文科数学新课标高考总复习专项演练：第五章 平面向量 5-4

5-4A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →【解析】 因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点， 所以点M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →， 故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →. 【答案】 D2．(2016·广东“十校”第一次联考)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形【解析】 AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形．【答案】 D3．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 【解析】 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形． 【答案】 C4．已知点A (－2，0)、B (3，0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【解析】 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6. 【答案】 D5．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76π D.73π 【解析】 由题意知M ⎝⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫712π，－A ， 又OM →·ON →＝π12×712π－A 2＝0，∴A ＝712π.【答案】 B6．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________．【解析】 ∵AB →·AC →<0，∴∠BAC 为钝角， 又S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154.∴sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝150°.【答案】 150°7．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝________．【解析】 由物理知识知：f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0， 故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1，2)． 【答案】 (1，2)8．已知在平面直角坐标系中，O (0，0)，M (1，1)，N (0，1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1，0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．【解析】 ∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1，1)，ON →＝(0，1)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎨⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识， 当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3. 【答案】 39．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .【证明】 建立如图所示的直角坐标系，设A (a ，0)，则B (0，a )，E (x ，y )． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝⎛⎭⎫0，a 2. 又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a .∵AD →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2－(a ，0)＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2， OE →＝CE →＝⎝⎛⎭⎫a 3，23a ，∴AD →·CE →＝－a ×a 3＋23a ×a 2＝－13a 2＋13a 2＝0.∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值．(2)若AC →·BC →＝－1，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．【解析】 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)， BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴|AC →|＝（cos α－3）2＋sin 2 α＝10－6cos α，|BC →|＝10－6sin α.由|AC →|＝|BC →|得sin α＝cos α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝54π.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23>0.由于π2<α<3π2，∴3π4<α＋π4<π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－73.故tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－147.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2【解析】 由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错．当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.【答案】 D12．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】 先利用向量的加法法则求出AC →，再利用数量积坐标运算求解． 由四边形ABCD 为平行四边形， 知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)， 故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5. 【答案】 A13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3，1)， AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，1－m )．若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12.由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )． ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0， 可得m >－34.由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →.故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－34，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－34，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 14．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．【解析】 方法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)．∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →.∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )·DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】 515．如图所示，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M .已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．【解析】 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 化简得P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x . (2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得 y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m ＝－λ2y 2，整理，得λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2，所以λ1＋λ2＝－2－2m ⎝⎛⎭⎫1y 1＋1y 2＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m－4＝0.。