四川省高三上学期期末数学试卷(理科)
四川省达州市高三上学期期末数学试卷(理科)
四川省达州市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高二上·浙江期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二上·吉林期末) 若a、b、c，d∈R，则下面四个命题中，正确的命题是（）A . 若a>b，c>b，则a>cB . 若a>－b，则c－a<c＋bC . 若a>b，则ac2>bc2D . 若a>b，c>d，则ac>bd3. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，则下列不可能成立的（）A . a2016（S2016﹣S2015）=0B . a2016（S2016﹣S2014）=0C . （a2016﹣a2013）（S2016﹣S2013）=0D . （a2016﹣a2012）（S2016﹣S2012）=04. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 已知单位向量和满足| |= | |，则与的夹角的余弦值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .5. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 设l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A . α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥nB . l⊥n，l⊥α⇒n∥αC . l⊥α，l∥β⇒α⊥βD . α⊥β，l⊂α⇒l⊥β6. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 不等式组，表示的平面区域绕着原点旋转一周所得到的平面图形的面积为（）A .B .C . 3πD .7. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 过双曲线 =1（a，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，线段OP的垂直平分线交y轴于点Q（其中O为坐标原点）．若△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，则该双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .8. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 对于函数f（x），若存在x0∈Z，满足|f（x0）|≤ ，则称x0为函数f（x）的一个“近零点”．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有四个不同的“近零点”，则a的最大值为（）A . 2B . 1C .D .二、填空题 (共7题；共10分)9. （1分） (2016高一下·扬州期末) 已cosθ= ，则cos2θ=________．10. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 已知数列{an}中，a3=3，an+1=an+2，则a2+a4=________，an=________．11. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 一个空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则侧视图的面积为________ cm2 ，该几何体的体积为________ cm3cm3 ．12. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 已知正数x，y满足x+y=1，则x﹣y的取值范围为________，的最小值为________．13. （1分） (2016高三上·绍兴期末) 设f（x）= ，若x满足f（x）≥3，则log2（）的最大值为________．14. （1分） (2016高三上·绍兴期末) 正△ABC的边长为1， =x +y ，且0≤x，y≤1，≤x+y≤，则动点P所形成的平面区域的面积为________．15. （1分） (2016高三上·绍兴期末) 已知函数y=|x2﹣1|的图象与函数y=kx2﹣（k+2）x+2的图象恰有2个不同的公共点，则实数k的取值范围为________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （5分） (2016高一下·承德期中) 已知sinα+cosα= ，α∈（0，π），求．17. （10分）(2017·长沙模拟) 某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）. ，．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．18. （10分） (2019高一下·东莞期末) 已知向量，向量为单位向量，向量与的夹角为 .（1）若向量与向量共线，求；（2）若与垂直，求 .19. （10分） (2016高三上·绍兴期末) 已知椭圆C的方程是 =1（a＞b＞0），其右焦点F到椭圆C 的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以为公差的等差数列，且该数列的三项之和等于6．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线AB与椭圆C交于点A，B（A在第一象限），满足2 ，当△0AB面积最大时，求直线AB的方程．20. （10分） (2016高三上·绍兴期末) 数列{an}中，已知a1= ，an+1= ．（1）证明：an＜an+1＜；（2）证明：当n≥2时，（）＜2．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共11 页。
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）．A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A 、B ，再由集合并运算求A B ⋃. 【详解】由题设{|22}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以(2,3)A B =-. 故选：A2．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.【详解】由已知得21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =,故选：C3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5 【答案】C【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确. 故选:C4．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．1-B ．4C ．5D ．14【答案】B【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2z x y =+的几何意义即可求出答案. 【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2z x y =+化为：1122y x+z =-表示斜率为12-的一组平行线，当1122y x+z =-经过点B 有最小值，由302101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以()2,1B ，则2z x y =+的最小值为：224z =+=.故选：B.5．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为（ ）A ．14B ．18C ．116D ．132【答案】C【分析】由已知的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运算过程，即可得解.【详解】解：执行下面的程序框图，已知S ＝1，n ＝0，m ＝12； 执行循环体S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4； 如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为116． 故选：C ．6．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min【答案】D【分析】依题意有8b ae -= 12a ，解得ln28b =，得到ln 28t y ae -=，再令8a y =,求解得到t 的值，减去最初的8min 即得所求． 【详解】依题意有8b ae -=12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln2,,28t b b y ae --==-∴=∴= ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2ln2881188t t ae a e --=∴=， 两边取对数得ln21ln 3ln2,2488t t -==-∴=， 所以再经过的时间为()24816min -=． 故选:D ．7．已知α满足sin()4πα+，则2tan tan 1αα=+（ ）A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-【答案】D【分析】首先化简sin()4πα+得到8sin 29α=-，接着化切为弦将2tan tan 1αα+表示成1sin 22α，代入求解即可.【详解】解：∵sin()cos )4a παα+=+，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，∴8sin 29α=-， 故222tan 12sin cos 14sin 2tan 12sin cos 29ααααααα=⨯==-++；故选：D ．【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数=a （ ） A ．2或3- B ．2-或3 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为322y x x x =-++，当1x =时3y =，又2321y x x '=-+，所以1|2x y ='=，所以曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为()321y x -=-，即210x y -+=，又222:250C x y ax a +-+-=，即()22:5C x a y -+=，即圆心(),0C a ，半径r =因为直线l 与C 相切，所以圆心到直线的距离d ==2a =或3a =-；故选：A9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．310【答案】D【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.故选：D.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x=,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x = 为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.11．已知曲线1C ：e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．e 1-BC ．1D ．e 1+【答案】A【分析】根据题中条件，得到()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，推出()2e 201ln e x x m -<+-≤；证明ln 1x x ≤-，分离参数得2e2ex m x -≥-，构造函数求出2e2ex x --的最大值，即可得出结果.【详解】因为当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，所以有：()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，()2e 201ln e x x m -∴<+-≤，21ex m ∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()2e21ln e x x m -+-≤恒成立，只需2e2ex x m --≤恒成立；即2e2ex m x -≥-恒成立；令()e e x f x x -=-，则()e1e x f x -=-'，由0f x解得e x <；由()0f x '<解得e x >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在()e,+∞上单调递减； 所以()()max e e 1f x f ==-；e 1m ∴≥-，因此m 的最小值为e 1-.故选：A12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理，求得BC =得到BD =证得AB AD ⊥，进而证得AB ⊥平面PAB ，得到PA AD ⊥，证得PA ⊥平面ABC ，结合球的截面圆的性质，即可求得球O 的半径.【详解】如图所示，在ABC 中，因为2AB AC ==，23BAC π∠=， 可得222212cos 22222()232BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，又因为2BD DC =，所以433BD =， 由6ABC π∠=，2AB =，可得233AD =，可得22BD AB AD =+，所以AB AD ⊥， 又由AD PB ⊥，PB AB B ⋂=且,PB AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥， 又由2PAB π∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，设ABC 外接圆的半径为r ，则24sin BDr A==，可得2r =，即12AO =， 设三棱锥-P ABC 的外接球的半径为R ，可得22222221111()2152PA R AO OO AO =+=+=+=，即5R =. 球O 的半径为5. 故选：D.【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.二、填空题13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】()3,0-，()3,0【分析】通过标准方程确定2a 和2b ，根据,,a b c 的关系，得到焦点(),0c ±． 【详解】由题意得：225a =，216b = 由222a b c =+得：25163c =-= ∴焦点坐标为()3,0±本题正确结果：()3,0-，()3,0【点睛】本题考查了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．【答案】63【分析】本题首先可根据正三棱锥正视图绘出原图，然后通过原图得出正三棱锥的侧视图，即可求出结果.【详解】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为22534-=，底面边长为6，结合原图易知，ABC 即正三棱锥的侧视图，BC 为底面三角形的高， 则侧视图的面积1334632S ， 故答案为：6315．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________. 【答案】116【分析】设直线AB 、CD 的方程联立抛物线，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，应用韦达定理求12x x +、12x x 、34x x +、34x x ，根据抛物线的定义易得12(2)(2)AF BF x x ⋅=++、34(2)(2)CF DF x x ⋅=++，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线AB 、CD 的斜率一定存在，设AB 为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线方程，可得2222(48)40k x k x k -++=且264(1)0k ∆=+>，∴21224(2)k x x k ++=，124x x =，而1||2AF x =+，2||2BF x =+，∴2121212216(1)(2)(2)2()4k AF BF x x x x x x k +⋅=++=+++=，由CD AB ⊥，设CD 为2xy k-=，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立抛物线，可得22(84)40x k x -++=，同理有23484x x k +=+，344x x =，∴216(1)CF DF k ⋅=+，综上，222111116(1)16(1)16k AF BF CF DF k k +=+=⋅⋅++. 故答案为：116. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求AF BF ⋅、CF DF ⋅，进而求目标式的值.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②④．【分析】①利用函数()()f a f b =-⇔()f x 关于点(,0)2a b+对称.即可得出答案. ②利用函数()()f a x f x -=⇔()f x 关于2ax =轴对称，再结合①即可得出答案. ③利用函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，即可求出周期的取值范围，当T 取最小值时，实数解最多.求出其实数解即可判断.④利用函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点结合①可得出81033w <≤，再结合()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时3w ≤，即可得出ω的取值范围. 【详解】①因为73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且73212423πππ+=，所以203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.①正确. ②因为5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()f x 的对称轴为255162x ππ==, 125=3244TT ππππ-==⇒.②正确. ③在一个周期内()1f x =只有一个实数解，函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥.当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[)0,2π上实数解最多为53,,662πππ共3个.③错误 ④函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，213251325632632222T T w w ππππππ-≤⇒-≤⋅<⋅<，解得81033w <≤；又因为函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥，即2233w w ππ⇒≤≥， 所以8,33w ⎛⎤∈⎥⎝⎦.④正确 故填：①②④.【点睛】本题考查三角函数曲线.属于难题.熟练掌握三角函数曲线的性质是解本题的关键.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABCSac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[]0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22⨯列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别 非城镇学生城镇学生合计 优良不优良 115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？ 附参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.841【答案】（1）填表见解析，没有；（2）34．【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，由条件可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200， 所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150， 故城镇学生优良人数为15011535-=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+⨯⨯=，所以非城镇优良学生共为503515-=，则非城镇不优良学生人数为501535-=，代入数据计算()222001511535350.889 2.7065015050150K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关； （2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p ==， 记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()13344E X =⨯=，故成绩为“优良”人数的期望值为34．【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=，PAC △是边长为4的等边三角形，BC =P AC B --的大小为60，点M 为P A 的中点．（1）请你判断平面P AB 垂直于平面ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求CM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）3913． 【分析】（1）平面PAB ⊥平面ABC ；分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，即60PDE ∠=，进而根据勾股定理得PE ED ⊥，根据AC ⊥平面PED 得AC PE ⊥，进而可得答案；（2）根据题意，以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABC 理由如下：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=，3BC = 所以DE AC ⊥，3DE因为PAC △是边长为4的等边三角形， 所以PD AC ⊥，23PD =于是，PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，则60PDE ∠=，在PDE △中，由余弦定理，得222cos603PE PD DE PD DE =+-⋅=， 所以222=PD PE ED +， 所以PE ED ⊥．因为ED AC ⊥，PD AC ⊥，ED PD D =， 所以AC ⊥平面PED ， 所以AC PE ⊥． 又ACED D =，所以PE ⊥平面ABC因为PE ⊂平面ABC ． 所以平面PAB ⊥平面ABC ．（2）以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B ，(4,0,0)A ，3,0)E ，3,3)P ，33)2M 332CM →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0CB →=，()3,3CP →=．设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z →=， 则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111230,2330x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则()3,0,2n →=-．所以CM 与平面PBC 所成角的正弦值sin cos,CM nθ→→===【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面所成角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.本题第一问在探究过程中，先假设平面PAB⊥平面ABC，再根据逻辑关系推理论证，关键在于分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，构造辅助线.20．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>F，上顶点为A，左顶点为B，且||||10FA FB⋅=+（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C-，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CP CMλ=，DP DNμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）221105x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）先表示出,FA FB，然后计算出FA FB⋅，结合离心率公式cea=和222a b c=+求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）设出,,P M N的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到,λμ的关系式①，再通过点差法分别求得,λμ满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得,λμ的关系式④，再结合关系式①可证明λμ+为定值.【详解】解：()1设(),0F c.由题意得||FA a=，||FB a c=+，ca=，222a b c=+，()||||10FA FB a a c∴⋅=+=+解得210a=，25b=.∴椭圆的方程为221105x y+=.()2设()00,P x y，()11,M x y，()22,N x y.由CP CMλ=，DP DNμ=，得()()00114,4,x y x yλ+=+，()()00224,4,x y x yμ-=-，()010141,,x xy yλλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241,,x xy yμμμ⎧-=-⎨=⎩()1284x xλμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111,105,105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01,y y λ=得()()01012110x x x x λλλ-+=-， ()01512x x λλ∴+=-+.②同理，由220022222221,105,105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02,y y μ=得()()22002110x x x x μμμ-+=-()02512x x μμ∴+=+.③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-.④ 联立①④得263λμ+=， λμ∴+为定值263. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对于向量共线的坐标表示以及点差法求解参数与坐标之间的关系，每一步都是通过构建关于,λμ的方程，结合联立方程的思想完成证明. 21．已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【答案】（1）()ln x f x x =；（2）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，由题意得出()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式； （2）利用参变量法得出2ln xk x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln x g x x=，利用导数求得函数()y g x =在区间()0,∞+上的最大值，即可得出实数k 的取值范围； （3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，变形得出42ln 112x x e x≤⋅，利用放缩法得出()42ln 111112221n n n e n e n n ⎛⎫≤⋅<-≥ ⎪-⎝⎭，依次得到4ln 2111222e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，()4ln 111221n n n e n n ⎛⎫<-≥ ⎪-⎝⎭，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=， 由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x ()max 12g x g e==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，则42ln 112x x e x≤⋅， 当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭， 上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e⎛⎫+++<-<⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果.【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型. 23．设()|1||3|f x x x =+--．（1）对一切x R ∈，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知0,0,()a b f x >>最大值为M ，(2)2a b M ab +=，且224128a b +≤，求证：216a b +=． 【答案】（1）(,4]-∞-；（2）证明见解析.【分析】（1）由零点分段法可得4,1()22,134,3x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，求得()f x 的最小值后，即可得实数m 的取值范围；第 21 页 共 21 页 （2）由题意转化条件得2(2)1a b ab+=，利用基本不等式可得216a b +≤、216a b +≥，即可得证. 【详解】（1）由题意4,1()1322,134,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩, 所以[]min ()4f x =-，所以，实数m 的取值范围是(,4]-∞-；（2）证明：由（1）知，4M =，由(2)2a b M ab +=得2(2)1a b ab+=，224128a b +≤，所以216a b +≤≤=，当且仅当2b a =，且224128a b +=，即4a =，8b =时，等号成立；2(2)42(2)242416a b a b a b a b ab b a ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4a b b a =，且2(2)1a b ab+=，即4a =，8b =时，等号成立； 综上所述，216a b +=．【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立问题的解决，考查了利用基本不等式证明不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.。
四川省泸县第四中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
四川省泸县四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。
考试结束后，只将答题卡交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,32．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．-1或13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.54．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．1-B ．4C ．5D ．145．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为A ．14B ．18C ．116D ．1326．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bt y ae -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min7．已知α满足sin()4πα+2tan tan 1αα=+A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-= 相切，则实数=a A ．2或3-B ．2-或3C ．2D ．39．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是A ．25B ．12C ．35D ．31010．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞11．已知双曲线1C ：x y e =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意1x ，2x 都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为A ．1e -B C ．1D ．1e +12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为A ．1B CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．15．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦．其中所有正确结论的编号为________．三、解答题：共70分。
四川省高三上学期期末数学试卷(理科)
四川省高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·濉溪期末) 已知集合P={x|x≥2}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A . [0，1）B . （0，2]C . （1，2）D . [1，2]2. （2分）如下图，在△ABC中，设，， AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若＝m＋n，则m+n= （）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·忻州月考) 设 , , ,则 , ,的大小关系为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·宜春期末) 给出下列四个结论：①若命题，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0；②“（x﹣3）（x﹣4）=0”是“x﹣3=0”的充分而不必要条件；③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；④若a＞0，b＞0，a+b=4，则的最小值为1．其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2018高一下·威远期中) 已知α （- ，0）且sin2α=- ，则sinα+cosα=（）A .B . -C . -D .6. （2分）如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A . 84B . 35C . 26D . 107. （2分）(2017·上高模拟) 函数y= 的图象大致是（）A .B .C .D .8. （2分）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为（）.A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·西安期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A . 4B . ﹣5C . ﹣6D . ﹣810. （2分）如图，圆C中，弦AB的长度为4，则•=（）A . 12B . 8C . 4D . 211. （2分）双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .12. （2分）设定义在上的函数若关于x的方程有5个不同的实数解，则这5个根的和等于（）A . 12B . 10C . 6D . 5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·蓟县期末) 在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为________．14. （1分）已知函数，且是它的最大值（其中为常数，且），给出下列结论：① 为偶函数；②函数的图象关于点对称；③ 是函数的最小值；④函数的图象在轴右侧与直线的交点按横坐标从小到大依次记为，则，其中正确的是________.（写出所有正确结论的序号）15. （1分） (2019高三上·烟台期中) 已知函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________.16. （1分）(2018·鞍山模拟) 已知双曲线，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为，则双曲线的离心率为________．三、解答题 (共8题；共70分)17. （5分）在等差数列{an}中，公差d≠0，a1=7，且a2 ， a5 ， a10成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （5分）在某学校组织的一次利于定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为，在B处的命中率为q2 ．该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：ξ02345P p1p2p3p4求q2的值.19. （10分）如图，四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．（1）求证：DE⊥MB；（2）若DC=2，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．20. （10分） (2016高二上·六合期中) 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（2）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．21. （15分） (2015高三上·务川期中) 已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．22. （5分）(2017·吴江模拟) 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•A F，B，E，F，C四点共圆．证明：CA是△ABC外接圆的直径．23. （10分） (2016高二下·漯河期末) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．24. （10分）(2017·宁德模拟) 已知f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若 R），求证：对∀a∈R，且a≠0成立．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、。
四川省成都市2023-2024学年高三上学期期末考试 数学(理)含解析
成都2023-2024年度上期高2024届期末考试数学试题（理）（答案在最后）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．若复数z 满足i 2i z =-（i 是虚数单位），则z =（）A ．12i-+B ．12i--C ．12i-D ．12i+2.已知集合{}2,1xM y y x ==≤，{}2N x y x x ==-，则M N ⋃等于（）A ．(0,1]B ．{2}C ．[0,2]D ．(,2]-∞3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1326S =，则3810a a a ++的值为（）A ．6B ．7C ．8D ．94.()25y x x y x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝+的展开式中，33x y 的系数为（）A ．15-B ．5-C ．5D ．155.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．12C ．3-D ．36．已知圆22:650C x y x +-+=与中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线D 的一条渐近线相切，则双曲线D 的离心率为（）A ．355B ．3C ．3或62D ．355或327.已知函数()f x 是偶函数，当x <0时，3()1f x x x =-+，则曲线()y f x =在x =1处的切线方程为（）A ．210x y +-=B ．230x y --=C ．230x y +-=D ．210x y --=8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．2π22++B ．262π2++C ．262π22+++D ．262π32+++9．执行如图所示的程序框图，若随机输入的[)0,16a ∈，则输出的11,42b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率为（）A ．316B ．1516C ．12D ．3410.若23x =，34y =，则下列选项正确的是（）A ．32y >B ．x y <C ．12y x+>D ．22x y +>11.已知长方体1111ABCD A B C D -在球O 的内部，球心O 在平面ABCD 上，若球的半径为3，AB BC =，则该长方体体积的最大值是（）A ．4B ．8C ．12D ．1812．曲线C 是平面内与三个定点()()121,0,1,0F F -和()30,1F 的距离的和等于22的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 关于x 轴、y 轴均对称；②曲线C 上存在点P ，使得3223PF =；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积最大值是1；④曲线C 上存在点P ，使得12F PF ∠为钝角.其中所有正确结论的序号是（）A.②③④B.②③C.③④D.①②③④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若x 、y 满足约束条件280403+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩x y x y ，则z x y =+的最大值为__________．14.设212()log f x x x =+，则不等式11(1)2f x ->的解集为__________．15．已知2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．16．如图，在三棱锥111A A B C -中，1AA ⊥平面111111,90A B C A B C ∠=︒，11111222,A B A A B C P ===为线段1AB的中点，,M N 分别为线段1AC 和线段11B C 上任意一点，则5PM MN +的最小值为__________．三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y （单位：cm ）与父亲身高x （单位：cm ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高x 160170175185190儿子身高y170174175180186参考数据及公式：51880i i x ==∑，521155450ii x ==∑，51885i i y ==∑，51156045i i i x y ==∑，()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-(1)根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)小明的父亲身高178cm ，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高。
四川省达州市高三上学期期末数学试卷(理科)
四川省达州市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x∈Z||x|≤2}，B={x|x2﹣2x﹣8≥0}，则A∩（CRB）=（）A . {﹣2，﹣1，0，1，2}B . {﹣1，0，1，2}C . {2}D . {x|﹣2＜x≤2}2. （2分）设复数z满足，则=（）A . ﹣2+iB . ﹣2﹣iC . 2+iD . 2﹣i3. （2分）如图是根据变量x，y的观测数据（xi ， yi）（i=1，2，…10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（）A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④4. （2分）已知函数f（x）的定义域为且对定义域中任意x均有：，，则g（x）（）A . 是奇函数B . 是偶函数C . 既是奇函数又是偶函数D . 既非奇函数又非偶函数5. （2分）已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R”，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A . a≤－2或a＝1B . a≤－2或1≤a≤2C . a≥1D . －2≤a≤16. （2分）已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（）A . 若直线a∥b，b⊂α则a∥αB . 若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC . 若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥βD . 若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b7. （2分）若为偶函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（）A .B .C .D .8. （2分）某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（）A . 2011B . 2012C . 2013D . 20149. （2分）(2018高一下·桂林期中) 已知圆的圆心在直线：上，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A . 2B .C . 6D .10. （2分）(2017·湖北模拟) 已知，当x＞2时，a，b，c的大小关系为（）A . a＜b＜cB . a＜c＜bC . c＜b＜aD . c＜a＜b11. （2分） (2017高三上·西安开学考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 4+2 πB . 8+2 πC . 4+ πD . 8+ π12. （2分）直线与的图像在y轴右侧从左至右的第个交点的横坐标记为，若数列为等差数列，则（）A .B .C . 或0D . 或0二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知向量=(3,1)，=(1,3)，=(k,7)，若(-)∥，则k=________ ．14. （1分）(2017·衡阳模拟) 二项式（1﹣2x）6展开式中x4的系数是________．15. （1分）同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），点数之和是5的概率是________．16. （1分）(2017·宝清模拟) 函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1 ， A2 ， P，Q，T为椭圆异于A1 ， A2的点，若椭圆C的焦距为2 ，且椭圆过点M（，﹣）．（1）求椭圆C的方程；（2）若△OPQ的面积为，A1R∥OP，求证：OQ∥A2R．18. （10分） (2018高二下·大庆月考) 在数列中，已知（1）求，并由此猜想数列的通项公式的表达式。
2021-2022学年四川省宜宾市叙州区高三(上)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2021-2022学年四川省宜宾市叙州区高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x=3n+2,n∈Z}，B={x|−2<x<4}，则A∩B=()A. ⌀B. {−1,2}C. {−1}D. {2}2.5i3−4i=()A. −45+35i B. −45−35i C. 45+35i D. 45−35i3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x甲−、x乙−标准差分别为σ甲、σ乙，则()A. x甲−<x乙−，σ甲<σ乙B. x甲−<x乙−，σ甲>σ乙C. x甲−>x乙−，σ甲<σ乙D. x甲−>x乙−，σ甲>σ乙4.已知tanα=2，sinα−4cosα5sinα+2cosα=()A. −16B. 16C. 79D. −795.若(2x−1x2)n的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是()A. 240B. −240C. 160D. −1606.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，(a⃗+2b⃗ )⋅a⃗=6，则b⃗ 在a⃗方向上的投影为()A. 1B. 12C. −12D. −17.设函数g(x)=f(x)+x2是定义在R上的奇函数，且F(x)=f(x)+3x，若f(1)=1，则F(−1)=()8. 已知3名同学各自在“五一”劳动节三天假期中任选一天参加义务劳动，则在前两天中都有同学参加义务劳动的概率为( )A. 19B. 29C. 13D. 499. 已知数列{a n }前n 项的平均数等于2n +1，其中n ∈N ∗，则数列{16(an +1)(a n+1+1)}的前2020项和等于( )A. 20192020B. 20202021C. 20202019D. 2021202010. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcsinA =b 2+c 2−a 2，△ABC 的外接圆半径为√2，则a 的值为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√211. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，点P 在C 上，若∠F 1PF 2=π3，且|OP|=3a(O 为坐标原点)，则C 的渐近线方程为( )A. y =±2√63xB. y =±√64xC. y =±2√155x D. y =±√156x12. 若对任意的实数a ，函数f(x)=(x −1)lnx −ax +a +b 有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. (−∞,0)C. (0,1)D. (0,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，若a ⃗ //b ⃗ ，则m =______．14. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y +2≥0x −2y ≤0，则z =2x −y 的最小值为______．15. 数式1+11+11+⋯中省略号“…”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t ，则1+1t =t ，则t 2−t −1=0，取正值得t =√5+12.用类似方法可得√12+√12+√12+⋯=______．16. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，且倾斜角为π4的直线与抛物线交于A ，B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩(单位：分)，绘制成如图所示的茎叶图：(1)通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好；(不要求计算，分析并给出结论)(2)根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：测试成绩(单位：分[60,70)[70,80)[80,90)[90,100) )等级合格中等良好优秀①从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率．②现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记X为抽到高二年级的人数，求X的分布列和数学期望．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cos2C+sin2A−sin2B=1−√3sinBsinC(1)求角A的大小(2)若a=1,B=π，求△ABC的面积．319. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN//平面C 1DE ； (2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为√22，且原点到直线FM 的距离为√63． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若不经过点F 的直线l ：y =kx +m(k <0,m >0)与椭圆C 交于A 、B 两点，且与圆x 2+y 2=1相切．试探究△ABF 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−32．(1)求f(x)的最小值；(2)对任意x∈(0,+∞)，f(x)≥g(x)都有恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1+cosα,sinα)，参数α∈[0,π]，直线l的方向向量为a⃗=(1,1)，且过定点A(−1,0)．(1)在平面直角坐标系xOy中求点P的轨迹方程；(2)若直线l上有一点Q，求|PQ|的最小值．23.设函数f(x)=|x+1|−2|x−2|的最大值为t．(1)解不等式f(x)≥2；(2)若2a2+5b2+3c2=t，求2ab+3bc的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={x|x =3n +2,n ∈Z}，B ={x|−2<x <4}， ∴A ∩B ={−1,2}． 故选：B ．进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：5i3−4i =5i(3+4i)(3−4i)(3+4i)=5(−4+3i)25=−45+35i ．故选：A ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．甲的整体成绩好，成绩波动小，所以甲的平均数大，标准差小． 【解答】解：由折线图得：x 甲−>x 乙−， 甲的成绩相对集中，成绩稳定些， 所以σ甲<σ乙， 故选C ．4.【答案】A【解析】解：∵tanα=2，sinα−4cosα5sinα+2cosα=tanα−45tanα+2=2−410+2=−16，故选：A．利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为(2x−1x2)n的展开式中所有二项式系数和为64，所以2n=64，解得n=6，所以展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(2x)6−r⋅(−1x2)r=C6r⋅(−1)r⋅26−r⋅x6−3r，令6−3r=0，解得r=2，所以展开式中的常数项为C62⋅(−1)2⋅24=240．故选：A．根据二项展开式中所有二项式系数和求出n，再利用展开式的通项公式求出展开式的常数项．本题考查了二项式系数和与二项展开式的应用问题，是基础题．6.【答案】B【解析】解：∵|a⃗|=2，∴(a⃗+2b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =4+2a⃗⋅b⃗ =6，∴a⃗⋅b⃗ =1，∴b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |=12．故选：B．根据(a⃗+2b⃗ )⋅a⃗=6及|a⃗|=2，求出a⃗⋅b⃗ ，然后根据投影的计算公式，即可求出答案．本题考查了向量数量积的运算，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【分析】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．根据题意，由奇函数的定义可得可得g(−1)+g(1)=f(−1)+1+f(1)+1=0，由此求出f(−1)的值，代入F(x)的解析式计算可得答案．解：根据题意，函数g(x)=f(x)+x2是定义在R上的奇函数，则g(−1)+g(1)=f(−1)+1+f(1)+1=0，则f(−1)=−3，F(x)=f(x)+3x，则F(−1)=f(−1)+3−1=−3+13=−83，故选：C．8.【答案】D【解析】解：3名同学各自在“五一”劳动节三天假期中任选一天参加义务劳动，共有33=27种情况，其中“前两天中都有同学参加义务劳动”的有A33+C32×2=12种情况，所以所求概率为1227=49，故选：D．利用古典概型的概率公式求解．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意可得a1+a2+⋯+a nn=2n+1，∴a1+a2+⋯+a n=n(2n+1)，n≥2时，a1+a2+⋯+a n−1=(n−1)(2n−1)，相减可得：a n=4n−1，n=1时，a1=3，对于上式也成立．∴a n=4n−1，∴16(a n+1)(a n+1+1)=1616n(n+1)=1n(n+1)=1n−1n+1，∴数列{16(a n+1)(a n+1+1)}的前2020项和=1−12+12−13+⋯+12020−12021=1−12021=20202021．故选：B．由题意可得a1+a2+⋯+a nn=2n+1，即a1+a2+⋯+a n=n(2n+1)，进而得出：a n，利本题考查了裂项求和方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵2bcsinA =b 2+c 2−a 2=2bccosA ， ∴sinA =cosA ，即tanA =1， ∴A =π4，∵△ABC 的外接圆半径r =√2， 则由正弦定理可得，asinA =2r =2√2， ∴a =2． 故选：B ．由已知结合余弦定理可求A ，然后由正弦定理asinA =2r 可求a ．本题主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．11.【答案】A【解析】解：设P 在双曲线的右支上，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ， 由双曲线的定义可得m −n =2a ，又PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，两边平方可得PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 即为9a 2=14(m 2+n 2+2mncos π3)=14[(m −n)2+3mn]=14(4a 2+3mn)， 可得mn =323a 2，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2=m 2+n 2−2mncos π3=(m −n)2+2mn −mn =4a 2+323a 2，化为c =√333a ，则b =√c 2−a 2=2√63a ， 所以双曲线的渐近线方程为y =±2√63x.故选：A ．b的关系，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理、向量的中点表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与极值计算，属于中档题．作出y=(x−1)lnx与y=a(x−1)−b的函数图象，根据两图象恒有两个交点得出直线定点的位置，从而得出b的范围．【解答】解：令f(x)=0得(x−1)lnx=a(x−1)−b，令g(x)=(x−1)lnx，则g′(x)=lnx+1−1，x∴当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，作出y=(x−1)lnx与y=a(x−1)−b的大致函数图象，∵f(x)很有两个不同的零点，∴y=a(x−1)−b与g(x)=(x−1)lnx恒有两个交点，∵直线y=a(x−1)−b恒过点(1,−b)，∴−b>0，即b<0．故选：B．13.【答案】−4【解析】解：根据题意，向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(m,−6)，若a⃗//b⃗ ，则3m=2×(−6)=−12，解可得m=−4；故答案为：−4．根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于m的方程，解可得答案．本题考查向量平行的坐标表示方法，注意向量的坐标，属于基础题．14.【答案】−2【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A(0,2)，化z=2x−y为y=2x−z，由图可知，当直线y=2x−z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为−2．故答案为：−2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．15.【答案】4【解析】解：由题意类比：令原式=t，则√12+t=t，则t2−t−12=0，解之得t=−3(舍)，或4．故答案为：4类比写公式，求出解．本题是基础题，考查类比推理，根据题意类比写方程．16.【答案】45【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题．写出AB 的点斜式方程，与抛物线方程联立消元，利用根与系数的关系求出AB 的中点坐标，利用直线垂直与斜率的关系列方程解出p ． 【解答】解：∵F(p2,0)，∴过焦点F 且倾斜角为的直线AB 的方程为：y =x −p2．联立方程{y 2=2px y =x −p 2，消元得：x 2−3px +p 24=0， 设AB 的中点坐标为(x 0,y 0)， 则x 0=x 1+x 22=3p2，y 0=x 0−p2=p ． 又AB 的垂直平分线经过点(0,2)， ∴y 0−2x 0=−1，即p−23p2=−1．解得p =45． 故答案为：45．17.【答案】解：(1)通过茎叶图分析高二年级的学生学习效果更好，其根据是：80～90，90～100分的人数高二比高一的多，而60～70，70～80分的人数高二比高一的少． (2)①由茎叶图可知：高二，高一优秀的人数分别为6，5，∴在成绩为优秀的情况下，这2名同学来自同一个年级的概率P =C 52+C 62C 112=511．②样本中成绩为良好的学生人数分别为：高一4人，高二6人． X 可以取0，1，2，3． P(X =0)=C 43C 103=130，P(X =1)=C 42C 61C 103=310，P(X =2)=C 41C 62C 103=12，P(X =3)=C 63C 103=16．可得X 的分布列： X 0 1 2 3 P1303101216可得E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=95．【解析】(1)通过茎叶图分析：80～90，90～100分的人数高二比高一的多，而60～70，70～80分的人数高二比高一的少，即可得出结论．(2)①由茎叶图可知：高二，高一优秀的人数分别为6，5，在成绩为优秀的情况下，利用古典概率计算公式即可得出这2名同学来自同一个年级的概率．②样本中成绩为良好的学生人数分别为：高一4人，高二6人．X可以取0，1，2，3.利用超几何分布列即可得出．本题考查了茎叶图的应用、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由cos2C+sin2A−sin2B=1−√3sinBsinC，可得：sin2B+sin2C−sin2A=√3sinBsinC，可得：b2+c2−a2=√3bc，可得：cosA=b2+c2−a22bc =√32，又A∈(0,π),A=π6．(2)若B=π3，则由A=π6，可得C=π2，故△ABC是以C为直角的直角三角形．因为a=1，所以b=√3，所以△ABC的面积S=12ab=12×1×√3=√32．【解析】(1)由同角三角函数基本关系式，正弦定理化简已知等式可得b2+c2−a2=√3bc，利用余弦定理可求cosA，结合A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解A的值．(2)由(1)及已知利用三角形的内角和定理可求C为直角，求得b的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】(1)证明：过N 作NH ⊥AD ，连接BH ，则NH//AA 1，H 是AD 中点，且NH =12AA 1， 又MB//AA 1，MB =12AA 1， 所以NH//MB ，NH =MB ， ∴四边形NMBH 为平行四边形， 则NM//BH ，由H 为AD 中点，而E 为BC 中点， ∴BE//DH ，BE =DH ，则四边形BEDH 为平行四边形，则BH//DE ， ∴NM//DE ，∵NM ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ， ∴MN//平面C 1DE ；(2)解：以D 为坐标原点，以平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴， 以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则N(√32,−12,2)，M(√3,1,2)，A 1(√3,−1,4)，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2)， 设平面A 1MN 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m ⃗⃗⃗ ⋅NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y +2z =0，取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,−1)， 又平面MAA 1的一个法向量为n⃗ =(1,0,0)，∴cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=√3√5=√155．∴二面角A−MA1−N的正弦值为√105．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．(1)过N作NH⊥AD，证明NM//BH，再证明BH//DE，可得NM//DE，再由线面平行的判定可得MN//平面C1DE；(2)以D为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面A1MN与平面MAA1的一个法向量，即可得解．20.【答案】(1)由题可知，F(c,0)，M(0,b)，则−bc =−√22①，直线FM的方程为xc +yb=1，即bx+cy−bc=0，所以√b2+c2=√63②，联立①②，解得b=1,c=√2，又a2=b2+c2=3，所以椭圆C的标准方程为x23+y2=1．(2)因为直线l：y=kx+m(k<0,m>0)与圆x2+y2=1相切，所以√1+k2=1，即m2=1+k2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立{x23+y2=1y=kx+m，得(3k2+1)x2+6kmx+3(m2−1)=0，所以Δ=36k2m2−12(3k2+1)(m2−1)=12(3k2−m2+1)=24k2>0，x1+x2=−6km 3k2+1,x1x2=3(m2−1)3k2+1，所以|AB|=√1+k2|x1−x2|=2√3√1+k23k2+1√3k2+1−m2又m2=1+k2，所以|AB|=−2√6mk3k2+1．因为|AF|=√(x1−√2)2+y12=√(x1−√2)2+(1−x123)=√3−√63x1同理|BF|=√3−√63x2．所以|AF|+|BF|=2√3−√63(x1+x2)=2√3+2√6mk3k2+1，所以|AB|+|AF|+|BF|=2√3，故△ABF 的周长为定值2√3．【解析】(1)根据题意，结合点到直线距离公式列出关于b ，c 的方程组，求出b ，c 的值，再由a 2=b 2+c 2求出a 的值，从而得到椭圆C 的标准方程．(2)由直线与圆相切得到m 2=1+k 2，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式，分别求出|AB|，|AF|，|BF|，即可得到△ABF 的周长为定值．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意，f′(x)=lnx +1；令f′(x)<0，解得：0<x <1e ， 令f′(x)>0，解得：x >1e ，故f(x)在(0,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)上单调递增； 且f(1e )=−1e ，故函数f(x)的最小值是−1e ；(2)对x ∈(0,+∞)，f(x)≥g(x)可化为 2xlnx ≥−x 2+ax −3； 故a ≤2lnx +x +3x ； 令F(x)=2lnx +x +3x ， 则F′(x)=x 2+2x−3x 2=(x+3)(x−1)x 2；故F (x)=2lnx +x +3x 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增； 故F (x)≥F(1)=1+3=4；故对∀x ∈(0,+∞)，f(x)≥g(x)恒成立可化为a ≤4； 即实数a 的取值范围为a ≤4；(3)证明：不等式lnx >1e x −2ex 可化为lnx ⋅x >xe x −2e ； 由(1)得：lnx ⋅x ≥−1e ，当且仅当x =1e 时，取最小值； 设m(x)=xe x −2e ；则m′(x)=1−x e x，∵x ∈(0,1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，x ∈(1,+∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减， 故当x =1时，m(x)取最大值−1e ；故对一切x ∈(0,+∞)，都有lnx >1e x −2ex 成立．【解析】(1)由题意，f′(x)=lnx +1；从而根据导数的正负确定函数的单调区间，再求值域即可；(2)f(x)≥g(x)可化为2xlnx ≥−x 2+ax −3；故a ≤2lnx +x +3x ；令F(x)=2lnx +x +3x，从而化恒成立问题为最值问题；(3)不等式lnx >1e x −2ex ，可化为lnx ⋅x >xe x −2e ；从而可证明lnx ⋅x ≥−1e ，xe x −2e ≤−1e ；且等号不能同时成立，从而证明．本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题，属于难题．22.【答案】解：(1)由题知：点P 的坐标满足{x =1+cosαy =sinα(α∈[0,π])所以点P 的轨迹方程为(x −1)2+y 2=1(y ≥0)(2)直线l 的方向向量为a ⃗ =(1,1)，且过定点A(−1,0).转换为l 的参数方程为{x =−1+ty =t(t 是参数)所以直线l 的直角坐标方程为：y =x +1， 所以|PQ min |=√12+12−1=√2−1．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)=|x +1|−2|x −2|={x −5,x ≤−13x −3,−1<x ≤2−x +5,x >2，令f(x)≥2，则有{x −5≥2x ≤−1或{3x −3≥2−1<x ≤2或{−x +5≥2x >2，解得53≤x ≤3，所以不等式的解集为[53,3]．(2)由(1)可知，函数f(x)=|x +1|−2|x −2|的最大值为t =f(2)=3，所以3=2a2+5b2+3c2=2(a2+b2)+3(b2+c2)≥4ab+6bc，当且仅当a=b=c=√3010时等号成立，所以3≥4ab+6bc，即2ab+3bc≤32，所以2ab+3bc的最大值为32．【解析】(1)f(x)=|x+1|−2|x−2|={x−5,x≤−13x−3,−1<x≤2−x+5,x>2，令f(x)≥2，再分类讨论，即可求解．(2)由(1)可知，函数f(x)=|x+1|−2|x−2|的最大值为t=f(2)=3，再结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查绝对值不等式的求解，考查分类讨论的思想，属于中档题．。
四川省高三上学期期末数学试卷(理科)
四川省高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数的虚部是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一上·泰安期中) 若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x∈Z|x2﹣x﹣2＜0}，则∁UP=（）A . {0，1}B . {0，﹣1}C . {﹣1，2}D . {﹣1，0，2}3. （2分）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一下·长春期末) 若，则等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·南昌期中) 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·湖南月考) 如图所示，在正方体中，，直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则（）A .B .C .7. （2分） (2015高三上·驻马店期末) 四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直， =2，则该四面体体积的最大值为（）A .B .C . 2D . 78. （2分）已知f（x）的定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（）A . （0，1）∪（2，3）B . （1，）∪（， 3）C . （0，1）∪（， 3）D . （0，1）∪（1，3）9. （2分）(2019·黄山模拟) 将三颗做子各掷一次，设事件A=“三个点数互不相同”，B=“至多出现一个奇数”，则概率P（A B）等于（）A .B .D .10. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 711. （2分） (2017高二下·孝感期中) 若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）F2（3，0），则其离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一上·万州期中) 已知函数y=f（x+1）的定义域是[﹣1，3]，则y=f（x2）的定义域是（）A . [0，4]B . [0，16]C . [﹣2，2]D . [1，4]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·南昌期末) 的展开式中x2项的系数为________.14. （1分） (2016高三上·宜春期中) 函数y=ex﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是________．15. （1分） (2019高三上·如皋月考) 在中，已知为边上的高，为的平分线，，，，则 ________．16. （1分）(2018·丰台模拟) 己知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则M 的标准方程为________.三、解答题 (共8题；共65分)17. （10分）(2020·辽宁模拟) 已知，且．（1）求在上的值域；（2）已知分别为的三个内角A，B，C对应的边长，若，且，，求的面积．18. （10分）如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2 ，AD=2 ，AA′=2，（1）求异面直线BC′和AD所成的角；（2）求证：直线BC′∥平面ADD′A′．19. （5分） (2015高二下·宜昌期中) 为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（I）求该校报考体育专业学生的总人数n；（Ⅱ）若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人，设ξ表示体重超过60千克的学生人数，求ξ的分布列和数学期望．20. （10分）(2018·江西模拟) 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以点为圆心，以3为半径的圆与以点为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.设点，在中， .（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线不经过点，且与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率分别为，，求的值.21. （10分） (2020高二下·吉林月考) 已知函数在处取得极小值.（1）求实数a的值；（2）若在区间内存在，使不等式成立，求m的取值范围.22. （10分） (2016高二下·新乡期末) 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．23. （5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．24. （5分）(2017·临翔模拟) 设函数f（x）=|x﹣1|+2|x+1|（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）当f（x）≤4时，|x+3|+|x+a|＜x+6，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、24-1、。
四川省绵阳市高三上学期期末数学试卷(理科)
四川省绵阳市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） (2017 高二下·桂林期末) 已知 i 是虚数单位，则 A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限在复平面内对应的点位于（ ）2. （2 分） (2019 高二上·聊城月考) 一次函数 不充分条件是（ ）的图象同时经过第一、三、四象限的必要但A.B.C.D.3. （2 分） 执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，中输入的 S=（ ）第 1 页 共 21 页A. B. C. D. 4. （2 分） 在平面直角坐标系内，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ，直线 l 的参数方程是 曲线 C 与直线 l 上的动点，则|MN|的最小值为（ ）A . +1 B . 3 ﹣1 C . ﹣1 D . 3 ﹣2第 2 页 共 21 页为参数）．若 M，N 分别为5. （2 分） 已知 A. B. C. D.，且 sinθ﹣cosθ＞1，则 sin（2θ﹣2π）=（ ）6. （2 分） (2016 高二上·长春期中) 定积分 A.1 B.π C. D.dx=（ ）7. （2 分） 椭圆中，以点 M（﹣1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A.B.C.D.-8. （2 分） (2016 高二上·杭州期中) 四棱锥 P﹣ABCD 中，△PCD 为正三角形，底面边长为 1 的正方形，平面PCD⊥平面 ABCD，M 为底面内一动点，当时，点 M 在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（ ）第 3 页 共 21 页A . 一个点 B . 线段 C.圆 D . 圆弧二、 填空题 (共 6 题；共 16 分)9. （1 分） (2019 高二下·广东期中) 已知 数等于________.的展开式的二项式系数之和为 32，则其展开式中常10. （1 分） (2016 高二上·船营期中) 设 z=x+y，其中 x，y 满足 最小值为________，若 z 的最大值为 12，则 z 的11. （1 分） (2019·河南模拟) 将正整数 1，2，3， ，n ， 排成数表如表所示，即第一行 3 个数，第二行 6 个数，且后一行比前一行多 3 个数，若第 i 行，第 j 列的数可用表示，则 100 可表示为________．第1行 第2行 第3行第1 第2 第3 第4 第5 第6 第7 第8 列列列列列列列列 123 987654 10 11 12 13 14 15 16 17第 4 页 共 21 页12. （1 分） (2020 高一下·杭州月考) 已知向量 和 夹角是 ，则________13. （2 分） (2016 高二上·温州期中) 正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为 6，某学生画出该 正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为________．该正四面体 的体积为________．14. （10 分） (2019·恩施模拟) 已知函数.（1） 当时，求不等式的解集；（2） 若不等式的解集为 ，求实数 的取值范围.三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)15. （10 分） (2020 高一下·奉化期中) 在中，a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边，且（1） 求角 A 的大小；（2） 若的面积为，求的最小值．16. （10 分） (2015 高二上·承德期末) 如图，已知侧棱垂直底面的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC=3，AB=5， BC=4，点 D 是 AB 的中点．（1） 求证：AC⊥BC；第 5 页 共 21 页（2） 求证：AC1∥平面 CDB1 ．17. （5 分） (2017 高二上·伊春月考) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽 奖规则如下：①抽奖方案有以下两种，方案 ：从装有 1 个红球、2 个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出 1 个球，若是 红球，则获得奖金 15 元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回甲袋中；方案 ；从装有 2 个红球，1 个白球 （仅颜色不同）的乙袋中随机摸出 1 个球，若是红球，则获得奖金 10 元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放 回乙袋中②抽奖的条件是，顾客购买商品的金额满 100 元，可根据方案 抽奖一次；满 150 元，可根据方案 抽奖一 次（例如某顾客购买商品的金额为 310 元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案 抽奖三次或方 案 抽奖两次或方案 、 各抽奖一次），已知顾客 在该商场购买商品的金额为 250 元．（Ⅰ）若顾客 只选择方案 进行抽奖，求其所获奖金为 15 元的概率；（Ⅱ）若顾客 采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（除 0 元外）．18. （10 分） (2018 高二下·抚顺期末) 已知函数．（1） 求的单调区间和极值；（2） 若直线是函数图象的一条切线，求 的值．19. （5 分） (2019 高二上·绍兴期末) 从原点 向圆别为 , ，记切线，的斜率分别为 ， ．（Ⅰ）若圆心，求两切线，的方程；（Ⅱ）若，求圆心 的轨迹方程．20. （10 分） (2019·江南模拟) 已知数列 等差数列.中，（1） 求数列 的通项公式；，且作两条切线，切点分，，1成第 6 页 共 21 页（2） 若数列 满足，数列 的前 项和为 ，求 .第 7 页 共 21 页一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点： 解析：第 8 页 共 21 页答案：4-1、 考点： 解析：略 答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点：第 9 页 共 21 页解析： 答案：7-1、 考点：第 10 页 共 21 页解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共16分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、答案：14-2、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：。
四川省南充市高三上学期期末数学试卷(理科)
四川省南充市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·大连模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·兰州模拟) 已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A . ﹣3﹣4iB . ﹣3+4iC . 3﹣4iD . 3+4i3. （2分）(2018·浙江学考) 在直角坐标系中，已知点，过的直线交轴于点，若直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·安徽期中) 已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A .B . 或C .D .5. （2分） (2020高一下·黑龙江期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二下·浙江期中) 从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（）A . 420B . 840C . 140D . 707. （2分）(2017·怀化模拟) 设点M（x，y）满足不等式组，点P（﹣4a，a）（a＞0），则当最大时，点M为（）A . （0，2）B . （0，0）C . （4，6）D . （2，6）8. （2分） (2015高二下·会宁期中) 把x=﹣1输入程序框图可得（）A . ﹣1B . 0C . 不存在D . 19. （2分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，且f（0）=f （），则（）A . f（x）的最小正周期为2πB . f（x）的图象关于直线x=对称C . f（）=﹣2D . f（x）在[0，]上是增函数10. （2分）(2016·柳州模拟) 在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2014·福建理) 设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆 +y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A . 5B . +C . 7+D . 612. （2分） (2018高一上·广东期中) 设函数，则下列命题中正确的个数是（）①当时，函数在上是单调增函数；②当时，函数在上有最小值；③函数的图象关于点对称；④方程可能有三个实数根.A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·太和月考) 二项式的展开式中的常数项是 ________．14. （1分） (2015高二上·蚌埠期末) 如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1与平面A1BD、CB1D1交于点E、F两点．设K为△B1CD1的外心，则VK﹣BED： =________．15. （1分） (2019高二上·衡阳月考) 已知为双曲线的一条渐近线，与圆（其中）相交于两点，若，则的离心率为________．16. （1分）(2020·镇江模拟) 在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内．若，则 ________．三、解答题 (共8题；共70分)17. （5分） (2016高二上·宁县期中) 已知数列{an}的前n项和Sn= ，n∈N* ．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= +（﹣1）nan ，求数列{bn}的前2n项和．18. （10分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别频数5304050452010（参考数据：；；.）（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.19. （5分）(2017·湖北模拟) 如图1，已知矩形ABCD中，，点E是边BC上的点，且，DE与AC相交于点H．现将△ACD沿AC折起，如图2，点D的位置记为D'，此时．（Ⅰ）求证：D'H⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角H﹣D'E﹣A的余弦值．20. （10分）(2020·漳州模拟) 已知椭圆的一个焦点为，且在椭圆E上．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知垂直于x轴的直线交E于A、B两点，垂直于y轴的直线交E于C、D两点，与的交点为P，且，间：是否存在两定点M，N，使得为定值？若存在，求出M，N的坐标，若不存在，请说明理由．21. （5分）(2016·安徽模拟) 已知函数f（x）=2ln（x+1）+ ﹣（m+1）x有且只有一个极值．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：x1+x2＞2．22. （10分） (2020高二下·广州期末) 关于x的不等式的解集为R.（1）求实数m的值；（2）若，且，求证： .23. （10分）(2019·天河模拟) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若，当曲线与曲线有两个公共点时，求t的取值范围．24. （15分） (2016高一上·浦东期末) 在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共70分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
四川省2022高三上学期数学(理)期末考试试题
高三期末考试考试理科数学第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{2101}A =--，，，，{|1}B x y x ==+，则A B = A ．{2101}--，，， B ．{210}--，，C ．{01}，D ．{101}-，，2．复数3i1i-=- A ．2i +B ．2i -C ．1i +D ．1i -3.设,,a b c 为实数,且0a b <<,则下列不等式正确的是 A.11a b< B.22ac bc <C.b a a b> D.22a ab b >>4.函数()ln 11x f x x +=+的大致图象为ABCD5.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是A ．样本中的男生数量多于女生数量B ．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C.样本中多数男生喜欢手机支付 D ．样本中多数女生喜欢现金支付 6.若将函数x y 2sin =的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ） A ．)(122Z k k x ∈-=ππ B ．)(22Z k k x ∈+=ππ C. )(2Z k k x ∈=π D ．)(122Z k k x ∈+=ππ7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）A ．92 B ．4 C. 3 D 3108. 若函数()324f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,5B ．[)1,5 C. (]1,5 D ．()(),15,-∞⋃+∞9. 祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．若曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点处具有公共切线，则实数a 的值为（ ）A.12eB.12 D.1e11.已知函数()()2ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q <，若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．()15,+∞B ．[)15,+∞ C.(),6-∞ D ．[)6,+∞12．已知抛物线22(0)y px p =>上一动点到其准线与到点M （0，4）的距离之和的最小值为F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，则MOF ∆的内切圆半径为A B C 1 D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式10展开式中含3x 项的系数是 ．14.已知函数()11sin cos 244f x x x x =--的图象在点()00,A x y 处的切线斜率为1，则0tan x = ．15.设P 是椭圆14922=+y x 第一象限弧上任意一点，过P 作x 轴的平行线与y 轴和直线x y 32-=分别交于点N M ,，过P 作y 轴的平行线与x 轴和直线x y 32-=分别交于点Q R ,，设O 为坐标原点，则OMN ∆和ORQ ∆的面积之和为 .16.在ABC ∆中，0120,2,4=∠==BAC AC AB ，D 是边BC 的中点. 若E 是线段AD 的中点，则=•EC EB .三、解答题：共70分。
四川省成都市中学2023-2024学年高三上学期期末考试 数学(理)含解析
高2021级高三上学期期末测试数学（理科）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）（答案在最后）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22|20,lo (1|g )A x B x y x x x ===<---，则A B ⋃=（）A.()1,1- B.()1,3- C.()1,-+∞ D.()1,+∞2.在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A.5B.C.2D.3.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A.B.22C.D.324.下列叙述错误的是（）A.命题“R x ∃∈，211x -≤-”的否定是“R x ∀∈，211x ->-”B.若幂函数()24²22my m m x-=--在()0,∞+上单调递增，则实数m 的值为1-C.()0,x ∞∀∈+，22log xx>D.设a ∈R ，则“23a >”是“a >的充分不必要条件5.平面直角坐标系内，与点(1,1)A 的距离为1且与圆22(1)(4)4x y -+-=相切的直线有（）A.4条B.3条C.2条D.0条6.小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为23，记小明射击2次的得分为X ，则()D X =（）A.89B.169C.209D.2697.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线过点(2,P ，1F ，2F 是C 的左右焦点，且焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点P 满足15PF =，则2PF =（）A.3或7B.7C.5D.38.某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1~200，分为40组，分别为1~5，6~10，…，196~200.若从第4组抽取的号码为18，则样本中40~50岁教师的编号之和为（）A.906B.966C.1506D.15669.若262()x x-展开式中最大的二项式系数为a ，则直线320y ax =与曲线2y x =围成图形的面积为（）A.92B.72C.52 D.3210.已知函数π()sin(),0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为B.π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数C.()f x 图象的对称中心是ππ,012k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈D.()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到sin 2y A x =的图象11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则下列结论中:①若点Q 为1CC 的中点，则1PA PQ +；②过点P 作与1AD 和1BA 都成π6的直线，可以作四条；③若点P 为BC 的中点时，过点C 作与直线1D P 垂直的平面α，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为；④若点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，CD 的中点为E ，则点P 到直线AE的最短距离是10.其中正确的命题有（）A.4个B.3个C.2个D.1个12.已知函数()()2,1ln 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()1f x m x =-有5个不同的实数根，且最小的两个实数根为1x ，2x ，则2212x x +的取值范围为（）A .22e 10,e -⎛⎫⎪⎝⎭B.212e 0,e +⎛⎫⎪⎝⎭ C.2112e ,e e +⎛⎫⎪⎝⎭D.22e 12,ee -⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()1,2a =- ，()2,3b = ，则a 在b方向上的投影数量等于__________．14.已知,x y 满足约束条件210210230x y x y x y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则32y x ++的取值范围为______．15.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线C 上，若()()12122248y y y y -+=，则MFNF=___.16.在锐角三角形ABC 中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、，且2sin cos 2sin cos b C C c C A -=.若点H 为ABC 的垂心，则ABCHBCS S 的最小值为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某汽车销售店以8万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高1千元时，年销售量就减少2辆.（1）若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆?（2）该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万元;若分4期或5期付款,其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表：付款方式一次性分2期分3期分4期分5期频数11323若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且122n n a S +=+，数列{}n b 满足12b =，1(2)n n n b nb ++=，其中n ∈N*．（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若21nn a c n ⋅=+，求数列{}n n b c 的前n 项和n T ．19.在梯形ABCD 中，AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP交于O 点（如图1）.将ACD 沿AC 折起到ACD '△位置，使得平面D AC '⊥平面BAC （如图2）.（1）求二面角A BD C '--的余弦值；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为8若存在，求出PQ PD '的值；若不存在，请说明理由.20.已知函数()ln P x x x λ=-，(R)λ∈.（1）若函数()y P x =只有一个零点，求实数λ的取值所构成的集合；（2）已知(0,e)λ∈，若()()exf x x P x λ=-+，函数()f x 的最小值为()h λ，求()h λ的值域.21.已知椭圆C ：()222211x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，1F 到直线2AF 的距，且22AF =.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过2F 的直线m 与椭圆E 交于,M N 两点，过2F 且与m 垂直的直线n 与圆O ：224x y +=交于C ，D 两点，求MN CD +的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()cos 3m ρθρπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭R ．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 有2个公共点，求m 的取值范围．23.已知函数()21f x x x =+-+.（1）解不等式()7f x ；（2）若不等式()2(0)mx f x m +> 对于x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.高2021级高三上学期期末测试数学（理科）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22|20,lo (1|g )A x B x y x x x ===<---，则A B ⋃=（）A.()1,1- B.()1,3- C.()1,-+∞ D.()1,+∞【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，求出函数的定义域化简集合B ，再利用并集的定义求解即得.【详解】解不等式220x x --<，得12x -<<，即(1,2)A =-，函数2log (1)y x =-有意义，得10x ->，解得1x >，则(1,)B =+∞，所以()1,A B =-+∞ .故选：C2.在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A.5B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】由复数对应的点求出复数的代数形式，利用共轭复数和复数的除法化简，模长公式求模.【详解】复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别是()()2,1,1,3--，则有12i z =-，213i z =-，213i z =+，()()()()2113i 2i 13i 17i 2i 2i 2i 55z z +++===-+--+，21z z ==.故选：D3.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A.B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则π2πl r =，所以2l r =，所以2lr ==.故选：A.4.下列叙述错误的是（）A.命题“R x ∃∈，211x -≤-”的否定是“R x ∀∈，211x ->-”B.若幂函数()24²22my m m x-=--在()0,∞+上单调递增，则实数m 的值为1-C.()0,x ∞∀∈+，22log xx>D.设a ∈R ，则“23a >”是“a >的充分不必要条件【答案】D 【解析】【分析】写出存在量词命题的否定判断A ；利用幂函数的定义性质求出m 判断B ；借助指对数函数图象判断C ；利用充分不必要条件定义判断D.【详解】对于A ，命题“R x ∃∈，211x -≤-”的否定是“R x ∀∈，211x ->-”，A 正确；对于B ，由²221240m m m --=⎧⎨->⎩，解得1m =-，B 正确；对于C ，当0x >时，函数2x y =的图象在直线y x =上方，函数2log y x =的图象在直线y x =下方，则22log x x >，C 正确；对于D ，由23a >，得a <a >“23a >”不是“a >的充分不必要条件，D 错误.故选：D5.平面直角坐标系内，与点(1,1)A 的距离为1且与圆22(1)(4)4x y -+-=相切的直线有（）A.4条B.3条C.2条D.0条【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，判断以点A 为圆心，1为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解.【详解】依题意，与点(1,1)A 的距离为1的直线始终与以点A 为圆心，1为半径的圆22(1)(1)1x y -+-=相切，而此直线与圆22(1)(4)4x y -+-=相切，因此该直线是圆22(1)(1)1x y -+-=与圆22(1)(4)4x y -+-=的公切线，又圆22(1)(4)4x y -+-=的圆心(1,4)C ，半径为2，显然||312AC ==+，所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数是3.故选：B6.小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为23，记小明射击2次的得分为X ，则()D X =（）A.89B.169C.209D.269【答案】B 【解析】【分析】先找出X 的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得.【详解】由题意可知，X 的取值可能为2-，0，2，因为()2242339P X ==⨯=，()1112339P X =-=⨯=，()122140C 339P X ==⨯⨯=，所以()()41422209993E X =⨯+-⨯+⨯=，故()222242124162203939399D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B.7.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线过点(2,P ，1F ，2F 是C 的左右焦点，且焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点P 满足15PF =，则2PF =（）A.3或7 B.7C.5D.3【答案】B 【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用给定条件求出,a b ，再利用双曲线定义求解即得.【详解】双曲线C ：22221x y a b-=的渐近线方程为0bx ay ±=，由P 在其中一条渐近线上得=b ，因为焦点到渐近线的距离为2(,0)F c 到一条渐近线距离b ==，因此1a =，由双曲线定义得21||||||2PF PF -=，而15PF =，解得27PF =或23PF =，显然5c =，双曲线C ：22124y x -=上的点到焦点距离的最小值为4c a -=，所以27PF =.故选：B8.某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1~200，分为40组，分别为1~5，6~10，…，196~200.若从第4组抽取的号码为18，则样本中40~50岁教师的编号之和为（）A.906B.966C.1506D.1566【答案】D 【解析】【分析】先求出40~50岁教师的编号范围，再得出分别在哪些组中，由系统抽样方法得出被抽出的编号，从而得出答案.【详解】因为200名教师中40~50岁教师占30%，所以200名教师中40~50岁教师有60人，编号分布在101~160之间，在第21~32组中，所以样本中40~50岁教师的编号分别为103，108，…，158，故样本中40~50岁教师的编号之和为()1210315815662⨯+=.故选：D9.若262()x x-展开式中最大的二项式系数为a ，则直线320y ax =与曲线2y x =围成图形的面积为（）A.92B.72C.52 D.32【答案】A 【解析】【分析】由二项式定理及组合数性质得20a =，再应用定积分及微积分基本定理求围成图形的面积.【详解】由二项式定理及组合数性质知：最大的二项式系数为36C 20a ==，所以直线3320y ax x ==，联立2y x =，得23x x =，故0x =或3，所以直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为322330031319(3)d ()|(927)023232x x x x x -=-=⨯-⨯-=⎰.故选：A10.已知函数π()sin(),0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为B.π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数C.()f x 图象的对称中心是ππ,012k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈D.()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到sin 2y A x =的图象【答案】B 【解析】【分析】根据图象求得()f x 的解析式，结合三角函数最值、奇偶性、对称性、图象变换等知识确定正确答案.【详解】由图可知2A =，5πππ2π,π,241264T T ωω=-====，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，πππ2sin 2,sin 1633f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于ππππ5π,22636ϕϕ-<<-<+<，所以πππ,326ϕϕ+==，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A ，πππ7π0,22666x x ≤≤≤+≤，当π7ππ2,662x x +==时，()f x 取得最小值为1212⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故A 错误；B ，ππππ2sin 22sin 22cos 26662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，故B 正确；C ，由π2π,Z 6x k k +=∈解得ππ,Z 122k x k =-+∈，故C 错误；D ，()f x 的图象向右平移π6个单位得到2sin 22sin π6π6π26y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误.故选：B11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则下列结论中:①若点Q 为1CC 的中点，则1PA PQ +；②过点P 作与1AD 和1BA 都成π6的直线，可以作四条；③若点P 为BC 的中点时，过点C 作与直线1D P 垂直的平面α，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为；④若点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，CD 的中点为E ，则点P 到直线AE 的最短距离是10.其中正确的命题有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C 【解析】【分析】延长QC 到Q '，使1CQ '=，求出1A Q '判断①；求出过点B 与直线11,BA BC 都成π6的直线条数判断②；作出符合条件的截面并求出周长判断③；确定点P 轨迹，建系求出方程，再利用点到直线距离公式求出最小值判断④即可得解.【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，延长QC 到Q '，使1CQ '=，由点Q 为1CC 的中点，得平面ABCD 是线段QQ '的中垂面，连接111,A Q A C '，则PQ PQ '=，111PA PQ PA PQ AQ ''+=+≥===,当且仅当点P 为直线1A Q '与平面ABCD 的交点时取等号，①正确；连接1BC ，四边形11ABC D 是正方体1AC 的对角面，则四边形11ABC D 是矩形，即11//BC AD ，显然1111A B BC A C ==，则11π3A BC ∠=，11A BC ∠的平分线与直线11,BA BC 都成π6的角，显然在空间过点B 作与直线11,BA AD 都成π6角的直线只有1条，则过空间任意点作与直线11,BA AD 都成π6角的直线只有1条，②错误；当点P 为BC 的中点时，取1,BB BA 的中点,F G ，连接1,,,CG CF GF C P ，显然Rt BCF ≌1Rt CC P ，则1BCF CC P ∠=∠，111π2CPC BCF CPC CC P ∠+∠=∠+∠=，即有1CF C P ⊥，而11D C ⊥平面11BCC B ，CF ⊂平面11BCC B ，则11CF D C ⊥，又1111111,,D C C P C D C C P =⊂ 平面11D C P ，于是CF ⊥平面11D C P ，而1D P ⊂平面11D C P ，因此1CF D P ⊥，同理1CG D P ⊥，显然,,CG CF C CG CF =⊂ 平面CGF ，所以CGF △是平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面，其周长为GF CG CF ++=，③错误；由于1BB ⊥平面ABCD ，则点P 到直线1BB 距离等于PB ，即点P 到点B 的距离等于它到直线AD 的距离，因此点P 轨迹是以点B 为焦点，直线AD 为准线的抛物线在正方形ABCD 及内部，以线段AB 中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，点P 轨迹方程为24(02)y x y =≤≤，直线AE 的方程为22y x =+，令000(,1)P x x x ≤，因此点P 到直线AE ：220x y -+=的距离0020|222|1()25525x x d x -+==+，于是当014x =，即点1(,1)4P 时，min 3510d =，④正确，所以正确命题的个数为2.故选：C【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.12.已知函数()()2,1ln 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()1f x m x =-有5个不同的实数根，且最小的两个实数根为1x ，2x ，则2212x x +的取值范围为（）A.22e 10,e -⎛⎫⎪⎝⎭B.212e 0,e +⎛⎫⎪⎝⎭ C.2112e ,e e +⎛⎫⎪⎝⎭D.22e 12,e e -⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据题意作出()f x 与1y m x =-的大致图象，结合图象与导数的几何意义求得m 的取值范围，再利用韦达定理得到2212x x +关于m 的表达式，从而得解.【详解】如图，作出函数()()2,1ln 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与1y m x =-的大致图象，若方程()1f x m x =-有5个不同的实数根，则()f x 的图象与1y m x =-的图象有5个不同的交点，当0m <时，10y m x =-≤，()f x 的图象与1y m x =-的图象无交点，当0m =时，10y m x =-=，()f x 的图象与1y m x =-的图象有2个交点所以0m >，当直线1y m x =-与()ln 1y x =-的图象相切时，设切点坐标为()()00,ln 1x x -，由()ln 1y x =-可得11y x '=-，则切线斜率()000ln 1111x k x x -==--，故0e 1x =+，则1e k =，结合图象可得m 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，由()21y x y m x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，得20x mx m +-=，则240m m ∆=+>恒成立，设该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12x x m +=-，12x x m =-，故()222212121222x x x x x x m m +=+-=+，因为22y m m =+开口向上，对称轴为1m =-，又10e m <<，所以2212x x +的取值范围为212e 0,e +⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出()f x 与1y m x =-的大致图象，充分利用数形结合求得m 的取值范围，从而得解.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()1,2a =- ，()2,3b = ，则a 在b方向上的投影数量等于__________．【答案】13【解析】【分析】由向量数量积的几何意义，应用数量积、模长的坐标运算求a在b方向上的投影数量.【详解】a 在b 方向上的投影数量13||a b b ⋅==.故答案为：1314.已知,x y 满足约束条件210210230x y x y x y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则32y x ++的取值范围为______．【答案】(]2,4-【解析】【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后设32y k x +=+，k 表示点(),x y 与点()2,3--连线的斜率，观察图像计算可得范围.【详解】作出不等式组210210230x y x y x y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域如下图：设32y k x +=+，则k 表示点(),x y 与点()2,3P --连线的斜率，又31421PA k --==-+，所以24k -<≤，即32y x ++的取值范围为(]2,4-.故答案为：(]2,4-.15.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线C 上，若()()12122248y y y y -+=，则MFNF=___.【答案】4【解析】【分析】先求得抛物线C 的方程，再利用抛物线定义和题给条件即可求得MF NF的值.【详解】抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，则4p =，则抛物线2:8C y x =，由点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线C 上，可得2118y x =，2228y x =，由()()12122248y y y y -+=，可得2212448y y -=，即1246x x -=，则()()122420x x +-+=，又122,2MF x NF x =+=+，则40MF NF -=，则4MF NF=故答案为：416.在锐角三角形ABC 中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、，且2sin cos 2sin cos b C C c C A -=.若点H 为ABC 的垂心，则ABCHBCS S 的最小值为____________．【答案】3+【解析】【分析】由2sin cos 2sin cos b C C c C A =，结合正弦定理和诱导公式π4A =，，连接AH 并延长，与BC 交于点D ，延长CH 与AB 交于点E ，则HD BC ⊥，HE AB ⊥，然后利用面积公式和和差角公式，结合三角函数的有界性求解即得.【详解】根据2sin cos 2sin cos b C C c C A -=，由正弦定理得，2sin sin sin cos sin cos 2B C C A C C =+，因为锐角三角形ABC ，所以sin 0C ≠，sin sin cos cos 2B C A C =+，又()()sin sin πsin sin cos sin cos B A C A C C A A C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，sin cos cos 2A C C =，易知cos 0C ≠，sin 2A =，又π02A <<，所以π4A =，然后利用面积公式和和差角公式求解即得.如图，连接AH 并延长，与BC 交于点D ，延长CH 与AB 交于点E ，则HD BC ⊥，HE AB ⊥，所以cos CD b ACB =∠，π2DHC BCE ∠+∠=，π2ABC BCE ∠+∠=，所以DHC ABC ∠=∠，所以cos cos cos tan tan sin CD b ACB b ACB ABCHD DHC ABC ABC ∠∠∠===∠∠∠，所以1cos cos 22sin HBC ab ACB ABCS a HD ABC ∠∠=⋅=∠ ，又1sin 2ABC S ab ACB ∠= ，1sin sin sin 2cos cos cos cos 2sin ABC HBCab ACBS ACB ABC ab ACB ABC S ACB ABC ABC∠∠∠==∠∠∠∠∠ ，又3π4ACB ABC ∠+∠=，所以()()()()cos cos cos cos ABC HBC ABC ACB ABC ACB S S ABC ACB ABC ACB ∠-∠-∠+∠=∠-∠+∠+∠ ，()2cos 212222ABC ACB ∠-∠+=+，因为3ππ42ABC ACB ∠=-∠<，所以ππ42ACB <∠<，所以3πππ22,444ABC ACB ABC ACB ACB ACB ⎛⎫∠-∠=∠+∠-∠=-∠∈- ⎪⎝⎭，所以()cos ,12ABC ACB ⎛⎤∠-∠∈ ⎥⎝⎦，所以()cos 0,122ABC ACB ⎛∠-∠-∈-⎝⎦，)222∞⎡++⎣，)3ABC HBC S S ∞⎡∈++⎣，故答案为：3+【点睛】关键点点睛：将ABCHBCS S ∆∆用关于,ABC ACB ∠∠的三角函数表示，进而借助三角函数的有界性求解三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某汽车销售店以8万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高1千元时，年销售量就减少2辆.（1）若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆?（2）该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万元;若分4期或5期付款,其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表：付款方式一次性分2期分3期分4期分5期频数11323若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）11.5万元/辆（2）分布列见解析，1745【解析】【分析】（1）设销售价格提高了0.1x 万元/辆，年利润为y 万元，表示出利润，即可得出结果；（2）利用超几何分布结合古典概型求概率，得出分布列即可求解数学期望.【小问1详解】设销售价格提高了0.1x 万元/辆，年利润为y 万元．则由题意得年销售量为1002x -，()()()2100.1810020.215245y x x x ∴=+--=--+．故当15x =时，y 取最大值．此时售价为100.11511.5+⨯=万元/辆．所以当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．【小问2详解】由图表可知，利润为2万元的有1辆，利润为2.5万元的有4辆，3万元的有5辆．所以()2245210C C 160C 45P X +===，()11114145210C C C C 240.5C 45P X +===，()1151210C C 511C 459P X ====，所以X 的分布列为：X0.51P1645244519所以X 的数学期望()162411700.54545945E X =⨯+⨯+=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且122n n a S +=+，数列{}n b 满足12b =，1(2)n n n b nb ++=，其中n ∈N*．（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若21nn a c n ⋅=+，求数列{}n n b c 的前n 项和n T ．【答案】（1）123n n a -=⋅；(1)n b n n =+（2）1(21)3nn T n =+-⋅【解析】【分析】（1）根据题意推得13,N n n a n a *+=∈，得到数列{}n a 为等比数列，求得123n n a -=⋅，再由12n n b n b n++=，利用累乘法，求得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）知123n n a -=⋅，(1)n b n n =+，得到143n n n b c n -=⋅，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.【小问1详解】解：由122n n a S +=+，可得122,2n n a S n -=+≥，两式相减，可得12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，又由1n =时，211122223a S a a =+=+=，可得213a a =，所以13,N n na n a *+=∈，所以数列{}n a 是首项为12a =，公比3q =的等比数列，故数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⋅，由1(2)n n n b nb ++=，可得12n n b n b n++=，故2131b b =，3242b b =，4353b b =，……，122n n b n b n --=-，111n n b n b n -+=-，以上1n -个式子相乘得，()113451123212n n n b n n b n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ，所以数列{}n b 的通项公式为(1)n b n n =+.【小问2详解】解：由（1）知123n n a -=⋅，(1)n b n n =+，可得124311n n n a c n n -⋅⋅==++，所以143n n n b c n -=⋅，所以01111...4(1323 (3))n n n n T b c b c n -=++=⨯⨯+⨯++⋅，12134[1323...(1)33]n n n T n n -=⨯⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减得，01213124(333...33)4(3)2n n nn n T n n ---=⨯++++-⋅=⋅，所以1(21)3nn T n =+-⋅．19.在梯形ABCD 中，AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）.将ACD 沿AC 折起到ACD '△位置，使得平面D AC '⊥平面BAC （如图2）.（1）求二面角A BD C '--的余弦值；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为68若存在，求出PQ PD '的值；若不存在，请说明理由.【答案】19.7-20.存在，13PQ PD '=【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解；（2）设()'01PQ PD λλ=≤≤ ，表示出CQ ，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.【小问1详解】因为在梯形ABCD 中，//AB CD ，224AB AD CD ===，π3BAD ∠=，P 为AB 的中点，所以，//CD PB ，CD PB =，所以ADP △是正三角形，四边形DPBC 为菱形，可得ACBC ⊥，AC DP ⊥，而平面'D AC ⊥平面BAC ，平面'D AC ⋂平面BAC AC =，'D O ⊂平面'D AC ，'D O AC ⊥，'D O ∴⊥平面BAC ，所以OA ，OP ，'OD 两两互相垂直，如图，以点O 为坐标原点，OA ，OP ，'OD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()C，()2,0B ，()'0,0,1D ，()0,1,0P，()'AD ∴=，()AB =-，)'2,1BD =-，)'CD =，设平面'ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AD m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩，即1111020z y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，则11y z ==，(m ∴=，设平面'CBD 的一个法向量为()222,,x n y z =，则00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩''，即22222200y z z -+=+=，令21x =，则20y =，2z =(1,0,n ∴=，110cos ,7m n m n m n⨯++⋅∴==-，所以二面角'A BD C --的余弦值为7-.【小问2详解】线段'PD 上存在点Q ，使得CQ 与平面'BCD 所成角的正弦值为8.设()'01PQ PD λλ=≤≤ ，因为)CP =，()'0,1,1PD =-，所以)',CQ CP PQ CP PDλλλ=+=+=-，设CQ与平面'BCD所成角为θ，则sin cos,8CQ nCQ nCQ nλθ⋅-===，即23720λλ-+=，01λ≤≤，解得13λ=，所以线段'PD上存在点Q，且'13PQPD=，使得CQ与平面'BCD所成角的正弦值为8.20.已知函数()lnP x x xλ=-，(R)λ∈.（1）若函数()y P x=只有一个零点，求实数λ的取值所构成的集合；（2）已知(0,e)λ∈，若()()e xf x x P xλ=-+，函数()f x的最小值为()hλ，求()hλ的值域.【答案】（1）(){},0e-∞（2）(1,2e).【解析】【分析】（1）由题意，0λ≠且1x≠，问题转化为方程lnxxλ=只有一个根，利用导数研究函数单调性，作出函数图象，数形结合判断λ的取值.（2）()e lnxf x xλλ=-，通过构造函数判断()f x'的符号得()f x的单调性，由最小值得()hλ，再由()f x'的零点，构造函数利用导数通过单调性求()hλ的值域.【小问1详解】函数()lnP x x xλ=-，定义域为()0,∞+，当0λ=时，显然不满足题意，当0λ≠时，若函数()y P x=只有一个零点，即ln0x xλ-=只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为lnxxλ=只有一个根，即直线yλ=与函数()lnxg xx=（0x>且1x≠）的图象只有一个交点.2ln1()lnxg xx'-=，令()0g x'=，得ex=，在()0,1和()1,e上，()0g x'<，在()e,+∞上，()0g x'>，所以()g x 在和()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增.在e x =时有极小值(e)e g =，()g x图象如图所示：由图可知：若要使直线y λ=与函数()ln xg x x=的图象只有一个交点，则0λ<或e λ=，综上λ的取值所构成的集合为(){},0e -∞ .【小问2详解】由题意知()e ln x f x x λλ=-，()(e 1),x f x x xλλ'=-令()e 1(0)x t x x x λ=-≥，得()(1)e 0x t x x λ'=+>，所以()t x 在[0,)+∞上单调递增.又(0)10,(1)e 10t t λ=-<=->，由零点的存在性定理知存在0(0,1),x ∈使得00e10x x λ-=，所以当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0()x x ∞∈+，时，()0f x '>，()f x 单调递增.故000()()e ln .x h f x x λλλ==-又00e10x x λ-=，所以0ln x x λ=-，又(0,e)λ∈，所以000e ln x x <-<.令ln ()x r x x =-，则2ln 1()x r x x-'=，()0r x '<在(0,1)恒成立，()r x 在(0,1)单调递减，1(1)0,e e r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由000e ln x x <-<得011e x <<.将00ln x x λ=-代入00()e ln x h x λλλ=-，得20000(ln )11()1e x h x x x λ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭.令21(ln )1()1e x M x x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，得22(ln 1)()0x M x x -'=-<，所以21(ln )1()1e x M x x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，又12e,(1) 1.e M M ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以()h λ的值域为(1,2e).【点睛】方法点睛：利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.21.已知椭圆C ：()222211x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，1F 到直线2AF 的距，且22AF =.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过2F 的直线m 与椭圆E 交于,M N 两点，过2F 且与m 垂直的直线n 与圆O ：224x y +=交于C ，D 两点，求MN CD +的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）7,4⎡+⎣【解析】【分析】（1）根据题意，得到直线2AF 的方程0bx cy bc +-=，结合1F 到直线2AF 的距离，进而求得,a b 的值，即可求解；（2）①当直线m 的斜率为0时，直线m 和n 的方程，求得,MN CD 的值，得到MN CD +；②当直线m 的斜率不存在时，直线m 和n 的方程，求得,MN CD ，可得MN CD +；③当直线m 的斜率存在且不为0时，设():1m y k x =-，直线()1:1n y x k=--，结合韦达定理和弦长公式，求得()2212143k MN CD k ++=++.【小问1详解】解：由题意得，直线2AF 的方程为1x yc b +=，即0bx cy bc +-=，则1F 到直线2AF 2bca==，又由22AF a ===，且222a b c =+，可得1b c ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】解：①当直线m 的斜率为0时，直线m 的方程为0y =，代入椭圆方程可得()2,0M -，()2,0N .直线n 的方程1x =，代入圆22:4O x y +=的方程可得(1,C ，(D ，所以4MN =，CD =，可得4MN CD +=+；②当直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为1x =，代入椭圆方程可得31,2M ⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫⎪⎝⎭.直线n 的方程0y =，代入圆的方程可得()2,0C -，()2,0D ，所以3MN =，4CD =，可得7MN CD +=；③当直线m 的斜率存在且不为0时，设():1m y k x =-，则()1:1n y xk =--，点O 到直线n 的距离d =，圆的半径2r =，根据圆的性质得，所以CD ==，将()1y k x =-代入曲线E 的方程22143x y +=，整理得()22224384120k x k x k +-+-=，则()()()2222Δ8443412k k k =--+-()214410k =+>恒成立.设()11,M x y ，()22,N x y ，由韦达定理可得，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，则12MN x =-=()2212143k k +=+，所以()2212143k MN CD k ++=++，因为20k >，所以21011k <<+，所以213441k <-<+，令)t ==，则2122MN CD t t+=+，且)t ∈.令()2122f t t t=+，)t ∈，则()()3331224202t f t t t'-=-=<在)t ∈上恒成立，所以()f t 在)2上单调递减.又4f =+，()27f =，所以()(7,4f t ∈+，即(7,4MN CD +∈+，综上所述，MN CD +的取值范围是7,4⎡+⎣.【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()cos 3m ρθρπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭R ．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 有2个公共点，求m 的取值范围．【答案】（1）()()222101,23x y x y +-=≤≤≤≤，20x m -=（2）,12⎡⎢⎣【解析】【分析】（1）消参后结合0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦可得曲线C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式，可化简直线l 为直角坐标方程.（2）利用数形结合求参数的取值范围.【小问1详解】因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，[]cos 0,1x α=∈，[]2sin 2,3y α=+∈，将曲线C 的参数方程中的参数消去，并结合0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦可得曲线C 的普通方程为：()()222101,23x y x y +-=≤≤≤≤．直线l的极坐标方程为π1cos cos sin 322m ρθρθθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得直线l的直角坐标方程为20x m -=．【小问2详解】曲线C 是以()0,2为圆心，1为半径的四分之一圆弧，且圆弧两端点的坐标分别为()0,3和()1,2，作出曲线C 与直线l ，如图所示，当直线l 经过点()0,3时，直线l 与曲线C 有两个交点，此时332m =．当直线l 与曲线C相切时，有1=，解得1m =1m =（舍去）．数形结合可知m的取值范围为,12⎡+⎢⎣．23.已知函数()21f x x x =+-+.（1）解不等式()7f x ；（2）若不等式()2(0)mx f x m +> 对于x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）[]2,4-（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）分类讨论将函数的绝对值去掉.（2）依据绝对值函数的特殊性进行分类讨论，解出每种情况下参数的取值范围，最后求交集.【详解】解：（1）()7f x ≤，即26x x +-≤，利用零点分区间法，对()f x 去绝对值，当0x <时，由226x -+≤，得2x ≥-，所以[)2,0x ∈-，当02x ≤<时，26≤成立，所以[)0,2x ∈，当2x ≥时，由226x -≤，得4x ≤，所以[]2,4x ∈.综上可知，不等式()7f x ≤的解集为[]2,4-.（2）由题意，可知0m >，由（1）得当0x <时，12m x ≥-+恒成立，因为120x-+<，所以0m >时不等式恒成立；当0x =时，23≤恒成立，所以0m >时不等式恒成立；当02x <<时，1m x≤恒成立，而112x >，所以102m <≤时不等式恒成立；当2x ≥时，即32m x ≤-恒成立，而13222x≤-<，所以102m <≤不等式恒成立.综上，满足要求的m的取值范围为1 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】对于恒成立问题，若进行了分类讨论，则最后参数的取值范围必须是每种情况下取值范围的交集.。
四川省成都外国语学校高三(上)期末数学试卷(理科)
四川省成都外国语学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知（1+i）•z=﹣i，那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．，则实数a取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1]3．抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．4．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[﹣2，3] D．λ=35．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．16．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．268．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A．B．C．D．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[，]11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，]12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题.13．已知|2x﹣1|+（y+2）2=0，则（xy）2016=．14．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是．15．若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b•c的最大值及θ的取值范围；（Ⅱ）求函数的最值．18．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值．19．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率； （3）在选取的样本中，从A ，C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 20．如图，椭圆x 2+=1的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距 为2，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点． （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标y M 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．四、选做题请考生从给出的2道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑．注意所选题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．四川省成都外国语学校高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知（1+i ）•z=﹣i ，那么复数对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式，考查复数对应点所在的象限． 【解答】解：∵（1+i ）•z=﹣i ，∴z====﹣﹣，∴复数=﹣+，故复数在复平面对应的点为（﹣， ），复数对应的点位于复平面内的第二象限， 故选B ．2．，则实数a 取值范围为（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D ．（﹣1，1]【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据题意，分析可得当x=1时，有＜0不成立，即≥0成立或无意义，解可得≥0可得﹣1＜x ≤1，由分式的意义分析可得a=﹣1时，无意义，综合可得答案．【解答】解：根据题意，若1∉A ，则当x=1时，有＜0不成立，即≥0成立或无意义，若≥0成立，解≥0可得，﹣1＜x ≤1，若无意义，则a=﹣1，综合可得，﹣1≤a≤1，故选B．3．抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D4．若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[﹣2，3] D．λ=3【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，结合对勾函数的图象和性质，求出x∈[，2]时，2x+的最值，可得实数λ的取值范围．【解答】解：若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，由x∈[，2]，当x=时，函数取最小值2，故实数λ的取值范围为（﹣∞，2]，故选：A5．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．1【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得的值．【解答】解：由题意可得，cosα=，则=cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故选：A．6．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据程序框图的功能是求S=1•log34•log45•log56•log67•log78•log89判断终止程序运行的k值，利用对数换底公式求得S值．【解答】解：由程序框图得：第一次运行S=1•log34，k=4；第二次运行S=1•log34•log45，k=5；第三次运行S=1•log34•log45•log56，k=6；…直到k=9时，程序运行终止，此时S=1•log34•log45•log56•log67•log78•log89=，故选B．7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．26【考点】等差数列的前n项和．【分析】设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，由等差数列前n项和公式求出d=，由此利用等差数列通项公式能求出a14+a15+a16+a17．【解答】解：设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，则=390，解得d=，∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58×=52．故选：B．8．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量平行的坐标公式可得a，b的关系，利用正弦定理即可求出A 的大小．【解答】解：∵向量=（a，b），=（1，2），若∥，∴b﹣2a=0，即b=2a，∵sinB=1，∴B=，根据正弦定理得sinB=2sinA，则sinA=，则A=，故选：A．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选B10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P 是△ABC （含边界）内任意一点，则•的取值范围是（ ）A ．[﹣，]B ．[﹣，]C ．[﹣，]D ．[，] 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．【解答】解：以C 为坐标原点，CA 边所在直线为x 轴， 建立直角坐标系， 则A （1，0），B （0，1）， 设P （x ，y ），则且=（﹣1，），=（x ﹣，y ﹣），则•=﹣x +y +，令t=﹣x +y +，结合线性规划知识，则y=2x +2t ﹣当直线t=﹣x +y +经过点A （1，0）时， •有最小值，将（1，0）代入得t=﹣，当直线t=﹣x +y +经过点B 时， •有最大值，将（0，1）代入得t=，则•的取值范围是[﹣，]，故选：A11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，]【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，=，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，==，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[，]．故选B．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】容易求出f′（0）=6，结合条件便可得出函数f（x）的解析式，进而求出导函数，代入4f（x）＞f′（x），根据对数函数的单调性及对数的运算便可解出原方程．【解答】解：根据条件，3f（0）=3=f′（0）﹣3；∴f′（0）=6；∴f（x）=2e3x﹣1，f′（x）=6e3x；∴由4f（x）＞f′（x）得：4（2e3x﹣1）＞6e3x；整理得，e3x＞2；∴3x＞ln2；∴x＞；∴原不等式的解集为（，+∞）故选：B．二、填空题.13．已知|2x﹣1|+（y+2）2=0，则（xy）2016=1．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：∵|2x﹣1|+（y+2）2=0，∴x=，y=﹣2，∴xy=﹣1，∴（xy）2016=1，故答案为：114．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是x=﹣4和4x+3y+25=0．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5，弦长m=8，设弦心距是d，则由勾股定理，r2=d2+（）2d=3，若l斜率不存在，直线是x=﹣4，圆心和他的距离是﹣3，符合题意，若l斜率存在，设直线方程y+3=k（x+4），即kx﹣y+4k﹣3=0，则d==3，即9k2﹣6k+1=9k2+9，解得k=﹣，所以所求直线方程为x+4=0和4x+3y+25=0，故答案为：x=﹣4和4x+3y+25=0．15．若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为3+2．【考点】基本不等式．【分析】由正弦函数的性质可求y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，代入直线方程可求a+b=1，而+=（）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值【解答】解，由正弦函数的性质可知，曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为（1，1）∴a+b=1则+=（）（a+b）=3+=3+2最小值为故答案为：3+216．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【分析】函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1∉（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．⇒＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b•c的最大值及θ的取值范围；（Ⅱ）求函数的最值．【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则，化简得到一个关系式，记作①，然后再根据余弦定理表示出a的平方，记作②，把①代入②得到b 和c的平方和的值，然后根据基本不等式得到bc的范围，进而得到bc的最大值，根据bc的范围，由①得到cosθ的范围，根据三角形内角θ的范围，利用余弦函数的图象与性质即可得到θ的范围；（Ⅱ）把f（θ）利用二倍角的余弦函数公式化简后，提取2后，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据（Ⅰ）中θ的范围，利用正弦函数的值域，即可得到f（θ）的最小值和最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为=bc•cosθ=8，根据余弦定理得：b2+c2﹣2bccosθ=42，即b2+c2=32，又b2+c2≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值为16，即，所以，又0＜θ＜π，所以0＜θ；（Ⅱ）=，因0＜θ，所以＜，，当即时，，当即时，f（θ）max=2×1+1=3．18．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥4×π=8π．底面圆周上一点，且∠BOC=90°，qj 圆锥的侧面积S侧=πrl=2×（2）取OB 的中点E ，连结DE 、CE ，说明∠DCE 是直线CD 与平面BOC 所成的角，在Rt △DEC 中，求解即可．【解答】解：（1）∵在Rt △AOB 中，，斜边AB=4，D 是AB 中点，将Rt △AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，∴圆锥的侧面积S 侧=πrl=2×4×π=8π．（2）取OB 的中点E ，连结DE 、CE ， 则DE ∥AO ，∴DE ⊥平面BOC ，∴∠DCE 是直线CD 与平面BOC 所成的角， 在Rt △DEC 中，CE=，DE=，tan ∠DCE==， ∴．∴直线CD 与平面BOC 所成角的大小为arctan ．19．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有1人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．20．如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（1）求由题意，a=1，c=，b=2，即可双曲线Γ的方程；（2）y M==在（0，2）上单调递增，即可求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）求出k OM+k BP=0，可得直线BP与OM关于直线x=对称【解答】解：（1）由题意，a=1，c=，b=2，∴双曲线Γ的方程=1；（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0∴x=﹣1或x2=，∴Q（，），M（﹣，）∴y M==在（0，2）上单调递增，∴y M∈（0，1）（3）由题意，k AP•k BP==4，同理k AP•k OM=﹣4，∴k OM+k BP=0，设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=，∵k OM+k BP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．21．已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令h（x）=lnx+﹣1，求导数，可得h（x）在（1，+∞）上单调递增，即可得证；（2）由（1）知x∈（1，+∞），lnx＞，令x=，则，利用累加，即可得出结论；（3）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可确定函数f（x）有且只有一个零点，实数a的取值范围．【解答】（1）证明：当a=2时，f（x）=lnx+，令h（x）=lnx+﹣1，则＞0∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，∴对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）证明：由（1）知x∈（1，+∞），lnx+＞1，即lnx＞，令x=，则，∴，∴ln（n+1）=＞；（3）解：f′（x）=．令f′（x）=0，则x2﹣（a﹣2）x+1=0，△=（a﹣2）2﹣4=a（a﹣4）．①0≤a≤4时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上递增，函数只有一个零点；②a＜0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，函数只有一个零点；③当a＞4时，△＞0，设f'（x）=0的两根分别为x1与x2，则x1+x2=a﹣2＞0，x1•x2=1＞0，不妨设0＜x1＜1＜x2当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减，而∴x∈（x1，+∞）时，f（x）＞0，且f（x1）＞0因此函数f（x）在（0，x1）有一个零点，而在（x1，+∞）上无零点；此时函数f（x）只有一个零点；综上，函数f（x）只有一个零点时，实数a的取值范围为R．…四、选做题请考生从给出的2道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑．注意所选题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，利用cos22α+sin22α=1即可得出．曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，利用即可得出．（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，利用△=0，解得t．利用平行线之间的距离公式可得最小距离，进而得出点P．（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，【解答】解：∴（x﹣1）2+y2=1．曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴y﹣x=1，即x ﹣y+1=0．（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，∵△=4（t﹣1）2﹣8t2=0，化为t2+2t﹣1=0，解得．取t=﹣1，直线y=x+1与切线的距离d==﹣1，即为曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离．此时2x2+2（t﹣1）x+t2=0，化为=0，解得x==，y=，∴P．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值；（2）由题意可得|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，将函数y=|2n﹣1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y的最小值，从而求得m的范围．【解答】解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=，∴y min=4，由存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．2017年3月11日。
四川省眉山市高三上学期期末数学试卷(理科)
四川省眉山市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设集合M={y|y=,x＜0},N=,则M∩N=（）A . (1,+∞)B . (0,1)C .D . (0,1)∪(1,+∞)2. （2分） (2017高三上·珠海期末) 设复数z1=1+2i，z2=2﹣i，i为虚数单位，则z1z2=（）A . 4+3iB . 4﹣3iC . ﹣3iD . 3i3. （2分） (2017高二上·潮阳期末) 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A . 2C . ﹣D .4. （2分） (2016高一上·宁县期中) 函数y=x﹣2是（）A . 奇函数B . 偶函数C . 非奇非偶函数D . 既是奇函数又是偶函数5. （2分）在线性约束条件下,目标函数的最小值是（）A . 9B . 2C . 3D . 46. （2分） (2017高一上·新乡期末) 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A . 48B . 57D . 687. （2分）已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)=,则随机变量X落在区间(1,2)内的概率为（）A . e2+eB .C . e2-eD .8. （2分）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A . 10种B . 15种C . 20种D . 30种二、填空题 (共6题；共7分)9. （1分）(2017·上饶模拟) 已知a＞0，展开式的常数项为15，则=________10. （1分） (2016高二上·吉林期中) 已知在△ABC中，A=60°，AC=6，BC=k，若△ABC有两解，则k的取值范围是________11. （1分）设双曲线﹣y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、Pn是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|PkF|的长度为ak ，（k=1，2，3，…，n）．若数列{an}成等差数列且公差d∈（，），则n 最大取值为________12. （1分） (2016高一下·高淳期末) 等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前项和为Sn ，若S3 ， S9 ，S6成等差数列，则q3=________．13. （2分）若向量，则与平行的单位向量为________，与垂直的单位向量为________14. （1分） (2019高三上·天津期末) 已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2016高二上·邹平期中) 已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．16. （10分）(2018·孝义模拟) 某大型商场去年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元）购物单张数252530由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值，当时，消费者可分别获得价值元、元和元的购物券.求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.17. （10分） (2017高二下·黄陵开学考) 如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1 ．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1= ，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．18. （10分）(2017·太原模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0），F（﹣c，0）为其左焦点，点P（﹣，0），A1 ， A2分别为椭圆的左、右顶点，且|A1A2|=4，|PA1|= |A1F|．（1）求椭圆C的方程；（2）过点A1作两条射线分别与椭圆交于M、N两点（均异于点A1），且A1M⊥A1N，证明：直线MN恒过x轴上的一个定点．19. （10分） (2018高三上·北京月考) 已知函数 .（1）求函数在上的最值;（2）求函数的极值点.20. （5分）已知集合A={x|x2+（b+2）x+b+1=0}={a}，求集合B={x|x2+ax+b=0}的真子集．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。
四川省南充市高三上学期期末数学试卷(理科)
四川省南充市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知是虚数单位，则（）A .B .C .D .2. （2分）用数学归纳法证明：1+x+x2+x3+…+xn+2= （x≠1，n∈N+）成立时，验证n=1的过程中左边的式子是（）A . 1B . 1+xC . 1+x+x2D . 1+x+x2+x33. （2分） (2016高三上·重庆期中) 设函数f（x）=2sin（2x+ ），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）A . x=B . x=C . x=D . x=4. （2分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x,y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题有（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ③④5. （2分） (2017高二上·抚州期末) 如图所示的流程图，最后输出n的值是（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分）已知平面向量，（≠0，≠ ）满足| |=1，且与﹣的夹角为30°，则| |的取值范围是（）A .B . （0，2]C .D . （1，2]7. （2分） (2017高二下·海淀期中) 函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A . 1B . ﹣C .D . 或﹣8. （2分） (2015高二上·安阳期末) 一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（）A . （x+3）2+y2=4B . （X﹣3）2+y2=1C . （X+ ）2+y2=D . （2x﹣3）2+4y2=19. （2分）若等比数列{an}对于一切自然数n都有an+1=1﹣ Sn ，其中Sn是此数列的前n项和，又a1=1，则其公比q为（）A . 1B . ﹣C .D . ﹣10. （2分）(2017·齐河模拟) 已知F1 ， F2是双曲线C：，b＞0）的左、右焦点，若直线y=2x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2是矩形，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x∈R），f（1）=1，则f（3）=（）A . ﹣3B . 3C . 6D . ﹣612. （2分） (2019高一上·忻州月考) 设函数 ,若对于 , 恒成立,则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二上·黑龙江月考) 在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为________．14. （1分） (2016高二上·杭州期中) 已知x＞0，则函数的最小值为________．15. （1分） (2016高一上·如东期中) 函数有一零点所在的区间为（n0 ， n0+1）（），则n0=________．16. （2分）如图在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：（1） AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高三上·怀化期中) 在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求角B的大小；（2）设函数f（x）=2sinxcosxcosB﹣ cos2x，求函数f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时x的值．18. （10分）我们把一系列向量（i=1，2，3，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足： =（1，1）， =（xn ， yn）= （xn﹣1﹣yn﹣1 ， xn﹣1+yn﹣1）（n≥2）．（1）证明：数列是等比数列；（2）设θn表示向量与间的夹角，若bn= ，对于任意正整数n，不等式 + +…+ ＞a（a+2）恒成立，求实数a的范围．19. （10分）(2020·海南模拟) 如图（1），在平面五边形中，已知四边形为正方形，为正三角形.沿着将四边形折起得到四棱锥，使得平面平面，设在线段上且满足，在线段上且满足，为的重心，如图（2）.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. （10分） (2016高二上·徐水期中) 在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且过D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．21. （10分） (2016高二下·黑龙江开学考) 已知a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（1）求函数f（x）的极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞2x﹣2a．22. （10分） (2018高二下·驻马店期末) 在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线；过点的直线的参数方程为为参数），直线与曲线分别交于两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若成等比数列，求的值.23. （10分） (2016高二下·安吉期中) 已知函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|，a为实数．（1）当a=1时，求函数f（x）在[0，3]上的最小值和最大值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
四川省成都市重点中学2021-2022学年高三上学期期末考试理科数学试卷
成都石室中学高2022届高三上期期末考试数 学（理科） 第 Ⅰ 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则复数21i −所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．方程11(),2()11()2x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩为参数对应的曲线的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3. 已知两个非零向量,a b 满足()0a a b ⋅−=，且2||||a b =，则,a b <>=A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4．已知圆222 (0)x y r r +=>与抛物线22y x =交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于A ．B ．C ．D ．5．居民消费价格指数（Consumer Price Index ，简称CPI ）是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月—2020年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是A ．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B ．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C ．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D ．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势6．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件||2||PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于A ．πB ．4πC ．8πD ．9π7．已知命题p ：椭圆22143x y +=上存在到焦点的距离等于4的点；命题q ：双曲线22145x y −=的右支上存在到左焦点距离为4的点．下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝8．己知椭圆C 的焦点为1(1,0)F −，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||AF F B =，15||4||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12,F F 为C 的左，右焦点，P 为C 上一点，且12PF F △的内切圆圆心I 的坐标为(,1)s ，若12PF F △的面积为2b ，则椭圆的离心率为A ．35B ．45C ．14D ．3410．设双曲线H ：224x y −=的两个焦点为1F ，2F ，P 是双曲线H 上的任意一点，过1F 作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为M ，则点M40y −−=的距离的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 11．已知23()2a =，e e 1()e b +=，34()3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c12．已知等腰 Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝1，D ，E 分别是AB 和BC 上的动点，△BDE 沿DE 翻折后，B 恰好落在AC 边上，则BE 的最小值为 A1 B ．12 CD．1第 Ⅱ 卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()(22)sin x x f x m x −=+⋅是偶函数，则m ＝ ．14．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.15．中国古乐中以“宫”“商“角“微“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说．如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，则“宫”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于A ，B 两点（其中A 在B 的上方），过线段的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 于点P ，Q ，N ．给出下列四个命题： ①||||PM NQ =；②若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB的斜率为 ③若P ，Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有||||PQ OQ >； ④若P ，Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有||||NQ OQ >； 其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．AB三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
四川省内江市高三上学期期末数学试卷(理科)
四川省内江市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合，则为（）A . (1,2)B .C .D .2. （2分）一个口袋内有带标号的7个白球，3个黑球，作有放回抽样，连摸2次，每次任意摸出1球，则2次摸出的球为一白一黑的概率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几何体的体积为（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高三上·孟津期末) 设 F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为（）A .B . 2C .D .5. （2分）下面几何体的截面一定是圆面的是（）A . 圆台B . 球C . 圆柱D . 棱柱6. （2分）已知tanα，tanβ是方程两根，且，则α+β等于（）A .B . 或C . -或D .7. （2分）半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A . [1﹣， 1+]B . [﹣1-，﹣1+]C . [﹣，+]D . [-﹣， -+]8. （2分） (2017高二上·成都期中) 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共6题；共7分)9. （1分）已知复数 =i，则Z的虚部为________．10. （1分） (2015高一下·松原开学考) 直线 x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得到的弦长为________．11. （1分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入p的取值范围是________12. （1分）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于________ ．13. （1分） (2016高一下·黄冈期末) 已知实数x，y满足，则ω= 的取值范围是________．14. （2分）(2020·银川模拟) 已知函数是定义在上的奇函数，且满足 .当时，，则 ________， ________.三、解答题 (共6题；共70分)15. （15分）如图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象．（1）求函数解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围．16. （10分） (2019高一上·吉林月考) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，AC=,PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。
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四川省高三上学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）若集合，则所含的元素个数为（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
2. （2分） (2018高一上·雅安期末) 已知，若，则（）
A .
B .
C .
D . 1
3. （2分）(2017·武汉模拟) 若函数f（x）= 在区间（0，）上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A . a≤﹣1
B . a≤2
C . a≥﹣1
D . a≤1
4. （2分）下列命题正确的是（）
A .
B .
C . 是的充分不必要条件
D . 若,则
5. （2分）(2017·泉州模拟) 已知实数x，y满足约束条件 z=x+y，则满足z≥1的点（x，y）所构成的区域面积等于（）
A .
B .
C .
D . 1
6. （2分）(2019·淮南模拟) 在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，=3，·=2，则⋅
的值是（）
A . 4
B . 6
C . 8
D . 10
7. （2分） (2018高三上·山西期末) 函数如何平移可以得到函数图象（）
A . 向左平移
B . 向右平移
C . 向左平移
D . 向右平移
8. （2分）如图，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AD，A1D1的中点，长为2的线段MN 的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动，则线段MN的中点P在二面角A—A1 D1—B1内运动所形成的轨迹（曲面）的面积为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是（）
A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
10. （2分）(2016·中山模拟) 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）
A . 8π
B . 16π
C . 32π
D . 64π
11. （2分）(2017·湖北模拟) 已知点A（﹣1，0），B（1，0）为双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为（）
A . x2﹣ =1
B . x2﹣ =1
C . x2﹣y2=1
D . x2﹣ =1
12. （2分）若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是（）
A . 1<a<2
B . 1<a<4
C . 2<a<4
D . a>4或a<1
二、填空题． (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高三上·沧州期末) 已知单位向量的夹角为60°，则 ________．
14. （1分）(2017·南充模拟) 已知正数数列{an}的前n项和，则an=________．
15. （1分）(2019·南开模拟) 若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为________.
16. （1分） (2016高三上·荆州模拟) 设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且它在[0，+∞）上单
调递增，若a=f（），b=f（），c=f（﹣2），则a，b，c的大小关系是________（从小到大排）
三、解答题。
(共7题；共55分)
17. （10分） (2019高三上·成都月考) 的内角，，的对边分别为，， ,已知
，， .
（1）求角的大小:
（2）求的面积 .
18. （10分） (2019高一下·重庆期中) 已知数列满足：，，数列满足：（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和，并比较与的大小.
19. （5分） (2017高三上·西安开学考) 如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．
（Ⅰ）证明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
20. （10分） (2016高二上·如东期中) 己知抛物线若y2=2px过点P（1，2）．
（1）求实数p的值；
（2）若直线若l交抛物线于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），两点，且y1y2=﹣4，求证直线l过定点并求出该点的坐标．
21. （5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=0处的切线为l：4x+y﹣5=0，若x=﹣2时，y=f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．
22. （10分） (2019高二下·海安月考) 选修4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方
程为，直线的参数方程为 ( 为参数)．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数.
23. （5分）(2017·襄阳模拟) 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+x＞0；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
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答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题． (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题。
(共7题；共55分)
答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、考点：
解析：
答案：22-1、答案：22-2、
考点：
解析：
答案：23-1、考点：
解析：。