人教版2017八年级(上册)数学第十一章 11.1与三角形有关的线段 第一课时课件
人教版数学八年级上册第十一章三角形第一课《与三角形有关的线段》
由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米.
课堂小结
边、顶点、内角
A
概念
(直角、 锐角、钝
c
b
三
按角分 角)三角
角
分类 形B
a
C
形 按边分
性质
三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边．
等腰三角形的周长为20厘米. (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米. x + 2x + 2x = 20， 解得 x = 4.
所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.
(2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6 + 2x = 20，解得x = 7；
所以，三角形的特征有： (1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接.
探究新知
①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.
②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.
③内角：相邻两边组成的角.
顶点A
角
边c
边b
顶点B
角 边a
角 顶点C
探究新知
三角形的表示： 三角形用符号“△”表示.
记作“△ ABC”读作“三角形ABC”.
课堂检测
基础巩固题
1. 如图，图中直角三角形共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是
( C)
A．1，1，2
B．1，2，4
人教版初中数学八年级上册11.1与三角形有关的线段(教案)
4.增强学生的合作意识，通过小组讨论、交流，培养学生的团队协作能力，共同解决问题；
5.培养学生的创新意识，鼓励学生运用所学知识，探索三角形相关的新问题，激发学生的求知欲和创造力。
本节课将紧密围绕核心素养目标，注重培养学生的综合能力，使学生在掌握知识的同时，提高学科素养。
6.三角形相似的条件：SS、SAS、AA；
7.三角形中位线定理及其应用。
本节课将围绕以上内容，结合实际例题，帮助学生掌握与三角形有关的线段的基本性质和应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索三角形的基本性质和定理，使学生能够运用逻辑思维分析、解决问题；
2.提升学生的空间想象力，通过观察、操作三角形模型，让学生在脑海中形成清晰的三角形形象，为后续几何学习打下基础；
三、教学难点与重点
1.教学重点
-三角形的定义及其内角和定理：使学生明确三角形的定义，掌握三角形的三个内角和为180°的定理，并能应用于实际问题。
-三角形全等的条件：重点讲解SSS、SAS、ASA、AAS全等条件，让学生熟练运用这些条件判断三角形全等。
-三角形相似的条件：强调SS、SAS、AA相似条件，培养学生运用这些条件解决实际问题的能力。
3.课堂上关注每个学生的学习情况，及时发现问题并给予指导；
4.课后及时进行教学反思，不断调整教学策略，以提高教学效果。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形有关的实际问题。
2.实验操位线定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
人教版数学八年级上册教学设计11.1《与三角形有关的线段》
人教版数学八年级上册教学设计11.1《与三角形有关的线段》一. 教材分析人教版数学八年级上册第11.1节《与三角形有关的线段》主要包括三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的基本性质。
这些性质是三角形的基本构成要素，对于学生深入理解三角形的结构特征，以及在后续学习中解决三角形相关问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了线段的性质，能够理解线段的基本概念和性质。
但是对于三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质的理解，还需要通过具体操作和实例来加深。
此外，学生对于抽象几何图形的理解能力也在逐步提高，但仍需要具体的形象支持。
三. 教学目标1.知识与技能：理解并掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等方法，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质。
2.教学难点：对于这些性质的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、观察操作法、小组合作法等，引导学生主动探究，发现并证明三角形的这些基本性质。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、几何模型等。
2.学生准备：课本、笔记本、尺子、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习线段的性质，为新课的学习打下基础。
然后，引入三角形的基本性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，引导学生观察和思考。
3.操练（10分钟）学生分组进行操作，用尺子和圆规构造三角形，验证这两条性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成教材中的相关练习题，教师选取部分题目进行讲解和分析，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：这些性质在实际生活中有哪些应用？如何解决与三角形相关的实际问题？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，强调三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质。
人教版八年级数学上册说课稿11.1与三角形有关的线段
人教版八年级数学上册说课稿11.1 与三角形有关的线段一. 教材分析人教版八年级数学上册第11.1节《与三角形有关的线段》，这部分内容是学生在学习了三角形的性质和分类后，进一步研究三角形的线段性质。
本节内容主要包括三角形的角平分线、中线和高线的性质及其应用。
这些线段在三角形中具有重要的地位，对于学生深入理解三角形的结构特征和解决三角形相关问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本性质和分类，对三角形有一定的认识。
但学生对于三角形的角平分线、中线和高线的性质及其应用可能还比较陌生，因此需要在教学过程中引导学生通过观察、思考、探究，从而理解和掌握这些线段的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解三角形的角平分线、中线和高线的定义，掌握它们的性质及其应用。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生解决问题的能力和空间想象力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的角平分线、中线和高线的性质及其应用。
2.教学难点：理解和证明三角形的角平分线、中线和高线的性质，以及如何在实际问题中灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究，从而理解和掌握三角形的角平分线、中线和高线的性质。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过动画演示和图形展示，帮助学生直观地理解三角形的线段性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本性质和分类，引出三角形的角平分线、中线和高线的概念。
2.探究性质：引导学生观察三角形，发现角平分线、中线和高线的特点，学生分组讨论，总结出它们的性质。
3.证明性质：学生代表上台演示和证明三角形的角平分线、中线和高线的性质，其他学生进行评价和补充。
4.应用拓展：给出一些实际问题，让学生运用所学的线段性质进行解决，教师进行指导和点评。
11.1.1 与三角形有关的线段 初中数学人教版八年级上册教学课件
直角三角形
形
钝角三角形
探究二
除了按角的大小分类，还可以怎样分类？
①
②
三边都不相等的三角形 三边都不相等的三角形
③ 三边都不相等的三角形
④ 等腰三角形
⑤ 等边三角形
⑥ 等腰三角形
按边的关系分类：
三边都不相等的三角形
按边的相等关系
底边和腰不相等的
等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
小结：三角形的分类
1.按角的大小分类
因此，以1,2,3无法组成三角形. 因此，以2,3,4可以组成三角形.
因此，判断三条线段能否组成三角形时，只需利用 “较短的两边之和大于第三边”就可以进行判断.
小试牛刀
下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8 （ 不能 ） 因为：3 + 4 < 8 （2）2，5，6 （ 能 ） 因为：2 + 5 > 6 （3）4，6，10 （ 不能 ） 因为：4 + 6 = 10
（1）AB + AC > BC （2）BC+ AC > AB （3）BC +AB > AC
AB > BC － AC AC > AB －BC BC > AC －AB
结论2: 三角形两边之差小于第三边
第三边的取值范围： 两边之差＜第三边＜两边之和
较大的边－较小的边
小试牛刀
已知三角形一边为5，另一边为3，求第三边长c的取值
变式2：已知等腰三角形的一边长为5cm，周长为17cm，则其他两边长 为_5_c_m_，__7_c_m_或__6_c_m_，_.6cm
学以致用
1.下图中三角形的个数是（ D ）
八年级数学上册第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.2三角形的高中线与角平分线 新版新人教版
第十一章 11.1.2三角形的高、中线与角平分线知识点1：三角形的中线三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线,如图.表示法:1.AD是△ABC的边BC上的中线.2. BD=DC=BC.注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部,并且三条中线相交于三角形内部一点;③三角形三条中线的交点叫做三角形的重心;④三角形的任一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形.知识点2：三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线,如图.表示法:1. AD是△ABC的∠BAC的平分线.2. ∠1=∠2=∠BAC.注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部;③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;④由三角形的角平分线可以得到角之间的相等关系和2倍关系.知识点3：三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,如图.表示法:1. AD是△ABC的边BC上的高线.2. AD⊥BC于点D.3. ∠ADB=∠ADC=90°.注意:①三角形的高是线段;②锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部;钝角三角形有两条高落在三角形的外部,一条在三角形内部,三条高所在的直线交于三角形外一点;直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边,另一条在三角形内部,它们交点是直角顶点;③三角形的三条高或其所在的直线相交于一点;④当已知三角形三条高的交点在三角形的内部时,则说明三角形一定是锐角三角形;三条高的交点在三角形的一个顶点处时,则说明三角形一定是直角三角形;当三角形三条高的交点在三角形的外部时,则该三角形一定是钝角三角形.考点1：三角形的高、中线与角平分线的判定【例1】如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,AE=CE,AG⊥BC,垂足为点G,AD与BE相交于点F,试指出AD、AF分别是哪个三角形的角平分线?BE、DE分别是哪个三角形的中线?AG是哪些三角形的高？解:AD、AF分别是△ABC、△ABE的角平分线;BE、DE分别是△ABC、△ADC的中线;AG是△ABC、△ABD、△ACD、△ABG、△ACG、△ADG的高.点拨:首先要抓住特殊线段的数量关系,因为∠BAD=∠CAD,所以AD是∠BAC的平分线,AF是∠BAE 的平分线等.其次要抓住特殊线段的位置关系,即它们都过三角形的一个顶点,以及它对边上的一点,这样就能确定是哪个三角形的特殊线段了.考点2：三角形中线的应用【例2】有一块三角形优良品种试验基地,如图所示,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图说明)解:方案1:如答图 (1),在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC,连接AE、AD、 AF.(1) (2)(3)方案2:如答图 (2),分别取AB、BC、CA的中点D、E、F,连接DE、EF、DF.方案3:如答图 (3),分别取BC的中点D,CD的中点E,AB的中点F,连接AD、AE、DF.点拨:可根据中线所分的两个三角形的面积相等以及三角形的面积公式的特征,先分为两个面积相等的三角形,然后再依次等分.。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.1.1 三角形的边教学课件 (3)
探究新知 遮 阳 棚
探究新知
想一想 四边形没有稳定性，怎样使它稳定呢?
做一做 将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点
连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变 吗?
探究新知
帮帮忙
1. 牧民阿其木家用于圈羊的木栅门，由于年久失修 已经变成如图甲，为什么会变形？
2. 为了恢复成原样图乙，而且要保持形状不变，他该 怎么做呢？
A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的 B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值 C.稳定性和不稳定性均有利用价值 D.以上说法都不对
课堂检测
基础巩固题
3. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，
使其不变形，这种做法的根据是（ D ）
A.两点之间线段最短
A
B.三角形两边之和大于第三边
课堂小结
三角形 独有性质
稳定 性
四边形具有不 稳定性
应用
素养目标
2. 了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的 应用. 1. 了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性.
探究新知 知识点 1 三角形的稳定性
动手做一做
1. 将三根木条用钉子钉成一个三角形木架. 2. 将四根木条用钉子钉成一个四边形木架.
探究新知 请同学们看看:三角形和四边形的模型，扭一扭模
型，它们的形状会改变吗?
具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性
具有稳定性 不具有稳定性 具有稳定性
探究新知
知识点 2 四边形不稳定性的应用
四边形的不稳定性是我们常常需要克服的， 那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？ 如果有，你能举出实例吗？
探究新知
四边形的不稳定性有广泛的应用
活 动 晾 衣 架
人教版八年级上册11.1与三角形有关的线段11.1：与三角形有关的线段(1)教学设计
人教版八年级上册11.1：与三角形有关的线段(1)教学设计一、教学目标1.了解三角形内部和外部的线段以及它们的性质。
2.学习运用线段的性质解决与三角形有关的问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：三角形中位线、角平分线等线段的性质以及其衍生出的定理。
2.教学难点：将线段的性质运用到实际问题中，需要提高学生的思维能力。
三、教学内容及安排时间教学内容学生活动5分钟引入老师介绍本节课的内容，激发学生学习兴趣。
10分钟介绍线段的性质老师向学生介绍线段的性质，并讲解其在数学中的应用。
20分钟讲解三角形内部和外部的线段性质老师讲解三角形内部和外部的线段性质，并给出具体的例子。
10分钟练习老师给出一些练习题，让学生巩固所学知识。
15分解决实际问题老师结合实际问题，让学生运用线段的时间教学内容学生活动钟性质解决问题。
5分钟总结老师总结本节课的主要内容，并引导学生进行思考和回顾。
四、教学方法1.讲授法：通过讲解和举例子的方式，让学生了解线段的性质和三角形内部、外部线段的性质。
2.实践法：通过练习题和实际问题的解决，让学生运用所学知识和技能。
五、教学评价1.实时评价：在课堂上通过课堂练习、举手回答等方式来检测学生对所学知识的掌握程度。
2.作业评价：通过布置家庭作业的方式，让学生进行自主学习和回顾，并通过作业的成绩来评估学生的学习效果。
六、教学资源1.教材：人教版八年级上册。
2.PPT课件：通过PPT课件来展示线段的性质、三角形内部和外部线段的性质等内容。
3.练习题：将练习题打印出来，发给学生练习。
八年级数学上册第十一章三角形111与三角形有关的线段11.1.1三角形的边
第十一章 11.1.1三角形的边知识点1：三角形的概念(1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.在此定义中,要特别注意“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”这三个条件,缺一不可. 如图,在线段AB上取一点(除端点)C,三条线段AC、CB和AB是首尾顺次相接的,但它们却没有构成三角形.(2)组成:如图,三条边,即边AB、边BC、边CA;三个内角,即∠A、∠B、∠C;三个顶点,即点A、点B、点C. 三角形有三个顶点,三个角,三条边.(3)表示法:“三角形”用符号“△”表示,如上图,顶点是A、B、C的三角形,记作“△ABC”,读作“三角形ABC” .另外,△ABC的三边,有时也用a,b,c来表示,一般地,∠A对边a,∠B对边b,∠C对边c.如图上,顶点A所对的边BC用a表示,边AC、边AB分别用b、c来表示.归纳整理:我们通常数三角形的方法有:(1)按图形的形成过程(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数).(2)按照三角形的大小去数.(3)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数.(4)先固定一个顶点,变化另两个顶点来数.注意:通过三角形的定义可知,三角形的特征有:①三条线段;②不在同一条直线上;③首尾顺次相接.这是判断是否是三角形的标准.知识点2：三角形的分类(1)三角形按边分类:三角形(2)三角形按角的大小分类:三角形(3)按边分类中各种三角形的关系:归纳整理:(1)三边都不相等的三角形是不等边三角形,不等边三角形应该是指“三边都不相等”的三角形;有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰;三边都相等的三角形叫做等边三角形.(2)等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.知识点3：三角形的三边关系(1) 三角形任意两边之和大于第三边.(2)三角形任意两边之差小于第三边.归纳整理:(1)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可以求出第三边的取值范围.并且对于三角形三边关系通常要与等腰三角形的知识连用,结合分类讨论思想求解.(2)三角形三边关系是“两点之间,线段最短”的具体应用.考点1：三角形的数法【例1】如图,图中有几个三角形,哪几个三角形?解:有6个三角形.它们分别是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC.点拨：只要符合有不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接,就是一个三角形.在数三角形的个数的问题上,要注意不重不漏的问题.形如例1这样的三角形的个数也可以根据点E、D把BC分成了三段,所以三角形的个数为3+2+1=6(个).考点2：三角形的分类【例2】设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个选项中,能表示它们之间关系的是( ).解:A.点拨:本题主要考查了三角形的分类以及不同三角形之间的关系,只要正确地理顺三角形之间的关系即可.等腰三角形与直角三角形的公共部分是等腰直角三角形,等腰三角形包括等边三角形和等腰直角三角形,只有选项A符合题意.考点3：三角形边的求法【例3】已知等腰三角形的周长是600px.(1)腰长是底边长的2倍,求腰长;(2)已知其中一边长为150px,求其他两边长.解:(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.根据题意,得x+2x+2x=24.解得x=4.8.故腰长=2x=2×4.8=9.6(cm).(2)因为长为150px的边可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况计算.当长为150px的边为腰时,则底边为24-6×2=12.由6+6=12,两边之和等于第三边,所以150px长为腰不能组成三角形,舍去.当长为150px的边为底边时,则腰长为(24-6)÷2=9.∵150px,225px,225px可以组成三角形,∴三角形其他两边长均为225px.点拨:计算(1)可以通过设未知数来进行计算,得出方程,通过求方程的解从而求出答案,其中体现了方程思想.计算(2)要注意分两种情况考虑,因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边,所以通过其中一边长为150px,求其他两边的长应该分成两种情况考虑:一种是150px长的边为腰,另一种是150px长的边为底,体现了数学中的分类讨论思想.并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和大于第三边.考点4：三角形的三边关系【例4】用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成不同的三角形的个数为.解:能摆成不同形状的三角形的个数为2.点拨:设一根火柴棒的长度为单位1,最短边不能大于2,若最短边大于2,则周长至少是9,不合题意.①当最短边长为1时,另两边长可能为1,5;2,4;3,3;其中当边长为1,1,5;1,2,4时不能构成三角形,只有1,3,3能构成三角形;②当最短边长为2时,另两边长可能为2,3;3,2;边长为2,2,3和2,3,2能构成三角形,但这两种三角形的形状相同.。
11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现，
解：(1)设第三根木棒长x，由三角形的三边关系可得5－3＜x＜5 ＋3，即2＜x＜8，故规格为3 m，4 m，5 m，6 m的四种木棒可供小 明的爷爷选择 (2)当第三根木棒长为3 m时，最省钱
20．已知a，b，c为△ABC的三边，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0， 且a为方程|a－4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形 状．
3．如图，以AD为边的三角形是__△__A__B_D_，__△__A__D_E_，__△__A__D_C_，以 ∠C为一个内角的三角形是_____△__A_E__C_，__△__A_D__C_，__△__A_B__C_____．
知识点2：三角形的分类 4．用集合来表示“用边把三角形分类”，下面集合正确的是 (D )
知识点3：三角形的三边关系 7．(2017·岳阳模拟)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是 (D ) A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cm C．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4 cm
8．(2016·盐城)若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且满足|a－4|＋ b－2 ＝0，则 c 的值可以为( A )
坚持做好每个学习步骤
人教版数学八年级上册教案11.1《与三角形有关的线段》
人教版数学八年级上册教案11.1《与三角形有关的线段》一. 教材分析人教版数学八年级上册第11.1节《与三角形有关的线段》主要介绍了三角形的中线、角平分线和高的概念。
通过本节课的学习，学生能够理解三角形中线、角平分线和高的定义，掌握它们的基本性质，并为后续的三角形全等和三角形的证明打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了线段的性质和三角形的基本概念，对线段和三角形有一定的认识。
但部分学生对概念的理解不够深入，对性质的运用不够熟练。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对三角形中线、角平分线和高的理解，提高运用性质解决问题的能力。
三. 教学目标1.了解三角形的中线、角平分线和高的定义，掌握它们的基本性质。
2.能够运用中线、角平分线和高的性质解决一些简单问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。
四. 教学重难点1.重点：三角形的中线、角平分线和高的定义及基本性质。
2.难点：运用中线、角平分线和高的性质解决问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、操作、思考、交流，发现规律。
2.运用多媒体辅助教学，展示清晰的图形和动画，帮助学生形象地理解概念和性质。
3.采用案例分析法，精选典型例题，让学生在解决实际问题中掌握知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.三角板、直尺、量角器等绘图工具。
3.准备相关课件和教学素材。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用多媒体展示一个三角形，引导学生观察并思考：三角形有哪些特殊的线段？2. 呈现（10分钟）介绍三角形的中线、角平分线和高的概念，并用多媒体展示它们的定义和性质。
让学生通过观察和思考，发现它们之间的关系。
3. 操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一个三角形，画出它的中线、角平分线和高，并观察它们之间的关系。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）学生独立完成教材中的练习题，教师选取部分题目进行讲解和分析。
八年级数学上册第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边
第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边学习目标 1.了解三角形的概念,会用符号语言表示三角形. 2.通过具体的实践活动理解三角形三边的不等关系.学习过程 一、自主学习 问题 1:观察下面的图片,你能找到哪些我们熟悉的图形?问题 2:在小学,我们学过三角形,你了解三角形的哪些性质? 二、深化探究 探究 1:观察三角形的构成,探索三角形的概念 问题 1:你能画出一个三角形吗?问题 2:结合你画的三角形,说明三角形是由什么组成的? 问题 3:下面的几个图形都是由三条线段组成的,它们都是三角形吗?问题 4:什么叫三角形?探究 2:自主学习三角形的表示方法及分类 阅读教材第 2 页到第 3 页探究前内容,回答下列问题. 问题 1:如图回答以下问题: (1)在三角形中,什么叫边?什么叫内角?什么叫顶点? (2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点? (3)如何用符号表示三角形 ABC? (4)如何用小写字母表示三角形 ABC 的三条边?问题 2:如果将三角形分类,按照边的关系分可以分成几类?按照角的关系又如何分类呢?问题 3:如图,找出图中的三角形,用符号表示出来,并指出 AB,AD,CD 分别是哪个三角形的边.探究 3:通过观察实践,理解三角形三边关系 问题 1:任意画一个△ABC,假设有一只小虫从点 B 出发,沿三角形的边爬到点 C,它有几条线路 可以选择?各条线路的长一样吗?问题 2:联系三角形的三边,从问题 1 中你可以得到怎样的结论? 问题 3:用三条长度分别为 5,9,3 的线段能组成一个三角形吗?为什么? 三、练习巩固 练习 1:三角形是指( ) A.由三条线段所组成的封闭图形 B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形 练习 2:图中有几个三角形?用符号表示这些三角形.练习 3.有三根木棒的长度分别为 3 cm,6 cm 和 4 cm,用这些木棒能否围成一个三角形?为什么?练习 4:用一条长 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的 2 倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长为 4 cm 的等腰三角形吗?为什么?四、深化提高 练习 1:下面各组数中作为线段长不能构成三角形的一组是( ) A.0.2,0.6,0.7 B.5k,7k,10k(k>0) C.m-a,m,m+a(m>a,m>0,a>0) D.22,22,33 练习 2:小明想要钉一个三边长都是整数的三角形,现在他只有两根分别长 4 cm 和 5 cm 的木 条,那么第三根木条的长度可以是多少?(写出所有可能结果)练习 3:平面上有四个点 A,B,C,D,用它们作顶点可以组成几个三角形?参考答案 一、自主学习问题 1:三角形、四边形等. 问题 2:三条边;三个内角;具有稳定性;三角形的内角和是 180°. 二、深化探究 探究 1: 问题 1:能 问题 2:三角形是由三条线段组成的. 问题 3:只有第(1)个是三角形,其他的都不是. 问题 4:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 探究 2: 问题 1:组成三角形的三条线段都叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简 称三角形的角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点.三角形有三条边、三个内角、三个顶点.三角 形 ABC 用符号表示为△ABC.△ABC 的边 AB 为∠C 所对的边,可以用顶点 C 的小写字母 c 表示,同样, 边 AC 可用 b 表示,边 BC 可用 a 表示. 问题 2:三角形按照“有几条边相等”可以分为:{ 等边三角形 等腰三角形 三角形 不等边三角形也可以按照边的相等关系分为:{ { 不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形三角形三角形按照角的关系可以分为:{直角三角形锐角三角形 三角形 钝角三角形 问题 3:图中共有三个三角形,分别是△ABC,△ABD,△ADC,其中 AB 既是△ABC 的边,也是△ABD 的边,AD 既是△ABD 的边,也是△ADC 的边,CD 是△ADC 的边. 探究 3: 问题 1:小虫从点 B 出发沿三角形的边爬到点 C 有 2 条线路: (1)从 B→C,即线段 BC 的长; (2)从 B→A→C,即线段 BA 与线段 AC 长之和:BA+AC. 经过测量可得 BA+AC>BC,所以这两条线路的长不一样. 根据“两点的所有连线中,线段最短”,说明 BA+AC>BC. 问题 2:三角形两边的和大于第三边. 问题 3:用三条长度分别为 5,9,3 的线段不能组成一个三角形,因为 5+3<9. 三、练习巩固 答案:1.C 2.共有 5 个三角形.分别是:△ABC,△BCD,△BCE,△ABE,△CDE. 3.能,因为 3+4>6. 4.解:(1)设底边长为 x cm,则腰长 2x cm. x+2x+2x=18, 解得 x=3.6. 所以,三边长分别为 3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm. (2)因为长 4 cm 的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论. 如果长 4 cm 的边为底边,设腰长为 x cm,则 4+2x=18, 解得 x=7. 如果长 4 cm 的边为腰,设底边长为 x cm,则 2×4+x=18, 解得 x=10. 因为 4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形. 由以上讨论可知,可以围成一边长是 4 cm 的等腰三角形. 四、深化提高 练习 1:C 练习 2:解:第三根木条的长度可以是 2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm,8 cm. 练习 3:解:由于题中并没有说明这四个点是否在同一条直线上,所以要分情况讨论. (1)四点共线时,不能组成三角形. (2)三点共线时,可以组成三个三角形. (3)任意三点都不共线时,可以组成四个三角形.。
数学人教版八年级上第十一章11.1 与三角形有关的线段
数学人教版八年级上第十一章11.1 与三角形有关的线段11.1 与三角形有关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 注：顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：?直角三角形三角形?锐角三角形?钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点等边三角形和等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC，△ABD，△ADC.△ABC的三边是：AB，BC，AC，三个内角分别是：∠BAC，∠B，∠C；△ABD的三边是：AB，BD，AD，三个内角分别是：∠BAD，∠B，∠ADB；△ADC的三边是：AD，DC，AC，三个内角分别是：∠ADC，∠DAC，∠C.2．三角形的三边关系 (1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b.三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c－b边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点三角形三边关系的理解三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是( )．A．1,2,3.5 B．4,5,9 C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高 (1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°. (3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在( )． A．三角形的内部 B．三角形的外部C．三角形的边上 D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有感谢您的阅读，祝您生活愉快。
数学人教版八年级上册11.1.1与三角形有关的线段
《三角形的高、中线与角平分线》的教学设计一、教材依据内容选自人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第11章《三角形》的第一节《与三角形有关的线段》的第二小节《三角形的高、中线与角平分线》．二、设计思想三角形是一种基本的几何图形，是认识其他图形的基础．在本章中，学生通过学习三角形的高、中线、角平分线加深对三角形的认识，同时本节也是学习其他几何知识的基础．三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关，可通过复习垂线、线段的中点、角的平分线的相关知识，从画图入手，在学生头脑中留下这三种线段的清晰形象．然后让学生结合这些具体形象叙述它们的定义，如果学生叙述得不准确、不简明，可通过讨论加以完善．这样做，学生不仅容易理解，也容易记住，同时也培养了他们的语言表达能力．通过画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高、中线与角平分线，探究出三角形的三条高所在直线交于一点，进而研究三条角平分线交于一点、三条中线交于一点．在研究三角形的高、中线、角平分线定义时，让学生对它们的定义进行对照，提高学生的类比能力．三、教学目标1、知识与技能：明确三角形的高、中线与角平分线的概念，会画三角形的高、中线与角平分线．2、过程与方法：（1）通过画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高、中线与角平分线，理解三角形的高、中线与角平分线的概念．（2）通过自己动手画图，探究出三角形的三条高线所在直线交于一点，三条角平分线交于一点、三条中线交于一点，渗透类比思想，培养学生的动手能力和探究意识．3、情感、态度与价值观：积极参与三角形的高、中线与角平分线的概念讨论，养成严谨的学风，以及合作交流的意识．四、教学重点了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线．五、教学难点1、三角形的角平分线与一个角的角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别．2、钝角三角形高的画法．六、教学方式与教学手段教法：（1）讲练结合;（2）探究式; （3）讨论法．学法：（1）通过自己动手画图，探究出三角形的三条高线所在直线交于一点，三条角平分线交于一点、三条中线交于一点，提高学习兴趣，掌握类比的思想方法．（2）通过研究课堂最后的三个探究题，学生通过经历动手测量、归纳总结、并得出结论，加强探究能力，提高创新意识． 教学手段：多媒体辅助教学． 七、教学过程教 学 过 程教 师 活 动学 生 活 动设计意图活动1.由“垂直”得出三角形的高的定义及结论．问题1.（１）垂直定义？垂线定义？（２）两条直线垂直的书写格式？画△ABC ，从A 作BC 边的垂线AD 交BC 边于点D ，线段AD 就是△ABC 的高．问题２.三角形的高如何定义？DBCA画三角形的高：（１）画出一个锐角三角形的三条高．观察三条高的相交情况？有什么特点？（２）画一个直角三角形的三条高，又有什么特点？（３）画一个钝角三角形的三条高，有同前的结学生回答，老师点评．学生讨论得出三角形的高的定义．预案１：线段AD 就是△ABC 的高; 预案2：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，三角形内的线段就是三角形的高;预案3：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高;预案４：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高．学生认真画图，并得出：锐角三角通过复习引出三角形的高．强调“垂线”和“三角形的高”的区别与联系．论吗？教师巡视，对学生们出现的问题及时更正，并让学生总结结论．小练习：教师启发学生仿照“垂直”的书写格式，写出三角形的高的书写格式．DBCA①∵AD 是△ABC 的高（ ） ∴AD ⊥BC （ ）②∵AD 是△ABC 的高（ ）∴∠ ＝∠ ＝ º（ ） 反之也成立.活动２.由“线段中点”得出三角形的中线定义及结论问题1.（１）线段中点定义？（２）线段中点的书写格式？画△ABC ，取BC 边的中点D ，连接AD ，线段AD 就是△ABC 的中线．问题２.三角形的中线如何定义？D ABC画三角形的中线：分别画出一个锐角三角形的三条中线、一个直角三角形的三条中线、一个钝角三角形的三条中线．这三条中线相交情况如何？有什么特点？ 教师巡视，对学生们出现的问题及时更正，并让学生总结结论．形三条高交于一点，交点在三角形的内部；直角三角形三条高交于一点，交点在两条直角边的交点；讨论得出：钝角三角形三条高所在直线交于一点，交点在三角形的外部．学生回答，老师点评．学生认真记忆书写格式．学生回答，老师点评．学生讨论得出三角形的中线定义． 预案１：连接三角形顶点和中点的线段，叫做三角形的中线; 预案２：连接三角形顶点和一边中培养学生的动手能力和探究能力．规范学生的书写格式．通过复习引出三角形的中线．小练习：教师启发学生仿照“线段中点”的书写格式，写出三角形的中线的书写格式．D ABC①∵AD 是△ABC 的中线（ ） ∴ ＝ ＝21（ ） ②∵ ＝ （ ） ∴AD 是△ABC 的中线（ ）活动３.由“一个角的平分线”得出三角形的角平分线的定义及结论．问题1.（１）一个角的角平分线定义？（２）一个角的角平分线书写格式？ 画△ABC 中∠Ａ的角平分线AD ，射线AD 交BC 边于点D ，线段AD 就是△ABC 的角平分线．21DAB C问题２.三角形的角平分线如何定义？提醒学生注意：不能说线段AD 是△ABC 中∠Ａ的角平分线．画三角形的角平分线：分别画出一个锐角三角形的三条角平分线、一个直角三角形的三条角平分线、一个钝角三角形的三条角平分线．这三条角平分线相交情况如何？有什么特点？教师巡视，对学生们出现的问题及时更正，并让学生总结结论．小练习：教师启发学生仿照“一个角的角平分线”点，所得的线段叫做三角形的中线; 预案３：连接三角形的一个顶点和它对边的中点，所得的线段叫做三角形的中线．学生认真画图，并得出：三角形三条中线交于一点，交点在三角形的内部．学生回答，老师点评．学生认真记忆书写格式．学生回答，老师点评．强调“线段中点”和“三角形的中线”的区别与联系．培养学生探究能力．规范学生的书写格式．通过复习引出三角形的的书写格式，写出三角形的角平分线的书写格式． 21D A B C①∵AD 是△ABC 的角平分线（ ）∴∠ ＝∠ ＝21∠ （ ）②∵∠ ＝∠ （ ） ∴AD 是△ABC 的角平分线（ ）问题3. 对于三角形中的三条主要线段，相同点是什么？不同点是什么？展示三角形三条高交于一点、三条中线交于一点、三条角平分线交于一点． 活动4. 练习巩固． 问题1.已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ．E GF教师对学生的错误及时更正．问题2.实际应用问题．某村政府决定将一块三角形土地分给四户村民，要求这四户村民每户分到一块面积相等的小三角形土地，请用你学过的知识帮他们分配土地．活动5.问题探究──动手测量，得出结论．探究1. 画出△ABC 的中线AD 与BE 相交于M 点，学生讨论得出：画三角形中一个角的平分线，交这个角的对边于一点，这个角的顶点到交点的线段叫做三角形的角平分线．学生认真画图，并得出：三角形三条角平分线交于一点，交点在三角形的内部．学生回答，老师点评．学生认真记忆书写格式．角平分线．强调“一个角的平分线”和“三角形的角平分线”的区别与联系．培养学生掌握类比的思想方法．规范学生的书写格式．分别量一量线段AM 和MD 、线段BM 和ME 的长，从中你能发现什么结论？MEDBCA探究2.画出△ABC 的角平分线BE 、CF 交于O 点，请量一量点O 到△ABC 三边的距离，从中你能发现什么结论？OFEABC探究 3. 将一个三角形各边的中点顺次连结可得到一个新的三角形，通常将它称为“中点三角形”，如图①中，△DEF 是△ABC 的中点三角形.（1）在图②、图③中分别画出这两个三角形的中点三角形.（2）通过观察，你发现△DEF 的三边与原△ABC 的三边有怎样的位置关系（例如DE 与AC ）？通过度量，你又发现△DEF 的边及角与原△ABC 的角及边之间有怎样的数量关系（例如DE 与AC ，∠A 与∠DEF ）？EFDABC活动6.师生共同小结１.三角形中的三条主要线段的概念及相同点、不学生踊跃回答，师生共同总结出：相同点：都是从三角形的一个顶点引出的一条线段．不同点：从各自定义的关键词解释．学生认真观察．N MHFGE学生会出现的问题：1．高作错了;H N ME GF2．高画的不是线段，没有标垂直符号;3．夹角不是90度; 4．角平分线画的是射线;5．三角形的角平分线没有将角平分;6．M 取的不是FG 的中点．分组讨论，得出不同分配方法的小组，派一人把自己小组的方案板演画图． ．提高学生学习数学的兴趣．本题强调钝角三角形的高的画法，注意三角形的高和三角形的角平分线是线段．突破本节课的难点．通过合作交流，提高创新意识．同点.２.三角形的高、中线和角平分线分别与“垂线”、“线段中点”、“一个角的平分线”区别和联系．作业：《学习探究诊断》Ｐ５２－Ｐ５５学生在练习本上画图、度量、比较．教师指导学生归纳出结论：探究1.结论：AM=2MD、BM=2ME探究 2. 三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等.探究3.结论：△EFD的三边与原△ABC的三边分别平行.结论：△EFD的各分别边是原△ABC各边的一半.结论：△EFD的各角分别与原△ABC的各角相等学生回答，教师补充．培养学生学习数学的兴趣．增强学生自信，提高探究能力．继续渗透类比思想。
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继续探究
问题3 如图，任意画一个△ABC，一只小虫从点 B 出发，沿三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选 择？各条线路的长一样吗？你能运用所学知识解释你的 结果吗？你能由此推出三条边之间有怎样的关系？ AB + AC ＞BC， ① AC + BC ＞AB， ② AB + BC ＞AC． ③ 即三角形两边的和大于第三边． B A
例2 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角 形．（2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？ 为什么？ 解：因为4 + 4＜10， 不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长为4 的等腰三角形． 由以上讨论可知， 可以围成底边长为4 cm的等腰三角形．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些知识？
（2）三角形按角怎样分类？按边呢？
（3）三角形的边具有怎样的性质？是怎样得到的？
追问：对于下图中的三角形，你能说出它的边、 顶点与内角吗？ 边：AB，BC，AC 或 c，a，b． 顶点：A，B，C ． c 内角：∠A ，∠B ，∠C．
A
b
B
a
C
问题2 我们知道，三角形按角可以分为锐角三角 形、直角三角形和钝角三角形．你能按照边的关系对 三角形进行分类吗角形 等边三角形
归纳总结
追问 解决这类问题我们通常用哪两条线段的和与 第三条线段做比较就可以了？为什么？
用较小两条线段的和与第三条线段做比较； 若较小两条线段的和大于第三条线段，就能保证 任意两条线段的和大于第三条线段.
例题学习
例2 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角 形．（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多 少？ 解：设底边长为x cm，则腰长为2x cm． x + 2x + 2x =18． 解得 x =3.6. 所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm．
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第11章 三角形
11.1 与三角形有关的线段 第1课时
目标重点
学习目标： 1．理解三角形及其有关概念及三角形的分类. 2．理解“三角形两边的和大于第三边”，并运用 这个性质解决问题. 学习重点： “三角形两边的和大于第三边”的理解和运用.
问题1 三角形是我们熟悉的图形，观察下列图 片，你能说一说三角形是怎样的图形吗？
C
追问 由不等式②③移项可得 BC ＞AB -AC， BC ＞AC -AB．由此你能得出什么结论？
三角形两边的差小于第三边．
巩固运用
例1 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什 么？（1）3，4，5；（2）5，6，11；（3）5，6，10． 解：（1）能．因为3 + 4＞5，3 + 5＞4，4 + 5＞3， 符合三角形两边的和大于第三边. （2）不能．因为5 + 6 =11， 不符合三角形两边的和大于第三边. （3）能．因为5 + 6＞10，10 + 6＞5，10 + 5＞6， 符合三角形两边的和大于第三边.
例2 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角 形．（2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？ 为什么？ 解：如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 4 + 2x = 18． 解得 x = 7. 如果4 cm长的边为腰，设底边长为x cm， 则4×2 + x = 18. 解得 x = 10.
小试身手
练习1 形． 图中有几个三角形？用符号表示这些三角
图中有5个三角形． 三角形的表示为： △ABE， △ABC， △BEC， △EDC， B △BDC．
A
E C
D
练习2 下列说法正确的有_______. （ 4） （1）锐角三角形是三条边都不相等的三角形； （2）直角三角形不是等腰三角形； （3）等腰三角形是等边三角形； （4）等边三角形是等腰三角形．