人教版八年级数学上册：三角形综合应用(讲义及答案)
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点(人教版) 共定点等边三角形的六大结论及应用(解析版)
共定点等边三角形的六大结论及应用六大结论基本模型：如图 △ABC 和△CDE 是共顶点（C ）三角形 则有以下六大结论.结论1：△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴AD =BE 结论2：∠AOB=60°结论3：△ACP ≌△BCQ （ASA ） ∴AP =BQ PC =QC 结论4：△PCQ 是等边三角形 结论5：∴PQ AE ∥ 结论6：点C 在∠AOE 的平分线上1．如图 C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合） 在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE AD 与BE 交于点O AD 与BC 交于点P BE 与CD 交于点Q 连接PQ 以下七个结论：①AD BE =；②//PQ AE ；③AP BQ =；④DE DP =；⑤60AOB ∠=︒；⑥PCQ ∆是等边三角形；⑦点C 在AOE ∠的平分线上 其中正确的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D【解析】【分析】 由△ABC 和△CDE 是正三角形 其性质得三边相等 三个角为60° 平角的定义和角的和差得∠ACD =∠BCE 边角边证明△ACD ≌△BCE 其性质得结论①正确；由△ACD ≌△BCE 可得∠CAP =∠CBQ 可得60,AOB ACB 故⑤正确 角边角证明△ACP ≌△BCQ 得AP =BQ 其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ 是等边三角形 结论⑥正确；∠CPQ =∠ACB =60°判定两线PQ AE ∥ 结论②正确；反证法证明命题DE ≠DP 结论④错误；利用全等三角形的对应高相等 可证明点C 在∠AOE 的平分线上 结论⑦正确；即正确结论共6个．【详解】解：如图1所示：∵△ABC和△CDE是正三角形∴AC=BC DC=EC∠ACB=∠ECD=60°又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD∠BCE=∠DCE+∠BCD ∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE∴结论①正确；∵△ACD≌△BCE∴∠CAP=∠CBQ,BPO APC60,AOB ACB故⑤正确又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180° ∴∠BCD=60°在△ACP和△BCQ中CAP CBQ AC BC ACP BCQ∴△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ PC=QC故③正确∴△PCQ是等边三角形故⑥正确∴∠CPQ=∠CQP=60°∴∠CPQ=∠ACB=60°∴PQ AE∥故②正确若DE=DP∵DC=DE∴DP=DC∴∠PCD=∠DPC又∵∠PCD=60°∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾假设不成立∴结论④错误；过点C分别作CM⊥AD CN⊥BE于点M、N两点如图2所示：∵CM ⊥AD CN ⊥BE,ACD BCE ≌∴CM =CN 又∵OC 在∠AOE 的内部∴点C 在∠AOE 的平分线上∴结论⑦正确；综合所述共有6个结论正确．故选：D ．【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质 等边三角形的判定与性质 三角形的内角和定理 平行线的判定 角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识 重点掌握全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．2．已知如图ABC 是锐角三角形 分别以边AB 、AC 为边向外作ABD △和ACE ABD △和ACE 均为等边三角形 且BE 和CD 交于点F 连接AF ．（1）求证：ACD AEB ≅；（2）求出CFE ∠的度数；（3）求证：AFB BFC AFC ∠=∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）60︒；（3）见解析．【解析】【分析】（1）由ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形 可得边角关系 由SAS 即可证明ACD AEB ≌；（2）由ACD AEB ≌可得点A 、F 、C 、E 四点共圆 再由圆的性质即可求解；（3）由点A 、F 、C 、E 四点共圆 可得∠=∠FAC FEC 再由AFE ∆内角和为180︒可得60AFE ∠=︒ 由点A 、F 、B 、D 四点共圆 同理可得60AFD ∠=︒ 从而可得120,120,120∠=︒∠=︒∠=︒AFB AFC BFC 故可得AFB BFC AFC ∠=∠=∠．【详解】解：（1）∵ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形∴60DAB EAC ∠=∠=︒ AE AC = AB AD =∴∠+∠=∠+∠BAC DAB BAC EAC 即DAC EAB ∠=∠∴在三角形ABD △和ACE 中AE AC DAC EAB AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD AEB SAS ≌△△；（2）∵ACD AEB ≌∴DAC EAB ∠=∠∴点A 、F 、C 、E 四点共圆∴CFE CAE ∠=∠∵ACE ∆均为等边三角形∴60CAE ∠=︒∴60CFE ∠=︒；（3）由（2）点A 、F 、C 、E 四点共圆 点A 、F 、B 、D 四点共圆∴∠=∠FAC FEC在AFE ∆中180∠+∠+∠+∠=︒AEF CAE FAC AFE∴180∠+∠+∠+∠=︒AEF CAE FEC AFE即180∠+∠+∠=︒AEC CAE AFE∵60∠=∠=︒AEC CAE∴180606060∠=︒-︒-︒=︒AFE同理可得60AFD ∠=︒∵EFC BFD ∠=∠ 60EFC ∠=︒∴60BFD ∠=︒∴6060120∠+∠=︒+︒=︒AFD BFD6060120∠+∠=︒+︒=︒AFE EFC∴360120120120∠=︒-︒-︒=︒BFC∴AFB BFC AFC ∠=∠=∠．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质 四点共圆的性质 三角形内角和定理 等边三角形的性质 解题的关键是熟练掌握各知识点 利用好数形结合的思想．3．已知：如图 △ABC 、△CDE 都是等边三角形 AD 、BE 相交于点O 点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点．(1)求∠DOE 的度数；(2)试判断△MNC 的形状 并说明理由；(3)连接OC 求证：OC 是∠AOE 的平分线．【答案】(1)∠DOE 的度数是60°(2)△MNC 是等边三角形 理由见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD ＝∠BCE 利用SAS 可证明△ACD ≌△BCE 可得AD ＝BE ∠ADC ＝∠BEC 利用角的和差关系及外角性质可得∠AOE =120° 根据平角定义即可得答案；（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD ＝∠CBE AD ＝BE AC ＝BC 根据中点的定义可得AM ＝BN 利用SAS 可证明△ACM ≌△BCN 可得CM ＝CN ∠ACM ＝∠BCN 利用角的和差关系可得∠MCN ＝60° 即可证明△MNC 是等边三角形；（3）连接OC过C作CG⊥AD垂足为G；过C作CH⊥BE 垂足为H根据全等三角形的性质可得AD＝BE S△ACD=S△BCE即可得出CG＝CH根据角平分线的判定定理即可得出结论．(1)∵△ABC、△CDE都是等边三角形∴AC＝BC CD＝CE∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE∠ADC＝∠BEC∵等边三角形DCE∴∠CED＝∠CDE＝60°∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED ＝∠BEC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°∴∠AOE=120°∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．(2)△MNC是等边三角形理由如下：∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE AD＝BE AC＝BC∵点M、N分别是线段AD、BE的中点∴AM＝12AD BN＝12BE∴AM＝BN在△ACM和△BCN中AC BCCAM CBNAM BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACM≌△BCN∴CM＝CN∠ACM＝∠BCN∵∠ACB＝60°∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°∴∠MCN＝60°∴△MNC是等边三角形．(3)连接OC过C作CG⊥AD垂足为G；过C作CH⊥BE 垂足为H．∵△ACD≌△BCE∴AD＝BE S△ACD=S△BCE∴1122AD CG BE CH⋅=⋅∴CG＝CH∵CG⊥AD CH⊥BE∴OC是∠AOE的平分线．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线的判定定理能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．4．如图已知△CAD与△CEB都是等边三角形BD、EA的延长线相交于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB．（2）求∠F的度数．（3）若AD⊥BD请直接写出线段EF与线段BD、DF之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）EF＝BD+2DF.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到CB=CE CD=CA ∠BCE=∠DCA=60° 由全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）设BC与EF相交于G 根据全等三角形的性质得到∠1=∠2 根据三角形的内角和即可得到结论；（3）根据垂直的定义得到∠ADF=90° 求得∠DAF=30° 根据直角三角形的性质得到AF=2DF 根据全等三角形的性质得到AE=BD 于是得到结论．【详解】（1）∵△CAD与△CEB都是等边三角形∴CB＝CE CD＝CA ∠BCE＝∠DCA＝60°∴∠BCD＝∠ECA∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）设BC与EF相交于G由（1）可知△ACE≌△DCB∴∠1＝∠2∵∠1+∠BGF+∠F＝∠2+∠AGC+∠BCE＝180°而∠BGF＝∠AGC∴∠F＝∠BCE＝60°；（3）EF＝BD+2DF 理由如下：∵AD⊥BD∴∠ADF ＝90°∵∠F ＝60°∴∠DAF ＝30°∴AF ＝2DF∵△ACE ≌△DCB∴AE ＝BD∴EF ＝AE+AF ＝BD+2DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质 等边三角形的性质 直角三角形的性质 正确的识别图形是解题的关键．5．已知点C 为线段AB 上一点 分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE 且CA=CD CB=CE ACD BCE ∠∠= 直线AE 与BD 交于点F ．（1）如图1 证明：△ACE ≌△DCB ；（2）①如图1 若ACD 60∠=︒ 则AFB ∠=________；②如图2 若ACD α∠= 则AFB ∠=______；（用含α的式子表示）（3）将图2中的△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上） 如图3 试探究A FB ∠与α的数量关系 并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）120° 180°-β；（3）∠AFB=180°-α 证明见解析．【解析】【分析】（1）求出∠ACE=∠DCB 根据SAS证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC ∠CDB=∠CAE 求出∠EAB+∠DBA=∠ACD ∠AFB=180°-（∠EAB+∠DBC）代入求出即可得出①②的结论；（3）由“SAS”可证△ACE≌△DCB 可得∠AEC=∠DBC 由三角形内角和定理可求解．【详解】解：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE∴∠ACE=∠DCB在△ACE和△DCB中∵AC CDACE DCBCE CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCB；（2）①∵∠ACD=60°∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°∵△ACE≌△DCB∴∠AEC=∠DBC ∠CDB=∠CAE∴∠CAE+∠DBC=60°∴∠AFB=180°-60°=120°故答案为：120；②当∠ACD=β时∠AFB=180°-β 理由是：∵∠ACD=β∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β∵△ACE≌△DCB∴∠AEC=∠DBC ∠CDB=∠CAE∴∠CAE+∠DBC=β∴∠AFB=180°-（∠CAE+∠DBC）=180°-β；故答案为：180°-β．（3）∠AFB=180°-α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α 则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠DCB．在△ACE和△DCB中∵AC DCACE DCBCE CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCB（SAS）．则∠CBD=∠CEA如下图∵∠FGE=∠CGB∴∠EFB=∠ECB=α．∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．【点睛】本题是三角形综合题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识本题还综合了旋转的知识点是一道综合性比较强的题．要熟练掌握全等三角形的判定和性质定理．6．如图①在等边△ABC中线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时以CD为一边在CD的下方作等边△CDE 连结BE．（1）当点D在线段AM上时（如图①）则AD BE（填“＞”“＜”或“=”）∠CAM= 度；（2）当点D在线段AM的延长线上时（如图②）直线BE与直线AM的交点为O 求∠AOB的度数；（3）当动点D在线段AM的反向延长线上时直线BE与直线AM的交点为O 试判断∠AOB的度数是否发生变化？若变化请求出∠AOB的度数若不变请说明理由．【答案】（1）=；30；（2）60°；（3）不变见解析【解析】【分析】（1）根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC 则AD=BE；根据等边三角形的性质可以直接得出∠CAM的度数；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC DC=EC ∠ACB=∠DCE=60° 由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD 根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC 进而得到∠AOB的度数；（3）当点D在线段MA的延长线上时如图3 通过得出△ACD≌△BCE就可以得出结论．【详解】（1）∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE∴∠ACD=∠BCE．在△ADC和△BEC中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE；∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM=12∠BAC∴∠CAM=30°故答案为：= 30；（2）∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AC=BC DC=EC ∠ACB=∠DCE=60°∵∠ACD=∠ACB+∠DCB ∠BCE=∠DCE+∠DCB ∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CAD=∠CBE∵∠AMC=∠BMO∴∠AOB=∠ACB=60°；（3）不变理由如下：∵点D在线段MA的延长线上且△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE=∠CAD同理可得：∠CAM=30°∴∠CBE=∠CAD=150°∴∠CBO=30° ∠BAM=30°∴∠BOA=90°-30°=60°．【点睛】本题是三角形综合题 考查了等边三角形的性质的运用 等腰三角形的性质的运用 全等三角形的判定及性质的运用 解答时证明三角形全等是关键．7．已知点C 为线段AB 上一点 分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作ACD △和BCE 且AC DC = CB CE = ACD BCE ∠=∠ 直线AE 与BD 交于点F ．（1）如图① 试说明：ACE DCB ≌；（2）如图① 若60ACD ∠=︒ 则AFB ∠=________°；如图② 若90ACD ∠=︒ 则AFB ∠=________°；如图③ 若120ACD ∠=︒ 则AFB ∠=________°；（3）如图④ 若ACD α∠= 求AFB ∠的值（用含α的代数式表示）；（4）若A 、B 、C 三点不在同一直线上 线段AC 与线段BC 交于点C （交点F 至少在BD 、AE 中的一条线） 如图⑤ 若ACD α∠= 试判断AFB ∠与α的数量关系 并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）120 90 60；（3）180α︒-；（4）180AFB α∠=︒- 见解析【解析】【分析】（1）求出∠ACE =∠DCB 根据SAS 证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC =∠DBC ∠CDB =∠CAE 求出∠EAB+∠DBA=∠ACD ∠AFB =180°-（∠EAB +∠DBC ） 代入求出即可；（3）根据全等三角形的性质、三角形的内角和与三角形的外角性质求出即可．（4）知道ACD BCE ∠=∠ 得到ACE DCB ∠=∠ 证明()ACE DCB SAS ∆≅∆即可求解．【详解】解：（1）ACD BCE ∠=∠ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠ACE DCB ∴∠=∠在ACE ∆和DCB ∆中CE CB ⎪=⎩()ACE DCB SAS ∴∆≅∆（2）解：∵∠ACD =60°∴∠CDB +∠DBC =∠ACD =60°∵△ACE ≌△DCB∴∠AEC =∠DBC ∠CDB =∠CAE∴∠CAE +∠DBC =60°∴∠AFB =180°-60°=120°；当∠ACD =90°时∵∠ACD =90°∴∠CDB +∠DBC =∠ACD =90°∵△ACE ≌△DCB∴∠AEC =∠DBC ∠CDB =∠CAE∴∠CAE +∠DBC =90°∴∠AFB =180°-90°=90°；同理：∠ACD =120°时∠AFB =60°故答案为：120 90 60（3）由（1）可知ACE DCB ∆≅∆CAE CDB ∴∠=∠180180AFB CDB CDA DAE CDA DAE BAE CDA DAC ACD α∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-故答案为：180α︒-（4）180AFB α∠=︒-理由如下：ACD BCE ∠=∠ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠ACE DCB ∴∠=∠在ACE ∆和DCB ∆中CE CB ⎪=⎩()ACE DCB SAS ∴∆≅∆AEC DBC ∴∠=∠180180AFB AEC CEB EBD DBC DBE EBC CEB EBC ECB α∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-即180α︒-．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定 三角形的外角性质 三角形的内角和定理 解此题的关键是找出已知量和未知量之间的关系．8．（1）发现：如图1 点A 为线段BC 外一动点 且BC =a AB =b ．当点A 位于______时 线段AC 的长取得最大值 最大值为______．（用含a b 的式子表示）（2）应用：点A 为线段BC 外一动点 且BC =3 AB =1．如图2所示 分别以AB AC 为边 作等边△ABD 和等边△ACE 连接CD BE ．①请找出图中与BE 相等的线段 并说明理由；②直接写出BE 长的最大值．【答案】（1）CB 的延长线 a +b ；（2）①DC =BE 理由见解析；②4；（1）根据点A 位于CB 的延长线上时 线段AC 的长取得最大值 即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD =AB AC =AE ∠BAD =∠CAE =60° 推出△CAD ≌△EAB 根据全等三角形的性质得到CD =BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值 根据（1）中的结论即可得到结果；【详解】解：（1）由题意可知 当点A 位于CB 的延长线上时 线段AC 的长取得最大值 且最大值为AB +BC 即a +b故答案为：CB 的延长线 a +b ；（2）①DC =BE 理由如下：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形∴AD =AB AC =AE ∠BAD =∠CAE =60°∴∠BAD +∠BAC =∠CAE +∠BAC即∠CAD =∠EAB在△CAD 与△EAB 中AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAD ≌△EAB （SAS ）∴DC =BE ；②线段BE 长的最大值是4由（1）得 点D 在CB 的延长线上时 CD 最大 最大值为DB +BC =AB +BC =4∵△CAD ≌△EAB∴DC =BE∴线段BE 长的最大值为4．9．如图所示 已知B （﹣2 0） C （2 0） A 为y 轴正半轴上的一点 点D 为第二象限一动点 点E 在BD 的延长线上 CD 交AB 于点F 且∠BDC ＝∠BAC ．(1)求证：∠ABD ＝∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在D 点运动的过程中 始终有DC ＝DA +DB 在此过程中 ∠BAC 的度数是否发生变化？如果变化 请说明理由；如果不变 请求出∠BAC 的度数．【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)∠BAC =60° 理由见解析【解析】【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC∠DFB=∠AFC再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AF C=180° 即可得出结论．(2)过点A作AM⊥CD于点M作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；(3)运用截长法在CD上截取CP=BD连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形从而求∠BAC的度数．(1)证明：∵∠BDC=∠BAC∠DFB=∠AFC又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°∴∠ABD=∠ACD；(2)证明：过点A作AM⊥CD于点M作AN⊥BE于点N如下图所示：则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC OA⊥BC∴AB=AC由(1)可知：∠ABD=∠ACD∴△ACM≌△ABN (AAS)∴AM=AN．∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)解：∠BAC的度数为60° 理由如下：在CD上截取CP=BD连接AP如下图所示：∵CD=AD+BD∴AD=PD ．∵AB=AC ∠ABD =∠ACD BD=CP∴△ABD ≌△ACP (SAS )∴AD=AP ∠BAD =∠CAP∴AD=AP=PD 即△ADP 是等边三角形∴∠DAP =60°．∴∠BAC =∠BAP +∠CAP =∠BAP +∠BAD =60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质 运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法 综合性较强．10．如图1 点M 为锐角三角形ABC 内任意一点 连接,,AM BM CM ．以AB 为一边向外作等边三角形ABE △ 将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN 连接EN ．（1）求证：AMB ENB △≌△；（2）若AM BM CM ++的值最小 则称点M 为ABC 的费马点．若点M 为ABC 的费马点 求此时,,AMB BMC CMA ∠∠∠的度数；（3）受以上启发 你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图 并说明作法以及理由．【答案】（1）见解析；（2）120BMC ∠=︒：120AMB ∠=︒；120AMC ∠=︒；（3）见解析【解析】【分析】（1）结合等边三角形的性质 根据SAS 可证△AMB ≌△ENB（2）连接MN 由（1）的结论证明ΔBMN 为等边三角形 所以BM =MN 即AM+BM+CM =EN+MN+CM 所以当E 、N 、M 、C 四点共线时 AM+BM+CM 的值最小 从而可求此时∠AMB 、∠BMC 、ΔCMA 的度数；（3）根据（2）中费马点的定义 又△ABC 的费马点在线段EC 上 同理也在线段BF 上 因此线段EC 和BF 的交点即为△ABC 的费马点．【详解】解：（1）证明：∵ABE △为等边三角形∴,60AB BE ABE =∠=︒．而60MBN ∠=︒∴ABM EBN ∠=∠．在AMB 与ENB △中AB BEABM EBNBM BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)AMB ENB ≌．（2）连接MN ．由（1）知 AM EN =．∵60,MBN BM BN ∠=︒=∴BMN △为等边三角形．∴BM MN =．∴AM BM CM EN MN CM ++=++．∴当E 、N 、M 、C 四点共线时 AM BM CM ++的值最小．此时 180120BMC NMB ∠=︒-∠=︒：180120AMB ENB BNM ∠=∠=︒-∠=︒；360120AMC BMC AMB ∠=-∠-∠=︒︒．（3）如图2 分别以ABC 的AB AC 为一边向外作等边ABE △和等边ACF 连接,CE BF 相交于M 则点M 即为ABC 的费马点 由（2）知 ABC 的费马点在线段EC 上 同理也在线段BF 上．因此线段EC 与BF 的交点即为ABC 的费马点．（方法不唯一 正确即可）【点睛】本题考查了等边三角形的性质 三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11．已知：△ABC 与△BDE 都是等腰三角形．BA ＝BC BD ＝BE （AB ＞BD ）且有∠ABC ＝∠DBE ．（1）如图1 如果A 、B 、D 在一直线上 且∠ABC ＝60° 求证：△BMN 是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下 直线AE 和CD 的夹角是 °；（3）如图2 若A 、B 、D 不在一直线上 但∠ABC ＝60°的条件不变则直线AE 和CD 的夹角是 °； （4）如图3 若∠ACB ＝60° 直线AE 和CD 的夹角是 °．【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60；【解析】【分析】（1）根据题意 得∠ABC ＝∠DBE ＝60° 从而得ABE DBC ∠=∠；通过证明ABE CBD ≌ 得BAE BCD ∠=∠；通过证明BAM BCN ≌ 得BM BN = 根据等边三角形的性质分析 即可完成证明；（2）结合题意 通过证明ABC 为等边三角形 得60BAC BCA ∠=∠=︒；结合（1）的结论 根据三角形外角性质 推导得120AOD ∠=︒ 从而完成求解；（3）同理 通过证明ABC 为等边三角形 得60BAC BCA ∠=∠=︒；通过证明ABE CBD ≌ 得BAE BCD ∠=∠；根据三角形外角性质 推导得120AOD ∠=︒ 从而完成求解；（4）根据题意 通过证明ABC 为等边三角形 推导得ABE CBD ∠=∠ 通过证明ABE CBD ≌ 得BAE BCD ∠=∠ 结合三角形外角的性质计算 即可得到答案．【详解】（1）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°∴18060MBN ABC DBE ∠=︒-∠-∠=︒ ABE ABC MBN ∠=∠+∠ DBC DBE MBN ∠=∠+∠ ∴ABE DBC ∠=∠∵BA ＝BC BD ＝BEABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠ BAM 和BCN △中60BAE BCD AB BC ABC MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴BAM BCN ≌∴BM BN =∴BMN △为等边三角形；（2）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°, BA ＝BC∴ABC 为等边三角形；∴60BAC BCA ∠=∠=︒根据题意 AE 和CD 相交于点O∵BAE BCD ∠=∠∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒ 即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60；（3）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°, BA ＝BC∴ABC 为等边三角形；∴60BAC BCA ∠=∠=︒∵ABE ABC MBN ∠=∠+∠ DBC DBE MBN ∠=∠+∠ ∠ABC ＝∠DBE ＝60°∴ABE DBC ∠=∠∵BA ＝BC BD ＝BEABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠如图 延长AE 交CD 于点O∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒ 即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60；（4）∵BA ＝BC∴ACB CAB ∠=∠∵∠ACB ＝60°∴60ACB CAB ∠=∠=︒∴ABC 为等边三角形∵BD ＝BE ∠ABC ＝∠DBE∴60DBE ∠=︒∵ABE ABC CBE ∠=∠-∠ CBD DBE CBE ∠=∠-∠∴ABE CBD ∠=∠ABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠分别延长CD 、AE 相较于点O 如下图：∴AOF OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOF BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOF ∠=︒-∠=︒ 即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60．【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质 从而完成求解．12．如图 已知点B （-2 0） C （2 0） A 为y 轴正半轴上一点 点D 为第二象限内的一个动点 M 在BD 的延长线上 CD 交AB 于点F 且∠ABD =∠ACD ．（1）求证：∠BDC =∠BAC ；（2）求证：DA平分∠CDM；（3）若在D点运动的过程中始终有DC=DA+DB在此过程中∠BAC的度数是否变化？如果变化请说明理由；如果不变请求出∠BAC的度数？【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）∠BAC的度数不变化；理由见详解．【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理以及对顶角相等即可得到结论成立；（2）过点A作AH⊥CD于点H作AG⊥BM于点G．运用“AAS”证明△ACH≌△ABG得AH=AG．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；（3）运用截长法在CD上截取CP=BD连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形从而求∠BAC的度数．【详解】解：（1）由题意在△ACF和△BDF中ACD AFC CAB ABD BFD BDC∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒180∵∠ABD=∠ACD∠AFC=∠BFD∴∠BDC=∠BAC；（2）过点A作AH⊥CD于点H作AG⊥BM于点G如图：则∠AHC=∠AGB=90°∵OB=OC OA⊥BC∴AB=AC∵∠ABD=∠ACD∴△ACH≌△ABG（AAS）∴AH=AG．∴AD平分∠CDM．（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD连接AP．∵CD=AD+BD∴AD=PD．∵AB=AC∠ABD=∠ACD BD=CP∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD即△ADP是等边三角形∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法综合性较强．。
人教版八年级上数学第十一章-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)
第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类:等腰三角形和不等边三角形.2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段;三角形的中线:连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线,这条垂线段叫做三角形的高.注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段,不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线,三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点.（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点,钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1)三角形的内角和:180°引申:①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2)三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；-—常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.-—常用来比较角的大小5.多边形的内角与外角多边形的内角和与外角和（识记)4题图B DC (1）多边形的内角和：(n-2)180° （2）多边形的外角和：360°引申：(1）从n 边形的一个顶点出发能作(n-3）条对角线;（2）多边形有2)3(-n n 条对角线。
人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形综合应用题解析
原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！GEAC FB A BD C 全等三角形综合应用经典题解析1、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C.2、如图，AP 平分∠EAF ，PC ⊥AE 于点C ，PB ⊥AF 于点B ，AP 交BC 于点H ． 求证：AP·BC=2AB·PB.3、已知：如图，DC ∥AB ，且DC=AE ，E 为AB 的中点，(1)求证：△AED ≌△EBC ． (2)除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．4、如图，在△ABC 中，BG=CG ，∠ACG=∠ABG ，求证：AG ⊥BC ．5、如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BP ＝CP ，求证：AP ＝DP.6、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF.7、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB. 求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN.8、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.9、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠BAF=∠EAF.10、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C.AB CD AEC O B P C AD FA NEM BA BCPE H CF DABE ABC G原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！CA EB D F11、已知：AD 平分∠BAC ，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC.12、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.13、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上，求证：BC=AB+DC.14、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD+BD=BC.15、如图所示，AB ∥CD ，在AB 、CD 、BC 上各有一点E 、F 、P ，且BE ＝CF ，P 是BC的中点，试说明三点E 、F 、P 恰好在一条直线上.16、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC -AB=2BE.18、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．19、已知：如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF.20、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60º，AD+BC=AB=CD=2，求该四边形的面积.C AB D E B DC C B A DE DABCA FB E D C1 2 AB EC C F DP•A EB ••C原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！P DA CB21、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠BDC=30°，求∠DBC的度数.22、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC ＞AB ，求证：PC -PB ＜AC -AB.23、如图，P 是∠MAN 平分线上一点，PB ⊥AM 于点B ，点C 、D 分别在AM 、AN 上，∠ACP+∠ADP=180°，若AB=3cm ，求AC+AD 的长.24、如图在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE ，求证：MD=MN.25、如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F. 求证：(1)AE=BD ；(2)GF ∥BE.26、如图，△ABC 中，AB=AC ，点E 在AB 上，点F 在AC 延长线上，BE=CF ，连接EF ，交BC 于点D ，求证：DE=DF.27、如图，∠AOB=30°，OA=1，OB=3，点M 、N 分别为∠AOB 两边上的动点，求AN+NM+MB 的最小值.28、已知等边△ABC 内一点M ，AM=1，BM=3，CM=2，求∠AMC.29、如图，四边形ABCD 中AB ∥CD ，AB≠CD ，BD=AC ，求证：AD=BC.30、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF ＝2CD ．A B D C AD ACMB AD BCEA M EAFA D EB CN A C MP B原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！M DC ENE A BM D CN31、在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC,直线MN 经过点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE. (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明； 若不成立，说明理由.32、求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高.33、如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，E 、F 分别是CA 、CB 边上的点且AE=2CE ，将BF=2CF ，△ECF 绕点C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN ，连接AM ，BN ．(1)求证：AM=BN ；(2)当MA ∥CN 时，若AC=3，求AM 的长．34、如图，在长方形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向长方内部折叠，当点A 的对应点A1恰落在∠BCD 的平分线上时，求CA1的长.【提示：若a·b =0，则a =0或b =0】35、如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点 E ，与CD 相交于点F ，点H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .(1)求证：BF=AC ； (2)求证：CE=0.5BF ；(3)CE 与BG 存在怎样的数量关系？试证明你的结论.36、如右图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上，(1)若AB=4，BC=8， 求重合部分△EBD 的面积；(2)若CD=2，∠ADB=30°，求DE 的长．37、正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF ，BF ，如图。
人教版八年级上册三角形专题知识点典型题型难点题型详细答案(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形的基本概念。三角形是由三条线段首尾相连围成的图形。它是几何图形中最基本、最重要的元素之一，广泛应用于日常生活和各类工程领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析三角形在桥梁建筑中的应用，了解三角形如何帮助工程Байду номын сангаас解决实际问题。
人教版八年级上册三角形专题知识点典型题型难点题型详细答案（教案）
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一、教学内容
本节课依据人教版八年级上册数学教材中“三角形”专题进行设计。内容包括：
1.三角形的定义及分类；
2.三角形的内角和定理；
3.三角形全等的判定（SSS、SAS、ASA、AAS）；
4.等腰三角形的性质及判定；
5.等边三角形的性质及判定；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形的基本概念、内角和定理、全等的判定方法以及在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角形知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（3）直角三角形的判定及性质：学生对于直角三角形的判定和性质理解不深刻，容易混淆。
突破方法：结合勾股定理及其逆定理，通过实际例题，让学生深入理解直角三角形的判定和性质。
（4）难点题型：如涉及多个知识点综合应用的问题，学生难以找到解题思路。
突破方法：通过专题训练，培养学生分析问题和解决问题的能力，提高解题技巧。
2.教学难点
（1）三角形全等的判定：学生容易混淆四种全等判定方法，难以正确运用。
人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形的综合运用(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等腰三角形的基本概念、性质和综合应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对等腰三角形综合运用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-能够将等腰三角形的性质应用于解决实际生活中的问题，如建筑设计、园林规划等。
举例：
-通过具体例题，让学生掌握等腰三角形底角相等、底边中线等于腰长一半的性质，并能够应用这些性质解题。
-强调在等腰三角形中，若已知底和一腰，如何利用勾股定理求解另一腰长或顶角。
2.教学难点
-理解并掌握等腰三角形性质的综合运用，特别是涉及到多个定理结合的问题。
3.培养学生将数学知识应用于实际情境，提高解决实际问题的能力，增强数学在实际生活中的应用意识。
4.培养学生在探索等腰三角形相关问题时，形成合作交流、勇于探索的学习习惯，提高团队协作能力和创新精神。
三、教等腰三角形的性质及其判定方法，能够灵活运用解决相关问题。
-学会使用等腰三角形的性质进行角的计算和边长的求解。
4.综合运用等腰三角形的性质和判定解决以下问题：
a.已知等腰三角形的底和腰，求底角或顶角。
b.已知等腰三角形的底角，求顶角或腰长。
c.已知等腰三角形的一边和一角，求其他边和角。
二、核心素养目标
1.培养学生运用等腰三角形的性质和判定方法解决问题的能力，提升几何直观和空间想象能力。
八年级数学上册 三角形综合应用(讲义及答案)
三角形综合应用（讲义）知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向： 1. 三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________． 角：①______________________________________________；②_____________________________________________．2. 角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．3. 高线出现时考虑__________或__________．精讲精练1. 现有3 cm ，4 cm ，7 cm ，9 cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．103. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 4. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．C 21AABCD E第4题图 第5题图5. 如图，一个五角星的五个角的和是________．6. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．第2题图FEBA7. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________； （2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______； （4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1PNMABC D OO DCBA8. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？E C AB FA PP A CE图1 图2 图39. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O CM AND A第9题图 第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________； （2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．11. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，AC =3 cm ，BC =4 cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C EAF 12. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D PCEFA【参考答案】知识点睛1. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2. 设元 3. 互余，面积 精讲精练 1. B 2. C3.①③⑤4.130°5.180°6.360°7.（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β)8.（1）∠P=90°+12∠A；（2）∠P=12∠A；（3）∠P=90° 12∠A9.（1）90°（2）∠BOD=∠COE10.（1）245（2）3:211.3:4:612.（1）72（2）证明略三角形综合应用（讲义）知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：4.三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________．角：①______________________________________________；②_____________________________________________．5.角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．6.高线出现时考虑__________或__________．精讲精练13.现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A．5 B．6 C．7 D．1015.下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）．第2题图16. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．C 21AABCD E第4题图 第5题图17. 如图，一个五角星的五个角的和是________． 18. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．FEBA19. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________； （2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______； （4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1PNMABC D OO DCBA20. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？E C ABFPA PPA CE图1 图2 图321. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O CM AND A第9题图 第10题图22. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________； （2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．23. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，AC =3 cm ，BC =4 cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C EAF 24. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D PEFA【参考答案】知识点睛4.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．5.设元6.互余，面积精讲精练13.B14.C15.①③⑤16.130°17.180°18.360°19.（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β)20.（1）∠P=90°+12∠A；（2）∠P=12∠A；（3）∠P=90° 12∠A21.（1）90°（2）∠BOD=∠COE22.（1）245（2）3:223.3:4:624.（1）72（2）证明略。
人教版八年级数学上册专题(三) 全等三角形判定与性质的综合运用
类型三：证明两直线平行
4．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.
解：在△DOC 与△BOA 中，O∠CD＝OOC＝ A，∠BOA， OD＝OB，
∴△DOC≌△BOA(SAS)，∴∠D＝∠B，∴AB∥CD
类型四：证明两直线互相垂直 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点， 将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别 与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证 明你的猜想． 解：BE＝EC，BE⊥EC，证明：∵AC＝2AB，D是AC的中点，∴AB＝ AD＝CD，∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°，∵EA＝ ED，∴△EAB≌△EDC(SAS)，∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC，∴∠BED＋ ∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝90°，∴BE⊥EC
3．如图，AC⊥AD，BC⊥BD，OE⊥CDபைடு நூலகம்AC＝BD.求证：DE＝CE.
解：∵AC⊥AD，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°，在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中，DACC＝＝CBDD，，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)，∴∠ACD
＝∠BDC，在 Rt△ODE 和 Rt△OCE 中，∠∠OOEDDE＝＝∠∠OOECCE＝，90°，∴ OE＝OE，
∴∠A＝∠D
类型二：证明两线段相等 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC， CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE. 解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又CE⊥BD，∴∠BEC＝90°， 又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC，又BD＝CB，∴△ABD≌△ECB(AAS)， ∴AD＝BE
人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(带答案)
第7讲全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵对称全等型⑶旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．OA OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（B）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B 的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC 于F，若BD=AD，DE=DC。
人教版八年级数学上册第11章《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)含习题答案
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360°.
举一反三：
【变式】已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c =2b． 2.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC．
类型三、与三角形有关的角
4.已知△ABC 中，AE 平分∠BAC （1）如图 1，若 AD⊥BC 于点 D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数； （2）如图 2，P 为 AE 上一个动点（P 不与 A、E 重合，PF⊥BC 于点 F，若∠B＞∠C，则
∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】 （1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可； （2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计 算即可． 【答案与解析】 证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，
解：如图(1)，设 AB＝x，AD＝CD＝ 1 x ． 2
初中数学人教版八年级上册三角形综合应用(习题及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料三角形综合应用（习题）➢ 例题示范例1：如图，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ． 求证：∠DCE =∠CAD ．DEA【思路分析】①看到条件BD ，CD 平分∠ABC ，可知AD 也平分∠BAC ，得到：12DAC BAC ∠=∠，12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠；②根据CE ⊥BD ，得90DEC ∠=︒，所以90DCE EDC ∠+∠=︒；③题目所求为∠DCE =∠CAD ，若能够说明90CAD EDC ∠+∠=︒即可； ④根据三角形的内角和定理得：180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，所以90CAD DBC DCB ∠+∠+∠=︒，再根据三角形的外角定理可知EDC DBC DCB ∠=∠+∠，所以90CAD EDC ∠+∠=︒，证明成立． 【过程书写】 证明：如图，∵BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB∴12DAC BAC ∠=∠，12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠在△ABC 中，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒ ∴90CAD DBC DCB ∠+∠+∠=︒ ∵∠EDC 是△BCD 的一个外角 ∴EDC DBC DCB ∠=∠+∠ ∴90CAD EDC ∠+∠=︒ ∵CE ⊥BE ∴90DEC ∠=︒ ∴90DCE EDC ∠+∠=︒ ∴∠DCE =∠CAD➢ 巩固练习DEA1. 现有2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）A ．∠B +∠A =∠C B ．∠A :∠B :∠C =2:3:5 C ．∠A =2∠B =3∠CD ．一个外角等于和它相邻的一个内角3. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=___________．第2题图124. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________． F EDCBAOC BA第4题图 第5题图5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若∠CAB 与∠CBA 的平分线相交于点O ，则∠AOB =__________．6. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 与外角平分线CE 的反向延长线交于点D ，若∠A =30°，则∠D =________．FECBA7. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ，若∠B =40°，∠C =70°，则∠DF E =________．F E DBAG H FE DCBA 21第7题图 第8题图8. 如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，且满足BE ⊥AC ，F 为AB 上一点，且CF ⊥AD 于点H ．下列结论：①线段AG 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABC 的中线；③线段AE 是△ABG 的边BG 上的高；④△ABG 与△DBG 的面积相等．其中正确的结论有________（填序号）． 9. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，BC =4 cm ，则△ABC 的高AD 与CE 的比是__________． 10. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC =50°，∠C =60°，求∠CAD 及∠AOB 的度数．OFE D BA➢ 思考小结1. 三角形有关性质：E D C B A（1）“X 型”：（2）“角平分线模型”E1902P A ∠=︒+∠ 12P A ∠=∠ 1902P A ∠=︒-∠【参考答案】➢ 巩固练习 1. A 2. C 3. 270° 4. 360° 5. 135° 6.15°7.15°8.①③④9.1:210.∠CAD=30°，∠AOB=120°➢思考小结1.大于，小于，180°，和它不相邻的两个内角的和2.略。
八年级数学上册三角形综合应用(习题及答案)
第1页共4页三角形综合应用（习题）
例题示范
例1：如图，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证：∠DCE=∠CAD ．
D
E
C
B A
【思路分析】
①看到条件BD ，CD 平分∠ABC ，可知AD 也平分∠BAC ，得到：1
2DAC BAC ，
12DBC ABC ，1
2DCB ACB ；
②根据CE ⊥BD ，得90DEC ，所以90DCE EDC ；
③题目所求为∠DCE=∠CAD ，若能够说明90CAD EDC 即可；④根据三角形的内角和定理得：180BAC ABC ACB ，所以
90CAD DBC DCB ，再根据三角形的外角定理可知
EDC DBC DCB ，所以90CAD EDC ，证明成立．
【过程书写】
证明：如图，
∵BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB
∴12DAC BAC ，1
2DBC ABC ，1
2DCB ACB
在△ABC 中，180
BAC ABC ACB ∴90CAD DBC DCB ∵∠EDC 是△BCD 的一个外角∴EDC DBC DCB
∴90CAD EDC ∵CE ⊥BE ∴90
DEC ∴90
DCE EDC ∴∠DCE=∠CAD
巩固练习
1.现有2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，
那么可以组成三角形的个数为（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
D
E
C
B A。
第十一章 三角形讲义2021-2022学年人教版八年级数学上册
第十一章三角形讲义题型一、三角形的三边关系例1、下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（）A．2 cm，2 cm，4 cm B．3 cm，4 cm，3 cmC．4 cm，4 cm，9 cm D．3 cm，4 cm，5 cm例2、若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是（）A．a＋b＋c B．－a＋3b－c C．a＋b－c D．2b－2c变式1、下列每组数据分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是( )A．2 cm,5 cm,8 cm B．13 cm,12 cm,25 cm C．3 cm,3 cm,6 cm D．13 cm,12 cm,20 cm变式2、已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a，b，c|，|b，a，c|，__________.变式3、如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是题型二、三角形的稳定性例1、下列选项中，有稳定性的图形是（）A．B．C．D．变式1、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是．题型三、三角形中的线段例1、下列叙述正确的是（）①三角形的中线、角平分线都是射线②三角形的三条高线交于一点③三角形的中线就是经过一边中点的线段④三角形的三条角平分线交于一点⑤三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形．A．④⑤B．①②④C．②④D．④例2、如图3，AD 是△ABC 的角平分线，已知△C ＝80°，△B ＝40°，则△ADC 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°例3、如图4，已知CD 是△ABC 的中线，E 为CD 的中点，若△ABC 的面积为1，则△ACE 的面积为（ ）A．21 B ．31 C ．41 D ．51变式1、如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于点Ｅ，Ｆ为AB 上一点，CF AD ⊥于Ｈ．下面判断正确的有 （1）AD 是ABC ∆的角平分线 （2）BE 是ABD ∆的AD 边上的中线 （3）CH 为ACD ∆边AD 上的高线 （4）AH 是ACF ∆的角平分线和高线变式2、如图，AD 是△ABE 边BE 上的中线，AE 是△ACD 边CD 上的中线，则图中面积相等的三角形有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对变式3、如图，在△ABC 中，∠ABC =56º△∠ACB =44º△AD 是BC 边上的高，AE 是△ABC 的角平分线，求出∠DAE 的度数。
初中数学人教版八年级上册三角形全等之动点问题(讲义及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料三角形全等之动点问题（讲义）➢课前预习已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．➢知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．➢精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边EAD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何P D A值时，△PDQ ≌△CQD ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，点D 为AB 的中点．点P 在线段BC 上以每秒3 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．D CBA4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE=4 cm，点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP 全等，求此时t的值及点Q的运动速度．5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA6. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =CD =3 cm ，AD =BC =5 cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1 cm 的速度沿BC 方向向点C 运动，动点Q 从点C 出发，以每秒2 cm 的速度沿CD -DA -AB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，设点P 运动时间为t 秒．请回答下列问题：（1）请用含t 的式子表达△CPQ 的面积S ，并直接写出t 的取值范围．（2）是否存在某个t 值，使得△ABP 和△CDQ 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA【参考答案】➢课前预习（1）2t，t（2）4s➢知识点睛速度已知1．研究背景图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．➢精讲精练1.解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．理由如下：如图，由题意得BP=2t∴当t=1.5时，BP=3∵AE=7，AD=10∴DE=3∴BP=DE在矩形ABCD 中 AB =CD ，∠B =∠CDE 在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ） （2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12 ∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3. 解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8 ∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点 ∴BD =12AB =5 ①要使△BDP ≌△CPQ ， 则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =43则Q 的速度为Q v =s t =5×34=154（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4. 解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4 ∴BE =10-4 =6①要使△BEP ≌△CPQ ， 则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t ∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ， 则需BP =CP ，BE =CQ 即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =st=6×25=125（cm/s ） 即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5. 解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0<t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴②当P 在CD 上时，（2.5<t ≤4.5）12145210ABP S AB BC∆=⋅=⨯⨯=∴ ③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5<t <7）12141422284ABP S AB APt t ∆=⋅=⨯⨯=∴--（） （2）①当P 在BC 上时， 如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE ∵CE =2 ∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6. 解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0<t ≤1.5）2121(5)22 5CPQ S CP CQt t t t ∆=⋅=-⋅=-∴11 ②当Q 在DA 上时，（1.5<t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CDt t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4<t <5） 2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQt t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴（2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时，如图，由题意得DQ =2t -3要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ∵DQ =2t -3，BP =t∴t =2t -3，t =3即当t =3时，△ABP ≌△CDQ ．③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 综上所述，当t =3时，△ABP 和△CDQ 全等．。
三角形的综合运用八年级数学(上册)人教版
找. A
B
1D
∠2=∠A’AE+∠AA’E
A'
∠1= ∠A’AD+∠AA’D
2
E
C
∴∠2-∠1=2∠A.
如图，△ABC中，∠B＝∠C，∠BAD=40°， 且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度数.
A
E
B
D
C
如图，△ABC中，∠B＝∠C，∠BAD=40°， 且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度数.
A
∠1＋∠2之间的这种数量关系还会保持不变吗？
如果改变，新的规律又是什么呢？请试着找一
找. A
B
1D 3
∵∠2=∠3+∠A，
A
∠3=∠1+∠A，
2
E
C
∴∠2=∠1+2∠A. ∴∠2-∠1=2∠A.
（2）当点 A落在四边形BCDE外部时，则∠A与
∠1＋∠2之间的这种数量关系还会保持不变吗？
如果改变，新的规律又是什么呢？请试着找一
如果改变，新的规律又是什么呢？请试着找一 找. A
B
1D
2
E
C
（2）当点 A落在四边形BCDE外部时，则∠A与 ∠1＋∠2之间的这种数量关系还会保持不变吗？
如果改变，新的规律又是什么呢？请试着找一 找. A
B
1D
A
2
E
C
（2）当点 A落在四边形BCDE外部时，则∠A与 ∠1＋∠2之间的这种数量关系还会保持不变吗？
三角形外角性质
说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
70°
E
40°
21
B
C
D
CE平分ACD
(4)
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三角形综合应用（讲义）知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向： 1. 三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________． 角：①______________________________________________；②_____________________________________________．2. 角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．3. 高线出现时考虑__________或__________．精讲精练1. 现有3 cm ，4 cm ，7 cm ，9 cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A ．5 B ．6 C ．7 D ．103. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 4. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．C 21AABCD E第4题图 第5题图5. 如图，一个五角星的五个角的和是________．6. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．第2题图FEBA7. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________； （2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______； （4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1P NMABCDOO DCBA8. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？E C AB FPA PP A CE图1 图2 图39. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O D ECM ANBD A第9题图 第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________；（2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．11. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，AC =3 cm ，BC =4 cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C EAF 12. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D PCEFA【参考答案】知识点睛1. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2. 设元 3. 互余，面积精讲精练1. B2. C3.①③⑤4.130°5.180°6.360°7.（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β)8.（1）∠P=90°+12∠A；（2）∠P=12∠A；（3）∠P=90° 12∠A9.（1）90°（2）∠BOD=∠COE10.（1）245（2）3:211.3:4:612.（1）72（2）证明略三角形综合应用（讲义）知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：4.三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________．角：①______________________________________________；②_____________________________________________．5.角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．6.高线出现时考虑__________或__________．精讲精练13.现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A．5 B．6 C．7 D．1015. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 16. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．B C 21AABCD E第4题图 第5题图17. 如图，一个五角星的五个角的和是________． 18. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．FEBA19. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________； （2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______； （4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1P NMABCDOO DCBA20. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？E C AB FA PP A BCE图1 图2 图321. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O CM AND A第9题图 第10题图22. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________；（2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．23. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，AC =3 cm ，BC =4 cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C DEAF B 24. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D B PCEFA【参考答案】知识点睛4. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5. 设元 6. 互余，面积精讲精练 13. B 14. C15. ①③⑤ 16. 130° 17. 180° 18. 360°19. （1）∠A +∠D =∠B +∠C ；（2）3； （3）35°；（4）12(α+β)20. （1）∠P =90°+12∠A ； （2）∠P =12∠A ；（3）∠P =90° 12∠A21. （1）90° （2）∠BOD =∠COE22. （1）245（2）3:223. 3:4:624. （1）72（2）证明略。