人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试题

合集下载

2020年人教版初中数学八年级下册第18章《平行四边形》单元综合测试题含答案

平行四边形一．选择题（共10小题）1．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC2．平行四边形两邻角的平分线相交所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形4．下列说法正确的有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角互补；③平行线间的线段相等；④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；⑤平行四边形的四内角之比可以是2：3：2：3．A．1个B．2个C．3个D．4个5．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34 B．26 C．8.5 D．6.56．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点A坐标是（﹣2，0），则点B坐标为（）A．（0，2）B．（0，）C．（0，1）D．（0，2）7．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相平分的四边形是平行四边形8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8 B．2.4 C．2.5 D．2.69．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断10．把一张长方形纸片ABCD按如图方式折一下，就一定可以裁出（）纸片ABEF．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形二．填空题（共8小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E、F两点，AB＝6，BC＝10，则EF的长度是．12．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AO＝CO，④∠ABC ＝∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是．（填写一组序号即可）13．如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使∠ABC＝45°，则四边形ABCD的面积为．14．如图，矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝时，四边形APQD 也为矩形．15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝3，则AE的边长为．16．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD＝10，EF＝4，则AB＝．17．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则GH＝．18．如图，正方形OABC在直角坐标系中，点B（﹣2，2），点D为BC的中点，点E在线段OC上运动，射线ED交AB延长线于点F，设E（0，t），当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，点E的坐标是．三．解答题（共7小题）19．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE 的长．20．在▱ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：四边形DFBE是平行四边形；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以GH为边或对角线的所有平行四边形．21．已知：如图，在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM．22．如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．23．已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC＝10，BD＝6．（1）求证：EF⊥BD；（2）求EF的长．24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB 的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．（1）求证：四边形BDCF为菱形；（2）若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC＝，求CF的长．25．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE＝AD，F为DC上一点，且AD＝FD，连接AF与DE交于点G．（1）若∠C＝60°，AB＝2，求GF的长；（2）过点A作AH⊥AD，且AH＝CE，求证：AB＝DG+AH．第《18章平行四边形》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据三角形的中位线定理即可判断；【解答】解：∵CM＝MA，CNB，∴MN∥AB，MN＝AB，∵MN＝18m，∴AB＝36m，故A、B、D正确，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．2．【分析】根据平行四边形的性质得到∠DAB+∠ABC＝180°，由角平分线可得∠BAO+∠ABO＝90°，根据三角形的内角和定理得∠AOB＝90°，即可得到所选选项．【解答】解：▱ABCD的∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于O，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠DAO＝∠BAO＝∠DAB，∠ABO＝∠CBO＝∠ABC，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能综合利用性质进行证明是解此题的关键．3．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．【解答】解：根据平行四边形的判定定理，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．故选：C．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．4．【分析】根据平行四边形的判定定理以及性质定理即可判断．【解答】解：①正确；②平行四边形的对角相等，命题错误；③平行线间的平行线段相等，命题错误；④正确；⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理以及性质定理，正确理解定理的内容是关键．5．【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝13，所以，斜边上的中线长＝×13＝6.5．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．6．【分析】根据菱形的性质可得∠OAB＝∠BAD＝60°，∠AOB＝90°，解直角△AOB，求出OB，即可得到点B坐标．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点A坐标是（﹣2，0），∴∠OAB＝∠BAD＝60°，∠AOB＝90°，在直角△AOB中，∵OA＝2，∴OB＝OA•tan∠OAB＝2×＝2，∴点B坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．也考查了锐角三角函数定义，坐标与图形性质．7．【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ACD均正确，而B不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选：B．【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．8．【分析】过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM＝EF，MN＝AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M′，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∴AM′＝＝．∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，∴MN＝AM′＝＝2.4．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．9．【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，再再证明AB＝BC即可解决问题．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形纸条的宽度相等，∴DE＝DF．又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．【分析】根据折叠定理得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片．【解答】解：由已知，根据折叠原理，对折后可得：∠FAB＝∠B＝∠AFE＝90°，AB＝AF，∴四边形ABEF是正方形，故选：D．【点评】此题考查了正方形的判定和折叠的性质，关键是由折叠原理得到四边形有三个直角，且一组邻边相等．二．填空题（共8小题）11．【分析】根据平行四边形的性质可知∠DEC＝∠ECB，又因为CE平分∠BCD，所以∠DCE＝∠ECB，则∠DEC＝∠DCE，则DE＝DC，同理可证AF＝AB，那么EF就可表示为AF+ED﹣BC＝2AB﹣BC，继而可得出答案．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DEC＝∠ECB，又CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，同理可证：AF＝AB，∴2AB﹣BC＝AF+ED﹣BC＝EF＝2．故答案为2．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．12．【分析】根据AD∥BC可得∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO＝DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．【解答】解：可选条件①③，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为：①③．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．13．【分析】根据折叠的性质易知，重合部分为菱形，然后根据菱形的面积公式计算即可．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．则AE＝AF＝2．∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是2，∴S四边形ABCD＝BC×2＝CD×2，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．∴四边形ABCD的面积为2×2×＝4．故答案是：4．【点评】本题主要考查菱形的性质和特殊角的三角函数值，通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．14．【分析】四边形APQD为矩形，也就是AP＝DQ，分别用含t的代数式表示，解即可．【解答】解：根据题意，当AP＝DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t＝20﹣t，解得t＝4（s）．故答案是：4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质．此题利用了矩形的对边相等的性质进行解题的．15．【分析】由平行四边形的性质和角平分线证出AD＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF 的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由AAS证明ADF≌△ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE＝∠DFA，∴∠DAE＝∠DFA，∴AD＝FD，又F为DC的中点，∴DF＝CF，∴AD＝DF＝DC＝AB＝4，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝，则AF＝2AG＝2，∵平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF＝EF，则AE＝2AF＝2×2＝4，故答案为：4【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键．16．【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DAE，推出AB＝BE，根据已知条件推出∠ADF＝∠ADC，得到∠DFC＝∠CDF，推出CF＝CD，于是得到结论．【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵DF⊥AE，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵∠ADF＝∠DFC，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，∴AB＝BE＝CF＝CD∵EF＝4，∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣4＝10，∴AB＝7；②如图2，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵DF⊥AE，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵∠ADF＝∠DFC，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，∴AB＝BE＝CF＝CD∵EF＝4，∴BC＝BE++EF+CF＝2AB+EF＝2AB+4＝10，∴AB＝3；综上所述：AB的长为7或3．故答案为：7或3．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB＝BE＝CF＝CD．17．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝2，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝2，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝4、GF＝CE＝2，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝2，PH＝HG＝PG，∵PD＝AD﹣AP＝2，GD＝GC﹣CD＝4﹣2＝2∴GP＝＝2∴GH＝GP＝故答案为：【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．18．【分析】由ASA证明△DBF≌△DCE，得出BF＝CE＝2﹣t，得出AF＝AB+BF＝4﹣t，即可得出点F的坐标；分两种情况：①当AE＝AF时，根据勾股定理得出AE2＝OA2+OE2，得出方程22+t2＝（4﹣t）2，解方程即可求出t的值；②当AE＝EF时，点E在AF的垂直平分线上，得出OE＝AF，即t＝（4﹣t），解方程即可求出t的值，从而求解．【解答】解：（1）∵四边形OABC是正方形，∴OA＝AB＝BC＝OC＝2，∠AOC＝∠ABC＝∠BCO＝90°，∴∠FBD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△DBF和△DCE中，，∴△DBF≌△DCE（ASA），∴BF＝CE＝2﹣t，∴AF＝AB+BF＝4﹣t，∴D的坐标为（﹣2，4﹣t），当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当AE＝AF时，∵AE2＝OA2+OE2，∴22+t2＝（4﹣t）2，解得：t＝1.5；②当AE＝EF时，点E在AF的垂直平分线上，∴OE＝AF，即t＝（4﹣t），解得：t＝．综上所述：当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，点E的坐标是（0，1.5）或（0，）．故答案为：（0，1.5）或（0，）．【点评】考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．三．解答题（共7小题）19．【分析】延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE＝CF，然后求解即可．【解答】解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E为BC中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE＝CF＝×4＝2．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．20．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE＝BF，即可得出四边形DFBE是平行四边形；（2）由中点的定义得出DE＝CE，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形DFBE是平行四边形；（2）解：∵E是CD的中点，∴DE＝CE，∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE；以GH为对角线的平行四边形有GFHE．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出DE＝BF是解决问题（1）的关键．21．【分析】由矩形的性质可得出BA＝CD、∠A＝∠D，由AM＝DN可得出AN＝DM，进而即可证出△ABN≌△DCM（SAS），根据全等三角形的性质可证出BN＝CM．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BA＝CD，∠A＝∠D．∵AM＝DN，∴AN＝DM．在△ABN和△DCM中，，∴△ABN≌△DCM（SAS），∴BN＝CM．【点评】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理SAS 证出△ABN≌△DCM是解题的关键．22．【分析】延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出AQ＝FM，QM＝ME，结合∠AQM＝∠FME＝90°即可证出△AQM≌△FME（SAS），再利用全等三角形的性质可证出AM＝EF．【解答】证明：延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，∴AQ＝PM＝FM，QM＝ME．在△AQM和△FME中，，∴△AQM≌△FME（SAS），∴AM＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．23．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求BE＝DE，根据等腰三角形的性质，可得结论；（2）根据题意可得BE＝5，BF＝3，根据勾股定理可求EF的长【解答】证明：（1）连接BE，DE∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，∴BE＝AC，DE＝AC∴BE＝DE∵点F是BD的中点，BE＝DE∴EF⊥BD（2）∵BE＝AC∴BE＝5∵点F是BD的中点∴BF＝DF＝3在Rt△BEF中，EF＝＝＝4【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是本题的关键．24．【分析】（1）求出四边形ADFC是平行四边形，推出CF＝AD＝BD，根据平行四边形的判定得出四边形BDCF是平行四边形，求CD＝BD，根据菱形的判定得出即可；（2）设CE＝2x，AC＝3x，求出BC＝4x，DF＝AC＝3x，根据菱形的面积公式求出x，求出EF和CE，根据勾股定理求出CF即可．【解答】（1）证明：DE⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠BED＝∠ACB，∴DF∥AC，∵CF∥AB，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AD＝CF，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF，∵BD∥CF，∴四边形BDCF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴DC＝BD，∴四边形BDCF是菱形；（2）解：∵tan∠EAC＝＝，∴设CE＝2x，AC＝3x，∵四边形BDCF是菱形，∴BE＝CE＝2x，∴BC＝4x，∵四边形ADFC是平行四边形，∴DF＝AC＝3x，∵四边形BDCF的面积为24，∴＝24，解得：x＝2（负数舍去），∴CE＝4，DF＝6，∴DE＝EF＝×6＝3，∵DE⊥BC，∴∠CEF＝90°，∴由勾股定理得：CF＝＝＝5．【点评】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．25．【分析】（1）过G作GH⊥CD于H，根据三角形的内角和得到∠CDE＝60°，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD＝2，得到∠ADC＝120°，解直角三角形即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，推出∠DFA＝∠C，在DH上截取HM＝AH，得到∠HAM＝∠HMA，求得∠DAM ＝∠H，根据全等三角形的性质即可得到结论．．【解答】解：（1）如图1，过G作GH⊥CD于H，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CDE＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝2，∴∠ADC＝120°，∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA＝30°，∴∠GDF＝∠DFG，∴DG＝GF，∵CD＝2，∴DF＝，∴HF＝DF＝，∴GF＝1；（2）∵AH⊥AD，DE⊥BC，∴∠DAH＝∠DEC＝90°，在△ADE与△DEC中，，∴△ADE≌△DEC（SAS），∴∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DAB＝∠C，∠DFA＝∠BAF，∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DFA＝∠C，如图2，在DH上截取HM＝AH，∴∠HAM＝∠HMA，∴∠H＝180°﹣2∠HAM，∵∠MAD＝90°﹣∠HAM，∴∠DAM＝∠H，∴∠MAD＝∠GFD，在△ADM与△FDG中，，∴△ADM≌△FDG（ASA），∴DM＝DG，∵AB＝CD＝DH＝HM+DM，∴AB＝AH+DG．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)单元测试卷3(含答案)

人教版八年级下册第18章《平行四边形》单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，四边形ABCD是平行四边形，将BC延长至点E，若∠A=100°，则∠1等于( )A. 110°B. 35°C. 80°D. 55°2.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，添加下列一个条件后，定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A. AB=BCB. AC=BDC. ∠A=∠CD. ∠A=∠B3.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC.若DE=5，AE=8，则BE的长度是( )A. 5B. 5.5C. 6D. 6.54.如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，BE平分∠ABC，交CD于点E，则DE的长度是( )A. 32B. 2 C. 52D. 35.平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC=4，AB=6.BD=m，那么m的取值范围是( )A. 4<m<8B. 4<m<10C. 6<m<14D. 8<m<166.矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE=2，ME=4，则图中阴影部分的面积是( )A. 12B. 10C. 8D. 67.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=8.BD=6，点E是CD上一点，连接OE，若OE=CE，则OE的长是( )A. 2B. 52C. 3D. 48.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，AB，连接OE.下列结论：①S平行四边形ABCD=AD⋅BD；②DB平∠BCD=60°，AD=12分∠CDE；③AO=DE；④OE垂直平分BD.其中正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A(−3,0)，B(2,b)，则b的值为( )A. 3B. 2C. −3D. −210.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为6和8，若S△APC=15，那么点P到对角线BD的长是( )A. 65B. 95C. 125D. 245二、填空题（每小题3分，共18分）11.在▱ABCD中，如果∠A+∠C=140°，那么∠C等于______ ．12.一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长为______．13.如图，在长方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD=120°，AB=2，OA=OB，则CO的长为______．14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，CD=6cm，则AB的长为______cm．15.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=3，OB=1，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，则对角线BD的长为______．16.如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为8，与y轴交于点M(0,5)，顶点C(6,−3)，将一条长为2020个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M 出发将细绳紧绕在正方形ABCD的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为______ ．三、解答题（每小题8分，共64分）17.如图，平行四边形ABCD，E、F是直线DB上两点，且DF=BE.求证：四边形AECF是平行四边形．18.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交边AD、BC于点E、F.求证：DE=BF．19.正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．(1)求证：EF=AE+CF；(2)当AE=1时，求EF的长．20.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)OE______ AE(填<、=、>)；(2)求证：四边形OEFG是矩形；(3)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．21.在▱ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．(1)如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF=90°，CD=3，EG=2，求CE的长；(2)如图2，若AG=AB，∠DEG=∠BCD，求证：AD=BF+DE．22.如图，有一张矩形纸条ABCD，AB=5cm，BC=2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN=1cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．(1)当点B′恰好落在边CD上时，线段BM的长为______cm；(2)点M从点A运动到点B的过程中，若边MB′与边CD交于点E，求点E相应运动的路径长度．(3)当点A与点B′距离最短时，求AM的长．23.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=90°，AB=DC=4，AD=BC=8.延长BC到E，使CE=3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE=5.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．(t>0)(1)当t=3时，BP=______；(2)当t=______时，点P运动到∠B的角平分线上；(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S；(4)当0<t<6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．24.如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是(4,6)，将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点,6)．E、D，且D点坐标是(52(1)求F点的坐标；(2)如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；(3)若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵平行四边形ABCD中，∠A=100°，∴∠BCD=∠A=100°，∴∠1=180°−∠BCD=180°−100°=80°．故选：C．根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：如图所示：∵AB//CD，∴∠B+∠C=180°，当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，故AD//BC，则四边形ABCD是平行四边形．故选：C．利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可．此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行四边形的判定，得出AD//BC是解题关键．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据直角三角形斜边上的中线求出AB长，根据勾股定理求出BE即可．【解答】解：∵BE⊥AC，∴∠BEA=90°，∵DE=5，D为AB中点，∴AB =2DE =10，∵AE =8，∴由勾股定理得：BE =AB 2−AE 2=6．故选C ．4.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，CD =AB =6，∴∠ABE =∠CEB ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，∴∠CBE =∠CEB ，∴CE =BC =4，∴DE =CD−CE =6−4=2．故选：B ．根据四边形ABCD 为平行四边形可得AB//CD ，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠CBE =∠CEB ，可得CE =BC =4，即可求得DE 的长度本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及角平分线定义等知识，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠CBE =∠CEB ．5.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC =4，BD =m ，∴AO =12AC =2，OB =OD =12m ，在△AOB 中，AB−AO <BO <AB +AO ，即4<BO <8，∴8<2BO <16．即8<m <16．故选：D ．根据平行四边形的性质，在△AOB 中，可根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行求解．本题主要考查平行四边形的性质和三角形三边关系的运用，属于基础题，注意掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．6.【答案】C【解析】解：过M 作MP ⊥AB 于P ，交DC 于Q ，如图所示：则四边形DEMQ ，四边形QMFC ，四边形AEMP ，四边形MPBF 都是矩形，∴S △DEM =S △DQM ，S △QCM =S △MFC ，S △AEM =S △APM ，S △MPB =S △MFB ，S △ABC =S △ADC ，∴S △ABC −S △AMP −S △MCF =S △ADC −S △AEM −S △MQC ，∴S 四边形DEMQ =S 四边形MPBF ，∵DE =CF =2，∴S △DEM =S △MFB =12×2×4=4，∴S 阴=4+4=8，故选：C ．根据矩形的性质和三角形面积关系可证明S △DEM =S △BFM ，即可求解．本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S 四边形DEMQ =S 四边形MPBF ．7.【答案】B【解析】解：∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OB =12BD =12×6=3，OA =OC =12AC =12×8=4，AC ⊥BD ，由勾股定理得，BC =OB 2+OC 2=32+42=5，∴AD =5，∵OE =CE ，∴∠DCA =∠EOC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠DCA =∠DAC ，∴∠DAC =∠EOC ，∴OE//AD ，∵AO =OC ，∴OE是△ADC的中位线，AD=2.5，∴OE=12故选：B．根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，AB，∴AD=AE=12∴E是AB的中点，∴DE=BE，∠AED=30°，∴∠BDE=12∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD⋅BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO>AD，∴AO>DE，故③错误；∵O是BD的中点，E是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE//AD，∵∠ADB=90°，∴∠EOB=90°，∴EO⊥DB，∴OE垂直平分BD.故④正确．故选：C．AB，求得∠ADB=90°，证得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD=AE=12即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD=AD⋅BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO>AD，即可得到AO>DE；由三角形的中位线定理可得出OE//AD，则可得出EO⊥BD，则可得出结论．本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式以及三角形的中位线定理的综合运用，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠DAO+∠BAM=90°，∠BAM+∠ABM=90°，∴∠DAO=∠ABM，∵∠AOD=∠AMB=90°，在△DAO和△ABM中，∠DAO=∠ABM∠AOD=∠AMB=90°，AD=AB∴△DAO≌△ABM(AAS)，∴BM=OA，∵A(−3,0)，B(2,b)，∴BM=OA=3，∴b=−3．故选：C．作BM⊥x轴于M.只要证明△DAO≌△ABM，推出OA=BM，AM=OD，由A(−3,0)，B(2,b)，推出OA=3，可得b=−3．本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．10.【答案】B【解析】解：连接OP ，作PE ⊥AC ，PF ⊥BD 于点E ，F ，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形ABCD =AB ⋅BC =48，OA =OC ，OB =OD ，AC =BD =AB 2+BC 2=10，∴OA =OD =5，∴S △ACD =12S 矩形ABCD =24，∴S △AOD =12S △ACD =12，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =12OA ⋅PE +12OD ⋅PF =12×5×PE +12×5×PF =52(PE +PF)=12，解得：PE +PF =245，∵S △APC =12AC ⋅PE =12×10×PE =15，∴PE =3，∴PF =245−PE =245−3=95．故选：B ．首先连接OP ，由矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，可求得OA =OD =5，△AOD 的面积，然后由S △AOD =S △AOP +S △DOP =12OA ⋅PE +12OD ⋅PF 求得答案．此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．11.【答案】70°【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，∵∠A +∠C =140°，∴∠C =70°．故答案为：70°．由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得：∠A =∠C ，又由∠A +∠C =140°，即可求得答案．此题考查了平行四边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．12.【答案】6cm【解析】解：根据题意，画出图形如图示，∵点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴DE 、DF 、EF 都是△ABC 的中位线，∴DE =12BC ，DF =12AC ，EF =12AB ，∵△ABC 的周长是12cm ，∴AB +CB +AC =12cm ，∴DE +DF +FE =24÷2=6(cm)．故答案是：6cm ．先画出图形，由三角形的中位线定理可知：DE =12BC ，DF =12AC ，EF =12AB ，则以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．本题主要考查了三角形的中位线定理以及三角形周长，解决问题的关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13.【答案】2【解析】解：在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∴AO =BO =CO =DO ．∵∠AOD =120°，∴∠AOB =60°．∴△AOB 是等边三角形．∴AO =AB =2，∴CO =2，故答案为：2．依据矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，所以AO =AB =2，则OC =AO =2．本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线相等且互相平分，则其分成的四条线段都相等．14.【答案】12【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴线段CD是斜边AB上的中线；又∵CD=6cm，∴AB=2CD=12cm．故答案是：12．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．本题考查了直角三角形斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15.【答案】23【解析】解：如图，连接AC，BD，∵OA=3，OB=1，∴AB=OA2+OB2=3+1=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=2，AC⊥BD，∴OC=1，∴AC=OA2+OC2=3+1=2，×AC×BD=BC×AO，∵S菱形ABCD=12=23，∴BD=2×2×32故答案为：23．由勾股定理可求AB，AC的长，由菱形的面积公式可求解．本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解决问题的关键．16.【答案】(−2,3)或(4,5)【解析】解：∵正方形ABCD的边长为8，∴CD=DA=BC=AB=8，∵M(0,5)，C(6,−3)，∴A(−2,5)，B(6,5)，D(−2,−3)，∴AM=2，BM=6，∴绕正方形ABCD一周的细线长度为8×4=32，∵2020÷32=63…4，∴细线另一端在绕正方形第63圈的第4个单位长度的位置，即在AB边或在AD边上，∴点N的坐标为(−2,3)或(4,5)．故答案为：(−2,3)或(4,5)．根据题意求出各点的坐标和正方形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标和正方形ABCD一周的长度，从而确定2020个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．17.【答案】证明：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵DF=BE，∴OD+DF=OB+BE，即OF=OE，又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形．【解析】连接AC交BD于O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证OF=OE，即可得出四边形AECF是平行四边形．本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，OB=OD，∴∠ODE=∠OBF，在△DOE和△BOF中，∠ODE=∠OBFOB=OD，∠DOE=∠BOF∴△△DOE≌△BOF(ASA)，∴DE=BF．【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，OB=OD，继而可利用ASA，判定△DOE≌△BOF，继而证得DE=BF．本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定，应熟练掌握．19.【答案】解：(1)证明：延长BC至H，使CH=AE，连接DH，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠DCE=90°．∴△DAE≌△DCH(SAS)．∴DE=DH，∠ADE=∠CDH．∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，∴∠ADE+∠FDC=45°．∴∠FDC+∠CDH=45°．即∠FDH=45°．∴∠EDF=∠FDH=45°．在△EDF和△HDF中，DE=DH∠EDF=∠HDF．DF=DF∴△EDF≌△HDF(SAS)．∴EF=FH．∵FH=FC+CH=FC+AE，∴EF=AE+FC．(2)设EF=x，则FH=x．∵正方形ABCD的边长为3，∴AB=BC=3．∵AE=1，∴BE=2，CH=1．∴FC=x−1．∴BF=BC−CF=3−(x−1)=4−x．在Rt△BEF中，∵BE2+BF2=EF2，∴22+(4−x)2=x2．．解得：x=52∴EF=5．2【解析】(1)延长BC至H，使CH=AE，连接DH，可得△DAE≌△DCH，则DE=DH，∠ADE=∠CDH；由于∠ADE+∠FDC=45°，所以∠FDC+∠HCD=45°，可得∠EDF=∠HDF，这样△EDF≌△HDF，可得EF=FH，结论得证；(2)设EF=x，由(1)的结论可知CF=x−1，BF=4−x，在Rt△BEF中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解．本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理．证明一条线段等于两条线段的和的题目一般采用补短法或截长法，通过构造三角形的全等来解决．20.【答案】=【解析】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E是AD的中点，AD=AE，∴OE=12故答案为：=；(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴平行四边形OEFG是矩形；(3)解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，AD=5；∴OE=AE=12由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=AE2−EF2=52−42=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．(1)由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质即可得出答案；(2)先证OE是三角形ABD的中位线，得到推出OE//FG，再证四边形OEFG是平行四边形，然后由矩形的判定定理即可得到结论；(3)先由菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=5；再由菱形的性质得FG=OE=5，然后由勾股定理得到AF=3，于是得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵∠CBF=90°，BD平分∠CBF，∴∠DBC=∠DBF=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，BG=DG，∴∠ADB=∠DBC=45°，∵BD平分∠ADE，∴∠BDE=45°=∠DBC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE=DE，∠BED=90°，BD=2DE，∵EG=2，BG=DG，∴DB=4，∴DE=22，在Rt△DEC中，CE=DC2−DE2=9−8=1；(2)如图2，在AD上截取MD=DE，连接MG，在△DGM和△DGE中，MD=DE∠ADG=∠EDG，DG=DG∴△DGM≌△DGE(SAS)，∴∠DEG=∠DMG，∵∠DEG=∠BCD=∠BAD，∴∠DMG=∠BAD，∴AB//MG，∴∠BAF=∠AGM，∵AG=AB，∴∠ABG=∠AGB，∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠GCB，∴∠ABF=∠BCG，又∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB=∠ABF，在△BAF和△AGM中，∠BAF=∠AGMAB=AG，∠ABF=∠MAG∴△BAF≌△AGM(ASA)，∴AM=BF，∴AD=AM+DM=BF+DE．【解析】(1)由角平分线的性质和平行线的性质可证△BDE是等腰直角三角形，可求DE=22，在Rt△DEC中，利用勾股定理可求CE的长；(2)在AD上截取MD=DE，连接MG，由“SAS”可证△DGM≌△DGE，可得∠DEG=∠DMG，由“ASA”可证△DGM≌△DGE，可得AM=FB，可得结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．22.【答案】5【解析】解：(1)如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠1=∠3，由翻折的性质可知：∠1=∠2，BM=MB′，∴∠2=∠3，∴MB′=NB′，∵NB′=B′C′2+C′N2=22+12=5(cm)，∴BM=NB′=5(cm)．故答案为：5；(2)如图1中，点B′恰好落在边CD上时，BM=NB′=5(cm)．如图2中，当点M与A重合时，AE=EN，设AE=EN=x cm，在Rt△ADE中，则有x2=22+(4−x)2，解得x=52，∴DE=4−52=32(cm)，如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′=5−1−2=2(cm)，如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′(即DE″)=5−1−5=(4−5)(cm)，∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径=EE′+E′B′=2−32+2−(4−5)=(5−32)(cm)．(3)如图5中，连接AN，当点B′落在AN上时，AB′的值最小，此时MN平分∠ANB．过点M 作MP ⊥AN 于点P ，MQ ⊥BN 于点Q ．在Rt △ADN 中，AN =AD 2+DN 2=22+42=25，∵S △AMNS △MNB =AM BM =12⋅AN ⋅MP 12⋅BN ⋅MQ =255=2，∴AM =23AB =103．(1)运用矩形性质和翻折性质得出：MB′=NB′，再利用勾股定理即可求得答案；(2)探究点E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．(3)如图5中，连接AN ，当点B′落在AN 上时，AB′的值最小，此时MN 平分∠ANB.利用面积法求出AM ：BM =2，可得结论．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】6 8【解析】解：(1)BP =2t =2×3=6，故答案为：6；(2)作∠B 的角平分线交AD 于F ，∴∠ABF =∠FBC ，∵∠A =∠ABC =∠BCD =90°，∴四边形ABCD 是矩形，∵AD//BC ，∴∠AFB =∠FBC ，∴∠ABF =∠AFB ，∴AF=AB=4，∴DF=AD−AF=8−4=4，∴BC+CD+DF=8+4+4=16，∴2t=16，解得t=8．∴当t=8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；故答案为：8；(3)根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，S△ABP=12×BP×AB=12×2t×4=4t；(0<t<4)；②当点P在CD上运动时，S△ABP=12×AB×BC=12×4×8=16；(4≤t≤6)；③当点P在AD上运动时，S△ABP=12×AB×AP=12×4×(20−2t)=−4t+40；(6<t≤10)；(4)当0<t<6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，∴点P到AD边的距离为4，∴点P到AB边的距离也为4，即BP=4，∴2t=4，解得t=2s；②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，∴点P到DE边的距离也为4，∴PE=DE=5，∴PC=PE−CE=2，∴8−2t=2，解得t=3s；③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，点P到DE、BE边的距离相等，即PC=PH，∵PC=2t−8，∴PD =DC−PC =12−2t ，∴2t−812−2t =35，解得t =194．综上所述：t =2s 或t =3s 或t =194s 时，点P 到四边形ABED 相邻两边距离相等．(1)根据题意可得BP =2t ，进而可得结果；(2)根据∠A =∠B =∠BCD =90°，可得四边形ABCD 是矩形，根据角平分线定义可得AF =AB =4，得DF =4，进而可得t 的值；(3)根据题意分3种情况讨论：①当点P 在BC 上运动时，②当点P 在CD 上运动时，③当点P 在AD 上运动时，分别用含t 的代数式表示△ABP 的面积S 即可；(4)当0<t <6时，点P 在BC 、CD 边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P 在BC 上，点P 到AD 边的距离为4，点P 到AB 边的距离也为4，②当点P 在BC 上，点P 到AD 边的距离为4，点P 到DE 边的距离也为4，③当点P 在CD 上，点P 到AB 边的距离为8，但点P 到AB 、BC 边的距离都小于8，进而可得当t =2s 或t =3s 时，点P 到四边形ABED 相邻两边距离相等．本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．24.【答案】解：(1)∵点D 坐标是(52,6)，B 点的坐标是(4,6)，四边形OABC 为矩形，∴BC =AO =4，OC =AB =6，CD =52，BD =BC−CD =32，∵将矩形沿直线DE 折叠，∴DF =CD =52，∴BF =DF 2−DB 2=254−94=2，∴AF =6−2=4，∴点F(4,4)．(2)如图2中，连接PF 交DE 于J ．当四边形EFDP 是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED ，∵C(0,6)，F(4,4)，∴直线CF 的解析式为y =−12x +6，∵DE 垂直平分线段CF ，∴直线DE 的解析式为y =2x +1，∴E(0,1)，D(52,6)，∵DJ =JE ，∴J(54,72)，∵PJ =JF ，∴P(−32,3)．(3)如图3中，连接FN ，以FN 为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN 于K ．设N(m,2m +1)，则K(m +42,2m +52)，M(7−m 2,3m +12)，M′(3m +12,m +92)，当点M 落在x 轴上时，3m +12=0，解得m =−13，当点M′落在X 轴上时，m +92=0，解得m =−9，∴满足条件的点N 的坐标为(−13,13)或(−9,−17)．【解析】(1)由折叠的性质可得DF =CD =52，由勾股定理可求BF 的长，即可求解；(2)如图2中，连接PF 交DE 于J.当四边形EFDP 是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED ，构建一次函数求出点E ，点D 坐标，求出点J 的坐标即可解决问题．(3)如图3中，连接FN ，以FN 为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN 于K.用m 的代数式表示出点M，M′的坐标，根据点M，M′在x轴上时，纵坐标为0构建方程求解即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

人教版数学八年级下册：第18章《平行四边形》同步测试题含答案

第18章平行四边形单元测试题一、选择题1.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）A．平行四边形B．正方形C．等腰梯形D．矩形2.如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是（）A．4个B．6个C．8个D．10个3.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是，添加下列一个条ACBD4.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°αB．90°+αC．D．360°α5.如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n1C．（）6.在平面中，下列命题为真命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形n1D．nB．只有对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形D．四边相等的四边形是菱形7.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°8.下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是A．对角线互相垂直C．对角线相等B．对角线互相平分D．四个角都是直角9.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S 2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1、S2的大小关系不确定10.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，∠B=60°，BC=3，△ABE的周长为6，则等腰梯形的周长是（）A．8B．10C．12D．1611.下列命题正确的是（）A．同一边上两个角相等的梯形是等腰梯形B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形C．如果顺次连接一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半12.平行四边形的对角线一定具有的性质是（）A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等二、填空题13.已知平行四边形的三个顶点坐标分别为（-1，0）（0，2）（2，0），则在第四象限的第四个顶点的坐标为___________。

八年级初二数学下学期平行四边形单元达标测试综合卷检测

八年级初二数学下学期平行四边形单元达标测试综合卷检测一、选择题1．在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 上的一动点，E 为AD 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作EF PQ ⊥交BC 的延长线于F ，则下列结论：①APE DQE ∆≅∆；②PQ EF =；③当P 为AB 中点时，2CF =；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为12，其中正确的是（）A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①②③2．如图，锐角△ABC 中，AD 是高，E,F 分别是AB,AC 中点,EF 交AD 于G,已知GF=1,AC= 6,△DEG 的周长为10，则△ABC 的周长为（）A ．27-32B ．28-32C ．28-42D ．29-523．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ∆∆≌；②ABE ∆是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F ，G ，连结OG 则下列结论：①12OG AB =；②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF S S ∆>四边形ODGF ；④由点A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④5．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E 且AB ＝AE ，延长AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF ．下列结论：①△ABC ≌△EAD ；②△ABE 是等边三角形；③BF ＝AD ；④S △BEF ＝S △ABC ；⑤S △CEF ＝S △ABE ；其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠CBF 为（）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°7．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 均在x 轴正半轴上，若已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ︒∠=，且112233////B C B C B C ，则点3A 的坐标是( )A ．331(3)26++B ．3333,)218C ．3313,)26++D ．333(3)218++ 8．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连结EF ，则线段EF 的长的最小值是( )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．29．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（）A ．222-B ．222+C ．252-D ．22+10．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是CD 的中点，将BCE 沿BE 翻折至BFE ，连接DF ，则DF 的长度是（）A ．5 B ．25C ．35D ．45二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC = ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．12．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．13．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH ； ②可以得到无数个矩形EGFH ； ③可以得到无数个菱形EGFH ； ④至少得到一个正方形EGFH ．所有正确结论的序号是__．14．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．15．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．16．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．17．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =；④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________18．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．19．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．20．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AFn BC=，ECm BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．三、解答题21．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题: （1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．（2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．22．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．23．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、， ①求证：四边形AFEP 是平行四边形； ②求PE 的长．24．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC．（直接写出结果）25．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动． ①当点Q 与点C 重合时，（如图2），求菱形BFEP 的边长；②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．26．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：2DE AF =．27．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②28．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形． ①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹) 思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由． 29．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若n ＝1，AF ⊥DE ． ①如图1，求证：AE ＝BF ；②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CFBF的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．30．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为，数量关系为．（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识依次判断即可；【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，∴△AEP≌△DEQ，故①正确，②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，∴∠PGQ=∠EMF=90°，∵EF⊥PQ，∴∠PEF=90°，∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，∴∠NPE=∠NEF，∵PG=EM，∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正确，③连接QF．则QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，设CF=x，则（2+x）2+12=32+x2，∴x=1，故③错误，④当P 在A 点时，Q 与D 重合，QC 的中点H 在DC 的中点S 处，当P 运动到B 时，QC 的中点H 与D 重合，故EH 扫过的面积为△ESD 的面积=12，故④正确，则正确的是①②④，故选B ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，难度较大．2．C解析：C【解析】【分析】由中点性质先得AF ＝3，再用勾股定理求出AG ＝2DG ＝AG ＝2，已知△DEG 的周长为10，所以求得EG+DE 的值，进一步证得AB=2DE,BD=2EG,从而求得△ABC 的周长.【详解】∵ E,F 分别是AB,AC 中点,EF 交AD 于G,∴EF ∥BC ，11AF AC 6322==⨯= ∵AD 是高∴∠ADC=∠AGF=90° 在Rt △AGF 中 2222AG 3122AF FG =-=-=∵EF ∥BC∴1AG AF DG FC== ∴FG 是△ADC 的中位线 ∴DC=2GF=2∴2 ∵ △DEG 的周长为10，∴2 在Rt △ADB 中，点E 是AB 边的中点，点G 是AD 的中点，∴AB=2DE ，BD=2EG∴AB+BD=2（EG+DE ）∴△ABC 的周长为：故答案为C【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、中位线性质等知识点.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ，⑤正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠EAD=∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∵AB=AE ，∴△ABE 是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，∵AB=AE ，BC=AD ，在△ABC 和△EAD 中，AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；∵△FCD 与△ABC 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），∴S △FCD =S △ABC ，又∵△AEC 与△DEC 同底等高，∴S △AEC =S △DEC ，∴S △ABE =S △CEF ；⑤正确；若AD 与AF 相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC ，即EC=CD=BE ，即BC=2CD ，题中未限定这一条件，∴③④不一定正确；故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．4．A解析：A【分析】连结AE ，可说明四边形ABDE 是平行四边形，即G 是BE 的中点；由有题意的可得O 是BD 的中点，即可判定①；运用菱形和平行四边形的性质寻找判定全等三角形的条件，找出与其全等的三角形即可判定②；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG//AB ，OG=12AB ，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形0DGF =S △ABF .即可判定③；先说明△ABD 是等边三角形,则BD=AB,即可判定④．【详解】解：如图：连结AE ．DE CD AB ==，//CD AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形，G ∴是BE 的中点，∵O 是BD 的中点1122OG DE AB ∴==，①正确；有BGA ∆，BGD ∆，AOD ∆，COD ∆，COB ∆，AOB ∆，共6个，②错误； ∵OB=OD ，AG=DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG//AB，OG=12AB ， ∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF， ∵△GOD 的面积=14△ABD 的面积，△ABF 的面积=△OGF 的面积的4倍，AF:OF=2:1， ∴△AFG 的面积=△OGF 的面积的2倍，又∵△GOD 的面积=△A0G 的面积=△B0G 的面积，.∴=ABF S S ∆四边形ODGF ；不正确；③错误；60AB AD BAD =⎧⎨∠=︒⎩ABD ∴∆是等边三角形．BD AB ∴=，ABDE ∴是菱形，④正确．故答案为A ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；考查知识点较多、难道较大，解题的关键在于对所学知识的灵活应用．5．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质可得AD//BC ，AD=BC ，根据平行线的性质可得∠BEA=∠EAD ，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA ，即可证明∠EAD=∠ABE ，利用SAS 可证明△ABC ≌△EAD ；可得①正确；由角平分线的定义可得∠BAE=∠EAD ，即可证明∠ABE=∠BEA=∠BAE ，可得AB ＝BE ＝AE ，得出②正确；由S △AEC ＝S △DEC ，S △ABE ＝S △CEF 得出⑤正确；题中③和④不正确．综上即可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠BEA=∠EAD ，∵AB=AE ，∴∠ABE=∠BEA ，∴∠EAD=∠ABE ，在△ABC 和△EAD 中，AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；故①正确；∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠ABE=∠BEA=∠BAE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴AB＝BE=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°，∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD＝S△ABC，∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确．若AD=BF，则BF＝BC，题中未限定这一条件，∴③不一定正确；如图，过点E作EH⊥AB于H，过点A作AG⊥BC于G，∵△ABE是等边三角形，∴AG=EH，若S△BEF＝S△ABC，则BF=BC，题中未限定这一条件，∴④不一定正确；综上所述：正确的有①②⑤．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键．6．A解析：A【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC，进而得出∠CBF．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．∴∠BFA=180°-60°=120°，∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，故选：A ．【点睛】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解本题的关键是求出∠ABE=15°．7．C解析：C【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠B 3C 3O=∠B 2C 2O=∠B 1C 1O=60°，然后利用三角形全等可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2，E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4，解直角三角形求出OC 1、C 1E 、E 1E 2、E 2C 2、C 2E 3、E 3E 4、E 4C 3，再求出B 3C 3，过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ，过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，先求出A 3M ，再解直角三角形求出A 3N 、C 3N ，然后求出ON ，再根据点A 3在第一象限写出坐标即可．【详解】解∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，∴∠B 3C 3O =∠B 2C 2O =∠B 1C 1O =60°，∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，B 1C 1=C 1D 1，∠B 1C 1D 1=90°，∴∠C 1B 1O=∠D 1C 1E 1=30°，∴△C 1B 1O ≌△D 1C 1E 1；∴B 1O=C 1E 1，OC 1=D 1E 1，同理可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2；E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4；111122223111111222OC D E E E B E C E B C ∴======⨯=11111C E D C ===2234342212E C E E B E E =====433416E C B E === 3343112263B C E C ∴==⨯= 过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ,过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，则332323333331133333A M A D C D B C B C +=+=+=+⨯= 333333312926A N A M ++==⨯= 3313313322C M A M ++==⨯= 343133331233186C N E M C M ⎛⎫+-∴=-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭111122223343ON OC C E E E E C C E E E C N =++++++1313131313322262-=+++++++=+ ∵点A 3在第一象限，∴点A 3的坐标是3313,2⎛⎫++ ⎪ ⎪⎭. 故选C.【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.8．B解析：B【分析】连接CD ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD ，再根据垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.【详解】如图，连结CD .∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝22AC BC +＝5.∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠ACB ＝90°，∴四边形CFDE 是矩形，∴EF ＝CD .由垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的长最小，此时，S △ABC ＝12 BC ·AC ＝12AB ·CD ，即12×4×3＝12×5·CD ，解得CD ＝2.4，∴EF ＝2.4.故选B .【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．9．B解析：B【分析】取DC 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解．【详解】取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，90MON ∠=︒，122OE AB ∴==．在Rt DAE ∆中，利用勾股定理可得22DE =．在ODE ∆中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为222OE DE +=+．故选B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．10．D解析：D【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝455，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝455．【详解】解：如图，连接CF，交BE于H，∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，∴BE2216425BC CE+=+=∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，∵S△BCE＝12×BE×CH＝12×BC×CE，∴CH 45，∴221625 45CE CH-=-=∵CE＝DE，FH＝CH，∴DF＝2EH＝55，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222=-=-=,BE AB AE543∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222BE AB AE543-=-,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．43 4【解析】分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF=90°时，如图1，.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE=∠MAN=90°，∴∠CDE=∠A'EF，∴AC∥A'E，∴∠ACB=∠A'EC，∴∠A'CB=∠A'EC，∴A'C=A'E=4，Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC=2A'E=8，由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，∴AB=2284=43；②当∠A'FE=90°时，如图2，.∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，∴∠ABF=90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC=∠CBA'=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=4；.综上所述，AB的长为4；故答案为 4.点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．13．①③④【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．14．5【分析】设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝12 x，BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【详解】解：设EF＝x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2x，AD∥EF，∴∠CAD＝∠CEF＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC＝90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM ＝45°，连接BE ，∵AB ＝OB ，AE ＝OE∴BE ⊥AO∴∠BEM ＝45°，∴BM ＝EM ＝MC ＝x ，∴BM ＝FE ，易得△ENF ≌△MNB ，∴EN ＝MN ＝12x ，BN ＝FN ＝5， Rt △BNM 中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，即22215()2x x =+解得，x ＝5∴BC ＝2x ＝5 故答案为：5【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．153223102【分析】根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.【详解】解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32∴AP=223322+（）（）=322当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92∴AP=223922+（）（）=3102故答案为：322或3102【点睛】此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.16．102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．【详解】连接BD ，BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．17．①②④⑤【分析】根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；【详解】∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，∴∠BAE=∠BEA=45°，又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，∴△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，∴AD//BC，∴∠ADE=∠DEC，∴∠AED=∠DEC，又∵DC ⊥BC ，∴∠DCE=∠DHE=90°∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠HDC=45°，由①有DE 平分∠HDC ，∴∠HDO=12∠HDC=12×45°=22.5°， ∵∠BAE=45°，AB=AH ， ∴∠OHE=∠AHB=12 (180°−∠BAE)= 12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，∴OD=OH ，在△AED 中，AE=AD ，∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠OHE=∠HEO=67.5°，∴OE=OH ，∴OD=OE ，所以②正确；在△DHE 和△DCE 中，DHE DCE HDE CDE DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔDHE ≅ΔDCE(AAS)，∴DH=DC ，∠HDE=∠CDE=12×45°=22.5°， ∵OD=OH ，∴∠DHF=22.5°，∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，∴△DHF 不是直角三角形，并DH≠HF ，即有：CD≠HF ，所以③不正确；如图，过H 作HJ ⊥BC 于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∴JH=JE，又∵J是BC的中点，H是BF的中点，∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，即有：BC−CF=2CE，所以④正确；∵AD//BC，∴IJ⊥AD，又∵△AHD是等腰直角三角形，∴I是AD的中点，∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，∴J是BC的中点，∴H是BF的中点，所以⑤正确；综上所述，正确的有①②④⑤，故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．18101【分析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．【详解】如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（910101）（cm ）．101．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可．【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．20．7【分析】①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=+四边形即可得出答案．【详解】四边形ABCD 是平行四边形//,AD BC AD BC ∴=,,AF EC n m BC BCm n === AF EC ∴=AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形//,//AE CF BF DE ∴∴四边形EGFH 是平行四边形综上，图中共有4个平行四边形如图，连接EF1,,AF EC n m BC B n Cm ==+= AF EC BC AD ∴+==AF DF AD +=EC DF ∴=AF BE ∴=∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形1()4ABEF CDFE S S =+12874=⨯= 故答案为：4；7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．三、解答题21．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒【分析】（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试卷一、选择题1．如图，ABCD □中，4,60AB BC A ==∠=︒，连接BD ，将BCD 绕点B 旋转，当BD （即BD '）与AD 交于一点E ，BC （即BC '）与CD 交于一点F 时，给出以下结论：①AE DF =；②60BEF ∠=︒；③DEB DFB ∠=∠；④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 落在y 轴上，点C 落在x 轴上，随着顶点C 由原点O 向x 轴正半轴方向运动，顶点A 沿y 轴负半轴方向运动到终点O ，在运动过程中OD 的长度变化情况是（）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少3．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．如图，菱形ABCD 的周长为24，对角线AC 、BD 交于点O ，∠DAB ＝60°，作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，则OH 的长为（）A ．2B ．3C ．23D ．435．如图所示，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE ＝AC ，AE 交CD 于点F ，那么∠AFC 的度数为（）A ．112.5°B ．125°C ．135°D ．150°6．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，4=AD ，2AB =，点E 是折线BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )A ．32B ．1C ．32D ．237．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 是BC 边上一点，将矩形沿AE 折叠，点B 落在点B '处，当△B 'EC 是直角三角形时，BE 的长为（）A ．2B ．6C ．3或6D ．2或3或68．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．以上结论中，你认为正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是CD 的中点，将BCE 沿BE 翻折至BFE ，连接DF ，则DF 的长度是（）A ．55B ．255C ．355D ．45510．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则折痕MN 的长是（）A ．53cmB ．55cmC ．46cmD ．45cm二、填空题11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．13．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E为BC边上一动点，作EF⊥AE，且EF＝AE．连接DF，AF．当DF⊥EF时，△ADF的面积为_____．15．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、BC上．将该纸片沿EF折叠，使点A的对应点G落在边DC上，折痕EF与AG交于点Q，点K为GH的中点，则随着折痕EF位置的变化，△GQK周长的最小值为____．16．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x=+与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，则D点坐标是_______；在y轴上有一个动点M，当MDC△的周长值最小时，则这个最小值是_______．17．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.18．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．19．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．20．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．三、解答题21．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．22．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．23．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．24．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．25．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC 5BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．26．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.27．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B 点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：（1）线段AD =_________cm ；（2）求证：PB PQ =；（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？28．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．29．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.30．（问题情境）在△ABC 中，AB=AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE=CF ．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ．（不要证明）（变式探究）当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l1：y=443x-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，则当EF最小时△DEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE⊥AD时，BE最小，即EF最小，即可求此时△BDE周长最小值．【详解】解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°∴△ABD，△BCD为等边三角形，∴∠A=∠BDC=60°，∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，∴△ABE≌△BFD，∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，∴∠BED+∠BFD=180°，故①正确，③错误；∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=60°，故②正确∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．∵∠EBF=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，∴EF=BE，∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，∴EB=∴△DEF的周长最小值为4+故④正确，综上所述：①②④说法正确，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．2．D解析：D【分析】根据运动开始，OD是正方形的边长CD，运动过程中B与O点重合时，OD是对角线，在运动A与O点重合，OD是边长AD，可得答案．【详解】从C离开O点到B到O点，OD由边长到对角线在增大，由B离开O点到A到O点，OD由正方形的对角线减少到正方形的边长．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，OD由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线到正方形的边长．3．C解析：C【分析】根据题意，连接CF，由正方形的性质，可以得到△ABF≌△CBF，则AF=CF，∠BAF=∠BCF，由∠BAF=∠FGC=∠BCF，得到AF=CF=FG，故①正确；连接AC，与BD相交于点O，由正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△AOF≌△FHG，即可得到EH=AO，则③正确；把△ADE顺时针旋转90°，得到△ABM，则证明△MAG≌△EAG，得到MG=EG，即可得到EG=DE+BG ，故④正确；②无法证明成立，即可得到答案.【详解】解：连接CF ，在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABF=∠CBF=45°，在△ABF 和△CBF 中，45AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，∵FG ⊥AE ，∴在四边形ABGF 中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°，又∵∠BGF+∠CGF=180°，∴∠BAF=∠CGF ，∴∠CGF=∠BCF∴CF=FG ，∴AF=FG ；①正确；连接AC 交BD 于O ．∵四边形ABCD 是正方形，HG ⊥BD ，∴∠AOF=∠FHG=90°，∵∠OAF+∠AFO=90°，∠GFH+∠AFO=90°，∴∠OAF=∠GFH ，∵FA=FG ，∴△AOF ≌△FHG ，∴FH=OA=定值，③正确；如图，把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，∴AM=AE ，BM=DE ，∠BAM=∠DAE ，∵AF=FG ，AF ⊥FG ，∴△AFG 是等腰直角三角形，∴∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△AMG 和△AEG 中，45AM AE EAG MAG AG AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AMG ≌△AEG ，∴MG=EG ，∵MG=MB+BG=DE+BG ，∴GE= DE+BG ，故④正确；如图，△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，记F 的对应点为P ，连接BP 、PN ，则有BP=DF ，∠ABP=∠ADB=45°，∵∠ABD=45°，∴∠PBN=90°，∴BP 2+BN 2=PN 2，由上可知△AFG 是等腰直角三角形，∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△ANP 和△ANF 中，45AP AF EAG MAG AN AN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△ANF ，∴PN=NF ，∴BP 2+BN 2=NF 2，即DF 2+BN 2=NF 2，故⑤正确；根据题意，无法证明②正确，∴真命题有四个，故选C.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形．4．B解析：B【解析】【分析】由菱形四边形相等、OD=OB ，且每边长为6，再有∠DAB ＝60°，说明△DAB 为等边三角形，由DH ⊥AB ，可得AH=HB （等腰三角形三线合一），可得OH 就是AD 的一半，即可完成解答。

人教版八年级下册数学第18章平行四边形单元测试卷

人教版八年级下册数学第18章平行四边形单元测试卷一.选择题（本大题共8小题，共24分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A. 一组对边平行，一组邻角互补B. 一组对边平行，另一组对边相等C. 一组对边平行，一组对角相等D. 一组对边相等，一组邻角相等2. 下列命题，其中是真命题的为( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 一组邻边相等的矩形是正方形D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形3. 如下图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为1.6km，则M，C 两点间的距离为( )A. 0.5kmB. 0.6kmC. 0.8kmD. 1.2km4. 下列命题是假命题的是( )A. 对角线相等的菱形是正方形B. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的矩形是正方形D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形5. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图四边ABCD中∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC，垂足为E.若线段AE=5，则S=( )四边形ABCDA. 20B. 25C. 18D. 247. 如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=6，BD=8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为( )A. 4B. 4.8C. 5D. 5.58. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是( )A. 18B. 18√3C. 36D. 36√3二、填空题（本大题共8小题，共24分）9. 如图，两条射线AM//BN，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD 是平行四边形，这个条件可以是(写出一个即可)．10. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为______．11. 如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.P 为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为______．12.如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE 的大小为______．13. 已知正方形ABCD的边长为6，如果P是正方形内一点，且PB=PD=2√5，那么AP的长为．14. 已知两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是．15如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD=3，AB=CF=2，则CG的长为．.16. 如图，在△ABC中，∠B=45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E(BE>CE)，点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC=7，AC=5，则△CEF的周长为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共72分。

八年级数学下册《第十八章-平行四边形》单元测试卷及答案(人教版)

八年级数学下册《第十八章-平行四边形》单元测试卷及答案(人教版) 班级:___________姓名：___________考号：_____________A．5B．10C．D．25则ABC的周长是（）55A．AB∥CD，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BCA．①②B．①③C．②③D．①②③A ．B ．C ．D ．①BE⊥AC二、填空题13．已知四边形ABCD ，点O 是对角线AC 与BD 的交点，且OA OC =，请再添加一个条件，使得四边形ABCD 成为平行四边形，那么添加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达）14．如图，线段AB ⊥BC ，以C 为圆心，BA 为半径画弧，然后再以A 为圆心，BC 为半径画弧，两弧交于点D ，则四边形ABCD 是矩形，其依据是 _____．15．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连结BE ，若6AE =，DE=5，∠BEC=90°，则BE =______．16．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，AB=4CE，F是AE上一点，射线BF与正方形的边⊥交BC于点17．如图，在矩形ABCD中，AB=4，45BD=对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE AC18．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为_____．三、解答题19．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交BC 、AD 于点E 、F ，G 、H 分别是OB 、OD 的中点．求证：（1）OE ＝OF ；（2）四边形GEHF 是平行四边形．20．如图，E ，F 是▱ABCD 的对角线AC 上的两点，且AF ＝CE ．求证：（1）△ADE ≌△CBF ；（2）DE ∥BF ．21．如图，在平行四边形ABCD 中(1)若点E 、F 是AD 、BC 的中点，连接BE 、DF ，求证BE DF =；(2)若DF 平分ADC ∠且交边BC 于点F ，如果5AB =，BC=8，试求线段BF 的长．(1)求证：OE CB =；（1）求证：180ABO ACO ∠+∠=︒；1．C2．D3．D4．D5．A6．C7．C360 BAC ∠=ABO ∴∠+（2）线段之间的数量关系是过点O 作AOC ∴∠+∠+ABO ∠∠ABO ∴∠=BOC ∠=90AOC ∠∴AOB ∠∴∴四边形是正方形OB OC ∴=在ABO 和FCO 中ABO FCO∴≅∴AO FO=，AB=CFAOF∴是等腰直角三角形∴=AF AO2CF AC AO∴+=2∴+=AB AC AO2。

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)单元测试题(含答案)

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元测试题一、选择题（30分）1．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（）A ．甲量得窗框的一组邻边相等B ．乙量得窗框两组对边分别相等C ．丙量得窗框的对角线长相等D ．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等2．菱形ABCD 的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（）A ．20B ．24C ．30D ．483．平行四边形ABCD 中，若∠A ＝2∠B ，则∠C 的度数为（）A ．120°B ．60°C ．30°D ．15°4．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为CD 边中点，正方形ABCD 的周长为8，则OH 的长为（）A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，菱形ABCD 的面积为24cm 2，对角线BD 长6cm ，点O 为BD 的中点，过点A 作AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E ，连接OE ，则线段OE 的长度是（）A ．3cmB ．4cmC ．4.8cmD ．5cm 6．如图，矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是22.5，则（）ABCD 6AB =BD BED BC =A．8B．10C．12D．147．将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形8．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是（）A．12m B．10m C．9m D．8m9．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（）A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝COC．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD10．如图，在平行四边形ABCD 中，，，以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（15分）11．已知矩形一条对角线长8cm ，两条对角线的一个交角是60°，则矩形较短的边长为 _____cm ．12．已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是_____．13．如图，菱形ABCD 的周长为40，面积为80，P 是对角线BC 上一点，分别作P 点到直线AB ．AD 的垂线段PE ．PF ，则等于______．14．如图，矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝3，则矩形的周长为 _____．15．如图，四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形，CE 与BG 交于点M ，点M 在△ABC 的外部．①；②；③．上述结论正确的是__________．4AB =5BC =12PQ PE PF +BG CE =CE BG ⊥120AME ∠=︒三、解答题（75分）16．如图，点O 是△ABC 外一点，连接OB 、OC ，线段AB 、OB 、OC 、AC 的中点分别为D 、E 、F 、G ，连接DE 、EF 、FG 、GD ．（1）判断四边形DEFG 的形状，并说明理由；（2）若M 为EF 的中点，OM =2，∠OBC 和∠OCB 互余，求线段DG 的长．17．如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE =AB ，连结CE ．(1)求证：BD =EC ．(2)当∠DAB =60°时，四边形BECD 为菱形吗?请说明理由．18．如图，四边形是平行四边形．求：（1）和的度数；（2）和的长度．19．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，∠DBC ＝30°，求AC的长．ABCD ADC ∠BCD ∠AB BC20．如图，在中，点E ，H ，F ，G 分别在边上，，，与相交于点O ，图中共有多少个平行四边形？21．如图，A ，B 两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A ，B 间的距离：先在外选一点C ，然后步测出的中点M ，N ，并测出的长，如果M ，N 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？说明你的理由．22．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接、．（1）求证：四边形是矩形；（2）若平分，，，求的长．23．如图，在四边形ABCD 中，，，对角线AC 、BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作交AB 的延长线于点E．ABCD ,,,AB BC CD DA //AD EF //CD GH EFGH AB ,AC BCMN ABCD D DE AB ⊥E F CD FC A E =AFBF DEBF AF DAB ∠6FC =10DF =BF AB DC ∥AB AD =CE AB⊥(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若，，求CE 的长．【参考答案】1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．D 9．B 10．A11．412．513．814．15．①②16．解：（1）四边形DEFG 是平行四边形，理由是：∵线段AB 、OB 、OC 、AC 的中点分别为D 、E 、F 、G ，∴EF ∥BC ，EF=BC ，DG ∥BC ，DG =BC ，∴EF ∥DG ，EF =DG ，∴四边形DEFG 是平行四边形；（2）∵∠OBC 和∠OCB 互余，∴∠OBC +∠OCB =90°，∴∠BOC =180°﹣90°=90°，∴∠EOF =90°，△EOF 为直角三角形，∵M 为EF 的中点，OM =2，∴EF =2OM =4，∵EF =DG ，∴DG =4．17．（1）证明：四边形ABCD 是菱形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，又∵BE =AB ，∴BE =CD ，BE ∥CD ，∴四边形BECD 是平行四边形，∴BD =EC ；（2）解：结论：四边形BECD 是菱形．理由：∵四边形ABCD 是菱形，8AC =6BD =6+1212∴AD =AB ，∵∠DAB =60°，∴△ADB ，△DCB 都是等边三角形，∴DC =DB ，∵四边形BECD 是平行四边形，∴四边形BECD 是菱形．18．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴ ,∵∴（2）∵四边形ABCD 是平行四边形∴∵∴19．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝4，AC ＝BD ，∠BCD ＝90°，又∵∠DBC ＝30°，∴BD ＝2CD ＝2×4＝8，∴AC ＝8．20．四边形是平行四边形，，，，平行四边形有：ABCD ，ABHG ，CDGH ，BCFE ，ADFE ，AGOE ，BEOH ，OFCH ，OGDF 共9个，共有9个平行四边形．21．解：用步测出CM ，CN 中点D 、E ，只要测量出DE 长便可求出AB ，∵点D 、E 分别为CM ，CN 的中点，∴DE =（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），又∵点M ，N 分别为的中点，∴MN =（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），∴AB =2MN =4DE ．∴只要测量出DE 长便可求AB ．=ADC B ∠∠180B BCD ∠+∠=56B =∠5618056124ADC BCD ∠=∠=-=，=,AB DC BC AD=25,30DC AD ==25,30AB BC == ABCD ∴//,//AB CD AD BC //AD EF //CD GH //,//AB GH BC EF∴∴ ∴12MN ,AC BC 12AB22．解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，即，∴四边形是平行四边形，又∵，∴，∴平行四边形是矩形；（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，由勾股定理得：，由（1）得四边形是矩形，∴．23．(1)证明：∵，∴，∵AC 平分∠BAD ，∴，∴，∴，∵AB=AD ，∴，∵，ABCD //CD AB CD AB =FC A E =CD FC AB AE -=-DF BE =DEBF DE AB ⊥90DEB ∠=︒DEBF AF DAB ∠DAF BAF ∠=∠//CD AB DFA BAF ∠=∠DFA DAF ∠=∠10AD DF ==Rt AED △6AE FC ==8DE ===DEBF 8BF DE ==//AB DC OAB DCA ∠=∠OAB DAC ∠=∠DAC DCA ∠=∠CD AD =AB CD =//AB DC∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵，∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝6，AC =8，∴，，，∴，在中，根据勾股定理可知，，∴菱形的面积，∵，∴菱形面积，∴AB AD =118422OA OC AC ===⨯=BD AC ⊥116322OB OD BD ===⨯=90AOB ∠=︒Rt AOB△5AB ===11862422S AC BD ==⨯⨯= CE AB ⊥524S AB CE CE === 245CE =。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标专项训练检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标专项训练检测试卷一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积2．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系：；（2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时；情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：．3．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =． ②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 4．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，8BC AD ==．()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处) ①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由； ()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点'D 处，则DQ =______； 5．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．6．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．（1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个三角形；②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．7．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．8．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②求PE 的长．9．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE ＝2，求CE 的长．10．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试卷一、解答题1．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．2．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．3．综合与探究（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．4．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．5．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.6．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .7．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.8．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．9．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．（1）求证：AG AE =（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）152，理由见解析；【分析】（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．【详解】（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形∵∠B＝90°，∠A＝60°∴∠C=30°，CD=2DF，又∵由题意知CD=4t，AE=2t，∴CD=2AE∴AE=DF．（2）能，理由如下；由（1）知AE=DF又∵DF⊥BC，∠B＝90°∴AE∥DF∴四边形AEFD是平行四边形．当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形∵AC＝60cm，DF=12CD，CD=4t，∴AD=60-4t，DF=2t，∴60-4t=2t∴t=10．（3）当t为152时，△DEF为直角三角形，理由如下；由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，∴当DE∥BC时，DF⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED中，∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t∴AD=4t，又∵AC＝60cm，CD=4t，∴AD+CD=AC，8t=60，∴t=152．即t=152时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．2．（1）见解析；（2）3+1；（3）2【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE，BF=DF，可得∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF，可证BE∥DF，DE∥BF，可得四边形DEBF是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF的长；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH的长度，再利用底乘高得出结果．【详解】解：证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=12DF=1，33，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴FC=FH+CH=3+1；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．3．（1）CE=CF且CE⊥CF，理由见解析；（2）见解析；（3）10【分析】（1）根据正方形的性质，可证明△CBE≌△CDF（SAS），从而得出CE=CF，∠BCE=∠DCF，再利用余角的性质得到CE⊥CF；（2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，由△BEC≌△DFC，可得∠BCE=∠DCF，即可求∠GCF=∠GCE=45°，且GC=GC，EC=CF可证△ECG≌△GCF（SAS），则结论可求．（3）过点C作CF⊥AD于F，可证四边形ABCF是正方形，根据（2）的结论可得DE=DF+BE=4+DF，根据勾股定理列方程可求DF的长，即可得出DE．【详解】解：（1）CE=CF且CE⊥CF，证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，又∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠DCF=90°，即CE⊥CF；（2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠GCD=45°，∵△BEC≌△DFC，∴∠BCE=∠DCF，∴∠DCF+∠GCD=45°，即∠GCF=45°，∴∠GCE=∠GCF，且GC=GC，CE=CF，∴△GCE≌△GCF（SAS），∴GE=GF，∴GE=GD+DF=BE+GD；（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90°，∵∠A=∠B=90°，FC⊥AD，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=12，∴四边形ABCF是正方形，∴AF=12，由（2）可得DE=DF+BE，∴DE=4+DF，在△ADE中，AE2+DA2=DE2．∴（12-4）2+（12-DF）2=（4+DF）2．∴DF=6，∴DE=4+6=10．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四边形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．4．（1）①证明见详解；②45PAQ ∠=︒，见解析；（2）5．【分析】（1）①只要证明//PB AC 即可解决问题；②如图2中，连接QC ，作DT DQ ⊥交QC 的延长线于T ，利用全等三角形的性质解决问题即可；（2）如图3中，延长EH 交BC 于点G ，设AE=x ，由题意易得AB=BC=CF=EG=3x ，然后可得CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）①证明：四边形ABCD 是正方形，∴//B DP C ，45DAC ∠=︒，∴135PAC ∠=︒45APB ∠=︒，∴+180APB PAC ∠∠=︒，∴//PB AC∴四边形APBC 是平行四边形； ②四边形PADQ 是平行四边形，∴DQ//,//,AP AD PQ AD PQ BC ==，AD//B C ，∴,//PQ BC PQ BC =，∴四边形PQCB 是平行四边形，∴QC//BP ，∴45APQ DQC ∠=∠=︒，90ADC QDT ∠=∠=︒，∴DQ=DT ，45,T DQT ADQ CDT ∠=∠=︒∠=∠，AD=DC ，∴ADQ CDT ≌，∴45AQD T ∠=∠=︒，AP//DQ ，∴45PAQ DQA ∠=∠=︒；（3）CH=5，理由如下：如图3所示：延长EH 交BC 于点G ；四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，90D ∠=︒，又EH=3，FH=1，EH ⊥AD ，∴EH//CD ，∴90HGC ∠=︒设AE=x ，1,3AE CF BC CF ==，∴AB=BC=CF=EG=3x ， ∴CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1 在Rt HGC △中，()()22222243331CG HG CH x x x +=+-=-即，解得121,2x x ==当x=1时，AB=3(不符合题意，舍去)；当x=2时，AB=6，∴CH=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查正方形的综合问题、三角形全等及勾股定理，关键是利用已知条件及四边形的性质得到它们之间的联系，然后利用勾股定理求解线段的长即可．5．（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由见解析；（2）5t =，理由见解析.【分析】（1）能；首先证明四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即40﹣4t ＝2t ，解方程即可解决问题；（2）当∠FDE ＝90°时，AEFD 为矩形，再根据线段的长度关系列方程求得.【详解】解：（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由如下：在DFC ∆中，90,30DFC C ∠=︒∠=︒，4DC t =，∴2DF t =，又∵2AE t =，∴AE DF =，∵,AB BC DF BC ⊥⊥，∴//AE DF ，又∵AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形，如图1，当AE AD =时，四边形AEFD 为菱形，即4042t t -=，解得203t =.∴当203t =秒时，四边形AEFD 为菱形. （2）如图2，当90FDE ∠=︒时，四边形EBFD 为矩形，在Rt AED ∆中，60A ∠=︒，则30ADE ∠=︒，∴2AD AE =，即4044t t -=，解得5t =.【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想，学会构建方程解决问题.6．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接BD ，BD 与AM 交于点O ，连接CO 并延长交于AB ，则CO 与AB 的交点为点N ．可先证明△AOD ≌△COD ，再证明△MOB ≌NOB ，从而可得NB =MB ；（2）连接MO 并延长与AE 交于点Q ，连接QC ，则CQ ∥AM ．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO =MO ，从而可知四边形AQCM 为平行四边形，从而可得CQ ∥AM ．【详解】解：（1）如图（1），连接BD ，BD 与AM 交于点O ，连接CO 并延长交于AB ，则CO 与AB 的交点为点N ，则CN 为所作．理由：在△AOD 与△COD 中，∵AD CD ADO CDO OD OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOD ≌△COD （SAS ），∴∠OAD =∠OCD ，∴∠BAM =∠BCN ．在△ABM 与△CBN 中，∵BAM BCN AB CB ABM CBN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABM ≌△CBN （ASA ），∴CN =AM ．（2）如图2连接AC 、BD 交与O 点，连接MO 并延长与AE 交于点Q ，连接QC ，则CQ 为所求的线段.在正方形ABCD 中，OA =OB =OC =OD ，AD ∥BC ，∴QO =MO∴四边形AQCM 为平行四边形，∴QC ∥AM【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．7．（1）12；（2）2S 1=36 +S 2.【分析】(1)根据已知条件证得四边形ABOC 是正方形，在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，利用HL 证得Rt △ABG ≌Rt △ACE ，得到∠GAB=∠EAC,GB=CE ，再利用45DAE ︒∠=证得△GAD ≌△EAD ，得到DE=GB+BD ，由此求得DOE ∆的周长；(2) 在OB 上取点F ，使AF=AE ，根据HL 证明Rt △ABF ≌Rt △ACE ，得到∠FAE=∠ABC=90︒，再证明△ADE ≌△ADF ，利用面积相加关系得到四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ，根据三角形全等的性质得到2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ，即可得到2S △ADE =36 +S △ODE .【详解】(1)∵点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，AC y ⊥轴，∴AB=BO=AC=OC=6,∴四边形ABOC 是菱形，∵∠BOC=90︒，∴四边形ABOC 是正方形，在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，∵四边形ABOC 是正方形，∴AB=AC ，∠ABG=∠ACE=90︒，∴Rt △ABG ≌Rt △ACE ，∴∠GAB=∠EAC,GB=CE ，∵∠BAE+∠EAC=90︒，∴∠GAB+∠BAE=90︒，即∠GAE=90︒，∵45DAE ︒∠=∴∠GAD=45DAE ︒∠=,又∵AD=AD,AG=AE ，∴△GAD ≌△EAD ，∴DE=GD=GB+BD,∴DOE ∆的周长=DE+OD+OE=GB+BD+OD+OE=OB+OC=6+6=12(2) 2S 1=36 +S 2，理由如下：在OB 上取点F ，使AF=AE ，∵AB=AC ，∠ABF=∠ACE=90︒，∴Rt △ABF ≌Rt △ACE ，∴∠BAF=∠CAE,∴∠FAE=∠ABC=90︒，∵∠DAE=45︒，∴∠DAF=∠DAE=45︒，∵AD=AD ，∴△ADE ≌△ADF ，∵四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ，∴2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ，∴2S △ADE =36 +S △ODE.即：2S 1=36 +S 2【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，根据题中的已知条件证得三角形全等，即可利用性质得到边长相等，面积相等的关系，（2）中需根据面积的加减关系进行推导，这是此题的难点.8．（1）证明见解析；（2）菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得到BDE A ∠=∠，根据题意得到DEFBDE ∠=∠，根据平行线的判定定理得到//AD EF ，根据平行四边形的判定定理证明；（2）根据三角形中位线定理得到12DE AC =，得到AD DE =，根据菱形的判定定理证明；（3）根据等腰三角形的性质得到AE EG ⊥，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【详解】（1）证明：//DE AC ，BDE A ∴∠=∠，DEF A ∠=∠，DEF BDE ∴∠=∠，//AD EF ∴，又//DE AC ，∴四边形ADEF 为平行四边形；（2）解：ADEF 的形状为菱形，理由如下：点D 为AB 中点， 12AD AB ∴=， //DE AC ，点D 为AB 中点，12DE AC ∴=， AB AC =，AD DE ∴=，∴平行四边形ADEF 为菱形，故答案为：菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由如下：由（1）得，四边形ADEF 为平行四边形，//AF DE ∴，AF DE =，EG DE ，//AF DE ∴，AF GE =，∴四边形AEGF 是平行四边形，AD AG ，EG DE =，AE EG ∴⊥，∴四边形AEGF 是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质证得BG=DE ，利用SAS 可证明ABG ≌ADE ，再利用全等的性质即可得到结论；（2）过M 作MK ⊥BC 于K ，延长EF 交AB 于T ，根据ASA 可证明MHK △≌AED ，得到AE=MH ，再利用AAS 证明TNF △≌DAE △，得到NF=AE ，从而证得MH=NF ，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 与四边形CEFG 均为正方形，∴AB=AD=BC=CD ，CG=CE ，∠ABG=∠ADE=90°，∴BC －GC=CD －EC ，即BG=DE ，∴ABG ≌ADE ，∴AG=AE ；（2）过M 作MK ⊥BC 于K ，则四边形MKCD 为矩形，∴∠MKH=∠ADE=90°，MK=CD ，∠AMK=90°，∴MK=AD ，∠AMP+∠HMK=90°，又∵FP AE ⊥，∴∠EAD+∠AMP=90°，∴∠HMK=∠EAD ，∴MHK △≌AED ，∴MH=AE ，延长EF 交AB 于T ，则四边形TBGF 为矩形，∴FT=BG ，∠FTN=∠ADE=90°，∵ABG ≌ADE ，∴DE=BG ，∴FT=DE ，∵FP ⊥AE ，∠DAB=90°，∴∠N+∠NAP=∠DAE+∠NAP=90°，∴∠N=∠DAE ，∴TNF △≌DAE △，∴FN=AE ，∴FN=MH ，∴FN －FH=MH －FH ，∴NH=FM ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质、判定定理是解题的关键．10．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③732【分析】（1）证明()BAE BCF ASA ∆≅∆可得结论．（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．②将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可． ③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是矩形，90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=︒，60EBC =︒∠，12CBE ABF ∠=∠， 120ABF ∴∠=︒，906030ABE ︒∴-︒∠==︒，1209030CBF ∠=︒-︒=︒，ABE CBF ∴∠=∠，AB BC =，()BAE BCF ASA ∴∆≅∆，BE BF ∴=．（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=︒．理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，90BCF ∠=︒，90FBC y ∴∠=︒-，=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=，(90)ABE x y ∴∠=-︒-，90ABE EBC ∠+∠=︒，(90)90x y x ∴-︒-+=︒，2180x y ∴+=︒，2180EBC BFC ∴∠+∠=︒，()290180ABE BFC ∴︒-∠+∠=︒，2ABE BFC ∴∠=∠．②证明：将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，ABE EBH ∠=∠，12EBC ABF ∠=∠， FBC CBT ∴∠=∠，90FBC F CBT BTC ∠+∠=∠+∠=︒，F BTC ∴∠=∠，BF BT ∴=，CT CF =，DE AE EH ==，ET ET =，90D EHT ∠=∠=︒，Rt ETD Rt ETH(HL)∴∆≅∆，DT TH ∴=，在Rt BCT ∆中，则有222(2)(3)(2)k x k k x +=+-，解得98x k =， 2BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB ∴+=+=++=++=+=．③由②可知，3BC k =，97288CF CR k k k ==-=， ∴2173728632BCFABCD k k S S k ∆⋅⋅==矩形．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试题一、解答题1．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？（3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． 2．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为时，四边形BCEF 是菱形．3．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、， ①求证：四边形AFEP 是平行四边形； ②求PE 的长．4．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G 则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠=又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为．5．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）． 6．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．（1）求证：BP ＝CQ ；（2）若BP ＝13PC ，求AN 的长；（3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．7．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.8．探究：如图①，△ABC 是等边三角形，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、AN ，延长MC 交AN 于点P ．（1）求证：△ACN ≌△CBM ；（2）∠CPN = °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ，如图②、③，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、DN ，延长MC 交DN 于点P ，则图②中∠CPN = °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN = °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC 改为正n 边形，其它条件不变，则∠CPN = °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．9．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形． ①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹) 思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．10．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t 秒，问：（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）132【分析】（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE ，根据等角对等边可得CE=CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG ，再判断出AB=BE ，进而得出BE=CD ，即可判断出△BEG ≌△DCG （SAS ），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG 是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明△BME ≌△DMC 可得DM=BM ，∠DMC=∠BME ，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，∵∠ABC=120°，∴∠BCD=60°，∠BCF=120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE=GE，∠BCG=12∠BCF=60°，∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，∴∠BEG=120°=∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，∴∠BGD=∠CGE，∵CG=GE=CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE=60°，∴∠BGD=60°，∵BG=DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF=90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF=∠DAF，∴BE=AB=DC，∵M为EF中点，∴∠CEM=∠ECM=45°，∴∠BEM=∠DCM=135°，在△BME和△DMC中，∵BE CDBEM DCM EM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB=MD，∠DMC=∠BME．∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB=10，AD=24，∴22221024AB AD++=26，∴21322DM BD==【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．2．（1）详见解析；（2）145．【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；（2）由四边形BCEF 是平行四边形，可得当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形，所以连接BE ，交CF 与点G ，由三角形DEF 的面积求出EG 的长，根据勾股定理求出FG 的长，则可求出答案．【详解】（1）证明：∵AF =DC ， ∴AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）， ∴BC =EF ，∠ACB =∠DFE ， ∴BC ∥EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形；（2）如图，连接BE ，交CF 于点G ，∵四边形BCEF 是平行四边形， ∴当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形， ∵∠DEF =90°，DE =8，EF =6， ∴DF 222286DE EF +=+10，∴S △DEF 1122EG DF EF DE =⋅=⋅， ∴EG 6824105⨯==， ∴FG =CG 22222418655EF EG ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，∴AF =CD =DF ﹣2FG =10﹣365=145．故答案为：145．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．3．（1）见解析；（2）①见解析；②6PE = 【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形知∠D=∠ECQ=90°，由E 是CD 的中点知DE=CE ，结合∠DEP=∠CEQ 即可得证；（2）①由PB=PQ 知∠PBQ=∠Q ，结合AD ∥BC 得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，由△PDE ≌△QCE 知PE=QE ，再由EF ∥BQ 知PF=BF ，根据Rt △PAB 中AF=PF=BF 知∠APF=∠PAF ，从而得∠PAF=∠EPD ，据此即可证得PE ∥AF ，从而得证；②设AP x =，则1PD x =-，1CQ x =-，2BQ x =-，利用三角形中位线定理得到()122EF x =-，由EF AP =，构造方程即可求得23x =，在Rt PDE ∆中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠ECQ=90°， ∵E 是CD 的中点， ∴DE=CE ，又∵∠DEP=∠CEQ ， ∴△PDE ≌△QCE （ASA ）；（2）①∵PB=PQ ， ∴∠PBQ=∠Q ， ∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ， ∵△PDE ≌△QCE ， ∴PE=QE ， ∵PF=BF ，∴EF 是PBQ ∆的中位线， ∴EF ∥BQ ，∴在Rt △PAB 中，AF=PF=BF ， ∴∠APF=∠PAF ， ∴∠PAF=∠EPD ， ∴PE ∥AF ， ∵EF ∥BQ ∥AD ，∴四边形AFEP 是平行四边形； ②设AP x =，则1PD x =-， ∴1CQ x =-， ∴2BQ x =-，∵EF 是PBQ ∆的中位线，∴()122EF x =-， ∵EF AP =，∴()122x x -=， ∴23x =，在Rt PDE ∆中，222PD DE PE +＝，即22221(1)()32PE -+＝， ∴13PE =．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识点．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．4．（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA ．【分析】（1）通过测量可得；（2）过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，由AAS 可证△ABO ≌△BCG ，可得BG=AO ，BO=CG ，由SAS 可证△ABE ≌△CBE ，可得AE=CE ，由线段的和差关系可得结论；（3）过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，由AAS 可证△ABO ≌△BCG ，可得BG=AO ，BO=CG ，由SAS 可证△ABE ≌△CBE ，可得AE=CE ，可得结论．【详解】解：（1）△AEF 的周长是OA 长的2倍，故答案为：2；（2）如图4，过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，则∠CGB=90°， ∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，则∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO ，在△BCG 与△ABO 中，GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△ABO （AAS ），∴BG=AO ，CG=BO ，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，∴四边形CGOF 是矩形，∴CF=GO ，CG=OF=OB ，在△ABE 和△CBE 中，BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ，∴△AEF 的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO ；（3）如图5，过点C 作CG ⊥ON 于点G ，则∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，则∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO ，在△BCG 与△ABO 中GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△ABO （AAS ），∴BG=AO ，BO=CG ，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，∴四边形CGOF 是矩形，∴CF=GO ，CG=OF=OB ，在△ABE 和△CBE 中，BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ，∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO ）=OA+OB-（OB-OA ）=2OA ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．5．（1）214t ；（2）t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，t = 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122AH AB ==，然后与（1）所求的2AH =建立等式求解即可得；（3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．【详解】（1）由题意得：2AP t =，点Q 为AP 的中点，12AQ AP t ∴==，四边形ABCD 是矩形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，AE ∵是BAD ∠的角平分线， 1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，AQH ∴是等腰直角三角形，22AH HQ AQ t ∴===，则AQH 的面积为21124AH HQ t ⋅=；（2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，//HQ MP ∴，点M 在BC 边上，//HQ BP ∴，点Q 为AP 的中点，HQ ∴是ABP △的中位线，122AH BH AB ∴===，由（1）知，22AH t =，则22t =，解得22t =；（3）由题意，有以下三种情况：①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AHHB =，四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，HAQ BHM ∴∠=∠，在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AHQ HBM ASA ∴≅，由（2）可知，此时22t=；②如图3，当点Q 与点E 重合时，在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADE AHE AAS ∴≅，3AD AH ∴==，则232t =，解得32t =；③如图4，当EG HB =时，四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，//,//CD AB HM PQ ∴，,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,4AH t AB ==，242HB AB AH t ∴=-=-，在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE AD ==，32EQ AQ AE t ∴=-=-，在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒，Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -==，则由EG HB =得：2624t t -=-，解得722t =；综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =4，当EGQ HBF ≅时，722t =【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．6．（1）见解析；（2）4.8；（3）1282x x- 【分析】（1）证明△ABP ≌△BCQ 即可得到结论；（2）证明Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN 求出DQ ，设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，利用勾股定理即可求出a ；（3）过Q 点作QG ⊥BM 于G ，设MQ ＝BM ＝y ，则MG ＝y ﹣x ，利用勾股定理求出MQ ，再根据面积相减得到答案.【详解】解：（1）证明：∵∠ABC ＝90°∴∠BAP +∠APB ＝90°∵BQ ⊥AP∴∠APB +∠QBC ＝90°，∴∠QBC ＝∠BAP ，在△ABP 于△BCQ 中， ABP BCQ AB BCBAP QBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△BCQ （ASA ），∴BP ＝CQ ，（2）由翻折可知，AB ＝BC '，连接BN ，在Rt △ABN 和Rt △C 'BN 中，AB ＝BC '，BN ＝BN ，∴Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN （HL ），∴AN ＝NC '，∵BP ＝13PC ，AB ＝8， ∴BP ＝2＝CQ ，CP ＝DQ ＝6，设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，∴在Rt △NDQ 中，（8﹣a ）2+62＝（a +2）2解得：a ＝4．8，即AN ＝4．8．（3）解：过Q 点作QG ⊥BM 于G ，由（1）知BP ＝CQ ＝BG ＝x ，BM ＝MQ ．设MQ ＝BM ＝y ，则MG ＝y ﹣x ，∴在Rt △MQG 中，y 2＝82+（y ﹣x ）2， ∴322x y x =+． ∴S △BMC ′＝S △BMQ ﹣S △BC 'Q ＝1122BM QG BC QC ''⋅-⋅, ＝1321()88222x x x +⨯-⨯，＝1282x x-．【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，正确理解题意画出图形辅助做题是解题的关键.7．(1)100；(2)见解析.【分析】(1)先证明四边形ABCD 是正方形，再根据已知条件证明△BCF ≌△DCE ，即可得到四边形AECF 的面积=正方形ABCD 的面积；(2) 延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG ，先证明四边形BCEM 是平行四边形，得到BM=CE ，证明△BCF ≌△GCF ，得到BF=GF ，∠FGC=∠FBC=90︒，由AN ⊥MN ，得GM=2MN ，根据∠BAC=45︒，BC ∥AD 得到AM=BF ，再证△BFH ≌△AMN,得到GM=2FH ，由此得到结论.【详解】(1)∵9,0ABC AB BC ︒∠==，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵ABC ADC ∆≅∆，∴AB=AD=BC=DC ，∴四边形ABCD 是菱形，∵90ABC ADC ︒∠=∠=，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90ABC ADC ︒∠=∠=，∴∠CDE=90ABC ADC ︒∠=∠=，∵BF=DE,BC=DC ，∴△BCF ≌△DCE ，∴四边形AECF 的面积=S 正方形ABCD =AB 2=102=100.(2)延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG,∵△BCF ≌△DCE ，∴∠BCF=∠DCE ，∴∠FCE=∠BCD=90︒,∵BG ⊥CF ，∴∠FHM=∠FCE=90︒,∴BM ∥CE,∵BC ∥AD,∴四边形BCEM 是平行四边形，∴BM=CE.∵CG CB =，BG ⊥CF ，∴∠BCH=∠GCH,∠CBM=∠CGB,∴△BCF ≌△GCF,∴BF=GF,∠FGC=∠FBC=90︒,∵∠BAC=45︒，∴∠AFG=∠BAC=45︒，∴FG=AG,∵BC ∥AD,∴∠CBM=∠AMB,∴∠AGM=∠CGB=∠CBM=∠AMB,∴AM=AG,∵AN ⊥MN ，∴GM=2MN,∵∠BAD=∠ANM=90︒,∴∠ABM+∠AMN=∠MAN+∠AMN=90︒,∴∠ABM=∠MAN,∵AM=AG=FG=BF,∠BHF=∠ANM=90︒,∴△BFH ≌△AMN,∴FH=MN,∴GM=2FH,∵BG+GM=CE,∴2BG FH CE +=.【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题中注意综合思想的方法积累.8．（1）见解析；（2）120；（3）90；（4）72；（5）360n. 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC ，∠ACB=∠ABC ，从而得到△ACN ≌△CBM. （2）利用全等三角形的性质得到∠CAN=∠BCM ，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解.（3）利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC ，∠ABC=∠BCD ，从而判断出△DCN ≌△CBM ，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM ，再利用内角和定理即可得到答案.（4）由（3）的方法即可得到答案.（5）利用正三边形，正四边形，正五边形，分别求出∠CPN 的度数与边数的关系式，即可得到答案.【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC ，∠ACB=∠BAC=∠ABC=60︒，∴∠ACN=∠CBM=120︒，在△CAN 和△CBM 中， CN BM ACN CBM AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACN ≌△CBM.（2）∵△ACN ≌△CBM.∴∠CAN=∠BCM ，∵∠ABC=∠BMC+∠BCM ，∠BAN=∠BAC+∠CAN ，∴∠CPN=∠BMC+∠BAN=∠BMC+∠BAC+∠CAN=∠BMC+∠BAC+∠BCM=∠ABC+∠BAC=60︒+60︒,=120︒，故答案为：120.（3）将等边三角形换成正方形，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=DC ，∠ABC=∠BCD=90︒， ∴∠MBC=∠DCN=90︒，在△DCN 和△CBM 中，DC BC DCN MBC CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCN ≌△CBM ，∴∠CDN=∠BCM ，∵∠BCM=∠PCN ，∴∠CDN=∠PCN ，在Rt △DCN 中，∠CDN+∠CND=90︒， ∴∠PCN+∠CND=90︒，∴∠CPN=90︒，故答案为：90.（4）将等边三角形换成正五边形， ∴∠ABC=∠DCB=108︒，∴∠MBC=∠DCN=72︒，在△DCN 和△CBM 中，DC BC DCN MBC CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCN ≌△CBM ，∴∠BMC=∠CND ，∠BCM=∠CDN ， ∵∠BCM=∠PCN ，∴∠CND=∠PCN ，在△CDN 中，∠CDN+∠CND=∠BCD=108︒， ∴∠CPN=180︒-(∠CND+∠PCN)=180︒-(∠CND+∠CDN)=180︒-108︒，=72︒，故答案为：72.（5）正三边形时，∠CPN=120︒=3603，正四边形时，∠CPN=90︒=3604，正五边形时，∠CPN=72︒=3605，正n 边形时，∠CPN=360n ，故答案为：360n. 【点睛】此题考查正多边形的性质，三角形全等的判定及性质，图形在发生变化但是解题的思路是不变的，依据此特点进行解题是解此题的关键.9．（1）①D 、E ，②A ，理由见解析；（2）①作图见解析；②BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18．【分析】（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．（2）①以C 为圆心，CB 为半径画弧交AD 于F ，连接CF ，作∠BCF 的角平分线交AB 于E ，点E ，点F 即为所求．②分四种情形：如图①中，当BE AF =时；如图②中，当BE AF =时；如图③中，当BE BC AF ==时，此时点F 与D 重合；如图④中，当BE CB AF ==时，点F 与点D 重合，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：①点A 与点D 和E 关于BC 互为顶针点；②点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，理由：如图2中，∵△BDC 是等边三角形，∴∠D ＝60°，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，∴∠A ＋∠D ＝180°，∴点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，故答案为：D 和E ，A ．（2）①如图，点E 、F 即为所求(本质就是点B 关于CE 的对称点为F ，相当于折叠)．②BE 与AF 可能相等，情况如下：情况一：如图①，由上一问易知，,BE EP BC PC ==，当BE AF =时，设AE x =，连接EF ，∵,,90BE EP AF EF EF EAF FPE ===∠=∠=︒，∴()EAF FPE HL ∆∆≌，∴AE PF x ==，在Rt CDF ∆中，()1082DF AD AF x x =-=--=+，10CF PC PF x =-=-，∴2228(2)(10)x x ++=-，解得43x =，即43AE =；情况二：如图②当BE AF =时，设AE x =，同法可得PF AE x ==，则8BE AF x ==-，FP FG GP EG AG AE x =+=+==，则18DF x =-，10CF x =+，在Rt CDF ∆中，则有2228(18)(10)x x +-=+，解得：367x =；情况三：如图③，当BE BC AF ==时，此时点D 与F 重合，可得1082AE BE AB =-=-=；情况四：如图④，当BE CB AF ==时,此时点D 与F 重合，可得18AE AB BE AB BC =+=+=．综上所述，BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．（1）254秒或252秒；（2）15秒【分析】(1)Q 点必须在BC 上时，A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q 点在BF 和Q 点在CF 上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q 点在AB 、BC 、CD 之间时逐个讨论即可求解．【详解】解：(1)∵以A 、Q 、F 、P 为顶点的四边形是平行四边形，且AP 在AD 上，∴Q 点必须在BC 上才能满足以A 、Q 、F 、P 为顶点的四边形是平行四边形∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，∵点F 是BC 的中点，∴BF=CF=12BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q 点在BF 上时，AP=FQ ，且AP=t ，FQ=35-3t ，故t=25-3t，解得254t=；情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，故t=3t-25，解得t=25 2；故经过254或252秒，以A、Q、B、P为顶点的四边形是平行四边形；(2)情况一：当Q点在AB上时，0<t<103，此时P点还未运动到AD的中点位置，故四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况二：当Q点在BC上且位于BF之间时，1025 33t，此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t，∵102533t，∴35-2t ＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况三：当Q点在BC上且位于FC之间时，2540 33t此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35∵254033t，∴4t-35＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况四：当Q点在CD上时，4050 33t<<当AP=BF=15时，t=15，1122 APF ABFP PFQ DCFP S S S S且∴1+2APF PFQ AFPQ ABCDS S S S，∴当t=15秒时，以A、Q、F、P为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD面积的一半，故答案为：15秒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．。

人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》单元测试卷(包含答案)

人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元综合测试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题（共10小题，3*10=30）1．在□ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则□ABCD的周长是() A．22 B．20 C．22或20 D．182. 如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是()A．4个B．6个C．8个D．10个3．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3 cm，AB＝4 cm，则▱ABCD的周长是() A．20 cm B．21 cmC．22 cm D．23 cm4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()A．AB＝BE B．DE⊥DCC．∠ADB＝90° D．CE⊥DE5．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED＝150°，则∠A的大小为( ) A．150° B．130° C．120° D．100°6．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是()A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤7. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为()A．1 B． 2 C．4－2 2 D．32－49．如图，是边长分别为4和8的正方形ABCD、正方形CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG 于点T，交FG于点P，则GT的长为()A．2 2 B．2 C. 2 D．110. 如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为B′，则DB′的长为______ ．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为________．13. 已知平行四边形的三个顶点坐标分别为（-1，0）（0，2）（2，0），则在第四象限的第四个顶点的坐标为___________。

初中数学八年级下册《平行四边形》单元测试卷(整理含答案)

初中数学八年级下册《平行四边形》单元测试卷(整理含答案)初中数学八年级下册《平行四边形》单元测试卷一时间：90分钟满分：100分一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1.四边形的内角和等于360º，外角和等于360º。

2.正方形的面积为4，它的边长为2，一条对角线长为2√2.3.一个多边形，若它的内角和等于外角和的3倍，则它是五边形。

4.如果四边形ABCD满足条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）：AB × CD + AD × BC = AC × BD。

5.如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为4√5 cm。

6.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是20 cm²。

7.平行四边形ABCD，加一个条件：AB = BC，它就是菱形。

8.等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为36 cm。

9.已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为10 cm。

10.如图，ABCD中，XXX于E，AF⊥DC于F，BC=5，AB=4，AE=3，则AF的长为 4.11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=8，则EF=2，EF分梯形所得的两个梯形的面积比S₁:S₂为3:1.12.下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形B。

13.如图，XXX从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了20米。

14.如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形的边长为1，则第n 个正方形的面积是（n-1）/4.二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）15.如图，ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DAE等于60°。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试综合卷检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试综合卷检测试卷一、解答题1．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．2．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．3．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．4．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH的面积（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC边上时，求t的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．5．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E 处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．6．探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．（1）求证：△ACN≌△CBM；（2）∠CPN= °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN= °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．7．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．8．（问题情境）在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）（变式探究）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l1：y=443x-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF，GH分别交边AB、CD，AD、BC于点E、F、G、H．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因为S△AOB＝14S四边形ABCD，所以S四边形AEOG＝S正方形ABCD；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG＝14S▱ABCD，若AB＝3，AD＝5，BE＝1，则AG＝．10．已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为，数量关系为．（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题AI ．1．（1）见解析；（2）24；（3）5【分析】（1）证∠BDA＝∠CEA＝90°，∠CAE＝∠ABD，由AAS证明△ABD≌△CAE即可；（2）连接CE，交AF于O，由菱形的性质得∠COA＝∠ADB＝90°，同（1）得△ABD≌△CAO（AAS），得OC＝AD＝3，OA＝BD＝4，由三角形面积公式求出S△AOC＝6，即可得出答案；（3）过E作EM⊥HI的延长线于M，过点G作GN⊥HI于N，同（1）得△ACH≌△EAM （AAS），△ABH≌△GAN（AAS），得EM＝AH＝GN，证△EMI≌△GNI（AAS），得EI＝GI，证∠EAG＝90°，由勾股定理求出EG＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD +∠CAE ＝90°∵∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示：∵四边形AEFC 是菱形，∴CE ⊥AF ，∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ），∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，∴S △AOC ＝12OA •OC ＝12×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24，故答案为：24；（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形，∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），∴EM ＝AH ＝GN ，在△EMI 和△GNI 中，EIM GIH EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI ＝GI ，∴I 是EG 的中点，∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°，∴∠EAG ＝90°，在Rt △EAG 中， EG10，∵I 是EG 的中点，∴AI＝12EG＝12×10＝5．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（1）（32，32）；（2）存在，点D的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）OM=32或212【分析】（1）过点B作BD⊥y轴于D，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD和OD即可得出结论；（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A、B、C的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论；（3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP和BP，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．【详解】解：（1）如图2，过点B作BD⊥y轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得OB=223AB OA -= ∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=132OB =∴OD=2232OB BD -=∴点B 的坐标为（32，32）故答案为：（32，32）；（2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B 落在x 轴上∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（3，0）∵△ABC 为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C 的坐标为（3，2）设点D 的坐标为（a ，b ）如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O∴点O 既是AC 的中点，也是BD 的中点∴03322 12022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：3ab=⎧⎨=⎩∴此时点D的坐标为（0，3）；当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O∴点O既是AD的中点，也是BC的中点∴0332212022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：231ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D的坐标为（23，1）；当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴0332210222ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：1ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°∴OP=12OB=32∴BP=223 2OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵点F为OB的中点∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=3 2在Rt△OBM中，2221OB BM+=；综上：OM=32或2．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．3．（1）ΔDPM,ΔFPG；等腰直角；（2）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PG PC＝；（3）2【分析】（1）延长GP交DC于点M，由Р是线段DF的中点，//DC CF，可得∠MDP=∠GFP，DP=FP，利用ASA可证明△DPM≌△FPG；可得DM=GF，MP=GP，根据正方形的性质可得CM=CG，即可证明△CMG是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如图，延长GP交DC于点H，利用ASA可证明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长；在图3中，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，利用SAS可证明△FGP≌△DNP，可得GF=DN，∠GFP=∠NDP，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB，利用SAS可证明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=12CG，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．【详解】（1）如图，延长GP交DC于点M，∵Р是线段DF的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点,,A B E在同一条直线上，∴//DC CF，DP=FP，CD=BC，FG=BG，在△DPM和△FPG中，MDP GFPDP FPDPM FPG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPM≌△FPG，∴DM=FG，KP=GP，∴CD-DM=BC-BC ，即CM=CG ，∴△CMG 是等腰直角三角形，∴PG ⊥PC ，PG=PC ．故答案为：ΔDPM ，ΔFPG ；等腰直角（2）猜想：线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PG PC 3．如图，延长GP 交DC 于点H ，∵P 是线段DF 的中点，∴FP ＝DP ，∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是菱形，∴CD//AB ，CF//BE ，CD ＝CB ，GF=GB ，∵点A B E 、、在一条直线上，∴DC ∥GF ，∴∠GFP ＝∠HDP ，在△GFP 和△HDP 中，GFP HDP FP DP GPF HPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△GFP ≌△HDP ，∴GP ＝HP ，GF ＝HD ，∴CD-DH ＝CB-GB ，即CG ＝CH ，∴△CHG 是等腰三角形．∴PG ⊥PC ，（三线合一），∠HCP=∠GCP ，∵∠ABC ＝∠BEF ＝60°，∴∠HCG=120°，∴∠CGP=12（180°-120°）=30°， ∴CG=2PC ，∴2222(2)3CG PC PC PC PC -=-=， ∴PG PC 3（3）如图2，∵AB=6，BE=2，∴CG=AB-BE=4，由（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，∴PC=12CG=2，如图3，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，在△DNP和△FGP中，DP FPNPD GPF PN PG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNP≌△FGP，∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，EF//BC，∵点A、B、G在一条直线上，∴DC∥EF，∴∠CDP=∠EFP，∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠EFG=∠CBG=120°，∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°，即∠NDC=120°，∴∠KDN=60°，∠KND=30°，∴KD=12DN=1，223DN KD-=，∴CK=CD+KD=7，∴22CK NK+213在△CDN和△CBG中，CD BCCDN CBG ND BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CN=CG，∠DCN=∠BCG，∴PC⊥GN，∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°，即∠NCG=120°，∴∠CNP=12（180°-∠NCG）=30°，∴PC=12CN=13．故答案为：213【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线、熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．4．（1）214t ；（2）22t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，22t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，32t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，722t = 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122AH AB ==，然后与（1）所求的2AH =建立等式求解即可得；（3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．【详解】（1）由题意得：2AP t =，点Q 为AP 的中点，12AQ AP t ∴==，四边形ABCD 是矩形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，AE ∵是BAD ∠的角平分线， 1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，AQH ∴是等腰直角三角形，2222AH HQ AQ t ∴===，则AQH 的面积为21124AH HQ t ⋅=；（2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，//HQ MP ∴，点M 在BC 边上，//HQ BP ∴，点Q 为AP 的中点，HQ ∴是ABP △的中位线，122AH BH AB ∴===，由（1）知，2AH t =，则222t =，解得22t =；（3）由题意，有以下三种情况：①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AHHB =，四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，HAQ BHM ∴∠=∠，在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AHQ HBM ASA ∴≅，由（2）可知，此时22t=；②如图3，当点Q 与点E 重合时，在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADE AHE AAS ∴≅，3AD AH ∴==，则232t =，解得32t =；③如图4，当EG HB =时，四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，//,//CD AB HM PQ ∴，,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,4AH t AB ==，242HB AB AH t ∴=-=-，在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE AD ==，32EQ AQ AE t ∴=-=-，在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒，Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -==，则由EG HB =得：2624t t -=-，解得722t =；综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =4，当EGQ HBF ≅时，722t =【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．5．（1）证明过程见解析；（2）①边长为53cm ，②225cm S 9cm 3≤≤．【分析】（1）由折叠的性质得出PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，由平行线的性质得出∠BPF ＝∠EFP ，证出∠EPF ＝∠EFP ，得出EP ＝EF ，因此BP ＝BF ＝EF ＝EP ，即可得出结论；（2）①由矩形的性质得出BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°，由对称的性质得出CE ＝BC ＝5cm ，在Rt △CDE 中，由勾股定理求出DE ＝4cm ，得出AE ＝AD -DE ＝1cm ；在Rt △APE 中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP ＝53cm 即可； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ；当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ，即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，∴点B 与点E 关于PQ 对称，∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，又∵EF ∥AB ，∴∠BPF ＝∠EFP ，∴∠EPF ＝∠EFP ，∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ，∴四边形BFEP 为菱形；（2）①∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°，∵点B 与点E 关于PQ 对称，∴CE ＝BC ＝5cm ，在Rt △CDE 中，DE 4cm ，∴AE ＝AD ﹣DE ＝5cm -4cm ＝1cm ；在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3-PB ＝3﹣PE ，∴222EP =1(3-EP)+，解得：EP ＝53cm ， ∴菱形BFEP 的边长为53cm ； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ，BP=53cm ， 2BFEP 5S =BP AE=cm 3⋅四边形，当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ， 2ABQE BFEP S =S =9cm 正方形四边形，∴菱形的面积范围：225cm S 9cm 3≤≤．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE 是本题的关键．6．（1）见解析；（2）120；（3）90；（4）72；（5）360n. 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC ，∠ACB=∠ABC ，从而得到△ACN ≌△CBM. （2）利用全等三角形的性质得到∠CAN=∠BCM ，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解.（3）利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC ，∠ABC=∠BCD ，从而判断出△DCN ≌△CBM ，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM ，再利用内角和定理即可得到答案.（4）由（3）的方法即可得到答案.（5）利用正三边形，正四边形，正五边形，分别求出∠CPN 的度数与边数的关系式，即可得到答案.【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC ，∠ACB=∠BAC=∠ABC=60︒，∴∠ACN=∠CBM=120︒，在△CAN 和△CBM 中， CN BM ACN CBM AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACN ≌△CBM.（2）∵△ACN ≌△CBM.∴∠CAN=∠BCM ，∵∠ABC=∠BMC+∠BCM ，∠BAN=∠BAC+∠CAN ，∴∠CPN=∠BMC+∠BAN=∠BMC+∠BAC+∠CAN=∠BMC+∠BAC+∠BCM=∠ABC+∠BAC=60︒+60︒,=120︒，故答案为：120.（3）将等边三角形换成正方形，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=DC ，∠ABC=∠BCD=90︒，∴∠MBC=∠DCN=90︒，在△DCN 和△CBM 中，DC BC DCN MBC CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCN ≌△CBM ，∴∠CDN=∠BCM ，∵∠BCM=∠PCN ，∴∠CDN=∠PCN ，在Rt △DCN 中，∠CDN+∠CND=90︒，∴∠PCN+∠CND=90︒，∴∠CPN=90︒，故答案为：90.（4）将等边三角形换成正五边形，∴∠ABC=∠DCB=108︒，∴∠MBC=∠DCN=72︒，在△DCN 和△CBM 中，DC BC DCN MBC CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCN ≌△CBM ，∴∠BMC=∠CND ，∠BCM=∠CDN ，∵∠BCM=∠PCN ，∴∠CND=∠PCN ，在△CDN 中，∠CDN+∠CND=∠BCD=108︒，∴∠CPN=180︒-(∠CND+∠PCN)=180︒-(∠CND+∠CDN)=180︒-108︒，=72︒，故答案为：72.（5）正三边形时，∠CPN=120︒=3603，正四边形时，∠CPN=90︒=3604，正五边形时，∠CPN=72︒=3605，正n 边形时，∠CPN=360n ，故答案为：360n . 【点睛】此题考查正多边形的性质，三角形全等的判定及性质，图形在发生变化但是解题的思路是不变的，依据此特点进行解题是解此题的关键.7．（1）①证明见解析；②60EBF ∠=︒；（2）3IH FH =；（3）222EG AG CE =+. 【分析】（1）①由DOE BOF ∆≅∆，推出EO OF =，OB OD =，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ED =即可．②先证明2ABD ADB ∠=∠，推出30ADB ∠=︒，延长即可解决问题．（2）3IH FH =．只要证明IJF ∆是等边三角形即可．（3）结论：222EG AG CE =+．如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，先证明DEG DEM ∆≅∆，再证明ECM ∆是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，OB OD =，EDO FBO ∴∠=∠，在DOE ∆和BOF ∆中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， DOE BOF ∴∆≅∆，EO OF ∴=，OB OD =，∴四边形EBFD 是平行四边形，EF BD ⊥，OB OD =，EB ED ∴=，∴四边形EBFD 是菱形．②BE 平分ABD ∠，ABE EBD ∴∠=∠，EB ED =，EBD EDB ∴∠=∠，2ABD ADB ∴∠=∠，90ABD ADB ∠+∠=︒，30ADB ∴∠=︒，60ABD ∠=︒，30ABE EBO OBF ∴∠=∠=∠=︒，60EBF ∴∠=︒．（2）结论：3IH FH =．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM EJ =，连接MJ ．四边形EBFD 是菱形，60B ∠=︒，EB BF ED ∴==，//DE BF ，JDH FGH ∴∠=∠，在DHJ ∆和GHF ∆中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， DHJ GHF ∴∆≅∆，DJ FG ∴=，JH HF =，EJ BG EM BI ∴===，BE IM BF ∴==，60MEJ B ∠=∠=︒，MEJ ∴∆是等边三角形，MJ EM NI ∴==，60M B ∠=∠=︒在BIF ∆和MJI ∆中，BI MJ B M BF IM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BIF MJI ∴∆≅∆，IJ IF ∴=，BFI MIJ ∠=∠，HJ HF =，IH JF ∴⊥，120BFI BIF ∠+∠=︒，120MIJ BIF ∴∠+∠=︒，60JIF ∴∠=︒，JIF ∴∆是等边三角形，在Rt IHF ∆中，90IHF ∠=︒，60IFH ∠=︒，30FIH ∴∠=︒， 3IH FH ∴=．（3）结论：222EG AG CE =+．理由：如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，90FAD DEF ∠+∠=︒，AFED ∴四点共圆，45EDF DAE ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，45ADF EDC ∴∠+∠=︒，ADF CDM ∠=∠，45CDM CDE EDG ∴∠+∠=︒=∠，在DEM ∆和DEG ∆中，DE DE EDG EDM DG DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DEG DEM ∴∆≅∆，GE EM ∴=，45DCM DAG ACD ∠=∠=∠=︒，AG CM =，90ECM ∴∠=︒222EC CM EM ∴+=，EG EM =，AG CM =，222GE AG CE ∴=+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．【变式探究】：详见解析；【结论运用】：4；【迁移拓展】：P 1的坐标为（12- ，3）或（12，5）【解析】试题分析：【变式探究】按照【问题情境】的证明思路即可解决问题．【结论运用】过E 作EQ BF ⊥，利用问题情境中的结论可得PG PH EQ +=，易证EQ DC BF DF ==，，只需求即可．【迁移拓展】分成两种情况进行讨论.试题解析：【变式探究】：连接,AP∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ⊥AB ，ABC ACP ABP S S S ∴=-，111222AB CF AC PE AB PD ∴⨯=⨯-⨯， AB AC =，.CF PE PD ∴=-【结论运用】过E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，如图④，∵四边形ABCD 是长方形，90AD BC C ADC ∴=∠=∠=︒，．835AD CF BF BC CF AD CF ==∴=-=-=，，．由折叠可得：DF BF BEF DEF =∠=∠，．590DF C ∴=∠=︒．，222253 4.DC DF CF ∴=-=-=90EQ BC C ADC ⊥∠=∠=︒，，90EQC C ADC ∴∠=︒=∠=∠．∴四边形EQCD 是长方形．4EQ DC ∴==．∵AD ∥BC ，DEF EFB ∴∠=∠．BEF DEF BEF EFB BE BF ∠=∠∴∠=∠∴=，．．由问题情境中的结论可得：4PG PH EQ PG PH +=∴+=．． PG PH ∴+的值为4．【迁移拓展】由题意得：(04),?(30),(20).A B C -，，， 2234 5.AB =+=5.BC = .AB BC ∴=（1）由结论得：1111 +?4,PD PE OA ==11111 3.PD PE =∴=，即点1P 的纵坐标为3，又点1P 在直线l 2上 ∴24y x =+=3 ,∴12x =-. 即点1P 的坐标为1,3.2⎛⎫-⎪⎝⎭ (2) 由结论得：22224,P E P D OA -== 22221 5.P D P E =∴=，即点2P 的纵坐标为5,又点2P 在直线l 2上 ∴24y x =+=5.∴12x =. 即点2P 的坐标为1,5.2⎛⎫⎪⎝⎭ 9．（1）14；（2）mb AG a =；（3）53【分析】（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，根据图形的面积得到14mb ＝14AG •a ，于是得到结论；（3）如图③，同理：过O 作QM ⊥AB ，PN ⊥AD ，先根据平行四边形面积可得OM 和ON 的比，同理可得S △BOE ＝S △AOG ，根据面积公式可计算AG 的长．【详解】解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OC ，∠OAG ＝∠EBO ＝45°，∠AOB ＝90°，∵EF ⊥GH ，∴∠EOG ＝90°，∴∠BOE ＝∠AOG （SAS ），∴△BOE ≌△AOG ，∴S △BOE ＝S △AOG ，又∵S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，∴S四边形AEOG＝14S正方形ABCD，故答案为：14．（2）解：如图②，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴S△AOB＝S△AOD＝14S矩形ABCD，∵S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝14mb，S△AOG＝12AG•ON＝14AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝mba；（3）如图③，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∵S△AOB＝S△AOD＝14S▱ABCD，S四边形AEOG＝14S▱ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝12OM，S△AOG＝12AG•ON，∴OM＝AG•ON，∵S▱ABCD＝3×2OM＝5×2 ON，∴53 OMON，∴AG＝53；【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．10．（1）AP⊥BF，12AP BF=（2）见解析；（3）1≤AP≤2【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理可得12AP ED PD==，即△APD为等腰三角形推出∠DAP=∠EDA，可证△AED≌△ABF可得∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED由三角形内角和可得∠AOF=90°即AP⊥BF由全等可得1122AP ED BF==即12AP BF=（2）延长AP至Q点使得DQ∥AE，PA延长线交于G点，利用P是DE中点，构造△AEP≌△PDQ可得∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA可得∠QDA=∠FAB可证△FAB≌△QDA 得到∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB由三角形内角和可得∠FAG=90°得出AG⊥FB即AP⊥BF由全等可得1122 AP AQ FB ==（3）由于12AP BF=即求BF的取值范围，当BF最小时，即F在AB上，此时BF=2，AP=1当BF最大时，即F在BA延长线上，此时BF=4，AP=2可得1≤AP≤2【详解】（1）根据直角三角形斜边中线定理有AP是△AED中线可得12AP ED PD==，即△APD为等腰三角形．∴∠DAP=∠EDA又AE=AF，∠BAF=∠DAE=90°，AB=AD ∴△AED≌△ABF∴∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED设AP与BF相交于点O∴∠ABF+∠AFB=90°=∠DAP+∠AFB ∴∠AOF=90°即AP⊥BF∴1122AP ED BF==即12AP BF=故答案为AP⊥BF，12 AP BF=（2）延长AP至Q点使得DQ∥AE，PA延长线交于G点∴∠EAP=∠PQD，∠AEP=∠QDP∵P是DE中点，∴EP=DP∴△AEP≌△PDQ则∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA∠QDA=180°-（∠PAD+∠PQD）=180°-∠EAD而∠FAB=180°-∠EAD，则∠QDA=∠FAB∵AF=DQ，∠QDA=∠FAB ，AB=AD∴△FAB≌△QDA∴∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB而∠EAP+∠FAG=90°∴∠AFB+∠FAG=90°∴∠FAG=90°∴AG⊥FB即AP⊥BF又1122 AP AQ FB ==∴1 AP2BF=（3）∵12 AP BF=∴即求BF的取值范围BF最小时，即F在AB上，此时BF=2，AP=1BF最大时，即F在BA延长线上，此时BF=4，AP=2∴ 1≤AP≤2【点睛】掌握三角形全等以及直角三角形斜边上的中线，灵活运用各种角关系是解题的关键．。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷学能测试试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷学能测试试题一、选择题1．如图，正方形ABCD 的对角线相交于O 点，BE 平分∠ABO 交AO 于E 点，CF ⊥BE 于F 点，交BO 于G 点，连接EG 、OF ，下列四个结论：①CE=CB ；②AE=2OE ；③OF=12CG ,其中正确的结论只有( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②2．如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB ＝CD ．结论：①EG ⊥FH ；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG ；④EG 12=BC ；⑤四边形EFGH 的周长等于2AB ．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点(点P 不与点B 、D 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③仅有当∠DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；④∠PFE ＝∠BAP ：⑤22PD ＝EC ．其中有正确有( )个．A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（）①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．A ．①⑥B ．①②④⑥C ．①②③④D ．①②④⑤⑥ 5．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（） A ．10和34B ．18和20C ．14和10D ．10和126．如图，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE ∆沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为( )A ．53或2 B ．52或53C ．52或35D ．35或2 7．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是CD 的中点，将BCE 沿BE 翻折至BFE ，连接DF ，则DF 的长度是（）A ．5 B ．25C ．35D ．458．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，正方形ABCD的边长为2，Q为CD边上（异于C，D）的一个动点，AQ交BD于点M．过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下面结论：①AM=MN；②MP=2；③△CNQ的周长为3；④BD+2BP=2BM，其中一定成立的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①④10．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线相交于点O．以AB、AO为邻边画平行四边形AOC1B，对角线相交于点O ；以AB、AO 为邻边画平行四边形AO1C2B，对角线相交于点O2 ：……以此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．58cm2B．54cm2C．516cm2D．532cm2二、填空题11．如图，以Rt ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．13．如图，在矩形ABCD中，AD2，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．14．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．15．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．16．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______17．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．18．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．19．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．20．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EMFN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CFBF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时， ①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．23．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．24．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．25．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．26．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥． ②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ． 27．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．28．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ， (1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ； (2)如图1，若DF=3，求AE 的长；(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索1AGAF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.29．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试综合卷检测试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试综合卷检测试题一、选择题1．如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，BD=2AD ，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论①BE ⊥AC②四边形BEFG 是平行四边形③EG=GF④EA 平分∠GEF其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④2．如图，在正方形ABCD 中，CE =MN ，∠MCE =35°，那么∠ANM 等于（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°3．在正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点，BE PD ⊥的延长线于点 E ，连接 AE 、 BE ，FA AE ⊥ 交 DP 于点 F ，连接 BF 、FC ，下列结论：① ABE ADF ≅ ；② FB = AB ；③ CF PD ⊥ ；④ FC = EF . 其中正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④4．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④5．如图,在四边形ABCD 中, AD//BC,且AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P 、Q 分别从A 、C 同时出发,P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动,Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动,多少s 时直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形( )A ．1B ．2C ．3D ．2或36．如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，如果3, 4AB AD ==，那么( )A ．125PE PF +=B ．121355PE PF <+< C ．5PE PF += D ．34PE PF <+< 7．如图，ABCD 中，点E 是AD 上一点，BE ⊥AB ，△ABE 沿BE 对折得到△BEG ，过点D 作DF ∥EG 交BC 于点F ，△DFC 沿DF 对折，点C 恰好与点G 重合，则AB AD的值为（）A ．12B 3C ．22D 38．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（）A．3 B．6 C．372D．179．在菱形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形正确的结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=14BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG，连结BG，点H为BG中点，连结EH，则EH的最小值为______12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM-MN的最大值为________．13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．14．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．15．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．16．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．17．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （30），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．18．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．19．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，20．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．三、解答题21．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．∆沿22．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一点（不与点A，D重合），ABEBE折叠，得BEF，点A的对称点为点F．=时，点F会落在CE上吗？请说明理由．（1）当AB AD（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 23．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．24．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.25．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .26．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．27．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．28．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．①按要求补全图形；②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．29．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.30．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC ，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF ，BG ∥EF ∥CD 可证四边形BEFG 是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO=1BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，2又∵BD=2AD，∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=1CD，2∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=1AB=AG=BG，2∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故③错误，∵BG=EF，BG∥EF∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，故②正确，∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠AEG，∴∠AEG=∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．2．C解析：C【分析】过B作BF∥MN交AD于F，则∠AFB＝∠ANM，根据正方形的性质得出∠A＝∠EBC＝90°，AB＝BC，AD∥BC，推出四边形BFNM是平行四边形，得出BF＝MN＝CE，证Rt△ABF≌Rt△BCE，推出∠AFB＝∠ECB即可．【详解】解：过B 作BF ∥MN 交AD 于F ，则∠AFB ＝∠ANM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠EBC ＝90°，AB ＝BC ，AD ∥BC ，∴FN ∥BM ，BF ∥MN ，∴四边形BFNM 是平行四边形，∴BF ＝MN ，∵CE ＝MN ，∴CE ＝BF ，在Rt △ABF 和Rt △BCE 中BF CE AB BC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABF ≌Rt △BCE （HL ），∴∠ABF ＝∠MCE ＝35°，∴∠ANM ＝∠AFB ＝55°，故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定即性质，还涉及正方形的性质以及平行四边形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键.3．D解析：D【解析】【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF ，∠EBA=∠ADP ，AB=AD ，证△ABE ≌△ADF 即可；取EF 的中点M ，连接AM ，推出AM=MF=EM=DF ，证∠AMB=∠FMB ，BM=BM ，AM=MF ，推出△ABM ≌△FBM 即可；求出∠FDC=∠EBF ，推出△BEF ≌△DFC 即可．【详解】解：∵正方形ABCD ，BE ⊥ED ，EA ⊥FA ，∴AB=AD=CD=BC ，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF ，∵∠APD=∠EPB ，∴∠EAB=∠DAF ，∠EBA=∠ADP ，∵AB=AD ，∴△ABE ≌△ADF ，∴①正确；∴AE=AF，BE=DF，∴∠AEF=∠AFE=45°，取EF的中点M，连接AM，∴AM⊥EF，AM=EM=FM，∴BE∥AM，∵AP=BP，∴AM=BE=DF，∴∠EMB=∠EBM=45°，∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，∵BM=BM，AM=MF，∴△ABM≌△FBM，∴AB=BF，∴②正确；∴∠BAM=∠BFM，∵∠BEF=90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，∴∠APF=∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD=∠FDC，∴∠EBF=∠FDC，∵BE=DF，BF=CD，∴△BEF≌△DFC，∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，∴③正确；④正确；故选D．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．4．C解析：C【分析】如图，设DE交AP于0，根据菱形的性质、翻折不变性-判断即可解决问题；【详解】解：如图，设DE 交AP 于O.∵四边形ABCD 是菱形∴DA=DC=AB∵A.P 关于DE 对称，∴DE ⊥AP ，OA=OP∴DA=DP∴DP=CD ，故①正确∵AE=EB ，AO=OP∴OE//PB ，∴PB ⊥PA∴∠APB=90°∴2222PA PB AB CD +==，故②正确若∠DCP=75°，则∠CDP=30°∵LADC=60°∴DP 平分∠ADC ，显然不符合题意，故③错误；∵∠ADC=60°，DA=DP=DC∴∠DAP=∠DPA ，∠DCP=∠DPC ，∠CPA=（360°-60°）=150°，故④正确. 故选：C【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.5．D解析：D【解析】【分析】根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ 或CQ=PD ，计算即可求出t 值.【详解】根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t要使构成平行四边形则：AP=BQ 或CQ=PD进而可得：62t t =- 或29t t =-解得2t = 或3t =故选D.【点睛】本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可.6．A解析：A【分析】设AC 、BD 交于点O ，连接OP ，根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD 的面积，根据面积关系即可求出答案.【详解】设AC 、BD 交于点O ，连接OP ，∵3, 4AB AD ==,∴BD=AC=5，∴OA=OD=2.5， ∵1134344AOD ABCD SS ==⨯⨯=矩形， ∴3AOP DOP S S +=，∵PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，∴112.5 2.5322PE PF ⨯+⨯=， 15()322PE PF ⨯+=， ∴125PE PF +=，故选：A.【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出△AOD 的面积是解题的关键.7．B解析：B【分析】根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS 证明BEG DEG ≅，进而得到ADG 90∠=︒，设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，2243x x x -，即可求解．【详解】解：在ABCD 中∵DF ∥EG∴∠DEG=∠DFB∵△ABE 沿BE 对折得到△BEG∴∠DEG =2∠A∵∠DFB =∠C +∠CDF∠A=∠C∴∠CDF=∠A∵△DFC 沿DF 对折∴∠BGE=∠DGEBG=DGEG=EG∴BEG DEG ≅∵BE⊥AB∴ADG 90∠=︒设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，=∴3AB AD == 故选：B ．【点睛】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明BEG DEG ≅是解题关键．8．C解析：C【分析】连接CF ，交PQ 于R ，延长AD 交EF 于H ，连接AF ，则四边形ABEH 是矩形，求出FH ＝1，AF =ASA 证得△RFP ≌△RCQ ，得出RP ＝RQ ，则点R 与点M 重合，得出MN 是△CAF 的中位线，即可得出结果．【详解】解：连接CF ，交PQ 于R ，延长AD 交EF 于H ，连接AF ，如图所示：则四边形ABEH 是矩形，∴HE ＝AB ＝1，AH ＝BE ＝BC+CE ＝2+4＝6，∵四边形CEFG 是矩形，∴FG ∥CE ，EF ＝CG ＝2，∴∠RFP ＝∠RCQ ，∠RPF ＝∠RQC ，FH ＝EF ﹣HE ＝2﹣1＝1，在Rt △AHF 中，由勾股定理得：AF ==，在△RFP 和△RCQ 中，RFP RCQ PF CQ RPF RQC ∠=⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴△RFP ≌△RCQ （ASA ），∴RP ＝RQ ，∴点R 与点M 重合，∵点N 是AC 的中点，∴MN 是△CAF 的中位线，∴MN ＝113737222=⨯=AF ，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】①如图，连接AC ，BD 交于O ，四边形ABCD 是菱形，过点O 直线MP和QN ，分别交AB ，BC ，CD ，AD 于M ，N ，P ，Q ，则四边形MNPQ 是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④如图，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正方形；故④正确；综上，①②③④4个均正确，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各定理是解题的关键．10．B解析：B【分析】①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=12CF，由GH＜14BC，可得出结论；③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=12 BF；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．【详解】解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，∴△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF，∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，∴∠DEH+∠CDF=90°，∴∠BHD=∠BHF=90°，∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，∴△BHD≌△BHF，∴DH=HF，∵OD=OB∴OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；∴OH=12BF，∠DOH=∠CBD=45°，∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=12BC，GH=12CF，∵CE=CF，∴GH=12CF=12CE∵CE＜CG=12 BC，∴GH＜14BC，故②错误．∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH=12BF；故③正确．故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．二、填空题11．2【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE最短，只需要BO最短即可，当E点位于C点时，则O点与C点重合，当E点位于D点时，则O点与A点重合，故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，∵四边形ABCD是正方形，∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、∴2222BO, ∴122HE BO ，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．12．52【分析】连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．【详解】连接DM ，如下图所示，∵90BAC EDF ∠=∠=︒又∵M 为EF 中点∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线∴DN=12AB=52∴AM MN -的最大值为52 故答案为52．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．13．200m【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．14．42【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同，∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：42【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.15．102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．【详解】连接BD ，BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD ，∴∠DAC=∠DCA ．∵EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，∴AF=BF ，BF=DF ，∴AF=DF ，∴∠FAD=∠FDA ，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD ，BF ，这是解答本题的突破口．16．①②④【分析】①根据折叠得△ABE ≌△AFE ，证明△EFC 是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF ，根据∠BEF=∠EFC+∠FEC ，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，即可证明AE ∥FC ，故①正确；②根据四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，得出∠FAG=∠GAD ，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理得2a ，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．【详解】解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，∵E 是BC 中点，∴BE=CE=EF ，∴△EFC 是等腰三角形，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，∴AE ∥FC ，故①正确；②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中 AF AD AG AG ==⎧⎨⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴∠FAG=∠GAD ，又∵∠BAF+∠FAD=90°，∴2∠EAF+2∠FAG=90°，即∠EAF+∠FAG=45°，∴∠EAG=45°，由全等得：BE=FE ，DG=FG ，∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③对于Rt △ECG ，S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216a ， ∵EF ：FG=2a ：3a =3：2，则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，又∵S ABCD =a 2，则S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ， ∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2a =EC ，由勾股定理得，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ， EG=2a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2，解得x=3a ，CG=23a ，即AD=3DG 成立，故④正确．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．17【分析】先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ，OB ∴=四边形ABCD 是菱形，OC ∴垂直平分BD ，OB OD ==点P 是对角线OC 上的点，DP BP ∴=，EP BP EP DP ∴+=+，由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，BOD ∴是等边三角形，DA OB ⊥， 132OA OB ∴==，2222(23)(3)3AD OD OA =-=-=， (3,3)D ∴，又(0,1)E -，22(30)(31)19DE ∴=-++=，即EP BP +的最小值为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．18．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可19．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18．故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．20．7【分析】①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=+四边形即可得出答案．【详解】四边形ABCD 是平行四边形//,AD BC AD BC ∴=,,AF EC n m BC BCm n === AF EC ∴=AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形//,//AE CF BF DE ∴∴四边形EGFH 是平行四边形综上，图中共有4个平行四边形如图，连接EF1,,AF EC n m BC B n Cm ==+= AF EC BC AD ∴+==AF DF AD +=EC DF ∴=AF BE ∴=∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形 1()4ABEF CDFE S S =+12874=⨯= 故答案为：4；7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．三、解答题21．（1）DE 2CF ；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF ＋CF ＝2DF 或|AF －CF |2【分析】（1）易证△BCD 是等腰直角三角形，得出2CB ，即可得出结果；（2）情况1：过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，设BC 交DF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，2CF ，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出2CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得2CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得HF=2DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出AF+CF=2DF；②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得FH=2DF，DF=DH，由SAS证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=2DF；③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出HF=2DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=2DF；④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴DB=2CB，当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，故答案为：DE=2CF；（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF ，设BC 交DF 于P ，∵BF ⊥DE ，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB ，∴∠CDP=∠FBP ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE ，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，∴CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF ，∵∠FPD=∠BPC ，∴∠FDP=∠PBC ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴2，设∠CDG=α，则∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，∴∠EAB=90°+2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴DE=FG ，∴2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴CF=HA ， 2，即2DF ；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，∴∠DCN=2α，∴∠NCB=90°-2α，∵CN=CD=CB ，∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，∴△BFN 是等腰直角三角形，∴BF=NF ，在△CNF 和△CBF 中，CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CNF ≌△CBF （SSS ），∴∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形，∴2，DF=DH ，∵∠ADC=∠HDE=90°，∴∠ADF=∠CDH ，在△ADF 和△CDH 中，AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CDH （SAS ），∴CH=AF ，∴FH=CH+CF=AF+CF ，∴AF+CF=2DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠ADC=∠HDF=90°，∴∠ADH=∠CDF ，在△ADC 和△HDF 中，AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△HDF （SAS ），∴AH=CF ，∴HF=AF-AH=AF-CF ，∴2DF ；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元综合模拟测评检测试题

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元综合模拟测评检测试题一、选择题1．在正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点，BE PD ⊥的延长线于点 E ，连接 AE 、 BE ，FA AE ⊥ 交 DP 于点 F ，连接 BF 、FC ，下列结论：① ABE ADF ≅ ；② FB = AB ；③ CF PD ⊥ ；④ FC = EF . 其中正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④2．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 为CD 上一动点，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH ⊥AE 于F ，过H 作HG ⊥BD 于 G ．则下列结论：①AF ＝FH ；②∠HAE ＝45°；③BD ＝2FG ；④△CEH 的周长为 8．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在ABCD 中，已知6AB =，8AD =，60B ∠=︒，过BC 的中点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF ∆的面积是（）A ．83B ．123C ．143D ．1834．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，点M 为BC 上异于B 、C 的一定点，点N 为AB 上的一动点，E 、F 分别为DM 、MN 的中点，当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积为 ( )A ．4B ．4.5C ．5D ．65．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是AD 边上的一个动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F.若AB ＝3，BC ＝4，则PE ＋PF 的值为( )A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.46．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和CD 上，过点A 作GA AE ⊥，CD 的延长线交AG 于点G ，BE DF EF +=，若30DAF ∠=︒，则BAE ∠的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°7．如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O 的直线交AD 于点E ，交BC 于点F 当点E 从点A 向点D 移动过程中（点E 与点A 、点D 不重合），四边形AFCE 的形状变化依次是（）A ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形8．如图：点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形，且菱形AECF 的周长为20，BD 为24，则四边形ABCD 的面积为（）A ．24B ．36C ．72D ．1449．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分DCB ∠交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ，下列结论：①30ACD ∠=︒；②·ABCDSAC BC =；③:1:4OE AC =．其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图，点,,A B E 在同一条直线上，正方形ABCD 、正方形BEFC 的边长分别为23,、H 为线段DF 的中点，则BH 的长为（）A ．21B ．26C ．33D ．29 二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．13．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDGFDGS S =，正确的有__________________．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．15．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________17．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．18．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．19．在菱形ABCD 中，M 是AD 的中点，AB ＝4，N 是对角线AC 上一动点，△DMN 的周长最小是2+23，则BD 的长为___________．20．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．三、解答题21．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．22．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠ （2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图223．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？（3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． 24．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：（1）线段AD =_________cm ；（2）求证：PB PQ =；（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？25．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α． ①按要求补全图形；②∠EBF =______________（用含α的式子表示）； ③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明． 26．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠．（1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．27．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试综合卷学能测试

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试综合卷学能测试一、选择题1．已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD的长的最小值为（）A．655B．1255C．32D．422．如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，∠DAB＝60°，作DH⊥AB于点H，连接OH，则OH的长为（）A．2 B．3 C．23D．433．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF，你认为()A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对D．两人都不对4．如图，在长方形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和为（）A．5 B．6C．7 D．85．如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB．CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1c m/s，点F的速度为2c m/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为()A ．34B ．43C ．32D ．536．如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接,,BP BH BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE PE =；②BP EF =；③PB 平分APG ∠；④PH AP HC =+；⑤MH MF =，其中正确结论的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．27．如图，P 为ABCD 内一点，过点P 分别作AB ，AD 的平行线，交 ABCD 的四边于E 、F 、G 、H 四点，若BHPE 面积为6，GPFD 面积为4，则APC △的面积为( )A ．23B ．32C ．1D ．28．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连结EF ，则线段EF 的长的最小值是( )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．29．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）A ．2B ．52C ．33D ．510．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN , EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（）A ．S 1= S 4B ．S 1 + S 4 = S 2 + S 3C ．S 1 + S 3 = S 2 + S 4D ．S 1·S 4 = S 2·S 3二、填空题11．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．12．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．13．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．14．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．15．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．16．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．17．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．18．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）三、解答题21．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，8BC AD ==．()1P为边BC上一点，将ABP沿直线AP翻折至AEP的位置(点B落在点E处)①如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE=______；②如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；()2点Q为射线DC上的一个动点，将ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点'D处，则DQ=______；22．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED 的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．（1）求证：CG平分∠DCB；（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．23．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）若∠DEF=90°，DE=8，EF=6，当AF为时，四边形BCEF是菱形．24．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．25．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE 2，求CE 的长．26．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若52CE =BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．27．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．28．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠．（1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．29．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积；（2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB 、CD 为对角线，AB 与CD 交于点F ，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42，对比两种情况即可求得CD最小值.【详解】解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，设直线CF为y＝﹣12x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1∴直线CF为y＝﹣12x﹣1，由2112y xy x=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2545xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C坐标（25-，45-）．∴CD＝2CF＝222242255⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭55．如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝421255，∴CD的最小值为55．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短. 2．B解析：B【解析】【分析】由菱形四边形相等、OD=OB，且每边长为6，再有∠DAB＝60°，说明△DAB为等边三角形，由DH⊥AB，可得AH=HB（等腰三角形三线合一），可得OH就是AD的一半，即可完成解答。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试综合卷学能测试试题

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试综合卷学能测试试题一、选择题1．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（）A ．655B ．1255C ．32D ．42 2．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，过A 点作AF ⊥BF ，垂足为F 并延长交BC 于点G ，D 为AB 中点，连接DF 延长交AC 于点E 。

若AB=12，BC=20，则线段EF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为4的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF//AB ，CK=1．线段KG 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN 的长为 ( ).A ．26B ．17C ．17D ．26 4．如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线AC 上一点，且CG =CB ，连接BG ，取BG 上任意一点H ，分别作HM ⊥AC 于点M ，HN ⊥BC 于点N ，若正方形的边长为2，则HM +HN 的值为（）A 2B ．1C 3D ．225．如图，在ABC ∆中，4BC =，BD 平分ABC ∠，过点A 作AD BD ⊥于点D ，过点D 作//DE CB ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若2EF DF =，则AB 的长为（）A．10 B．8 C．7 D．66．如图，ABCD中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则ABAD的值为（）A．12B．3C．22D．37．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB∶OE＝3∶2.其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧，交边AD于点；②再分别以B，F为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处；③连接AG并延长交BC于点E，连接BF，若BF＝3，AB＝2.5，则AE的长为（）A ．2B ．4C ．8D ．59．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12BD CD =．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF 于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )A ．233B ．334C ．536D ．310．如图，△ABC 中，AB ＝24，BC ＝26，CA ＝14．顺次连接△ABC 各边中点，得到△A 1B 1C 1；再顺次连接△A 1B 1C 1各边中点，得到△A 2B 2C 2…如此进行下去，得到n n n A B C ，则△A 8B 8C 8的周长为（）A ．1B ．12C ．14D ．18二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．14．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80 ，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________17．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．18．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于度时，四边形BECD 是正方形．22．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．23．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．24．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．25．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．（1）求证：AF ∥CE ；（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为3cm 2；（3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．26．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为．27．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．28．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝13PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．29．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按逆时针排列），连接BF.（1）如图1,当点E与点D重合时，BF的长为；（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE=1，求BF的长；（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N.）（3）当点E在直线AD上时，若AE=4，请直接写出BF的长.30．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试题一、解答题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于度时，四边形BECD 是正方形． 2．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EMFN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CFBF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．3．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCDS=，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．4．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠ （2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图25．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．6．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==．动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________．（2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值． 7．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.8．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．（1）求EAF ∠的度数；（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：2BD BG DG AF DM =+=+．9．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.10．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒ 【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下： ∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠， //AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ， ∴四边形ADEC 是平行四边形， CE AD ∴=； D 为AB 中点， AD BD ∴=， BD CE ∴=， ∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形， ∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下： ∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠，90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．2．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n - 【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题．（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，n=1， ∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB=∠B=90°， ∵AF ⊥DE ，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF ，∴△ADE ≌△BAF （ASA ）， ∴AE=BF ；②结论：AG=BF+AE ．理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，由（1）可知AE=BK ， ∵AH=AD ，AK ⊥HD ， ∴∠HAK=∠DAK ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DAK=∠AKG ， ∴∠HAK=∠AKG ， ∴AG=GK ，∵GK=GB+BK=BF+AE ， ∴AG=BF+AE ；（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，MENF的值最大，当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值=21a an +21n +， 21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ， ∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ， ∴△AED ≌△BEH （ASA ）， ∴AD=BH=2kn ， ∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ， ∴∠H=∠EDF ， ∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2， ∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，∴2142n x k n+=⋅，∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n kBF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n kCF n n k BFn-⋅==-，故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 3．（1）矩形；（2）菱形；（3）104）见解析【分析】（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形；（3）先利用勾股定理求出22221310DF E F E D ''=+=+=，再根据菱形的面积求出F A '；（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形. 【详解】(1)四边形AEE D '是矩形，在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，由平移可知：BE CE ''=， ∴BC EE '=， ∴AD EE '=，∴四边形AEE D '是平行四边形， ∵AE BC ⊥， ∴90AEE '∠=︒， ∴四边形AEE D '是矩形； (2)四边形AFF D '是菱形，在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，由平移可知：EF E F =''， ∴EE FF ''=， ∴AD FF '=，∴四边形AFF D '是平行四边形， ∵AE EF ⊥， ∴90AEE '∠=︒，在Rt AEF ，2222345AF AE EF =+=+=，∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形； (3)连接F A ',在Rt DFE '△中，22221310DF E F E D ''=+=+=，15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，∴·30F A FD '=， ∴310F A '=；(4)在BC 上取一点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理. 4．（1）见解析（2）见解析（3）15 【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌ △ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠QBA ＝∠QBC 在△QBA 和△QBC 中BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBA ≌ △QBC （SAS ） ∴∠QAB ＝∠QCB 又∵CQ ＝MQ ∴∠QCB ＝∠QMC∴∠QAB ＝∠QMC （2）∵∠QAB ＝∠QMC 又∵∠QMC ＋∠QMB ＝180°∴∠QAB ＋∠QMB ＝180° 在四边形QABM 中∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360° ∴∠ABM ＋∠AQM ＝180°而∠ABM ＝90°∴∠AQM ＝90°（3）设正方形ABCD 的边长为a ，则2MC a =-，3ND a =-延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2易证△ADH ≌ △ABM∴∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形∴∠QAM ＝45°∴∠DAN ＋∠BAM ＝45°∴∠DAN ＋∠DAH ＝45°即∠NAH ＝45°∴∠NAM ＝∠NAH∴△NAM ≌ △NAH （SAS ）∴NM ＝NH ＝()321a a -+=-在Rt △MNC 中，222MN MC NC =+∴()()222123a a -=-+∴6a = ∴11651522AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=【点睛】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键． 5．（1）见解析；（2）MN 2=ND 2+DH 2，理由见解析；（3）EG=4，MN=52【分析】（1）根据高AG 与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．（3）设EG=BE=x，根据正方形的边长得出CE，CF，EF，在Rt△CEF中利用勾股定理得到方程，求出EG的长，设MN=a，根据MN2=ND2+BM2解出a值即可．【详解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．∴∠BAE=∠GAE．同理，∠GAF=∠DAF．∴∠EAF＝12∠BAD＝45°；（2）MN2=ND2+DH2．∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN，又∵AM=AH，AN=AN，∴△AMN≌△AHN（SAS）．∴MN=HN，∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，∴NH2=ND2+DH2，∴MN2=ND2+DH2；（3）∵正方形ABCD的边长为12，∴AB=AG=12，由（1）知，BE=EG，DF=FG．设EG=BE=x，则CE=12-x，∵GF=6=DF，∴CF=12-6=6，EF=EG+GF=x+6，在Rt△CEF中，∵CE2+CF2=EF2，∴（12-x）2+62=（x+6）2，解得x=4，即EG=BE=4，在Rt△ABD中，22AB AD2，在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，∴MN2=ND2+BM2．设MN=a，则a2＝()(22a+，即a 2=()(22a+，∴a=MN＝【点睛】本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．6．（1）8-2t，8-t；（2）83或74【分析】（1）根据P、Q的运动速度以及AB和CD的长即可表示；（2）分PQ=PB、BP=BQ和QP=QB三种情况进行分析即可．【详解】解：（1）由题意可得：DP=2t，AQ=t，∴PC=8-2t，BQ=8-t，故答案为：8-2t，8-t；（2）当PQ=PB时，如图①，QH=BH，则t+2t=8，解得，t=83，当PQ=BQ时，（2t-t）2+62=（8-t）2，解得，t=74，当BP=BQ时，（8-2t）2+62=（8-t）2，方程无解；∴当t=83或74时，△BPQ为等腰三角形．【点睛】本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．7．（1）见解析；（2）DF，理由见解析；（3）2【分析】（1）如图1中，证明△AFB≌△DGA（AAS）可得结论．（2）结论：FH+FE=2DF．如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，证明四边形DKFJ是正方形，可得结论．（3）如图3中，取AD的中点J，连接PJ，延长JP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．设PT=b．证明△KPJ是等腰直角三角形，推出点P在线段JR上运动，求出JR即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵DG⊥AE，AE⊥BH，∴∠AFB=∠DGH=90°，∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°，∴∠BAF=∠ADG，∴△AFB≌△DGA（AAS），∴AF=DG，BF=AG，∴BF-DG=AG-AF=FG．（2）结论：FH+FE=2DF．理由：如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD，∵AE⊥BH，∴∠AFB=90°，∴∠DAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABH=90°，∴∠DAE=∠ABH，∴△ABH≌△DAE（ASA），∴AH=AE，∵DE=EC=12CD，CD=AD，∴AH=DH，∴DE=DH，∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°，∴四边形DKFJ是矩形，∴∠JDK=∠ADC=90°，∴∠JDH=∠KDE，∵∠J=∠DKE=90°，∴△DJH≌△DKE（AAS），∴DJ=DK，JH=EK，∴四边形DKFJ是正方形，∴FK=FJ=DK=DJ，∴DF=2FJ，∴FH+FE=FJ-HJ+FK+KE=2FJ=2DF；（3）如图3中，取AD的中点J，连接PJ，延长JP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．设PT=b．∵△ABH≌△DAE，∴AH=DE，∵∠EDH=90°，HP=PE，∴PD=PH=PE，∵PK⊥DH，PT⊥DE，∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°，∴四边形PTDK是矩形，∴PT=DK=b，PK=DT，∵PH=PD=PE，PK⊥DH，PT⊥DE，∴DH=2DK=2b ，DE=2DT ，∴AH=DE=1-2b ，∴PK=12DE=12-b ， JK=DJ-DK=12-b ， ∴PK=KJ ，∵∠PKJ=90°，∴∠KJP=45°，∴点P 在线段JR 上运动，∵DJ=2，∴点P ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．8．（1）∠EAF=135°；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，只要证明△EBC ≌△FNE （AAS ）即可解决问题；（2）过点F 作FG ∥AB 交BD 于点G ．首先证明四边形ABGF 为平行四边形，再证明△FGM ≌△DMC （AAS ）即可解决问题；【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90B N CEF ∠=∠=∠=︒，∴90NEF CEB ∠+∠=，90CEB BCE ∠+∠=，∴NEF ECB ∠=∠，∵EC EF =，∴EBC ∆≌FNE ∆∴FN BE =，EN BC =，∵BC AB =∴EN AB =∴EN AE AB AE -=-∴AN BE =，∴FN AN =，∵FN AB ⊥，∴45NAF ∠=，∴135EAF =∠（2）证明：过点F 作//FG AB 交BD 于点G .由（1）可知135EAF =∠，∵45ABD ∠=︒∴135180EAF ABD ∠=︒+∠=︒，∴//AF BG ，∵//FG AB ，∴四边形ABGF 为平行四边形，∴AF BG =，FG AB =，∵AB CD =，∴FG CD =，∵//AB CD ，∴//FG CD ，∴FGM CDM ∠=∠，∵FMG CMD ∠=∠∴FGM ∆≌CDM ∆∴GM DM =，∴2DG DM =，∴2BD BG DG AF DM =+=+.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；（3）如图2-1中或2-2中，作作EF ⊥BC ，EG ⊥AB ，证得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.【详解】解（1）①当点P 与点B 重合时，如图1-1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APE=45°②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；故答案为：45°，不变化.(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；故答案为：成立；(3)证明一：如图所示.过点作于点，于点.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴平分.∴.∴.∴.∵，∴.∴.∴.证明二：如图所示.过点作于点，延长交于点，连接.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴，∴.∴，.∴.又∵，∴.又∵，∴.∴.【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点10．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CN=25.【解析】【分析】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，先证明CQ=CE，再证明△FQD≌△FEA，根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ，再根据等腰三角形的性质即可得CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，证明四边形DFHP是矩形，继而证明△HPC≌△FMK，根据全等三角形的性质即可得CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，先证明得到FG=CG=GE，∠CGT=2α，再由FG是BC的中垂线，可得BG = CG，∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，再证明HN∥BG，得到四边形HGBN是平行四边形，继而证明△HNC≌△KGF，推导可得出HT=CT=TN ，由FH-HG=1，所以设GH=m，则BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，继而根据22222BC CN BN CE BE=-=-，可得关于m的方程，解方程求得m的值即可求得答案.【详解】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，∵矩形ABCD，AB∥CD，∴∠AEF=∠CQE，∠A=∠QDF，又∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF=∠CEF，∴∠CEF=∠CQE，∴CQ=CE，∵点F是AD中点，∴AF=DF，∴△FQD≌△FEA，∴EF=FQ，又∵CE=CQ，∴CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，∵CQ=CE ，CF⊥EF，∴∠DCF=∠FCE，又∵FD⊥CD，∴FM=DF，∵FG//AB，∴∠DFH=∠DAC=90°，∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°，∴四边形DFHP是矩形，∴DF=HP，∴FM= DF=HP ，∵∠CHG=∠BCE ，AD ∥BC ，FG ∥CD ，∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH ，又∵∠FMK=∠HPC=90°，∴△HPC ≌△FMK ，∴CH=FK ；(3)连接CN ，延长HG 交CN 于点T ，设∠DCF=α，则∠GCF=α，∵FG ∥CD ，∴∠DCF=∠CFG ，∴∠FCG=∠CFG ，∴FG=CG ，∵CF ⊥EF ，∴∠FEG+∠FCG=90°，∠CFG+∠GFE=90°，∴∠GFE=∠FEG ，∴GF=FE ，∴FG=CG=GE ，∠CGT=2α，∵FG 是BC 的中垂线，∴BG = CG ， ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，∵∠CHG=∠BCE=90°-2α，∠CHN=90°，∴∠GHN=∠FGK=∠BGT=2α，∴HN ∥BG ，∴四边形HGBN 是平行四边形，∴HG=BN ，HN=BG = CG =FG ，∴△HNC ≌△KGF ，∴GK=CN ，∠HNC=∠FGK=∠NHT=2α，∴HT=CT=TN ，∵FH-HG=1，∴设GH=m ，则BN=m ，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，∵GT=1122EN =，∴CN=2HT=11+2m ， ∵22222BC CN BN CE BE =-=-，∴2222(112)(42)(11)m m m m +-=+-+ ∴1176m =-(舍去)，27m =， ∴CN=GK=2HT=25.【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，三角形外角的性质等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试题

2020年人教版初中数学八年级下册第18章《平行四边形》单元综合测试题含答案

人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)单元测试卷3(含答案)

人教版数学八年级下册：第18章《平行四边形》同步测试题含答案

八年级初二数学下学期平行四边形单元达标测试综合卷检测

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试卷

人教版八年级下册数学 第18章 平行四边形 单元测试卷

八年级数学下册《第十八章-平行四边形》单元测试卷及答案(人教版)

人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)单元测试题(含答案)

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标专项训练检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试题

人教版八年级数学下册 第18章 《平行四边形》 单元测试卷(包含答案)

初中数学八年级下册《平行四边形》单元测试卷(整理含答案)

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试综合卷检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷学能测试试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试综合卷检测试题

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元综合模拟测评检测试题

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试综合卷学能测试

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试综合卷学能测试试题

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)单元测试卷3(含答案)

人教版八年级下册数学第18章平行四边形单元测试卷

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)单元测试题(含答案)

人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》单元测试卷(包含答案)