人大版线性代数第四版上课课件
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线性代数课本课件
最小二乘法的计算实例
直线拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 直线方程。
多项式拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 多项式方程。
非线性拟合的计算实例
通过最小二乘法结合适当的变换，拟合非线 性模型。
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04 特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和 非零n维列向量x，使得Ax=λx成
立，则称λ是A的特征值。
特征向量
对应于特征值λ的满足Ax=λx的非 零向量x称为A的对应于特征值λ的 特征向量。
特征空间
对应于同一特征值的所有特征向量 （包括零向量）的集合，加上零向 量后构成的线性子空间称为特征空 间。
线性方程组的应用举例
线性规划问题
图像处理
线性方程组可用于描述和解决线性规划问 题，如资源分配、生产计划等。
在计算机图像处理中，线性方程组可用于 图像滤波、图像恢复等任务。
机器学习
电路分析
在机器学习领域，线性方程组常用于线性 回归、逻辑回归等模型的参数求解。
在电路分析中，线性方程组可用于描述电路 中的电流、电压等物理量之间的关系，从而 进行电路分析和设计。
向量的线性组合关系不变。
线性变换的性质
02
线性变换具有保持线性组合、保持线性相关等性质，同时线性
变换的核与像也是重要的概念。
线性变换的运算
03
线性变换之间可以进行加法和数量乘法运算，同时线性变换的
逆变换和复合变换也是常见的运算。
线性空间的基与维数
基的概念
线性空间中的一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向 量，称为该线性空间的基。
线性代数课件PPT
线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数第四版课件 4-1,2
P{X=k}= 1/n , k=1,2,…,n
于是
1 1 (1 n)n n 1 E(X) k 2 2 n n k 1
n
２．常见r.v离散型的数学期望 (1)若 X ~ ( ) , 则 E ( X ) , (2)若 X ~ b(n, p) , 则 E ( X ) np.
二、连续型随机变量的数学期望 1.定义 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 如果积分
xf ( x)dx
绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
E ( X ) x f ( x )dx
注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的 积分.
例2 设Ｘ的概率密度为
例5 设随机变量 X , Y 的联合概率密度为
6 xy, f x, y 0, 0 x 1,0 y 21 x ， 其它。
试计算 解
E X 和 E XY 。
EX
1
由定义
xf x, y dxdy
y 4000 1 1 (4 x y ) dx 3 y dx 2000 y 2000 2000 1 (2 y 2 14000y 8(4 y 14000) 0, dy 2000
d 2 E (Y ) 4 显然 0 2 2000 dy
4 x 3 , 0 x 1 f ( x) 其它 0,
求E(Ｘ). 解 E(X)
xf ( x)dx x 4 x 3 dx
1 0
4 x 4 dx
0
1
4 5
２．常见r.v连续型的数学期望
ab （1）若X ~ U (a, b), 则E ( X ) 2 (2) 若 Ｘ服从指数分布, 其概率密度为
《线性代数》课件
《线性代数》PPT课件
通过本PPT课件，帮助您深入了解线性代数的原理和应用，从基本概念到实例 讲解，全面提升您的线性代数知识。
课程介绍
了解线性代数的重要性和应用领域，介绍课程内容和学习目标。
基本概念和定义
1 向量
2 矩阵
介绍向量的定义和性质， 包括向量的运算和几何 表示。
解释矩阵的概念、矩阵 的运算和特殊类型的矩 阵。
对角化
探索对角化矩阵的定义和性质，以及 如何对角化一个矩阵。
应用物理学等领域中的应用实例，激发学习者对线性代数的兴趣和学习 动力。
介绍高斯消元法解线性方程组 的步骤和应用。
矩阵表示
讲解线性方程组的矩阵表示和 矩阵方程的求解。
向量空间
深入研究向量空间的定义和性质，探讨基、维数和子空间的相关概念。
特征值和特征向量
1
特征向量
2
解释特征向量的概念和性质，以及特
征向量与特征值之间的关系。
3
特征值
介绍特征值的定义和求解，以及特征 值的几何意义和应用。
3 行列式
探讨行列式的计算和性 质，以及行列式在线性 代数中的应用。
矩阵运算
加法与减法
介绍矩阵的加法和减法运算， 以及相关的性质和规则。
数乘
详细讲解数乘运算的定义和 性质，以及数乘对矩阵的影 响。
乘法
解释矩阵的乘法运算，包括 矩阵乘法的定义和运算法则。
线性方程组
什么是线性方程组？
高斯消元法
解释线性方程组的概念和解法， 包括矩阵法和消元法。
通过本PPT课件，帮助您深入了解线性代数的原理和应用，从基本概念到实例 讲解，全面提升您的线性代数知识。
课程介绍
了解线性代数的重要性和应用领域，介绍课程内容和学习目标。
基本概念和定义
1 向量
2 矩阵
介绍向量的定义和性质， 包括向量的运算和几何 表示。
解释矩阵的概念、矩阵 的运算和特殊类型的矩 阵。
对角化
探索对角化矩阵的定义和性质，以及 如何对角化一个矩阵。
应用物理学等领域中的应用实例，激发学习者对线性代数的兴趣和学习 动力。
介绍高斯消元法解线性方程组 的步骤和应用。
矩阵表示
讲解线性方程组的矩阵表示和 矩阵方程的求解。
向量空间
深入研究向量空间的定义和性质，探讨基、维数和子空间的相关概念。
特征值和特征向量
1
特征向量
2
解释特征向量的概念和性质，以及特
征向量与特征值之间的关系。
3
特征值
介绍特征值的定义和求解，以及特征 值的几何意义和应用。
3 行列式
探讨行列式的计算和性 质，以及行列式在线性 代数中的应用。
矩阵运算
加法与减法
介绍矩阵的加法和减法运算， 以及相关的性质和规则。
数乘
详细讲解数乘运算的定义和 性质，以及数乘对矩阵的影 响。
乘法
解释矩阵的乘法运算，包括 矩阵乘法的定义和运算法则。
线性方程组
什么是线性方程组？
高斯消元法
解释线性方程组的概念和解法， 包括矩阵法和消元法。
线性代数课件
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
类似地， 类似地，消去 x1，得
（a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 ,
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时， 方程组有唯一解为
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = . ， x2 = a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21
观察结果 （1）每项都是位于不同行不同列的元素的乘积． （2）每项行标都是自然排列，列标都是1,2,3的某个 排列，列标为偶排列则该项符号为＋，否则为－
(3)每项的通式： 1)t a1 j1 a2 j2 a3 j3 , t为j1 j2 j3的逆序数 (−
类似地：
a11 D= a21 a12 = a11a22 − a12 a21 a22
b1a22 a23 + a12 a23b3 + a13b2 a32 − b1a23a32 − a12 b2 a33 − a13a22 b3 x1 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31 a11b2 a33 + b1a23a31 + a13a21b3 − a11a23b3 − b1a21a33 − a13b2 a31 x2 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31 a11a22 b3 + a12 b2 a31 + b1a21a32 − a11b2 a32 − a12 a21b3 − b1a22 a31 x3 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
线性代数人大版课件4.1
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
an1 xn x1 an 2 xn x2 ann x
2 n
二次型用和号表示
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn )
f X T AX
解：
A
把对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩 解：
9
2 2 2 (2) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 2 x2 7 x4 2 x1 x2 2 x2 x3 4 x3 x4
2 an1,n1 xn 1 2a n 1,n x n 1 x n 2 ann xn
都是 次型 都是二次型。 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
f ( x , y , z ) 2 x 2 y 2 xz yz
不是二次型。 f ( x, y) 2 x 2 y2 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
称为二次型。（1）
3
4
§ 4.1
只含有平方项的二次型
基本概念
2 2 2 f k1 y1 k 2 y2 k n yn
§ 4.1
取 aij a ji 则（1）式可以表示为
§ 4.1
基本概念
§ 4.1
基本概念
3
2012-12-4
§ 4.1
基本概念
人大版线性代数第四版上课课件
x1 = D1 = − 19 = 19 D − 10 10
x1 + 3 x 2 = 1 2 x1 − 4 x 2 = 5
D − 10 10 三元线性方程组
(1 )
D=
1
3
2 −4
= −10
a11 a12 a13 D = a21 a 22 a 23 a31 a 32 a 33
称为三阶行列式
a11 当 D = a 21 a 31
a12 a 22 a 32
D1 x 1 = D D2 x 2 = D D3 x 3 = D
a13 方程组(1)有唯一解： (1)有唯一解 a 23 ≠ 0 时，方程组(1)有唯一解： － a 33 a11 a12 a13 ＋ a 21 a 22 a 23 a11 a12 a13 a 31 a 32 a 33 － D = a 21 a 22 a 23 － a 31 a 32 ＋ 33 a
辅导用书: 辅导用书 高等代数（第三版）， ），北京大学数学系 １、 高等代数（第三版），北京大学数学系 几何与代数小组编．高等教育出版社． 几何与代数小组编．高等教育出版社． 线性代数辅导及习题精解》 ２、《线性代数辅导及习题精解》 人大第三版 罗剑、滕加俊编著． 罗剑、滕加俊编著．陕西师范大学出版社 线性代数习题集》胡显佑、 ３、《线性代数习题集》胡显佑、彭勇行主编 南开大学出版社 经济数学基础（ 线性代数）， ４、 经济数学基础（第二分册 线性代数）， 龚德恩主编．四川人民出版社． 龚德恩主编．四川人民出版社．
Dj = ⋅ ⋅ ⋅
a 21
j = 1,2 ,⋅ ⋅ ⋅ n
⋅⋅⋅ a n1
怎样算？ (1) D = ? 怎样算？ (2) 当 D ≠ 0 时， 方程组⑵ 一解？ 方程组⑵是否有唯 一解？ 若方程组⑵ (3) 当D ≠ 0 时，若方程组⑵有唯一 解，解是否 可以表示成
线性代数第四讲PPT课件
1 1 0 -5 D
记 Aij =(－1)i+j Mij , Aij 称为元素 aij 的代数余子式。
2020/11/23
2
a11 a12 a13 a14 例如四阶行列式 D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
元素 a32 的余子式是：
a11 a13 a14 M32 a21 a23 a24 ,
3A11 5A12 3A13 27.
2020/11/23
6
3 5 3 例2 计算行列式 D 0 1 0
7 72
解 按第二行展开，得
D1(1)223 3 72
27.
2020/11/23
7
例3 计算行列式
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
保留 a33 ，把第 3 行其余元素变为 0 ，然后按 3 行展开：
40.
2020/11/23
10
例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 xn
x22 xn2 (xi xj ). (1 )
nij1
比如
x1n1 x2n1 xnn1
1 1 11
4 - 1 3 2 120 16 1 9 4
64 - 1 27 8
2020/11/23
11
例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1
x1 Dn x12
1 1
x2 xn
x22 xn2 (xi xj ). (1 )
nij1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
线性代数(人大版)
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定义27(逆矩阵) 对于n阶矩阵A 如果存在n阶矩阵B 使得 ABBAI
I是n阶单位矩阵 那么矩阵A称为可逆矩阵 简称A可逆 并称 B为A的逆矩阵 逆阵的唯一性
如果A可逆 则A的逆矩阵是唯一的 我们把矩阵A唯一的逆矩阵记作A1 单位矩阵的逆矩阵是其本身
《线性代数》(第四版)教学课件
§25 逆矩阵
解一元线性方程axb 当a0时 存在一个数a1 使xa1b 为方程的解 那么在解矩阵方程Axb时 是 否也存在一个矩阵 使x等于这个矩阵左乘b 这是我 们要讨论的逆矩阵中的一个问题
《线性代数》(第四版)教学课件
首页 上一页 下一页 结束
定义27(逆矩阵) 对于n阶矩阵A 如果存在n阶矩阵B 使得
11 22
00 55
55
AA1122
22 33
00 55
1100
AA1133
22 33
21 22
77
A21
0 2
1 5
2
A22
1 3
1 5
2
A23
1 3
0 2
2
A31
0 1
1 0
1
A32
1 2
1 0
2
A33
1 2
0 1
1
5 2 1 于是得 A* 10 2 2
7 2 1
ABBAI I是n阶单位矩阵 那么矩阵A称为可逆矩阵 简称A可逆 并称 B为A的逆矩阵
逆阵的唯一性
如果A可逆 则A的逆矩阵是唯一的
因为如果B和B1都是A的逆矩阵 则有
于是
ABBAI AB1B1AI BBI B(AB1) (BA)B1 IB1 B1
线性代数第四版课件 1-4
个球都等可能地落入到N 解 n 个球都等可能地落入到 个格子中,应有
Nn 种可能的方法,所以基本事件总数为 Nn . 事件A 事件 所含的基本事件数为 n!
n 事件B 事件 所含的基本事件数为 CN n! n n n! C N n! AN 故 P ( A) = n , P (B ) = n = n . N N N
加法原理
设完成一件事有m种方式， 完成一件事有 种方式， 第一种方式有n1种方法， 第一种方式有 种方法， 第二种方式有n 种方法, 第二种方式有 2种方法 则完成这件事总共 有 n1 + n2 + … + nm 种方法 .
…； ；
种方式有n 第m种方式有 m种方法, 种方式有 种方法
无论通过哪种方法都可以完成这件事. 无论通过哪种方法都可以完成这件事
S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} A={HTT,TTH,THT} B={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT} 3 7 P ( A) = , P ( B ) = 8 8
概率论
例 从 9 件 品、 次 的 子 任 两 , 4 有 正 3件 品 箱 中 取 次
概率论
排列: 2、排列: 个不同的元素中按顺序 从n个不同的元素中按顺序取m个排成一列称为 个不同的元素中按顺序取 个排成一列称为 一个排列.( .(m>0) 一个排列.( ) 由乘法原理: 由乘法原理: (1)有放回地选取(允许重复):所有可能排列个数为 (1)有放回地选取(允许重复):所有可能排列个数为 n 有放回地选取 ):
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
定义 若随机试验满足下述两个条件： 若随机试验满足下述两个条件： 它的样本空间只有有限多个样本点； (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； 每个样本点出现的可能性相同. (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为等可能概型或古典概型. 称这种试验为等可能概型或古典概型.
线性代数ppt课件
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
(完整版)《大学线性代数》PPT课件
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结束
a11 a12 … a1n
a21
…
a22 … a2n … ……
=
(-1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn 。
an1 an2 … ann
n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的 项各占一半。
在行列式中，a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行不同列
结束
例2．计算 n 阶下三角形行列式D的值： a11 0 0 … 0 a21 a22 0 … 0
D = a31 a32 a33 … 0 … … … …… an1 an2 an3 … ann
其中aii0(i=1, 2, , n)。
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取a11，第二行只能取a22，第三行只能取a33， ， 第 n 行只能取ann。 这样不为零的乘积项只有
结束
对换：
在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调， 就得到另一个排列 i1 it is in ，这样的变换称为一个 对换，记为对换(is , it)。
例如，排列 21354 经对换(1, 4)，得到排列24351。 提问：
排列 21354 经对换 (1, 4)，得到的排列是 24351， 排列的奇偶性有无变化？ 提示：
的 n 个元素的乘积。
a1 j1 a2 j2 anjn 之前的符号是 (-1) N(j1 j2 jn) 。
行列式有时简记为| a ij |。一阶行列式|a|就是a。
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四阶行列式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
线性代数(人大版)
(1)若ABAC 则BC (2)若ABCB 则AC (3)若ABO 则BO (4)若BCO 则BO
解 (3)若ABO 在等式两边左乘以A1 有
A1AB A1O
即
IBO
于是有 BO
(4)设
B
1 0
1 0
C
1 1
0 0
那么有
BC
1 0
1 0
1 1
0 0
0 0
00
显然有 BCO 但BO
《线性代数》(第四版)教学课件
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例2 矩阵 A1
1 0 1 判断矩阵 A 2 1 0 是否可逆 若可逆 求其逆
3 2 5
10 1 解 因| A| 2 1 0 2 0 所以 A 可逆
3 2 5
因为
5 2 1 A* 10 2 2
7 2 1
所以
A1
|
1 A
1 k
A1
(3)两个同阶可逆矩阵A B的乘积是可逆矩阵 且
(AB)1B1A1
(4)若矩阵A可逆 则A的转置矩阵AT也可逆 且
(AT )1(A1)T
(5)若矩阵A可逆 则|A1||A|1
说明 因为AT(A1)T(A1A)TITI
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逆矩阵的性质
(1)若矩阵A可逆 则A1也可逆 且(A1)1A
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定义27(逆矩阵) 对于n阶矩阵A 如果存在n阶矩阵B 使得 ABBAI
I是n阶单位矩阵 那么矩阵A称为可逆矩阵 简称A可逆 并称 B为A的逆矩阵 逆阵的唯一性
如果A可逆 则A的逆矩阵是唯一的 我们把矩阵A唯一的逆矩阵记作A1 单位矩阵的逆矩阵是其本身
解 (3)若ABO 在等式两边左乘以A1 有
A1AB A1O
即
IBO
于是有 BO
(4)设
B
1 0
1 0
C
1 1
0 0
那么有
BC
1 0
1 0
1 1
0 0
0 0
00
显然有 BCO 但BO
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例2 矩阵 A1
1 0 1 判断矩阵 A 2 1 0 是否可逆 若可逆 求其逆
3 2 5
10 1 解 因| A| 2 1 0 2 0 所以 A 可逆
3 2 5
因为
5 2 1 A* 10 2 2
7 2 1
所以
A1
|
1 A
1 k
A1
(3)两个同阶可逆矩阵A B的乘积是可逆矩阵 且
(AB)1B1A1
(4)若矩阵A可逆 则A的转置矩阵AT也可逆 且
(AT )1(A1)T
(5)若矩阵A可逆 则|A1||A|1
说明 因为AT(A1)T(A1A)TITI
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逆矩阵的性质
(1)若矩阵A可逆 则A1也可逆 且(A1)1A
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定义27(逆矩阵) 对于n阶矩阵A 如果存在n阶矩阵B 使得 ABBAI
I是n阶单位矩阵 那么矩阵A称为可逆矩阵 简称A可逆 并称 B为A的逆矩阵 逆阵的唯一性
如果A可逆 则A的逆矩阵是唯一的 我们把矩阵A唯一的逆矩阵记作A1 单位矩阵的逆矩阵是其本身
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a n1 an 2 ann
例1 :
计 算D
1 0 1 2
1 0 2 1 1 2 2 1 1 0 1 0
的 值.
解:
1 1 0 0 1 1 D 1 2 1 2 1 1 1 1 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2
2 2 0 0
1 1 0 2 0 1 1 2
a nn
a n1 a n 2 a nn
推论 : 行列式某一行(列)的每个元素都写成 m个 数之和(m 2),则此行列式可写成 m个行列式的和.
如
a1 b1 a 2 b2 a 3 b3
a1 2 1 b1 2 1 3 0 a 2 3 0 b2 3 0 1 5 a 3 1 5 b3 1 5
行列式的性质
, 即DT D. 性质1 : 将行列式转置, 行列式的值不变
将行列式D的行和列互换后得到的 行列式,
称为D的转置行列式.记为DT 或D.
a11 a 21 D a n1
a12 a 22
a1n a2n
a n 2 a nn
a11 a 21 a12 a 22 T D a1 n a 2 n
a 11 a 12 (列 a 1) 的每个元素都写成 m个数 n 推论 :行列式的某一行
a a1nn2
a in a sn a nn
a nn a a12 a1n 11 a1n a1n a11 a12 a a ka ai 1 ka ka s1 i2 s2 in sn cin ci 1 ci 2 bin a a a s1 s2 sn a nn 2 a nn a n1 a n
a n1 an2 a nn
用定义证明！
证明:
a11
a12 a 22
a1 n a2n j
b1n
(行列式D的等价定义1)
j jn 取遍
N ( j1 j2 jn ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anj n
a 21 D a ij a n1
(2)
0 1 1 2
2 1 1 0
2 2 (1) 4 2 1 0 1 1 0 2 0 2
0 3 1 4
1 0 0 3 0
1 1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 2
2 2 (1) 4 2
1 1 0 2 0 1 1 2 0 0 2 4
a11 ai 1 D a s1 a n1
a12 ai 2 as2 an 2
a1n a in
a11
a12
a1 n
D1 a sn ( s行) ai 1
( i行 ) a s 1
as 2 asn (i行 ) ai 2 ain( s行)
a1n a in ka sn a sn a nn
证明：
a11 a i 1 kas1 a s1 a n1
a12 as 2 an 2
a11
a1n a sn a nn
a12
a i 2 kas 2 a in kasn
N ( j1 j2 jn )
j1 j 2 j n 取遍
所有的 n级排列
a1 j1 aiji anj n k a i 1 a n1
, 推论 1 :如果行列式某行(列)的所有元素有公因子 则公因子可提到行列式 的外面 .
推论2 : 如果行列式有两行 (列)的对应元素成比例 , 则行列式的值为零 .
T
(m 2 之和 ),则此行列式可写成 m个行列式的和. bi 1 bi 2 c i 2 bin ( c in i 1 将行列式某一行 性质 5c: 列 )的所有元素同乘以数 k (列) 后加于另一行 对应元素上 , 行列式的值不变 .
a11a n1a12 a11 a12 a a i1 i2 bi 1 bi 2 a a s 2 s1 a n1 a n 2 a n1 a n 2
1 2 n 1 i n
N ( j1 j2 jn )
a1 j1 biji anj n (1) N ( j j j ) a1 j cij anj
a1n
a11
a12 ci 2
a1n c in
bin c i1
a n1 a n 2 D1 D2
0
0
0
2
1 (1) (2) (2) 4 解题方法：数字型以及 某些字母型行列式的计 算往往
化为三角形行列式 . a11 0 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a 31 a 32 a 33 ( ) a11 a41 a42 a43
a 21 a ( ) 11 a11 0 0 a41 ( ) 0 a11
a 11 a i1 D a s1 a n1 a 12 ai2 a s2 a n2 a1n a 11 a 12 a in (i行)a i 1 ka s1 a i 2 ka s 2 a sn ( s行) a s1 a s2 a nn a n1 a n2
a14 a 24 a 34 a44
a12 b22 b32 b42
a13 b23 b33 b43
a14 b24 b34 b44
性质1 : 将行列式转置 , 行列式的值不变 ,即D D. (列), 行列式的值变号 . 性质 2 : 交换行列式的两行 a 11 如果行列式中有两行 a 12 a 1 n a11 (a a1 n 推论 : 列 , 12 )对应元素相同 则此行列式的值为零 . 性质 3a: 用数 k 乘以行列式的某一行 (列 ),等于数k a a a a a i1 i2 in i 行 s1 s2 sn . D 乘以行列式 推论 1 a: a12 a1n (列 )所有元素有公因子 , 11 如果行列式某行 a a12 a1n 11 a s 1 a s 2 a sn s行 a i 1 a i 2 a in 则公因子可以提到行列 式的外面 . ka i 2 ka in k a i 1 (列 D1 ka 推论 2: ai ) a in , i 1 如果行列式有两行 2的对应元素成比例 a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn 则行列式的值为零 . 性质4 : 如果将行列式中的某一 行(列)的每一个元素 a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn 都写成两个数的和 , 则此行列式可以写成两 个行列式 的和，这两个行列式分 别以这两个数为所在行 (列) 对应位置的元素，其它 位置的元素与原行列式 相同
a n 2 a nn 所有的n级排列
b12 b22 b2 n
1 2
则
T
b11
所有的n级排列
bij a ji bn1 bn 2 bnn a1n a 2 n a nn N ( j1 j2 jn ) (1) b1 j1 b2 j2 bnj n (行列式D的等价定义2) N ( j1 j2 jn ) j1 j2 jn 取遍 a j1 1a j2 2 a jnn (1)
D1 D 由性质2, D1 D, D D D 0
证明:
(列), 等于数k 性质 3 : 用数k乘以行列式的某一行 乘以行列式。 即若D a ij , 则
a11 D1 kai 1 a n1
a12
a1n
a11
a12 a1n ai 2 a in kD
bi1 a n1
bi 2 an 2
bin c i1 a nn
ci 2 a
c in a
a
证明:
(1)
a11 bi 1
D的一般项可表示为
(1)
a12 bi 2
N ( j1 j2 jn )
a1 j1 (biji ciji )anj n
2
1
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 1 2 3 1 0 5
a1 a2
a3
1 2
b1 b2
b3
c1 c2c33Fra bibliotek01 1 5 2
3 01 1 5 2
3 0 1 5
性质 5: 将行列式某一行 (列)的所有元素同乘以数 k后 加于另一行(列)对应元素上, 行列式的值不变 .
as2
0
... ka sn
a sn
n1
an2
性质1 : 将行列式转置 , 行列式的值不变 ,即D D. (列), 行列式的值变号 . 性质 2 : 交换行列式的两行 a 11 如果行列式中有两行 a 12 a 1 n a11 (a a1 n 推论 : 列 , 12 )对应元素相同 则此行列式的值为零 . 性质 3a: 用数 k 乘以行列式的某一行 (列 ),等于数k a a a a a i1 i2 in i 行 s1 s2 sn . D 乘以行列式 推论 1 a: a12 a1n (列 )所有元素有公因子 , 11 如果行列式某行 a a12 a1n 11 a s 1 a s 2 a sn s行 a i 1 a i 2 a in 则公因子可以提到行列 式的外面 . ka i 2 ka in k a i 1 (列 D1 ka 推论 2: ai ) a in , i 1 如果行列式有两行 2的对应元素成比例 a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn 则行列式的值为零 . 性质4 : 如果将行列式中的某一 行(列)的每一个元素 a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn 都写成两个数的和 , 则此行列式可以写成两 个行列式 的和，这两个行列式分 别以这两个数为所在行 (列) 对应位置的元素，其它 位置的元素与原行列式 相同
例1 :
计 算D
1 0 1 2
1 0 2 1 1 2 2 1 1 0 1 0
的 值.
解:
1 1 0 0 1 1 D 1 2 1 2 1 1 1 1 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2
2 2 0 0
1 1 0 2 0 1 1 2
a nn
a n1 a n 2 a nn
推论 : 行列式某一行(列)的每个元素都写成 m个 数之和(m 2),则此行列式可写成 m个行列式的和.
如
a1 b1 a 2 b2 a 3 b3
a1 2 1 b1 2 1 3 0 a 2 3 0 b2 3 0 1 5 a 3 1 5 b3 1 5
行列式的性质
, 即DT D. 性质1 : 将行列式转置, 行列式的值不变
将行列式D的行和列互换后得到的 行列式,
称为D的转置行列式.记为DT 或D.
a11 a 21 D a n1
a12 a 22
a1n a2n
a n 2 a nn
a11 a 21 a12 a 22 T D a1 n a 2 n
a 11 a 12 (列 a 1) 的每个元素都写成 m个数 n 推论 :行列式的某一行
a a1nn2
a in a sn a nn
a nn a a12 a1n 11 a1n a1n a11 a12 a a ka ai 1 ka ka s1 i2 s2 in sn cin ci 1 ci 2 bin a a a s1 s2 sn a nn 2 a nn a n1 a n
a n1 an2 a nn
用定义证明！
证明:
a11
a12 a 22
a1 n a2n j
b1n
(行列式D的等价定义1)
j jn 取遍
N ( j1 j2 jn ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anj n
a 21 D a ij a n1
(2)
0 1 1 2
2 1 1 0
2 2 (1) 4 2 1 0 1 1 0 2 0 2
0 3 1 4
1 0 0 3 0
1 1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 2
2 2 (1) 4 2
1 1 0 2 0 1 1 2 0 0 2 4
a11 ai 1 D a s1 a n1
a12 ai 2 as2 an 2
a1n a in
a11
a12
a1 n
D1 a sn ( s行) ai 1
( i行 ) a s 1
as 2 asn (i行 ) ai 2 ain( s行)
a1n a in ka sn a sn a nn
证明：
a11 a i 1 kas1 a s1 a n1
a12 as 2 an 2
a11
a1n a sn a nn
a12
a i 2 kas 2 a in kasn
N ( j1 j2 jn )
j1 j 2 j n 取遍
所有的 n级排列
a1 j1 aiji anj n k a i 1 a n1
, 推论 1 :如果行列式某行(列)的所有元素有公因子 则公因子可提到行列式 的外面 .
推论2 : 如果行列式有两行 (列)的对应元素成比例 , 则行列式的值为零 .
T
(m 2 之和 ),则此行列式可写成 m个行列式的和. bi 1 bi 2 c i 2 bin ( c in i 1 将行列式某一行 性质 5c: 列 )的所有元素同乘以数 k (列) 后加于另一行 对应元素上 , 行列式的值不变 .
a11a n1a12 a11 a12 a a i1 i2 bi 1 bi 2 a a s 2 s1 a n1 a n 2 a n1 a n 2
1 2 n 1 i n
N ( j1 j2 jn )
a1 j1 biji anj n (1) N ( j j j ) a1 j cij anj
a1n
a11
a12 ci 2
a1n c in
bin c i1
a n1 a n 2 D1 D2
0
0
0
2
1 (1) (2) (2) 4 解题方法：数字型以及 某些字母型行列式的计 算往往
化为三角形行列式 . a11 0 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a 31 a 32 a 33 ( ) a11 a41 a42 a43
a 21 a ( ) 11 a11 0 0 a41 ( ) 0 a11
a 11 a i1 D a s1 a n1 a 12 ai2 a s2 a n2 a1n a 11 a 12 a in (i行)a i 1 ka s1 a i 2 ka s 2 a sn ( s行) a s1 a s2 a nn a n1 a n2
a14 a 24 a 34 a44
a12 b22 b32 b42
a13 b23 b33 b43
a14 b24 b34 b44
性质1 : 将行列式转置 , 行列式的值不变 ,即D D. (列), 行列式的值变号 . 性质 2 : 交换行列式的两行 a 11 如果行列式中有两行 a 12 a 1 n a11 (a a1 n 推论 : 列 , 12 )对应元素相同 则此行列式的值为零 . 性质 3a: 用数 k 乘以行列式的某一行 (列 ),等于数k a a a a a i1 i2 in i 行 s1 s2 sn . D 乘以行列式 推论 1 a: a12 a1n (列 )所有元素有公因子 , 11 如果行列式某行 a a12 a1n 11 a s 1 a s 2 a sn s行 a i 1 a i 2 a in 则公因子可以提到行列 式的外面 . ka i 2 ka in k a i 1 (列 D1 ka 推论 2: ai ) a in , i 1 如果行列式有两行 2的对应元素成比例 a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn 则行列式的值为零 . 性质4 : 如果将行列式中的某一 行(列)的每一个元素 a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn 都写成两个数的和 , 则此行列式可以写成两 个行列式 的和，这两个行列式分 别以这两个数为所在行 (列) 对应位置的元素，其它 位置的元素与原行列式 相同
a n 2 a nn 所有的n级排列
b12 b22 b2 n
1 2
则
T
b11
所有的n级排列
bij a ji bn1 bn 2 bnn a1n a 2 n a nn N ( j1 j2 jn ) (1) b1 j1 b2 j2 bnj n (行列式D的等价定义2) N ( j1 j2 jn ) j1 j2 jn 取遍 a j1 1a j2 2 a jnn (1)
D1 D 由性质2, D1 D, D D D 0
证明:
(列), 等于数k 性质 3 : 用数k乘以行列式的某一行 乘以行列式。 即若D a ij , 则
a11 D1 kai 1 a n1
a12
a1n
a11
a12 a1n ai 2 a in kD
bi1 a n1
bi 2 an 2
bin c i1 a nn
ci 2 a
c in a
a
证明:
(1)
a11 bi 1
D的一般项可表示为
(1)
a12 bi 2
N ( j1 j2 jn )
a1 j1 (biji ciji )anj n
2
1
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 1 2 3 1 0 5
a1 a2
a3
1 2
b1 b2
b3
c1 c2c33Fra bibliotek01 1 5 2
3 01 1 5 2
3 0 1 5
性质 5: 将行列式某一行 (列)的所有元素同乘以数 k后 加于另一行(列)对应元素上, 行列式的值不变 .
as2
0
... ka sn
a sn
n1
an2
性质1 : 将行列式转置 , 行列式的值不变 ,即D D. (列), 行列式的值变号 . 性质 2 : 交换行列式的两行 a 11 如果行列式中有两行 a 12 a 1 n a11 (a a1 n 推论 : 列 , 12 )对应元素相同 则此行列式的值为零 . 性质 3a: 用数 k 乘以行列式的某一行 (列 ),等于数k a a a a a i1 i2 in i 行 s1 s2 sn . D 乘以行列式 推论 1 a: a12 a1n (列 )所有元素有公因子 , 11 如果行列式某行 a a12 a1n 11 a s 1 a s 2 a sn s行 a i 1 a i 2 a in 则公因子可以提到行列 式的外面 . ka i 2 ka in k a i 1 (列 D1 ka 推论 2: ai ) a in , i 1 如果行列式有两行 2的对应元素成比例 a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn 则行列式的值为零 . 性质4 : 如果将行列式中的某一 行(列)的每一个元素 a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn 都写成两个数的和 , 则此行列式可以写成两 个行列式 的和，这两个行列式分 别以这两个数为所在行 (列) 对应位置的元素，其它 位置的元素与原行列式 相同