图形折叠问题

专题六 图形的折叠问题
折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。

轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

1. 如图，D E ，分别为ABC △的A C ，B C 边的中点，将此三角形沿D E 折叠，使点C 落在A B
边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则A P D ∠等于________________
2. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A D B '∠=____________________
3. 在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折
叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为__________________ 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为
5. 已知，把矩形AOBC 放入平面直角坐标系xoy 中，使OB ，OA 分别落在x 轴、y •轴上，点
A 的坐标为（0，
2，连结AB ，∠OAB=60°，将△ABC 沿AB 翻折，使C •点落在该坐标平面的D 处，AD 交x 轴于E ，则D 点坐标为_______________________ 6. 如图,矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上,点B 的坐标为B(
3
20 ，5),D 是边AB
上的一点,将△ADO 沿直线OD 翻折,使点A 恰好落在对角线OB 上的点E 处,若点E 在一反比例函数的图象上则该函数的解析式是
7. 在长为4宽为3的矩形纸片ABCD 中，先沿对角线BD 对折，点C 落在C ′位置，BC ′交
AD 于G ，.再折一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于M.，则折痕EN=__________.
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 A '
B D
A
C D
D
A
C B
A '
8. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A ´处，若∠A ´BC ＝20°，则∠A ´BD 的度数为
_________________
9. 在△ABC 中，已知AB ＝2a ，∠A ＝30°，CD 是AB 边上的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△
ABC 的面积的14
，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以
等于
32
a 2
；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等.其中正确结论的个
数是( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10. 如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y
轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知折痕55=CE ,且4
3tan =∠EDA ，
求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
11. 将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，•
边AB 折叠后与BC 边交于点G ．如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2a ，问△CMG 的
周长是否与点M 的位置有关？若有关，请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由．
A B
D
C
M
E
G
F
12. 如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E. （1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG+PH 的值，并说明理由.
13. 已知：在矩形AOBC 中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所
示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B,C 重合），过F 点的反比例函数
)0(>=
k x
k y 的图象与AC 边交于点E ．请探索：是否存在这样的点F ，使得将△CEF 沿
EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
14. 在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的边长为6，两边OA 、OC 分别落在坐标轴上，点E
在射线BC 上，且BE=2CE ，将△ABE 沿直线AE 翻转，点B 落在点B 1处。

（1）请在图中作出点B 1及翻转后图形.（2）求点B 1的坐标。

15. OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴
上，OA ＝10，OC ＝6. (1)如图1，在OA 上选取一点G ，将△COG 沿CG 翻折，使点O 落
在BC 边上，记为E ，求折痕CG 所在直线的解析式.
(2)如图2，在OC 上选取一点D ，将△AOD 沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ′. ①求折痕AD 所在直线的解析式；②再作E ′F ∥AB ，交AD 于点F ，若抛物线y=-112
x 2
+h 过点F ，
求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD 的交点的个数.
(3)如图3，一般地，在OC 、OA 上选取适当的点D ′、G ′，使纸片沿D ′G ′翻折后，点O 落在BC 边上，记E ″.请你猜想：折痕D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么关系?用(1)中的情形验证你的猜想.
图1 图2 图3。