2007年普通高等学校招生全国统一考试(福建

2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1,2,3,4,5,}U =，且{2,3,4}A =，{1,2}B =，则()U A B ð等于A ．{2}B ．{5}C ．{3，4}D ．{2，3，4，5}2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于A ．4B ．8C ．16D ．323．Sin15°cos75°+cos15°sin105°等于A ．0B ．12CD ．1 4．“2x <”是“x 2-x-6<0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数sin(2)3y x π=+的图像 A ．关于点(,0)3π对称 B ．关于直线4x π=对称 C ．关于点(,0)4π对称 D ．关于直线3x π=对称6．如图在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 、H 分别是1111...AA AB BB BC 的中点，则异面直线EF 与GH所成的角等于A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°7．已知()f x 是R 上的减函数，则满足1()(1)f f x>的实数x 的取值范围是A ．（-∞,1）B ．(1,+∞)C ．(,0)(0,1)-∞D ．(,0)(1,)-∞+∞8．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是A ．若a ·b=0，则a=0或b=0B ．若λa=0，则0λ=或a=0C ．若a 2=b 2，则a=b 或a=-bD ．若a ·b=a ·c ，则b=c9．已知m 、n 是两条不同的直线，.αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确命题是A ．,,,m n a m n αββαβ⊂⊂⇒B ．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ．,m a m n n α⊥⊥⇒D ．,n m n m αα⊥⇒⊥10．以双曲线x 2-y 2=0的右焦点为圆心，且以其右准线相切的圆的方程是A ．x 2+y 2-4x-3=0B ．x 2+y 2-4x+3=0C ．x 2+y 2+4x-5=0D ．x 2+y 2+4x+5=011．已知对任意实数x ，有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且x>0时'()0,'()0f x g x >>，则x<0时A ．'()0,'()0f x g x >>B ．'()0,'()0f x g x ><C ．'()0,'()0f x g x <>D ．'()0,'()0f x g x <<12．某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后4位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为A ．2000B ．4096C ．5904D ．8320第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13．261()x x+的展开式中常数项是_________。

（用数字作答） 14．已知实数x,y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =-的取值范围是_________。

15．已知长方形ABCD ，AB=4，BC=3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_____。

16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等，如果集合A 中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a~a ；（2）对称性：对于a,b A ∈，若a~b ，则有b~a ；（3）传递性：对于a ，b ，c A ∈，若a~b,b~c ，则有a~c ，则称“~”是集合A 的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立），请你在列出两个等价关系：_______。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC 中，13tan ,tan 45A B ==。

（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABBC 边的长。

18．（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功地概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率。

19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点。

（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小。

20．本题主要考查函数的确良单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力，满分12分。

设函数22()21(,0)f x tx t x t x R t =++-∈>。

（Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；（Ⅱ）若h(t)<-2t+m 对(0,2)t ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

21．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,2(*)n n a a S n N +==∈。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T 。

22．（本小题满分14分） 如图，已知点F （0，1），直线l:x=-1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且Q PQ F F PF Q ⋅=⋅ 。

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M 。

①已知12,,MA AF MB BF λλ== 求12λλ+的值； ②求MA MB ⋅ 的最小值。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）试卷参考答案一、选择题：CCDAAB DBDBBC二、填空题：13．15 14．[-5,7] 15．1216．不唯一：“图形的全等”“图形的相似”“命题的充要条件”三、解答题17．解：221345(1)(),tan tan()11314530,4sin 1(2)tan ,sin cos 1,(0,)sin cos 4217sin ,sin sin sin C A B C A B C C A A A A A A A AB BC A BC AB C A Cππππ+=-+∴=-+=-=--⋅<<∴===+=∈⇒==∴=⋅= 18．解：设“甲第i 次试跳成功”为事件i A ，“乙第i 次试跳成功”为事件i B ，则：123123(1):()()()()0.30.30.70.063P A A A P A P A P A ==⨯⨯=(2)“甲、乙在第1次试跳中至少有一人成功”的事件为：C ，则：11()1()()10.30.40.88P C P A P B =-=-⨯=设“甲在2次试跳中成功i 次”为事件i M ，“乙在2次试跳中成功i 次”为事件i N ，则：12211021102122()()()()()0.70.30.40.70.60.40.3024P M N M N P M P N P M P N C C +=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=19．（2）20． 解：（1）23()()1f x t x t t t =+-+- ，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-， 即：3()1h t t t =-+-（2）令3()()(2)31,g t h t t m t t m =--+=-+--由2'()330g t t =-+=得1,1t t ==-（舍去负） ∴()g t 在（0，2）内有最大值(1)1g m =-()2h t t m <-+在（0，2）内恒成立等价于()0g t <在（0，2）内恒成立。

即等价于10m -<，所以1m >21．解：（1）111112,2,31n n n n n nS a S S S S a S +++=∴=∴=== 数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列：13(*)n n S n N -=∈当2n ≥时，2121,1223(2),{23,2n n n n n n a S n a n ---===⋅≥∴=⋅≥ （2）12323,n n T a a a na =++++ 当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323,n n T n -=+⋅+⋅++⋅ 12133436323,n n T n -=+⋅+⋅++122112242(333)231(12)3n n n n T n n ---∴-=-+++++-⋅=-+- 111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥，又当1n =时，上式也成立。

111()3(*)22n n T n n N -∴=+-∈22．解：（1）24y x =；（2）①120λλ+=，②最小值：16。