计算； • 记数法；整数的运算法则； • 自然数平方、立方等求和公式； • 分数约分和通分法则；
第一节 印度数学
• 三率法； • “库塔卡”方法：采用辗转相除法的演算程序， 用来求解不定方程。 • 从利息问题引进的二次方程求根公式； • 勾股定理，解决弦矢关系及相交两圆弦矢关系。 • 圆周率：3.1416
第一节 印度数学
• 婆什迦罗对不定方程持有特别的兴趣，除对“库 塔卡”问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的 特殊解法改造成一般性的解法； • 《莉拉沃蒂》中的歌谣体例题； • 为了求出球体积和表面积公式，他明确提出将球 分割成细小部分的方法，并给出了正确的公式； • 广泛使用无理数
第一节 印度数学
第一节 印度数学
4、婆什迦罗（1114—1185） • 印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长 期在乌贾因负责天文台工作 • 1114年生于印度南部的比杜尔； • 约1185年卒于印度乌贾因； • 数学著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》； • 天文著作有《天球》和《天文系统之冠》；
第一节 印度数学
第一节 印度数学
• 711年，阿拉伯人攻占印度河下游的信德； • 10世纪，突厥人统治印度； • 1398年，成吉思汗后裔建立的帖木儿帝国攻入印 度，16世纪在印度建立了莫卧儿帝国； • 1757年印度沦为英国殖民地； • 莫卧儿帝国于1857年灭亡； • 1950年，印度共和国宣告成立； • 1956年，巴基斯坦共和国宣告成立； • 1972年，东巴基斯坦成立孟加拉共和国；
• “巴克沙利手稿”内容：涉及到分数、平
方根、数列、收支与利润计算、比例算法、 级数求和、代数方程等，其代数方程包括一 次方程、联立方程组、二次方程。 • 出现了10个完整的十进制数码，用点表示 “0”。
第一节 印度数学
• 关于印度数码中的“0” • 用圆圈符号“0”表示零，是印度数学的一大发明； • “0”的意义：无；位置记数种的空位；数域中的基本 元素； • 巴比伦和玛雅人也有表示空位的符号，但未看成一 个单独的数； • 印度人起初用空位表示零，后来变为点号，最迟9世 纪发展为圈号；11世纪，包含零号的印度数码和十 进位值计数法成熟； • 印度数码8世纪传入阿拉伯国家； • 后又经阿拉伯人传入欧洲，最迟13世纪费波纳气的 《算经》中就有完整的印度数码介绍。
第一节 印度数学
• 公元前1500年左右，中亚游牧民族雅利安人入侵 印度，征服了达罗毗荼人； • 公元前1400至公元前1000年，雅利安人向东扩张， 控制了恒河流域； • 公元前500年前后，恒河下游的摩揭陀国统一印 度北方； • 大约在公元前7世纪形成了婆罗门教（种姓制度）， 公元前6-5世纪前后出现了佛教和蓍那教； • 8-9世纪，婆罗门教改革成印度教； • 公元前518年波斯帝国侵占印度；
第二节 阿拉伯数学
• 阿拉伯数学：七世纪，伊斯兰教创立后，势力迅速 扩展到阿拉伯半岛以外的广大地区，跨越欧、亚、 非三大洲。在这一广大地区内，阿拉伯文是通用的 官方文字，这里所叙述的阿拉伯数学，就是指用阿 拉伯语研究的数学； • 阿拉伯数学：8-15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚 和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人和基督徒 所写的阿拉伯文数学著作；
第一节 印度数学
公元前327年，马其顿王亚历山大入侵印度河上游 地区，建立莫尔雅帝国，并立即扩张到全印度以 及中亚西亚的一些地区； • 公元前321年旃陀罗笈多（护月王）建立孔雀王 朝，统一印度北方，恢复到印度人自己的统治时 代； • 公元320年左右，摩揭陀国的另一旃陀罗笈多一 世建立笈多王朝（320-535）统治北印度，印度 进入封建社会时代；
第一节 印度数学
• 1、河谷文化：象形文字至今不能解读； • 2、吠陀时代的数学：公元前10世纪，至公元前3世 纪。吠陀，原意为知识、光明。《吠陀》为婆罗门 教和印度教的经典。 • 《绳法经》：《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与 测量的部分，有一些数学内容。 • 蓍那教的经典由宗教原理，数学原理，算术和天文 等部分组成，流传下来的原始文献较少；
第二节 阿拉伯数学
•伊斯兰教的兴起； •穆斯林在穆罕默德 死后（632），统一 了阿拉伯半岛；
•755年，阿拉伯帝国分裂为两个独立王国，东部王国 阿拔斯，762年迁都巴格达；西部王国定都哥尔多华；
•909年，在北非突尼斯又建立一个新的哈里发国家， 973年，迁都埃及开罗； •从八世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学 的翻译时期，巴格达成为学术中心，建有科学宫、观 象台、图书馆和一个学院。
5、印度数学的特点 • 算术与代数：承认负数，给出了正确的运算法则； 解不定方程（二元二次） • 三角与几何：不取希腊人的全弦而取半弦，成为现 代的正弦函数；取半径为3438，有弧度值的思想； • 记数法与零：印度-阿拉伯数码；把0看成一个数，和 其他数一起进行计算； • 文献良莠不齐：印度数学附属于天文和星占学；而 星占学又和宗教和农业有关； • 外来的影响
第一节 印度数学
3、马哈维拉（9世纪，活跃于印度迈索尔） • 印度南部迈索尔人，耆那教教徒，曾在宫廷里生活过 很长一段时间； • 约公元850年，他撰写了《计算方法纲要》； • 《计算方法纲要》是印度第一本初具现代形式的数学 教科书； • 纯数学领域，对天文学问题几乎没有涉猎； • 最有特色的研究包括：零的运算、二次方程、利率计 算、整数性质、排列组合、单分数法则
第一节 印度数学
• 两整数相乘，若其乘积的数字呈中心对称，马哈维 拉便称之为“花环数”，例如： 14287143×7=100010001； 142857143×7=1000000001； 12345679×9=111111111； 333333666667×33=11000011000011 11011011×91=1002002001； 27994681×441=12345654321．
第二节 阿拉伯数学
• 公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆” （是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学 术机关），花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导 人之一； • 马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留 在巴格达工作，直至去世； • 研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学 和地理学等领域； • 在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代 数学》和《印度的计算术》．
第一节 印度数学
2、婆罗摩笈多 • 约公元598年生，约660年卒 • 印度印多尔北部乌贾因地方人（原籍可能为现在巴 基斯坦的信德），长期在乌贾因工作 • 30岁左右，编著了《婆罗摩修正体系》（公元628 年），分24章，其中《算术讲义》和《不定方程讲 义》两章专论数学，其他各章关于天文学研究 • 前者研究三角形、四边形、零和负数的算术运算规 则、二次方程等；后者研究一阶和二阶不定方程；
第一节 印度数学
3、悉檀多时期的数学 • 印度数学的繁荣期时期 • 数学内容主要是算术与代数，明显受到希腊数 学的影响 • 如阿耶波多（476-约550） • 婆罗摩笈多（598-665） • 马哈维拉（9世纪） • 婆什迦罗（1114-约1185）
第一节 印度数学
三、悉檀多时期的数学 • 1、阿耶波多（476—550） • 传世之作《阿耶波多历数书》（499） • 为纪念阿耶波多诞辰1500周年，印度组装的第一颗 人造卫星，命为“阿耶波多号”； • 《阿耶波多历数书》内容： • （1）绪论（10首诗）： • （2）数学（33首诗） • （3）时间的计算（25首诗） • （4）球（50首诗）
第二节 阿拉伯数学
一、阿拉伯的代数
1、花拉子米（约783—850） • 生于花拉子模；一说祖先是花拉子模人 • 拜火教徒后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚 细亚古城默夫深造，并到过阿富汗、印度等地游学， 不久成为远近闻名的科学家； • 东部地区的总督马蒙（公元786—833年）曾在默夫 召见过花拉子米 • 公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请 花拉子米到首都巴格达工作；
第6章关于平面图形的度量计算； 第7至10章关于立体几何的度量计算； 第11章为测量问题； 第12章是一些代数问题，包括不定方程； 第13章是一些组合问题。 该书很多数学问题用歌谣的形式给出。
第一节 印度数学
《算法本原》12章 • 正负数 • 零 • 未知数 • 根式 • 粉碎法 • 二次不定方程 • 简单方程 • 多元方程 • 多元二次方程 • 关于未知数乘积的运算 • 关于作者和他的工作
第一节 印度数学
• 天文名著《肯达克迪迦》包含8章，研究了行星的黄 经，月食、日食、星的偕日升落，以及行星的会合 等； • 提出了负数概念，用小点或小圈记在数字上面以表 示负数； • 他的负数概念及其加减法法则，仅晚于《九章算 术》；而负数乘除法法则，在全世界领先的； • 比较完整地叙述了零的运算法则；“零除以零是空 无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的分 数”
第一节 印度数学
《计算方法纲要》共9章： （1）术语； （2）算术运算； （3）与分数有关的运算； （4）有各种特点的运算； （5）与比例有关的运算； （6）混合运算； （7）面积计算； （8）与挖掘有关的计算； （9）与影子有关的计算．
第一节 印度数学
• 马哈维拉把零明确看作一个数； • 完全掌握二次方程求根公式； • 给出了椭圆周长的近似公式； • 组合数公式（从n个不同元素中取出r个元素）： c（r,n）=n（n-1）,,,（n-r+1）/r! 该公式是领先世界的；
第四章 印度与阿拉伯数学
第一节 印度数学
第二节 阿拉伯数学
第一节 印度数学
一、印度概述 古代印度文明是世界 主要文明之一，位于亚 洲南部次大陆，包括今 天印度河与恒河流域的 印度、巴基斯坦、孟加 拉、尼泊尔、斯里兰卡、 不丹、锡金等国。 公元前3500年左右， 印度河流域土著居民达 罗毗荼人创造了“哈拉 帕”文化；
第二节 阿拉伯数学
• 《代数学》直译为《还原与对消的科学》； • “还原”，指把负项移到方程另一端“还原”为正 项；“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相 同的项或合并同类项； • 《代数学》用十分简单的例题讲述了解一次和二次 方程的一般方法．实质上已经把代数学作为一门关 于解方程的科学来研究； • 《印度的计算术》：介绍印度数码和计算
第一节 印度数学
• • • • •
源自文库
《绳法经》中的数学知识： （1）勾股定理与几何作图； （2）根号2的值，1.414215686 （3）代数问题：二次方程 （4）圆周率：3.0883；3.004； 3.16049
第一节 印度数学
• “巴克沙利手稿”：公元前2世纪至公元后3
世纪的印度数学，可考资料非常少。1881年 在今巴基斯坦西北地区的“巴克沙利”村庄 发现该时期书写在桦树皮上的“巴克沙利手 稿”。
《莉拉沃蒂》共有13章： • 第1章给出名词术语； • 第2章是关于整数、分数的代数运算，包括加、减、 乘、除、平方、开平方、立方、开立方等； • 第3章论各种计算法则和技巧； • 第4章关于利率等方面的应用题； • 第5章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；
第一节 印度数学
• • • • • •
第一节 印度数学
二、印度数学史的分期 印度数学的多元化背景；（多民族的交替入侵，使古 代印度文化包括印度数学不可避免地呈现多元化的 复杂背景） 宗教影响；（婆罗门教，佛教，蓍那教）
第一节 印度数学
• 河谷文化：雅利安人入侵以前的达罗毗荼 人时期（前3500—前1500）； • 吠陀时期：（前10世纪至公元前3世纪） • 悉檀多时期：约自公元3世纪到12世纪。悉 檀多指历法的总名，意译为“历数书”。
第一节 印度数学
• 用颜色名称表示未知数； • 给出（圆内接）四边形的面积公式 s=[（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）]^1/2；p为半周长 • 用二次内插法构造间隔为15度的正弦函数表； • 突出贡献：解二次不定方程ax^2+1=y^2 • 在欧洲，这种方程曾在J．佩尔（Pell）的代数书中 论及，后被欧拉（Euler）命名为佩尔方程。