八年级上册数学已知三边作三角形 (1)
(人教版)八年级数学上册《三角形》
(人教版)八年级数学上册《三角形》
《三角形》是人教版八年级数学上册的一个单元，主要内容包括三角形的性质、三角形的分类、三角形的面积等。
该单元主要包含以下几个知识点：
1. 三角形的性质：
- 三角形的定义：三条线段两两相交于三个不同的点，就构成一个三角形。
- 三角形的元素：顶点、边、角。
- 三角形的内角和公式：三角形的内角和等于180度。
- 三角形的外角和公式：三角形的外角等于其对应内角的补角。
2. 三角形的分类：
- 三角形的根据边长分类：
* 等边三角形：三边相等。
* 等腰三角形：两边相等。
* 普通三角形：三边都不相等。
- 三角形的根据角度分类：
* 直角三角形：一个角为90度。
* 钝角三角形：一个角大于90度。
* 锐角三角形：三个角都小于90度。
3. 三角形的判定：
- 判断三边能否构成三角形的条件：三边的任意两边之和大于第三边的长度。
- 判断三角形的种类：根据边长和角度的条件，可以判断三角形的种类。
4. 三角形的面积：
- 三角形的面积计算公式：面积等于底边长度乘以高的一半。
- 海伦公式：根据三角形的三边长度，可以通过海伦公式计算三角形的面积。
通过学习《三角形》这个单元，学生将能够掌握三角形的基本概念、性质和分类，了解三角形的三个重要元素，能够判断三边是否构成三角形，能够计算三角形的面积。
同时，还能够通过解决生活中的实际问题，运用所学知识解决问题，培养逻辑思维和解决问题的能力。
初中数学冀教版八年级上册第十三章 全等三角形13.4 三角形的尺规作图-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】下列关于尺规作图的语句错误的是（）．A. 作，使B. 以点为圆心作弧C. 以点为圆心，线段的长为半径作弧D. 作，使【答案】B【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出结论．【解答】作弧不仅需要确定圆心，还需要确定半径，B选项错误.选B.2.【答题】已知三边作三角形时，用到所学知识是( )A. 作一个角等于已知角B. 作一个角使它等于已知角的一半C. 在射线上取一线段等于已知线段D. 作一条直线的平行线或垂线【答案】C【分析】根据三边做三角形用到作一条线段等于已知线段的基本作图方法．【解答】已知三边作三角形时，用到的三角形的判定方法是SSS定理，而第一条边的作法，需要在射线上截取一条线段等于已知的线段。
故C。
方法总结：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的三边作图，用的是SSS判定定理。
3.【答题】已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为( )A. 作一条线段等于已知线段B. 作一个角等于已知角C. 作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D. 先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角【答案】D【分析】利用基本作图先要作一个线段等于已知线段，再作一个角等于已知角或先作一个角等于已知角，然后便于作边．【解答】已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形，可以先A法，也可以先B法，但是都不全面，因为这两种方法都可以，故选D.。
4.【答题】利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（）A. 已知三条边B. 已知三个角C. 已知两角和夹边D. 已知两边和夹角【答案】B【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．【解答】A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形；B、不正确，已知三个角可画出无数个三角形；C、正确，符合ASA判定；D、正确，符合SAS判定.选B.方法总结：此题主要考查由已知条件作三角形，可以依据三角形全等的判定来做.5.【答题】用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A. 三角形的两条边和它们的夹角B. 三角形的三边C. 三角形的两个角和它们的夹边D. 三角形的三个角【答案】A【分析】由已知条件可判定已知条件为两边和它们的夹角作三角形．【解答】由已知条件可判定已知条件为两边和它们的夹角作三角形．选A.6.【答题】已知∠AOB，用尺规作一个角∠A’O’B’等于已知角∠AOB的作图痕迹如图所示，则判断∠AOB=∠A’O’B’所用到的三角形全等的判断方法是（）A. SASB. ASAC. AASD. SSS【答案】D【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS得到三角形全等，由全等三角形的性质，可得全等三角形的对应角相等．【解答】如图，连接CD、C’D’，∵在△COD和△C’O’D’中，∴△COD≌△C’O’D’(SSS)，∴∠AOB=∠A’O’B’选D.7.【答题】用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是( )A. 作一个角等于已知角B. 作已知直线的垂线C. 作一条线段等于已知线段D. 作角的平分线【答案】C【分析】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．【解答】已知三边作三角形实质就是把三边的长度用圆规画出，选C.8.【答题】一个角的平分线的尺规作图的理论依据是( )A. SASB. SSSC. ASAD. AAS【答案】B【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．【解答】连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∵ ON=OM ，NC=MC，OC=OC ，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，选B.9.【答题】如图,小敏做试题时,不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分,她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形,然后粘贴在上面,她作图的依据是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AAS【答案】C【分析】图中的三角形已知一条边以及两个角，利用全等三角形的判定（ASA）可作图．【解答】根据图形，可以确定两角及其夹边.选C.10.【答题】根据下列已知条件,能唯一画出△ABC的是( )A. ∠A=36°,∠B=45°,AB=4B. AB=4,BC=3,∠A=30°C. AB=3,BC=4,CA=1D. ∠C=90°,AB=6【答案】A【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理及三角形三边关系即可．【解答】A.∠A=36°,∠B=45°,AB=4,利用原理“ASA”可以画出唯一的三角形；B、C、D都不能唯一的作出三角形.选A.11.【答题】利用基本作图方法,不能作出唯一三角形的是( )A. 已知两边及其夹角B. 已知两角及其夹边C. 已知两边及一边的对角D. 已知三边【答案】C【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．【解答】A. 已知两边及其夹角,作图依据“SAS”；B. 已知两角及其夹边，作图依据“ASA”；C. 已知两边及一边的对角，不能做出唯一的三角形；D. 已知三边，作图依据“SSS”.选C.12.【答题】已知三边作三角形,用到的基本作图是( )A. 作一个角等于已知角B. 作已知直线的垂线C. 作一条线段等于已知线段D. 作一条线段等于已知线段的和【答案】C【分析】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．【解答】已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“SSS”.故用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段.选C.13.【答题】已知：∠AOB作法：（1）作射线O'A'.（2）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D.（3）以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O’A'于C'．（4）以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'．（5）经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角．这个作图是（）A. 平分已知角B. 作一个角等于已知角C. 作一个三角形等于已知三角形D. 作一个角的平分线【答案】B【分析】这个作图题属于基本作图中的作一个角等于已知角．【解答】选：B ．14.【答题】如图所示，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，是（）．A. 以点为圆心，为半径的弧B. 以点为圆心，为半径的弧C. 以点为圆心，为半径的弧D. 以点为圆心，为半径的弧【答案】D【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠AOB 即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答．【解答】根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．选D.方法总结：本题主要考查了作图-基本作图，解题的关键是熟习作一个角等于已知角的方法．15.【答题】下列各条件中，能作出唯一的△ABC的是( )A. AB＝4，BC＝5，AC＝10B. AB＝5，BC＝4，∠A＝40°C. ∠A＝90°，AB＝10D. ∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝5【答案】D【分析】要能做出唯一三角形，则需要已知三边，两边及夹角，两角及夹边，【解答】本题中A选项中的三边不能确定三角形，B选项中不是夹角，C选项中缺少一个条件，选D.16.【答题】已知点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN∥OA，作图痕迹如图所示.下列对弧FG的描述，正确的是( )A. 以点C为圆心，OD的长为半径的弧B. 以点C为圆心，OM的长为半径的弧C. 以点E为圆心，DM的长为半径的弧D. 以点E为圆心，CE的长为半径的弧【答案】C【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠AOB 即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答．【解答】解：根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，根据作一个角等于已知角的作法，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．选C.17.【答题】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是 ( )A.B.C.D.【答案】B【分析】过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边，判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得出∠A′O′B′=∠AOB.【解答】作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OB、OA于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′A′，所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；理由：在△OCD与△O′C′D′中，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS，选B.18.【答题】下列选项所给条件能画出唯一的是（）A. ，，B. ，，C. ，D. ，，【答案】A【分析】要能做出唯一三角形，则需要已知三边，两边及夹角，两角及夹边，【解答】A中两角夹一边，形状固定，所以可作唯一三角形；B中∠B并不是AB，AC的夹角，所以可画出多个三角形；C中两个锐角也不确定，也可画出多个三角形；D中AC与BC两边之差大于第三边，所以不能作出三角形，选A.19.【答题】用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是( )A.B.C.D.【答案】D【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．【解答】A、由图示可知应用了垂径定理作图的方法，所以CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； B、由直径所对的圆周角是直角可知∠BDC=90°，所以CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； C、根据相交两圆的公共弦被连接两圆的连心线垂直平分可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．选D.方法总结：本题主要考查尺规作图，能正确地确定作图的步骤是解决此类问题的关键.20.【答题】一个角的平分线的尺规作图的理论依据是( )A. SASB. SSSC. ASAD. AAS【答案】B【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．【解答】解：连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∵，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，选B.。
2.6用尺规作三角形课件湘教版数学八年级上册
感悟新知
作法与图示如下：
作法 ①作线段BC=a ② 以点C 为圆心，以b 为半
径画弧，再以点B 为圆心， 以c 为半径画弧，两弧相 交于点A ③ 连接AB 和AC，则△ ABC 为所求作的三角形
图示
知1－讲
感悟新知
为所求作的等腰三角形
图示
知2－讲
感悟新知
知2－讲
特别解读
1. 作图依据：等腰三角形的三线合一. 2. 作图思路：运用“作一条线段等于已知线段”和
“作线段的垂直平分线”的基本作图方法.
感悟新知
知2－练
例2 已知线段m， 如图2.6-5， 求作△ ABC， 使AC=
BC，且AB=m，AB 边上的高CE= 1 m. 2
AB=a，AC=2a，∠ A= ∠α .
方法点拨 用尺规作图的一般步骤： 第一步：分析已知，确定求作类型. 第二步：确定作图思路. 第三步：依次叙述作图过程并作图. 第四步：下结论.
感悟新知
解：(1)作∠ MAN= ∠α ； (2)在射线AM，AN 上分别截取AB=a，AC=2a； (3)连接BC，则△ ABC 就是所求作的三角形， 如图2.6-15所示.
∠ α ，∠ ECB= ∠β ，BD 与CE 相交于点A,则△ ABC 为所求作的三角形
图示
知6－讲
感悟新知
知6－讲
特别解读 1. 作图依据：全等三角形的判定方法“ASA”. 2. 已知两个角和其中一个角的对边不能直接作三角
形，要将已知条件先转化为已知两个角和它们的 夹边，然后作三角形.
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知识点 4 作一个角等于已知角
新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题已知三边作三角形教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题已知三边作三角形教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题已知三边作三角形，主要介绍了如何利用已知的两边和它们之间的夹角，求解第三边的长度，从而判断是否能构成一个三角形。
本节课的内容是学生进一步理解三角形的基本性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念，如三角形的内角和定理，以及一些基本的几何图形的性质。
但学生对于解决实际问题的能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解三角形两边之和大于第三边的性质。
2.学会利用已知两边和它们之间的夹角，求解第三边的长度。
3.能够判断给定的三条边是否能构成一个三角形。
4.提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形两边之和大于第三边的性质，以及如何利用这个性质解决实际问题。
2.教学难点：如何判断给定的三条边是否能构成一个三角形，以及如何求解第三边的长度。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题，掌握三角形的性质。
2.利用几何画板等教学工具，直观地展示三角形的性质，帮助学生更好地理解。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示三角形的性质和实际问题。
2.准备几何画板等教学工具，用于展示和解释三角形的性质。
3.准备一些实际的例子，用于让学生练习和巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何判断三条边是否能构成一个三角形。
例如，给出两个已知边长为3和4的直角三角形，让学生判断是否能通过这两个三角形拼成一个大的三角形。
2.呈现（10分钟）利用PPT和几何画板，呈现三角形的性质，解释为什么三角形的两边之和大于第三边。
通过直观的展示，让学生更好地理解这个性质。
湘教版八年级上册数学精品教学课件 第2章 三角形 用尺规作三角形 第1课时 已知三边作三角形
例1 已知线段 a，b 和 m，求作△ABC，使 BC = a，
AC = b，BC 边上的中线 AD = m，作法合理的顺序依
次为
( A)
① 延长 CD 到点 B，使 BD = CD；② 连接 AB；
③ 作△ADC，使 DC = 1 a，AC = b，AD = m.
2
A. ③①② B. ①②③ C. ②③① D. ③②①
A
B
CM
二 已知底边及底边上的高线作等腰三角形 画一画：如图，已知线段 a，h．
求作△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h．
思考：
·a ·
① 所作的图形是什么？满足哪些条件？ · h
·
② 根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？
底边 BC = a ③ 如何作底边上的高？底边上的高在什么线上？
问题2 自己画一条线段，利用尺规作图的原理，作出 这条线段的垂直平分线.
思考：我们前面所学的几何图形中除了线段之外，还 有角、三角形等，那么你是否也能利用尺规来按要求 作出相应的图形或全等的图形呢？
讲授新课
一 已知三边作三角形 根据三角形全等的判定条件，已知三边、两边
及其夹角、两角及任何一边，都可以确定唯一的一 个三角形.
三个孔的中心 C.
2. 如图，△ABC 是三边均不相等的三角形，DE = BC， 以 D，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三 角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画 4 个.
A
B
CD
E
课堂小结
三角形作图
根据条件 作三角形
作角平分线
已知三边作三角形
已知底边及底边上 的高作等腰三角形
↑(应用)
新湘教版八年级数学上册2.1.1三角形(第1课时)
A
C
B
底角 底角 底边
C
（3 ）三条边都相等的三角形叫作等边三角形 (或正三角形)。等边三角形是特殊的等腰三角 形——腰和底边相等的等腰三角形。
A
B
C
＝
1.小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念的是 （ C ）
A B C D
2.找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来. 【解析】图中有5个三角形.分别是：
(3) 在一个三角形中，任意两边之差与第三边的长度之 间有怎样的大小关系？为什么.
请同学们自己在本子上任意画一个三角形，量出三边的长， 再用任意两边的差与第三边比较，得出什么样的结论？
A
利用你发现的规律填空
AC-AB
BC-AB
＜ ＜ ＜
BC,
AC, AB,
B
三角形的三边关系：
C
BC-AC
（2）三角形的任意两边之差小于第三边.
A
6.三角形的边与角的关系:
B
C
(1)对边与邻边：一般情况下，我们把边BC叫作A的对边，AC，
AB叫A的邻边；边AC叫B的对边，AB，BC叫B的邻边；你能说
出C的对边及邻边吗？ C对边是AB，邻边是BC，AC. (2)对角与邻角：一般情况下，我们把A叫作边BC的对角， B , C叫作边BC的邻角； B叫作边AC的对角， A ， C叫作边
△ABE，△DEC， △BEC，
△ABC，△DBC。
（1）某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边（如图）. 可是，每年冬天小学生在麦田里就会走出一条小路来.你 说小学生为什么会这样走呢？
田
两点之间 线段最短
村 庄
麦
学 校
(2) 在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之 间有怎样的大小关系？为什么.
2022秋八年级数学上册第2章三角形2.1三角形1三角形三边的关系授课课件新版湘教版
感悟新知
知1－练
1．如图，以CD为公共边的三角形是__△__C_D__F_与__△__B_C__D__； ∠EFB是__△__B_E_F__的内角；在△BCE中，BE所对的角 是_∠__B__C_E__，∠CBE所对的边是____C_E___；以∠A为公 共角的三角形有__△__A_B_D__，__△__A_C__E_和__△__A_B__C__.
知2－导
感悟新知
知2－讲
1.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形，在等腰 三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的 夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
2.等边三角形三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)， 等边三角形是特殊的等腰三角形。
3.易错警示：(1)等腰三角形中有关边角的名称与三角形的摆放 位置无关；(2)等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角， 而底角只能是锐角.
n＋8，3n，则满足条件的n的值有( D ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
感悟新知
知3－练
3. 已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的 第三边的长x的取值范围是___3_c_m__<_x_<_1_3__c_m__． 解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应 大于已知两边之差且小于已知两边之和，所 以3 cm<x<13 cm.
感悟新知
知1－讲
例 1 如图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是 ( C)
导引：按三角形的定义进行判断.观察每一个选项中的 图形，A，B，D中的三条线段都没有首尾顺次相接
感悟新知
总结
知1－讲
判断三角形的条件：①三条线段，②不在同一条直线 上，③首尾顺次连接三者必须同时满足，否则不是三角形.
八年级上册数学 三角形三边关系-命题与证明
三角形中的边角关系、命题与证明【学习目的】①理解与三角形有关的基本概念②命题与证明考点一：三角形中的边角关系►知识点拨：1.三角形中的有关概念（1）三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.用符号“△”表示.（2）三角形的顶点、边和角：①边的表示；②角的表示；③对边、对角的概念.2.三角形按边的关系分类（1）不等边三角形：三条边互不相等；②等腰三角形：有两条边相等的三角形；（2）等边三角形：三条边都相等的三角形（等腰三角形的特例）3.三角形的三边关系：三角形中任何两条边的和大于第三边，两边的差（绝对值）小于第三边.4.三角形中角的关系（1）按角分类：①直角三角形；②斜三角形：锐角三角形和钝角三角形.（2）三角形的内角和等于180 .注意：①用Rt△ABC表示直角三角形；②任意一个三角形最多有三个锐角；最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角；③任何三角的最大内角不能小于60 ，最小内角不能大于60 .5.三角形中的几条重要线段（1）角平分线：角平分线把角分成两个相等的角.（三条角平分线的交点就是三角形的外心）（2）中线：三角形一顶点与它对边中点的线段叫中线.（三条中线的交点就是三角形的重心）（3）高线：三角形一顶点与它对边所在直线的垂线段叫三角形的高线.注意：三角形的中线所分得的两个三角形的面积相等.6.定义：能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.例1：如图所示，以点A为顶点的三角形共有（）A.6个B.7个C.8个D.9个A.20或16B.20C.60D.以上都不对例3：若四条线段的长分别为2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，则可以构成三角形的个数有（）A.1 B.2 C.3 D.4A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定例5：如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A.BA=2BFB.2∠ACE=∠ACBC.AE=BED.CD⊥BE例6：下列属于定义的是（）A.两点确定一条直线B.两直线平行，同位角相等C.三角形的高、角平分线和中线都是线段D.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形基础训练1、如图所示，AB＝AC，BE＝CD，AD＝BD＝DE＝AE＝CE，则图中共有个等腰三角形，有个等边三角形.第1题图第3题图第4题图2、一个等腰三角形中，一边长为9cm，另一边长为5cm，则等腰三角形的周长是.3、如图，AD、BE、CF分别是△ABC的高、中线、角平分线.则△ADC的高、中线、角平分线分别是.4、如图，图中以AB为边的三角形的个数是（）A.3B.4C.5D.6A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.不能确定6、三角形的两边长分别为3，8，则第三边长为（）A.5B.6C.3D.117、以下各组长度的线段为边，组成的三角形是（）A.2、3、5B.3、3、6C.5、8、2D.4、5、68、设三角形的三边长分别为2，9，1-2a，则a的取值范围是（）A.3<a<5B.-5<a<3C.-5<a<-3D.不能确定9、三角形的内角和等于（）A.90B.180C.300D.36010、在△ABC中，若∠A=54 ，∠B=36 ，则△ABC是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形11、当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为（）A.30°B.50°C.80°D.100°12、三角形的角平分线、中线和高（）A.都是射线B.都是直线C.都是线段D.都在三角形内13、如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A.②和③B.③和④C.①和④D.仅有③14、下面四个命题中属于定义的是（）A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.有两条边相等的三角形叫等腰三角形D.内错角相等强化训练1.在△ABC中，如果∠A:∠B:∠C=1：2：3，则△ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.如图，AE是△ABC的中线,D是BE上一点,若BE=5，DE=2，则CD的长为（）A.7B.6C.5D.43.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）4.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A.3cm，4cm，8cmB.8cm ，7cm，15cmC.5cm ，5cm，11cmD.13cm ，12cm，20cm5.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40 ，∠AED=60 ，则∠A的度数是（）A.100 B.90 C.80 D.70第5题图第7题图第8题图6.一个三角形的两边长为8和10，则它的最短边a的取值范围是．7.如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的平分线.（1）若∠B=47°，∠C=53°，则∠DAE=度；（2）若∠B=α，∠C=β(α<β)，则∠DAE=度.（用α、β含的代数式表示）8.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是．9.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_____.10.如图，在△ABC中，∠A=40 ，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=_____.11.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.(1)若∠ABE=15 ，∠BAD=40 ，求∠BED的度数；(2)在△BED 中，作BD 边上的高；(3)若△ABC 的面积为40，BD=5，求△BDE 中BD 边上的高为多少?12.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC ＝50°，∠C ＝70°，求∠DAC ，∠BOA.能力提升1.各边长度都是正整数且最大边长为8的三角形共有个.2.三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且(a -b-c)∙(b-c)＝0，则此三角形为________三角形．3.如图所示，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12=∆ABC S ，则图中阴影部分面积是_____.4.如图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且24cm S ABC =∆，则阴影S 等于 （ ）5.如图，用钢筋做支架，要求BA 、DC 相交所成的锐角为32 ，现测得∠BAC=∠DCA=115 ，则这个支架符合设计要求吗?为什么?6.设三角形的三条边为整数a 、b 、c 且c b a ≤≤，当b=4时，符合条件的a 、b 、c 的取值若下表：（1）将表格补充完整；（2）满足条件的三角形共有多少个?其中等腰三角形有多少个?等边三角形又有多少个? 考点二：命题与证明例1：下列语句不是命题的是（）A.直角都等于90 B.对顶角相等 C.互补的两个角不相等 D.作线段AB例2：把下例命题改写成“如果......那么.....”的形式，并分别指出它们的题设和结论.(1)整数一定是有理数；(2)同角的补角相等；(3)两个锐角互余.例3：写出下列命题的逆命题，并判断真假（1）两直线平行，同位角相等；（2）若a=0，则a b=0；（3）对顶角相等.例4：请举反例说明命题“对于任意实数x ，552++x x 的值总是正数”是假命题，你举的反例是_____（写出一个的值即可）.例5：在下列证明中，填上推理依据：如图，CD ∥EF ，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB.例6：如图，在△ABC 中，∠ABC=66 ，∠ACB=54 ，BE 、CF 是两边AC 、AB 上的高，它们交于点H.求∠ABE 和∠BHC 的度数.基础训练1、下列语句中，不是命题的是 （ ） A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.不是对顶角的两个角不相等D.过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线2、下列命题中，是真命题的是 （ ） A.三角形的一个外角大于任何一个内角 B.三角形的一个外角等于两个内角之和 C.三角形的两边之和一定不小于第三边D.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心3、“两条直线相交只有一个交点”的题设是 （ ）A.两条直线B.相交C.只有一个交点D.两条直线相交4、已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A.2kB.15C.24D.425、如图，下列说法中错误的是（）A.∠1不是△ABC的外角B.∠B＜∠1+∠2C.∠ACD是△ABC的外角D.∠ACD＞∠A+∠B第5题图第6题图第7题图6、一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A.165B.120C.150D.1357、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°8、命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”的题设是，结论是，它的逆命题是.9、完成以下证明，并在括号内填写理由：已知：如图所示∠1=∠2，∠A=∠3.求证：AC∥DE.证明：因为∠1=∠2，所以AB∥．（）所以∠A=∠4．（）又因为∠A=∠3，所以∠3=.（）所以AC∥DE. （）10、将下列命题改写成“如果......那么......”的形式，并分别指出命题的题设与结论：（1）直角都相等；（2）末位数字是5的整数能被5整除；（3）同角的余角相等.11、分析下列所举反例的正确性，若不正确，请写出正确的反例.（1）若|x|=|y|，则x=y；反例：取x=3，y=-3，则|x|=|y|，所以此命题是假命题；（2）两个锐角的和一定是钝角；反例：取∠1=30°，∠2=100°，则∠1+∠2=130°，不符合命题的结论，所以此命题是假命题；（3）若|a|=a，则a>0.12、如图，已知AC∥DE，∠1=∠2.求证：AB∥CD.13、如图，在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=∠DCE=36°，求∠BEC的度数.14、如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，，则△ABC 是直角三角形吗？为什么？强化训练1.如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于点P.若∠A ＝50°，则∠BPC的度数是（）A.150B.130C.120D.1002.如图，从①∠1=∠2；②∠C=∠D；③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3第2题图第6题图3.一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则这个三角形三个内角之比是（）A.5:4:3B.4:3:2C.3:2:1D.5:3:14.能说明命题“对于任何实数a ，a a ->”是假命题的一个反例可以是 （ ）A.a =-2B.31=a C. a =1 D.2=a 5.下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若b a =，则b a =；④若0=x ，则022=-x x .它们的逆命题一定成立的有 （ ）A.①②③④B.①④C.②④D.②6.如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35 ，∠ACE=60 ，则∠A= （ ）A.35B.95C.85D.757.如图，在△ABC 中，∠B=40 ，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=.8.直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的锐角的度数是.9.写出命题“如果b a =，那么b a 33=”的逆命题：.10.如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交AD 于E.若∠C ＝60°，∠BED ＝54°，求∠BAC 的度数.11.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，交BC 的延长线于D 点，若∠B=30°，∠ACD=100°， 求∠DAE 的度数．12.如图，D是△ABC内的任意一点.求证：∠BDC=∠1+∠A+∠2.13.用两种方法证明“三角形的外角和等于360 ”.如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 .证法1： ，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180⨯ 3=540 .∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 -（∠1+∠2+∠3）.，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 -180 =360 .请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.能力提升1.如图，∠A+∠B+∠C+∠D=.2.观察下列各式：想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？设n 表示正整数，用关于n 的代数式表示这个规律：_______×_______=_______+________.3.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD=12BC ．2224,24;1139393,3;22224164164,4;33335255255,5.4444⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=（1）求证：∠BAC=90°；（2）直接运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为4.如图在△ABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于E、F.（1）求证：AE=CF（2）是否还有其他结论，不要求证明（至少2个）。
人教版八年级数学上册(RJ) 期末复习专题：三角形及其性质
专题三角形及其性质☞解读考点☞2年中考【题组】（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）1．A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C．【解析】试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．考点：三角形三边关系．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，2．则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．考点：三角形的外角性质．3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D．考点：三角形的外角性质．4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a （a＞0）【答案】A．【解析】试题分析：A．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D．∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．考点：三角形三边关系．5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C． 7或9 D．9或12【答案】B．【解析】试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．10【答案】B．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．7．（绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118° B．119° C．120° D．121°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C 的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C．考点：三角形内角和定理．8．（广州）已知2是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（）A．内心 B．外心 C．中心 D．重心【答案】D．【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D．考点：三角形的重心．10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形【答案】A．【解析】试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A正确，B．C、D错误．故选A．考点：三角形的稳定性．11．（百色）△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．6【答案】B．【解析】试题分析：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a=，b=，c=，又∵a﹣b＜c＜a+b，∴，即，解得3＜h＜6，∴h=4或h=5，故选B．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．12．（广安）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A． B．C．D．【答案】D．考点：三角形的角平分线、中线和高．13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（）A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形【答案】D．【解析】试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D．考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．14．（长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．考点：三角形的角平分线、中线和高．15．（鄂尔多斯）如图，A．B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是（）A． B． C． D．【答案】A．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．（淄博）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．【答案】75°．【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．18．（宜宾）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．【答案】80°．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．19．（巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是．【答案】1＜c＜5．【解析】试题分析：由题意得，，，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．（南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，20．∠B=40°，则∠ACE的大小是度．【答案】60．【解析】试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，故答案为：60．考点：三角形的外角性质．21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．【答案】10．【解析】试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10．考点：三角形三边关系．（广东省）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若，22．则图中阴影部分的面积是．【答案】4．考点：1．三角形的面积；2．综合题．23．（长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．【答案】5．【解析】试题分析：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【答案】．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．25．（临沂）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD 与CE相交于点O，则= ．【答案】2．【解析】试题分析：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴=2．故答案为：2．考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．【答案】理由见试题解析．考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．27．（达州）化简，并求值，其中a与2、3构成△ABC 的三边，且a为整数．【答案】，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a的值代入计算即可求出值．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．28．（青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）表②你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③【问题应用】：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．【题组】1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4 【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．故选B．考点：三角形的三边关系．2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．考点：三角形的中位线．3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选C．考点：三角形中位线定理．4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145° B．152° C．158° D．160°【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB 再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=（180°-70°）=55°，故D选项正确．故选B．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）．考点：三角形的三边关系．7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．【答案】140．．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．考点：三角形的外角的性质．8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【答案】75．【解析】试题分析：如答图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB ＝4，BC＝6，则DF＝_____．【答案】1．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．归纳 2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【答案】B．考点：三角形三边关系．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC 于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．☞1年模拟1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】D．【解析】试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61° B．71° C．109° D．119°【答案】A ．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°【答案】A．【解析】试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A．120° B．135° C．150° D．180°【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵AE=2，BE=，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=，故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．【答案】4．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．【答案】．【解析】试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5 两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是．考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=度．【答案】220．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．【答案】；6．【解析】试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知==，==，再由考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。
人教版八年级数学上册第11章《三角形》说课稿
人教版八年级数学上册第11章《三角形》说课稿一. 教材分析人教版八年级数学上册第11章《三角形》是学生在学习了平面几何基本概念和性质之后，进一步深入研究三角形的相关性质和应用。
本章主要包括三角形的概念、三角形的性质、三角形的判定和三角形的中线、高线、角平分线等知识。
通过本章的学习，使学生掌握三角形的的基本性质和判定方法，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对平面几何的概念和性质有一定的了解。
但学生在学习过程中，对于一些抽象的概念和定理，仍然存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等途径，自主探究三角形的性质和判定方法，提高学生的几何素养。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解三角形的概念，掌握三角形的性质和判定方法，学会使用三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等途径，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：三角形性质的证明和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、教具模型等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习平面几何的基本概念，引导学生进入三角形的学习。
2.自主学习：让学生通过观察、操作、思考，探究三角形的性质和判定方法。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的探究成果，解决存在的问题。
4.教师讲解：针对学生的探究结果，进行点评和讲解，引导学生深入理解三角形的性质和判定方法。
5.巩固练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识。
6.课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调三角形的性质和判定方法。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出三角形的性质和判定方法。
13.4 三角形的尺规作图(课件)2024-2025学年度 冀教版数学八年级上册
感悟新知
知2－练
例2 [母题 教材 P53 做一做 T1 ]如图 13-4-5，已知线段 a 和∠ α . 求作△ ABC，使 AB=a， AC=2a，∠ A= ∠α.
感悟新知
知2－练
解：如图 13-4-6， (1)作∠ MAN= ∠ α ； (2)分别在射线 AM， AN 上截取 AB=a， AC=2a； (3)连接 BC，则△ ABC 就是所求作的三角形 .
课堂小结
三角形的尺规 作图
已知三边
工具
条件
尺规
作三角形
已知两边及其夹角
已知两角及其夹边
第十三章 全等三角形
13.4 三角形的尺规作图
感悟新知
知识点 1 已知三边作三角形
知1－讲
1. 尺规作图 只用直尺(没有刻度)和圆规画出一些图形， 这种画图的方法被称为尺规作图 .
感悟新知
知1－讲
特别解读 1. 作图依据：全等三角形的判定方法“SSS” . 2. 作图思路：三次运用 “作一条线段等于已知
解：方法一 如图 13-4-9， (1)作∠ MBN= ∠ α ； (2)在射线 BN 上截取 BC=a； (3)以 C 为顶点，以 CB 为一边，作∠ DCB= ∠ α (∠ DCB与∠ MBN 在 BC 的同侧)， CD 与 BM 相交 于点 A，则△ ABC为所求作的三角形 .
感悟新知
知3－练
三角形.
感悟新知
知3－练
例3 [母题 教材 P53 做一做 T2 ]如图 13-4-8，已知∠ α 和 线段 a，求作△ ABC，使 BC=a，∠ ABC= ∠ ACB= ∠α.
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣已知两角及其夹边作三角形的方 法将作三角形分解成作几个基本图形 解决问题 .
八年级上册数学第一章三角形知识点
八年级上册数学第一章三角形知识点八年级上册数学第一章三角形知识点相似、全等三角形1、定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似2、相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似4、判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)5、判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)6、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似7、性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比8、性质定理2相似三角形周长的比等于相似比9、性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方10、边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等11、角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等12、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等13、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等14、斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等15、全等三角形的对应边、对应角相等等腰、直角三角形1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等2、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合4、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°5、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)6、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形7、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形8、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半9、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半女生学数学的方法有哪些1注重打好数学基础对于学生来说，想要学好数学，那么一定从小打好基础，因为数学是一个非常注重基础，一环扣一环的学科，之前知识上的欠缺也会影响后续的学习，所以对于数学不好的学生来说首先应该做的就是打基础，把自己欠缺的基础都补上，才能更好的进行后续的学习。
新华东师大版八年级数学上册《13章 全等三角形 13.4 尺规作图 作一个角等于已知角》优质课课件_2
2.已知三边作三角形．
a b
已知：线段a，b，c.
c
求作：△ABC，使得三边为线段a,b,c.
作法：(1)画一条线段AB，使得AB＝c.
(2)以点A为圆心，以线段b的长为半
径画圆弧；再以点B为圆心，以线段
a的长为半径画圆弧；两弧交于点C. (3)连结AC，BC．
△ABC即为所求．
如图13.4.3，∠AOB为已知角，试按下
列步骤用圆规和直尺准确地画一个角
等于∠AOB．
B
第一步： 画射线O′A′． 第二步：以点O为圆心，以适
当长为半径画弧，交OA于C，
交OB于D．
O 图13.4.3 A
第三步：以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，
交O′A′于C′． 第四步：以点C′为圆心，以CD长为半径画弧， 交前一条弧于D′．
注意：几何作图要保留作图痕迹！
如图13.4.3，∠AOB为已知角，试按下 列步骤用圆规和直尺准确地画一个角 等于∠AOB．
第五步： 经过点D′画射线O′B′．
∠A′O′B′就是所要画的角．
请你利用直尺和圆规分别画出满足图 13.4.4和图13.4.5中条件的三角形ABC.
（1）已知两边及夹角； （2）已知两角及夹边.
‘
图 13.4.4
如图13.4.1，MN为已知线段，你能用 直尺和圆规准确地画一条与MN相等的 线段吗？
图 24.4.1
如图13.4.2，我们可以先画射线AB， 然后用圆规量出线段MN的长，再在 射线AB上截取AC＝MN，线段AC就 是所要画的线段．
图 13.4.2
1.已知线段AB和CD，如下图，求作 ห้องสมุดไป่ตู้线段，使它的长度等于AB＋2CD.
湘教版八年级上册数学导学案
顶点
A 满足的条件是 A 到 B 之距为
，
A 到 C 之距为
，因 为半
此点 A 在以点 C 圆心，以 径的弧的交点处
为半径的弧和以 B 为圆心，以
a
作图并写出作法（填空） ： ⑴作线段 BC=a。 ⑵以 C 为圆心，以 弧相交于 A 。 ⑶连结 和 。
b
c
为半径作弧，再以 B 为圆心以 半径作弧，两
(1)作∠··=∠·· ； · · (2)在··上截取，使··=·· ； · · · (3)以··为顶点，以··为一边，作∠··=∠·· ； · · · · (4)作一条线·· =·· · ·； (5)连接·· ·，或连接··交··于点·· · · ·； (6)分别以·· ， ··为圆心，以·· ， ··为半径画弧， · · · · 两弧交于··点； ·
经历操作实践活动，会用尺规作已知三边的三角形；作一个角等于已知角。
已知三边作三角形；作一个角等于已知角。
作法（填空） 作射线 在射线
; 上截取线段 AB=
。
作一个角等于已知角.
三． 合作交流
已知线段 a,b,c 如何用直尺（没有刻度）和圆规作一个三角形，使它的 三边分别为 a,b,c, 提示：先作线段 BC a ,你能确定顶点 A 点的位置吗？
六.布置作业 （本节课时夺冠）
为圆心，以 OC 长为
⑷以点 C 为圆心，以 ⑸经过点 D 作射线 则 AO B 为所求作的角。
长为半径作弧，交前弧于 D 。 。
板
书
设
计
教
学
反
思
2.如图已知 AOB，求作： AOB的补角平分线（保留作图痕迹，不写 作法） 。
B
O
A
2019秋八年级数学上册第2章三角形2.6用尺规作三角形第1课时已知三边作三角形教案1新
2．6 用尺规作三角形第1课时已知三边作三角形1．已知三边会作三角形；(重点)2．已知底边及底边上的高会作等腰三角形；(重点，难点)3．会作已知角的平分线．(重点，难点)一、情境导入小明在一个工程施工图上看到一个三角形图形，他想用直尺和圆规画一个与这个三角形全等的三角形，应当怎样画？二、合作探究探究点一：已知三边作三角形【类型一】已知三边作三角形已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b、AB＝c.解：作法：1.作线段BC＝a；2．以点C为圆心，以b为半径画弧，再以B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A；3．连接AC和AB，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知三角形三边的长，根据全等三角形的判定定理SSS知，三角形的形状和大小也就确定了．作三角形相当于确定三角形三个顶点的位置．因此可先确定三角形的一条边(即两个顶点)，再分别以这条边的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点即为另一个顶点．【类型二】已知三边作三角形的运用已知：线段a，b，m，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，BC边上的中线等于m.解析：本题中，已知两边和第三边上的中线，可考虑倍长中线，即作△ABE ，使AB ＝a ，AE ＝2m ，BE ＝b ，再取AE 的中点D ，倍长中线BD .解：作法：1.作线段AB ＝a ；2．分别以A 、B 为圆心，2m ，b 为半径画弧，两弧交于E ，连接AE 、BE ； 3．取AE 中点D ，连接BD 并延长至C ，使DC ＝BD ； 4．连接AC ，∴△ABC 即为所求．方法总结：有关三角形的中线的作图、计算或证明，如果直接解题较麻烦，一般可以把中线延长，使延长部分等于中线长．探究点二：已知底边和底边上的高作等腰三角形已知线段c ，求作△ABC ，使AC ＝BC ，AB ＝c ，AB 边上的高CD ＝12c .解析：由题意知，△ABC 是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半． 解：作法：1.作线段AB ＝c ；2．作线段AB 的垂直平分线EF ，交AB 于D ；3．在射线DF 上截取DC ＝12c ，连接AC ，BC ，则△ABC 即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高可确定另一个顶点的位置．探究点三：作已知角的平分线 【类型一】 作已知角的平分线用尺规作图作出∠ABC 的平分线．解：作法：1.在BA ，BC 上分别截取BM ，BN ，使BM ＝BN ；2．分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，在∠ABC 内两弧交于点O ；3．过点O 作射线BP ，则BP 为所求作的∠ABC 的平分线，如图所示．方法总结：作角平分线的理论依据是全等三角形的判定定理SSS ，如本题中，△BMO ≌△BNO ，从而有∠ABP ＝∠CBP .【类型二】 作已知角的平分线与作线段的垂直平分线的综合运用如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，且在∠AOB的角平分线上．解析：P 到点M 、N 的距离相等，则点P 在线段MN 的垂直平分线上，又在∠AOB 的角平分线上，即是这两条线的交点．解：1.作∠AOB 的平分线OC ；2．作MN 的垂直平分线DE ，与OC 交于点P ；点P 就是所求作的点，如图所示．方法总结：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以要求作一点，使这一点到已知两点的距离相等，则这一点一定在连接已知两点的线段的垂直平分线上．三、板书设计1．已知三边作三角形2．已知底边和底边上的高作等腰三角形 3．作已知角的平分线本节课学习了用尺规作图作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图考虑作出其余的图形．。
湘教版数学八年级上册 2.6 用尺规作三角形
2.6用尺规作三角形第1课时已知三边作三角形1.会利用尺规作三角形：已知三边作三角形.2.会写出三角形的已知、求作和作法.3.能对新作三角形给出合理的解释.4.在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据.5.通过师生共同观察、探索、交流、操作，品尝成功的喜悦，形成良好的思维品质，养成科学严谨的学习态度.【教学重点】作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形. 【教学难点】作图语言的准确应用，作图的规范与准确.一、情景导入，初步认知我们已经学会用尺规作一些基本图形，你会作哪些图形呢？动手试一试.【教学说明】作基本图形，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.如图，已知线段a,b,c.求作△ABC，使得AB=c，AC=b，BC=a.如图：作法：①作线段BC=a；②以点C为圆心，以b为半径画弧，再以点B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A;③连接AB和AC，则△ABC为所求作的三角形.2.已知线段a,h.求作△ABC，使AB=AC,且BC=a,高AD=h.如图：作法：①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D;③在射线DM（或DN）上截取线段DA，使DA=h;④连接AB,AC,则△ABC为所求作的等腰三角形.3.如图，已知∠AOB，求作∠AOB的角平分线.如图：作法：①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;②分别以D，E为圆心，以大于DE的一半的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C;③作射线OC，则射线OC为所求作∠AOB的角平分线.【教学说明】在完成三个作图后，同学们要比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等.在此基础上，利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性.三、运用新知，深化理解1.下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是（A）A．已知腰和底边，求作等腰三角形B．已知两条直角边，求作等腰三角形C．已知高，求作等边三角形D．已知腰长，求作等腰直角三角形2.已知三边作三角形，用到的基本尺规作图为（B）A．作一个角等于已知角B．作一条线段等于已知线段C．平分已知角D．作已知直线的垂线3.下列各题中，属于尺规作图的是（A ）A．画一个40°的角B．用直尺三角板画平行线C．用直尺的边缘画垂线D．用圆规在已知直线上截取一线段等于已知线段4.已知线段a、b、c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c，下面作法的合理顺序为②①③①分别以B、C为圆心，c、b为半径作弧，两弧交于点A；②作直线BP，在BP上截取BC=a；③连结AB、AC，△ABC为所求作三角形.5.已知直角三角形的一条直角边和斜边，求作此直角三角形．(要求：写出已知，求作，结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)解：已知：线段m和n求作：Rt△ABC，使∠ACB=90°，AB=n，AC=m6.已知线段a，b，求作等腰△ABC，使AB=BC=a，AC=b．解：如图：作法：（1）作射线AC，在射线AC上截取AC=b；（2）分别以A、C为圆心，a为半径作弧，两弧交AC上方于点B；（3）连接AB、BC，△ABC即为所求．【教学说明】对本节的知识进行巩固练习,考察学生的应变能力，培养学生的转换思想.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题2.6”中第1 、2 题.本节课我将采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构.另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，直观地呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，提高教学效率.第2课时已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形1.会利用尺规作三角形：已知两角及夹边作三角形，已知两边及夹角作三角形.2.会写出三角形的已知、求作和作法.3.能对新作三角形给出合理的解释.4.在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据.5.通过师生共同观察、探索、交流、操作，品尝成功的喜悦，形成良好的思维品质，养成科学严谨的学习态度.【教学重点】作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形.【教学难点】作图语言的准确应用，作图的规范与准确.一、情景导入，初步认知1.已知：a求作：AB，使AB=a2.已知：∠α求作：∠AOB，使∠AOB=∠α【教学说明】通过作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角的复习，为本节课作三角形打好基础.二、思考探究，获取新知1、如图，已知∠AOB，求作一个角，使它等于∠AOB.如图：作法：①作射线O′A′;②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D;③以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′，以OD的长为半径画弧;④以C为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于D′；⑤过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′为所求作的角.2.已知∠α和线段a、c.求作△ABC,使∠B=∠α，BC=a,BA=c.如图：作法：①作∠MBN=∠α;②在射线BM,BN上分别截取BC=a,BA=c;③连接AC,则△ABC为所求的三角形.3.如图，已知∠α，∠β和线段a，求作△ABC,使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC=a,如图：作法：①作线段BC=a；②在BC的同侧，作∠DBC=∠α，∠ECB=∠β，BD与CE相交于点A，则△ABC为所求作的三角形.【教学说明】在完成三个作图后，同学们要比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等.在此基础上，利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性.三、运用新知，深化理解1.用尺规作图，下列已知条件：a、两边及夹角，b、三边，c、两角及夹边，d、两边及其中一边的对角.不能作出唯一三角形的是 d .（填序号）2.已知：线段c，∠1.求作：△ABC，使∠C=90°，∠A=∠1，AB=c.作法：(1)作∠EAF=∠1.(2)在射线AE上截取AB=c.(3)过点B作BC⊥AF交AF于点C，则△ABC就是所求作的三角形.3.已知两条直角边，求作直角三角形(要求写出已知、求作、作法).解：已知：线段a、b，求作：△ABC，使∠C=90°，AC=b，BC=a.作法：提示，先作∠C=90°.4.如图，已知线段a、b，求作：Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b(不写作法，保留作图痕迹)．解：【分析】先作一个直角∠ACB=90°，再作BC=a，AC=b，连接AB就可以．作图如下：5.请你作出一个以线段a为底边，以∠α为底角的等腰三角形(要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法和结论).【分析】可先画线段BC=a，进而在BC的同侧作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α，MB，CN交于点A，△ABC就是所求的三角形．已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使BC=a，AB=AC，∠ABC=∠α．△ABC就是所求作的三角形．【教学说明】对本节的知识进行巩固练习.考察学生的应变能力，培养学生的转换思想.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题2.6”中第3、4、5 题.通过练习情况来看，学生对于涉及到作角的作图题掌握的不够好，不知道该在什么地方作角，因此，对此类题型应多加练习.。
浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
浙教版⼋年级上册数学第⼀章《三⾓形的初步知识》知识点及典型例题浙教版⼋年级上册数学第⼀章《三⾓形的初步知识》知识点及典型例题考点⼀、判断三条线段能否组成三⾓形考点⼆、求三⾓形的某⼀边长或周长的取值范围考点三、判断⼀句话是否为命题，以及改成“如果……那么……”的形式考点四、利⽤⾓平分线、垂线（90°⾓）、三⾓形的外⾓、内⾓和、全等三⾓形来计算⾓度考点五、利⽤垂直平分线的性质、⾓平分线的性质、全等三⾓形来计算线段长度考点六、证明三⾓形全等，以及在三⾓形全等的基础之上进⼀步证明线段、⾓度之间的数量关系考点七、画三⾓形的⾼线、中线、⾓平分线，以及基本图形的尺规作图法考点⼋、⽅案设计题，求河宽等问题例1、已知两条线段的长分别是3cm 、8cm ，要想拼成⼀个三⾓形，且第三条线段a 的长为奇数，问第三条线段应取多少厘⽶？1、某⼀三⾓形的两边长分别是3和5，则该三⾓形的周长的取值范围为（） A 、10≤a ＜16 B 、10＜a ≤16 C 、10＜a ＜16 D 、2＜a ＜82、能把⼀个三⾓形分成⾯积相等的两部分是三⾓形的（）A 、中线B 、⾼线C 、⾓平分线D 、过⼀边的中点且和这条边垂直的直线 3、已知⼀个三⾓形的三条⾼的交点不在这个三⾓形的内部，则这个三⾓形（）A. 必定是钝⾓三⾓形B. 必定是直⾓三⾓形C. 必定是锐⾓三⾓形D. 不可能是锐⾓三⾓4、△ABC 的三个不相邻外⾓的⽐为2：3：4，则△ABC 的三个内⾓的度数分别为。
例2、如图，已知△ABC 中，BE 和CD 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，且BD=C E ，∠1=∠2。
说明BE=CD 的理由。
【设计意图】本例主要考察了⾓平分线和三⾓形全等的条件和性质，要说明两条线段相等的⽅法可以通过说明三⾓形全等来解决。
例3、已知AE ，AD 分别为△ABC 中BC 边上的中线和⾼线，且AB=7cm ，AC=5cm ，则△ACE 和△ABE 的周长之差为多少厘⽶？△ACE 和△ABE 的⾯积之⽐为多少？【设计意图】本例主要考察了三⾓形中线、⾼线的性质，重在格式的书写上。
已知三边求三角形面积
已知三边求三角形面积三角形是平面几何中最基本的图形之一。
经常在各类数学问题和现实生活中出现。
计算三角形的面积是解决与三角形有关的问题的基础。
常见的方法是使用海伦公式或海弗斯光公式，根据已知的三个边长可以计算出三角形的面积。
在研究三角形面积之前，我们需要了解一些基本概念。
首先，可以用三条边来定义一个三角形。
三边分别为a、b和c，并且满足以下条件： a + b > c，a + c > b以及b + c > a。
这些条件确保了三边的长度是有效的。
根据已知的三个边长，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式也被称为海伦-夏伦公式，被命名为两位古希腊数学家之一。
它用于计算任意三角形的面积，只需知道三个边长。
海伦公式的表达式如下：面积= √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中s是半周长，可以通过a、b和c的和的一半来计算：s = (a + b + c) / 2。
让我们以一个具体的例子来说明如何使用已知三边求三角形的面积。
假设我们有一个三角形，其三个边长分别为5、6和7个单位。
我们首先需要计算半周长s：s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9。
然后，我们将三边的长度代入海伦公式中：面积= √[9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7)] = √[9*4*3*2] = √[216] ≈ 14.7。
因此，已知三边长为5、6和7的三角形的面积约为14.7个单位。
除了海伦公式，还可以使用海弗斯光公式来计算三角形的面积。
这个公式利用了三边的正弦定理，将三角形的面积与它的三个边长和夹角的正弦值相关联。
海弗斯光公式的表达式如下：面积 = (1/2) * a * b * sin(C)，其中a和b是两边的长度，C是这两条边之间的夹角的度数。
正弦值sin(C)可以通过查查表或使用计算器来得到。
使用海弗斯光公式，我们可以通过已知的三个边长，计算出三角形的面积。
让我们以一个例子来演示如何使用海弗斯光公式。
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新课标（XJ） 八年级上册
2.6.1 已知三边作三角形
2.6.1 已知三边作三角形
探 究 新 知
活动1 知识准备
1. 已知线段MN，画一条线段AC＝MN的步骤如下： 作射线AG ， 第一步：___________ 第二步：____________________________ 在射线AG上截取线段AC＝MN ． AC就是所要画的线段．
2.6.1 已知三边作三角形
解： (1)如图所示． (2)证明：∵ AD 是△ ABC 的角平分线 ， ∴∠ BAD＝∠ Cபைடு நூலகம்D. ∵∠ ABC＝ ∠ ACB， ∴ AB＝ AC. 在△ ABE 和 △ ACE 中， AB＝ AC， ∠ BAE＝∠ CAE， AE＝ AE， ∴△ ABE≌△ ACE(SAS)．
[答案] (1)不一定全等． (2)①不一定全等；②不一定全等；③不一定全等． (3)①不一定全等；②一定全等． 能画出这个三角形，并且大家画出的三角形全等，因为根据三 角形全等的判定条件，已知三边可以确定唯一的一个三角形．
2.6.1 已知三边作三角形
新 知 梳 理
知识点一 已知三边作三角形
先用直尺作射线，再在射线上截一条线段等于一条
2.6.1 已知三边作三角形
知识点三
作已知角的平分线
作法： 在已知角的两边上截取线段 OD＝OE； 分别以 1 点 D，E 为圆心，以大于 DE 的长为半径画弧，在角内两 2 弧交于点 G； 作射线 OG， 则 OG 为所求作的角平分线． 如 图 2－6－2 所示．
图2－6－2
2.6.1 已知三边作三角形
重难互动探究
探究问题一 用已知三边作三角形的方法解决有关作 三角形的问题
例1 已知：线段a，b，h，其中b＞h，如图2－6－3所示． 求作：△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC上的高AD＝h.
图2－6－3
2.6.1 已知三边作三角形
[解析]设作出的△ABC如图，其中△ADC为直角三角形，且
AD＝h，AC＝b，可先作出Rt△ADC，故该题应先作直角和
_______ 已知边 ；利用圆规分别以另两边长为半径，以射线上截
得的线段的两个端点为圆心，在线段的同一侧，分别画 _____ 弧 ，两弧的交点就是所作三角形的第三个顶点；依次 连接各点即可．
2.6.1 已知三边作三角形
知识点二
已知底边及底边上的高线作等腰三角形
先用直尺作射线，再在射线上截一条线段等于________ 底边长 ， 再作底边的 ___________ 垂直平分线 ，在垂直平分线上截一条线段等 于_____________ ，依次连接各点即可． 高线长
2.6.1 已知三边作三角形
2．已知线段 AB，用尺规作线段 AB 的垂直平分线 l(保 留作图痕迹)． 图 2－6－1
[答案] 如图所示：
2.6.1 已知三边作三角形
活动2
教材导学
已知三边作三角形 讨论三角形全等的条件(动手画一画并回答下列问题)．
(1) 只给一个条件：一组对应边相等 ( 或一组对应角相等 ) ， 画出的两个三角形一定全等吗？
草图，标出已知条件，通过分析找到
由已知条件构造所作图形的途径，然后逆向作图．
2.6.1 已知三边作三角形
探究问题二 例2
利用尺规作角的平分线解决问题
如图2－6－4所示，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB．
(1)尺规作图：过顶点 A作△ABC的角平分线AD；(不写作法，
保留作图痕迹) (2)在AD上任取一点E，连接BE，CE. 求证：△ABE≌△ACE.
图2－6－4
2.6.1 已知三边作三角形
[解析] (1)以A点为圆心，以小于AB的长为半径画弧，分别交
AB和AC于一点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间 的距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，过这点和A点
作射线，交BC于D，则AD即为所求；
(2) 推出 ∠ BAE ＝ ∠ CAE ，根据 SAS 证△ BAE 和△ CAE 全等即 可．
(2)按下面各组给出的两个条件，画出的两个三角形一定全 等吗？ ①一组对应边相等和一组对应角相等；
②两组对应边相等；
③两组对应角相等；
2.6.1 已知三边作三角形
(3)按下面各组给出的条件，画出的两个三角形一定全等吗？
①三组对应角相等；②三组对应边相等．
已知一个三角形的三条边长分别为5 cm，12 cm，13 cm.你能 画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形 进行比较，它们全等吗？
直角边AD＝h，再作斜边，最后定点B．
2.6.1 已知三边作三角形
解：作法：(1)作直线MN，在MN上任取一点D，过D点 作ED⊥MN，在ED上截取AD＝h，如图； (2)以A点为圆心，b为半径画弧，交MN于C，连接AC； (3)以C点为圆心，a为半径画弧， 交MN于B1和B2两点，连接AB1，AB2； 则△AB1C与△AB2C都是 所求作的三角形． [归纳总结]用尺规作图时，应先画出