简谐波

声子不是真实的粒子，称为“准粒子” 它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元 多体系统集体运动的激发单元，称为元激发 在固体中有很多种类型的元激发，处理元激发的理论方法 是相类似的 声子是一种典型的元激发
一维双原子链
一维双原子链可以看成最简单的复式晶格（离子晶体） 每个原胞含两个不同的原子 P 和 Q 在平衡时相邻原子距离为 a，P、Q 的质量分别为 m 和 M 表示 原子限制在沿链的方向运动 偏离格点的位置用 , u2n , u2n1 , 表示 只有相邻原子间存在相互作用，互作用取简谐近似 运动方程为： d 2 u 2n P 原子 m k 2u 2 n u 2 n1 u 2 n1 2 dt d 2 u 2 n 1 Q 原子 M k 2u 2 n 1 u 2 n 2 u 2 n 2 dt
一维无限长链，即 n , ,2,1,0,1,2, ,
~ i t qxn ~ i t nqa ~ 复数波动解 un Ae Ae
x 只取 na 格点的位置
代入运动方程 d 2 un k 2 u 2 u u n 1 n n 1 0 u n 1 2u n u n 1 2 m dt
一维弹性波
晶格具有周期性 晶格的振动模具有波的形式－格波 一维弹簧振子链 一维原子链－格波的典型例子
所有振子的质量都是 m，连接相邻振子弹簧的劲度系数都是 k 每个弹簧的自然长度为 a－平衡时相邻原子距离 第 n 个质点的平衡位置为 xn = na 纵振动 第 n 个质点偏离平衡位置的坐标为 un
A cost qx 0
q
2

波数
简谐波表达式
t x ux, t A cos2 0 A cost qx 0 T
c

T


q
简谐波的复数表示
~ i t qx i t qx 0 ~ u x, t Ae Ae ~ A Aei0 复振幅
Hale Waihona Puke cT c c v波速 c

T
v
振源 (x = 0) 的振动为
ux 0, t A cost 0
波向正向传播
• 其它质点必定作同一频率的振动 • 无能量损耗 每个质点的振幅都等于振源的振幅 A • 各个质点振动“步调”并不一致 位置 x 处质点的振动比振源有所推迟 x 推迟的时间就是波从振源传到该点所需的时间 c x ux, t A cos t 0 A cos t 0 c 2 x t x A cos t 0 A cos2 0 T c T
在各向同性介质中，从点源发出的波沿各方向传播的速度是一 样的，所以波面呈同心球状，称为球面波
用平面波源产生的波动，波面是平行平面，这种波称为平面波
一维简谐波的描述
• 振动是运动状态随时间变量作周期性变化 • 波动是运动状态既随时间变量、又随空间变量作周期性变化 令 u 代表运动状态的变量，是时空变量 t、x 的函数 u ux, t
x 表示空间任意一点
x 只取 na 格点的位置
一系列呈周期性排列的点 一个格波解表示所有原子同时作频率为ω的振动 不同原子之间有位相差，相邻原子之间的位相差为 aq 格波与连续波的重要区别在于波数 q 的涵义 • 把 aq 改变一个 2π的整数倍，所有原子的振动完全没有任 何不同 • 波长λ小于晶格常数 a 是没有意义的
u~x
t = 0、t1、t2 时刻 u 随传播距离 x 的变化情况
空间周期性 在一个周期内振动状 态传播的距离叫做波 长λ
u 既可以是纵向的位移，也可 以是横向的位移，并不表示 u 与 x 垂直
u~t
x = 0、x1、x2 位置，u 随时间 t 的变化情况
时间周期性 振动的相位每增加一个 2π所需时间为周期 T 波长、波速和频率的基本关系：





k m M mM
2
m M 2 4mM sin 2 qa
mM k mM
4m M 2 sin qa 1 1 2 m M
~ 2 B m 2k 相应的 A 和 B 的解为： ~ 2k cos qa A




有解的条件是
m 2 2k 2k cos aq
2
2k cos aq 0 2 M 2k
m
2k M 2 2k 4k 2 cos2 qa
m M 4 2k m M 2 4k 2 1 cos2 qa m M 4 2k m M 2 4k 2 sin 2 qa 0
如果λ< a
qa 2
a
qa 令s为 的整数部分 2 q' a qa 2s
nq 'a nqa 2 ns

2 qa q' a qa 令 的小数部分为 s 1 2 2 2
e e e ~ i t nqa ~ 对于 q 和 q’ 无区别 q 和 q’ 等价 un Ae
~ i t nqa ~ i t nqa ~ i t n1qa 2 ~ i t n1qa Ae 0 Ae 2 Ae Ae 2 ~ i t 0 A e e i n 1qa 2e inqa e i n 1qa 2 ~ i t nqa iqa 0 Ae e 2 e iqa 2 ~ i t nqa 1 i i 1 cos qa cos e e 2 0 A e 2 2 ~ i t nqa 2 qa 4 0 A e sin 2
2
长声学波频率正比于波数 长声学波：把一维链看作连续介质 ~ B q 0 0 ~ A 1 原胞中两种原子的运动是完全一 致的，振幅和位相没有差别
长波极限
光学波ω+ 的长波极限
mM k mM
2
4m M 2 sin qa 1 1 2 m M
格波解
格波解
~ i t qx2 n ~ it 2nqa ~ u2n Ae Ae ~ i t qx2 n1 ~ it 2n1qa ~ u2n1 Be Be
x2n = 2na x2n+1 = (2n+1)a
~ ~ iqa 2~ iqa m A k 2 A B e e ~ ~ iqa 2~ iqa M B k 2 B A e e
由格波解可知相邻原胞之间（原胞为2a）的位相差为2aq
q 的取值只需限制在 2aq

2a
q

2a
一维双原子链的布里渊区 此范围内任意的 q 有两个格波解，它们的频率分别为ω+ 和ω格波解可以有任意的振幅和位相，但两种原子振动的振幅比和 位相差是确定的
mM k mM
当 q 远小于 ，相当于波长λ>> a a
1 20 sin qa 0 a q 2 c 0 a q
波速与波数（或波长λ）无关 －声波
波长很大时，晶格可看成连续介质，长波极限相当于连续介质 的弹性波
声子
简正模 简正坐标 量子理论 每种简正振动的能级是量子 化的，能量激发的单元是 q 声子－格波的量子，它的能量等于 q 一个格波－一种振动模，称为一种声子 当电子（或光子）与晶格振动相互作用，交换能量以 q 为单位 • 若电子从晶格获得 q 能量，称为吸收一个声子 • 若电子给晶格 q 能量，称为发射一个声子
2
4m M 2 sin qa 1 1 2 m M
ω～q分为两支ω+ 和 ω• 属于ω+ 的格波称为光学波 • 属于ω- 的格波称为声学波
q≈0 的长波极限性质
ω+
ω-
长波极限
mM 4m M 2 sin qa 声学波ω- 的长波极限 k 1 1 2 mM m M 4m M 4m M 2 2 q0 sin qa qa 1 2 2 m M m M 2k 2k 2 2 q aq a 将ω- 展开 mM m M
一维单原子链
每个弹簧中的弹性力正比于相邻质点之间距离的增量 各质点的运动方程为
d 2 un m k u n1 u n k u n u n1 2 dt d 2 un k 2 u 2 u u n 1 n n 1 0 u n 1 2u n u n 1 2 m dt
nqa
a a • 在此范围以外的 q 值，并不能提供 其它不同的波 • q 的取值范围称为布里渊区


q

每一个可能的 q 都是一个简正模 在 q 的取值范围内，ω的取值范围从 0 到 2ω0
20 sin qa
1 2
单个弹簧振子的固有角频率为ω0，弹簧振子链把这单一的固有频 率展开成一个宽度为2ω0的简正模固有频带
2






与 n 无关 所有质点对应的方程都归结为同一个方程 固体物理中，把ω与 q 之间的关系称为色散关系 ω(q) 由于ω是 q 的偶函数 取正根
qa 4 sin 2
2 2 0 2
1 20 sin qa 2
连续波
格波
~ i t qx ~ un Ae ~ i t qxn ~ i t nqa ~ un Ae Ae
~ B 2k m q 0 ~ M mM A mM
两种原子振动有完全相反的位相 长光学波的极限实际上是 P 和 Q 两个格子的相对振动，振动 中保持质心不变