信号系统-2

传输算子
b pm +⋯+ b 0 H( p) = n m p + an−1 pn−1 ⋯ + a0 ⋯
pn + an−1 pn−1 ⋯ + a0 = 0 ⋯
1）自然频率全部为单根： ）自然频率全部为单根： 2）自然频率含重根： ）自然频率含重根： p1=p2…=pr，其余单根
y0 (t) = ∑Ae pit i
第二章 连续系统时域分析
2-1 二阶电路时域模型与分析 一、 RLC串联电路零输入响应 串联电路零输入响应
t<0 , K在1,电路稳定Байду номын сангаас有 电路稳定， 在 电路稳定
uc (0− ) = Us
i(0− ) = 0
可得
d 2uc R duc 1 + + uc = 0 2 dt L dt LC
di iR + L + uc = 0 dt du 又 i =C c dt
i1(0+ ) = K1 + K2 = 2 ′ i1(0 ) = −K1 − 3K2 = 1
+
2 + p −1 [z] = −1 2 + p
p 1 = −1
p 2 = −3
i1 ( t ) = K 1e − t + K 2 e −3 t
K1 =
7 3 , K2 = − 2 2
7 −t 3 −3t i1(t) = ( e − e )A 2 2 7 −t 3 −3t i2 (t) = ( e + e )A 2 2
R>2 L C
（自然频率、固有频率） 自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼 即 、单根： 过阻尼 过阻尼)
uc = Aep1t + Bep2t + Us
2、重根：(临界阻尼 即 R = 2 C 、重根： 临界阻尼 临界阻尼)
L
uc = (A + Bt )ept + Us
3、共轭复根：(欠阻尼 即 R < 2 、共轭复根： 欠阻尼 欠阻尼)
∴
K1 = 6, K2 = −4, K3 = −5
y 0 ( t ) = 6 e − t − 4 e − 3 t − 5 te
−3 t
系统时域响应为
t > 0
13
例2：图示电路，已知：i1(0-) =2A， ：图示电路，已知： ， i’1(0+)=1A/s ；求 i1(t) 、i2(t) 和i3(t)。 。 由算子电路， 解： 由算子电路，有
1 1 L 2 p i2 + R 2 pi 2 − i1 + i2 = pf 2 C C
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3、传输算子 、
电路参数如图所示， 电路参数如图所示，则整理算子方程为
( p 2 + p + 1) i1 − i 2 = pf 1
− i1 + ( 2 p 2 + p + 1)i 2 = pf 2
可得
p (2 p 2 + p + 1) p f2 i1 = f1 − 3 2 3 2 p(2 p + 3p + 4 p + 2) p ( 2 p + 3 p + 4 p + 2)
L C
−αt
α=
R 2L 1 LC
ωd = ω02 −α2 ω0 =
uc = Ae
cos(ωdt +θ ) +Us
演示实例
6
2-2 连续系统时域描述 一、微积分方程： 微积分方程：
di di 1 1 df L1 12 + R1 1 + i1 − i 2 = 1 dt dt C C dt
2
di1 1 R1i1 + L1 + ∫ (i1 − i 2 )dτ = f1 dt C di 2 1 L2 + R 2i 2 + ∫ (i 2 − i1 )dτ = f 2 dt C
uc = A p1t + Bep2t + Us e
2、重根：(临界阻尼 即 、重根： 临界阻尼 临界阻尼)
R=2
L C
uc = (A + Bt )ept + Us
3、共轭复根：(欠阻尼 即 、共轭复根： 欠阻尼 欠阻尼)
R<2 L C
uc = Ae−αt cos(ωdt +θ ) +Us
R 1 2 2 α = , ωd = ω0 − α , ω0 = 2L LC
4
三、 RLC串联电路全响应 串联电路全响应
− t<0 , K在2,有 uc (0 ) = U0 在 有
i(0− ) = I0 t≥0 , K在1，由KVL, 有 ≥ 在 ，
iR + L di + uc = Us dt
又 可得
d 2uc R duc 1 1 + + uc = Us 2 dt L dt LC LC
H12 ( p) = i1 −p = f2 p(2 p3 + 3p2 + 4 p + 2)
i1 p(2 p2 + p +1) H11( p) = = f1 p(2 p3 + 3p2 + 4 p + 2)
三、模拟框图： 模拟框图： 由模拟单元组成系统功能框图
8
四、举例： 举例： 1）H(p)→微分方程 ） →
+
duc (0+ ) =0 dt
1
特征根: 特征根
P,2 = − 1
R ± 2L
(
R 2 1 ) − 2L LC
（自然频率、固有频率） 自然频率、固有频率） 1、单根：(过阻尼 即 R > 2 L 过阻尼) 、单根： 过阻尼 C
uc = Aep1t + Bep2t
2、重根：(临界阻尼 即 R = 2 、重根： 临界阻尼 临界阻尼)
i1 (2p2 + p +1) H11(p) = = f1 (2p3 + 3p2 + 4p + 2)
di di di df df 2 13 + 3 12 + 4 1 + 2 i 1 = 2 12 + 1 + f 1 dt dt dt dt dt
3 2 2
2）模拟框图→H(p) x2 = ∫ x1dτ = ）模拟框图→
y(t) p +1 = 2 H(p) = f (t) p + 3p + 2)
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五、自然频率 1、定义：系统对应特征方程的根称为自然频率或固有频率。 、定义：系统对应特征方程的根称为自然频率或固有频率。
N ( p) 因H ( p) = D( p)
故为 D(p) = 0 的根。
2、意义：反映系统时域特性 、意义： 3、求法； 、求法；
duc d 2uc + LC + uc = 0 R C 2 dt dt R 1 P2 + P + =0 L LC
(特征方程 特征方程) 特征方程
t ≥ 0 , K在2，由KVL,有 在 ， 有
(二阶常系数线性齐次微分方程 二阶常系数线性齐次微分方程) 二阶常系数线性齐次微分方程
uc (0 ) = Us
K1 = − 3 3 , K2 = 2 2
∴
3 −3t −t i2 (t) = (e − e ) + 2(A) t ≥ 0 2
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经典法基本步骤 1）求系统数学模型； ）求系统数学模型； 2）求齐次方程通解y0(t)； ）求齐次方程通解 ； 3）求非齐次方程特解yd(t) ； ）求非齐次方程特解 4）写出非齐次方程通解 ） y(t)= y0(t) + yd(t) ： 5）根据初始值求待定系数； ）根据初始值求待定系数； 6）写出给定条件下非齐次方程解。 ）写出给定条件下非齐次方程解。
t ≥0 t ≥0
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二、非齐次微分方程时域解
( pn + an−1 pn−1 ⋯ + a0 ) y(t) = (bm p +⋯+ b0 ) f (t) ⋯
时域解为
齐次方程 通解 m
y (t ) = y 0 (t ) + y d (t )
非齐次方 程特解
图示电路， 已知： 例： 图示电路， 已知： i1(0-) =1A， ， i2(0-)=2A ；f(t) =6U(t) . 求 i2(t) 。 解：
∵
p 1 = −1
p 2 = −3
i2d (t) = 2
i 2 o ( t ) = K 1e − t + K 2 e −3 t
i 2 ( 0 + ) = K 1 + K 2 + 2 =1 i ′2 ( 0 + ) = − K 1 − 3 K 2
i2 (t) = K1e−t + K2e−3t + 2
=-3
( 2 + p )i1 ( t ) − i 2 = 0 − i1 ( t ) + ( 2 + p ) i 2 = 0
2 + p − 1 i1 ( t ) 0 − 1 2 + p i ( t ) = 0 2
Z = p 2 + 2p + 3 = 0
duc d 2uc 可得 RC + LC 2 + uc = Us dt dt
P2 +
1 R P+ =0 L LC
(特征方程 特征方程) 特征方程
3
特征根: 特征根 P1, 2 = −
R R 1 ± ( )2 − 2L 2L LC
R>2 L C