初中数学多解题型汇集

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初中数学题经典题型

初中数学题经典题型一、代数式求值代数式求值是初中数学的基本题型之一，也是中考数学必考题型。

这类题主要考察学生的运算能力和对基本公式的掌握程度。

以下是一些典型的代数式求值题目：1. 求代数式(2x+3)/(x+1)的值，其中x=4。

2. 求代数式(2x+1)/(x+3)的值，其中x=2。

3. 求代数式(x^2-1)/(x+1)的值，其中x=3。

二、方程求解方程求解是初中数学中非常重要的一个知识点，也是中考数学必考题型。

这类题主要考察学生的运算能力和对方程的掌握程度。

以下是一些典型的方程求解题目：1. 求方程2x+3=7的解。

2. 求方程3x-2=5的解。

3. 求方程4x+2=7的解。

三、不等式求解不等式求解是初中数学中的一个重要知识点，也是中考数学必考题型。

这类题主要考察学生的运算能力和对不等式的掌握程度。

以下是一些典型的不等式求解题目：1. 求不等式5x+3>7的解集。

2. 求不等式2x-1<9的解集。

3. 求不等式4x-5>=0的解集。

四、函数与图像函数与图像是初中数学中的一个难点和重点，也是中考数学必考题型。

这类题主要考察学生的数形结合能力和对函数的掌握程度。

以下是一些典型的函数与图像题目：1. 已知函数y=2x-1，求当x=3时y的值。

2. 已知函数y=-x+4，求当y=3时x的值。

3. 已知函数y=x^2，求当y=4时x的值。

五、三角形与四边形三角形与四边形是初中数学中非常重要的一个知识点，也是中考数学必考题型。

这类题主要考察学生的空间思维能力和对几何图形的掌握程度。

以下是一些典型的三角形与四边形题目：1. 求等边三角形的边长为10厘米时，其面积和周长分别是多少？2. 一个矩形长为6厘米，宽为4厘米，求其对角线的长度是多少？。

解三角形题型及解题方法初中

解三角形题型及解题方法（初中）在初中数学中，解三角形是一个重要的知识点，它涉及到三角形的性质、定义、概念、特点和规律等多个方面。

解三角形题型多样，解法灵活，需要掌握一定的方法和技巧。

下面我们将详细探讨解三角形的题型及解题方法，并通过具体的例子来加深理解。

一、三角形的概念与性质1. 三角形的概念三角形是由三条线段首尾顺次连接围成的平面图形。

这三条线段被称为三角形的边，相邻两边所夹的角被称为三角形的角。

2. 三角形的性质（1）三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时保持不变。

（2）三角形的内角和为180°。

（3）三角形具有边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）和角角边（AAS）等全等判定条件。

（4）三角形具有中线、高线、角平分线等重要的线段。

二、解三角形的常见题型1. 已知两边及夹角求第三边例1：在△ABC中，已知AB=5cm，AC=3cm，∠BAC=60°，求BC的长。

解法：利用余弦定理，有BC²= AB²+ AC²- 2 ×AB ×AC ×cos∠BAC= 5² + 3² - 2 × 5 × 3 × cos60°= 25 + 9 - 30 × 0.5= 34 - 15= 19所以，BC = √19cm。

技巧：当已知两边及夹角时，通常使用余弦定理求解第三边。

2. 已知三边求角例2：在△ABC中，已知AB=5cm，AC=3cm，BC=4cm，求∠BAC的度数。

解法：利用余弦定理，有cos∠BAC = (AB²+ AC²- BC²) / (2 ×AB ×AC)= (5² + 3² - 4²) / (2 × 5 × 3)= (25 + 9 - 16) / 30= 18 / 30= 0.6所以，∠BAC = arccos(0.6)。

初中数学解直角三角形题型大全

第11关解直角三角形（讲义部分）知识点1 解直角三角形1.已知一边一角（1）已知斜边和一锐角分别为A c ，，解法：,90A B ∠-=∠,sin A c a =A c B c b cos sin ==（2）已知一直角边和一锐角分别为A a ，，解法：,90A B ∠-=∠,tan B a b =A a c sin =2.已知两边（1）已知两直角边b a ,，解法：由baA =tan 求出A ∠,,90A B ∠-=∠ A bA a c cos sin ==（2）已知一直角边和斜边分别为c a ,，解法：由c aA =sin 求出A ∠，,90AB ∠-=∠A cB c b cos sin ==解直角三角形的关键是合理的选用边角关系，包括勾股定理、直角三角形的两个直角互余及锐角三角函数的概念.题型1 解直角三角形【例1】如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，cosC =，AC =（1）BC 的长；（2）sin ADC ∠的值．【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，cos C =， 45C ∴∠=︒，在Rt ACE ∆中，cos 1CE AC C ==， 1AE CE ∴==，在Rt ABE ∆中，1tan 3B =，即13AE BE =，33BE AE ∴==， 4BC BE CE ∴=+=；（2）AD 是ABC ∆的中线，122CD BC ∴==，1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥，DE AE =， 45ADC ∴∠=︒，sin ADC ∴∠．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．【例2】如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，CD =，3BD =．（1）求sin CBD ∠的值；（2）若3AB =，求AD 的长．【解答】解：（1）如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，在Rt CED ∆中，45,C CD ∠=︒，1CE DE ∴==，在Rt BDE ∆中，1sin 3DE CBD BD ∠==；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=︒， ∴四边形BEDF 是矩形，1DE BF ∴==， 3BD =，∴DF =2AF AB BF ∴=-=，∴AD =【点评】本题考查了锐角三角函数及矩形、等腰三角形的知识．构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数是解决本题的关键．【例3】如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，D 是AC 上一点，若1tan 3DBA ∠=．（1）求AD 的长；（2）求sin DBC ∠的值．【解答】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H ，ABC ∆为等腰直角三角形，90C ∠=︒，45A ∴∠=︒，8AC BC ==， AH DH ∴=，设AH x =，则DH x =1tan 3DBA ∠=， 3BH x ∴=， 4AB x ∴=，由勾股定理可知：ABx ∴=由勾股定理可得，4AD ==；（2）4AD =，4DC AC AD ∴=-=，由勾股定理得，DB =sinCD DBC BD ∴∠===【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．【例4】如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36α∠=︒，求长方形卡片的周长．（精确到1)mm （参考数据：sin360.60︒≈，cos360.80︒≈，tan360.75)︒≈【解答】解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．1801809090,90,36.DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=︒-∠=︒-︒=︒∠+∠=︒∴∠==︒根据题意，得24BE mm =，48DF mm =．在Rt ABE ∆中，sin BEABα=， ∴2440sin360.60BE AB mm ===︒在Rt ADF ∆中，cos DFADF AD∠=， ∴4860cos360.80DF AD mm ===︒．∴矩形ABCD 的周长2(4060)200mm =+=．【点评】本题考查矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．【例5】阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60D ∠=︒，AB =BC AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt ADE ∆，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2)．请回答：AD 的长为．参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形ABCD 中，1tan 2A =，135B C ∠=∠=︒，9AB =，3CD =，求BC 和AD 的长．【解答】解：（1）延长AB 与DC 相交于点E ，在ADE ∆中，90A ∠=︒，60D ∠=︒，30E ∴∠=︒．在Rt BEC ∆中，90BCE ∠=︒，30E ∠=︒，BC =2BE BC ∴==AE AB BE ∴=+==在Rt ADE ∆中，90A ∠=︒，30E ∠=︒，AE =tan 6AD AE E ∴=∠==．故答案为6；（2）如图，延长AB 与DC 相交于点E ．135ABC BCD ∠=∠=︒， 45EBC ECB ∴∠=∠=︒， BE CE ∴=，90E ∠=︒．设BE CE x ==，则BC =，9AE x =+，3DE x =+．在Rt ADE ∆中，90E ∠=︒，1tan 2A =，∴12DE AE =，即3192x x +=+， 3x ∴=．经检验3x =是所列方程的解，且符合题意，BC ∴=12AE =，6DE =，AD ∴=【点评】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【例6】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 和点D ，已知:2BD CD =（1）求ADC ∠的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15︒的值（结果保留根号）．【解答】解：（1）连接AD ，如图．设2BD k =，则CD =．DE 垂直平分AB ， 2AD BD k ∴==．在Rt ACD ∆中， 90C ∠=︒，cos CD ADC AD ∴∠===， 30ADC ∴∠=︒；（2）AD BD =， B DAB ∴∠=∠．30ADC ∠=︒，B DAB ADC ∠+∠=∠， 15B DAB ∴∠=∠=︒．在Rt ACD ∆中， 90C ∠=︒，∴AC k ．在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，∴tan 2AC B BC ===-∴tan152︒=-【点评】本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用已知条件和第（1）小题的结论是解决第（2）小题的关键．知识点2 解直角三角形综合题型2 解直角三角形综合【例7】如图，在同一平面内，两条平行高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速公路1l 成30︒角，长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．【解答】解：过B 点作1BE l ⊥，交1l 于E ，CD 于F ，2l 于G ．在Rt ABE ∆中，1sin302010BE AB km =︒=⨯=，在Rt BCF ∆中，cos3010BF BC =÷︒=，201sin30CF BF =︒==，(30DF CD CF km =-=，在Rt DFG ∆中，1sin30(30(152FG DF km =︒=⨯=，(25EG BE BF FG km ∴=++=+．故两高速公路间的距离为(25km +．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．【例8】如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离75OA =厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB AO ⊥，37AOB ACB ∠=∠=︒，且支架长OB 与桌面宽BC 的长度之和等于OA 的长度．求小桌板桌面的宽度BC ．（参考数据sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈【解答】解：延长CB 交AO 于点D ．CD OA ∴⊥，设BC x =，则75OB x =-，在Rt OBD ∆中，cos OD OB AOB =∠，sin BD OB AOB =∠， (75)cos370.8(75)600.8OD x x x ∴=-︒=-=-，(75)sin370.6(75)450.6BD x x x =-︒=-=-，在Rt ACD ∆中，tan AD DC ACB =∠，(450.6)tan370.75(0.445)0.333.75AD x x x x ∴=+-︒=+=+， 75AD OD OA +==，0.333.75600.875x x ∴++-=，解得37.5x =． 37.5BC ∴=；故小桌板桌面的宽度BC 约为37.5cm ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解．【例9】如图，望湖公园装有新型路灯，路灯设备由灯柱AC 与支架BD 共同组成（点C 处装有安全监控，点D 处装有照明灯），AC 与地面垂直，BC 为 1.5 米，BD 为 2 米，AB 为 7 米，60CBD ∠=︒，某一时刻，太阳光与地面的夹角为37︒，求此时路灯设备整体在地面上的影长为多少？（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75)︒≈【解答】解：如图，过点D 作光线的平行线，交地面于点G ，交射线AC 于点F ，过点D 作 DE AF ⊥于点E ，在Rt DBE ∆中， 60CBD ∠=︒， 30BDE ∴∠=︒， 2BD =，sin301BE BD ∴=︒=，cos30DE BD =︒，在Rt FED ∆中， 37AGF ∠=︒， 37EDF ∴∠=︒，tan37EF ED ∴=︒=， 7AB =，718AF AB BE EF ∴=++=++=． 33874+>，∴此时的影长为AG ．在Rt AFG ∆中，32tan373AF AG ==︒答：此刻路灯设备在地面上的影长为32(3米．【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数、三角形内角和定理，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．第11关解直角三角形（题册部分）【课后练1】如图，在Rt ABC ∆中，设a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，90C ∠=︒，8b =，A ∠的平分线AD =B ∠，a ，c 的值．【解答】解：90C ∠=︒，8b =，A ∠的平分线ADcos AC CAD AD ∴∠===30CAD ∴∠=︒， 60CAB ∴∠=︒， 30B ∴∠=︒，216c b ∴==，tan30b a ===︒，即30B ∠=︒，a =16c =．【课后练2】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与AB ，BC 分别交于点E 和点D ，且2BD AC =．（1）求B ∠的度数．（2）求tan BAC ∠（结果保留根号）．【解答】解：（1）连接AD ．DE 垂直平分线段AB ， DA DB ∴=， B DAB ∴∠=∠， 2BD AC =， 2AD AC ∴=， 90C ∠=︒， 30ADC ∴∠=︒，ADC DAB B ∠=∠+∠， 15B ∴∠=︒．（2）设AC a =，则2AD BD a ==，CD =，2BC a =+，tan 2BC BAC AC ∴∠==【课后练3】如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，5AC =，3cos 5C =，AD 是BC 边上的高线．（1）求AD 的长；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）AD BC ⊥，90ADC ADB ∴∠=∠=︒．在Rt ACD ∆中，5AC =，3cos 5C =， cos 3CD AC C ∴==， 4AD AC ∴=-=．（2）45B ∠=︒，90ADB ∠=︒，9045BAD B ∴∠=︒-∠=︒，B BAD ∴∠=∠，4BD AD ∴==， 114(43)1422ABC S AD BC ∆∴==⨯⨯+=．【课后练4】如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH 上，除D 点外，其他顶点均在矩形EFGH 的边上．50AB cm =，40BC cm =，55BAE ∠=︒，求EF 的长．参考数据：sin550.82︒=，cos550.57︒=，tan55 1.43︒=．【解答】解：在直角三角形ABE 中，50AB cm =，55BAE ∠=︒，sin 50sin55500.8241BE AB BAE ∴=∠=︒=⨯=．ABCD 是矩形，55CBF BAE ∴∠=∠=︒，∴在直角三角形BCF 中，40BC cm =，55CBF ∠=︒，cos 40cos55400.5722.8BF BC CBF ∴=∠=︒=⨯=．4122.863.8EF BE BF ∴=+=+=．所以EF 的长为63.8cm ．【课后练5】某片绿地形状如图所示，其中AB BC ⊥，CD AD ⊥，60A ∠=︒，200AB m =，100CD m =，求AD 、BC 的长．（精确到1m 1.732)≈【解答】解：如图，延长AD ，交BC 的延长线于点E ，在Rt ABE ∆中，200AB m =，60A ∠=︒，tan BE AB A ∴==，400cos60AB AE m ==︒，在Rt CDE ∆中，100CD m =，9030CED A ∠=︒-∠=︒，2200CE CD m ∴==，tan CD DE CED==∠，400227AD AE DE m ∴=-=-≈，200146BC BE CE m =-=-≈．答：AD 的长约为227m ，BC 的长约为146m ．【课后练6】如图，河的两岸1l 与2l 相互平行，A 、B 是1l 上的两点，C 、D 是2l 上的两点，某人在点A 处测得90CAB ∠=︒，30DAB ∠=︒，再沿AB 方向前进20米到达点E （点E 在线段AB 上），测得60DEB ∠=︒，求C 、D 两点间的距离．【解答】解：过点D 作1l 的垂线，垂足为F ，60DEB ∠=︒，30DAB ∠=︒，30ADE DEB DAB ∴∠=∠-∠=︒，ADE ∴∆为等腰三角形，20DE AE ∴==，在Rt DEF ∆中，1cos6020102EF DE =︒=⨯=， DF AF ⊥，90DFB ∴∠=︒，//AC DF ∴，由已知12//l l ，//CD AF ∴，∴四边形ACDF 为矩形，30CD AF AE EF ==+=，答：C 、D 两点间的距离为30m ．。

初中数学常见题型归纳

初中数学常见题型归纳数学是一门重要的学科，也是学生们学习过程中必不可少的一部分。

在初中阶段，学生们需要掌握各种数学题型，以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将对初中数学常见的几种题型进行归纳和总结，以帮助学生们更好地掌握数学知识。

一、等式方程题型等式方程题型是数学中的基础题型之一，包括一元一次方程、一元二次方程等。

通过解方程，可以找到未知数的值，从而得到满足等式的解。

例题：已知方程3x-5=7，求解x的值。

解析：将已知方程转化成标准形式，得到3x=7+5=12。

接下来，我们可以通过移项、合并同类项等方法解方程，最终得到x=4。

答案为4。

二、图形题型图形题型是初中数学中比较常见的一种题型，包括平面图形、立体图形的面积和体积计算等。

通过掌握图形的性质和计算公式，可以解决与图形相关的问题。

例题：一个矩形的长是5cm，宽是3cm，求其面积和周长。

解析：矩形的面积可以通过长乘以宽的方法计算，即5cm × 3cm = 15cm²。

矩形的周长可以通过将长度和宽度的两倍相加的方法计算，即2 × (5cm + 3cm) =16cm。

答案为矩形的面积为15cm²，周长为16cm。

三、比例和百分数题型比例和百分数是数学中的重要概念，特别是在解决与数量关系相关的问题时经常会用到。

通过掌握比例和百分数的换算关系和应用，可以解决许多实际问题。

例题：某商场举行打折活动，原价100元的商品打8折后，售价是多少？解析：打8折意味着原价的80%，所以售价为100元 × 80% = 80元。

答案为售价为80元。

四、数据分析题型数据分析题型是数学中的一种常见题型，包括统计图表的分析与应用。

通过分析和解读图表中的数据，可以得到有关数量和比例的信息。

例题：下表是某班级男女生人数的统计数据，请问男女生比例是多少？| | 男生 | 女生 ||-------|-----|-----|| 人数 | 20 | 30 |解析：男女生比例可以通过男生人数除以女生人数的方法计算，即20 / 30 = 2 / 3。

初中数学《二次函数》十大题型汇编含解析

二次函数【十大题型】【题型1 辨别二次函数】 (1)【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 (3)【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】 (4)【题型4 二次函数的一般形式】 (6)【题型5 求二次函数的值】 (7)【题型6 判断函数关系】 (9)【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】 (11)【题型8 列二次函数关系式(增长率)】 (14)【题型9 列二次函数关系式(循环)】 (15)【题型10 列二次函数关系式(销售)】 (16)知识点1：二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．【题型1 辨别二次函数】【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，yy一定是xx的二次函数的是（）A．yy=2aaxx2B．yy=2xx+aa2C．yy=2xx2−1D．yy=xx2+1xx【答案】C【分析】本题考查二次函数的识别，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．【详解】解：A，当aa=0时，yy=2aaxx2=0，不是二次函数，不合题意；B，yy=2xx+aa2，yy是xx的一次函数，不合题意；C，yy=2xx2−1，yy一定是xx的二次函数，符合题意；D，yy=xx2+1xx中含有分式，不是二次函数，不合题意；故选C．【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（）A．yy=2xx−1B．yy=√xx2−1C．yy=xx2−1D．yy=12xx【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如yy=aaxx2+bbxx+cc （aa、b、c为常数，aa≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A、函数yy=2xx−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、函数yy=√xx2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、函数yy=xx2−1是二次函数，故本选项符合题意；D、函数yy=12xx分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：C．【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（）（1）yy=3(xx−1)2+1；（2）yy=1xx2−xx；（3）SS=3−2tt2；（4）yy=xx4+2xx2−1；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2；（6）yy=mmxx2+8．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【详解】解：（1）yy=3(xx−1)2+1是二次函数，故符合题意；（2）yy=1xx2−xx，不是二次函数，故不符合题意；（3）SS=3−2tt2是二次函数，故符合题意；（4）yy=xx4+2xx2−1不是二次函数，故不符合题意；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2=6xx不是二次函数，故不符合题意；（6）yy=mmxx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；综上所述，二次函数有2个．故选：B．【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①yy=5xx−5；②yy=3xx2−1；③yy=4xx3−3xx2；④yy=2xx2−2xx+1；⑤yy=1xx2．其中是二次函数的是．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①yy=5xx−5为一次函数；②yy=3xx2−1为二次函数；③yy=4xx3−3xx3自变量次数为3，不是二次函数；④yy=2xx2−2xx+1为二次函数；⑤yy=1xx2函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．【题型2 由二次函数的定义求字母的值】【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数yy=(mm−1)xx mm2+1是二次函数，则mm=．【答案】−1【分析】根据定义得：形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa、bb、cc是常数，且aa≠0)的函数是二次函数，列方程可求得答案．【详解】解：依题意得：mm2+1=2且mm−1≠0，解得mm=−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc中，aa是常数，本题关键点为aa≠0．【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果yy=2xx|mm|+3xx−1是关于xx的二次函数，则mm=．【答案】±2【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义得出答案．【详解】解：∵yy=2xx|mm|+3xx−1是关于x的二次函数，∴|mm|=2，解得：mm=±2．故答案为：±2．【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数yy=(kk−1)xx kk2−kk+2+kkxx−1是关于x的二次函数，则kk=．【答案】0【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到kk−1≠0且kk2−kk+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值．【详解】解：根据题意，得kk−1≠0且kk2−kk+2=2，解得kk=0．故答案为：0．【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是．【答案】敏敏【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得|kk−1|=2，kk−3≠0，即可求解；理解定义：“一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc（a、b、c是常数，aa≠0）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．【详解】解：∵yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，∴|kk−1|=2，解得kk1=3，kk2=−1，又∵kk−3≠0，即kk≠3，∴kk=−1，故敏敏正确．【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数yy=(kk−1)xx2+kkxx−1（kk是常数）是二次函数，那么kk的取值范围是．【答案】kk≠1【分析】根据：“形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)，这样的函数叫做二次函数”，得到kk−1≠0，即可．【详解】解：由题意，得：kk−1≠0，∴kk≠1；故答案为：kk≠1．【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数yy=(mm2−mm)xx2+(mm−1)xx−2（m为常数）．(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．【答案】(1)mm=0；(2)mm≠1且mm≠0．【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题．【详解】（1）解：依题意mm2−mm=0且mm−1≠0，所以mm=0；（2）解：依题意mm2−mm≠0，所以mm≠1且mm≠0．【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，则aa的取值范围是（）A．aa≠1B．aa≠−1C．aa≠±1D．为任意实数【答案】C【分析】根据二次函数定义可得aa2−1≠0，解出答案即可．【详解】因为关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，∴aa2−1≠0，解得：aa≠±1．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)概念，熟练掌握二次函数定义是解题关键．【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8．若这个函数是二次函数，求mm的取值范围【答案】mm≠√2且mm≠-√2【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式mm2-2≠0，解不等式即可求得．【详解】解：∵函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8是二次函数，∴mm2-2≠0，解得mm≠±√2，故答案为：mm≠√2且mm≠-√2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．【题型4 二次函数的一般形式】【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数yy=xx2−3xx+5的二次项是，一次项系数是，常数项是．【答案】xx2−3 5【分析】根据二次函数的定义判断即可。

初中数学专题：根与系数的关系【十大题型】(举一反三)

专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．＜C．q是正数，p是负数D．【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【题型9 根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②-；③；④4x²+3x=5(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：、是一元二次方程的两个实数根，设，，．根据根的定义，有、，将两式相加，得，于是根据以上信息，解答下列问题．(1)求、的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出的值．(2)猜想：当时，、、之间满足的数量关系，并证明你的猜想．【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程有两实数根，，(1)若，求k的值．(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则．【变式10-3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程有两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)若方程的两实根为，且满足，求k的值．(3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值．专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【答案】D【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴，，∴a＜0，b＜0，∴∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【答案】【分析】由题意可得，，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，∵，∴，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出，是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由根的定义可得，代入即可得答案．【详解】∵，，∴．故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【答案】A【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，，由一元二次方程根的定义可得，，即可求解；【详解】和是方程的两个根，，，，，故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程的两个不相等的实数根，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，，，，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得，，，，，，原式，，，=．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c 为常数，）的两根为，，则，．（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【答案】【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出，，代入，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程的两根为∴解得：，∵∴代入，得：解得：∵∴【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【答案】【分析】设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得到，解得，然后分别计算，最后确定．【详解】解：设方程的两根分别为，，∵方程的两个实数根互为相反数，，∴，解得，当，方程变为：，＜，方程没有实数根，所以舍去；当，方程变为：，＞，方程有两个不相等的实数根；∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则；．也考查了一元二次方程的根的判别式：当＞，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当＜，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，，∵，∴，即，∴，∴，解得或，又∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：的两根分别为，，则，，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程中，可得：，∵a、b、c是的三条边的长，∴，，．，即，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是，两根的积是，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大．【详解】=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵，∴方程有异号两实数根．∵，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝﹣﹣4×＞0，整理得：，即，根据乘法法则得：或，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：，所以，依题意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据，，可得，结合，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵，，∴又∵，∴，解得：，综上，的取值范围为：．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到．【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【答案】【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出，，由可得出，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，，解得：，，，，，，，，即，当时，解得（舍去）；当时，解得，又，的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合，找出关于a的不等式是解题的关键．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0，∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==．故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n ＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴+﹣=====﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【答案】A【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：，，看作以上方程的两个不同的根，即是方程的两根，故，即故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根，设，根据方程的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程的一个根为m，设方程另一根为n，∴，解得：，设，方程（）（）变形为，由一元二次方程的根可得，，，∴，，∴，，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根。

初中数学一题多变一题多解(一)

“一题多变”（一）一、“一题多变”的作用：在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练，可以提高学生学习数学的积极性，增强学习数学的兴趣：1、新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。

2、习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。

3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变，对知识进行重组，自己将题目中的问题或某一条件进行改变，对已学知识进行重组，探索出新知识，解决新问题。

不就题论题，能多思多变。

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

二、“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、变换题型；3、深化条件，保留结论；4、减弱条件，加强结论；5、探讨命题的推广；6、考查命题的特例；7、生根伸枝，图形变换；8、接力赛，一变再变等等。

三、一题多变，挖掘习题涵量：1、变换命题的条件与结论即通过对习题的条件或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。

这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。

例1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。

求证：∠BEC=90°．变换1：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。

求证：CE⊥BE．变换2：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE．, E是AD中点．求证：BC=AB+CD．变换3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD, CE⊥BE．判断E是AD中点吗？为什么？变换4：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，CE⊥BE．求证：AE=ED．2、变换题型即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。

初中数学经典题型

初中数学经典题型有很多，以下列举了一些常见的题型及其解答方法：
1. 整式运算问题：这类问题主要涉及到整式的加减法和乘法运算。

例如，求两个多项式的差，或者求一个多项式的平方根等。

解决方法是熟练掌握整式的运算法则，例如去括号法则、合并同类项法则等，同时注意运算的顺序和符号的处理。

2. 一次函数问题：这类问题涉及到一次函数的图像和性质，例如函数的增减性、函数的定义域和值域等。

解决方法是通过图像和性质图来理解函数的特点，同时运用函数的性质来解决实际问题。

3. 几何问题：几何问题是初中数学的重要部分之一，包括三角形、四边形、圆等图形的性质和计算。

例如，求三角形的内切圆半径，或者求圆的周长等。

解决方法是通过画图、观察和测量，结合图形的性质来解决问题。

4. 最值问题：这类问题涉及到求最大值和最小值的问题，例如求二次函数的最值，或者求实际问题的最优化方案等。

解决方法是通过建立数学模型，运用函数的性质、不等式的性质等方法来求解。

5. 方程问题：方程问题是初中数学的核心部分之一，包括一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等。

例如，求方程的解，或者通过方程来求解实际问题等。

解决方法是通过解方程来找到答案，同时注意方程的解法和应用范围。

这些经典题型涵盖了初中数学的主要知识点，通过解决这些题目，可以更好地理解和掌握数学概念和公式，提高解题能力和应用能力。

同时，也可以通过练习这些题目来提高自己的数学素养和思维能力。

请注意，以上回答仅列举了一些常见的初中数学经典题型，实际上初中数学还有许多其他类型的题目，需要根据具体情况和学生的能力来选择合适的题目进行训练。

初中数学-解分式方程100题

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（2）去分母得：1+3y﹣6=y﹣1，解得：y=2，经检验 y=2 是增根，分式无解．
20．解方程：（1） ﹣ =0
（2）
．
【解答】解：（1）去分母得：2x﹣x+2=0，解得：x=﹣2，经检验 x=﹣2 是原方程的根；（2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4，解得：x=﹣2，经检验 x=﹣2 是增根，分式方程无解．
3．解分式方程：（1） = ；
（2） + = ．
4．解方程：（1） +3=
（2） ﹣ =1．
5．解方程（1） + =2
（2） =1﹣ ．
6．解分式方程：
（1）
=8．
第 1 页（共 30 页）
（2）
．
7．解方程
（1）
=1
（2） =2﹣ ．
8．解方程：（1） + =1
（2） + = ．
9．解方程：（1）
50．解方程：（1） ﹣1= ．
（2） + =2．
第 7 页（共 30 页）
解分式方程 100 题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 40 小题）
1．解方程：
（1） ﹣1=
；
（2） =1﹣ ．
【解答】解：（1）去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，去括号得：2x﹣2x+x+2=3，解得：x=1，经检验 x=1 时，分母为 0，方程无解；（2）去分母得：2x=x﹣2+1，解得：x=﹣1，经检验 x=﹣1 是分式方程的解．
（2）
．
38．解方程求 x：（1） ﹣ =1

初中数学题型方法全归纳陈吉

初中数学题型方法全归纳陈吉全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初中数学题型方法全归纳，对于很多初中生来说可能是一个让人头疼的问题。

只要掌握了一些基本的方法和技巧，就能轻松地解决各种数学题型。

本文将为大家总结归纳初中数学常见的题型和解题方法，希望能帮助大家提高数学解题能力。

我们来看看初中数学题型的分类。

初中数学题型大致可以分为代数、几何、概率统计和数学运算四大类。

代数题型包括方程、不等式、函数、二元一次方程组等内容；几何题型包括平面几何和空间几何两个方面；概率统计题型主要是关于事件的几率和统计学方法等；数学运算则是关于四则运算、分数、百分数、比例等基本运算法则。

针对不同类型的题目，我们可以采取不同的解题方法。

下面我们就分别介绍一下这四大类题型的解题技巧。

一、代数题型1. 方程题型：对于一元一次方程，可以采用逆运算法则解题，即将方程中的未知数移到等式的左边，常数移到右边；对于一元二次方程，可以采用配方法解题，将方程化成完全平方三角形的形式再进行解答。

2. 不等式题型：不等式的解法也是多种多样，可以通过代入法、画图法等方法进行求解。

首先要将不等式化简成标准形式，然后再根据具体情况来选择合适的解法。

3. 函数题型：函数题目主要考察函数的性质和图像特点，可以通过绘制函数图像、求解函数的最值等方法来解题。

4. 二元一次方程组：对于二元一次方程组，可以采用代入法、消元法、加减法等方法来解题。

首先要确定方程组的类型，然后再选择合适的解法来求解。

二、几何题型1. 平面几何：对于平面几何的题目，可以通过画图、利用几何性质、定理等方法来解题。

首先要仔细阅读题目，理清关系，然后再进行计算。

2. 空间几何：空间几何题目主要是涉及到三维几何空间的问题，可以通过投影、立体几何性质等方法来解答。

对于空间几何题目，需要具备较强的几何直观和空间想象力。

三、概率统计题型1. 概率题目主要是通过计算事件的几率来解题，可以通过排列组合、互斥事件、条件概率等方法来求解概率题目。

初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析

一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。

初中数学一题多变一题多解(二)

一题多解一题多变（二）1、一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。

这方面的例子很多，尤其是几何证明题。

已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。

练习：把此题适当变式:变式在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。

变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?2、一题多变，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。

一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。

例如：已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。

初中数学解直角三角形的应用题型大全

第12关解直角三角形的应用（讲义部分）知识点1 坡角、坡度题型1 坡角、坡度【例1】如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，求AC 的长度．【解答】解：过点B 作BD AC ⊥于D ，根据题意得：23060()AD cm =⨯=，18354()BD cm =⨯=，斜坡BC 的坡度1:5i =， :1:5BD CD ∴=，5554270()CD BD cm ∴==⨯=，27060210()AC CD AD cm ∴=-=-=． AC ∴的长度是210cm ．答：AC 的长度为210cm ．【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题，难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．【例2】在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m 长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，//AD BC ，坝高10m ，迎水坡面AB 的坡度53i =，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度56i =．（1）求原方案中此大坝迎水坡AB 的长（结果保留根号）；（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7m ，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米？【解答】解：（1）过点B 作BF AD ⊥于F ．在Rt ABF ∆中，53BF i AF ==，且10BF m =．6AF m ∴=，AB =．答：此大坝迎水坡AB 的长是；（2）过点E 作EG AD ⊥于G ．在Rt AEG ∆中，56EG i AG ==，且10EG BF m ==12AG m ∴=， 6AF m =，6BE GF AG AF m ∴==-=，如图，延长EC 至点M ，AD 至点N ，连接MN ，方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．ABE CMND S S ∆=梯形，∴11()22BE EG MC ND EG =+ 即BE MC ND =+．6 2.7 3.3()DN BE MC m =-=-=．答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3m ．【点评】本题考查直角三角形应用，（1）过点B 作BF AD ⊥于F ，在直角三角形ABF 中从而解得AF ，AB 的长度；（2）作辅助线，由ABE CMND S S ∆=梯形，解方程组得到ND ．【例3】如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=︒，在距A 点10米处有一建筑物HQ ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=︒，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下HD 长的人行道，问人行道HD 的长度是( )米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：1.414≈ 1.732)≈A ．2.7B ．3.4C ．2.5D ．3.1【解答】解：根据题意可知：90CBA ∠=︒，45CAB ∠=︒， 45ACB ∴∠=︒， 10AB CB ∴==， 10AH =，设DH x =，则10AD AH DH x =-=-，20BD AD AB x ∴=+=-，在Rt DCB ∆中，30CDB ∠=︒，tan30BCBD∴︒=，即1020x =-，解得 2.7x ≈．所以人行道HD 的长度是2.7米．故选：A ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角．【例4】小明想测量一棵树的高度，他发现树影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30︒，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为米．【解答】解：延长AC 交BF 延长线于D 点，则30CFE ∠=︒，作CE BD ⊥于E ，在Rt CFE ∆中，30CFE ∠=︒，4CF m =，2CE ∴=（米)，4cos30EF =︒=)，在Rt CED ∆中，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，2CE =（米)，:1:2CE DE =，4DE ∴=（米)，12BD BF EF ED ∴=++=+)在Rt ABD ∆中，11(126)22AB BD ==+=（米)．故答案为：6)+．【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB 的影长．知识点2 俯角、仰角题型2 俯角、仰角【例5】如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60︒，又从A 点测得D 点的俯角β为30︒，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为( )A ．20米B ．米C ．米D ．【解答】解：点G 是BC 中点，//EG AB ，EG ∴是ABC ∆的中位线， 230AB EG ∴==米，在Rt ABC ∆中，30CAB ∠=︒，则tan 30BC AB BAC =∠== 如图，过点D 作DF AF ⊥于点F ．在Rt AFD ∆中，AF BC ==则tan 10FD AF β===米，综上可得：301020CD AB FD =-=-=米．故选：A ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．【例6】如图，某电信公司计划修建一条连接B 、C 两地的电缆．测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30︒、45︒，在B 处测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200m ，求电缆BC 的长．（结果可保留根号）【解答】解：过B 点分别作BE CD ⊥、BF AD ⊥，垂足分别为E 、F ．设BC xm =． 60CBE ∠=︒，12BE x ∴=，CE =．200CD =，200DE x ∴=．200BF DE ∴==，12DF BE x ==．45CAD ∠=︒， 200AD CD ∴==．12002AF x ∴=-．在Rt ABF ∆中，2002tan 3012002BF AF x ︒==-，解得1)()x m =．答：电缆BC至少200)m【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．【例7】如图，小山顶上有一信号塔AB ，山坡BC 的倾角为30︒，现为了测量塔高AB ，测量人员选择山脚C 处为一测量点，测得塔顶仰角为45︒，然后顺山坡向上行走100米到达E 处，再测得塔顶仰角为60︒，求塔高AB1.73≈1.41)≈【解答】解：依题意可得：30AEB EAB ∠=∠=︒，15ACE ∠=︒，又AEB ACE CAE ∠=∠+∠ 15CAE ∴∠=︒，即ACE ∆为等腰三角形， 100AE CE m ∴==，在Rt AEF ∆中，60AEF ∠=︒，cos6050EF AE m ∴=︒=，sin 60AF AE =︒=，在Rt BEF ∆中，30BEF ∠=︒，tan3050BF EF ∴=︒==，58AB AF BF ∴=-==≈（米)．答：塔高AB 大约为58米．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．【例8】某学校门前一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度DE 为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离CD 不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机A 与斑马线前后两端的视角FAE ∠、FAD ∠的大小分别为15︒和30︒，司机距车头的水平距离BC 为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？(E 、D 、C 、B 四点在平行于斑马线的同一直线上．)（参考数据：tan150.27︒≈，sin150.26cos150.97︒≈︒︒≈ 1.73≈ 1.41)≈【解答】解：15FAE ∠=︒，30FAD ∠=︒，15EAD ∴∠=︒， //AF BE ，15AED FAE ∴∠=∠=︒，30ADB FAD ∠=∠=︒， EAD AED ∴∠=∠， 4AD DE ∴==米．在直角三角形ADB 中，30ADB ∠=︒，cos30 3.46BD AD ∴=︒=≈米，3.460.8 2.662CD BD BC ∴=-≈-=>米，故该旅游车停车符合上述安全标准．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，其中涉及到平行线的性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数的定义，根据题意找出符合条件的直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答是解决本题的关键．知识点3 方向角题型3 方向角方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西45°（西南方向），北偏西45°（西北方向）.【例9】如图，已知B 港口位于A 观测点东偏北67︒（即67)DAB ∠=︒方向，且B 到A 观测点正东方向的距离BD 长为46海里，一艘货轮从B 港口以40海里/h 的速度沿45ABC ∠=︒的BC方向航行．现测得货轮C 处位于A 观测点东偏北82︒（即82)DAC ∠=︒方向，求此时货轮C 到AB 之间的最短距离（精确到0.1海里）．（参考数据：sin670.92︒≈，cos670.39︒≈，tan67 2.36︒≈，sin820.99︒≈，cos820.14︒≈．tan827.12︒≈，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27)︒≈【解答】解：过C 作CH AB ⊥于H ，在Rt ABD ∆中，46BD =，67BAD ∠=︒，4650sin 670.92BD AB ∴===︒，45ABC ∠=︒， CH BH ∴=， 82DAC ∠=︒， 15CAB ∴∠=︒，设CH BH x ==，tan150.27CH xAH ∴==︒， 500.27xx ∴+=，解得：10.6x ≈，∴货轮C 到AB 之间的最短距离是10.6海里．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据已知构造直角三角形得出BH 的长是解题关键．【例10】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，在景区道路CD 的C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，另一端B 位于北偏东45︒方向，又测得AC 为100米，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）．（参考数据：27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【解答】解：过C 作CE AB ⊥于E ，如图所示：则90CEA CEB ∠=∠=︒，由题意得：42ACE ∠=︒，45BCE ∠=︒，BCE ∴∆是等腰直角三角形， BE CE ∴=，sin AE ACE AC ∠=，cos CEACE AC∠=， 27sin 4210067.540AE AC ∴=⨯︒≈⨯=（米)，3cos42100754CE AC =⨯︒≈⨯=（米)，75BE CE ∴==米，67.575142.5143AB AE BE ∴=+=+=≈（米)；答：木栈道AB 的长度为143米．【点评】本题考查解直角三角形-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【例11】如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A 、B 两艘巡船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A ．B 两船相距1)海里，船C 在船A 的北偏东60︒方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75︒方向上．已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在去营救的途中有1.41≈， 1.73)≈【解答】解：如图，作CE AB ⊥，由题意得：45ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，设AE x =海里，在Rt AEC ∆中，tan 60CE AE =︒=；在Rt BCE ∆中，BE CE =．1)AE BE x ∴+=+=，解得：100x =． 2200AC x ==．在ACD ∆中，60DAC ∠=︒，75ADC ∠=︒，则45ACD ∠=︒．过点D 作DF AC ⊥于点F ，设AF y =，则DF CF ==，200AC y ∴=+=，y=，解得：1)∴==≈海里，DF1)126.29>，126.29100所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．第12关解直角三角形的应用（题册部分）【课后练1】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡比为41:3i =的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m【解答】解：水平距离为4m ，坡比为41:3i =， ∴铅直高度为3434m ⨯=．根据勾股定理可得：5()m ．故选：A ．【课后练2】水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ．如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，60B ∠=︒，背水坡面CD 的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED ，CE 的长为8米．（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度．【解答】解：（1）分别过A 、D 作AF BC ⊥，DG BC ⊥，垂点分别为F 、G ，如图所示．在Rt ABF ∆中，16AB =米，60B ∠=︒，sin AFB AB=，∴在矩形AFGD 中，16AF ==（米)，DG =米 11822DCE S CE DG ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=（平方米）需要填方：150⨯=；（2）在直角三角形DGC 中，DC =24GC ∴=米， 32GE GC CE ∴=+=米，坡度:324i DG GE ===．【课后练3】如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30︒，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60︒，已知小敏同学身高()AB 为1.6m ，则这棵树的高度为( )（结果精确到0.1m 1.73)≈．A ．3.5mB ．3.6mC ．4.3mD ．5.1m【解答】解：设CD x =，在Rt ACD ∆中，CD x =，30CAD ∠=︒，则tan30::CD AD x AD ︒==故AD ，在Rt CED ∆中，CD x =，60CED ∠=︒，则tan60::CD ED x ED ︒==故ED x ，由题意得，4AD ED -=，解得：x =则这棵树的高度 1.6 5.1m =+≈．故选：D ．【课后练4】如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60︒角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30︒，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）．【解答】解：过点A 作AH CD ⊥，垂足为H ，由题意可知四边形ABDH 为矩形，30CAH ∠=︒， 1.5AB DH ∴==，6BD AH ==，在Rt ACH ∆中，tan CHCAH AH∠=， tan CH AH CAH ∴=∠，tan 6tan306CH AH CAH ∴=∠=︒==)， 1.5DH =，1.5CD ∴=，在Rt CDE ∆中，60CED ∠=︒，sin CDCED CE∠=，(4sin60CDCE ∴==︒（米)，答：拉线CE 的长为(4+米．【课后练5】某校数学兴趣小组假期实地测量南淝河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的南岸边点A 处，测得河的北岸边点C 在其东北方向，然后向南走20米到达点B 处，测得点C 在点B 的北偏东30︒方向上．（1）求ACB ∠的度数；（2）求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据： 1.41≈ 1.73)【解答】解：（1）如图，延长CA 于点D ，交直线CE 于点D ，则BD CD ⊥， 90CDB ∴∠=︒，根据题意可知：45ACD ∠=︒，30BCD ∠=︒， 15ACB CAD B ∴∠=∠-∠=︒；（2）45ACD ∠=︒，30BCD ∠=︒，20AB =， ∴在Rt ACD ∆中，AD CD =，在Rt CBD ∆中，tan BD ADBCD CD AD AB∠==+，20ADAD =+，解得27()AD m ≈．答：这段河的宽度约为27米．【课后练6】很多交通事故是由于超速行驶导致的，为集中治理超速现象，高速交警在距离高速路40米的地方设置了一个测速观察点，现测得测速点A 的西北方向有一辆小型轿车从B 处沿西向正东方向行驶，2秒钟后到达测速点A 北偏东60︒的方向上的C 处，如图．（1）求该小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是多少千米/时（精确到1千米/时）？（参考数据： 1.4 1.7)≈（2）我国交通法规定：小轿车在高速路行驶，时速超过限定速度10%以上不到50%的处200元罚款，扣3分：时速超过限定速度50%以上不到70%的处1500元罚款，扣12分；时速超过限定时速70%以上的处1500元罚款，扣12分．若该高速路段限速120千米/时，你认为该小轿车驾驶员会受到怎样的处罚．【解答】解：（1）过A 作AD BC ⊥于D ，由题意得，40AD m =，45BAD ∠=︒，60CAD ∠=︒，40BD AD ∴==，CD ==40BC BD CD ∴=+=+∴197/km h ≈；（2）19712064%120-=，50%64%70%<<，∴处1500元罚款，扣12分．。

初中数学解方程题型

初中数学解方程题型
初中数学中，解方程是一个重要的知识点，常见题型包括以下几种：
1. 一元一次方程：这是最基础的方程类型，形式为 ax + b = 0（其中
a≠0）。

解这类方程可以直接得出 x = -b/a（当a≠0），或者无解（当
a=0且b≠0）。

2. 一元二次方程：形式为 ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0）。

解这类方程需要使用公式法或因式分解法。

3. 分式方程：这种方程中包含分式，需要先找公分母，然后去分母转化为整式方程，再进行求解。

4. 绝对值方程：形式为 x = a 或 x = a（其中a是一个实数）。

解这类方程需要考虑x的绝对值，可能需要分段讨论。

5. 含有根号的方程：形式为√a = x 或 a = x^2（其中a是一个非负实数）。

解这类方程需要使用直接开平方法或配方法。

6. 不等式方程：这种题型要求解出满足某些不等关系的未知数。

通常需要使用比较法、因式分解法或不等式的性质进行求解。

7. 代数方程组：这种题型包含两个或更多个未知数，需要使用消元法或代入法求解。

解方程的方法和技巧比较多，学生需要根据具体的方程类型选择合适的方法进行求解。

同时，需要注意解题的步骤和格式，确保解题过程规范、准确。

初中数学几何题型全解

初中数学几何题型全解几何是数学中一个非常重要的分支，也是初中数学的重点内容之一。

在初中阶段，学生需要掌握各种几何题型的解题方法和技巧。

本文将为大家详细介绍初中数学几何题型的全解方法。

一、线段的长1. 给定两点A（x1, y1）和B（x2, y2），求线段AB的长度。

解答：根据两点间的距离公式，线段AB的长度等于√[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。

二、直线与角的关系2. 如果两条线段相交，那么它们所对应的相邻的两对内角互补。

解答：设直线L1和L2相交于点O，那么∠AOB和∠COB是相邻的内角，它们的和等于180°。

三、三角形的性质3. 三角形的内角和等于180°。

解答：对于三角形ABC，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

4. 三角形三边的关系。

解答：对于三角形ABC，设AB=c, BC=a, AC=b，那么有以下三条关系：- c < a + b- a < b + c- b < a + c5. 等腰三角形的性质。

解答：等腰三角形的底边上的两个角相等，底边的中线也是高和角平分线。

6. 直角三角形的性质。

解答：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。

四、相似三角形7. 两个三角形对应角相等，那么它们相似。

解答：设∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z，那么△ABC ∽△XYZ。

8. 相似三角形的边长比例。

解答：设△ABC ∽△XYZ，那么有以下边长比例关系：- AB/XY = BC/YZ = AC/XZ五、圆的性质9. 圆的周长公式。

解答：设圆的半径为r，则圆的周长等于2πr。

10. 圆的面积公式。

解答：设圆的半径为r，则圆的面积等于πr²。

11. 弧长的计算。

解答：设圆的半径为r，弧度为α（α为弧所对的圆心角的度数），则弧长等于α × r。

初中数学题型归纳整理

初中数学题型归纳整理考试前，尤其是⾯临重要考试时，做好数学知识点的总结归纳很有必要。

那么初中数学题型归纳整理有哪些?请看看下⽂。

初中数学题型归纳⼀、计算题：科学计数法、倒数相反数绝对值、简单概率运算、三视图求原图⾯积、三⾓形(相似、全等、内⾓外交关系)、统计(众数、中位数、平均数)、⼆次函数(顶点、对称轴、表达式)、函数图像关系⼆、填空题：因式分解、⼆次函数解析式求解、三⾓形(相似、周长⾯积计算)、坐标(坐标点运动规律)、直线和反⽐例函数图像问题三、解答题：次⽅、开⽅、三⾓函数、次幂(0次、-1次)计算; 求解不等式组; 分式、多项式化简(整体代⼊⽅法求值); ⽅程组求解; ⼏何图形中证明三⾓形边相等; ⼀次函数与⼆次函数; 四、解答题四边形边长、周长、⾯积求解; 圆相关问题(切割线、圆周⾓、圆⼼⾓); 统计图; 在数轴中求三⾓形⾯积; 五、解答题⼆次函数(解析式、直线⽅程); 圆与直线关系; 三⾓形⾓度相关计算; 总体来说中考题，题⽬多，需要熟练掌握相关的知识点，快速做题。

近些年北京中考数学题型都⽐较固定、难度适宜，需要在正确率⽅⾯留⼼，对于三⾓形、四边形⾯积计算知识板块要⾼度重视。

初中数学解题技巧 1.对数学考试成功的标志要有明确的认识初中⽣⾝经⽆数次的数学考试，有成功也有失败，有考顺之时，也有别扭之⽇。

那么什么是数学考试成功的标志呢?有⼈说是分数，有⼈说是名次，还有⼈讲只有超过某⼈才算……其实数学考试分数也有绝对值和相对值，绝对值是拿你⾃⼰的数学考试分数与及格线、满分线等⽐较的结果。

相对值是将你⾃⼰的数学考试分数放在个⼈、班级、年级、全市等参照系中衡量其相对位置的结果。

正是由于选择的参照系不同，有的同学越⽐信⼼越⾜，越⽐⼲劲越⼤，越⽐越乐观;⽽有的同学则越⽐越没信⼼，越⽐对⾃⼰越怀疑，越⽐热情越低。

我的观点是，数学考试成功的标志有两条：⼀是，只要将⾃⼰的⽔平正常发挥出来了，就是⼀次成功的数学考试。

初中数学题型解析

初中数学题型解析一、常见的初中数学题型解析在初中数学学习中，我们经常会遇到各种各样的题型，有些题目看似复杂，但只要掌握了一定的解题技巧，就能迎刃而解。

下面就来解析一些常见的初中数学题型。

1. 代数方程题代数方程题是初中数学中常见的题型之一，通常需要用代数方法来解决。

在解这类题目时，首先要根据题目中的条件设立方程，然后通过化简和运算得出未知数的值。

例如：已知方程2x + 3 = 7，求x的值。

解：将方程化简为2x = 4，然后除以2得出x = 2。

2. 几何题几何题是初中数学中另一个重要的题型，需要运用几何知识和推理能力来解决。

在解这类题目时，要注意画图、运用几何定理和性质。

例如：已知△ABC中，AB = BC，∠ABC = 90°，求∠BAC的度数。

解：由已知条件可知△ABC为等腰直角三角形，所以∠BAC =45°。

3. 概率题概率题是初中数学中较为抽象和难以理解的题型之一，需要运用概率知识和计算能力来解决。

在解这类题目时，要注意列出样本空间、事件的可能性和计算概率。

例如：已知一个骰子，求掷出奇数点数的概率。

解：掷出奇数点数的可能性为1、3、5，共3种，而骰子共有6个面，所以概率为3/6 = 1/2。

二、解题技巧和方法在解决初中数学题目时，除了掌握各种题型的解题方法外，还需要注意以下解题技巧和方法：1. 仔细阅读题目，理清题意，确定解题思路。

2. 善于画图，利用图形辅助理解和解决问题。

3. 注意化简和整理，避免计算错误和混淆概念。

4. 多做练习，熟练掌握各种题型的解题方法和技巧。

5. 学会总结和归纳，形成自己的解题思路和方法。

通过不断的练习和总结，相信大家在初中数学学习中能够取得更好的成绩，掌握更多的解题技巧和方法。

希望以上内容对大家有所帮助，祝大家学习进步！。

初中数学数学题型整理

初中数学数学题型整理初中数学是学生们接触的第一门专业课程，其中包含了多种不同类型的数学题型。

本文将对初中数学中常见的数学题型进行整理和讲解，希望能够对学生们的学习有所帮助。

一、整数与有理数1. 整数加减整数加减题型是最基础的数学题型之一。

例如：计算下列各式的值：(-5) + 8，(-12) - 6。

2. 整数乘除整数乘除题型要求学生熟练掌握整数的乘法和除法规则，例如：计算下列各式的值：(-3) × 4，(-16) ÷ (-8)。

3. 有理数的加减乘除有理数包括正数、负数和零。

学生需要掌握有理数的加减乘除规则，例如：计算下列各式的值：(-3.2) + 4.6，(-5.7) × 2.3。

二、代数与方程1. 代数式的展开与因式分解学生需要掌握代数式展开与因式分解的方法，例如：将3(x + 2y)展开为3x +6y，将20x^2y^3 + 12xy^2分解为4xy(5xy^2 + 3)。

2. 一元一次方程一元一次方程是初中数学中最基础的方程类型，例如：解方程2x + 5 = 15，3(x - 4) = 6。

3. 一元二次方程一元二次方程是初中数学中较为复杂的方程类型，例如：解方程x^2 + 3x + 2 = 0，2x^2 - 5x - 3 = 0。

三、几何1. 三角形的性质学生需要掌握三角形内角和为180°的性质，以及等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的性质。

2. 圆和圆的相关性质学生需要了解圆的直径、弦、切线等基本概念，并掌握圆周角、弧长等相关性质。

3. 直角三角形的性质及定理学生需要掌握勾股定理和正弦定理、余弦定理等与直角三角形相关的定理。

四、函数1. 函数的定义与性质学生需要理解函数的定义，掌握函数的性质，例如：奇函数的性质，偶函数的性质。

2. 函数的图像与性质学生需要能够根据函数的定义绘制函数的图像，并了解函数的单调性、极值等性质。

五、概率与统计1. 投掷硬币与骰子的概率学生需要掌握事件发生的概率计算方法，例如：投掷一枚硬币正面朝上的概率是多少，掷一个骰子，点数是3的概率是多少。

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初中数学多解题型汇集
一、圆的多解题型
1、平面上一点到圆的最大距离、最小距离分别是6和2，求圆的直径。

（分点在圆内和圆外两种情况，直径是6+2或6-2）
2、圆的两条弦长6和8，半径5，求两条弦的距离。

（分弦在圆心的同旁和两旁两种情况，距离是4+3或4-3）
3、半径是4的圆中，长是4的弦所对的圆周角是多少度？（分弦所对的优弧和劣弧对的圆周角两种情况，度数是30或150）
4、相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。

（分内切、外切两种情况，圆心距是6-4或6+4）
5、相交两圆半径分别是25和39，公共弦长30，求圆心距。

（分两圆心在公共弦的同旁和两旁两种情况，是36-20或36+20）
6、三角形ABC的外接圆半径是4，BC=4，求角A的度数。

（分圆心在三角形内部和外部两种情况，是30度或150度)
二、数的多解题型
1、a的相反数是本身，b的倒数是本身，则a-b的值是多少？（倒数是本身的数有1和-1，结果是-1或1）
2、平方是本身的数是_____(是0或1）
3、a的立方根是2，a的平方根是几？（正数的平方根都有两个，是正负2根号2）
4、a、b的平方相等，a+2=3，b-2的差是几？（平方相等的数要么相等要么互为相反数，b 是1或-1，差是-1或-3）
5、绝对值是5的数与平方根是3的数的和是几？（绝对值是正数的数有两个，和是8或-2）
6、数轴上，与表示2的点距离等于6的点表示的数，是倒数等于1.5的数的多少倍？（距离是6的点表示的数是原数加上6或减去6，结果是-6倍或12倍）
三、三角形的多解题型
1、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求顶角。

（分锐角三角形和钝角三角形两种情况，顶角30或150）
2、等腰三角形两边长5和6，求周长。

（两边分别是腰和底两种情况，得周长16或17）
3、直角三角形两边长3和4，求第三边。

（第三部边是斜边、直角边两种情况，是5或根号7）
4、三角形的一个30角对的边为5，一条邻边是8，求面积。

（分锐角三角形和钝角三角形两种情况，面积是2（4根号3+3）或2（4根号3-3）
5、等腰三角形一个角是另一个角的2倍，求底角。

（有底角大于顶角和底角小于顶角两种情况，底角是72或45）
6、画图找出到三角形三边距离相等的点。

（分形内形外两种情况，有4个点：内角平分线交点一个，外角平分线交点3个）
四、四边形的多解题型
1、平行四边形ABCD中，AB=6，E是直线AB上的一点，BE=2，DE交AC于F，求AF与FC的比。

（点E可在B点的左和右，比值是2:3或4:3）
2、平行四边形ABCD中，AB=5,BC边上高AE=3，CE=2，求BC。

（点E可在C点的左和右，BC=6或2）。