19.2.1矩形的判定课件 永靖九中 李茂霞

18.2.1 矩形的判定
永靖九中 李茂霞
1
1、理解并掌握矩形的判定方法。
2、能应用矩形定义、判定等知识，解 决简单的证明题和计算题。
2014年6月9日星期一
2
复习回顾
∟
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
四边形集合 平行四边形集合 矩形集合
ABCD AC = BD ∠A= ∠B= ∠C=90°
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ABCD 是矩形
四边形ABCD 是矩形
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方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
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4 3
2014年6月9日星期一
4 4 3 2724 .71
练习
2. 已知：平行四边形ABCD的AC、BD对角线相 交于O，三角形AOB是等边三角形，AB=4cm, 求这个平行四边形的面积。
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形
1 1 AC ∴AO= ， BO= BD 2 2
A O
D
∵OA=OB， ∴AC=BD ∴四边形 ABCD 是矩形。
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
边 角
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矩形
对边平行 对边相等 四个角都直角
互相平分且相等
5
对边平行 对边相等 对角相等 互相平分
对角线
试一试
• 四边形ABCD是矩形
D
O
C
1 若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝ 10 40° ㎝ OB=
A
B
5
㎝
2 若已知∠CAB=40°，则∠OCB= 50° ∠OBA= ∠AOB= 100° ∠AOD= 80° 28
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 19 2014年6月9日星期一 矩形；
例1：如图，M为平行四边形ABCD 边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
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10
㎝，
5
㎝，∠BDC＝
120°
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矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ABCD ∠A=900 四边形ABCD是矩形
2014年6月9日星期一
你还有其它的判定方法吗？
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如果四边形ABCD的对角线AC=BD, 这样的四边形是不是矩形?
A D AC=BD B A D AC=BD B
有两个角是直角
有三个角是直角
C D A
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的 四边形是矩形吗？
C D C
D
B
(有一个角是直角)
A B (有二个角是直角)
A
B
(有三个角是直角 ) 14
情境一：李芳同学用“边—
—直角、边——直角、边—— 直角、边”这样四步，画出了 一个四边形，她说这就是一个 矩形，她的判断对吗？为什么？
㎝
3 若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ 48 矩形的面积＝ ㎝2 4 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC=
12
㎝
6
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试一试
A
已知△ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠， BD是斜边AC上的中线
B
D
┓
C
1 若BD=3㎝则AC＝
6
㎝
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ BD＝
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
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已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° 求证：四边形ABCD是矩形。 D A 证明：∵ ∠A=∠B=90° ∴ ∠A+∠B=180° ∴AD∥BC B C 同理可证：AB∥CD
∟ ∟
∴四边形ABCD是平行四边形 又∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形
求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：∵AB∥CD ∴∠ABC＋∠BCD=180° ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形 EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形 ) 23 2014年6月9日星期一
书本：P55：1、2、
38 48 4
在 Rt△ABC 中 ∵AB=4, AC=2AO=8
B
C
∴S=AB BC= 4 4 3
2 2 2014年6月9日星期一
∴BC= 8 4 4 3
16 3 27.71(cm)25
应用举例：[P60:3]
A ┙
┖D
B
C
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有一个角是直角的平行四边形是矩形
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4、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、 BC和AD、CD分别相交于点B、D． 相等且互 相平分 ； （1）猜想AC和BD间的关系是______ （2）试用理由说明你的猜想．
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
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下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
X X X
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形; （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形；
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C
都 不 是 矩 形
9
C
如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？
A O D A D
O C B C 将AC同时向两边拉长，使AC=BD
B
现在的
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ABCD会是一个什么图形？
10
情境一：工人师傅为了检
验两组对边相等的四边形窗 框是否成矩形，一种方法是 量一量这个四边形的两条对 角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你 知道为什么吗？
自我诊断
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C） A 对角线相等 B 对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线 长是 5 cm 3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、 CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ C ） A 菱形 B 平行四边形 P A E F C 矩形 D 不能确定
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5、在平行四边形ABCD中,对角线AC BD相交于O,EF过O,且AF⊥BC, 求证:四 边形AFCE是矩形
A O E D
B
201我们学习了什么内容，你能总结吗？
谈一谈，今天你有何收获？
1.判定一个四边形是矩形的方法是： ABCD ∠A=90°
B
21
例3：已知，如图．矩形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分 别是AO、BO、CO、DO的中点， 求证：四边形EFGH是矩形．
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例4： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那 么这个四边形是矩形．
已知：如图， ABCD的四个内角的平 分线分别相交于E、F、G、H，
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
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命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。 求证：四边形ABCD是矩形。 A 证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS） B ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形
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∟
矩形的判定方法： 有三个角是直角的四边形是矩形 。
A D
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B
C
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你能归纳矩形的几种判定方法吗？
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
A
M
D
B
2014年6月9日星期一
C
要判定一个四 边形是矩形，通常 先判定它是平行四 边形，再根据平行 四边形构成矩形的 条件，判定有一个 角是直角或者对角 线相等。 20
例2：平行四边形ABCD,E是CD的中点, △ABE是等边三角形,
求证:四边形ABCD是矩形。
D
E C
A
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2014年6月9日星期一
D
C
∴四边形ABCD是矩形
12
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 AC=BD （或OA=OC=OB=OD）
A O D
∴四边形ABCD是矩形
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B
C
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有一个角是直角
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A
D
O
边
矩形对边平行且相等；