2019-2020学年河北省涿鹿县涿鹿中学高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

2019-2020学年河北省涿鹿县涿鹿中学高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知向量()2,1a =-r ，()2,4b =r，()4,2c =-r ，则下列结论正确的是（ ）A ．//a b r r ，//a c r rB ．//a b r r ，a c ⊥r rC ．//a b r r，//b c r rD ．a b ⊥r r，//a c r r【答案】D【解析】由平面向量共线和垂直的坐标表示可得出结果. 【详解】()2,1a =-r Q ，()2,4b =r ，()4,2c =-r ，则2c a =r r ，22140a b ⋅=-⨯+⨯=r r，20b c b a ⋅=⋅=r r r r，因此，//a c r r ，a b ⊥r r ，b c ⊥r r .故选：D. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及共线向量和向量垂直的坐标表示，考查推理能力，属于基础题.2．对任意向量,a b rr ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．a b a b ⋅≤r r r rB ．||a b a b -≤-r r r rC ．22()||a b a b +=+rrrrD ．22()()a b a b a b +-=-r r r r r r【答案】B【解析】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=〈〉≤r r r r r r r r ，所以选项A 正确；当a r 与b r 方向相反时，a b a b -≤-r rr r 不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a b a b a b +-=-r r r r r r ，所以选项D 正确．故选B ．【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．3．已知非零向量a v ，b v 满足：()1,1a =v，1b =v ，()a b b -⊥v v v ，则向量a v ，b v 的夹角大小为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【解析】由()a b b -⊥r r r ，()1,1a =r ，1b =r ，求出a b ⋅r r，再由向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由()a b b -⊥r r r ，有20a b b ⋅-=r r r ，则2cos a b b θ=r r r ，有2cos ,0,24b a bπθθπθ===≤≤=r r r . 故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角，属于基础题.4．在ABC ∆中， 19,20,60o b c B ===，那么这样的三角形有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入题中数据化简得220390a a -+=，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得ABC △有两个解． 【详解】解：Q 在ABC △中，19b =，20c =，60B =o ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得：2361400220cos60a a =+-⨯⨯⨯o ，得：220390a a -+=…()*22041392440=-⨯⨯=>QV ，且两根之和、两根之积都为正数，∴方程()*有两个不相等的正实数根，即有两个边a 满足题中的条件．由此可得满足条件的ABC △有两个解． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于基础题．5．已知向量AB =u u u r （2，1），点C （﹣1，0），D （3，2），则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为（ ） AB ．﹣C．D ．【答案】A【解析】运用向量的加减运算可得(4,2)CD =u u u r，运用向量的数量积的坐标表示，以及向量AB u u u r 在CD uuu r方向上的投影，即可得到所求值． 【详解】向量(2,1)AB =u u u r ，点(1,0)C -，(3,2)D ，可得(4,2)CD =u u u r，所以241210AB CD =⨯+⨯=u u u r u u u rg，||CD =u u u r 所以向量AB u u u r 在CD uuu r方向上的投影为||AB CD CD ==u u u r u u u rg u u u r 故选：A ． 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．6．已知a v ，b v 是非零向量，且向量a v ，b v 的夹角为3π，若向量a b p a b =+vv v v v ，则p =vA．2 BC ．3D【答案】D【解析】根据向量的模的定义以及向量数量积定义求解. 【详解】p v===选D. 【点睛】本题考查向量的模的定义以及向量数量积定义，考查基本求解能力，属基本题.7．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（ ）A 323-+ B 323+ C ．31 D 31【答案】B【解析】建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值． 【详解】解：1AC =Q ，3AB =30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛ ⎝⎭． )3,0AB =u u u r，()0,1AC =uu u r，∴13,12AD ⎛=+ ⎝⎭u u u r ． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴132312λμ=⎨⎪=+⎪⎩，∴331λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，231λμ∴+=+故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．8．在ABC ∆中，5,15,30,a b A c ===o 则等于（ ） A ．5B 5C ．255D ．以上都不对【答案】C【解析】在三角形中，根据正弦定理可知3sin B =，233B ππ=或，所以26C ππ=或，再根据正弦定理即可求出c.【详解】在三角形中，由正弦定理sin sin a b A B =知3sin B =，233B ππ=或，所以由内角和定理知26C ππ=或，由正弦定理sin sin a cA C=知，255c =或，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角形中正弦定理的应用，属于中档题.9．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22，∵a ＞c ， ∴C=π6， 故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 10．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为a b c ，，，若sin A ，2a =，ABC S =V b 的值为AB．2C．D．【答案】A【解析】在锐角ABC V 中，利用sin A，ABC S =V 可求得bc ，再利用2a =，由余弦定理可求得b c +，解方程组可求得b 的值． 【详解】∵在锐角ABC V中，sin A =，ABC S =V∴11 223bcsinA bc == ∴3bc =，①又2a =，A 是锐角，∴21cos 1sin 3A A =-=， ∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 即()()22121cos 461123b c a bc A ⎛⎫+=++=++= ⎪⎝⎭， ∴23b c +=②由①②得：233b c bc ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3b c ==． 故选A ． 【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题 11．在ABC ∆中，1,3,2,AB AC BC D ===为ABC ∆所在平面内一点，且2BD AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则BCD ∆的面积为（ ）A ．23B ．3C ．32D ．332【答案】D【解析】由题得ABCD 为矩形，利用三角形面积公式求解即可 【详解】由题可作如图所示的矩形，则易知6BCA π∠=，则3BCD π∠=，则3sin BCD ∠=，所以113sin 2322BCD S BC DC BCD ∆=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯33= 故选D.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，正弦定理，三角形面积公式，是基础题 12．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150o 的等腰三角形D ．顶角为120o 的等腰三角形【答案】D【解析】先利用同角三角函数基本关系得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，结合正余弦定理得222122a cb ac +-=-进而得B ,再利用sin sin 13A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得A 值进而得C ,则形状可求【详解】由题()2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理及余弦定理得222122a cb ac +-=-即()12cos ,0,23B B B ππ=-∈∴=Q 故 sin sin 13A A π⎛⎫+-=⎪⎝⎭整理得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，故,66A B ππ=∴=故ABC ∆为顶角为120o 的等腰三角形 故选D 【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题二、填空题13．若两个非零向量a b r r 、满足2a b a b a +=-=r r r r r ，则向量a r 与a b +r r 的夹角为_____．【答案】60°．【解析】由a b a b +=-r r r r 可得：a b ⊥r r，即可以OA a =uu u r r ，OB b =uuu r r 为边构造一个矩形，利用已知得解． 【详解】解：∵a b a b +=-r rr r ，∴a b ⊥rr，如图，OA a =uu u r r ，OB b =uuu r r ，OC a b =+u u u r r r ，由题意，|OC |＝2|OA |， ∴∠AOC ＝60°，即向量a r 与向量a b +rr 的夹角为60°，故答案为60°． 【点睛】本题主要考查了向量的加、减的三角形法则，还考查了向量模的定义及几何计算，属于中档题． 14．数列12,23,34,45，56,…的一个通项公式为n a =_______． 【答案】1n n + 【解析】分别观察分子分母的特点，归纳出通项公式来. 【详解】 数列12,23,34,4556,…， 观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1， 由此得出该数列的一个通项公式为1n n a n =+． 故答案为：1n n +． 【点睛】本题主要考查利用观察法求解数列的通项公式，发现蕴含的规律是求解的关键.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.【答案】【解析】试题分析：由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.【考点】正弦定理及运用．16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为218c ，则22a b ab+的最大值为________. 【答案】5【解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理，采用整体代换，结合辅助角公式，可得结果. 【详解】 由面积公式得，211sin 28ab C c =， 即24sin c ab C =,由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos 4sin 2cos a b c ab C ab C ab Cab ab ab+++==则224sin 2cos )a b C C C abϕ+=+=+ 其中，1tan 2ϕ=，故当2C πϕ+=时，22a b ab+取得最大值故答案为：【点睛】本题考查解三角形中面积公式，余弦定理的应用，以及对辅助角公式的考查，熟练掌握公式，细心计算，属中档题.三、解答题17．已知向量()()()23212a b m c ===-r r r ，，，，，； （1）若32a b +r r 与3a b -r r 共线，求m ；（2）若b c rr ⊥，求|2a b c -+rrr|.【答案】（1）43；（2【解析】（1）求出32(26,13)a b m +=+r r ，3(23,3)a b m -=--r r ，由32a b +r r 与3a b -r r 共线，能求出m ；（2）由b c r r ⊥，求出(4,2)b =r ，从而2(1,6)a b c -+=-r r r ，由此能求出|2|a b c -+r r r．【详解】解：（1）()322613a b m +=+r r ，，()3233a b m -=--r r，， ∵32a b +rr与3a b -rr共线，∴﹣3（2m +6）﹣13（2﹣3m ）＝0，解得43m =； （2）∵b c r r⊥∴40b c m ⋅=-+=r r，解得m ＝4，∴()42b =r，，∴()216a b c -+=-r r r，，∴237a b c -+=r r r．【点睛】本题主要考查向量平行与垂直的坐标运算，属于基础题．18．如图所示，在BOC ∆中，C 是以A 为中点的点B 的对称点，2OD DB =u u u r u u u r，DC 和OA 交于点E ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r.（1）用a r 和b r 表示向量OC u u u r 、DC u u u r； （2）若OE OA λ=u u u r u u u r，求实数λ的值.【答案】（1）2OC a b =-u u u r r r ，523DC a b =-u u u r r r ；（2）45λ=.【解析】（1）根据平面向量加减运算的三角形法则可得出OC u u u r 、DC u u u r 关于a r 、b r的表达式；（2）利用向量减法的三角形法则可得出()2EC a b λ=--u u u v vv ，设EC kDC =u u u r u u u r ，可建立有关λ、k 的方程组，即可解出实数λ的值. 【详解】（1）由题意知，A 是线段BC 中点，且2233OD OB b ==u u u r u u u r r.2OC OA AC OA BA OA OA OB a b =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ， ()252233DC OC OD a b b a b =-=--=-u u u v u u u v u u u v v v v v v ；（2）()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=--u u u v u u u v u u u v v v v Q v v，由题可得//EC DC u u u r u u u r，且523DC a b =-u u u r r r ，设EC kDC =u u u r u u u r ，即()5223a b k a b λ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭v v v v ，则有22513k k λ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得4535k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，45λ=. 【点睛】本题考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及共线向量、平面向量基本定理，考查方程思想的应用，属于中等题.19．已知,,a b c 分别为ABC V 三个内角,,A B C 的对边，sin cos c C c A =-. （1）求A ；（2）若M 是上BC 一点，且2BC MC =u u u r u u u u r，3b =，2AM =，求a 的值. 【答案】（1）3π；（2）3【解析】（1）首先根据正弦定理得到sin sin sin cos C A C C A =-，再由辅助角公式得到1sin()62A π-=，即可求出A 的值. （2）首先根据题意得到M 是BC 中点，即1()2AM AC AB =+u u u u r u u u r u u u r，再平方即可得到3c =，再利用余弦定理即可求出a 的值.【详解】（1）在ABC V 中由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，∴sin sin sin cos C A C C A =-，∵sin 0C >，得：1sin cos A A =-，即1sin()62A π-=∵5(,)666A πππ-∈-，∴66A ππ-=，∴3A π=.（2）∵2BC MC =u u u r u u u u r，∴M 是BC 中点，1()2AM AC AB =+u u u u r u u u r u u u r .则2221(2)4AM AC AB AB AC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ，∴代入得：22211(323)42c c =++⨯⨯⨯， 即23180c c +-=，∴3c =或6c =-（舍）.在ABC V 中，2222cos 99233cos 93a b c bc A π=+-=+-⨯⨯=∴3a =【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，同时考查了向量的线性运算，属于中档题. 20．ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =v，(2,)n a c b =+v，且m n ⊥u v v .（1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）4. 【解析】试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若m n v v⊥，则有cosB•（2a+c ）+cosC•b=0，结合正弦定理可得cosB•（2sinA+sinC ）+cosC•sinB=0，将其整理变形可得1cos 2B =-，由B 的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a 2+c 2+ac ，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案． 详解：（1）∵m n ⊥，∴()cos 2cos 0B a c C b ⋅++⋅=， ∴()cos 2sin sin cos sin 0B A C C B ⋅++⋅=，∴()2cos sin sin cos cos sin B A C B C B =-⋅+⋅ ()sin sin B C A =-+=-， ∴1cos 2B =-，∴23B π=. （2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2249a c ac =++， 又因为8a c +=，∴()264a c +=，∴22264a c ac ++=，∴15ac =，则1sin 2S ac B =⋅=. 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.21．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C cos 2sin A C+=.（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △的面积为3，求a 的值.【答案】(Ⅰ)23π；(Ⅱ)21. 【解析】（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则23A π=. （Ⅱ）由三角形面积公式可得：4bc =，结合余弦定理计算可得221a =，则21a =.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，，∵，∴，即． ∵∴，∴∴．（Ⅱ）由：可得．∴， ∵，∴由余弦定理得：，∴.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 22．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 33cos 0c A a C +=，3tan(20192)4A π+=. （1）求tan C 的值；（2）若C 为钝角且c 3=△ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）（2）（2【解析】（1）先根据条件求解tan A ，然后结合正弦定理可得tan C ；（2）求解角C ，结合正弦定理表示出三角形的周长，结合角的范围可得周长的取值范围. 【详解】（1）因为3tan(20192)4A π+=， 所以22tan 3tan 21tan 4A A A ==-.A ∈（0，π）. 解得1tan 3A =或tan 3A =-.因为cos cos 0c A C +=，所以sin cos cos 0C A A C +=，所以tan C A =-=.（2）若C为钝角，所以tan C =C ∈（0，π）. 所以23C π=.又c =，所以A +B 3π=，2sin sin sin 3a b A B ===. 所以2sin ,2sin a A b B ==.△ABC的周长＝2sin 2sin A B ++2sin 2sin()3A A π=+-+2sin()3A π=++A ∈（0，3π），A 3π+∈（3π，23π），所以sin()3A π+∈. 所以△ABC的周长的范围为2. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理求解三角形，三角形中的范围问题一般是转换为角的表达式，然后根据角的范围求解，侧重考查数学运算的核心素养.。