2018届高考数学(理)第一轮总复习全程训练考点集训：第3章 三角函数、解三角形 天天练13
2018年高考数学理一轮复习文档 第三章 三角函数、解三角形 高考零距离3 三角函数、解三角形 含答案 精品
三角函数、解三角形1．高考对此部分内容考查重点仍是三角函数的定义、图象与性质、求值与解三角形．三角函数的图象与性质的考查中，以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量或不等式内容交汇．2．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现，小题一般出现在第4～11或14～16题位置上，而解答题一般出现在第17题位置上．题溯源(2016·高考全国卷丙，T14)1．(必修5 P18练习T1(1)改编)在锐角△ABC 中，a ＝2，b ＝3，S △ABC ＝22，则c ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D.17B 由已知得12×2×3×sin C ＝22，所以sin C ＝223.由于C ＜90°，所以cos C ＝1－sin 2C ＝13.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋32－2×2×3×13＝9，所以c ＝3，故选B.2．(必修5 P18练习T3(1)改编)△ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a tanA ＝b cos C ＋c cosB ，则tan 2A ＝( )A ．1 B.45 C.23D.43D 由余弦定理得2a tan A ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a .所以tan A ＝12.所以tan 2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43.故选D. 3．(必修4 P57习题1.5A 组T1(3)改编)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象对应的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4A 把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数y ＝sin 2x 的图象，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象对应的解析式是y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，故选A.4．(必修4 P41练习T6改编)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 D 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，所以－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.又因为|φ|＜π，所以φ＝π4，所以f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得kπ＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .当k ＝0时，π8≤x ≤58π，故选D.5．(必修5 P20习题1.2A 组T11(3)改编)△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .A ＝120°，a ＝7，S △ABC ＝1543，则b ＋c ＝________． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12bc sin 120°＝1543b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72， 即⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝15b 2＋c 2＋bc ＝49， 所以b 2＋c 2＋2bc ＝64. 所以b ＋c ＝8. 86．(必修5 P20习题1.2A 组T13改编)D 为△ABC 的边BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交AB 于E ，求S △ACE . (1)由题意知AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .即1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，① 1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.② ①＋②得m 2＝32，所以m ＝62，即BC ＝ 6. (2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AE sin ∠ACE ＝ECsin ∠EAC，BEsin ∠BCE＝ECsin ∠CBE，由于∠ACE ＝∠BCE ，且BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠CBA ，所以AE BE ＝AC BC ＝66. 所以BE ＝6AE ，所以AE ＝25(6－1)．又cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋12－（6）22×2×1＝－14，所以sin ∠BAC ＝154， 所以S △ACE ＝12AC ·AE ·sin ∠BAC ＝12×1×25(6－1)×154＝310－1520.。
2018届高考数学理第一轮总复习全程训练考点集训：第3
天天练
1．B当x∈ 时，2x－ ∈ ，sin ∈ ，故3sin ∈ ，即此时函数f(x)的值域是 .
2．B据已知可得f(x)＝2sin ，若函数为偶函数，则必有θ＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，又由于θ∈ ，故有θ＋ ＝ ，解得θ＝ ，经代入检验符合题意．
③∵当x∈－ ， ]时，f(x)＝|sinx确；
④∵f(x＋π)≠f(x)，∴函数f(x)的周期不是π，∴④不正确；
⑤∵f(x)＝|sinx|cosx＝
，
k∈Z，∴结合图象可知f(x)的图象关于点( ，0)成中心对称，
∴⑤正确．
12．解：(1)由题设知f(x)＝ 1＋cos(2x＋ )]．
∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，将x＝ 代入可得φ＝kπ＋ (k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝ .
7．A∵β∈ ，
∴π－β∈ ，且sin(π－β)＝sinβ.
∵y＝sinx在x∈ 上单调递增，
∴sinα>sinβ⇔sinα>sin(π－β)
⇔α>π－β⇔α＋β>π.
8．B要使函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间 上的最小值是－2，则应有 ≤ 或 T≤ ，即 ≤ 或 ≤π，解得ω≥ 或ω≥6.
4．A依题意，得f(x)＝(1＋ tanx)cosx＝2sin .故最小正周期为2π.
5．D依题意，f(x)＝ cos(ωx＋ )，令2kπ≤ωx＋ ≤π＋2kπ(k∈Z)，解得－ ＋ ≤x≤ ＋ (k∈Z)，∴ ，又ω＞0，∴0＜ω≤ ，观察可知选D.
6．A由题意可知函数f(x)的周期T＝2× ＝2π，故ω＝1，
令2x＋ ＝kπ(k∈Z)，得x＝ － (k∈Z)，
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第3章 三角函数、解三角形3-1含答案
（时间：40分钟）1．点A(sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0，∴选C项．2．已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 C解析设扇形所在圆的半径为R，则2＝错误!×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.3．如果角α的终边过点P（2sin30°,－2cos30°）,那么sinα＝（)A．错误!B．－错误!C．－错误!D．－错误!答案 C解析因为P(1，－3)，所以r＝错误!＝2。
所以sinα＝－错误!。
4．sin2·cos3·tan4的值（)A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案 A解析∵错误!＜2＜3＜π＜4＜错误!，∴sin2＞0,cos3＜0，tan4＞0。
∴sin2·cos3·tan4＜0，∴选A.5．已知α是第二象限角,P（x,5)为其终边上一点，且cosα＝错误!x，则x＝（）A．错误!B．±错误!C．－错误!D．－错误!答案 D解析依题意得cosα＝错误!＝错误!x＜0,由此解得x＝－错误!，选D.6．若420°角的终边所在直线上有一点（－4，a)，则a的值为________．答案－4错误!解析由三角函数的定义有:tan420°＝错误!。
又tan420°＝tan（360°＋60°）＝tan60°＝错误!，故错误!＝错误!，得a＝－4错误!。
7．点P从（－1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动错误!弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．答案错误!解析设点A(－1，0），点P从(－1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动错误!弧长到达点Q,则∠AOQ＝错误!－2π＝错误!(O为坐标原点),所以∠xOQ＝错误!，cos错误!＝错误!，sin错误!＝错误!，点Q的坐标为错误!。
2018届高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、解三角形 文 新人教A版
第三章⎪⎪⎪ 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：C2．(教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．答案：四 一3．(教材习题改编)已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x.[小题纠偏]1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z)，则α和β终边相同答案：D2．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝________.答案：513考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．(易错题)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选C ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．3．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出k α或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置，如“题组练透”第2题易错．考点二 扇形的弧长及面积公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析：选C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.2．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm.解析：设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.答案：833π3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝αr ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12αr 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第2题．考点三 三角函数的定义常考常新型考点——多角探明[命题分析]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数值的符号判定；(2)由角的终边上一点的P 的坐标求三角函数值；(3)由角的终边所在的直线方程求三角函数值．[题点全练]角度一： 三角函数值的符号判定1．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．角度二：由角的终边上一点P 的坐标求三角函数值2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－353．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m 4，则m ＝________.解析：由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2.∴sin α＝m r＝2m 4＝m 22，∴r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.答案：±5角度三：由角的终边所在的直线方程求三角函数值4．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.[方法归纳]应用三角函数定义的3种求法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．3．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数定义知，点P 的横坐标x ＝cos θ，纵坐标y ＝sin θ.4．(2019·江西六校联考)点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°)＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°)＝－cos 35°＜0，所以点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限．5．(2019·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．－43解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3B.π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A ，B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝2＋－2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3 D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，∴α＝ 3.4．(2019·潍坊二模)集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.答案：－89．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π410．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0解析：选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A ，C ，D.2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.3．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系tan α＝sin αcos α.2．诱导公式1．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.2．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．22解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.3．(教材习题改编)(1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－31π4＝________，(2)tan ⎝⎛⎭⎪⎫－26π3＝________.答案：(1)22(2)31．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．(2019·福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125C.512 D ．－512解析：选D 因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.2．若sin(3π＋θ)＝13，则sin θ＝________.答案：－13考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．sin 210°cos 120°的值为( )A.14B ．－3424解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析：∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.答案：3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二 同角三角函数的基本关系题点多变型考点——纵引横联[典型母题]已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.求tan α的值．[解] 法一： 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，①②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，同角三角函数基本关系式的应用技巧[变式一] 保持母题条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：由母题可知：tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825.[变式二] 若母题条件变为“sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5”， 求tan α的值．解：法一：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.法二：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.[变式三] 若母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 求sin α＋cos α的值．解：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0，∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105.1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．2．三角形中常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝sin C 2等．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( )A ．－45B.45C.35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45.[破译玄机]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6 D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.223B ．－223C.13D ．－13解析：选D ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B ∵sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0.∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0.2．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α的值等于( )A ．－25B ．－15C.25或－25D.25解析：选A 由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝tan α1＋tan 2α＝－25.3．(2019·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°－＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D.3解析：选D 原式＝－－－－＋＝cos 10°－－－－＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.4．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( )A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12.5．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.6．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：07．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3348．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案：09．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos2n π＋x2n π－xcos2n ＋π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫503π1 007的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2k π＋x2k π－x cos2k ＋π－x ]＝cos 2x ·sin 2－xcos 2π－x ＝cos 2x－sin x2－cos x2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，f (x )＝cos 2k ＋π＋x ]·sin 2k ＋π－x ]cos2k ＋＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋π＋x 2[2k π＋π－x cos 2k ＋π＋π－x＝cos2π＋x2π－xcos 2π－x＝－cos x 2sin 2x －cos x 2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫503π1 007＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014＝sin 2π2 014＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 014＝sin2π2 014＋cos 2π2 014＝1.第三节 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2答案：B2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 答案：B3．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0解析：选B 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为____________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)考点一 三角函数的定义域与值域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.2．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为__________________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋kx ，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 4．(易错题)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.[谨记通法]1．三角函数定义域的2种求法(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第2题易忽视．(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域．2．三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数，如“题组练透”第4题．考点二 三角函数的单调性重点保分型考点——师生共研[典例引领]写出下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]；(2)f (x )＝|tan x |；(3)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.解：(1)由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.(3)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，函数f (x )是增函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.[由题悟法]求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[即时应用]1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．解析：由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.答案：32考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性常考常新型考点——多角探明[命题分析]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心；(3)三角函数对称性的应用．[题点全练]角度一：三角函数的周期1．函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选A y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．2．(2019·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或3角度二：求三角函数的对称轴或对称中心3．(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4，∴A ，C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴B 正确，D 错误．角度三：三角函数对称性的应用4．(2019·西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选Bπω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)⇒ωmin ＝2.5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12 D.34解析：选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.[方法归纳]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z)D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( )A ．1 B.12C ．－1D ．－12解析：选 A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.3．(2019·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．4．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是____________．解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z)5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______.解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：53π4＋2k π(k ∈Z)二保高考，全练题型做到高考达标1．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π解析：选B 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 项满足．2．(2019·河北五校联考)下列函数最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3解析：选B 由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以选项D 不正确．对于B ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确．3．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π), 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8解析：选D ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.又∵|φ|<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.当k ＝0时，得π8≤x ≤5π8.4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12 B.π4 C.π3D.π6解析：选A 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k∈Z)，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12.5．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：选C 由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.答案：2或－27．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 8．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.答案：(3，2)9．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求f (x )的单调增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z.∴函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z.(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形 3-5-1 精品
4
[1 2sin2( )] 4
2sin2( ) 1 7 .
4
9
命题方向2:三角恒等变换的变“形”问题
【典例3】(2015·滨州模拟)在△ABC中,C=120°,
tanA+tanB= 2 3 ,则tanAtanB的值为 ( )
3
A. 1
B. 1
C. 1
D. 5
4
3
2
3
【解题导引】根据A+B=180°-C=60°,先求出tan(A+B)
7
,所以上式=
1 2
7
1 1 2
3.
7
答案:3
【加固训练】
(2016·枣庄模拟)设α为锐角, cos( ) 4 ,则sin(2 )
65
12
的值为
.
【解析】设α+ =β,因为α为锐角, cos( ) 4 ,
6
65
所以 cos 4 ,sin 3，cos 2 7 ,sin 2 24，
4
(1)求a,θ的值.
(2)若 f( ) 2， ( ，)，求sin( ) 的值.
45
2
3
【解析】(1)因为y=(a+2cos2x)是偶函数,所以g(x)
=cos(2x+θ)为奇函数,而θ∈(0,π),故θ= ,
2
所以f(x)=-(a+2cos2x)sin2x,代入( ,0)得a=-1.所
3.(2016·芜湖模拟)已知 cos( ) sin 4 3,
6
5
则 sin( 7 ) 的值是 ( )
6
A. 2 3
B. 2 3
C. 4
D. 4
5
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2018年高考数学(理)一轮复习文档第三章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．1．辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45D 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．由已知，θ在第三象限， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－（－45）2＝－35.－355.教材习题改编 已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1D.1625(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2【解析】 (1)法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. (2)因为sin α＋2cos α＝3， 所以(sin α＋2cos α)2＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， 所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3， 所以2tan 2α－22tan α＋1＝0，所以tan α＝22. 【答案】 (1)A (2)A同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．角度一 知弦求弦1．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13C (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.角度二 知弦求切2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34B 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.角度三 知切求弦3．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________． 因为sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. ±64诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．(2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．(2017·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225C ．－1225D ．－2425D 由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．sin(－1 071°)si n 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________． 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin (3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填0.3．已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.——方程思想求解三角函数值已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．【解析】 法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.又sin θcos θ＝－60169<0，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.法二：同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2 θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.【答案】 －125(1)本题利用方程思想法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．(2)所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25 B.25C.25或－25D ．－15A 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcosα＝－25，故选A.1．tan(－233π)的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33A A tan(－233π)＝tan(－8π＋π3)＝tan π3＝ 3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.3．(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α＋π2)＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79C.89D ．－89A 法一：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(±223)2－(－13)2＝79，故选A.法二：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79，故选A.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B 因为f (2 016)＝5.所以a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D 由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________． 原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 08．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________． 因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，于是1＋tan 2A ＝1＋29＝119＝1cos 2A ，cos 2A ＝911，cos A ＝31111，sin A ＝tan A cos A ＝2211. 2211 9．sin 43π·cos 56π·tan(－43π)的值是________． 原式＝sin(π＋π3)·cos(π－π6)·tan(－π－π3) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·(－tan π3) ＝(－32)×(－32)×(－3)＝－334. －33410．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________． cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α， 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. －2311．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．(1)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＝925.又π2<θ<π，所以cos θ＝－35.所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.13．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为() A ．－32 B.32C ．－34 D.34B 因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， 所以cos α－sin α＝32. 14．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°si n 50°－sin 40° ＝1.115．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．(1)因为sin A ＋cos A ＝15，① 所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， 所以sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，② 所以由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43. 16．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值． (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第3章 三角函数、解三角形3-2含答案
(时间：40分钟）1．已知cos 错误!＝错误!,且α∈错误!，则tan α＝( )A ．错误!B ．错误!C ．－错误!D ．±错误! 答案 B解析 ∵sin α＝－错误!，cos α＝－错误!,∴tan α＝错误!，选B.2．已知sin 错误!＝m ，则cos 错误!＝（ )A ．mB ．－mC ．1－m 2D ．－1－m 2 答案 C解析 因为sin 5π7＝sin 错误!＝sin 错误!,所以sin 错误!＝m ，且错误!∈错误!，所以cos 错误!＝错误!. 3．已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是（ )A ．13B ．错误!错误!C ．错误!错误!D ．错误!错误! 答案 B解析 由tan(π－α）＋3＝0得tan α＝3,即错误!＝3，sin α＝3cos α,所以sin 2α＝9（1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝错误!。
又因为α为锐角，所以sin α＝错误!错误!.4．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ,sin B －cos A ）在( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 ∵A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，∴A ＋B ＞90°，即A ＞90°－B .∵0°<A <90°，0°<90°－B 〈90°。
∴sin A ＞sin(90°－B )＝cos B ，cos A ＜cos （90°－B )＝sin B 。
∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0。
∴点P 在第二象限，故选B.5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈错误!，则sin θ－cos θ的值为( ） A ．错误!B ．错误!C ．－错误!D ．－错误!答案 C解析 (sin θ＋cos θ）2＝错误!，∴1＋2sin θcos θ＝错误!，∴2sin θcos θ＝错误!,由（sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－错误!＝错误!，可得sin θ－cos θ＝±错误!。
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第3章 三角函数、解三角形3-3含答案
(时间：40分钟)1．给定性质：①最小正周期为π;②图象关于直线x ＝错误!对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（ ）A ．y ＝sin 错误!B ．y ＝sin 错误!C ．y ＝sin 错误!D ．y ＝sin ｜x ｜ 答案 B解析 注意到函数y ＝sin （）2x －π6的最小正周期T ＝错误!＝π，当x ＝错误!时，y ＝sin 错误!＝1，因此该函数同时具有性质①②。
2．函数y ＝2sin 错误!(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为（ ）A ．2－错误!B ．0C ．－1D ．－1－错误! 答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴－错误!≤错误!x －错误!≤错误!,∴sin 错误!∈错误!.∴y ∈,∴y max ＋y min ＝2－错误!。
3．函数f (x )＝tan ωx （ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为错误!，则f 错误!的值是( ）A．0 B．错误!C．1 D．错误!答案D解析由条件可知,f（x)的周期是错误!。
由错误!＝错误!，得ω＝4，所以f错误!＝tan错误!＝tan错误!＝错误!.4．函数y＝错误!的定义域为（)A．错误!B.错误!（k∈Z）C．错误!（k∈Z)D．R答案C解析∵cos x－错误!≥0，得cos x≥错误!，∴2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!，k∈Z。
5．函数y＝2sin错误!(x∈）的递增区间是（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案A解析首先将函数化为y＝－2sin错误!(x∈)，令t＝2x－错误!，x增大,t增大，所以为求函数的增区间,须研究y＝2sin t的减区间．由错误!＋2kπ≤2x－错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z得错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ，k∈Z，所以k＝0时得错误!，故选A。
6．函数y＝3－2cos错误!的最大值为________,此时x＝________.答案 5 错误!＋2kπ（k∈Z)解析函数y＝3－2cos错误!的最大值为3＋2＝5，此时x＋错误!＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝错误!＋2kπ（k∈Z）．7．若函数y＝cos错误!(ω∈N*）的一个对称中心是错误!，则ω的最小值是________．答案2解析由题意得ω×错误!＋错误!＝错误!＋kπ(k∈Z),ω＝6k＋2(k∈Z),∵ω∈N*,所以ω的最小值是2。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形 3.5.2 精品
S()
S
OAP
S
BAP
1 2
OA
OPsin
3 AP2 4
sin 3 (5 4cos) sin 3cos 5 3
sin
sin
【规律方法】 1.三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 (1)对于和、差式子,见到平方要降幂、消项、逆用公 式等. (2)对于分式,通分后分子分母化简时尽量出现约分的 式子,或逆用公式.
(3)对于二次根式,要用升幂公式,或配方,出现完全平 方,注意倍角公式的逆用. (4)观察角的关系,尽量异角化同角,合理拆分角. (5)观察三角函数的名称的关系,常用弦切互化,异名化 同名. (6)观察结构特征,明确变形方向,遇到分式要通分,整 式要因式分解.
4
4
cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)- ·1cos2α·cos2β
2
=1 .2Fra bibliotek答案: 1
2
【一题多解】解答本题,还有以下解法:
方法一:(从“名”入手,异名化同名)
原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β-
1 cos2α·cos2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)
3
3
ON=OD-NcoDs= 3 sin,
3
S=ON·PD(=cos 3 sin·s)inθ
3
sincos 3 sin 2 1 sin 2 3 (1 cos 2)
3
2
6
1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
6
3 sin(2 ) 3，因为 (0, )，
3
66
3
所以2 ( , 5 )，sin(2 ) (1 ,1].
2018版高考一轮总复习数学理课件 第3章 三角函数、解
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断 下列 结论 的正 误． ( 正确 的打 “√” ，错 误的打 “×”) 4 1．已知 sinα＝ ，α∈ 5
π ， π ，则 2
3 cosα＝ .( × ) 5
2．sin(π＋ α)＝－ sin α 成立的条件是 α 为锐角．( × ) 3．六组诱导公式中的角 α 可以是任意角．( √ ) 1 1 4．若 cos(nπ－θ)＝ (n∈Z)，则 cosθ＝ .( × ) 3 3
sinx＝－ 3， 5 π ∵－ <x<0，∴ 2 4 cosx＝ ， 5
7 ∴ sin x－ cosx＝－ . 5
1 1 2 2 解法二：∵ sinx＋ cosx＝ ，∴ (sinx＋ cosx) ＝ ， 5 5 1 24 即 1＋2sin xcosx＝ ，∴ 2sinxcosx＝－ . 25 25
六组诱导公式 π＋α
－sin α －cosα tanα
角 2kπ＋α (k∈ Z)
－α
－sin α
π－α
π －α 2
π ＋α 2
sinα
sinα
－cosα －tan α
cosα
sinα—Βιβλιοθήκη cosα－sin α
cosα
tanα
cosα
－tan α
—
[必会结论] 1．特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 0 0 1 0 π 6 1 2 3 2 3 3 π 4 2 2 2 2 1 π 3 3 2 1 2 3 π 2 1 0 不存在 π 0 －1 0 3π 2 －1 0 不存在
2． 诱导公式可简记为： 奇变偶不变， 符号看象限． “奇” π 与“偶”指的是诱导公式 k·＋α 中的整数 k 是奇数还是偶 2 数． “变”与“不变”是指函数的名称的变化， 若 k 是奇数， 则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变．“符号看 π π 象限”指的是在 k·＋α 中， 将 α 看成锐角时 k·＋α 所在的 2 2 象限．
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形 3-6 精品
易错提醒:(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或丢 解的错误,要根据条件和三角形的限制条件合理取舍. (2)求角时忽略角的范围而导致错误,需要根据大边对 大角,大角对大边的规则,画图帮助判断.
【变式训练】(2015·安徽高考)在△ABC中,AB= 6 ,
A=75°,B=45°,则AC=
.
【解析】由正弦定理可知:
那么k的取值范围是 ( )
A.k=8 3 C.k≥12
B.0<k≤12 D.0<k≤12或k=8 3
【解题导引】(1)利用正弦定理,将边化为角,借助式子 的特点,利用和角公式与相关的诱导公式解决问题. (2)由正弦定理和三角函数的图象求解.
【规范解答】(1)选A.根据正弦定理,
设 a b 则ca=kks，inA,b=ksinB,
6
考向一 正弦定理、余弦定理的简单应用
【典例1】(1)(2016·济宁模拟)在△ABC中,内角A,B,C
的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA= 1 b,且
2
a>b,则B= ( )
A.
B.
C. 2
6
3
3
D. 5 6
(2)如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,
a2 c2 b2
b2=_a_2_+_c_2-_2_a_c_c_o_s_B_,cosB=_____2a_c____;
a2 b2 c2
c2=_a_2_+_b_2-_2_a_b_c_o_s_C_,cosC=____2_a_b____.
3.勾股定理 在△ABC中,∠C=90°⇔_a_2_+_b_2=_c_2_.
【规律方法】 1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC中,c是最大的边, 若c2<a2+b2,则△ABC是锐角三角形; 若c2=a2+b2,则△ABC是直角三角形; 若c2>a2+b2,则△ABC是钝角三角形.
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第3章三角函数、解三角形3-7Word版含答案
(时间：40分钟)1．海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝( )A ．10 3 n mile B.1063n mile C ．5 2 n mile D ．5 6 n mile答案 D解析 由题意可知，∠CAB ＝60°，∠CBA ＝75°，所以∠C ＝45°，由正弦定理得10sin45°＝BCsin60°，所以BC ＝5 6.2. 如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km答案 B解析 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a 2，故|AB |＝3a .3．某工程中要将一坡长为100 m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高度不变，则坡底需加长( )A ．100 2 mB ．100 3 mC ．50(2＋6) mD ．200 m答案 A解析 设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin30°＝xsin45°，解得x ＝100 2.4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°，则塔高为( ) A.4003m B.40033 m C.200 33m D.2003 m答案 A解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°，又AB ＝200，∴AC ＝4003 3.在△ACD 中，由正弦定理，得ACsin120°＝DC sin30°，即DC ＝AC ·sin30°sin120°＝4003(m)．5. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h答案 B解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.6．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．答案 30°解析 设两船在C 处相遇，则由题意∠ABC ＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin120°sin ∠BAC ＝3⇒sin ∠BAC ＝12.又0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°，60°－30°＝30°.7．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°方向，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为______米．答案 700解析 由题意，△ABC 中，AC ＝300，BC ＝500，∠ACB ＝120°，利用余弦定理可得，AB 2＝ 3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB ＝700.8．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)答案 60解析 AC ＝2×46＝92，AB ＝46sin67°，在△ABC 中，由正弦定理可知：AB sin30°＝BCsin37°，∴BC ＝AB sin37°sin30°≈60.9．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120米，求河的宽度．解 在△ABC 中，∵∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝60°.由正弦定理可得AC ＝AB sin Bsin ∠ACB，∴AC ＝120sin75°sin60°＝20(32＋6)．设C 到AB 的距离为CD ，则CD ＝AC sin ∠CAB ＝22AC ＝20(3＋3)． ∴河的宽度为20(3＋3)米．10． 如图，点A ，B ，C 在同一水平面上，AC ＝4，CB ＝6.现要在点C 处搭建一个观测站CD ，点D 在顶端．(1)原计划CD 为铅垂线方向，α＝45°，求CD 的长；(2)搭建完成后，发现CD 与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD 2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6) 解 (1)∵CD 为铅垂线方向，点D 在顶端，∴CD ⊥AB . 又∵α＝45°，∴CD ＝AC ＝4.(2)在△ABD 中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB ＝AC ＋CB ＝4＋6＝10，∴∠ADB ＝180°－83°＝97°，∴由AD sin β＝AB sin ∠ADB 得AD ＝AB sin βsin ∠ADB ＝10sin30°sin97°＝5sin97°≈5.在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos α＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17.(时间：20分钟)11．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin30°＝ABsin45°，解得BC ＝102(海里)．12. 某观察站B 在A 城的南偏西20°的方向，由A 出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B 处测得此公路上距B 处30 km 的C 处有一人正沿此公路骑车以40 km/h 的速度向A 城驶去，行驶了15 min 后到达D 处，此时测得B 与D 之间的距离为810 km ，则此人到达A 城还需要( )A ．40 minB ．42 minC ．48 minD ．60 min 答案 C解析 由题意可知，CD ＝40×1560＝10.cos ∠BDC ＝102＋102－3022×10×810＝－1010，∴cos ∠ADB ＝cos(π－∠BDC )＝1010， ∴sin ∠ABD ＝sin ＝255.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin ∠ABD ＝BDsin ∠BAD ，∴AD255＝81022， ∴AD ＝32，∴所需时间t ＝3240＝0.8 h ，∴此人还需要0.8 h 即48 min 到达A 城．13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为______m ．(取2＝1.4，3＝1.7)答案 2650解析 如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21000(m)． 又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB， ∴BC ＝2100012×sin15°＝10500(6－2)(m)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10500(6－2)×22＝10500(3－1)＝7350(m)． 故山顶的海拔高度h ＝10000－7350＝2650(m)．14．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇， 则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°. 根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理，得BC sin α＝AC sin120°，解得sin α＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.。
2018届高考数学文第一轮总复习全程训练 第三章 三角函
天天练13 三角函数的图象与变换一、选择题1．下列函数中周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x4 D ．y ＝cos4x2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sin x ＋cos x 3．(2017·广西二市模拟)将函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象关于点(3π4，0)对称，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53 D ．24．函数f (x )＝cos(ωx f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 5．(2017·贵阳监测)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f (0)＝( )A ．－ 3B ．－32C ．－1D ．－126．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )7．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )是减函数的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2) 二、填空题9．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ＝________.10．给出下列命题：(1)终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ； (2)把函数f (x )＝2sin2x 的图象沿x 轴方向向左平移π6个单位后，得到的函数解析式可以表示成f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6； (3)函数f (x )＝12sin x ＋12||sin x 的值域是[－1,1]；(4)已知函数f (x )＝2cos x ，若存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x 都有f ()x 1≤f (x )≤f ()x 2成立，则||x 1－x 2的最小值为2π.其中正确的命题的序号为________．11．已知函数f (x )＝sin x .若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1<x 2<…<x m ≤6π，且||f ()x 1－f ()x 2＋||f ()x 2－f ()x 3＋…＋||f ()x m －1－f ()x m ＝12(m ≥2，m ∈N *)，则m 的最小值为________．三、解答题12．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．1．D ∵T ＝2πω，∴2πω＝π2⇒ω＝4.故选D.2．A 采用验证法．由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.3．D 由题意得，ω(3π4－π4)＝k π，k ∈Z ，∴ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，∴当k ＝1时，ω取得最小值2，故选D.4．D 由图像可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos(πx ＋π4＋2m π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递增减区间为2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故选D.5．A 因为T 2＝11π12－5π12＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2.因为f (5π12)＝2sin(5π6＋φ)＝2，所以5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因为φ∈(－π2，π2)，所以φ＝－π3，所以f (0)＝2sin(－π3)＝－3，故选A.6．A 令y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z .再令k ＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C ，D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B ，选A.7．D 因为f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，所以由已知得，2πω＝2×π2，ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝2sin2x ，由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z, 得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故选D.8．A ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，且x ＝2π3是经过函数f (x )最小值点的一条对称轴，∴x ＝2π3－π2＝π6是经过函数f (x )最大值点的一条对称轴．∵|2－π6|＝12－π6，|(π－2)－π6|＝5π－126，|0－π6|＝π6，∴|2－π6|＞|(π－2)－π6|＞|0－π6|，且－π3＜2＜2π3，－π3＜π－2＜2π3，－π3＜0＜2π3，∴f (2)＜f (π－2)＜f (0)，即f (2)＜f (－2)＜f (0)． 9.π6解析：两图象交点的横坐标为π3，有等式cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ成立，由φ的条件可知φ＝π6.10．(2)解析：对(1)当k ＝2时α＝π，其终边在x 轴上，所以不对；对(2)由三角函数的变换可知正确；对(3)f (x )＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥00，sin x ＜0，所以函数f (x )的值域为[0,1]，所以不对；对(4)当x 1＝0，x 2＝π时满足题意，此时|x 1－x 2|＝π，所以(4)不对．11．8解析：因为f (x )＝sin x ，所以||f ()x m －f ()x n ≤f (x )max －f (x )min ＝2，因此要使得满足条件||f ()x 1－f ()x 2＋||f ()x 2－f ()x 3＋…＋||f ()x m －1－f ()x m ＝12的m 最小，须取x 1＝0，x 2＝π2，x 3＝3π2，x 4＝5π2，x 5＝7π2，x 6＝9π2，x 7＝11π2，x 8＝6π，即m ＝8.12．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得 g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x }，若M ∪N={0，1，2，3}，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ）A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（ ）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
[推荐学习]2018版高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.3三角函数的图象和性质模拟演练文
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[推荐学习]2018版高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.3三角函数的图象和性质模拟演练文2018版高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象和性质模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟) 1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin|x |答案 B解析 注意到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②.2．[2017·衡阳模拟]函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )＝ 3.4．[2017·南昌模拟]函数y ＝cos x －32的定义域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z)D ．R 答案 C解析 ∵cos x －32≥0, 得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])的递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3答案 A解析 首先将函数化为y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈[0，π])，令t ＝2x －π6，x 增大，t 增大，所以为求函数的增区间，须研究y ＝2sin t 的减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，所以k ＝0时得⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，故选A. 6．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 5 3π4＋2k π(k ∈Z)解析 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z)，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)． 7．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值是________．答案 2解析 由题意得ω×π6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，ω＝6k ＋2(k ∈Z)，∵ω∈N *，所以ω的最小值是2.8．[2017·郑州模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为________．答案 32解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以T 4≤π3，即π2ω≤π3.所以ω≥32，即ω的最小值为32. 9．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集． 解 (1)由x2－π3≠π2＋k π(k ∈Z)，得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z)，所以函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z. 因为ω＝12，所以周期T ＝πω＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z)，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z)．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z)．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z)．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解 ∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )，∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.[B 级 知能提升](时间：20分钟) 11．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则|φ|的最小值是( )A ．π4B ．π3C ．π6D ．π2答案 A解析 由题意可知，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，故φ＝k π－π4，k ∈Z.当k ＝0时，φ＝－π4，此时|φ|＝π4为最小值，选A.12．[2017·石家庄模拟]若f (x )＝2sin ωx＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，34解析 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z. 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω. 所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝⎛⎦⎥⎤0，34. 13．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．答案 (3，2)解析 令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ( x ＋π3)＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称． (1)求φ，ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2， 求f (x )的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2， 即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称，所以ω×34π＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23. (2)由(1)得f (x )＝cos 23x ， 由－π＋2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z. (3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1，当23x＝－π2时，即x＝－3π4，函数f(x)的最小值为0.。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第三章 三角函数、解三角形 3.6
第十三页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
[授课提示：对应学生用书第 059 页]
考向一 化简与求值问题[自主练透型]
[例 1]
(1)化简：22tacnosπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝_12_c_o_s _2_x__；
(2)(2017·河南商丘一模)已知 α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
[解析] (1)因为 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝ 2sin2ωx＋π4， 所以 f(x)的最小正周期 T＝22ωπ＝ωπ. 依题意，得ωπ ＝π，解得 ω＝1.
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
＝( 40°
)
A．1 B. 3
C. 2 D．2
解
析：原式
＝ cos
2c5o°s2c2o0s°－20s°i－n22si0n°20°＝cos
20°＋sin cos 25°
20°＝
c2ocsos252°5°＝ 2，故选 C. 答案：C
第六页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
5．(教材改编)sin 15°－ 3cos 15°＝________. 解析：sin 15°－ 3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－ 2. 答案：－ 2
故选 C.
答案：C
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
2．已知 cos α＝13，α∈(π，2π)，则 cos α2等于( )
6 A. 3
B．－
6 3
3 C. 3
D．－
2018年大一轮数学(理)高考复习(人教)规范训练《第三章三角函数、解三角形》3-7Word版含答案
课时规范训练A组基础演练1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC 等于( )A．10°B．50°C．120° D．130°解析：选D.如图，∠BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即60°＋70°＝130°.2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速率是每小时( )A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析：选C.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10海里/小时．3．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过3h，该船的实际航程为( )A．215km B．6 kmC．221km D．8 km解析：选B.v实＝22＋42－2×4×2×cos 60°＝2 3.∴实际航程＝23×3＝6(km)．故选B.4．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为( )A．10 km B．103kmC．105km D．107km解析：选D.由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.∴AC＝107.5．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且AB 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( ) A ．28海里/小时 B ．14海里/小时 C ．142海里/小时D ．20海里/小时解析：选B.如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ，则在△ABC 中，AC ＝10×2＝20(海里)，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝784， ∴BC ＝28海里，∴v ＝14海里/小时．6．在一座20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m. 解析：h ＝20＋20tan 60°＝20(1＋3)m. 答案：20(1＋3)7．为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠DBC ，解得BC ＝102米，∴在Rt △ABC中，塔AB 的高是106米． 答案：10 68．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是________m. 解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ， 则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°，解得AO ＝2063m.答案：20639．某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向上，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上B 处有一人正沿此公路向A 处走，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？解：如题图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC sin Bsin A＝24， 由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 得AB 2－24AB －385＝0，解得AB ＝35， 所以AD ＝AB －BD ＝15. 故此人在D 处距A 有15千米．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C 处．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28(海里)．所以渔船甲的速度为BC 2＝282＝14(海里/时)．(2)由(1)知BC ＝28海里，在△ABC 中，∠BCA ＝α，由正弦定理得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. B 组 能力突破1．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( ) A ．1002米 B ．400米 C ．2003米D ．500米解析：选D.由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD ，得 3h 2＝h 2＋5002＋h ·500， 解之得h ＝500(米)．2．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，则B 城市处于危险区内的持续时间为( ) A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时D ．2小时解析：选B.设t 小时后，B 市处于危险区内， 则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302. 化简得：4t 2－82t ＋7≤0， ∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.3．如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，sin θ的值为( )A.217B.22C.32D.5714解析：选A.连接BC .在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos 120°＝700，∴BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ABsin θ，∴sin θ＝217.4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：4035．如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速率为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴DB ＝AB ·sin∠DABsin ∠ADB ＝＋3sin 105°＝＋3sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝533＋3＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝203(海里)． 在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)．则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．。
2018届高考数学文第一轮总复习全程训练 第三章 三角函
天天练16 解三角形及其应用一、选择题1．在△ABC 中，如果sin sin sin C ＝，那么cos C 等于( )A .23B ．－23C ．－13D ．－14 2．(2017·河西五市二联)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(b －a)sin A ＝(b －c)(sin B ＋sin C)，则角C 等于( )A .π3B .π6C .π4D .2π33．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形 4．(2017·大连双基)△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( )A .33B ．±63C ．－63D .635．(2016·新课标全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A .31010B .1010C ．－1010D ．－31010 6．(2016·天津，3)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．(2017·太原五中检测)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )A . 3B .322C ．2 2D ．2 38．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos 2B＋cos B ＋cos (A －C)＝1，则( )A ．a ，b ，c 成等差数列B ．a ，b ，c 成等比数列C ．a ，c ，b 成等差数列D ．a ，c ，b 成等比数列二、填空题9．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝__________. 10．(2017·长沙一模)△ABC 的周长等于2(sin A ＋sin B ＋sin C)，则其外接圆半径等于__________．11．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°方向，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为__________米．三、解答题 12．(2016·山东，16)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．1．D 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 可知a b c ＝sin A B C ＝，设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k ＝－14，答案选D.2．A 由题意得，(b －a )a ＝(b －c )(b ＋c )，∴ab ＝a 2＋b 2－c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3，故选A.3．B 根据题意，结合着正弦定理，可知sin C ＝2sin A cos B ，即sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，所以有sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B ，整理得sin(A －B )＝0，结合着三角形的内角的取值范围，可知A ＝B ，所以三角形为等腰三角形，故选B.4．D 由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin60°3＝33，又AB ＜AC ，∴0＜C ＜B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63. 5．C 设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C.技巧点拨：三角形中边角互化的依据是正弦定理、余弦定理，考生要能灵活应用．6．A 在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1.故选A.7．A 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝2，所以bc ＝3①.因为△ABC 是锐角三角形，所以cos A ＝13，由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋c 2－2×3×13，所以b 2＋c 2＝6②.联立①②，解得b ＝c ＝3，故选A.8．B 由cos2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1得，cos B ＋cos(A －C )＝1－cos2B ，∵cos B ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )，cos2B ＝1－2sin 2B ，∴cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin 2B ，∴sin A sin C ＝sin 2B ，由正弦定理得ac ＝b 2，∴a ，b ，c 成等比数列. 故选B.9．1解析：由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2Asin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1. 10．1解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，则依题意得a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B ＋sin C )．由正弦定理得2R (sin A ＋sin B ＋sin C )＝2(sin A ＋sin B ＋sin C )，因此该三角形的外接圆半径R ＝1.11．700解析：由题意，△ABC 中，AC ＝300，BC ＝500，∠ACB ＝120°，利用余弦定理可得，AB 2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB ＝700.12．解析：(1)由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.疑难突破：利用切化弦将已知等式等价转化，最终转化为三角形三角正弦之间的关系，从而结合正弦定理得出三角形三边之间的关系．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
2018年高考数学理一轮复习文档 第三章 三角函数、解三
第5讲 三角函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．辨明三个易误点(1)y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数．(2)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”连接．(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解．2．学会求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x (或cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决．1.教材习题改编 在上，满足sin x >0，且cos x <0的区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2πB 法一：由sin x >0，得x ∈(0，π)，由cos x <0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.所以满足条件的区间是(0，π)∩⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故选B.法二：画出y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象(图略)，即选B. 2．函数y ＝tan 3x 的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈ZD 由3x ≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .故选D.3．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2A 因为函数的周期为π，所以排除C 、D. 因为函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，所以排除B ，故选A.4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．53π4＋2k π(k ∈Z ) 5.教材习题改编 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π3的最小正周期是________，单调增区间是________．2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2k ，53＋2k (k ∈Z )三角函数的定义域和值域(1)(2016·高考全国卷甲)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________．【解析】 (1)f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，因为sin x ∈，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值，且f (x )max ＝5.(2)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12. 解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z .即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z .【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z本例(1)变为函数y ＝cos 2x ＋4sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π6的最大值为________．y ＝cos 2x ＋4sin x ＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1，设t ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤t ≤12，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋4t ＋1＝－2(t －1)2＋3，所以当t ＝12时，函数取得最大值52.52(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求．②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ③把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ④利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3A 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以y ∈，所以y max ＋y min ＝2－ 3. 2．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z3．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72.72三角函数的奇偶性、周期性及对称性(1)(2017·贵阳市监测考试)下列函数中，以π2为最小正周期的奇函数是( )A ．y ＝sin 2x ＋cos 2xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2C ．y ＝sin 2x cos 2xD ．y ＝sin 22x －cos 22x(2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象( )A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴【解析】 (1)A 中，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数，故A 错；B 中，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos 4x ，为偶函数，故B 错；C 中，y ＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x ，最小正周期为π2且为奇函数，故C 正确；D 中，y ＝sin 22x －cos 22x ＝－cos 4x ，为偶函数，故D 错．(2)由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，可解得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的对称轴为x ＝k π2＋π3，k ∈Z .由x －π3＝k π，k ∈Z ，可解得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的对称轴为x ＝k π＋π3，k ∈Z .当k＝0时，函数有相同的对称轴．由2x －π6＝k π，k ∈Z ，可解得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，0，k ∈Z .由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，可解得函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0，k ∈Z . 故两个函数没有相同的对称中心，故选A. 【答案】 (1)C (2)A(1)三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象进行判断．(2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象． (3)三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否关于原点对称．1．(2017·宜春中学与新余一中联考)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( )A ．－π6B.π6 C ．－π3D.π3D 因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，所以f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，所以θ－π3＝k π(k ∈Z )，即θ＝π3＋k π(k ∈Z )，又|θ|<π2，所以θ＝π3.2．(2017·揭阳模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x ( )A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点()π，0对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 C 因为当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4(k ∈Z )．所以y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .所以y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．三角函数的单调性三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度为中档题．高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度： (1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数； (3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)； (4)利用三角函数的单调性比较大小．(2016·高考天津卷)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【解】 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }．f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．三角函数单调性问题解题策略(1)已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决．角度一 求已知三角函数的单调区间1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． (同增异减法)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )角度二 已知三角函数的单调区间求参数2．(2017·唐山统考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝________. 因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝0， 因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＋π3＝0， 所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，ω＝3k －1，k ∈Z ，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，所以ω＝2. 2角度三 利用三角函数的单调性求值域(或最值)3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0B 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.角度四 利用三角函数的单调性比较大小4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <aB a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2sin 1021π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上递增，所以c <a <b .——求最值(值域)时忽视隐含条件致误若sin x ＋sin y ＝13，则M ＝sin x －cos 2y 的最大值与最小值之差为________．【解析】 因为sin x ＋sin y ＝13，所以sin x ＝13－sin y .因为－1≤sin x ≤1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤13－sin y ≤1，－1≤sin y ≤1.解得－23≤sin y ≤1.又因为M ＝13－sin y －cos 2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin y －122－1112，所以当sin y ＝－23，sin x ＝1时，M max ＝49；当sin y ＝12，sin x ＝－16时，M min ＝－1112.所以最大值与最小值之差为49－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1112＝4936.【答案】4936(1)本题把M ＝sin x －cos 2y 转化为二次函数后，容易把sin y 的范围当作导致错误．而实质上sin y 的范围还受限于sin x ＋sin y ＝13，所以要先求sin y 的范围．(2)在解题思路上，多元问题采用消元处理的方法，在转化过程中要保持等价性．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足4a 2cosB －2ac cos B ＝a 2＋b 2－c 2.(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin 2A ，－cos 2C )，n ＝(－3，1)，求m ·n 的取值范围． (1)因为4a 2cos B －2ac cos B ＝a 2＋b 2－c 2⇒4a 2cos B －2ac a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋b 2－c 2⇒4a 2cos B ＝2a 2⇒cos B ＝12.因为B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以B ＝π3. (2)由(1)可推得A ＋C ＝23π⇒C ＝23π－A ，又△ABC 是锐角三角形，所以C ＝23π－A <π2⇒A >π6，故π6<A <π2.因为m ＝(sin 2A ，－cos 2C )，n ＝(－3，1)， 所以m ·n ＝－3sin 2A －cos 2C＝－3sin 2A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π－2A＝12cos 2A －32sin 2A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3.因为2A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，4π3，所以－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3<－12，故m ·n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12., )1．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．RC 由cos x －32≥0，得cos x ≥32，所以2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．(2017·合肥质量检测)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称B 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4，所以A ，C错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，所以B 正确，D 错误．4．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为πC 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称，故选C.5．(2017·河南中原名校模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6C 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于函数的最大值或最小值， 即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin φ<0，又0<φ<2π， 所以π<φ<2π.所以当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件． 6．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．(0，2]A 由π2<x <π，ω>0得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意结合选项知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54. 7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为T ，T ∈(1，3)，则正整数ω的最大值为________．因为T ＝2πω，T ∈(1，3)，所以1<2πω<3，即2π3<ω<2π.所以正整数ω的最大值为6. 68．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.＞9．(2017·湖南省东部六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．化简可得y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2kπ≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π310．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3.[3，＋∞)11．(2016·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 依题意，得πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4)．函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．12．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值． (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2) C ．f (－2)<f (0)<f (2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)A 因为ω>0，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2.又A >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－A ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又因为φ>0，所以可取f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6，f (0)＝A sinπ6，因为π<4＋π6<3π2，所以f (2)<0.因为－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，－π上为减函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．14．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，||φ≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5B 因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以π2＝kT2＋T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.15．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．(1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期为π.令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝k π(k ∈Z )， 所以x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故所求对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )．(2)因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，即f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. 16．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈．所以f (x )∈， 又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， 所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
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C.等腰直角三角形D.等腰三角形
5．已知sinθ＝，θ∈，则sin(π－θ)sin的值为()
A.B．－
C.D．－
6．已知角α的终边经过点P(－1,2)，则tan的值是()
A．3 B．－3
C.D．－
7．已知sin＝，则cos(π－2α)的值为()
A.B．－
C.D．－
8．设f(x)＝和g(x)＝
天天练
一、选择题
1．下列说法正确的是()
A．终边在y轴非负半轴上的角是直角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同
2．sin的值等于()
A.B．－
C.D．－
3．若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于()
A.B．－C.D．－
4．角A为△ABC的一个内角，若sinA＋cosA＝，则这个三角形的形状为()
三、解答题
12．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinα与cosα，α∈，若角α与β的终边互相垂直，求tanβ的值．
天天练13三角函数概念、同角三角
函数基本关系式、诱导公式1.D由β＝α＋k·360°(k∈Z)可知，α与β相差周角整数倍，所以α与β的终边相同，故选D.
则g＋f＋g＋f的值为()
A．2 B．3弧长是4 cm，则这个圆心角所在的扇形面积是________．
10．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈0,2π]，则θ的值为________．
11．已知sinθ＝，cosθ＝，且θ为第四象限角，则tanθ的值为________．