2010年辽宁高考文科数学试题答案
2010年全国统一高考数学试卷文科新课标含解析版
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（ ）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（ ）A．B．C．D．3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（ ）A．B．C．1D．24．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2 5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（ ）A．B．C．D．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa28．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A．B．C．D．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 ．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为 ．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（ ）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（ ）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选：C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一． 3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（ ）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得Z===•=•=•=，故|z|==，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题． 4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（ ）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的． 11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 x2+y2=2 ．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为 ．【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ①②③⑤ （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD= 2+ ．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又BC=3BD所以CD=2BD所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因为AC=AB所以由（3）得2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0求得BD=2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a n}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由a n=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n（2）由（1）知S n=na1+d=10n﹣n2．因为S n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，S n取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．所以HA=HB=．因为∠APB=∠ADB=60°所以PA=PB=，HD=HC=1．可得PH=．等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表： 性别是否需要志愿者男 女需要40 30 不需要 160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P （K 2≥k ） 0.0500.010 0.001 3.8416.635 10.828附：K 2=． 【考点】BL ：独立性检验．【专题】11：计算题；5I ：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K 2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P （K 2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题．【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则．因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax），令g（x）=e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（e x﹣1）﹣x2，=（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）=e x﹣1﹣ax，则g'（x）=e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x=0时，f（x）=0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
2010年高考试题文科数学(全国卷I)及答案解析
A
1 1 + x2
=
，
O
P
��� � ��� � ��� � ��� � PA • PB =| PA| ⋅ | PB| cos 2α
2 2 4 2
x 2 (1 − 2 sin2 α )
= B
��� � ��� � x ( x − 1) x − x x4 − x2 = ，令 PA • PB = y ，则 y = ， x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1
| PF1 |i| PF2 | =
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想， 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos ∠ F1 P F2 =
| PF1 |2 + | PF2 |2 − | F1 F2 |2 2 | PF1 || PF2 |
D1 A1 D A O B1
C1
C B
面 AC D1 所 成 角 相 等 , 设 DO ⊥ 平 面 AC D1 ， 由 等 体 积 法 得 VD − ACD1 = VD1− ACD , 即
1 1 S ∆ACD1 ⋅ DO = S∆ACD ⋅ DD1 .设 DD1=a, 3 3
则 S∆ ACD1 =
7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本 小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b= a + 题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b), 所以|lga|=|lgb|, 所以 a=b(舍去) ，或 b =
1 ≥ 2 , 从而错选 D,这也是命 a
2010年辽宁省高考数学试卷(文科) (1)
2010年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}2．（5分）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a=3，b=1 C．D．a=1，b=33．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，f（x）≤f（x0）B．∃x∈R，f（x）≥f（x0）C．∀x∈R，f （x）≤f（x0）D．∀x∈R，f（x）≥f（x0）5．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1206．（5分）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．37．（5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C．D．168．（5分）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A．B．C． D．9．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．10011．（5分）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π12．（5分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，） C．（，] D．[，π）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为．14．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=3，S6=24，则S9=．15．（5分）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是．（答案用区间表示）16．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．18．（12分）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：附：K2=．19．（12分）如图，棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．20．（12分）设F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的焦距；（Ⅱ）如果，求椭圆C的方程．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．22．（10分）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．23．（10分）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A 的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．24．（10分）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．2010年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}【分析】从U中去掉A中的元素就可．【解答】解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．故选：D．【点评】集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合．2．（5分）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a=3，b=1 C．D．a=1，b=3【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【解答】解：由可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故选：A．【点评】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．3．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，由此能求出公比q=4．【解答】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，a4=4a3，∴公比q=4．故选：B．【点评】本题考查公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．（5分）已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，f（x）≤f（x0）B．∃x∈R，f（x）≥f（x0）C．∀x∈R，f （x）≤f（x0）D．∀x∈R，f（x）≥f（x0）【分析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函数的对称轴，由a ＞0可知二次函数有最小值．【解答】解：∵x0满足关于x的方程2ax+b=0，∴∵a＞0，∴函数f（x）在x=x0处取到最小值是等价于∀x∈R，f（x）≥f（x0），所以命题C错误．故选：C．【点评】本题考查二次函数的最值问题，全称命题和特称命题真假的判断，注意对符号∃和∀的区分和理解．5．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120【分析】讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．【解答】解：第一次：k=1，p=1×3=3；第二次：k=2，p=3×4=12；第三次：k=3，p=12×5=60；第四次：k=4，p=60×6=360此时不满足k＜4．所以p=360．故选：B．【点评】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．6．（5分）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．【解答】解：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2kπ，即，又因为ω＞0，所以k≥1，故≥，故选：C．【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．7．（5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C．D．16【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．8．（5分）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A．B．C． D．【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．【解答】解：==•=；故选：C．【点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．9．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．10．（5分）设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．100【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故选：A．【点评】本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．11．（5分）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．【解答】解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点∴OA=OB=OC=OS=1又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，∴表面积为4πR2=4π．故选：A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，） C．（，] D．[，π）【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．【解答】解：因为y=上的导数为y′=﹣=﹣，∵e x+e﹣x≥2=2，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴π≤α＜π．即α的取值范围是[π，π）．故选：D．【点评】本题主要考查直线的斜率关系、导数的几何意义．属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件可以列举出三张卡片随机地排成一行，而满足条件的只有一种，根据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件可以列举出三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE，EBE，EEB，而满足条件的只有一种，∴概率为：．故答案为：【点评】字母排列问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示．14．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=3，S6=24，则S9=63．【分析】利用等差数列的性质得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，由此能求出结果．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，且S3=3，S6=24，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，设S9=x，则2（24﹣3）=3+（x﹣24），解得x=63．故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用．15．（5分）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．（答案用区间表示）【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．【解答】解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x﹣3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8．z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．故答案为：（3，8）．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．【分析】结合题意及图形，可知几何体为一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，还原几何体，求解即可．【解答】解：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形，且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为．【点评】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c 关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．【解答】解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．18．（12分）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”． 表3：附：K 2=．【分析】（1）利用组合数找出所有事件的个数n ，基本事件的个数m ，代入古典概率计算公式p=（2）由频数分布表中的频数求出每组的，画出频率分布直方图，完成2×2列联表，代入计算随机变量值后与临界点比较判断两变量的相关性的大小．【解答】解：（Ⅰ）从200选100的组合数C 200100，记：“甲、乙两只家兔分在不同组”为事件A ，则事件A 包含的情况有2C 19899∴（4分）（Ⅱ）（i）图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．（8分）（ii）表3：由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．（12分）【点评】本题考查的内容为：利用组合数求古典概率，由频数分布表画频率分布直方图及2×2列联表，考查独立性检验的计算公式与临界值比较以判断两个变量的关联性．要注意频率分布直方图的纵轴是19．（12分）如图，棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．【分析】（Ⅰ）证明平面AB1C内的直线B1C垂直平面A1BC1，内的两条相交直线A1B，BC1，即可证明平面AB1C⊥平面A1BC1；（Ⅱ）D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，BC1交B1C于点E，连接DE，E是BC1的中点，推出D为A1C1的中点，可得A1D：DC1的值．【解答】（Ⅰ）证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，又B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．（Ⅱ）解：设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D：DC1=1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．20．（12分）设F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的焦距；（Ⅱ）如果，求椭圆C的方程．【分析】（Ⅰ）过F1作F1⊥l可直接根据直角三角形的边角关系得到，求得c的值，进而可得到焦距的值．（Ⅱ）假设点A，B的坐标，再由点斜式得到直线l的方程，然后联立直线与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，求出两根，再由可得y1与y2的关系，再结合所求得到y1与y2的值可得到a，b的值，进而可求得椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离．所以椭圆C的焦距为4．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），可设y1＜0，y2＞0，直线l的方程为．联立，y2+y+﹣1=0解得．因为．即．得．故椭圆C的方程为．【点评】本题主要考查椭圆的基本性质．考查考生对椭圆基本性质的理解和认知，椭圆的基本性质是高考的重点内容，每年必考，一定要熟练掌握并能灵活运用．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤﹣2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．所以|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．令g（x）=f（x）+4x，则+4=．于是g′（x）≤=≤0．从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．22．（10分）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC 的大小．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC=90°．【点评】相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．23．（10分）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A 的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出点M、A的坐标，再利用直角坐标的直线AM的参数方程求得参数方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）．（5分）（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（1，0），故直线AM的参数方程为（t为参数）（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．24．（10分）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【分析】证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．证法二：先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．【解答】证明：证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②故．又③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理②故③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．【点评】考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较．深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑．。
辽宁卷,高考文科数学试卷
2010年普通高等学校招生全国统一考试•文科数学(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2010辽宁,文1)已知集合U ={1,3,5,7,9},A ={1,5,7},则∪A 等于（）A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}答案:D2.(2010辽宁,文2)设a ,b 为实数,若复数bia i ++21=1+i,则（）A.a =23,b =21 B.a =3,b =1C.a =21,b =23D.a =1,b =3答案:A3.(2010辽宁,文3)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4－2,3S 2=a 3－2,则公比q 等于（）A.3B.4C.5D.6答案:B4.(2010辽宁,文4)已知a >0,函数f (x )=ax 2+bx +c .若0x 满足关于x 的方程2ax +b =0,则下列选项的命题中为假命题的是（）A.∃x ∈R ,f (x )≤f (0x )B.∃x ∈R ,f (x )≥f (0x )C.∀x ∈R ,f (x )≤f (0x )D.∀x ∈R ,f (x )≥f (0x )答案:C 5.(2010辽宁,文5)如果执行下面的程序框图,输入n =6,m =4,那么输出的p 等于（）A.720B.360C.240D.120答案:B 6.(2010辽宁,文6)设ω>0,函数y =sin(ωx +3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是（）A.32B.34C.23D.3答案:C7.(2010辽宁,文7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足.如果直线AF 的斜率为－3,那么|PF |等于（）A.43B.8C.83D.16答案:B8.(2010辽宁,文8)平面上O ,A ,B 三点不共线,设=a ,=b ,则△OAB 的面积等于（）A.222)(b a b a •− B.222)(b a b a •+C.222)(21b a b a •− D.222)(21b a b a •+答案:C9.(2010辽宁,文9)设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C.213+ D.215+答案:D10.(2010辽宁,文10)设a 2=b 5=m ,且a 1+b 1=2,则m 等于（）A.10 B.10 C.20 D.100答案:A11.(2010辽宁,文11)已知S,A,B,C 是球O 表面上的点,SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,SA =AB =1,BC =2,则球O 的表面积等于（）A.4πB.3πC.2πD.π答案:A12.(2010辽宁,文12)已知点P 在曲线y =14+x e 上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是（）A.［0,4π］ B.［4π,4π］ C.(2π,43π) D.［43π,π)答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2010辽宁,文13)三张卡片上分别写上字母E ,E ,B ,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE 的概率为________________.答案:3114.(2010辽宁,文14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9=________________.答案:1515.(2010辽宁,文15)已知－1<x +y <4且2<x －y <3,则z =2x －3y 的取值范围是________________.(答案用区间表示)答案:(3,8)16.(2010辽宁,文16)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为________________.答案:23三、解答题:本大题共8小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2010辽宁,文17)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c + b )sin C .(1)求A 的大小;(2)若sin B +sin C =1,试判断△ABC 的形状.解:(1)由已知,根据正弦定理得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc .由余弦定理得a 2=b 2+c 2－2bc cos A ,故cos A =－21,A =120°.(2)由(1)得sin 2A =sin 2B +sin 2C +sinBsin C . 又sin B +sin C =1,得sin B =sin C =21. 因为0°<B <90°,0°<C <90°,故B =C .所以△ABC 是等腰的钝角三角形.18.(2010辽宁,文18)为了比较注射A ,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A ,另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果.(疱疹面积单位:2mm )表1:注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积［60,65］［65,70］［70,75］［75,80］频数30402010表2:注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积［60,65］［65,70］［70,75］［75,80］［80,85］频数1025203015(1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图(2)完成下面2×2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.表3:疱疹面积小于70mm 2疱疹面积不小于70mm 2合计注射药物Aa =b =注射药物Bc =d =合计n =附:K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++−P (K 2≥k )0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解:(1)图1注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间,而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数.(2)表3:疱疹面积小于70mm 2疱疹面积不小于70mm 2合计注射药物Aa =70B =30100注射药物Bc =35D =65100合计10595n =200K 2=90105100100)30356570(2002××××−××≈24.56, 由于K 2>10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.19.(2010辽宁,文19)如图,棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形,B 1C ⊥A 1B .(1)证明平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1;(2)设D 是A 1C 1上的点,且A 1B∥平面B 1CD ,求A 1D ∶DC 1的值.C 1解:(1)证明:因为侧面BCC 1B 1是菱形,所以B 1C ⊥BC 1.又已知B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1=B ,所以B 1C ⊥平面A 1BC 1.又B 1C 平面AB 1C ,所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.C 1(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连结DE ,则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线. 因为A 1B ∥平面B 1CD ,所以A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点,所以D 为A 1C 1的中点.即A 1D ∶DC 1=1.20.(2010辽宁,文20)设F 1、F 2分别为椭圆C :22a x +22by =1(a >b >0)的左、右焦点,过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,F 1到直线l 的距离为23.(1)求椭圆C 的焦距;(2)如果2AF =2B F 2,求椭圆C 的方程.解:(1)设焦距为2c ,由已知可得F 1到直线l 的距离3c =23,故c =2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知y 1<0,y 2>0,直线l 的方程为y =3(x －2).联立⎪⎩⎪⎨⎧=+−=1),2(32222b ya x x y 得(3a 2+b 2)y 2+43b 2y －34b =0.解得y 1=2223)22(3b a a b ++−,y 2=2223)22(3b a a b +−−.因为2AF =2B F 2,所以－y 1=2y 2, 即2223)22(3b a a b ++=2·2223)22(3b a a b +−−,得a =3.而a 2－b 2=4,所以b =5.故椭圆C 的方程为92x +52y =1.21.(2010辽宁,文21)已知函数f (x )=(a +1)ln x +ax 2+1.(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)设a ≤－2,证明:对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=x a 1++2ax =x a ax 122++.当a ≥0时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上单调增加;当a ≤－1时,f ′(x )<0,故f (x )在(0,+∞)上单调减少;当－1<a <0时,令f ′(x )=0,解得x =a a 21+−.则当x ∈(0,a a 21+−)时,f ′(x )>0;当x ∈(a a 21+−,+∞)时,f ′(x )<0.故f (x )在(0,a a 21+−)上单调增加,在(a a 21+−,+∞)上单调减少.(2)证明不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f (x )在(0,+∞)上单调减少.所以|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2) －f (x 1)≥4x 1－4x 2,即f (x 2)+4x 2≥f (x 1)+4x 1.令g (x )=f (x )+4x ,则g ′(x )=x a 1++2ax +4=x a x ax 1422+++.于是g ′(x )≤x x x 1442−+−=xx 2)12(−−≤0. 从而g (x )在(0,+∞)上单调减少,故g (x 1)≤g (x 2),即f (x 1)+4x 1≤f (x 2)+4x 2,故对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.22.(2010辽宁,文22)选修4—1:几何证明选讲如图,△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明△ABE ∽△ADC ;(2)若△ABC 的面积S =21AD ·AE ,求∠BAC 的大小.AB CD E(1)证明:由已知条件,可得∠BAE =∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,所以∠AEB =∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解:因为△ABE ∽△ADC , 所以AE AB =ACAD ,即AB ·AC =AD ·AE . 又S =21AB ·AC sin ∠BAC ,且S =21AD ·AE ,故AB ·AC sin ∠BAC =AD ·AE . 则sin ∠BAC =1,又∠BAC 为三角形内角,所以∠BAC =90°.23.(2010辽宁,文23)选修4—4:坐标系与参数方程已知P 为半圆C :⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x (θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧AP 的长度均为3π.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标;(2)求直线AM 的参数方程.解:(1)由已知,M 点的极角为3π,且M 点的极径等于3π, 故点M 的极坐标为(3π,3π). (2)M 点的直角坐标为(6π,63π),A (1,0), 故直线AM 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+=t y t x 63,)16(1ππ(t 为参数).24.(2010辽宁,文24)选修4—5:不等式选讲已知a ,b ,c 均为正数,证明a 2+b 2+c 2+(a 1+b 1+c1)2≥63,并确定a ,b ,c 为何值时,等号成立.证法一:因为a ,b ,c 均为正数,由平均值不等式得a 2+b 2+c 2≥332)(abc ,①a 1+b 1+c1≥331)(−abc , 所以(a 1+b 1+c 1)2≥932)(−abc .② 故a 2+b 2+c 2+(a 1+b 1+c 1)2 ≥332)(abc +932)(−abc . 又332)(abc +932)(abc ≥227=63,③所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当332)(abc =932)(−abc 时,③式等号成立. 即当且仅当a =b =c =413时,原式等号成立.证法二:因为a ,b ,c 均为正数,由基本不等式得a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac .所以a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac .① 同理21a +21b +21c ≥ab 1+bc 1+ac1,② 故a 2+b 2+c 2+(a 1+b 1+c1)2 ≥ab +bc +ac +3ab 1+3bc 1+3ac 1≥63.③ 所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,(ab )2=(bc )2=(ac )2=3时,③式等号成立.即当且仅当a =b =c =413时,原式等号成立.。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷.文)答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学试卷（文科）参考答案一、选择题 （1）D（2）A （3）B （4）C （5）B （6）C （7）B （8）C（9）D（10）A（11）A（12）D二、填空题（13）31 （14）15 （15）（3,8）（16）32（17）解：（I ）由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22+++=即bc c b a ++=222由余弦定理得 A bc c b a cos 2222-+= 故 ︒=-=120,21cos A A （II ）由（I ）得C B C B A sin sin sin sin sin 222++= 又21sin sin ,1sin sin ===+C B C B 得 因为0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B=C 所以△ABC 是等腰的钝角三角形。
（18）（I ）可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数。
（II ）表356.249510510010030)35-65(70200K 22≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=由于10.828,K 2>所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”。
（19）解：（I ）因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1 又已知B 1C ⊥A 1B,且A 1B ∩BC 1=B 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1，又 B 1C ⊂平面AB 1C 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1（II ）设BC 1交B 1C 于点E,连接DE,则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线。
因为A 1B ∥平面B 1CD ，所以A 1B ∥DE 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点即A 1D:DC 1=1（20）解：（I ）设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 2.c ==故所以椭圆C 的焦距为4.……4分（Ⅱ）设)y ,B(x ),y ,A(x 2211，由题意知0,021<<y y ，直线l 的方程为2).y x =-联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)2(32222b yax x y 得03234)3(4222=--++b y y b y b a解得22122222(22)(22),.33a a y y a b a b+-==++因为22122,2.AF F B y y =-=所以即222222(22)(22)2.33a a a b a b +-=∙++……18分得223.4,a a b b =-==而所以故椭圆C 的方程为：221.95x y += ……12分（21）解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0,+∞），2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f （x ）在（0,+∞）单调增加； 当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f （x ）在（0,+∞）单调减少；当－1＜a ＜0时，令()fx '＝0,解得x当x ∈（0, ）时, ()f x'＞0； x ∈+∞）时，()f x '＜0, 故f （x ）在（0,单调增加，在+∞）单调减少.（Ⅱ）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f （x ）在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于21()()f x f x -≥4x 1－4x 2,即f （x 2）+ 4x 2≥f （x 1）+ 4x 1. 令g （x ）=f （x ）+4x ,则1()2a g x ax x+'=++4＝2241ax x a x+++.8分于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0. 从而g （x ）在（0，+∞）单调减少，故 g （x 1） ≤g （x 2），即 f （x 1）+ 4x 1≤f （x 2）+ 4x 2，故对任意x 1,x 2∈（0,+∞），1212()()4f x f x x x -≥-. 12分 （22）证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB ADAE AC=，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°. （23）解： （Ⅰ）由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为（π3,π3）……5分（Ⅱ）M点的直角坐标为（π,66）,A （l,0），故直线AM 的参数方程为π1(1).6.6x t y t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. ……10分（24）证明： （证法一）因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得a 2+b 2+c 2≥32)(3abc①111a b c++≥)(331-abc 所以2111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥32)(9-abc② ……6分故a 2+b 2+c 2+2111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥32)(3abc +32)(9-abc又32)(3abc +32)(9-abc ≥=③ ……8分所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当32)(3abc =32)(9-abc 时, ③式等号成立. 即当且仅当a =b =c =143时,原式等号成立. ……10分（证法二）因为a ，b ，c 均为正数,由基本不等式 a 2+b 2≥2ab , b 2+c 2≥2ab , c 2+a 2≥2ac .所以a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac①同理222111a b c ++≥111ab bc ac++② ……6分故a 2+b 2+c 2+（111a b c ++）2≥ab+bc+ac+31ab +31bc +31ac≥ ③ ……8分所以原不等式成立当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,（ab ）2=（b c ）2=（ac ）2=3时,③式等号成立. 即当且仅当a =b =c =143时,原式等号成立.……10分。
2010年高考文科数学试题及答案课标)
2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考公式：样本数据12, n x x x 的标准差 锥体体积公式s = =13V s h 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 2334,4S R V R ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合2,,4,|A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2|（2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665-（3）已知复数z =，则i = (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）2 （4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+（C ）22y x =- （D ）22y x =-+（5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（A （B（C（D （6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A ）54（B ）45（C ）65（D ）56 (9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){}20x f x ->=（A ）{}24x x x <->或（B ）{}04 x x x <>或（C ）{}06 x x x <>或（D ）{}22 x x x <->或（10）若sin a = -45，a 是第一象限的角，则sin()4a π+= （A ）（B（C） （D（11）已知 ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是（A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20）（12）已知函数f(x)=lg 1,01016,02x x x x <≤-+>⎧⎨⎩ 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc 的取值范围是（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版ⅰ)(含解析版)(附详细答案)
门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
种．（用
数字作答）
16．（ 5 分）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长
线交 C 于点 D，且
，则 C 的离心率为
．
三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（ 10 分）记等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，设 S3=12，且 2a1，a2，a3+1 成等
）
A．
B．
C．
D．
10．（ 5 分）设 a=log32，b=ln2，c= ，则（
）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜ a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
11．（ 5 分）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB为该圆的两条切线， A、B 为两切点，
那么
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（ 5 分）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2，则四面
值．
【解答】 解：∵
．
故选： C． 【点评】 本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．
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3．（ 5 分）若变量 x，y 满足约束条件
，则 z=x﹣2y 的最大值为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】 7C：简单线性规划． 【专题】 11：计算题； 31：数形结合． 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=x﹣2y 表示直
C．6
D．
5．（5 分）（1﹣x）4（ 1﹣ ） 3 的展开式 x2 的系数是（
）
2010年辽宁高考数学文科试卷带详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(文科)解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U A =ð （ ）A.{}1,3B.{}3,7,9C.{}3,5,9D.{}3,9【测量目标】集合的补集运算.【考查方式】集合的表示（列举法），求集合的补集. 【参考答案】D【试题解析】在集合U 中，去掉1,5,7，剩下的元素构成{}3,9U A =ð 2.设,a b 为实数，若复数12i1i ia b +=++，则 （ ） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==【测量目标】复数代数形式的四则运算，复数相等.【考查方式】给出复数的除法形式，考查复数的代数四则运算. 【参考答案】A 【试题解析】12i 31i i 1i 22a b ++==++，因此31,22a b ==.3.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ ）A.3B.4C.5D.6【测量目标】等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和. 【考查方式】给出等比数列前n 项和与其中一项的关系，求公比. 【参考答案】B【试题解析】 两式相减得，3433a a a =-，44334,4a a a q a =∴==. 4.已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是 （ ） A.0,()()x f x f x ∃∈R … B.0,()()x f x f x ∃∈R … C. 0,()()x f x f x ∀∈R … D.0,()()x f x f x ∀∈R … 【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】将未知数设在方程里，与给定的0()f x 比较大小，判断命题的真假. 【参考答案】C【试题解析】函数()f x 的最小值是0()()2bf f x a-=等价于0,()()x f x f x ∀∈R …，所以命题C 错误.5.如果执行右面的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于 （ ）A.720B.360C. 240D. 120 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 值,输出p【参考答案】B【试题解析】当1,3k p ==，当2,12k p ==，当3,60k p ==，当4,360k p ==输出p .6.设0ω>,函数πsin()23y x ω=++的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （ ） A.23 B. 43 C. 32D. 3 【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质.【考查方式】给定函数式进行移动一定单位与原图像重合，求ω的最小值. 【参考答案】C【试题解析】由已知，周期2π4π3,.32T ωω==∴= 7.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为3-，那么PF = （ ） A.43 B. 8 C. 83 D. 16 【测量目标】抛物线的简单几何意义.【考查方式】给出抛物线的准线及准线上交点与焦点的斜率，图形结合求直线最小值. 【参考答案】B【试题解析】利用抛物线定义，易证PAF △为正三角形，则48sin30PF ︒== 8.平面上,,O A B 三点不共线，设,OA OB ==a b ,则OAB △的面积等于 （ ）A.222()- a b a bB.222()+ a b a bC.2221()2- a b a b D.2221()2+ a b a b【测量目标】平面向量的应用.【考查方式】给出平面向量的向量值，求三不共线向量围成的三角形面积. 【参考答案】C 【试题解析】2222111()sin ,1cos ,1222OABS =<>=-<>=- △a b a b a b a b a b a b a b2221()2=- a b a b9.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ） A.2 B.3 C.312+ D.512+ 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线方程，给出直线与渐近线的位置关系，求双曲线离心率. 【参考答案】D【试题解析】不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b （步骤1） 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴-=- ，2b ac ∴=220c a ac --=，解得512c e a +==.（步骤2） 10.设25abm ==，且112a b+=，则m = （ ） A.10 B.10 C.20 D.100 【测量目标】对数运算.【考查方式】给出指数函数的方程式，用对数的方式求解. 【参考答案】A 【试题解析】211log 2log 5log 102,10,m m m m a b+=+==∴=又0,10.m m >∴= 11.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 的表面积等于 （ ）A.4πB.3πC.2πD.π 【测量目标】球的表面积公式.【考查方式】给出球面上线线的位置与数量关系，线面关系，求圆的表面积. 【参考答案】A【试题解析】由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为24π4π.R = 12.已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 （ ） A.π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.π3π,24⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【测量目标】导数的应用，基本不等式.【考查方式】给出曲线方程，利用导数求曲线上动点的切线倾斜角范围. 【参考答案】D 【试题解析】24e 41e 2e 1e 2e x x x x xy '=-=-++++，1e 2,10e xx y '+∴-< 厔，即1tan 0α-< (3)[,π)4α∴∈第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.三张卡片上分别写上字母,,E E B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为 . 【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】直接给出数字，求一定条件下的概率. 【参考答案】13【试题解析】题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：,,BEE EBE EEB ，∴概率为：1.314.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = .【测量目标】等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和.【考查方式】给出n S 中的数值，求n a 中的数值，求出通项公式进行求解. 【参考答案】15 【试题解析】316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩，（步骤1）91815.a a d ∴=+=（步骤2）15.已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是 . （答案用区间表示）【测量目标】二元线性规划求目标函数的取值范围.【考查方式】给出两不等式，求z 的取值范围，将不等式化简后画图求解.【参考答案】（3,8） 【试题解析】利用线性规划，画出不等式组1423x y x y x y x y +>-⎧⎪+<⎪⎨->⎪⎪-<⎩表示的平面区域，即可求解.16.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的 长为 .【测量目标】由三视图求几何体的棱长.【考查方式】给出图形的三视图，求几何体最长的棱长. 【参考答案】23【试题解析】画出直观图：图中四棱锥P ABCD -即是，22PA =,23,2,22PB PD PC ===,所以最长的一条棱的长为2 3.PB =三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC △的形状.【测量目标】正弦定理余弦定理，利用正余弦定理判断三角形的形状.【考查方式】给出三角形边与角的等式，利用正、余弦定理求其中一角值；根据两角的关系判断ABC △的形状.【试题解析】解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22+++= 即bc c b a ++=222（步骤1） 由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=故1cos ,1202A A =-= （步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ）得.sin sin sin sin sin 222C B C B A ++=（步骤3）又1sin sin =+C B ，得21sin sin ==C B （步骤4）因为090,090B C <<<< ，故B C =（步骤5） 所以ABC △是等腰的钝角三角形.（步骤6）18.（本小题满分12分）为了比较注射,A B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组.每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .表1和表2分别是注射药物A 药物B 后的实验结果.（疱疹面积单位：2mm ）（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（Ⅱ）完成下面22⨯列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 的疱疹面积有差异”.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【测量目标】频率分布直方图，独立性检验.【考查方式】给出图示，完成频率分布直方图，检验独立性. 【试题解析】 （Ⅰ）可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数.（步骤1） （Ⅱ）表3疱疹面积小于270mm疱疹面积不小于270mm 合计 注射药物A 70a = 30b = 100 注射药物B35c = 65d = 100 合计10595200n =56.2495105100100)30356570(20022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K由于828.102>K ，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.（步骤2）19.（本小题满分12分）如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥（Ⅰ）证明：平面1ABC ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11AC 上的点，且1//A B 平面1B CD ，求11:A D DC 的值.【测量目标】线面垂直的判定，面面垂直的判定，平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】线线垂直推出面面垂直；给出直线与面的位置关系，求两直线长度的比值. 【试题解析】解：（Ⅰ）因为侧面11BCC B 是菱形，所以11BC C B ⊥（步骤1） 又已知11,B C A B ⊥且11AB BC B =所又⊥C B 1平面11A BC ，又⊂C B 1平面1ABC ，（步骤2） 所以平面⊥C AB 1平面11A BC .（步骤3）（Ⅱ）设1BC 交1B C 于点E ，连结DE ， 则DE 是平面11A BC 与平面1B CD 的交线，（步骤4） 因为1A B 平面1B CD ，所以1A B DE .（步骤5） 又E 是1BC 的中点，所以D 为11AC 的中点.即11:1A D DC =.（步骤6） 20.（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60 ，1F 到直线l 的距离为23.（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.【测量目标】椭圆与直线的位置关系，椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出椭圆与直线的位置关系，直线的倾斜角，求椭圆的焦距；给出交点与焦距连线的两直线的数量关系，求椭圆方程.【试题解析】解：（Ⅰ）设焦距为2c ，由已知可得1F 到直线l 的距离323, 2.c c ==故 所以椭圆C 的焦距为4.（步骤1）（Ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y 由题意知120,0,y y <>直线l 的方程为3(2).y x =-联立2222422223(2),(3)4330.1y x a b y b y b x y ab ⎧=-⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩解得221222223(22)3(22),.33b a b a y y a b a b -+--==++（步骤2）因为22122,2.AF F B y y =∴-=即2222223(22)3(22)2.33b a b a a b a b +--=++ （步骤3）得223.4, 5.a a b b =-=∴= （步骤4）故椭圆C 的方程为221.95x y +=（步骤5） 21.（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a -…，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x --…. 【测量目标】利用导数判断函数的单调性，利用导数解决不等式问题.【考查方式】（1）给出函数式，求分类讨论其单调性；确定未知数的范围，证明不等式，需要间接转化为证明单调性.【试题解析】解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=.（步骤1） 当0a …时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加；（步骤2） 当1a -…时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；（步骤3）当1-＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x =12a a+-.当x ∈(0, 12a a+-)时, ()f x '＞0； x ∈(12a a +-，+∞)时，()f x '＜0, 故()f x 在（0, 12a a+-）单调增加，在（12a a+-，+∞）单调减少.（步骤4） (Ⅱ)不妨假设12x x ….由于2a -…,故f (x )在（0，+∞）单调减少.（步骤5） 所以1212()()4f x f x x x --…等价于12()()f x f x -…4x 1－4x 2,即f (x 2)+ 4x 2…f (x 1)+ 4x 1.（步骤6）令()()4g x f x x =+,则1()2a g x ax x+'=++4 ＝2241ax x a x+++.（步骤7） 于是()g x '…2441x x x -+-＝2(21)x x--…0.（步骤8） 从而()g x 在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) …g (x 2)，即f (x 1)+ 4x 1…f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ，1212()()4f x f x x x --….（步骤9） 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，ABC △的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E（Ⅰ）证明：ABE △∽ADC △;（Ⅱ）若ABC △的面积12S AD AE = ，求BAC ∠的大小. 【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】给出图示，求圆内接三角形的相似，给出三角形的表达式，求一角值.【试题解析】证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .（步骤1）因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .（步骤2）（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC=，即AB AC ＝AD AE .（步骤3） 又S ＝12AB AC sin BAC ∠，且12S AD AE = ，故sin AB AC BAC AD AE ∠= .（步骤4）则sin 1BAC ∠=，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90 .（步骤5）23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知P 为半圆C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0πθ剟）上的点，点A 的坐标为（1，0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧 AP 的长度均为π3. （Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标; （Ⅱ）求直线AM 的参数方程.【测量目标】极坐标，圆的极坐标表示.【考查方式】给出圆的极坐标方程，给出部分坐标与位置关系，求一点的极坐标，及直线的参数方程.【试题解析】解：(Ⅰ)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为(π3,π3) （步骤1） (Ⅱ)M 点的直角坐标为(π3π,66),A (l,0)，故直线AM 的参数方程为 π1(1).63π.6x t y t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). （步骤2）24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知,,a b c 均为正数，证明：a 2+b 2+c 2+2111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…63，并确定,,a b c 为何值时， 等号成立.【测量目标】平均值不等式，基本不等式.【考查方式】给出未知数，求解不等式，解出当未知数为何值时，不等式等号成立. 【试题解析】证明：(证法一)因为,,a b c 均为正数，由平均值不等式得222233()a b c abc ++…, ① 111a b c ++…133()abc -, 所以2111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…239()abc -. （步骤1） ②故a 2+b 2+c 2+2111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…233()abc 239()abc -+.（步骤2） 又233()abc 239()abc -+…22763=， ③所以原不等式成立.（步骤3）当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当22333()9()abc abc -=时, ③式等号成立.即当且仅当a =b =c =143时,原式等号成立.（步骤4）(证法二)因为,,a b c 均为正数,由基本不等式222a b ab +…222b c bc +…222c a ac +…所以a 2+b 2+c 2…ab bc ac ++ （步骤5） ① 同理222111a b c ++…111ab bc ac ++ ②故a 2+b 2+c 2+2111()a b c ++…ab bc ac +++31ab +31bc +31ac63…. ③所以原不等式成立（步骤6）当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,(ab )2=(bc )2=(ac )2=3时,③式等号成立.即当且仅当a =b =c =143时,原式等号成立. （步骤7）。
2010年高考试题——数学文科(全国新课标卷)(解析版)真题
2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考公式： 样本数据12,n x x x 的标准差 锥体体积公式s ==13V sh其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 2334,4S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合2,,|4,|A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2|（1）D 【解析】[2,2]A =-，{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16B =，所以{}0,1,2A B ⋂=，选D.【方法指导】由所求A B ⋂可知，应分别求出集合A 和集合B ，在求集合B 时要注意x Z ∈这个条件，否则容易出错.（2）a ，b 为平面向量，已知a =（4，3），2a +b =（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于 （A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665- (2)C【解析】(2)2(3,18)2(4,3)(5,12)b a b a =+-=-=-，所以216cos ,65||||4a b a b a b ⋅〈〉===+，选C.【方法小结】根据向量a =（4，3），2a +b =（3，18）的关系及向量的代数运算求向量b ，然后利用公式cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=求两向量夹角余弦.（3）已知复数z =z = (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）2(3) B 【解析】z ==21844i i ===-+-，14z i =-，所以1||2z ==，选B. 【方法技巧】先利用平方运算，然后分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化复数z a bi =+形式，然后利用||z =.（4）曲线3y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ (4) A 【解析】32y x '=-，所以1|1x y ='=，即切线斜率为1，由直线点斜式得直线方程为01y x -=-，整理得1y x =-，选A.【规律总结】求曲线上某一点处的切线方程，通常利用导数求曲线在该点处的导数值，即切线斜率，然后利用点斜式求直线方程.（5）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（A （B （C ）2 （D ）2(5) D 【解析】设双曲线方程为22221x y a b -=，则其一条渐近线b y x a =过点（4,2），所以24ba=⋅，12b a =，12a =，2222114c a e a -=-=，所以e = D. 【方法技巧】根据已知条件建立双曲线中两个参量,a b 之间的关系，然后利用222b c a =-，把式子转化为,a c 的关系，得ca的大小，即斜率的大小.（6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（6）C 【解析】由题意知，当0t =时，P 在0P 位置，2d =，质点P 在圆上按逆时针方向旋转，d 逐渐变小，当4t π=时，min 0d =，结合图像可知选C.【方法技巧】解决这类问题通常利用数形结合的方法，本题借助单位圆，把动点P 由0P 位置开始逆时针方向旋转，由图形可以看出点P 到x 轴距离d 在[0,]4t π∈变化时由2减少到0，结合图像可知结论.(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2(7) B 【解析】由题意值长方体的对角线长等于球的直径.所以22222(2)(2)6r a a a a =++=，所以2232r a =，球的表面积为2246S r a ππ==，选B. 【方法小结】要求球的表面积需要求球的半径或半径的平方，又根据长方体的顶点都在一个球面上可知球的直径即为长方体对角线长，球的直径的平方为长方体同一顶点出发的三条棱长的平方和.（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65（D ）56(8) D 【解析】由框图中的判断条件可知k 的最大值为5，根据框图中的运算公式可知111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111151122334455666=-+-+-+-+-=-=，选D.【技巧点拨】有5N =，结合框图中的限制条件k N ≥时，输出S ，知k 的最大值为5，再根据框图知k 每次增加1，1(1)S S s k =++，得111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯，然后利用裂项法111(1)1n n n n =-++得出结论.(9)设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4 (x ≥0），则(){}20x f x ->= （A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或 (9) B 【解析】若20x -≥，2(2)240x f x --=->，得4x >；若20x -<，因()f x 为偶函数，(2)(2)f x f x -=-，2(2)240x f x --=->，得0x <.所以{|(2)0}x f x ->={|04}x x x <>或.选B.【方法小结】根据偶函数()f x 满足()24(0)xf x x =-≥，在求解不等式(2)0f x ->时要分20x -≥和20x -<两种情况来解.（10）若sin a ＝－45，a 是第三象限的角，则sin()4a π+=（A ）－10 （B ）10 （C ） -10 （D ）10(10) A 【解析】因为sin a ＝－45，a 是第三象限的角，所以3cos 5α==-，所以7sin()(sin cos )()422510a παα+=+=-=-，选A. 【解题小结】要求sin()4a π+的值，需要求cos α的值，根据sin a ＝－45，a 是第三象限的角，及22sin cos 1αα+=，求cos α的值，然后利用两角和的正弦公式把sin()4a π+展开，代入，即可得结论.（11）已知ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是 （A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20） (11)B 【解析】ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），根据中点坐标公式得D （0，－4），当目标函数过点B （3，4）时，min 14z =-，当目标函数过点D （0，－4）时，max 20z =，所以z=2x-5y 的取值范围是（-14，20）.【规律总结】根据题意必须求D点的坐标，根据平行四边形对角线互相平分，得D点坐标，然后把平行四边形四个顶点坐标代入z=2x-5y，得目标函数的最大值与最小值，得范围.（12）已知函数|lg|,010, ()16,10.2x xf xx x<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c互不相等，且()()(),f a f b f c==则abc 的取值范围是(A) (1,10)(B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)（12）C 【解析】如图，根据题意()f x m=有三个解，则01m<<，若lg a m=，则10ma=，若lg b m=-，则10mb-=，若162b m-+=，则122b m=-，由01m<<，得1012212m<-<，即1012b<<，所以1010m mabc b b-=⋅⋅=，所以1012abc<<，选C.【方法技巧】数形结合可知，若,,a b c互不相等，且()()(),f a f b f c==则()f x m=有三个解，则有01m<<，若令()()()f a f b f c m===，则有10ma=，10mb-=，162b m-+=，分别求出,,a b c，用m表示abc，根据m的范围，得abc的范围.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷一)及答案
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）cos300°=（）A．B．﹣ C．D．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．14．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．5．（5分）（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．36．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（5分）已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．89．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）A． B． C．D．12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）已知α为第二象限的角，，则tan2α=．15．（5分）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种．（用数字作答）16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．18．（12分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．19．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．21．（12分）求函数f（x）=x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．22．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C 相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）cos300°=（）A．B．﹣ C．D．【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．【解答】解：∵．故选C．2．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}【分析】根据补集意义先求C U M，再根据交集的意义求N∩（C U M）．【解答】解：（C U M）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（C U M）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，5}．故选C3．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（1，﹣1）时，z最大，且最大值为z max=1﹣2×（﹣1）=3．故选：B．4．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．【分析】由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．5．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3【分析】列举（1﹣x）4与可以出现x2的情况，通过二项式定理得到展开式x2的系数．【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x2的情况有：①m=1，n=2；②m=2，n=0；系数分别为：①=﹣12；②=6；x2的系数是﹣12+6=﹣6故选A6．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．7．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f （b），故可得，0＜a＜1＜b，则lga=﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．【解答】解：（方法一）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0∴lg（ab）=0∴ab=1，又a＞0，b＞0，且a≠b∴（a+b）2＞4ab=4∴a+b＞2故选：C．（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：，整理得线性规划表达式为：，因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y⇒y=﹣x+z，即求函数的截距最值．根据导数定义，函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），∴a+b的取值范围是（2，+∞）．故选：C．8．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4．法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|=4；故选B．9．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故选D．10．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C．11．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）A． B． C．D．【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），则PA=PB=，∠APO=α，则∠APB=2α，sinα=，==×（1﹣2sin2α）=（x2﹣1）（1﹣）==x2+﹣3≥2﹣3，∴当且仅当x2=时取“=”，故的最小值为2﹣3．故选D．12．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有，当直径通过AB与CD的中点时，，故．故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2} ．【分析】本题是解分式不等式，先将分母分解因式，再利用穿根法求解．【解答】解：：，数轴标根得：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}故答案为：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}14．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）已知α为第二象限的角，，则tan2α=．【分析】先求出tanα的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案．【解答】解：因为α为第二象限的角，又，所以，，∴故答案为：﹣15．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种．（用数字作答）【分析】由题意分类：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，确定选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，确定选法；然后求和即可．【解答】解：分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．所以不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故答案为：3016．（5分）（2010•大纲版Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，，作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•大纲版Ⅰ）记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．【分析】由2a1，a2，a3+1成等比数列，可得a22=2a1（a3+1），结合s3=12，可列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，进而求出前n项和s n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，解得或，∴s n=n（3n﹣1）或s n=2n（5﹣n）．18．（12分）（2010•大纲版Ⅰ）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得sin（A ﹣）=sin（B+），进而根据A，B的范围，求得A﹣和B+的关系，进而求得A+B=，则C的值可求．【解答】解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA•+sinB•=cosA+cosB，∴sinA﹣cosA=cosB﹣sinB∴sin（A﹣）=sin（B+），∵0＜A＜π，0＜B＜π∴﹣＜A﹣＜＜B+＜∴A﹣+B+=π，∴A+B=，C=π﹣（A+B）=19．（12分）（2010•大纲版Ⅰ）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．【分析】（1）投到该杂志的1篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中包含的事情有时相互独立的，列出算式．（2）投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的对立事件是0篇被录用，1篇被录用两种结果，从对立事件来考虑比较简单．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D=A+B•C，P（A）=0.5×0.5=0.25，P（B）=2×0.5×0.5=0.5，P（C）=0.3，P（D）=P（A+B•C）=P（A）+P（B•C）=P（A）+P（B）P（C）=0.25+0.5×0.3=0.40．（2）记4篇稿件有1篇或0篇被录用为事件E，则P（E）=（1﹣0.4）4+C41×0.4×（1﹣0.4）3=0.1296+0.3456=0.4752，∴=1﹣0.4752=0.5248，即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率是0.5248．20．（12分）（2010•大纲版Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB ∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A﹣DE﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB．SB=，DE=EB=所以SE=2EB（Ⅱ）由SA=，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知AE==1，又AD=1．故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=．连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．连接AG，AG=，FG=，cos∠AFG=，所以，二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．21．（12分）（2010•大纲版Ⅰ）求函数f（x）=x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．【分析】先求函数的极值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）=0，则x=﹣1或x=1，经验证x=﹣1和x=1为极值点，即f（1）=﹣2为极小值，f（﹣1）=2为极大值．又因为f（﹣3）=﹣18，f（3）=18，所以函数f（x）的最大值为18，最小值为﹣18．22．（12分）（2010•大纲版Ⅰ）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD 和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出k1=k2原式得证．（Ⅱ）首先表示出结果为求得m，进而求得y2﹣y1的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，代入①，整理得y2﹣4my+4=0，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4，点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）．BD的斜率k1===，BF的斜率k2=．要使点F在直线BD上需k1=k2需4（x2﹣1）=y2（y2﹣y1），需4x2=y22，上式成立，∴k1=k2，∴点F在直线BD上．（Ⅱ）=（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2=，∴m2=，m=±．y2﹣y1==4=，∴k1=，BD：y=（x﹣1）．易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，即|a+1|×=|（（a﹣1）|×，∴4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，解得a=．∴半径r=，∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2=．。
2010辽宁省高考试卷含解析试题及答案
1、说着，进入石洞来，只见佳木茏葱，奇花熌灼，一带清流，从花木深处曲折泻于石隙之下。
，皆隐于山坳树影之间。
俯而视之，则清溪泻雪，石磴穿云，白石为栏，环抱为沿，石桥三港，兽面衔吐。
桥上有亭。
3．语段中加点的字，读音全都正确的一组是A．熌灼shuò曲折q? 山坳ào 石磴chéngB．熌灼shuò曲折qū山坳yòu 石磴dèngC．熌灼zhuó曲折q? 山坳yòu 石磴chéngD．熌灼zhuó曲折qū山坳ào 石磴dèng4．下列语句填入语段中画横线处，衔接最恰当的一项是A．再进数步，渐向北边，两边飞楼插空，平坦宽豁，雕甍绣槛B．渐向北边，再进数步，雕甍绣槛，两边飞楼插空，平坦宽豁C．再进数步，渐向北边，平坦宽豁，两边飞楼插空，雕甍绣槛D．渐向北边，雕甍绣槛，再进数步，平坦宽豁，两边飞楼插空2、在下面一段文字横线处填入语句，衔接最恰当的一项是（3分）自宋元至明清，清明节除了要祭扫家墓，还要在门楣、窗户上插上柳条。
，。
，，，。
①达到人丁兴旺、身体健康的目的②于是在郊游踏青时③它便成了人类文化中生命力的象征④人们企盼将这种生命力转移到自家门庭和家庭成员身上⑤不会忘记顺便折一些柳条回来⑥由于柳树最先送来春的消息并且具有旺盛的生殖力A．⑥③④①②⑤ B．②⑤①④⑥③ C．②④⑥③①⑤ D．⑥④②⑤③①3、依次填入下面一段文字横线处的语句，前后衔接最为恰当的一组是中国人民抗日战争的胜利，充分证明了中国共产党是救亡图存、实现民族复兴的核心力量。
今天，我们纪念抗日战争胜利70周年，就是要_________，_________，_________，_________，_________。
铭记这段历史，是因为它的惨烈悲壮与不屈抗争应当成为中华民族的集体记忆，更是希望从中汲取沉痛的历史教训，获得开创未来的精神力量。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版一)(答案解析版)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）cos300°=（ ）A．B．﹣C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【专题】11：计算题．【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．【解答】解：∵．故选：C．【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（ ）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集意义先求C U M，再根据交集的意义求N∩（C U M）．【解答】解：（C U M）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（C U M）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，5}．故选：C．【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题． 3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（ ）A．4B．3C．2D．1【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（1，﹣1）时，z最大，且最大值为z max=1﹣2×（﹣1）=3．故选：B．【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ）A．B．7C．6D．【考点】87：等比数列的性质．【分析】由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选：A．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．5．（5分）（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（ ）A．﹣6B．﹣3C．0D．3【考点】DA：二项式定理．【分析】列举（1﹣x）4与可以出现x2的情况，通过二项式定理得到展开式x2的系数．【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x2的情况有：①m=1，n=2；②m=2，n=0；系数分别为：①=﹣12；②=6；x2的系数是﹣12+6=﹣6故选：A．【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力．6．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】1：常规题型．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】34：函数的值域；3A：函数的图象与图象的变换；4O：对数函数的单调性与特殊点．【专题】11：计算题．【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，则lga=﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．【解答】解：（方法一）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0∴lg（ab）=0∴ab=1，又a＞0，b＞0，且a≠b∴（a+b）2＞4ab=4∴a+b＞2故选：C．（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：，整理得线性规划表达式为：，因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y⇒y=﹣x+z，即求函数的截距最值．根据导数定义，函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），∴a+b的取值范围是（2，+∞）．故选：C．【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，根据条件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号）列出关系式（a+b）2＞4ab=4，进而解决问题．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（ ）A．2B．4C．6D．8【考点】HR：余弦定理；KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4．法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|=4；故选：B．【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5G：空间角．【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故选：D．【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题． 10．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（ ）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选：C．【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）A．B．C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；JF：圆方程的综合应用．【专题】5C：向量与圆锥曲线．【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），则PA=PB=，∠APO=α，则∠APB=2α，sinα=，==×（1﹣2sin2α）=（x2﹣1）（1﹣）==x2+﹣3≥2﹣3，∴当且仅当x2=时取“=”，故的最小值为2﹣3．故选：D．【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；ND：球的性质．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有，当直径通过AB与CD的中点时，，故．故选：B．【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）不等式的解集是 {x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题是解分式不等式，先将分母分解因式，再利用穿根法求解．【解答】解：：，数轴标根得：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}故答案为：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}【点评】本小题主要考查分式不等式及其解法，属基本题．14．（5分）已知α为第二象限角，sinα=，则tan2α= ．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由已知求出cosα，进一步得到tanα，代入二倍角公式得答案．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=，则tanα=．∴tan2α===．故答案为：．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题．15．（5分）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 30 种．（用数字作答）【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．【分析】由题意分类：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，确定选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，确定选法；然后求和即可．【解答】解：分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．所以不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故答案为：30【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想． 16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为 ．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，，作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案为：．【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】34：方程思想．【分析】由2a1，a2，a3+1成等比数列，可得a22=2a1（a3+1），结合s3=12，可列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，进而求出前n项和s n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，解得或，∴s n=n（3n﹣1）或s n=2n（5﹣n）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．18．（12分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得sin（A﹣）=sin（B+），进而根据A，B的范围，求得A﹣和B+的关系，进而求得A+B=，则C的值可求．【解答】解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA•+sinB•=cosA+cosB ，∴sinA﹣cosA=cosB﹣sinB∴sin（A﹣）=sin（B+），∵0＜A＜π，0＜B＜π∴﹣＜A﹣＜＜B+＜∴A﹣+B+=π，∴A+B=，C=π﹣（A+B）=【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题．19．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】（1）投到该杂志的1篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中包含的事情有时相互独立的，列出算式．（2）投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的对立事件是0篇被录用，1篇被录用两种结果，从对立事件来考虑比较简单．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D=A+B•C，P（A）=0.5×0.5=0.25，P（B）=2×0.5×0.5=0.5，P（C）=0.3，P（D）=P（A+B•C）=P（A）+P（B•C）=P（A）+P（B）P（C）=0.25+0.5×0.3=0.40．（2）记4篇稿件有1篇或0篇被录用为事件E，则P（E）=（1﹣0.4）4+C41×0.4×（1﹣0.4）3=0.1296+0.3456=0.4752，∴=1﹣0.4752=0.5248，即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率是0.5248．【点评】本题关键是要理解题意，实际上能否理解题意是一种能力，培养学生的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG ，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A﹣DE﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB．SB=，DE=EB=所以SE=2EB（Ⅱ）由SA=，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知AE==1，又AD=1．故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=．连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．连接AG，AG=，FG=，cos∠AFG=，所以，二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）求函数f（x）=x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求函数的极值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）=0，则x=﹣1或x=1，经验证x=﹣1和x=1为极值点，即f（1）=﹣2为极小值，f（﹣1）=2为极大值．又因为f（﹣3）=﹣18，f（3）=18，所以函数f（x）的最大值为18，最小值为﹣18．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及研究函数的最值，当然如果连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值，属于基础题．22．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C 相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；IP：恒过定点的直线；J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出k1=k2原式得证．（Ⅱ）首先表示出结果为求得m，进而求得y2﹣y1的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，代入①，整理得y2﹣4my+4=0，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4，点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）．BD的斜率k1===，BF的斜率k2=．要使点F在直线BD上需k1=k2需4（x2﹣1）=y2（y2﹣y1），需4x2=y22，上式成立，∴k1=k2，∴点F在直线BD上．（Ⅱ）=（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2=，∴m2=，m=±．y 2﹣y1==4=，∴k1=，BD：y=（x﹣1）．易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，即|a+1|×=|（（a﹣1）|×，∴4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，解得a=．∴半径r=，∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2=．【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷)数学试题 (文科)(解析版)(word版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考公式：样本数据12,L n x x x 的标准差 锥体体积公式s ==13V sh其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B x =≤∈，则A B =I （ ）（A ）()0,2 （B ）[]0,2 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 解析：{}|22,{0,1,2}A x x B =-≤≤=，{}0,1,2A B =I ，选D 命题意图：本题考查集合的运算及不等式解法（2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（ ）（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665- 解析：16(4,3),(5,12),cos ,65a b a b a b a b ⋅==-<>==，选C 命题意图：本题考查向量数量积运算与夹角（3）已知复数z =z =（ ） (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）2解析：z ====12z ==，选B 命题意图：本题考查复数的代数运算及模的定义（4）曲线3y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（ ）（A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ 解析：'2y 32,1,1x k y x =-∴==-切线方程为，选A 命题意图：本题考查导数的几何意义（5）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（）（A）6（B）5（C）62（D）52解析：由双曲线的几何性质可得2222221552,242b c a ba b e ea a a+==∴====即，，选D命题意图：本题考查双曲线的几何性质（6）如图，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p（2，2-），角速度为1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为（）解析：法一：排除法取点0,2t d==时,排除A、D，又当点P刚从t=0开始运动，d是关于t的减函数，所以排除B，选C法二：构建关系式 x轴非负半轴到OP的角4tπθ=-，由三角函数的定义可知2sin()4py tπ=-，所以2sin()4d tπ=-，选C命题意图：考察三角函数的定义及图像(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）（A）3πa2 （B）6πa2 （C）12πa2 （D） 24πa2（8）解析：球心在长方体对角线交点处，球半径R为对角线长一半长方体中，由对角线定理知对角线长为6a，6aR=球表面积2246S R aππ==，选B命题意图：本题以球与多面体的接切为载体考查球的表面积公式（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）（A）54（B）45（C）65（D）56解析：1111112233445561111111115(1)()()()()2233445566S=++++⨯⨯⨯⨯⨯=-+-+-+-+-=所以选D命题意图：以算法为背景考察裂项相消求和(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x ≥0），则(){}20x f x ->=（ ）（A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或（C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或解析：0()2402x x f x x ≥=->>当时，由得()()022f x f x x x ∴>><-又为偶函数，时或 (2)02222,40f x x x x x ∴->⇔->-<-><或即或，选B命题意图：利用函数性质解不等式（10）若cos a = -45，a 是第三象限的角，则sin()4a π+=（ ）（A ）-7210 （B ）7210 （C ）2 -10 （D ）210解析：a Q 是第三象限的角，23sin 1cos 5a α∴=--=-则272sin()(sin cos )4210a παα+=+=-，选A命题意图：本题考查同角三角函数关系及和角正弦公式（11）已知ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在ABCD的内部，则z=2x-5y 的取值范围是（ ） （A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20） 解析：当直线z=2x-5y 过点B 时，min 14z =-当直线z=2x-5y 过点D （0，-4）时，max 20z = 所以z=2x-5y 的取值范围为（-14，20），选B 点D 的坐标亦可利用AB DC =u u u r u u u r求得，进一步做出可行域命题意图：本题考查线性规划（12）已知函数f(x)=lg ,01016,102x x x x <≤-+>⎧⎨⎩ 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc 的取值范围是（ ） （A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24) 解析： ,,a b c 互不相等，不妨设a b c <<()(),lg lg f a f b a b =-=由得，即ab=1 abc c ∴=，显然1012c <<所以选C命题意图：考察数形结合思想，利用图像处理函数与方程问题第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(答案解析版)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（ ）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（ ）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选：C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一． 3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（ ）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得Z===•=•=•=，故|z|==，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题． 4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（ ）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的． 11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 x2+y2=2 ．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为 ．【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ①②③⑤ （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD= 2+ ．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又BC=3BD所以CD=2BD所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因为AC=AB所以由（3）得2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0求得BD=2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a n}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由a n=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n（2）由（1）知S n=na1+d=10n﹣n2．因为S n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，S n取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．所以HA=HB=．因为∠APB=∠ADB=60°所以PA=PB=，HD=HC=1．可得PH=．等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题．【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则．因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax），令g（x）=e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（e x﹣1）﹣x2，=（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）=e x﹣1﹣ax，则g'（x）=e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x=0时，f（x）=0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
2010年高考文科数学真题答案全国卷1
绝密★启用前2010年高考文科数学真题及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上．．．．．作答无效．．．．. 3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )()()(B P A P AB P = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题（1)cos300︒=C(A)3 （B ）-12 (C ）12(D ） 3(1) 【命题意图】特殊角的三角函数，诱导公式，基础题。
【解析】C 2160cos )60360cos(300cos 0==-= （2）设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}1,4M =,{}1,3,5N =，则=⋂M C N u C A 。
{}1,3 B. {}1,5 C 。
{}3,5 D 。
{}4,5 (2）.【命题意图】【解析】C {}{}{}5,35,3,25,3,1=⋂=⋂M C N u(3）若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为（A)4 (B ）3 （C)2 (D)1 （3）。
2010年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析
2010年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•辽宁）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}2．（5分）（2010•辽宁）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a=3，b=1 C．D．a=1，b=33．（5分）（2010•辽宁）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）（2010•辽宁）已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，f（x）≤f（x0） B．∃x∈R，f（x）≥f（x0）C．∀x∈R，f（x）≤f（x0） D．∀x∈R，f（x）≥f（x0）5．（5分）（2010•辽宁）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1206．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．37．（5分）（2010•辽宁）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C． D．168．（5分）（2010•辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•辽宁）设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）（2010•辽宁）设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．10011．（5分）（2010•辽宁）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π12．（5分）（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，） B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•辽宁）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为．14．（5分）（2010•辽宁）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=．15．（5分）（2010•辽宁）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是．（答案用区间表示）16．（5分）（2010•辽宁）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•辽宁）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．18．（12分）（2010•辽宁）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：mm2）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．附：K2=．19．（12分）（2010•辽宁）如图，棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．20．（12分）（2010•辽宁）设F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的焦距；（Ⅱ）如果，求椭圆C的方程．21．（12分）（2010•辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．22．（10分）（2010•辽宁）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．23．（10分）（2010•辽宁）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．24．（10分）（2010•辽宁）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c 为何值时，等号成立．2010年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•辽宁）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}【考点】补集及其运算．【分析】从U中去掉A中的元素就可．【解答】解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．故选D．【点评】集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合．2．（5分）（2010•辽宁）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a=3，b=1 C．D．a=1，b=3【考点】复数相等的充要条件．【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【解答】解：由可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故选A．【点评】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．3．（5分）（2010•辽宁）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，由此能求出公比q=4．【解答】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，a4=4a3，∴公比q=4．故选：B．【点评】本题考查公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．（5分）（2010•辽宁）已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，f（x）≤f（x0） B．∃x∈R，f（x）≥f（x0）C．∀x∈R，f（x）≤f（x0） D．∀x∈R，f（x）≥f（x0）【考点】四种命题的真假关系．【专题】简易逻辑．【分析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函数的对称轴，由a＞0可知二次函数有最小值．【解答】解：∵x0满足关于x的方程2ax+b=0，∴∵a＞0，∴函数f（x）在x=x0处取到最小值是等价于∀x∈R，f（x）≥f（x0），所以命题C错误．答案：C．【点评】本题考查二次函数的最值问题，全称命题和特称命题真假的判断，注意对符号∃和∀的区分和理解．5．（5分）（2010•辽宁）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120【考点】循环结构．【专题】阅读型．【分析】讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．【解答】解：第一次：k=1，p=1×3=3；第二次：k=2，p=3×4=12；第三次：k=3，p=12×5=60；第四次：k=4，p=60×6=360此时不满足k＜4．所以p=360．故选B【点评】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．6．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；待定系数法．【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．【解答】解：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2kπ，即，又因为ω＞0，所以k≥1，故≥，故选C【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．7．（5分）（2010•辽宁）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C． D．16【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选B．【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．8．（5分）（2010•辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．【解答】解：==•=；故选C．【点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．9．（5分）（2010•辽宁）设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．10．（5分）（2010•辽宁）设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．100【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故选A【点评】本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．11．（5分）（2010•辽宁）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．【专题】压轴题．【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．【解答】解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点∴OA=OB=OC=OS=1又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，∴表面积为4πR2=4π．故选A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，） B．C．D．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．【解答】解：因为y′===，∵，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•辽宁）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为．【考点】排列及排列数公式．【专题】计算题．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件可以列举出三张卡片随机地排成一行，而满足条件的只有一种，根据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件可以列举出三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE，EBE，EEB，而满足条件的只有一种，∴概率为：．故答案为：【点评】字母排列问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示．14．（5分）（2010•辽宁）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=15．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的前n项和公式求出前3项、前6项和列出方程求出首项和公差；利用等差数列的通项公式求出第9项．【解答】解：，解得，∴a9=a1+8d=15．故答案为15【点评】本题考查等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式．15．（5分）（2010•辽宁）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．（答案用区间表示）【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．【解答】解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x﹣3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8．z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．故答案为：（3，8）．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．（5分）（2010•辽宁）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．【考点】简单空间图形的三视图；棱锥的结构特征．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】结合题意及图形，可知几何体为一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，还原几何体，求解即可．【解答】解：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形，且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为．【点评】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•辽宁）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．【考点】解三角形；三角函数的化简求值．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA 的值，进而求得A．（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．【解答】解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．18．（12分）（2010•辽宁）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：mm2）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．附：K2=．【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；图表型．【分析】（1）利用组合数找出所有事件的个数n，基本事件的个数m，代入古典概率计算公式p=（2）由频数分布表中的频数求出每组的，画出频率分布直方图，完成2×2列联表，代入计算随机变量值后与临界点比较判断两变量的相关性的大小．【解答】解：（Ⅰ）从200选100的组合数C200100，记：“甲、乙两只家兔分在不同组”为事件A，则事件A包含的情况有2C19899∴（4分）（Ⅱ）（i）图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．（8分）B后的疱疹面积有差异”．（12分）【点评】本题考查的内容为：利用组合数求古典概率，由频数分布表画频率分布直方图及2×2列联表，考查独立性检验的计算公式与临界值比较以判断两个变量的关联性．要注意频率分布直方图的纵轴是19．（12分）（2010•辽宁）如图，棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【专题】作图题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）证明平面AB1C内的直线B1C垂直平面A1BC1，内的两条相交直线A1B，BC1，即可证明平面AB1C⊥平面A1BC1；（Ⅱ）D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，BC1交B1C于点E，连接DE，E是BC1的中点，推出D为A1C1的中点，可得A1D：DC1的值．【解答】（Ⅰ）证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，又B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．（Ⅱ）解：设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D：DC1=1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．20．（12分）（2010•辽宁）设F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的焦距；（Ⅱ）如果，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）过F1作F1⊥l可直接根据直角三角形的边角关系得到，求得c的值，进而可得到焦距的值．（Ⅱ）假设点A，B的坐标，再由点斜式得到直线l的方程，然后联立直线与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，求出两根，再由可得y1与y2的关系，再结合所求得到y1与y2的值可得到a，b的值，进而可求得椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离．所以椭圆C的焦距为4．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），可设y1＜0，y2＞0，直线l的方程为．联立，y2+y+﹣1=0解得．因为．即．得．故椭圆C的方程为．【点评】本题主要考查椭圆的基本性质．考查考生对椭圆基本性质的理解和认知，椭圆的基本性质是高考的重点内容，每年必考，一定要熟练掌握并能灵活运用．21．（12分）（2010•辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤﹣2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．所以|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．令g（x）=f（x）+4x，则+4=．于是g′（x）≤=≤0．从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．22．（10分）（2010•辽宁）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC=90°．【点评】相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．23．（10分）（2010•辽宁）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．【考点】极坐标系；直线的参数方程；圆的参数方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出点M、A的坐标，再利用直角坐标的直线AM的参数方程求得参数方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）．（5分）（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（1，0），故直线AM的参数方程为（t为参数）（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．24．（10分）（2010•辽宁）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【考点】基本不等式．【专题】证明题；压轴题．【分析】证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．证法二：先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．【解答】证明：证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②故．又③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理②故③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．【点评】考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较．深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑．。