概率统计复习讲义重点

概率论与数理统计总复习讲义第一讲 随机事件及其概率一 随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件样本点，样本空间，随机事件，必然事件，不可能事件,基本事件. 2.事件关系和运算 ⑴事件的关系 ⑵事件的运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: B A B A ⋂=⋃,B A B A ⋃=⋂； 二 概率的定义和性质 1.公理化定义(P12)2.概率的性质(P12.五个)⑴)(1)(A P A P -=； ⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃；例题 ①设A,B 是两个独立事件，已知P(A) =0.5，P(B) =0.7,试求)(B A P ⋃. ②已知事件A 与B 独立，且1()9P AB =，()()P AB P AB =，求()P A ，()P B 。

3.古典概型和几何概型例题 ⑴总经理的五位秘书中有三位精通英语,今偶遇其中的两位秘书，设其中精通英语的人数为X ,求： ①X 的分布律; ②EX⑵两个人约定在下午3点到4点内在某地见面,先到者等对方20分钟后就离去，求两人能见面的概率； ⑶随机地向半圆220x ax y -<<内投掷一点，点落在半圆内任意区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率。

4.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =三 常用的计算概率的公式1.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==2.全概率公式和贝叶斯公式(P19.)例题 ⑴ 在一个人群中男女人数各半。

其中男性中有5%为色盲，女性中有0.25%为色盲。

现在从该人群中任意的挑选一人，求：①该人是色盲的概率； ②已知该人是色盲，求此人是男性的概率；⑵发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”。

由于通讯系统受到干扰，当发出“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0 .2收到信号“*”和“—”； 同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率 0.9 和0.1收到信号“—”和“*”。

求①收报台收到信号“*”的概率；②当收报台收到信号“*”时，发报台确实是发信号“*”的概率；参考习题 P20之例4；P 28之5，6，9； 四 事件的独立性1.定义:A 和B 相互独立 )()(B P A B P =或)()()(B P A P AB P ⋅=， 例题 P23之例8；P24之例9；2.贝努利试验 在n 重贝努利试验中，事件=k A {A 恰好发生k 次})0(n k ≤≤的概率为：k n nk n k p p C A P --=)1()(例题 P26之例11；P28之20；第二讲 随机变量及其概率分布一 随机变量及其分布函数 1.随机变量2.分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x3.分布函数的性质(P32.五个)⑴0)(lim =-∞→x F x ；1)(lim =+∞→x F x ；(常用来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常用来求概率)例 ⑴设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧>+-≤=-0,)1(0,0)(x e x A x x F x,求 ①参数A ； ②X 的密度函数； ③)11(<<-X P ； 参考习题 P47之19；二 离散型随机变量及其分布律 1.分布律2.常用的离散型分布⑴10-分布:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p pX 110~ ⑵二项分布:kn kkn p p C k X P --==)1()(),,2,1,0(n k =例题 P.36之6,7；3.泊松分布:),2,1,0(!)( ===-λλλe k k X P k例题 P38之例10；P46之9； 三 连续型随机变量 1.密度函数 ⎰∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P39.五个) ⑴1)(=⎰+∞∞-dx x f ；（常用来确定密度函数中的参数） ⑵⎰=≤<badx x f b X a P )()(；（计算概率的重要公式） ⑶对R x ∈∀，有0)(==c X P (换言之,概率为0的事件不一定是不可能事件). 例题 P40之例12；P47之12，13；3.常用连续型分布⑴均匀分布:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=other bx a a b x f ,0,1)(⑵指数分布:⎩⎨⎧>=-other x e x f x ,00,)(λλ例题 P42之例14；P47之20； ⑶正态分布:)0,(21)(222)(>=--σσμσπσμ都是常数，x ex f 标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex f -=π例题 P44之例16，17；P48之24； 四 随机变量函数的分布1.离散情形 设X 的分布律为则)(X g Y =的分布律为例题 P66之例1；2.连续情形 设X 的密度函数为)(x f X ,若求)(X g Y =的密度函数,先求Y 的分布函数,再通过对其求导,得到Y 的密度函数。

⑴求Y 的分布函数：=≤=≤=))(()()(y X g P y Y P y F Y dx x f yx g X ⎰≤)()(⑵求Y 的密度函数：)()(y F y f Y Y '= 例题 ⑴ P68之例2，3；P70之例4；⑵)1,11(~N X ，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-=12,51210,2010,1X X X Y ，试求Y 的分布律。

第三讲 二维随机变量及其概率分布一 二维随机变量的分布函数及边缘分布函数 1.二维随机变量2.联合分布函数:),(),(y Y x X P y x F ≤≤=3.联合分布函数的性质(P49.五个)；4.边缘分布函数:),(lim )(y x F x F y X +∞→= , ),(lim )(y x F y F x Y +∞→=二 二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律 1.二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律例题 P51之例2；P64之2； 三 二维连续型随机变量 1.联合密度函数：ds dt t s f y x F x y⎰⎰∞-∞-=),(),(2.联合密度函数的性质(P52.四个)⑴1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ；（常用来确定密度函数中的参数） ⑵dxdy y x f D Y X P D⎰⎰=∈),()),((，其中2R D ⊂；（计算概率的重要公式） 例题 P53之例3；3.边缘密度函数:⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()( )(+∞<<-∞x⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()( )(+∞<<-∞x例题 P65之12，13⑵；四 随机变量的独立性Y X ,相互独立:)()(),(y F x F y x F Y X =离散情形:j i ij p p p ∙∙= ),2,1,( =j i 连续情形:)()(),(y f x f y x f Y X = 例题 ⑴P59之例9，10；⑵设二维随机变量 (X , Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+-other x e y x f y x ,00,0,12),()43( 证明X 与Y 相互独立。

五 二维均匀分布和二维正态分布1.二维均匀分布:⎪⎩⎪⎨⎧⊂∈=other R G y x G y x f ,0),(,1),(2的面积例题 P53之例4；2.二维正态分布结论 ⑴设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ,则X 和Y 相互独立0=⇔ρ；⑵设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ； ⑶设X 和Y 相互独立，且),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，b a ,为常数，则),(~22221221σσμμb a b a N bY aX +++特别地，),(~2121σμa b a N b aX ++，)1,0(~11N X σμ-；六 二维随机变量的函数及其分布 1.),(Y X 为二维离散型随机变量例题 P71之例6,8；2.),(Y X 为二维连续型随机变量设),(Y X 为二维连续型随机变量，其联合密度函数为),(y x f ,则),(Y X g Z = 的密度函数的计算方法为: ⑴先计算联合分布函数:)),(()()(z Y X g P z Z P z F Z ≤=≤=dxdy y x f zy x g ⎰⎰≤=),(),(⑵再对联合分布求导得到联合密度: )()(z F z f ZZ '= 例题 P74之例10；第四讲 随机变量的数字特征一 数学期望 1定义⑴离散情形 iiip x X E ∑=)( , iiip x g X g E ∑=)())((⑵连续情形 ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()( , ⎰+∞∞-=dx x f x g X g E )()())((例题 P78之例1,4；P93之1；P80之例6,8，P94之8； ⑶二维随机变量的函数的期望 ①离散情形 ij ji jip yx g Y X g E ∑=,),()),((②连续情形 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()),((二 期望的性质⑴c c E =)( ⑵)()()(Y bE X aE bY aX E +=+⑶若X 和Y 独立，则)()()(Y E X E XY E =； 例题 P82之例11； 三 方差和标准差1.方差:222))(()(]))([()(X E X E X E X E X D -=-=；标准差:)()(X D X =σ；例题 P94之8,9； 2.方差的性质⑴0)(=c D ； ⑵)()(2X D a aX D =； ⑶若X 和Y 独立，则)()()(Y D X D Y X D +=±；3.常见随机变量的分布律(密度函数),数学期望和方差四 协方差和相关系数1.协方差 )()()())]())(([(),cov(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X -=--= 例题 ⑴P86之例19；P94之9；2.相关系数:)()(),cov(,Y X Y X Y X σσρ⋅=四 原点矩与中心矩：k 阶原点矩:)(kX E ；k 阶中心矩:]))([(kX E X E -；第五讲 大数定律和中心极限定理一 切比雪夫不等式设随机变量X 的期望μ和方差2σ存在，则对0>∀ε，22)|(|εσεμ≤>-X P例题 P95之17,18；二 贝努利大数定律和切比雪夫大数定律三 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设 ,,21X X 是独立同分布的随机变量序列,且),1(~p B X i ，),2,1( =i ，∑==ni i n X Y 1，则对R x ∈∀,总有)())1((lim x x p np np Y P n n Φ=≤--∞→这里)(x Φ是标准正态分布的分布函数。