9. 平面波解析
第六章-平面波详解
E exEx ey Ey
两个分量可以表示成为
Ex
E e jkz jx xm
Ey
E e jkz jy ym
第六章 平面波
合成场矢量E可以写为
E ex Exme jkz jx ey Eyme jkz jy
瞬时值表达式分别为
Ex Exm cos(t kz x ) Ey Eym cos(t kz y ) E ex Exm cos(t kz x ) ey Eym cos(t kz y )
E2
1 4
E02e2az
第六章 平面波
平均磁能密度：
wav,m
1 4
H
2
1 4
E02
2
f
e2az
1 4
E02
e2
az
1 ( )2
总的平均能量密度：
wav
wav,e
wav,m
1 4
E02e2
z
1 4
E02e2
z
1 ( )2
1 4
E E
Ex2
E
2 y
Em
合成场矢量E与x轴正方向的夹角α为
arctan
Ey Ex
arctan
sin(t cos(t
x x
) )
(t
x
)
圆极化波有左旋和右旋之分，规定如下：
将大拇指指向电磁波的传播方向，其余四指指向电
第六章 平面波
场矢量E矢端的旋转方向，若符合右手螺旋关系，则 称之为右旋圆极化波；
量子力学中的平面波与波数
量子力学中的平面波与波数量子力学是研究微观粒子的物理学分支，它描述了微观世界中粒子的行为。
在量子力学中，平面波是一种很重要的概念，它与波数有着密切的关系。
本文将介绍量子力学中的平面波以及与波数相关的一些概念和性质。
一、平面波的定义在量子力学中，平面波可以被描述为具有相同频率和振幅的波动现象。
它可以用数学形式表示为：ψ(x, t) = A * e^(i(kx - ωt))其中，ψ(x, t)表示波函数，A表示振幅，k表示波数，x表示位置，t表示时间，i表示虚数单位，ω表示角频率。
这个方程描述了粒子在空间中的运动状态，并展现出波动特性。
二、波数的定义及性质在平面波的定义中，波数(k)是一个很重要的参数。
波数定义为：k = 2π / λ其中，λ表示波长。
波数与波长之间呈现倒数的关系，即波数越大，波长越短。
除此之外，波数还与粒子的动量(p)有着密切的关系。
根据德布罗意关系，动量可以表示为：p = ℏ * k其中，ℏ表示约化普朗克常数。
这个关系表明了波数与动量之间的联系，即波数越大，表示粒子动量越大。
三、波函数的性质根据平面波的定义，波函数可以被表示为：ψ(x, t) = A * e^(i(kx - ωt))波函数的模的平方（|ψ(x, t)|^2）表示粒子在空间中出现的概率密度。
根据量子力学的基本原理，波函数必须满足归一化条件，即：∫|ψ(x, t)|^2 dx = 1这表示在所有可能的粒子位置上，概率密度之和等于1。
根据归一化条件，可以确定波函数的振幅。
四、波函数的解释根据量子力学的波粒二象性，波函数同时具有粒子和波的性质。
在实验中，波函数的平方模能够描述粒子存在的概率分布，而波函数本身则描述了粒子的相位和波动性质。
通过波函数的模的平方，可以计算得到粒子在不同位置上出现的概率。
除此之外，波函数还可以用于描述粒子的叠加态。
根据量子力学的原理，粒子可能处于多个状态的叠加态，可以用波函数表示。
这是量子力学中独特的现象，不存在于经典物理学中。
高等物理光学课件平面波资料.
信息科学与工程学院
3、球面波的数学描述、球面波的近轴近似表示
波动方程： 2 r 2
rU
1 v2
2 t 2
rU 0
单色球面波：U r, t
A exp
r
jkr 0 exp
j 2v t
其中，+相应于发散球面波，-相应于会聚球面波。在t一定的时候，位 相为常数的面为一个球面。 球面波与平面波都是波动方程的解，一般的光波可以是球面波与平面 波的叠加。
1
2
z z
信息科学与工程学院
3、球面波的数学描述、球面波的近轴近似表示
我们在计算直角坐标系中的球面波时，通常选择近轴近似，不仅仅是因 为可以方便计算，而且在直角坐标系球面波公式中所表示的等相位面是用抛 物面代替了球面，显然也只能在近轴区域才能成立。
近轴条件： z x x0，z y y0
r
z 1
1
x
x0
2
1
y
y0
2
2 z 2 z
U x, y, z
A0
exp z
jkz
exp
j
k 2z
x x0 2
y
y0 2
信息科学与工程学院
4、柱面波的数学描述
在柱坐标下的波动方程为： 1 r
r
r
U r
1 v2
2U t 2
经过计算其解为： U r,t A exp ikr ikt
expexp信息科学与工程学院3球面波的数学描述球面波的近轴近似表示我们在计算直角坐标系中的球面波时通常选择近轴近似不仅仅是因为可以方便计算而且在直角坐标系球面波公式中所表示的等相位面是用抛物面代替了球面显然也只能在近轴区域才能பைடு நூலகம்立
均匀平面波的反射和透射课件
波的传播速度与介质有关，与频率和波长无关。
平面波的传播特性
平面波的定义
波面是一系列平行的平面的波。
平面波的传播特性
波在传播过程中，波面保持为平面，且波速与波长成正比。
02
均匀平面波的反射
反射定律
01
反射定律总结了波在界面上的反射行为，指出 入射波、反射波和折射波之间的关系。
02
入射波、反射波和折射波的振幅、相位和传播 方向满足一定的关系。
均匀平面波的反射和透射课件
$number {01}
目录
• 引言 • 均匀平面波的反射 • 均匀平面波的透射 • 均匀平面波的反射和透射实例 • 均匀平面波的反射和透射的应用 • 结论与展望
01 引言
波的基本概念
1 2
3
波动
物体振动产生波，波在空间中传播形成波场。
波形
波的形状和大小随时间变化，波形包括正弦波、方波等。
电磁波在通信中的应用
01
02
03
无线通信
利用电磁波传输信息，实 现无线通信，如手机、无 线网络等。
有线通信
利用电缆传输信息，实现 有线通信，如电话、互联 网等。
卫星通信
利用卫星反射和透射电磁 波，实现远距离通信，如 卫星电话、卫星电视等。
06
结论与展望
总结均匀平面波的反射和透射的规律
要点一
总结词
反射波的相位也会发生变化，这 取决于入射角、界面性质和传播 方向。
在某些情况下，反射波的振幅可 能会超过入射波的振幅，这被称 为反射增强。
在其他情况下，反射波的振幅可 能会小于入射波的振幅，这被称 为反射减弱。
03
均匀平面波的透射
透射定律
平面波_球面波和柱面波间的表示
其中, r = x + y 2 + z 2. 在标坐标中, 柱面波满足的方程由式 ( 1) 改
∫
∫
( 10)
f ( a t- Α x - Βy ) = e
i
Ξ(
a
) a t- x co sΗ - y sin Η
,
求叠加的柱面波. 由式 ( 10) 有
∫ e = e ∫ Θ- Γ dΓ co sk Θ s = 2e ∫ 1- s ds
u c ( Θ , t) =
- iΞt
a t- Θ
( x ) 分别是零阶贝塞尔函数
) ,Υ Y lm ( Η ) 间 的 夹 角, 其 中, ∆ 是 r ( Η , Υ) 和 k ( Η ′ , Υ ′ ). jl ( k r ) 是 ′ + sin Η ′ - Υ ′ co s∆= co sΗ co sΗ sin Η co s ( Υ
和第一类汉克尔函数, k = Ξ a. 式 ( 5 ) 给出的柱 面波实际是驻波, 其第二项在 Θ 0时发散 .
Abstract A n im age p rocessing techn ique to determ ine crysta l st ructu res is in t roduced. It is
ba sed on the com b ina t ion of h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y and elect ron d iffract ion. T he schem a t ica l d iag ram of the m ethod is dem on st ra ted. Key words crysta l st ructu re; elect ron d iffract ion; h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y
平面波的基本性质
近似公式
Applied Acoustics
c0 ( C) 331.6 0.6t
浙江师范大学数理与信息工程学院
(m/s)
应用声学
二、声波传播速度
Applied Acoustics
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
一、平面波波动方程的解
其中 k
c0
称为波数
Applied Acoustics
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
一、平面波波动方程的解
Applied Acoustics
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
一、平面波波动方程的解
设x=0的声源振动时，在毗邻媒质中产生了paejωt 的声压，于是可求得声场中的声压为
C0代表单位时间内波阵面传播的距离，也就是声传播速度，简称 为声速。
Applied Acoustics
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
一、平面波波动方程的解
声波在传播过程中，等相位面是平面，所以通常就 称为平面波。
Applied Acoustics
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
一、平面波波动方程的解
Z s rs jxs
Applied Acoustics
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
三、声阻抗率与媒质特性阻抗
Applied Acoustics
浙江师范大学数理与信息工程学院
应用声学
三、声阻抗率与媒质特性阻抗
pa j (t kx ) v(t , x) e 0 c 0
高等物理光学课件-平面波
衍射现象遵循惠更斯-菲涅尔原理，即波前上的每一点都可看作是新的波源，发出次波。这些次波在空间中叠加， 形成衍射现象。衍射规律包括衍射角与波长、障碍物尺寸的关系等。在实际应用中，衍射现象对于光学仪器的分 辨率、成像质量等方面具有重要影响。
03 平面波在晶体中传播特性
晶体结构对平面波影响
晶体结构周期性
应用前景
随着信息社会的不断发展，人们对通信速度 和容量的需求不断提高。光纤通信技术作为 未来通信发展的主要方向之一，将在宽带接 入、数据中心、物联网等领域发挥越来越重 要的作用。同时，随着新材料、新工艺和新 技术的不断涌现，光纤通信技术的性能和应
用范围也将不断拓展。
06 总结与展望
平面波在物理光学领域重要性
平面波特点
平面波的等相位面是平面，等相位面上各点振动相位相同，振幅相等，传播方 向垂直于等相位面。
波动方程与解析式
波动方程
描述平面波传播的数学表达式称为波动方程。对于单色平面波，其波动方程可表示 为∇²E - (1/c²)∂²E/∂t² = 0，其中E为电场强度矢量，c为光速。
解析式
平面波的解析式可表示为E(x,y,z,t) = E₀cos(ωt - k·r + φ₀)，其中E₀为振幅矢量，ω 为角频率，k为波矢，r为位置矢量，φ₀为初相位。
振幅、频率、波长等参数
01
02
03
振幅
平面波的振幅表示波的振 动强度，通常用电场强度 矢量的模来表示。振幅越 大，波的振动越强。
频率
平面波的频率表示单位时 间内波振动的次数，用赫 兹（Hz）表示。频率越高， 波的振动越快。
波长
平面波的波长表示波在一 个振动周期内传播的距离， 用米（m）表示。波长越 长，波的传播速度越快。
平面波特点
平面波特点
嘿，朋友们！今天咱来讲讲平面波的特点，这可真的是超级有趣呢！
平面波啊，它就像是一支排列整齐的军队，直直地向前行进，永不偏离！比如说，你想象一下，阳光透过窗户照进来，那一道道光线，不就是平面波嘛！你看，多形象啊！
平面波还有个特点，它的能量分布那叫一个均匀啊！就好比一场公平的比赛，每个选手都有同等的机会，没有谁受到特殊关照。
就像我们在平地上走路，每一步踏出去感觉都差不多。
而且呀，平面波的传播方向是确定的，绝不会摇摆不定。
这就好像你坚定地朝着自己的目标前进，不会轻易被其他事情干扰。
比如说你决心要学会一门外语，那就一门心思地去学，不被其他杂事分心。
它在空间中传播时，就如同一个忠诚的伙伴，始终保持着自己的特性。
这不就像你身边那个最靠谱的朋友，不管啥时候都能让你信赖！
平面波的这些特点让它在物理学中有着重要的地位呢！是不是很神奇呀？反正我是觉得超级有意思呢！它的这些特性让我们对自然界的理解更加深入，
也让各种科学研究有了更坚实的基础。
所以说呀，平面波真的是太重要啦，我们可得好好认识它，好好珍惜它带给我们的知识和乐趣呀！
就这么说定啦，以后可要多留意身边那些平面波的身影哦！。
平面波的解
平面波的解
平面波是一种传播时波面为平面的电磁波，是一种将三维波简化为二维波的分析方法，此种方法可以表征电磁波的特性。
在波场中，代表波传播方向的射线，称为波射线，也简称为波线。
最简单的情况是，波的振动如正弦函数一样，波场中同一时刻振动相位相同的点的轨迹，称为波面。
某一时刻波源最初的振动状态传到的波面叫做波前或波阵面，即最前方的波面。
因此，任意时刻只有一个波前，而波面可有任意多个。
平面波的光线可以看作是平行的，其波阵面与传播方向是垂直的。
平面波的一个重要特点是，它的振幅不随传播距离而变化（假定媒质没有吸收）。
平面波的特性与波长的计算
平面波的特性与波长的计算波动现象是自然界中普遍存在的一种物理现象，而波长是用来描述波的特性的定量指标之一。
在物理学中，平面波是一种理想化的波模型，其特性与波长之间存在一定的关系。
本文将探讨平面波的特性以及如何计算波长。
1. 平面波的特性平面波是一种在无限远处传播、波前呈平面的波动。
与球面波和柱面波不同，平面波的波阵面是一个平面，不存在波源和波纹的聚焦或发散现象。
平面波特性的关键在于其波矢和传播方向。
平面波的波矢k定义为波矢的模长与传播方向的乘积，即k = |k| * n。
其中，|k|表示波矢的大小，n表示波的传播方向，即单位矢量。
平面波的表达式可以表示为Ae^(ik·r)，其中A为振幅，k为波矢，r为位置矢量。
平面波的传播速度与波矢的大小成正比，即v = ω/|k|，其中v表示传播速度，ω表示角频率。
2. 波长的计算波长是用来描述波动的空间周期性的物理量，指在一个完整波动周期内，波动传播的距离。
对于平面波来说，波长的计算可以通过波矢的大小求倒数得到。
波矢的模长|k|与波长λ之间存在以下关系：|k| = 2π/λ。
由此可得，波长λ = 2π/|k|。
这个公式说明了波矢的大小与波长之间的倒数关系，即波矢越大，波长越短，反之亦然。
以光波为例，光是一种电磁波，其波长范围很宽，从红外到紫外都有不同波长的光。
对于可见光来说，其波长范围约为380nm到780nm之间。
3. 示例计算现在我们以一个具体的例子来计算平面波的波长。
假设我们有一个平面波，其振幅A为2，波矢k为1.5。
根据前述公式，波长λ = 2π/|k| = 2π/1.5 ≈ 4.188。
根据计算结果可知，该平面波的波长约为4.188个长度单位，可以是米、厘米、纳米等等，具体的单位需根据具体的物理系统来确定。
4. 总结平面波是一种在无限远处传播且波前呈平面的波动，其特性由波矢和传播方向决定。
波长是描述波动空间周期性的物理量，对于平面波来说，波长可以通过波矢的大小求倒数得到。
良导体中的的平面波
良导体中的的平面波
良导体中的平面波是一种特殊的电磁波，在导体中传播。
当电
磁波穿过导体时，它会与导体中的自由电子相互作用，导致电磁波
的衰减。
在良导体中，电磁波的传播受到导体电导率的影响，电导
率越高，电磁波的衰减越严重。
在电磁波传播中，平面波是一种特定的波动形式，它的波前是
平坦的，波峰和波谷是平行的。
在良导体中，平面波的传播受到导
体的影响，导体中的自由电子会对电磁波产生阻尼效应，使得平面
波在传播过程中衰减。
这种衰减会导致电磁波的能量逐渐转化为热能，最终被导体吸收。
良导体中的平面波还受到导体内部结构的影响，比如晶格结构、缺陷等因素都会对平面波的传播产生影响。
此外，频率、波长等也
会影响平面波在良导体中的传播特性。
总的来说，良导体中的平面波受到多种因素的影响，包括导体
的电导率、内部结构以及电磁波的频率和波长等。
这些因素共同作用，决定了平面波在良导体中的传播特性和衰减程度。
平面波分解
平面波分解
平面波分解是一种将信号分解成复杂结构的技术，它可以帮助我们更好地理解信号。
它可
以将复杂的信号分解成平面波，并提取出因子，以更好地描述信号的结构。
平面波分解技术形式多样，受许多算法的支持。
比较常见的算法有傅立叶变换、小波变换、卷积操作等。
这些算法可以大大简化处理信号的工作，并可以有效地获得信号的关键特征。
平面波分解技术在多个领域中都有应用，比如超声检测、神经生物学、电磁学测量等。
另外，平面波分解还可以用于识别和分析信号波形，帮助我们更快地理解信号，以了解测量
信号的内容。
平面波分解是一项重要的技术，它已经发挥出重要的作用，在很多领域的研究工作中，都
有着重要的作用。
平面波分解可以帮助我们简化复杂的信号分析工作，更快地实现目标，
为探索信号特征，及其与实际现象之间的关系提供有效的支持。
球面波与平面波的区别及应用
球面波与平面波的区别及应用球面波与平面波是物理学中常见的两种波动形式。
虽然它们都是波动现象，但在实际应用中，它们具有明显的区别，并且在不同领域都有着重要的应用。
首先，球面波和平面波在空间分布上有着显著的差异。
球面波是从波源点向四面八方扩散开来的，波前呈球面状。
而平面波则是波源沿着一个平面上的无限远点均匀扩散的，波前呈平面状。
这种差异导致了它们在传播过程中的特性不同。
其次，球面波和平面波在波阵面上也有着区别。
球面波的波阵面是球面，也就是说，在单位时间内，波源点附近的每个点都是波前上的一个波阵面。
相比之下，平面波的波阵面则是平面，也就是说，在单位时间内，无论距离波源远近，波前上的每个点都是波阵面上的一个点。
这种波阵面的性质决定了球面波和平面波的传播方式不同。
具体来说，在球面波的传播过程中，波前上的每个点都可以看作是一个次波源，这些点分别向外辐射出新的波源。
这样，球面波在传播过程中会不断减弱，波幅递减，而波前的形状始终呈现为球面。
球面波在实际应用中具有很多重要的特性，例如它在声波的传播、成像等领域有着广泛应用。
而平面波的传播过程中，波前上的各个点都同时作为波源，向周围空间辐射出新的波面。
由于波阵面是平面，因此平面波在传播过程中保持波幅不变，呈现出平行且平直的特点。
这种特性使得平面波在光学、无线通信以及电磁波传播等领域得到广泛应用。
除了在传播特性上的差异，球面波和平面波在应用中也有着不同的优势。
球面波的辐射特性使得它在声波传播和声学成像方面有重要作用。
例如，在医学超声波成像中，医生通过对患者身体进行扫描，利用球面波的特性将内部结构转化为可视化的图像。
这在疾病的诊断和治疗中起到了关键作用。
而平面波的特点使得它在无线通信和电磁波传播等领域成为理想的选择。
在无线通信中，平面波的平行性可以保证信号的传播方向一致，减少了信号的传输损耗和干扰。
在电磁波传播中，平面波的特性使得它能够方便地用于天线设计和电磁波的辐射分析。
理想介质中的平面波解
理想介质中的平面波若介质中的传导电流与位移电流相比完全可以忽略，这样的介质称为理想介质，或称为完全介质、无损耗介质(σ = 0)。
由前面，我们有：220ωμε∇+=E E令22k ωμε=对于给定频率，它是一个常数。
由此得：220k ∇+=E E此方程称为其次亥姆霍兹矢量方程。
由此我们得到三个其次亥姆霍兹标量方程：220x x E k E ∇+= 220y y E k E ∇+=220z z E k E ∇+=现在，我们用分离变量法先求解第一个方程。
令(,,)()()()x x E E x y z X x Y y Z z ==将其带入第一个方程，并除以XYZ ，我们得到：22222221d 1d 1d 0d d d X Y Zk X Y Z x y z+++= 重新整理为：22222221d 1d 1d d d d X Y Z k X Y Z x y z ++=- 上式左边仅是x 和y 的函数，而右边仅是z 的函数，它们相等只能说明它们等于同样一个常数。
我们将此常数写为2z k 。
因此，我们得到：222d 0d z Zk Z z+= 重复此过程，我们还可得到：222d 0d x Xk X x+= 222d 0d y Y k Y y+= 2x k 和2yk 也是常数。
三个分离变量常数k x 、k y 和 k z 并不全是独立的，它们满足： 2222x y z k k k k ++=由于我们仅对行波解感兴趣，对于前行波，场的相位随坐标变量的增加而延迟。
因此，我们得到上面方程前行波解为：x y z ik x f ik yf ik zf X X e Y Y eZ Z e ===下标表示前行（forward-traveling ）即有：i x xf E E e =k x式中E xf = X f Y f Z f 。
同样地有：i y yf E E e =k x i z zf E E e =k x式中E xf 、E yf 和E zf 为积分常数。
平面波的基本性质
三、声阻抗率与媒质特性阻抗
三、声阻抗率与媒质特性阻抗
v(t,x) pa ej(tkx)
0c0
平面前进声波： Zs 0c0
沿负方向传播的反射波：Zs 0c0
上式表明，在平面声场中各位置的声阻抗率 数值上相等，且为一个实数。
三、声阻抗率与媒质特性阻抗
Zs 0c0
注意：乘积0c0是媒质固有的一个特性常数，是反 映媒质本身声学特性的固有参数，因其具有声阻抗 率量纲，所以称为媒质特性阻抗。其国际单位为 Pas/m 。
二、声波传播速度
理想气体中的小振幅声波
c
2 0
P0 0
对空气 ＝1.4，0＝1.293kg/m3，P0=1.013 × 105Pa，得 空气中的声速为 c0=331.6m/s.
声速与媒质温度的关系（理想气体）
二、声波传播速度
对理想气体有 PV M RT （克拉柏龙公式）
则声速公式变为 c0
质点速度的幅值
va
pa 0c0
假设 pa 0.1pa（约相当于人们大声讲话时的声压）
va
pa
0c0
2.5104m/s
v c0
三、声阻抗率与媒质特性阻抗
定义：声场中某点的声压与该点处质点振速的比 值为该点的声阻抗率，即
Zs
p v
ZS 一般为复数形式，可表示为 Zs rs jxs
rS 叫声阻率，xs 叫声抗率。
如，对20摄氏度的空气，其特性阻抗为 0c0415Pa.s/m
对20摄氏度的水，其特性阻抗为 0c01.48106Pa.s/m
平波声波的声阻抗率数值上恰好等于媒质的特性阻抗，即平面 声波处除与媒质的特性阻抗相匹配。
p(t,x)paej(tkx)
自然科学史与方法论 平面波
自然科学史与方法论平面波
自然科学史与方法论是一门学科，旨在研究自然科学的历史和方法，包括科学思想的发展、科学家的贡献、科学理论的形成和演化、科学实验的设计和执行、科学数据的收集和分析等方面。
平面波是一种特殊的波动形式，指波沿着一个平面前进，波面是平面的。
在物理学中，平面波是一种基本的波动形式，它可以用来描述许多物理现象，如电磁波、声波等。
平面波的特点是波长是无限长的，也就是说，波沿着一个平面前进，波面是平行的。
在数学上，平面波可以用复数函数来表示，即e^(ikx)，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，k是波矢，x是空间位置。
平面波在物理学中应用广泛，如在电磁波理论中，光的传播可以用平面波来描述；在声学中，平面波可以用来描述声波的传播；在量子力学中，平面波是描述粒子的波函数的一种形式。
总之，平面波是一种基本的波动形式，具有广泛的应用价值，在物理学等领域中有着重要的地位。
第二章波动方程和平面波解
π f
ej45 (1 j)
2
f
《高等电磁场理论》
11
趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能 存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。
趋肤深度（）：
Eme
Em e
1
1
1
π f
Em
Em e
趋肤深度
铜：
f 50Hz， 6.6102 9.33103 m
50
4π 107 H/m f 1MHz， 6.6 102 6.6 105 m
5.8 107S/m
106
f 10GHz， 6.6 102 6.6 107 m
14
4、 弱导电媒质中的均匀平面波(特例)
弱导电媒质： 1
(1 x)1/ 2 1 x 2
jk j (1 )1/2 j
j
2
2
c
c
(1 )1/2 j
(1 j ) 2
expkI r 表示振幅衰减，
kI
为波衰减方向；
expikR r 代表波的相位传播；
kR
为波的传播方向
可见在无耗介质中，如 果波矢量k是复数，波
则 kR2 kI2 2
2kR kI 0
kR kI
的衰减方向必定与其传 播方向相互垂直，或者 说波的等振幅面与等相
平面波解为
E r E0 expik r
《高等电磁场理论》
可得
平面波公式
平面波公式
平面波公式是物理学中的一个概念，表达了质点在空间中随时间的变化。
平面波公式可以被用来描述振动，波浪等物理变化情况。
它为我们探索宇宙奥秘提供了重要的指导意义。
平面波公式的本质
平面波公式是由线性液动力学理论建立起来的，这里只考虑了液体在物体表面上的摩擦力，忽略了液体内部的变化现象，所以它可以简化为形如：
F=Acos（k（x-ut））
其中A是振幅，k是波数，u是速度，t是时间，x是空间变量。
该公式描述的是质点随时间的变化受空间变量影响的力学运动规律。
应用
以上的公式可以用来解释许多现象，比如波浪在大海里的传播；地震波在地底传播；声音在空气中传播等等。
平面波公式具有广泛的应用，可以应用于地面建筑和海洋结构物的动力设计，军事和航空航天技术中，将其用于测量和导航，以及电子技术中，将其用于电磁波的控制。
另外，平面波公式还可以用于液力学的研究。
液力学是研究液体力学运动的理论，其关键观点是，当液体运动时，液体中心会产生一个力，并且受空间变量影响，利用平面波公式，可以详细描述液体运动情况，为液力学学习者提供了重要的参考。
最后，平面波公式也可以用来模拟物理实验，比如微波加热实验
中，可以利用平面波公式来模拟微波在物质表面的传播，这从很大程度上提高了实验的可信度和准确性。
总结
总而言之，平面波公式是一个重要的概念，它是描述质点在不同空间位置随时间的变化的表达式，它为我们解开物理世界的奥秘提供了有价值的指导。
平面波公式的本质是线性液动力学，其应用非常广泛，可以用在液力学，航空航天，电子技术，建筑和海洋结构物等，还可以用来模拟实验。
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的存在与否，将波分为三种类型 和H 根据 E
z
z
1.TEM 波
( Ez 0, H z 0,
Kc 0)
说明任一时刻，在xoy平面上场的分布与稳态场相同
0, H 0 ），亦称横电波 2.TE 波（ E
z z
3.TM 波（
z 0, H z 0 E
），亦称横磁波
(9 - 2 - 1)
图 9-1 均匀平面电磁波的传播
综上可见，可取：
E e x Ex ( z, t )
E x ( z, t ) 1 E x ( z, t ) 2 0 2 2 z t
2 2
(9-2-2)
此方程的通解为
Ex ( z, t ) f1 ( z t ) f 2 ( z t )
E E E 2 t t
2 2
（9-1-2）
类似的推导可得
H H H 2 t t
2 2
（9-1-3）
相量形式的波动方程：
E +k E 0
2 2 2
H +k H 0
2
（9-1-4）
其中：
k c
2
c j 1 j
Z(z)=A+ ez + A-ez
2 T E0 ( x, y )+K c 2 E0 ( x, y ) 0 2 T H0 ( x, y )+K c 2 H0 ( x, y ) 0
（9-1-5）
K c c +
2 2
2
（9-1-5）分成纵向成分和横向成分：
2 T E0T ( x, y )+Kc 2 E0T ( x, y ) 0 2 T H0T ( x, y )+Kc 2 H0T ( x, y ) 0 2 T E0z ( x, y )+Kc 2 E0z ( x, y ) 0 2 T H0z ( x, y )+Kc 2 H0z ( x, y ) 0
传播特性
2 2 Γ = K ω μεc , εc 1 i / 传播常数： c
TEM波形中 理想介质： 0, 导电媒质： 0,
0,
Γ = jω με
Γ = jω μεc jω μ 1 j
传播特性
TM/TE波形中
若电磁波沿z轴方向传播,则H=H(z,t),E=E(z,t)。
· 平面电磁波知识结构框图。
9.1 概述
设媒质的介电常数为ε、 磁导率为μ、 电导率 为γ， 对于线性、 均匀和各向同性媒质， ε和 μ都是标量常数。 除非特别说明， 一般我们 均假定媒质是线性、 均匀和各向同性。
在线性、 均匀和各向同性的无源媒质 中， 麦克斯韦方程为
（9-1-6-1） （9-1-6-2） （9-1-6-3） （9-1-6-4）
如果纵向成分已知，可通过以下公式求得横向成分（P294）：
E0 z H 0 z 1 E x 2 ( j ) Kc x y E0 z H 0 z 1 H x 2 ( j ) Kc y x E0 z H 0 z 1 E y 2 ( j ) Kc y x E0 z H 0 z 1 H y 2 ( j ) Kc x y
式（9-1-2）和式（9-1-3）称为一般波 动方程, 这些方程支配着无源均匀导电 媒质中电磁场的行为。 在二阶微分方程 中， 一阶项的存在, 表明电磁场在导电 媒质中的传播是有衰减的（有能量损 耗）。 因此导电媒质称为有耗媒质。
令电磁波沿纵向Z轴传播：
E （x, y,z）=E0 ( x, y ) Z(z) E0x ( x, y )e x E0y ( x, y )e y E0z ( x, y )ez Z(z) E0T ( x, y ) E0z ( x, y )ez Z(z) = ET ( x, y, z ) Ez ( x, y, z )ez
(1)、
Kc2 = ω2 με,
Γ = K c2 - ω2 με i
0
波不能传播
c = Kc / με
(2)、 Kc2 > ω2 με,
c
0 波衰减
K c2 < ω2 με, j ω2 με K c2 j 波能传播 (3)、
c
同时：
2 2 2 2 = 2 2 2 x y z
∇ T2
2 ex 2 z
代入至方程（9-1-4）：
2 2 -Z(z) （T +k 2）E0 ( x, y ) E0 ( x, y ) 2 Z(z) z
故而：
2 2 Z(z) = Z(z) 2 z
第9章 高频电磁场-电磁波
9.0 引言 9.1 波动方程
9.2 无耗媒质中的平面电磁波
9.3 导电媒质中的平面电磁波
9.4 均匀平面电磁波向平面分界面的垂直入射
9.5 波导
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9.0 引言
· · · 电磁波：变化的电磁场脱离场源后在空间的传播。 平面电磁波：等相位面为平面构成的电磁波。 均匀平面电磁波：等相位面上E、H 处处相等的电磁波。
E H E (1) t H E (2) t B 0 H 0 (3) D 0 E 0 (4)
（9-1-1）
对上述方程（2）求旋度，
得
H E t
利用矢量恒等式▽×▽×E=▽(▽·E)-▽2E和▽·E=0， 并将式（9-1-1）的（1）代入得
9.2 无耗媒Βιβλιοθήκη 中的平面电磁波无耗媒质意味着描述媒质电磁特性的电磁参数满足如下条 件：γ=0, ε、μ为实常数。无源意味着无外加场源，即ρ=0， J=0。
9.2.1 无耗媒质中齐次波动方程的均匀平面波解
2 1 E 2 E 2 2 0 v t 2 1 H 2 H 2 2 0 v t 式中 1 /