线性代数期末复习提纲

★ 线性代数基本内容与方法第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）T A A =； （2）AA 11=-； （3）A k kA n =； （4）1*-=n A A ； （5）B A AB =； （6）B A B A B A ==0**0；（7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n j ij ij ，，01（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、掌握行列式的定义，熟记特殊行列式的值。

2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。

3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算行列式的值。

4、知道并会用克莱姆法则。

第二部分 矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。

2、方阵的行列式。

3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。

4、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。

⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。

⇔0=AX 只有零解⇔b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔A 的特征值全不为零。

⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。

⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。

5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。

6、矩阵秩的概念及其求法（1）定义法；（2）初等变换法；（3）向量组法。

7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。

【要求】1、 掌握矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。

2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。

3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。

4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。

5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。

第三部分 向量组的线性相关性【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b ，向量组A ：n ααα,,,21 ，向量组B ：m βββ,,,21 ，则（1）向量b 可被向量组A 线性表示⇔),,,,(),,,(2121b R R n n αααααα =（2）向量组B 可被向量组A 线性表示⇔),,,,,,,(),,,(212121m n n R R βββαααααα =（3） 向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是：),,,,,,,(),,,(),,,(21212121m n m n R R R βββαααβββααα ==（4）基本题型：判断向量b 或向量组B 是否可由向量组A 线性表示？如果能，写出表达式。

解法：以向量组A ：n ααα,,,21 以及向量b 或向量组B :m βββ,,,21 为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。

2、向量组的线性相关性判别向量组s ααα,,,21 的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（1）向量方程02211=+++s s k k k ααα 只有零解⇔向量组s ααα,,,21线性无关；（2）向量方程02211=+++s s k k k ααα 有非零解⇔向量组s ααα,,,21 线性相关。

方法二：求向量组的秩),,,(21s R ααα（1）秩),,,(21s R ααα 小于个数s ⇔向量组s ααα,,,21 线性相关（2）秩),,,(21s R ααα 等于个数s ⇔向量组s ααα,,,21 线性无关。

（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关⇔以向量组s ααα,,,21 为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关⇔以向量组s ααα,,,21 为列向量的矩阵的行列式为零。

3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。

基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。

4、等价向量组的定义、性质、判定。

5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。

【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。

2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。

3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。

4、掌握向量空间及其基和维数的概念。

第四部分 线性方程组【主要内容】1、齐次线性方程组0=Ax 只有零解⇔系数矩阵A 的秩=未知量个数n ；2、齐次线性方程组0=Ax 有非零解⇔系数矩阵A 的秩<未知量个数n .3、非齐次线性方程组b Ax =无解⇔增广矩阵),(b A B =秩≠系数矩阵A 的秩；4、非齐次线性方程组b Ax =有解⇔增广矩阵),(b A B =秩=系数矩阵A 的秩 特别地，1）增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩=未知量个数n ⇔非齐次线性方程组b Ax =有唯一解；2）增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩< 未知量个数n ⇔非齐次线性方程组b Ax =有无穷多解。

【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。

3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。

4、会求解非齐次线性方程组。

第五部分 相似矩阵及二次型【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。

2、向量的正交关系及正交向量组的含义。

3、施密特正交化方法。

4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。

（1）特征值求法：解特征方程0=-E A λ；（2）特征向量的求法：求方程组()0=-X E A λ的基础解系。

5、相似矩阵的定义（B AP P =-1）、性质(B A ,相似)()(B R A R =→、B A =、BA ,有相同的特征值)。

6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵。

7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）（1）写出二次型的矩阵A .（2）求出A 的所有特征值n λλλ,,,21（3）解方程组0)(=-X A E i λ（n i ,,2,1 =）求对应于特征值n λλλ,,,21 的特征向量n ξξξ,,,21（4）若特征向量组n ξξξ,,,21 不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组n ηηη,,,21 ，记),,,(21n P ηηη =，对二次型做正交变换Py x =,即得二次型的标准形2222211n n y y y f λλλ+++=8、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。

2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。

4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。

5、了解二次型的分类，知道正定二次型等概念及其判定方法。

★★线性代数练习题一、单项选择题1、行列式210834021--中，元素22a 的代数余子式是（A ） 2001 （B ） 2001-- （C ） 2001- （D ） 2001- 2、二阶行列式22b b a a 的值为(A)33b a (B) )(a b ab - (C)33b a - (D)22b a -3、设行列式01110212=-k k ，则k 的取值为（ ）（A ）2 （B ）-2或3 （C ）0 （D ）-3或24、若行列式321321321c c c b b b a a a =1，则321321321a a a b b b c c c =（A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）1-5、设a ，b ，c ，d 为常数，则下列等式成立的是（A ）d b c a b ad c b a ++=2221 （ B ） 111111d b c a d c b a+=++（C ） d c ba d c ba 22222= （D ） 111111d b c a cd ab =6、设n 阶行列式D =n ija ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是(A) 01=∑=n i ij ij A a(B) 01=∑=nj ij ij A a (C) D A an j ij ij =∑=1 (D) D A a ni i i =∑=121 7、设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列各式成立的是（A ） T T T A B AB =)( (B)111)(---=B A AB(C)BA AB = (D) B A B A +=+8、设A 为3阶方阵，且行列式1=A ，则=-A 2(A)-8 (B)-2 (C) 2 (D)89、设B A ,为n 阶方阵且满足O AB =，则(A) O A =或O B = (B) O B A =+ (C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A10、设B A ,为n 阶可逆方阵，则下列各式必成立的是（A ）TT T B A AB =)( （B ）B A AB = （C ）111)(---+=+B A B A （D ）*1A A A =-11、设矩阵()321=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201B ，则=BA(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642000321(B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛601 (C)（1,0,6） (D) 712、设行矩阵()321,,a a a A =, ()321,,b b b B =， 且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=224310121B A T则=TAB（A ） 1 （B ） -1 （C ） 2 （D ） -213、下列命题正确的是 B .（A ）若矩阵B A ,满足O AB =，则有O A =或O B = （B ）若矩阵B A ,满足E AB =，则矩阵B A ,都可逆。

（C ）若*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则nA A =* （D ）若O A ≠，则0≠A14、设B A ,为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则1)(2-BA = (A) 4 (B) 1 (C) 16 (D) 21 15、下列说法不正确的是(A ）相似矩阵有相同的特征值。