南通市高三高考最后一练数学试题

2016届江苏省南通市高三高考最后一练数学试题一、填空题1、已知集合}3,2,1{=A ，}6,3,{m B =，}3,2{=B A ，则实数m 的值为 .2、设复数i R b a bi a z ,,(∈+=是虚数单位），若i i z =-)2(，则b a +的值为 .3、下图是一个算法流程图，当输入的x 的值为2-时，则输出的y 的值为.4、用2种不同的颜色给右图中的3个圆随机涂色，每个圆只涂1种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为.5、用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1~480，按编号顺序平均分为20个组（1~24号，25~48号，……，457~480号）.若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为 .6、设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0212y y x y x ，表示的平面区域为D ，),(y x P 是区域D 内任意一点，则y x +3的最大值为 .7、已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面所成的角为 60，则该棱锥的体积为 . 8、在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点),2(t P -，且55cos sin =+θθ，则实数t 的值为 . 9、已知一元二次不等式0)(>x f 的解集为),2()1,(+∞-∞ ，则不等式0)3(≤xf 的解集为 . 10、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆),(1)()(22R b a b y a x ∈=-+-截直线012=-+y x 所得的弦长为554，则ab 的最大值为 .11、设直线l 是曲线x x y ln 343+=的切线，则直线l 的斜率的最小值为 . 12、在平行四边形ABCD 中，已知2=AB ，7=AC ，1=AD .若点Q P ,满足AP AC 3=，PQ BD 4=，则AQ AP ⋅的值为 .13、在平面直角坐标系xOy 中，已知)sin ,(cos ααA ，)sin ,(cos ββB 是直线23+=x y 上的两点，则)tan(βα+的值为 .14、已知函数23||)(-+--=a xa x x f 有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为 .二、解答题15、（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，B A >，135cos =C ，53)cos(=-B A . （1）求A 2cos 的值； （2）若15=c ，求a 的值.16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ACD ∆是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ， 120=∠ABC ，1==AB PA ，2=PD ，N 为PD 的中点.（1）求证：⊥AD 平面PAB ； （2）求证：//CN 平面PAB .17、（本小题满分14分）某市2015年新建住房面积为500万2m ，其中安置房面积为200万2m .计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万2m .记2015年为第1年. （1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万2m ？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知B A ,分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的上、下顶点，点)21,0(M 为线段AO 的中点，a AB 2=.（1）求椭圆的方程；（2）设)2,(t N （0≠t ），直线NB NA ,分别交椭圆于点Q P ,，直线PQ NB NA ,,的斜率分别为321,,k k k . ①求证：Q M P ,,三点共线； ②求证：213231k k k k k k -+为定值.19、（本小题满分16分）已知数列}{n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且142111-=-+n n n S a a （*∈N n ）. （1）求2a 的值； （2）设nn nn a a a b -=+1，求数列}{n b 的通项公式；（3）若),,,(,,r p m N r p m a a a r p m <<∈*成等比数列，试比较2p 与mr 的大小，并证明.20、（本小题满分16分）已知函数ex e x f x-=)(，a ax x g +=2)(，其中e 为自然对数的底数，R a ∈. （1）求证：0)(≥x f ；（2）若存在R x ∈0，使)()(00x g x f =，求a 的取值范围； （3）若对任意的)1,(--∞∈x ，)()(x g x f ≥恒成立，求a 的最小值.21、选做题A ．【选修4—1：几何证明选讲】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BD BC =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E .求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线.B.【选修4—2：矩阵与变换】 已知变换T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 2''，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵1-A .C.【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 323（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==m y m x 2322（m 为参数）.若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求线段AB 的长.D.【选修4—5：不等式选讲】已知关于x 的不等式02<+-b ax x 的解集为)2,1(，其中R b a ∈,，求函数x b x a x f --+--=4)1(3)1()(的最大值.【必做题】22、（本小题满分10分）已知正六棱锥ABCDEF S -的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积. （1）求概率)3(=X P 的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望)(X E.23、（本小题满分10分） 已知m m my x +=+2)12(，其中m ，m x ，*∈N y m .（1）求证：m y 为奇数；（2）定义：[x ]表示不超过实数x 的最大整数.已知数列}{n a 的通项公式为]2[n a n =.求证：存在}{n a 的无穷子数列}{n b ，使得对任意的正整数n ，均有n b 除以4的余数为1.高三练习卷参考答案一、填空题： 1、2 2、51 3、7- 4、415、756、67、3328、49、]2log ,0[3 10、21 11、9 12、361913、3- 14、}83335,59{+-二、解答题：15、（1）解：在ABC ∆中，π=++C B A ，所以C B A -=+π，所以135cos )cos()cos(-=-=-=+C C B A π. 因为π<+<B A 0，1)(cos )(sin 22=+++B A B A ，所以1312)135(1)(cos 1)sin(22=--=+-=+B A B A . 因为B A >，所以π<-<B A 0，由53)cos(=-B A ，得54)53(1)(cos 1)sin(22=-=--=-B A B A .所以)sin()sin()cos()cos()]()cos[(2cos B A B A B A B A B A B A A -+--+=-++=656354131253)135(-=⨯-⨯-=. （2）由6563sin 212cos 2-=-=A A ，得6564sin 2=A ，因为π<<A 0，所以658sin =A ， 因为15=c ，由正弦定理CcA a sin sin =得：6521265815sin sin =⨯==C A c a .16、（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BC BA =，在ABC ∆中，因为 120=∠ABC ，所以 30=∠BAC ，因为⊂AP AB ,平面PAB ，A AP AB = ，所以⊥AD 平面PAB .（2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH因为N 为PD 的中点，所以PA HN //，因为⊂PA 平面PAB ，⊄HN 平面PAB ， 所以//HN 平面PAB .由ACD ∆是正三角形，H 为AD 的中点，所以AD CH ⊥，由（1）知，AD BA ⊥，所以BA CH //，因为⊂BA 平面PAB ，⊄CH 平面PAB ，所以//CH 平面PAB .因为⊂HN CH ,平面CNH ，H HN CH = ，所以平面//CNH 平面PAB . 因为⊂CN 平面CNH ，所以//CN 平面PAB .（方法二）取PA 的中点S ，过C 作AD CT //交AB 的延长线于T ，连结SN ST ,. 因为N 为PD 的中点，所以AD SN //，且AD SN 21=，因为AD CT //，所以SN CT //. 由（1）知，AD AB ⊥，所以AT CT ⊥，在直角CBT ∆中，1=BC , 60=∠CBT ,得23=CT .由（1）知3=AD ，所以AD CT 21=，所以SN CT =. 所以四边形SNCT 是平行四边形，所以TS CN //.因为⊂TS 平面PAB ，⊄CN 平面PAB ，所以//CN 平面PAB .17、（1）设n （N n ∈）年内所建安置房面积之和首次不低于3000万2m ，依题意，每年新建安置房是以200为首项，50为公差的等差数列，从而n 年内所建安置房面积之和为2]502)1(200[m n n n ⨯-+，则3000502)1(200≥⨯-+n n n ，整理得012072≥-+n n ，解得8≥n （15-≤n 舍去）. 答：8年内所建住房面积之和首次不低于3000万2m .（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，200为首项，1.1为公比的等比数列，设第m 年所建安置房面积占新建住房面积的比为)(m p ，则111.1103)1.01(500)1(50200)(--⨯+=+⋅-+=m m m m m p ，由)1()(+=m p m p 得，mm m m 1.11041.11031⨯+=⨯+-，解得7=m . 答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变.18、解：（1）由题意知，a b b 2)21(42=-=，解得2=a ，1=b ，所以椭圆的方程为1222=+y x .证：（2）①由)2,(t N ，)1,0(A ，)1,0(-B ，则直线NA 的方程为11+=x t y ，直线NB 的方程为13-=x ty ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=221122y x x t y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=2224222t t y t t x ，故)22,24(222+-+-t t t t P 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=221322y x x t y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=18181812222t ty t t x ，故)1818,1812(222+-+t t t t Q 所以直线PM 的斜率t t t t t t k PM 862421222222-=+--+-=， 直线PM 的斜率t t t t t t k QM 8618122118182222-=+-+-=， 所以QM PM k k =，故Q M P ,,三点共线.②由①知，t t k t k t k 86,31,12321-===，所以21386422213231-=--⨯=-+tt t t k k k k k k ，所以213231k k k k k k -+为定值21-.19、（1）易得3142=a . （2）由142111-=-+n n n S a a ，得14211-=-++n n n n n S a a a a ，所以nn n n n a a a a S -=-++11214① 所以1212214++++-=-n n n n n a a a a S ②，由②-①，得nn nn n n n n n a a a a a a a a a ---=+++++++1112121222，因为01≠+n a ，所以n n n n n n a a a a a a ---=++++11222，所以211121=---+++++n n n n n n a a a a a a ，即11121=---++++nn nn n n a a a a a a ，即11=-+n n b b ，所以数列}{n b 是公差为1的等差数列.因为431211=-=a a ab ，所以数列}{n b 的通项公式为41-=n b n .(3)由（2）知，411-=-+n a a a n n n ，所以143414111-+=+-=+n n n a a n n ，所以141)1(41-=-++n a n a n n ，所以数列}14{-n a n是常数列. 由321141=-⨯a ，所以)14(32-=n a n . (方法一)由),,,(,,r p m N r p m a a a r p m <<∈*成等比数列，则14-m ，14-p ，14-r 成等比数列，所以)14)(14()14(2--=-r m p ，所以0)(4168162=++--r m mr p p ，即0)(4242=++--r m mr p p （*） （途径一）（*）式即为mr mr r m mr p p 24)(4242-<+-=-，所以22)212()212(-<-mr p ，即212212-<-mr p ，所以mr p <，即mr p <2. （途径二）（*）式即为14242-+-=r r p p m .由014)(14)14()24(1424222222>--=---+-=-⋅-+-=-r r p r p r r r p p p r r r p p p mr ，所以mr p <2.（方法二）由),,,(,,r p m N r p m a a a r p m <<∈*成等比数列，则14-m ，14-p ，14-r 成等比数列，记)1(4,4,4γβαγβα<<<===r p m ，则有1,1,1---γβα成等比数列，所以)1)(1()1(2--=-γαβ，即)(22γααγββ+-=-，若αγβ=2，即mr p =2时，则βγα2=+，所以γβα==，矛盾； 若αγβ>2，则0)(22>-=+-αγβγαβ，所以1)(21>+>γαβ，所以0)(41)]([)()2()]([)(222>-=+---+-+>+---γαγααγγαγαγααγββ，矛盾.所以αγβ<2，即mr p <2.20、解：（1）令0)('=-=e e x f x，得1=x ，且当1<x 时，0)('<x f ；当1>x 时，0)('<x f ，所以函数)(x f 在)1,(-∞上单调递减，在),1(+∞上单调递增，所以函数)(x f 在1=x 处取得最小值.因为0)1(=f ，所以0)(≥x f .（2）设a ax ex e x F x ---=2)(，题设等价于函数)(x F 有零点时的a 的取值范围. ①当0≥a 时，由03)(≤-=a x F ，0)1(1>++=--a e e F ，所以)(x F 有零点. ②当02<≤-a e时， 若0≤x ，由02≥+a e ，得0)2()(>-+-=a x a e e x F x ； 若0>x ，由（1）知，0)12()(>+-=x a x F ，所以)(x F 无零点. ③当2e a -<时，01)0(>-=a F ，又存在0210<+-=ae a x ，0)2(1)(00=-+-<a x a e x F ，所以)(x F 有零点.综上，a 的取值范围是2ea -<或0≥a . （3）由题意，ex e x a x-≤+)12(，因为1-<x ，所以12+-≥x exe a x .设)1(12)(-<+-=x x exe x G x ，其值域为A ，由于0122212)2()(<++=++-=--x ee e x ex e e x G x x，所以2)(e x G -<. 又0)12(2)('2<+--=x e e xe x G x x ，所以)(x G 在)1,(--∞上为减函数，所以ee G x G 1)1()(--=->，记区间B ee e =---)2,1(，则B A ⊆.①设函数B m m x G x H ∈-=,)()(， 一方面，01)1(<--=-m ee H ； 另一方面，]1)2()1[(121)]12([121)(m x m e e x x m ex e x x H x x -++--+=---+=， 存在125-<+e m ，0]4)1[(12101)25(>+--⋅++=+m e em e m H x所以)1,25(1-+∈∃em x ，使0)(1=x H ，即m x G =)(1，所以A B ⊆.②由①，②知，B A =，从而2e a -≥，即a 的最小值为2e-.21、选做题A 、证明：因为ABCD 是圆的内接四边形，所以BCD DAE ∠=∠，BDC BAC FAE ∠=∠=∠. 因为BD BC =，所以BDC BCD ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线.B 、解：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 1021''，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A . 设dd c b a A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10012210211d c d b c a d c b a AA d，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=+100212d c d b c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==1021d c b a ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-10211A .C 、解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 323消去参数t ，得)23(3-=x y ，由⎪⎩⎪⎨⎧==m y m x 2322消去参数m ，得x y 62=. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 6)23(32，消x 得09322=--y y ，解得331=y ，32-=y ，所以)33,29(A ，)3,21(-B ，所以8)333()2129(22=++-=AB . D 、因为不等式02<+-b ax x 的解集为)2,1(， 所以可得3=a ，2=b .又函数x x x b x a x f -+-=--+--=4324)1(3)1()(，由柯西不等式可得5])4()3)[(12()432(22222=-+-+≤-+-x x x x ， 当且仅当x x -=-432，即]4,3[516∈=x 时取等号， 所以，当516=x 时，函数)(x f 取得最大值5. 必做题：22、解：（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3537=C 种取法，其中3=X 的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个. 因此3566)3(37===C X P . （2）由题意，X 的可能取值为33,32,6,2,3. 其中3=X 的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个；其中2=X 的三角形有两类，如PAD ∆（3个），PAB ∆（6个），共有9个； 其中6=X 的三角形如PBD ∆，这类三角形共有6个； 其中32=X 的三角形如CDF ∆，这类三角形共有12个； 其中33=X 的三角形如BDF ∆，这类三角形共有2个； 因此356)3(==X P ，359)2(==X P ，356)6(==X P ，3512)32(==X P ，352)33(==X P .所以数学期望35186633635233351232356635923563)(++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 23、证明：（1）由)2(2)()12)(2()12(1m m m m m m m y x y x y x +++=++=++得m m m y x y +=+21，即1+m y 与m y 同奇偶，而当1=m 时，11=y 为奇数，所以m y 均为奇数.（2）由二项式定理可得：m m my x -=-2)12(，所以1222=-m m y x ，即22212mm m y y x >+=，所以2222224)1()1(2+<+=<m m m m m m y y y y x y ， 从而有1222+<<m m m m y y x y ，令m m y x n =，则2]2[]2[m m m n y y x n b ===，由（1）知，m y 为奇数，所以n b 除以4的余数均为1.。