2014高考数学高频题型全掌握 15.圆锥曲线中的定值、最值、范围等常考问题(全国通用)
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题
课题：圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题教学目标：会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.（一） 主要知识及主要方法：1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.（二）典例分析：问题1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO（Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程；（Ⅱ）AOB △若不存在，请说明理由．问题2．已知椭圆22142x y +=上的两个动点,P Q 及定点M ⎛ ⎝，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.问题3．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=（0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（Ⅰ）证明FM AB ⋅为定值；（Ⅱ）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．问题4．直线m ：1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 过点()2,0P -和线段AB的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.（四）课后作业：1.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过F 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若有2BF AF =，求椭圆离心率的取值范围.2.过抛物线22y px =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB 求证：AB 交抛物线的对称轴上一定点.3.如图，在双曲线2211213y x -=的上支上有三点()11,A x y ，()2,6B x ，()33,C x y ，它们与点()0,5F 的距离成等差数列.()1求13y y +的值；()2证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.4.已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y kx =1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.5.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 .A 6 .B 7 .C 8 .D 96.如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为()3,0F ，右准线l 的方程为：12x =.()1求椭圆的方程；()2在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠证明：123111FP FP FP ++为定值，并求此定值.7.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-共线。
2014高考数学文硬手笔(真题篇)常考问题与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题
2014高考数学文“硬”手笔（真题篇）常考问题：概率与统计（备用）[真题感悟]1．(2013·江苏卷)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析 基本事件总数为N ＝7×9＝63，其中m ，n 都为奇数的事件个数为M ＝4×5＝20，所以所求概率P ＝M N ＝2063. 答案 20632．(2013·江苏卷)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：解析 对于甲，平均成绩为x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，所以方差为s 2甲＝15(32＋12＋02＋12＋32)＝4；对于乙，平均成绩为x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，所以方差为s 2乙＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，由于2<4，所以乙的平均成绩为稳定． 答案 23．(2012·江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析 由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为310×50＝15. 答案 154．(2012·江苏卷)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39；所以p＝610＝35.答案3 5[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A级要求．(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求．(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求.。
圆锥曲线的最值 定值 范围等经典考题型附答案 作业
圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．方法3：参数法（函数法）①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆x23＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中ac的取值范围是________．方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零① 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．三、圆锥曲线的定值、定点问题 方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．例1、已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值．方法2：引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).①引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点例2、如图所示，曲线C1：x29＋y28＝1，曲线C2：y2＝4x，过曲线C1的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点．若G为CD的中点、H为BE的中点，证明|BE|·|GF2||CD|·|HF2|为定值．课堂知识运用训练1．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到x ＝－1直线的距离之和的最小值为( )．A. 2B. 3C. 5D.62．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆ac的范围为( )． A.55＜a c ＜35 B ．0＜a c＜25 C.25＜a c ＜35 D.35＜ac ＜55 3．设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为________．4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一定点P (x 0，y 0)(y 0＞0)作两直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0的值为________．5．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，当△PFO 的面积最大时，求直线l 的方程．6．已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在轴上所截得的弦．(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．答案解析圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4， 即|PF |－4＝|PF ′|.又|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|PA |＋|PF |－4≥5， 即|PA |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|PA |的最小值为9.故填9. 方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆x 22＋y 2＝1上的点到直线y ＝x ＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．解 设椭圆的切线方程为y ＝x ＋b ， 代入椭圆方程，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0. 由Δ＝(4b )2－4×3×(2b 2－2)＝0，得b ＝± 3. 当b ＝3时，直线y ＝x ＋3与y ＝x ＋23的距离d 1＝62，将b ＝3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝－233，此时y ＝33， 即椭圆上的点⎝⎛⎭⎪⎫－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62；当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d 2＝362，将b ＝－3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝233，此时y ＝－33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362. 方法3：参数法（函数法）② 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________．解析 因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝sin φ，(φ为参数)．故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π. 因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，S 取最大值2.故填2.方法4：基本不等式法 ①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆x 23＋y 2＝1内接矩形ABCD 面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题 方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中ac的取值范围是________． 解析 根据双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 2|＝r ， 则|PF 1|＝4r ，故3r ＝2a ，即r ＝2a 3，|PF 2|＝2a3.根据双曲线的几何性质，|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a ，即c a ≤53，即e ≤53.又e＞1，故双曲线的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零② 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，得Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－22或k ＞22，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由方程①，知x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22＝221＋2k2.③由A(2，0)，B(0,1)，得AB→＝(－2，1)．所以OP→＋OQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)，将②③代入，解得k＝22.由(1)知k＜－22或k＞22，故不存在符合题意的常数k.三、圆锥曲线的定值、定点问题方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题②根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．例1、已知双曲线C：x2－y22＝1，过圆O：x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：∠AOB的大小为定值．证明当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝± 2.当x＝2时，代入双曲线方程，得y＝±2，即A(2，2)，B(2，－2)，此时∠AOB＝90°，同理，当x＝－2时，∠AOB＝90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b，则|b|1＋k2＝2，即b2＝2(1＋k2)．由直线方程和双曲线方程消掉y，得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0，由直线l与双曲线交于A，B两点．故2－k2≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝2kb2－k2，x1x2＝－b2＋22－k2，y 1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝－k 2b 2－2k 22－k 2＋2k 2b 22－k 2＋2b 2－k 2b 22－k 2＝2b 2－2k 22－k 2，故x 1x 2＋y 1y 2＝－b 2－22－k 2＋2b 2－2k 22－k 2＝b 2－21＋k 22－k 2，由于b 2＝2(1＋k 2)，故x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，∠AOB ＝90°.综上可知，若l 交双曲线于A ，B 两点，则∠AOB 的大小为定值90°. 方法2：引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).②引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点【例2】►如图所示，曲线C 1：x 29＋y 28＝1，曲线C 2：y 2＝4x ，过曲线C 1的右焦点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1，C 2依次交于B ，C ，D ，E 四点．若G 为CD 的中点、H 为BE 的中点，证明|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|为定值．证明 由题意，知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 直线y ＝k (x －1)，代入x 29＋y 28＝1，得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0，即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2.同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， 则y 3＋y 4＝4k，y 3y 4＝－4，所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝y 1－y 22y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3－y 42＝y 1＋y 22－4y 1y 2y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3＋y 42－4y 3y 4＝－16k 28＋9k 22＋4×64k 28＋9k 2－16k 28＋9k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3为定值．课堂知识运用训练1．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到x ＝－1直线的距离之和的最小值为( )．A. 2B. 3C. 5D.6解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)， 准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离； 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小；显然，连AF 交曲线于P 点．故最小值为22＋1，即为 5.答案 C2．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆ac的范围为( )． A.55＜a c ＜35 B ．0＜a c＜25 C.25＜a c ＜35 D.35＜ac ＜55 解析 此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b )一个在圆外、一个在圆内即：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2b 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b2＋c b ＜b 2＋c ⇒⎩⎨⎧a －c2＞14a 2－c 2a 2－c 2＜2c⇒55＜e ＜35.答案 A 3．设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为________．解析 若公差d ＞0，则|FP 1|最小，|FP 1|＝7－1； 数列中的最大项为7＋1，并设为第n 项，则7＋1＝7－1＋(n －1)d ⇒n ＝2d ＋1≥21⇒d ≤110，注意到d ＞0，得0＜d ≤110；若d ＜0，易得－110≤d ＜0. 那么，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，110. 4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一定点P (x 0，y 0)(y 0＞0)作两直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0的值为________．解析 设直线PA 的斜率为k PA ，PB 的斜率为k PB ，由y 21＝2px 1，y 20＝2px 0，得k PA ＝y 1－y 0x 1－x 0＝2p y 1＋y 0，同理k PB ＝2py 2＋y 0， 由于PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 因此2p y 1＋y 0＝－2p y 2＋y 0，即y 1＋y 2＝－2y 0(y 0＞0)，那么y 1＋y 2y 0＝－2. 5．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，当△PFO 的面积最大时，求直线l 的方程．解 求直线方程，由于F (－c,0)为已知，仅需求斜率k ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22，由于S △PFO ＝12|OF |·|y 0|＝c2|y 0|只需保证|y 0|最大即可，由⎩⎨⎧y ＝k x ＋cb 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2⇒(b 2＋a 2k 2)y 2－2b 2cky －b 4k 2＝0，|y 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2ck b 2＋a 2k 2＝b 2c b 2|k |＋a 2|k |≤bc 2a 得：S △PFO ≤bc 24a ，此时b 2|k |＝a 2|k |⇒k ＝±ba ，故直线方程为：y ＝±ba(x ＋c )．6．已知⊙O ′过定点A (0，p )(p ＞0)，圆心O ′在抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上运动，MN 为圆O ′在轴上所截得的弦．(1)当O ′点运动时，|MN |是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆O ′的位置关系，并说明理由．解 (1)设O ′(x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(y 0≥0)， 则⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋y 0－p2，⊙O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p )2， 令y ＝0，并把x 20＝2py 0，代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0，解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ，所以|MN |＝|x 1－x 2|＝2p ， 这说明|MN |是不变化，其为定值2p . (2)不妨设M (x 0－p,0)，N (x 0＋p,0)．由题2|OA |＝|OM |＋|ON |，得2p ＝|x 0－p |＋|x 0＋p |， 所以－p ≤x 0≤p .O ′到抛物线准线y ＝－p2的距离d ＝y 0＋p 2＝x 20＋p22p，⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋y 0－p 2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202p －p 2＝12px 40＋4p 4. 因为r ＞d ⇔x 40＋4p 4＞()x 20＋p 22⇔x 20＜32p 2，又x 20≤p 2＜32p 2(p ＞0)，所以r ＞d ，即⊙O ′与抛物线的准线总相交．。
高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题
高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a(实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c别离表示椭圆核心到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中极点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，经常使用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，经常使用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或依照平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处置．(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论经常使用以下方式解决：（1）结合概念利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的转变范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示那个函数，通过讨论函数的值域来求参数的转变范围。
（4）利用代数大体不等式。
代数大体不等式的应用，往往需要制造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个一起特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮忙求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式0。
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
圆锥曲线中的最值、定值和范围问题
圆锥曲线中的最值、定值和范围问题与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
下面我们探讨与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题的常用方法。
一. 最值问题求解的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。
例1：如图所示，设点1F ，2F 是22132xy+=的两个焦点，过2F 的直线与椭圆相交于A 、B两点，求△1F AB 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。
分析：12112F F B F AB F FAS S S =+ ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11212121||||||(1)2F AB F F y y y y c S =⋅-=- =设直线A B 的方程为1x ky =+代入椭圆方程得22(23)440k y ky ++-=12122244,2323k y y y y k k --⇒+==++即122||123y y k - ==+令1t =≥，∴12FA Bt tS +=12t t+（1t ≥）利用均值不等式不能区取“＝”∴利用1()2f t t t=+（1t ≥）的单调性易得在1t =时取最小值1F AB S 在1t =即0k =时取最大值为3，此时直线A B 的方程为1x =例2．设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA + )O B ，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||N P的最小值与最大值.解（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x于是).44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为(x,y ), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得4x 2+y 2-y =0 ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为 （0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x（2）由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x xx y x NP故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为1;4① ②当16x =-时，||NP 取得最大值，最大值为.621对于()*，有∆=m 2+4b =10-m 2>0，所以m <<。
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题知识点梳理
建立目标函数求最值
[例2] (2017·浙江高考)如图，已知抛
物线x2＝y，点A －12，14 ，B 32，94 ，抛物 线上的点P(x，y) －12<x<32 .过点B作直线 AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
[解]
(1)设直线AP的斜率为k，k＝xx2＋－1214＝x－12，
3.[考点三]如图，已知点F1，F2是椭圆C1：x22 ＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：x22＋y2＝λ经过 点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意 一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设 AB，CD的斜率分别为k，k′. (1)求证：k·k′为定值； (2)求|AB|·|CD|的最大值．
[全析考法]
利用几何性质求最值
[例1] 设P是椭圆2x52 ＋y92＝1上一点，M，N分别是两圆：(x
＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、
最大值分别为
()
A．9,12
B．8,11
C．8,12
D．10,12
[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可 知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭 圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA， PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|
[全析考法]
利用判别式构造不等关系求范围
[例1]
已知m>1，直线l：x－my－
m2 2
＝
0，椭圆C：
x2 m2
＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C
的左、右焦点．
(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程； (2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重 心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)完整版.doc
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。
圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题专题训练
第2讲圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题一、选择题1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值范围是( )．A．(1,2) B.(1,2]C．(1，5) D.(1，5]解析因为双曲线的渐近线为y＝±bax，要使直线y＝3x与双曲线无交点，则直线y＝3x应在两渐近线之间，所以有ba≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.答案B2．已知椭圆x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是A．1 B. 2C.32D.3解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a＝3，可求得b2＝3，即b＝ 3.答案D3．(2014·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( )．A.433B.233C．3 D.2解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1＞r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则(2c)2＝r21＋r2 2－2r1r2cosπ3，得4c2＝r21＋r22－r1r2.由⎩⎨⎧r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2得⎩⎨⎧r1＝a1＋a2，r2＝a1－a2，∴1e1＋1e2＝a1＋a2c＝r1c.令m＝r21c2＝4r21r21＋r22－r1r2＝41＋⎝⎛⎭⎪⎫r2r12－r2r1＝4⎝⎛⎭⎪⎫r2r1－122＋34，当r2r1＝12时，m max＝163，∴⎝⎛⎭⎪⎫r1c max＝433，即1e1＋1e2的最大值为433.答案A4．(2014·福建卷)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2D.62解析 设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2， 点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离|CQ |＝10cos α2＋sin α－62＝46－9sin 2 α－12sin α＝50－9⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋232≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号，所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62，即P ，Q 两点间的最大距离是62，故选D.答案 D 二、填空题5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________．解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.答案 －26．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是______．解析 设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)(y －2)＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2a a 2＋b2＞1，即2a c ＞1，所以e ＝ca ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2. 答案 (1,2)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________．解析 可知e 21＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2，所以e 21＋e 22＝2＞2e 1e 2⇒0＜e 1e 2＜1.答案 (0,1)8．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则ABCD的值为________．解析 由⎩⎨⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y ，得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，∴y A ＝14，y D ＝4.直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)． ∴AF ＝y A ＋1＝54，DF ＝y D ＋1＝5，∴AB CD ＝AF －1DF －1＝116. 答案116三、解答题9．(2014·烟台一模)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (2,3)，Q (2，－3)在椭圆上，点A ，B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝2 3.由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当∠APQ ＝∠BPQ 时，PA ，PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，PA 的直线方程为y －3＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y －3＝k x －2，x 216＋y212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0，x 1＋2＝82k －3k3＋4k 2，同理PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)， 可得x 2＋2＝－8k－2k －33＋4k 2＝8k 2k ＋33＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k 2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1－2＋3＋k x 2－2－3x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝12，所以直线AB 的斜率为定值12.10．(2014·湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点F (1,0)，C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M (4,0)的直线l 与抛物线C 2分别相交于A ，B 两点．(1)写出抛物线C 2的标准方程； (2)求证：以AB 为直径的圆过原点；(3)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值．解 (1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)， 由F (1,0)，得p ＝2， ∴C 2：y 2＝4x .(2)可设AB ：x ＝4＋ny ，联立y 2＝4x ，得y 2－4ny －16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，x 1x 2＝y 21y 2216＝16，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，即以AB 为直径的圆过原点． (3)设P (4t 2,4t )，则OP 的中点(2t 2,2t )在直线l 上，∴⎩⎨⎧2t 2＝4＋2nt ，4t4t 2＝－n ，得n ＝±1，又∵t ＜0，∴n ＝1，直线l ：x ＝y ＋4.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，与直线l ：x ＝y ＋4联立可得：(2a 2－1)y 2＋8(a 2－1)y －a 4＋17a 2－16＝0， 由Δ≥0，得a ≥342，∴长轴长最小值为34.11．(2014·金丽衢十二校联考)如图，过椭圆L 的左顶点A (－3,0)和下顶点B (0，－1)且斜率均为k 的两直线l 1，l 2分别交椭圆于C ，D ，又l 1交y 轴于M ，l 2交x 轴于N ，且CD 与MN 相交于点P .(1)求椭圆L 的标准方程；(2)(ⅰ)证明存在实数λ，使得AM →＝λOP →； (ⅱ)求|OP |的取值范围．解 (1)由椭圆L 的左顶点为A (－3,0)，下顶点为B (0，－1)可知椭圆L 的标准方程为：x 29＋y 2＝1.(2)(ⅰ)证明 由(1)可设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x ＋3)和y ＝kx－1，其中k ≠0，则M (0,3k )，N (1k，0)．由⎩⎨⎧y ＝k x ＋3，x29＋y 2＝1，消去x 得(1＋9k 2)x 2＋54k 2x ＋81k 2－9＝0.以上方程必有一根－3，由根与系数的关系可得另一根为3－27k 21＋9k 2，故点C的坐标为(3－27k 21＋9k 2，6k1＋9k 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x29＋y 2＝1，消去x 得(1＋9k 2)x 2－18kx ＝0，解得一根为18k1＋9k 2， 故点D 的坐标为(18k 1＋9k 2，9k 2－11＋9k 2)．由l 1与l 2平行得MP →＝t MN →，CP →＝t CD →，然后，进行坐标运算，即可得出点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫31＋3k ，3k 1＋3k ，而AM →＝(3,3k )，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫31＋3k ，3k 1＋3k . ∴AM →＝(1＋3k )OP →，∴存在实数λ＝1＋3k ， 使得AM →＝λOP →.(ⅱ)由OP →＝⎝⎛⎭⎪⎫31＋3k ，3k 1＋3k ， 法一 由消参得点P 的轨迹方程为x ＋3y －3＝0， 所以|OP |的最小值为31010； 法二 得|OP |＝31＋k 2|1＋3k |，令t ＝1＋3k ，则|OP |＝101t2－21t＋1，其中1t≠0,1，∴|OP |的最小值为31010，故|OP |的取值范围为[31010，＋∞)．。
圆锥曲线的定值、最值与定点问题和圆锥曲线中的“定值”问题
探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。
一、 定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。
例1 A 、B 是抛物线22y px =（p ＞0）上的两点，且OA ⊥OB ，求证： （1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； （2）直线AB 经过一个定点。
证明：（1）设A （11,x y ）、B （22,x y ），则2112y px =，2222y px =。
∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。
（2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴2121122y y px x y y -=-+ ∴直线AB 的方程为：211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)px p y y =-+，∴直线AB 过定点（2p ，0）。
例2 已知抛物线方程为212y x h =-+，点A 、B 及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾斜角互补。
（1）试证明直线AB 的斜率为定值；（2）当直线AB 的纵截距为m （m ＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。
分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。
解析：（1）证明：把P(2，4)代入212y x h =-+，得h=6。
所以抛物线方程为：y －4=k(x －2)，由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得22440x kx k +--=。
(圆锥曲线)范围、最值、定值、定点、定直线问题
圆锥曲线专题(一)范围、最值问题1.已知(4,0),(2,2)A B 是椭圆221259x y +=内的两个点,M 是椭圆上的动点,则a 的最大值为 ,最小值为 .2.已知动点P (x ,y )在椭圆1162522=+y x 上,若A (3,0),0,1=⋅=AM PM AM ,的最小值为3.已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,抛物线C 在A ,B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.(1)求抛物线C 的方程.(2)设M ,N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点,且满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅,求OMN ∆面积的取值范围.4.在平面直角坐标系中，过椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线03=-+y x 交椭圆C 与A ,B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21. (1)求椭圆C 的方程.(2)C ,D 为椭圆C 上两点,若四边形ACBD 的对角线AB CD ⊥,求四边形ACBD 面积的最大值.5.设圆015222=-++x y x 的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ,D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明：EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程.（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A交于P ,Q 两点，求四边形MNPQ 面积的取值范围.6.已知F 为椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线024=+y x 与椭圆E 有且仅有一个交点M . （1）求椭圆E 的方程.（2）设直线024=+y x 与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两个不同点A,B ，若PB PA PM =2λ，求实数λ的取值范围.(二)定值问题7.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线-0x y +=相切.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点,且22=-OA OB b k k a⋅,求证: AOB ∆的面积为定值.8.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>经过点A (0,-1),且离心率为2,经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点P ,Q (均异于点A ),求证:直线AP 与AQ 的斜率之和为定值.9.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为23,A (a ,0),B (0,b ),O (0,0).OAB ∆的面积为1.设P 是椭圆C 上一点,直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.（1）求证：BM AN ⋅为定值.（2）求四边形ABMN 面积的最小值.10.已知离心率为22的椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>，过点M ），（16. （1）求椭圆C 的方程.（2）已知圆3822=+y x 相切的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，证明：OB OA ⋅为定值.11.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为23,过点A (2,1). （1）求椭圆C 的方程；（2）若P ,Q 是C 上的两个动点,且使PAQ ∠的角平分线总是垂直于x 轴,试判断直线PQ 的斜率是否为定值.12.已知抛物线关于x 轴对称,顶点在原点,P (2,4)在抛物线上.（1）求抛物线的标准方程及准线方程;（2）过点P 作两条倾斜角互补的直线与抛物线分别交于不同点A ,B ,求证:直线AB 的斜率为定值.13.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为23,过点M (2,1),O 为原点,平行于OM 的直线l 交C 于不同的两点A ,B .（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:MA ,MB 的斜率之和为定值.14.(2018·合肥二模)已知点A (1,0)和动点B ,以线段AB 为直径的圆内切于圆4:22=+y x O .（1）求动点B 的轨迹方程;（2）已知点P (2,0),Q (2,-1),经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ,N ,求证:直线PM 和直线PN 的斜率之和为定值.15.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且以焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 相交于A,B ，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD的斜率之和为定值？若存在，求出点D 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.16.已知圆C ：422=+y x 与x 轴交于21,F F (2F 在原点右侧),动点P 到21,F F 的距离之和为定值)2(2>a a ,且21cos PF F ∠的最小值为31-. (1)求动点P 的轨迹方程;(2)过2F 且斜率不为0的直线l 与点P 的轨迹交于A ,B ,若存在点E ,使得AB EA EA ⋅+2是与直线l 的斜率无关的定值,则称E 为“恒点”,问在x 轴上是否存在这样的“恒点”?若存在,求出该点坐标;若不存在,请说明理由.(三)定点问题17. 已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点M e =. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）已知点0)P ,若AB 为椭圆上的两个动点,且2PA PB ⋅=-,求证:直线AB 恒过定点.18.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22,左右焦点分别为21,F F ,点P )3,2(,点2F 在线段1PF 的中垂线上.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）设直线m kx y l +=:与C 交于M ,N ,直线M F 2与N F 2的倾斜角互补,求证:直线l 过定点.19.(2018·合肥三模)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ,以抛物线上动点M 为圆心的圆过点F ,若圆M 的面积最小值为π.（1）求p 的值;（2）当点M 的横坐标为1且位于第一象限时,过M 作抛物线的两条弦MA ,MB ,且满足BMF AMF ∠=∠,若直线AB 恰好与圆M 相切,求直线AB 的方程.20. 已知离心率为e 的椭圆M : 22221(0)x y a b a b+=>>,过点A (-2,0)和(1,)P e . (1)求椭圆M 的标准方程.(2)设点B 是椭圆M 的右顶点,直线1l 过点B 且垂直于x 轴,点Q 是椭圆上异于A ,B 的任意一点,直线AQ 交1l 于点N ,设经过N 且垂直于BQ 的直线为2l ,求证:直线2l 过定点.21.在平面直角坐标系中,直线02=+-m y x 不过原点,且与椭圆12422=+x y 有两个不同的公共点A ,B .（1）求m 的取值集合M .（2）是否存在定点P 使得M m ∈∀,都有直线P A ,PB 的倾斜角互补,若存在,求出所有定点P的坐标;若不存在,请说明理由.(四)定直线问题22.已知)0,1(),0,1(21F F -,动点M 到点2F 的距离是22,线段1MF 的中垂线交线段2MF 于点P .（1）当点M 变化时,求动点P 的轨迹G 的方程;（2）直线l 与曲线G 相切于点N ,过2F 作2NF 的垂线与直线l 相交于点Q ,求证:点Q 落在一条定直线m 上,并求直线m 的方程.23.设点P 是抛物线y x E 2:2=上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与椭圆14:22=+y x C 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（1）求证:点M 在定直线;（2）直线l 与y 轴交于点G ,求PDMPFG S S ∆∆的最大值及取得最大值时点P 的坐标.24.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为21,A A ,左右焦点分别为21,F F ,离心率为21,2F 为线段B A 1的中点. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）若过点B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,已知直线M A 1与N A 2相交于点G ,试判断点G 是否在定直线上?若是,求出定直线的方程;若不是,请说明理由.。
2014高考数学文硬手笔(真题篇)常考问题与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题
审 题
流 程
解 析
总 结
题型突破 探究方法 构建模板
【训练 1】(2013·安徽卷)设椭圆 E：xa22＋1－y2a2＝1 的焦点在 x 轴上．
(1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程； (2)设 F1，F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点，P 为椭圆 E 上第一象限内的 点，直线 F2P 交 y 轴于点 Q，并且 F1P⊥F1Q.证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上．
解 (1)依题意，设抛物线 C 的方程为 x2＝4cy，
则|c＋2|＝3 2
2
2，c>0，解得
c＝1.
所以抛物线 C 的方程为 x2＝4y.
(2)抛物线 C 的方程为 x2＝4y，即 y＝14x2，求导得 y′＝12x，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线 PA，PB 的斜率分别为12x1，12x2，
联立方程xx02x＝－42y，y－2y0＝0，
消去 x 整理得 y2＋(2y0－x20)y＋y20＝0， ∴y1＋y2＝x20－2y0，y1y2＝y20， ∴|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y20＋x20－2y0＋1.
题型突破 探究方法 构建模板
(1)解 因为焦距为 1，所以 2a2－1＝14，解得 a2＝58. 故椭圆 E 的方程为85x2＋83y2＝1.
(2)证明 设 P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中 c＝
由题设知 x0≠c，则直线 F1P 的斜率 kF1 P ＝x0y＋0 c. 直线 F2P 的斜率 kF2 P ＝x0y－0 c.
解决圆锥曲线中最值、 范立答围目案问标：题函(的 数1)基 或√ (本 建2)思 立√想 不(3是 等) 建 关
【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 圆锥曲线中定值问题(真题为例)
圆锥曲线中定值问题典型例题：例1. （2012年上海市理16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP⊥OQ；（6分） （3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM⊥ON，求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）【答案】解：（1）∵双曲线221:112x C y -=的左顶点A (0)，渐近线方程：x y 2±=.∴过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为(y x =+，即12+=x y 。
解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y，得412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
∴所求三角形的面积为111||||S O 2A 22y =⋅⋅==。
（2）证明：设直线PQ 的方程是b x y +=∵直线与已知圆相切，1=，即22=b 。
[由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x 。
设()()1122P , Q , x y x y 、，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又))((2121b x b x y y ++=，∴212121212Q )O 2(P O x x y y x x b x x b =+=++⋅+ 022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b 。
∴OP⊥OQ。
（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON|=1，|O y|=2，则O 到直线MN。
（此时，N 在y 轴上，y 在x 轴上）当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然||2k >）， 则由OM⊥ON，得直线OM 的方程为1y x k=-。
圆锥曲线最值(范围)与定值(定点)解答题
圆锥曲线最值（范围）与定值（定点）解答题1．已知圆22:4O x y +=，点M 是圆O 上任意一点，M 在x 轴上的射影为N ，点P 满足3NP NM =，记点P 的轨迹为E ．(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m 与曲线E 交于,A B 两点，过F 且与m 垂直的直线n 与圆O 交于,C D 两点，求AB CD +的取值范围．【解析】(1)设点(),P x y ，由3NP NM =，得M x ⎛ ⎝，由点M 在圆22:4O x y +=上，所以224x +=，整理得22143x y +=，所以曲线E 的方程是22143x y +=(2)当直线m 的斜率为0时，AB 4=，CD =，4AB CD +=+ 当直线m 的斜率不存在时，3AB =，4CD =，7+=AB CD ， 当直线m 的斜率存在且不为0时，设m ：()1y k x =-，则n ：()11y x k=--点O 到直线n 的距离d ，所以CD = 将()1y k x =-代入曲线E 的方程22143x y +=，整理得 ()22224384120kx k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，则()212212143k AB x k +=-=+，所以()2212143k AB CD k ++=++令)t ，则2122AB CD t t +=+，)2t ∈令()2122f t t t=+，)2t ∈，则()32420f t t '=-<，所以()f t 在)2上单调递减，所以()(7,4f t ∈+，即(7,4AB CD +∈+．综上所述，AB CD +的取值范围是7,4⎡+⎣．2．已知椭圆C 1:2222x y a b+=1(a >b >0)的右顶点与抛物线C 2:y 2=2px (p >0)的焦点重合，椭圆C 1的离心率为12，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得弦的长度为(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程.(2)过点A (-4，0)的直线l 与椭圆C 1交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【解析】 (1)设椭圆C 1的半焦距为c .依题意，可得a =2p，则C 2:y 2=4ax ， 代入x =c ，得y 2=4ac ，即y =±， 则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，所以a =2，b所以椭圆C 1的方程为2243x y +=1，抛物线C 2的方程为y 2=8x .(2)依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为x =ty -4，由22-43412x ty x y =⎧⎨+=⎩，得(3t 2+4)y 2-24ty +36=0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则E (x 1，-y 1).由Δ>0，得t <-2或t >2， 且y 1+y 2=22434t t +，y 1y 2=23634t +. 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为Q (m ，0). 因为kNQ =kEQ ，所以2121---y yx m x m=，(x 1-m )y 2+(x 2-m )y 1=0， 即(ty 1-4-m )y 2+(ty 2-4-m )y 1=0，2ty 1y 2-(m +4)(y 1+y 2)=0， 即2t ·23634t +-(m +4)·22434tt +=0，得(3-m -4)t =(-m -1)t =0， 由t 是大于2或小于-2的任意实数知m =-1，所以直线EN 过定点Q (-1，0). 当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程为y =0，也经过点Q (-1，0)， 所以当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 恒过一定点Q (-1，0).3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2FP 为椭圆C 上一动点，12F PF △(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】 (1)设椭圆C 的半焦距为c c a =到直线12F F 的距离最大，则有()12max122F PF Sc b bc =⋅⋅=，于是得bc =222a b c =+，联立解得2,1,a b c === 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.(2)由(1)知，点)2F ，当直线斜率存在时，不妨设:(l y k x =，()11,A x y ，()22,B x y ，由22(44y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得，2222(14)1240k x x k +-+-=，12x x +=212212414k x x k -=+， 假定在x 轴上存在定点Q 满足条件，设点(,0)Q t ，则221212121212()())((QA QB x t x t y y x x t x x t k x x ⋅=--+=-+++22221212(1)))(3k x x t x x t k =+-++++222222124(1)314)k k t t k k -=+⋅-++++=，当24t -=，即t =213464QA QB t ⋅=-=-，当直线l 斜率不存在时，直线l ：x =C 交于点A ，B ，由对称性不妨令11),)22A B -，当点Q 坐标为时，3131,,8282QA QB ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11132264QA QB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值1364-.4．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记点A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，则12c a =，则224a c =，22223b a c c =-=， 所以椭圆C 的方程为：2222143x y c c+=，将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得：222430x x c -+-=, 所以244(43)0c ∆=-⨯-=，解得：21c =， 所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=， 此时将21c =代入222430x x c -+-=得：2210x x -+=， 所以1x =，此时32y =。
2014年高考数学：专题七 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值问题、范围问题及轨迹问题
2.(2012 年高考四川卷,文 21)如图,动点 M 与两定点 A(-1,0)、B(1,0)构成△MAB,且直线 MA、MB 的斜率之积 为 4.设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设直线 y=x+m(m>0)与 y 轴相 交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、 R,且|PQ|<|PR|,求 范围.
于是 a= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 = (1 m2 )( y1 y2 )2
2 = (1 m2 ) ( y y ) 4 y1 y2 2 1
2 2 16 m 4 2 5( m 1) 2 2 = (1 m ) 2 . = 2 2 m 5 m 5 (m 5)
化简可得 4x2-y2-4=0. 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x -y -4=0(x≠1 且 x≠-1).
2 2
y x m, (2)由 2 消去 y, 2 4 x y 4 0
可得 3x -2mx-m -4=0.(*) 对于方程(*),其判别式 2 2 2 Δ=(-2m) -4×3(-m -4)=16m +48>0, 而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0 且 m≠1. 设 Q、R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR), 则 xQ,xR 为方程(*)的两根. 因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|,
y kx m, (2)由 2 2 3 x 4 y 12 0,
消去 y 整理得(3+4k )x +8kmx+4(m -3)=0, ∴Δ=(8km) -4(3+4k )×4(m -3)>0, 整理得 4k2>m2-3. 令 M(x1,y1),N(x2,y2),
圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
数 学
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第三讲
第二课时
圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
[自主解答]
(1)设椭圆 E 的左右焦点分别为 F1，F2，
∵椭圆 E 右焦点为(1,0)，∴c＝1， 又点
3 P1，2在椭圆
E 上， 1＋1
2
∴ 2a ＝ |PF1| ＋ |PF2| ＝ 4，
3 ＋22＋
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第三讲
第二课时
圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
x2 y2 2 1．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率 e＝ ，左、右焦点 a b 2 分别为 F1，F2，点 P(2， 3)，点 F2 在线段 PF1 的中垂线上． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l： y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 M， N 两点， 直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α，β，且 α＋β＝π，试问直线 l 是否 过定点？若过，求该定点的坐标．
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第三讲
第二课时
圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
2 解得 n＝2k 或 n＝ k. 7 当 n＝2k 时，直线 MN 的方程为 y＝k(x＋2)，过点 A，与 题意不符，舍去； 2 当 n＝ k 时，n2－ 4k2－ 3<0，直线 MN 的方程为 y＝ 7
2 kx＋7，显然过点 2 Q－7，0. 2 Q－7，0.
综上，直线 MN 一定经过 x 轴上一定点
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第三讲
第二课时
圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
——————————规律· 总结———————————— 求解直线和曲线过定点问题的基本思路
高三数学一轮必备“高频题型全掌握”15.圆锥曲线中的定值、最值、范围等常考问题
【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌握系列》15.圆锥曲线中的定值、最值、范围等常考问题1.（2013届北京丰台区一模）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2)，直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A ，B 。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。
【答案】（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，由题意22224421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得28a =，24b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=. …………5分 （Ⅱ）假设存在斜率为k 的直线，其垂直平分线经过点Q （0,3）， 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，AB 的中点为N(x 0,y 0),由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4280k x mkx m +++-=, …………………6分 222222164(12)(28)648320m k k m k m ∆=-+-=-+>，所以22840k m -+>,…7分122412mkx x k +=-+, ∴12022212x x mk x k +==-+，00212my kx m k =+=+, ……………8分 线段AB 的垂直平分线过点Q （0,3），∴1NQ k k ⋅=-，即0031y k x -⋅=-，∴236m k -=+，…………10分 0∆> ，整理得42362850k k ++<，显然矛盾∴不存在满足题意的k 的值。
………13分ABG H2.（湖北省重点中学联考）已知圆M：222(x y r +=（0r >）.若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为圆M. （I ）求椭圆C 的方程； （II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围.【答案】（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =，c a =，所以1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y +=………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k=-+………………6分所以AB ==7分 点M，0）到直线l的距离d =则GH =………………9分显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，所以要使AG BH =，只要AB GH =所以222228(1)24()121k k r k k+=-++ 22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++………………11分当0k =时，r =12分当0k ≠时，242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++ 又显然24212(1)2132r k k =+>++,<r ≤<14分3.（云南师大附中2013届高三高考适应性月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4，设右焦点为1F ，离心率为e ． （1）若e =（2）设A 、B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k，若k ≥e 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由e =，c =2，得a =，b =2 , 所求椭圆方程为22184x y +=. …………………………………………（4分）（Ⅱ）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --， 故00+222x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00222x y N -⎛⎫- ⎪⎝⎭，.① 由题意，得0OM ON =.化简，得22004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上. ……………（8分） ② 设00(,)A x y ，则002222200220022222222220000,1,111,(1)444y kx x k x x y k k a ba b a b x kx x y =⎧⎧⎪+=⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪+=⎩. 将2c e a a ==，222244b a c e=-=-，代入上式整理，得2242(21)2 1.k e e e -=-+因为42210e e -+>，k 2>0，所以2210e ->，所以 422221321e e k e -+=-≥．化简，得422840,210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥解之，得2142e <-≤1,e <故离心率的取值范围是1⎤⎥⎝⎦. …………………（12分）。
2014届高考数学(文)二轮专题复习17个常考问题专项突破常考问题15与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围
常考问题15 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题(建议用时：50分钟) 1．(2013·济南模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是( )．A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(1，5)D ．(1，5]解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有ba ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2. 答案 B2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )．A.74B ．2C.94D ．4解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94. 答案 C3．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值正确的是 ( )．A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4解析 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝()y 1y 2216， 而y 1y 2＝－4，代入上式， 得|AB |·|CD |＝1.故选A. 答案 A4．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为( )．A ．1B ．2C ．4D ．8解析 不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2（4－b 2）≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2. 答案 B5．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )．A ．5B ．4C ．3D ．2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，易知直线AB 的方程为y ＝3x － 32p ，代入抛物线方程y 2＝2px ，可得x 1＋x 2＝53p ，x 1x 2＝p 24，可得x 1＝32p ，x 2＝p 6，可得|AF ||BF |＝x 1＋p 2x 2＋p 2＝3p 2＋p 2p 6＋p 2＝3. 答案 C6．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6.答案 67．(2013·镇江模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析 由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2. 答案 (1，2)8．设F 1是椭圆x 24＋y 2＝1的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则PF 1→·PO →的最大值为________． 解析 设P (x 0，y 0)，依题意可得F 1(－3，0)，则PF 1→·PO →＝x 20＋y 20＋3x 0＝x 20＋1－x 204＋3x 0＝3x 204＋3x 0＋1＝34⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2332. 又－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，PF 1→·PO →取得最大值4＋2 3.答案 4＋2 3.9．(2013·北京卷)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2，0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分，所以可设A (1，t )，代入x 24＋y 2＝1，得t ＝±32. ∴|AC |＝2|t |＝ 3.因此菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2， ∴线段AC 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，∴k OB ＝－14k . 又k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1，∴AC 与OB 不垂直． 故四边形OABC 不是菱形，这与假设矛盾．所以，当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．10．(2013·浙江卷)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1. 又y ＝y 1x 1x ，且y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝2|x M －x N | ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16 ＝82k 2＋1|4k －3|，令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34. 当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时， |MN |取到最小值85 2.11．(2013·郑州模拟)已知椭圆的焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由焦点坐标可得c ＝1.由|PQ |＝3，可得2b 2a ＝3. 又a 2－b 2＝1，得a ＝2，b ＝ 3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 不妨令y 1>0，y 2<0，设△F 1MN 的内切圆的半径R ，则△F 1MN 的周长为4a ＝8，S △F 1MN ＝12(|MN |＋|F 1M |＋|F 1N |)R ＝4R ， 因此要使△F 1MN 内切圆的面积最大，则R 最大，此时S △F 1MN 也最大． S △F 1MN ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝y 1－y 2，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，得y 1＝－3m ＋6m 2＋13m 2＋4，y 2＝－3m －6m 2＋13m 2＋4，则S △F 1MN ＝y 1－y 2＝12m 2＋13m 2＋4，令t ＝m 2＋1，则t ≥1，则S △F 1MN ＝12m 2＋13m 2＋4＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t . 令f (t )＝3t ＋1t ，则f ′(t )＝3－1t 2， 当t ≥1时，f ′(t )>0，所以f (t )在[1，＋∞)上单调递增， 有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤124＝3，当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ＝3，又S △F 1MN ＝4R ， ∴R max ＝34.这时所求内切圆面积的最大值为916π.故△F 1MN 内切圆面积的最大值为916π，且此时直线l 的方程为x ＝1.。
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【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌
握系列》15.圆锥曲线中的定值、最值、范围等常考问题
1.（2013届北京丰台区一模）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2
)，
直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A ，B 。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。
【答案】（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b
+=()0a b >>，由题意
22224
42
1
a b a b
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得28a =，2
4b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=. …………5分 （Ⅱ）假设存在斜率为k 的直线，其垂直平分线经过点Q （0,3）， 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，AB 的中点为N(x 0,y 0),
由22
184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222
(12)4280k x mkx m +++-=, …………………6分 222222164(12)(28)648320m k k m k m ∆=-+-=-+>，所以22840k m -+>,…7分
122
412mk
x x k +=-
+, ∴12022212x x mk x k +==-+，002
12m
y kx m k =+=+, ……………8分 线段AB 的垂直平分线过点Q （0,3），
∴1NQ k k ⋅=-，即
00
3
1y k x -⋅=-，∴236m k -=+，…………10分 0∆> ，
整理得42362850k k ++<，显然矛盾∴不存在满足题意的k 的值。
………13分
A
B
G H
2.（湖北省重点中学联考）已知圆M
：2
2
2
(x y r +=（0r >）.若椭圆C ：22
221
x y a b
+=（0a b >>）的右顶点为圆M
（I ）求椭圆C 的方程； （II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，
H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围.
【答案】（I ）设椭圆的焦距为2c ，
因为a =
，
c a =
，所以1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2
212
x y +=………………4分
（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )
由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22
220y kx x y =⎧⎨+-=⎩
所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122
2
12x x k
=-
+………………6分
=7分 点M
，0）到直线l
的距离d
则GH =9分 显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，
所以要使AG BH =，只要AB GH =
所以222
22
8(1)24()121k k r k k
+=-++ 22424
2
224242
22(1)2(331)2(1)112231231
k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++………………11分
当0k =
时，r =12分
当0k ≠时，24211
2(1)2(1)3
1322r k k =+
<+=++ 又显然242
1
2(1)2
132r k k =+>++,
<
r ≤<14分
3.（云南师大附中2013届高三高考适应性月考）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为4，
设右焦点为1F ，离心率为e ． （1
）若e =
，求椭圆的方程； （2）设A 、B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点
O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；
②设直线AB 的斜率为k
，若k ≥e 的取值范围． 【答案】解：
（Ⅰ）由e =
，c =2
，得a =，b =2 , 所求椭圆方程为22
184x y +
=. …………………………………………（4分） （Ⅱ）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --， 故00+222x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，0
022
2x y N -⎛⎫- ⎪⎝⎭，.
① 由题意，得0OM ON =.
化简，得220
04x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上. ……………（8分） ② 设00(,)A x y ，则00222
22
00220022222222220000,1,
111,(1)444y kx x k x x y k k a b
a b a b x kx x y =⎧⎧⎪+=⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪+=⎩
. 将2c e a a =
=，22224
4b a c e
=-=-，代入上式整理，
得2242(21)2 1.k e e e -=-+
因为42210e e -+>，k 2
>0，所以2210e ->，
所以 422
221
321
e e k e -+=
-≥． 化简，得422840,
210.
e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥
解之，得
21
42
e <-≤1,e <
故离心率的取值范围是1⎤
⎥⎦
. …………………（12分）。