2016_2017学年高中数学第1章计数原理3组合第1课时组合与组合数公式课后演练提升
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修23
(4)冠 、亚军是有顺序的，是排列问题． (5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺 序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1 枪，有顺序，是排列问题.
类型 2 组合数的计算
[典例 2] (1)计算：C9979＋C9989＋C91900＝________； (2)求值：C5n－n＋C9n－＋n1＝________； (3)解不等式 C4n>C6n. 解析：(1)C9979＋C9989＋C91900＝C91800＋C91900＝C91901＝C2101＝ 101×100 2×1 ＝5 050.
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1．2.2 组合
第 1 课时 组合与组合数公式
[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念(重点)． 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单 的组合问题(重点、难点)．
1．组合的概念 (1)组合：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组，叫作从n不同元素中取出m个元素的一 个组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元 素的组合数，用符号Cnm表示．
2．下列计算结果为 21 的是( )
A．A24＋C26 B．C77
C．A27
D．C27
解析：C27＝72× ×61＝21.
答案：D
3．下面几个问题中属于组合问题的是________． ①由 1，2，3，4 构成的双元素集合；②由 1，2，3 构成两位数的方法；③由 1，2，3 组合无重复数字的两位 数的方法． 解析：①中选出的两个元素构成集合，与顺序无关，
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
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随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
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【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
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方法三 原式＝C33＋C32＋C42＋C52＋…＋C1002 ＝C43＋C42＋C52＋…＋C1002 ＝C53＋C52＋…＋C1002＝…＝C1013 ＝166 650.
3n≥38－n>0， ① 21＋n≥3n>0， ② 由①得348≤n<38，由②得0<n≤221. ∴348≤n≤221，又n∈N*，∴n＝10. 即f(n)定义域为{10}．
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(2)由题设不等式，得
10！
10！
（n－3）！（13－n）！ < （n－2）！（12－n）！
10！ <（n－1）！（11－n）！.
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5．若 Cn＋22＝14An＋13，求 n.
解析 由 Cn＋22＝14An＋13，得
（n＋2）！ （n＋2－2）！
2！＝14·（（n＋n＋1－1）3）！！，
即n（nn＋－21）＝12，解得 n＝－1(舍)或 n＝4.
故 n＝4.
第42页
第6页
3．组合数、组合数公式及组合数性质 (1)组合数符号表示为Cnm，如从4个不同元素取出3个元素的 组合数为C43； (2)“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是指 “从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素合成一组”，它不 是一个数，而是具体的一件事；组合数是指从n个不同元素中取 出m个元素的所有组合的个数，它是一个数；
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(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有 多少种可能？
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第一课时组合与组合数公式[对应学生用书P10][例1](1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？[思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．[精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．[一点通] 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？ (6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ 解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关． (4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关． (5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．[例2] 1073100200(3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .[思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决． [精解详析] (1)原式＝C 410－A 37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N ＋，∴n ＝10.∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131 ＝30×292×1＋31＝466. [一点通] (1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明．2．若C 2n ＝28，则n 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：∵C 2n ＝n ！2！n －！＝n n －2＝28，∴n (n －1)＝56，即n ＝8. 答案：B3．若C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n 的值为________． 解析：由已知，得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2·n ！5！n －！＝n ！4！n －！＋n ！6！n －！， 整理，得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14. 要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.答案：914．证明：C mn ＝n mC m －1n －1. 证明：∵n m·C m －1n －1＝n m·n －！m －！n －－m －！＝n ！[mm －！n －m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ，∴C mn ＝n mC m －1n －1成立.[例3] (12分) (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[思路点拨] 先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值． [精解详析] (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝分)(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 11C 27＝7×62×1＝21.分)(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35.分)[一点通] 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 27A 13种D ．C 27C 13种解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成： 第一步，选女工，有C 13种选法； 第二步，选男工，有C 27种选法． 故有C 13C 27种不同选法． 答案：D6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C 410＝210种分组方法． 答案：2107．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C 210＝45种．(2)从6名男教师中选2名有C 26种选法，从4名女教师中选2名有C 24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C 26C 24＝90种．1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m 个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算C mn 时，若m ＞n2，通常使用C m n ＝C n －mn 转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .[对应课时跟踪训练四1．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ ③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． 其中是组合问题的有( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．答案：C2．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4解析：∵A 3n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n n －2.解得n ＝8.答案：A3．下列四个式子中正确的个数是( ) (1)C m n＝A mn m ！；(2)A m n ＝n A m －1n －1；(3)C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m ；(4)C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为C m n＝n ！m ！n －m ！＝1m ！·n ！n －m ！＝A mnm ！，故(1)正确；因为n A m －1n －1＝n ·n －！n －m ！＝n ！n －m ！＝A mn ，故(2)正确；因为C mn ÷C m ＋1n ＝n ！m ！n －m ÷n ！m ＋！n －m －！＝n ！m ！n －m ！×m ＋！n －m －！n ！＝m ＋1n －m， 故(3)正确． 因为Cm ＋1n ＋1＝n ＋！m ＋！n －m ！，n ＋1m ＋1Cmn＝n ＋1m ＋1·n ！m ！n －m ！＝n ＋！m ＋！n －m ！，所以C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n ，故(4)正确．答案：D4．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1， 所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案：C5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12.答案：126．方程C x 28＝C 3x －828的解为________．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．计算：(1)C 58＋C 98100C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55.解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. 8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．。
1.3.1组合与组合数公式课件
[思路探索] 属于组合与排列的区分问题，看问题有无次序要求． 解 (1)集合中的元素具有无序性，顺序无关是组合问题． (2)两人握手与顺序无关是组合问题．
(3)学习小组的人与顺序无关是组合问题．
(4)将名额分给5个班，只与每班分得名额个数有关，属组合问题．
规律方法
区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8. (3)证明 n－1！ n n m C－＝ · n－m n 1 n－m m！n－1－m！
n！ ＝ ＝C m n. m！n－m！ 规律方法 求解与组合数有关的方程，不等式及证明问题时，要
应用组合数的公式，并注意其成立的条件．
序排列还是无序地组在一起，区分有无顺序的方法是把问题的一 个选择结果解出来，然后交换这个结果的任意两个元素的位置，
看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问
题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【变式1】 有8盆不同的花， (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆； (2)从中选出2盆放在教室里． 以上问题中，哪一个是组合问题？哪一个是排列问题？ 解 (1)从8盆花中，选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关，故属排列问题． (2)从8盆花中，选出2盆放在教室的放法与顺序无关，故属组 合问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
3．组合数公式
m nn－1n－2…n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ m！ m！n－m！ m
规定：C0 n＝1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式．
m A n m m m 提示 Cm · A ＝ A ，即： C ＝ . m n m n n Am
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式 新人教A版选
12345
解析 答案
规律与方法
1.排列与组合的联系与区别 (1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素. (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序.
2.关于组合数的计算 (1)涉及具体数字的可以直接用公式 Cmn ＝AAmmnm＝nn－1n－m2！…n－m＋1 计算； (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cmn ＝m！nn！－m！计算. (3)组合数的两个性质： 性质 1：Cmn ＝Cnn－m； 性质 2：Cmn＋1＝Cnm＋Cmn －1.
第一章 1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式
学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用 组合数公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 组合的定义
思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除； ②从3,5,7,11中任取两个数相乘. 以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？ 答案 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需 排列.
跟踪训练 2 (1)计算 C34＋C35＋C36＋…＋C32 017的值为
A.C42 017
B.C52 017
√C.C42 018－1
D.C52 017－1
解析 C34＋C35＋C36＋…＋C32 017
＝C44＋C34＋C35＋C36＋…＋C32 017－C44
＝C45＋C35＋…＋C32 017－1＝…
解答
类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例 2 (1)计算 C410－C37·A33； 解 原式＝C410－A37＝140××39××28××17－7×6×5＝210－210＝0.
组合与组合数公式
第一章 计数原理
解：小组赛中每组 6 队进行单循环比赛，就是每组 6 支球队的 任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛 2C26＝30(场)． 半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名 主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛 2A22＝4(场)． 决赛只需比赛 1 场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛 30＋4＋1＝35(场)．
栏目 导引
第一章 计数原理
2．若 C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝363，则正整数 n＝________． 解析：由 C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝363， 得 1＋C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝364， 即 C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝364. 又 Cnm＋Cnm－1＝Cmn＋1，则 C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝C34＋C24＋C25＋…＋C2n＝C35＋C25＋ C26＋…＋C2n＝…＝C3n＋1，所以 C3n＋1＝364，
栏目 导引
第一章 计数原理
组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求 n 个元素是不 同的；(2)“只取不排”，即取出的 m 个元素与顺序无关，无序 性是组合的特征性质．
栏目 导引
2．组合数的概念、公式、性质
第一章 计数原理
组合数定 义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的
所有不同组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中取
栏目 导引
第一章 计数原理
解简单的组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组 合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间 的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． [注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
高中数学第一章计数原理3组合第1课时组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？ 解 每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序
区别的.
解答
(3)从1,2,3，„，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位 数共有多少个？ 解 是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便 会得到不同的三位数. (4)从1,2,3，„，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有 多少个？ 解 是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序， 其构成的集合都不变.
100×99 98 199 2 1 C100＋C200＝C100＋C200＝ ＋200＝5 2
150.
解析
答案
3 3 3 (2)计算 C3 ＋ C ＋ C ＋ „ ＋ C 4 5 6 2 015的值为
A.C4 2 015
4 C.C2 016－1
B.C5 2 015
5 D.C2 015－1
解析
3 3 3 C3 ＋ C ＋ C ＋ „ ＋ C 4 5 6 2 015
2 由分步乘法计数原理，可得商的个数为 C2 A 4 2 ＝12.
答案
思考2
你能得出 C2 4 的计算公式吗？
答案
2 A 4 2 2 2 因为 A2 ＝ C A ，所以 C ＝ 2＝6. 4 4 2 4 A2
答案
梳理
所有组合的个数，叫 组合数定 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______________
解答
(2)求证：Cm n＝
m＋1 m＋1 Cn＋1 . n＋1
证明
m＋1 m＋1 因为右边＝ Cn＋1 n＋1
m＋1 n＋1！ n！ m ＝ · ＝ ＝Cn ， n＋1 m＋1！n－m！ m！n－m！ 左边＝Cm n ，所以左边＝右边，所以原式成立.
高中数学选修课件：组合与组合数公式
从n个不同元素中取出m（m≤n，m与n均为自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合数公式推导过程
推导过程
考虑从n个元素中取出m个元素的所有可能情况，这相当于对n个元素进行全排 列，然后除以m个元素的全排列和剩余(n-m)个元素的全排列，以消除排列中 的重复情况。
进行快速计算。
组合的应用
在概率统计、排列组合问题、 编码理论等领域有广泛应用。
易错点剖析及注意事项
区分排列与组合
排列是有顺序的，而组合是无顺序的。在计算时，要注意题目要求的 是排列数还是组合数。
注意组合数的范围
由于组合数是从n个元素中取出m个，因此必须满足0≤m≤n的条件， 否则组合数无意义。
阶乘的计算
解答题思路剖析
仔细审题
明确题目要求，理解题意。
制定解题计划
根据题目条件和所学知识，制定详细的解 题步骤和计划。
执行解题计划
检查答案
按照计划逐步进行计算和推导，注意每一 步的正确性和合理性。
对答案进行检验和审查，确保没有遗漏和错 误。如果答案不符合题目要求，需要重新检 查和修正解题过程。
05 练习题巩固提高
证明组合数恒等式
利用组合数的性质和递推关系可以证 明一些组合数恒等式，如范德蒙德恒 等式等。
在概率统计中作用
计算事件概率
在概率论中，组合数经常用于计 算一些事件的概率，如超几何分
布、二项分布等。
抽样问题
在统计学中，组合数也常用于解决 一些抽样问题，如从总体中抽取一 定数量的样本进行检验等。
人教版高中数学选修23教材用书第一章计数原理1.22组合第一课时组合与组合数公式
1．2.2 组合第一课时组合与组合数公式组合与组合数从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．问题1：所得商和积的个数相同吗？提示：不相同．问题2：它们是排列吗？提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．1．组合一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．组合定义的理解(1)组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的．(2)无序性是组合的特点，取出的m个元素是不讲顺序的，也就是说元素没有位置的要求．(3)只要两个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.组合数公式从1,3,5,7中任取两个数相除．问题1：可以得到多少个不同的商？提示：A24＝4×3＝12个不同的商．问题2：如何用分步法求商的个数？提示：第1步，从这四个数中任取两个数，有C 24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A 22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C 24A 22.问题3：由问题1、问题2你能得出计算C 24的公式吗？ 提示：能．因为A 24＝C 24A 22，所以C 24＝A 24A 22＝6.问题4：你能把问题3的结论推广到一般吗？提示：可以，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数可由以下两个步骤得到： 第1步，从这n 个不同元素中取出m 个元素，共有C mn 种不同的取法； 第2步，将取出的m 个元素全排列，共有A mm 种不同的排法． 由分步乘法计数原理知，A m n＝C m n·A m m，故C m n＝A m nA m m.组合数公式组合数公式乘积形式C m n＝A mn A m m＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！阶乘形式C mn ＝n ！m ！n －m ！性质 ①C m n ＝C n －mn ；②C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n备注 ①n ，m ∈N *，m ≤n ； ②规定C 0n ＝1，C nn ＝1组合数公式C mn ＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！的分子是连续m 个正整数n ，n －1，n －2，…，(n －m ＋1)的乘积，即从n 开始减小的连续m 个自然数的积，而分母是1,2,3，…，m 的乘积．当含有字母的组合式要进行变形论证时，利用此公式较为方便．组合的有关概念 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？(1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的．(2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．(3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一学科的代表是有顺序区别的．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示．由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.与组合数有关的计算(1)计算：C410－C37·A33；(2)若1C3n－1C4n<2C5n，求n的取值集合．(1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)由6n n－1n－2－24n n－1n－2n－3<240n n－1n－2n－3n－4，可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12.又n∈N*，且n≥5，所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}．所以n的取值集合为{5,6,7,8,9,10,11}．在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算C mn 时，若m 比较大，可利用性质①，不计算C m n 而改为计算C n －mn ，在计算组合数之和时，常利用性质②.1．计算：C 58＋C 98100·C 77. 解：原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.2．求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195中的n 的值． 解：原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3，即n －1n －2n －3n －4n －55！＝145·n －3n －4n －53！，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得n＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．简单的组合问题5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加．(1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．解答简单的组合问题的方法 (1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为C 210＝10×92×1＝45. (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种选法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种选法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法．3.关注组合数中字母的取值范围已知：1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求m 的值．依题意，m 的取值范围是{m |0≤m ≤5，m ∈N *}． 因为m ！5－m ！5！－m ！6－m ！6！＝7×m ！7－m！10×7！，化简得m 2－23m ＋42＝0， 解得m ＝21或m ＝2. 因为0≤m ≤5，m ∈N *， 所以m ＝21舍去，所以m ＝2.1．运用组合数公式转化为关于m 的一元二次方程后，易忽略0≤m ≤5的取值范围，导致错误．解这类题目时，要将C mn 中m ，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求解．2．应用组合数性质C m n＝C p n可以得到m＝p或m＋p＝n两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了m＋p＝n的情况，从而导致错误．已知C x－212＝C 2x－412，则x的值是( )A．2 B．6 C.12D．2或6解析：选D 根据组合数性质C m n＝C n－mn可得若C m n＝C p n，则{0≤m≤n，0≤p≤n，m＝p或m＋p＝n，根据题意得{0≤x－2≤12，0≤2x－4≤12，x－2＝2x－4或x－2＋2x－4＝12.解得x＝2或x＝6.1．方程C x28＝C3x－828的解为( )A．4或9 B．4C．9 D．其他解析：选A 当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．14 B．24C．28 D．48解析：选A 从6人中任选4人的选法种数为C46＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14.3．计算：C4850＋C4950＝____________.解析：C4850＋C4950＝C4951＝C251＝51×502×1＝1 275.答案：1 2754．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：先给甲组选4人，有C410种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为C410＝210.答案：2105．7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选．解：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有不同的选法种数为C310＝120.(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有不同的选法种数为C510＝252.(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选的选法种数为C512－C310＝672.一、选择题1．某乡镇共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该乡镇内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A．4 B．8C．28 D．64解析：选C 由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建C28＝28条公路．2．已知C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于( )A．14 B．12C．13 D．15解析：选A ∵C7n＋1＝C8n＋1，∴7＋8＝n＋1，∴n＝14.3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )A．252种 B．112种C．20种 D．56种解析：选B 每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C27＋C37＋C47＋C57＝112种分配方案．4．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是( )A．C310C35 B．C410C25C．C515 D．A410A25解析：选B 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C410C25种抽法．5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A．20 B．9C．C39 D．C24C15＋C25C14解析：选B 分两类：第1类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 14个平面；第2类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 15个平面．故可确定C 14＋C 15＝9个不同的平面．二、填空题 6．从0,1，2，π2，3，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y ＝x tan α＋b 的倾斜角和截距，可组成________条平行于x 轴的直线．解析：要使得直线与x 轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可，故有C 15＝5条满足条件．答案：57．不等式C 2n －n <5的解集为________． 解析：由C 2n －n <5，得n n －12－n <5，∴n 2－3n －10<0.解得－2<nn ≥2，且n ∈N *，∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}8．设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，则集合A 中含有3个元素的子集共有________个． 解析：从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的子集，则共有C 35＝10个子集． 答案：10 三、解答题9．计算：(1)C 47＋C 4850·C 99； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； (3)C n n ＋1·C n －1n .解：(1)原式＝C 37＋C 250×1＝7×6×53×2×1＋50×492×1＝35＋1 225＝1 260.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)法一：原式＝C nn ＋1·C 1n ＝n ＋1！n ！·n ＝n ＋1·n ！n ！·n ＝(n ＋1)·n ＝n 2＋n .法二：原式＝(C nn ＋C n －1n )·C n －1n ＝(1＋C 1n )·C 1n ＝(1＋n )·n ＝n 2＋n .10．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类： 第1类是3男2女，有C 36C 24种选法； 第2类是2男3女，有C 26C 34种选法； 第3类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类加法计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法．11．判断下列问题是组合问题还是排列问题，然后再算出问题的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段？如果连成有向线段，共有多少条？(3)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？解：(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从集合{0,1,2,3,4}中取出3个数的组合．这是一个组合问题，组合的个数是C 35＝5×4×33×2×1＝10，所以子集的个数是10.(2)由5个点中取两个点恰好连成一条线段，不用考虑这两个点的次序，所以是组合问题，组合数是C 25＝5×42×1＝10，连成的线段共有10条．再考虑有向线段问题，这时两个点的先后排列次序不同对应两个不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 25＝5×4＝20，所以有向线段共有20条．(3)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题．排列数是A 29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法．选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题．组合数是C 29＝9×82×1＝36，所以不同的选法有36种．。
高中数学第1章计数原理3组合课件选修23高二选修23数学课件
12/6/2021
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(2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法． 根据分类计数原理，共有 C26＋C24＝15＋6＝21 种不同选法．
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第二十六页，共三十七页。
1．组合定义再理解 (1)组合要求 n 个元素是不同的，被取出的 m 个元素也是不同的． (2)无序性是组合的特点，取出的 m 个元素是不讲顺序的，也就 是说元素没有位置的要求． (3)只要两个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何， 都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才 是不同的组合．
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3．组合数公式
(1)C
m n
＝
AAmnmm＝
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） _______________m__！___________________，
这
里
m，n∈N*，并且 m≤n.一般用于求值计算．
(2)Cmn ＝m！（nn！－m）！，一般用于化简证明．
第1章 计数(jìshù)原理
1．3 组 合
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第1章 计数(jìshù)原理
1.了解组合的概念． 2.理解组合数的计算公式及 其推导应用． 3.掌握解决简单组合的实际问题．
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1．组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素并成一组，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． 2．组合数的定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组_合__(z_ǔ_hé_)的__个__数__， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号__C__mn __ 表示．
高中数学第1章计数原理3组合课件选修23高二选修23数学课件
第二十七页，共三十七页。
2．组合与排列的相同点和不同点 相同点：都要从“n 个不同元素中取出 m 个元素”． 不同点：组合是“不管顺序合成一组”，而排列是“按照一定 顺序排成一列”． 3．应用组合数公式的注意问题 (1)组合数公式是在 n，m∈N*，并且 m≤n 时成立，m＞n 时不 成立． (2)Cn0＝1 是一种规定，不能用组合数的定义进行解释．
答案：3
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组合概念的理解 下列问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ (1)从 a，b，c，d 四名学生中选 2 名学生完成一项工作，有多少 种不同的选法？ (2)从 a，b，c，d 四名学生中选 2 名学生完成两项不同的工作， 有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需要赛多少 场？
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(4)是有限制条件的组合问题． 用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生的情况，即得到 符合题意的情况，由题意可知，不可能 6 人全是女生，所以只 需排除全是男生的情况，因此适合题意的 选法共有 C613－C68＝1716－28＝1688(种)．
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(4)a，b，c，d 四支足球队争夺冠亚军(不允许并列)，有多少种 不同的结果？ (5)某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪中恰有 3 枪连中， 不同的结果有多少种？
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【解】 (1)2 名学生完成的是同一工作，没有顺序，是组合问 题． (2)2 名学生完成两项不同的工作，有顺序，是排列问题． (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序， 是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题． (5)命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，即连中 3 枪和单中 1 枪，有顺 序，是排列问题． 所以(2)(4)(5)是排列问题，(1)(3)是组合问题．
2019_2020学年高中数学第1章计数原理3组合(第1课时)组合与组合数公式课件北师大版
法二：从 5 人中选出 2 人参加英语竞赛，剩余 3 人参加数学竞赛， 共 C25＝5×2 4＝10(种)不同选法．
经求解发现 C35＝C25.推广到一般结论有 Cnm＝Cnn－m.
2．从含有队长的 10 名排球队员中选出 6 人参加比赛，共有多少 种选法？
[提示] 共有 C610＝160××59××48××37××26××15＝210(种)选法．
组合数的性质 [探究问题] 1．试用两种方法求：从 a，b，c，d，e 5 人中选出 3 人参加数 学竞赛，2 人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能 得到一般结论吗？ [提示] 法一：从 5 人中选出 3 人参加数学竞赛，剩余 2 人参加 英语竞赛，共 C35＝53××42××31＝10(种)选法．
及
具
体
数
字
的
可
以
直
接
用
n n－m
C
m n－1
＝
n－n m·m！nn－ －11－！m！＝m！nn！－m！＝Cmn 进行计算.
2涉及字母的可以用阶乘式 Cnm＝m！nn！－m！计算.
2．求使 3Cxx－ －73＝5A2x－4成立的 x 值． [解] 根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3·x－x－73！！4！＝5·xx－ －46！ ！， 即34x－！3＝x－5 6，即为(x－3)(x－6)＝40. ∴x2－9x－22＝0，解得 x＝11 或 x＝－2. 经检验知 x＝11 时原式成立．
(2)从 7 本不同的书中，取出 5 本给某个同学，在每种取法中取 出的 5 本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是 排列问题．
(4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．
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2016-2017学年高中数学第1章计数原理 3 组合第1课时组合与组合数公式课后演练提升北师大版选修2-3
一、选择题
1．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有( ) A．30种B．360种
C．720种D．1 440种
解析：本题属排列问题，表面上看似乎带有附加条件，但实际上这和6个人站成一排照相一共有多少种不同排法的问题完全相同，所以不同的排法总数为A66＝6×5×4×3×2×1＝720(种)．
答案： C
2．C1250等于( )
A．C1251＋C1150B．C1149＋C1049
C．C1351－C1350D．C1150＋C1250
解析：由组合数性质可知C1250＋C1350＝C1351，
∴C1250＝C1351－C1350.
答案： C
3．从5名学生中选出2名或3名学生会干部，不同选法共有( )
A．10种B．30种
C．20种D．40种
解析：可分两类：选2名的共有C25＝10种；选3名的共有C35＝10种，故共有10＋10＝20种．
答案： C
4．以下四个式子中正确的个数是( )
①C m n＝
A m n
m！
；②A m n＝n A m－1n－1；③C m n÷C m＋1n＝
m＋1
n－m
；④C m＋1
n＋1＝
n＋1
m＋1
C m n.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①式显然成立；②式中A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A m－1n－1＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
所以A m n＝n A m－1n－1，故②式成立；
对于③式C m n÷C m＋1
n＝C m n
C m＋1 n ＝
A m n· m＋1 ！
m！·A m＋1n
＝
m＋1
n－m
，
故③式成立；
对于④式C
m ＋1n ＋1
＝A m ＋1n ＋1 m ＋1 ！＝ n ＋1 ·A m
n m ＋1 m ！＝n ＋1m ＋1
C m
n ， 故④式成立，故选D ． 答案： D 二、填空题
5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝____________.
解析： ∵m ＝C 2
4，n ＝A 2
4， ∴m ∶n ＝1
2.
答案： 1
2
6．A 2
3＋A 2
4＋A 2
5＋…＋A 2
100＝____________. 解析： 方法一：原式＝C 23A 2
2＋C 24A 2
2＋…＋C 2
100A 2
2 ＝(C 2
3＋C 2
4＋…＋C 2
100)·A 2
2
＝(C 3
3＋C 2
3＋C 2
4＋C 2
5＋…＋C 2
100－C 3
3)·A 2
2 ＝(C 3
4＋C 2
4＋C 2
5＋…＋C 2
100－C 3
3)·A 2
2 ＝(C 3
5＋C 2
5＋…＋C 2
100－C 3
3)·A 2
2 ＝……
＝(C 3
101－C 3
3)·A 2
2＝(C 3
101－1)·A 2
2 ＝2C 3101－2＝33
3 298. 方法二：由C m n ＋1＝C m n ＋C m －1
n . ∴C m －1n ＝C m n ＋1－C m n ，∴C 23＝C 34－C 3
3，
C 2
4＝C 3
5－C 3
4，C 2
5＝C 3
6－C 3
5，…，C 2
100＝C 3
101－C 3
100， 以上各式都相加得：C 2
3＋C 2
4＋C 2
5＋…＋C 2
100＝C 3
101－C 3
3， ∴A 2
3＋A 2
4＋A 2
5＋…＋A 2
100＝(C 2
3＋C 2
4＋…＋C 2
100)·A 2
2 ＝(C 3
101－C 3
3)·A 2
2
＝(C 3
101－1)·A 2
2＝333 298. 答案： 333 298 三、解答题
7．判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)50个同学聚会，两两握手，共握手多少次？
(2)从50个同学中选出正、副班长各一人，有多少种选法？ (3)从50个人中选3个人去参加同一种劳动，有多少种不同的选法？ (4)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼，有多少种选法？
解析： (1)(2)都是选出2人，但握手与两人的顺序无关，而正、副班长的人选都与顺序有关．
故(1)是组合问题，(2)是排列问题；(3)(4)都是选出3人，但参加同一劳动没有顺序，而到三个学校参加毕业典礼却有顺序，
故(3)是组合问题，(4)是排列问题． 8．(1)已知C 3n ＋6
18＝C 4n －2
18，求n ； (2)化简C 5
5＋C 5
6＋C 5
7＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10. 解析： (1)∵C 3n ＋6
18＝C 4n －2
18
∴3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋4n －2＝18， ∴n ＝8或n ＝2
又∵⎩⎪⎨
⎪⎧
3n ＋6≤184n －2≤18
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
n ≤4n ≤5
∴n ≤4，∴n ＝2
(2)C 5
5＋C 5
6＋C 5
7＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10 ＝C 6
6＋C 5
6＋C 5
7＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10 ＝C 6
7＋C 5
7＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10 ＝C 6
8＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10 ＝C 6
9＋C 5
9＋C 5
10 ＝C 6
10＋C 5
10 ＝C 611＝462.
尖子生题库 ☆☆☆
9．(1)解方程：20C n n ＋5＝4(n ＋4)C n －1n ＋3＋15A 2
n ＋3； (2)解不等式：x C x －2x ＋1≤2C x －1
x ＋1.
解析： (1)因为20C n n ＋5－4(n ＋4)C n －1
n ＋3 ＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 5
n ＋5－15 n ＋4 C 4n ＋3
＝20(C 5
n ＋5－C 5
n ＋4)＝20C 4
n ＋4， 所以20C 4
n ＋4＝15A 2
n ＋3， 即
20 n ＋4 n ＋3 n ＋2 n ＋1
4！
＝15(n ＋3)(n ＋2)，
解得n ＝2或n ＝－7(舍去)． ∴原方程的解为n ＝2. (2)由组合数的意义可知
⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤x －2≤x ＋10≤x －1≤x ＋1，得x ≥2.
原不等式可以化为x x ＋1 ！ x －2 ！3！≤2· x ＋1 ！ x －1 ！·2！
，
∴x 6≤1x －1
，∴x 2
－x －6≤0. ∴－2≤x ≤3，又x ≥2，∴2≤x ≤3，而x ∈N ＋， ∴x ＝2或x ＝3
∴原不等式的解集为{2,3}．。