2014高考文科数学分类汇编数列

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2014年全国高考文科数学试题分类汇编立几

第一第一2014年全国高考数学分类汇编：立体几何1、（新课标全国一卷）如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O,且AO ⊥平面BB 1C 1C 。

(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若 AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，BC=1，求三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高。

解：(1)证明：连接BC 1,则BC 1必过点O,且BC 1⊥B 1C 。

由于B 1C ⊥AO ，且B 1C 1∩AO=O, 所以BC 1⊥平面ABC 1。

又因为AB ⊂平面ABC 1，B 1C ⊥AB 。

（2）作OD ⊥BC,垂足为D ，连接AD ，作OH ⊥AD ，垂足为H.由于BC ⊥AO, BC ⊥OD,故BC ⊥平面AOD,所以OH ⊥BC 。

又OH ⊥AD,所以OH ⊥平面ABC.又因为∠CBB 1=60°，所以△CBB 1为等边三角形。

因为BC=1，可得OD 43=,由于AC ⊥AB 1，所以OA=C B 121=21.由OH*AD=OD*OA 且4722=+=OD OA AD ,得OH=1421=，又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为721=。

故三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为721。

2、（新课标全国二卷）如图，四棱锥P--ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点。

（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设PA=1，AD=3,三棱锥P--ABD 的体积V=43，求A 到平面PBC 的距离。

解：（1）证明：设AC 与BD 的交点为O,连接EO 。

因为底面ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以OE ∥PB 。

DB第二题CD第二题第三题EO⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC,所以PB ∥平面AEC 。

（2）由题意知平面PBC ⊥平面PAB 。

2014年数学高考分类汇编——数列

2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D)()12n n -【答案】A2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C4.【2014·北京卷（理5）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D5.【2014·天津卷（文5）】设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 【答案】D .6.【2014·福建卷（理3）】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ．10a d <【答案】D8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（）.2n Aa n = .2(1)n B a n =-.2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】C9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（）.5A .8B .10C .14D【答案】B11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________.【答案】2112.【2014·安徽卷（理12）】数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。

2014年全国高考试卷数列部分汇编

2014年全国高考试卷数列部分汇编1. （2014安徽理12）数列{}n a 是等差数列，若135135a a a +++，，构成公比为q 的等比数列，则q =________．【解析】1 设{}n a 的公差为d ，则315131225144a a d a a d +=++++=+++，，由题意可得23(3)a+=15(1)(5)a a ++．∴2111[(1)2(1)](1)[(1)4(1)]a d a a d +++=++++，∴2221111(1)4(1)(1)[2(1)](1)4(1)(1)a d a d a a d ++++++=++++， ∴1d =-，∴3131a a +=+，∴公比31311a qa +==+． 2. （2014安徽文12）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =，过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12123567AA a A A a A A a ===，，…，，则7a =______________．【解析】 14由22BC =得112123222212AB a AA a A A a ==Þ==Þ==´=，由此可归纳出{}n a 是以12a =为首项，22为公比的等比数列，因此667121224a a q æö=´=´=ç÷ç÷èø．3. （2014安徽文18）数列{}n a 满足111(1)(1)n n a na n a n n n *+=,=+++,ÎN ．⑴证明：数列n a n ìüíýîþ是等差数列；是等差数列；⑵设3nnnb a =×，求数列{}nb 的前n 项和nS ．【解析】 ⑴ 由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a a n n+-=-．所以n a n ìüíýîþ是以111a =为首项，1为公差的等差数列． ⑵ 由⑴得()111na n n n=+-×=，所以2n a n =．从而3nn b n =×． 1231323333nn S n =×+×+×++×，①()23131323133n nn S n n +=×+×++-×+×．② A 1A 4A 3A 2第（12）题图ABC①－②得12123333n n n S n +-=+++-×()()1131312333132nn nn n n ++×--×-=-×=-．．所以()121334nn n S +-×+=．评析本题考查等差数列定义的应用，错位相减法求数列的前n 项和，解题时利用题⑴提示对递推关系进行变形是关键．4. （2014北京理5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（”为递增数列的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件【解析】D 对于等比数列{}na ，若1q >，则当10a <时有{}na 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ．5. （2014北京理12）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++> ，7100a a +<，则当n =____时，{}n a 的前n 项和最大．最大．【解析】8 由等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是有80a >，890a a +<，故90a <．故87S S >，98S S <，8S 为{}n a 的前n 项和n S 中的最大值6. （2014北京文15）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．为等比数列．⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；的通项公式； ⑵求数列{}n b 的前n 项和．项和．【解析】 ⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a qb a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=．从而()13212n n b n n -=+=，， ⑵ 由⑴知()13212n nn b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112nn -=--×．所以，数列{}n b 的前n项和为()31212n n n ++-．7. （2014大纲理10）等比数列{}n a 中，4525a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（项和等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【解析】C8. （2014大纲理18）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤⑴求{}n a 的通项公式；的通项公式； ⑵设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】 ⑴ 由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S … 故4500a a ，厔于是10301040d d ++≥，≤ 解得10532d --≤≤．因此3d =-．数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．⑵ ()()1111331033103133n b n n n n æö==-ç÷----èø1．于是12n T b b =++…nb 1111111371047103103n n éùæöæöæö=-+-+-ç÷ç÷ç÷êú--èøèøèøëû…+ 111310310n æö=-ç÷-èø()10103n n =-．9. （2014大纲文8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（） A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 【解析】C 10. （2014大纲文17）数列{}n a 满足12211222n n na a a a a ++===-+，， ⑴设1nn nb a a +=-，证明{}nb 是等差数列；是等差数列；⑵求{}n a 的通项公式．的通项公式．【解析】 ⑴ 由2122n n n a a a ++=-+得2112n n n n a a a a +++-=-+ 即12n n b b +=+又1211b a a =-=所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列． ⑵ 由⑴得12(-1)n b n =+ 即+121n n a a n -=- 于是111()(21)nnk k k k aa k +==-=-åå所以211n a a n +-=，即211n a n a +=+．又11a =，所以{}n a 的通项公式为222n a n n =-+．11. （2014福建理3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若13212a S ==，，则6a =（） A ．8B ．10C ．12D ．14【解析】C12. （2014福建文17）在等比数列{}n a 中，25381a a ==，．⑴求n a ；⑵设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．⑴ 设{}n a 公比为q ，依题意得141381a q a q =ìïí=ïî，，解得113a q =ìí=î，．因此，13nn a -=．⑵ 因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()=22n nn b b n n S +-=．13. （2014广东理13）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122e a a a a +=，则1220l n l n l n a a a +++=__________．【解析】50．由等比数列性质可知，51202193189121011e a a a a a a a a a a =====，可求得1220120219912l n l n l n l n l n l n l n 10550a a a a a a a a a a a +++=++++=´=． 14. （2014广东理19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，*n ÎN ，且315S =．⑴求1a ，2a ，3a 的值；的值；⑵求数列{}n a 的通项公式．的通项公式．【解析】 ⑴ 取2n =得到23420S a =-，又233315S S a a =-=-，于是3342015a a -=-，得37a =取1n =得到11227a S a ==-，又1322158a a a a =--=-，于是22212785,3a a a a -=-Þ==；⑵ 猜测21na n =+，用归纳法证明：1°1n =时，显然成立；2°假设n k =时，成立，即21k a k =+；3°由22111(1)23432234232k k k k k k S ka k k k ka k k a k +++-=--Þ+×=--Þ=+；故结论成立，即21n a n =+．15. （2014广东文13）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425l og l o g l o g l o g l o g a a a a a ++++=_____．【解析】5． 16. （2014广东文19）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足满足222(3)3()0n n S n n S n n n *-+--+=ÎN ，．⑴求1a 的值；的值；⑵求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；⑶证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113nna a a a a a+++<+++．【解析】 ⑴ ∵()()222330n n S n n S n n -+--+=，∴令1n =，得21160a a +-=，解得12a =得13a =-．又0na >，∴12a =．⑵ 由()()222330n n S n n S n n -+--+=，得()()230n n S n n S éù-++=ëû，又0n a >，所以30n S +≠，所以2n S n n =+，所以当2n ≥时，()221112n n n a S S n n n n n -éù=-=+--+-=ëû，又由⑴知，12a =，符合上式．所以2n a n =．⑶ 由⑵知，()()111221n n a a n n =++，所以()()()1122111111n n a a a a a a ++++++… ()1112345221n n =+++´´+…()()11112335572121n n <++++´´´-+…111111116235572121n n éùæöæöæö<+-+-++-ç÷ç÷ç÷êú-+èøèøèøëû… 111162321n æö=+-ç÷+èø11116233<+´=17. （2014湖北理18文19）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且125a a a ，，成等比数列．成等比数列．⑴求数列{}n a 的通项公式．的通项公式．⑵记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．小值；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴ 设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2224d d ++，，成等比数列，故有 2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =．当0d =时，2na =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-×=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-． ⑵ 当2na =时，2nS n =．显然260800n n +＜，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立．当42na n =-时，[]22(42)22n n n S n +-==．令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60nS n >+800成立，n 的最小值为41．综上，当2na =时，不存在满足题意的n ；当42na n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．18. （2014湖南理20）已知数列{}n a 满足111||n n n a a a p +=-=，，*n ÎN ．⑴若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值；的值；⑵若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．的通项公式．【解析】 ⑴ 因为数列{}n a 为递增数列，所以10n n a a +-≥，则11n nn n n n a a p a a p ++-=Þ-=，分别令12n =，可得22132a a p a a p -=-=，22311a p a p p Þ=+=++，，因为12323a a a ，，成等差数列，所以21343a a a =+()()224113130p p p p p Þ+=+++Þ-=13p Þ=或0，当0p =时，数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列，所以13p =．⑵ 由题可得122122212121111222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=Þ-=-=，，因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列，所以2121n n a a +->且222n n a a +<，则有22222122212121n nn n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-ìÞ->-í<î，又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=，所以2210n n a a -->，即2212112n n n a a ---=，同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-，所以212212n nn a a +-=-，则当2n m =()*m ÎN 时，21324322123211111,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-=，，，，这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --æöæö-=+++-+++ç÷ç÷èøèø212222111111111224224113321144m m m ----×-×=-=+×--22141332m m a -Þ=+×．当21n m =+时，2132432122321111,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=-，，，，这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-æöæö-=+++-+++ç÷ç÷èøèø2122211111111224224113321144m m m--×-×=-=-×-- 21241332m m a +=-×，当0m =时，11a =符合，故212241332m m a --=-×综上()1141332nn n a --=+×． 19. （2014湖南文16）已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S n *+=ÎN ，．⑴求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；⑵设()21nna n nb a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和．项和．【解析】 ⑴ 当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n aS Sn--+-+=-=-=．故数列{}n a 的通项公式为n a n =． ⑵ 由⑴知，()21nn nb n =+-，记数列{}n b 的前2n 项和为2nT ，则()()122222212342nn T n =++++-+-+-+．记122222nA =+++，12342B n =-+-+-+，则()2212122212nn A +-==--，()()()1234212B n n n=-++-+++--+=éùëû．故数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+-．20. （2014江苏理7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值为_____．【解析】 4设公比为q (0)q >，则由8642a a a =+得266622a a q a q =+，解得22q =，故4624a a q ==21. （2014江苏理20）设数列{}n a 的前n 项和为nS ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”． ⑴若数列{}n a 的前n 项和*2()n nS n =ÎN ，证明：{}n a 是“H 数列”； ⑵设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；的值；⑶证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}nc ，使得n n n a b c =+成立．成立．【解析】 ⑴ 当2n ≥时，111222n n n nnn a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ³时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列”⑵1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对*n "ÎN ，*m $ÎN 使n m S a =，即(1)1(1)2n n dn m d -+=+-取2n =得1(1)d m d +=-，12md =+∵0d <，∴2m <，又*m ÎN ，∴1m =，∴1d =- ⑶ 设{}na 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对*n "ÎN ，11n n b b a +-=-1(1)()n c n a d =-+，对*n "ÎN ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}n b 、{}n c 为等差数列{}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =；当2n =时1m = 当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，*m ÎN 因此对n "，都可找到*m ÎN ，使n m T b =成立，即{}n b 为H 数列 {}n c 的前n 项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()m n c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对*n "ÎN ，(1)n n -是非负偶数，∴*m ÎN即对*n "ÎN ，都可找到*m ÎN ，使得n m R c =成立，即{}n c 为H 数列因此命题得证22. （2014江西理17）已知首项都是1的两个数列{}n a ,{}n b *0n b n ¹ÎN ，，满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=．⑴令n n na cb =，求数列{}nc 的通项公式；的通项公式；⑵若13n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解析】 ⑴ 因为()*111200n n n n n n n a ba b b b b n +++-+=¹ÎN ，，所以112n n n na ab b ++-=，即12n nc c +-= 所以数列{}n c 是以1为首项，2为公差的等差数列．故21nc n =-．⑵ 由13n nb -=知()1213n n n n a c b n -==-，于是数列{}n a 的前n 项和()0121133353213n n S n -=×+×+×++-×…． ()()12131333233213n n n S n n -=×+×+-×+-×…+．相减得()()()1212123332132223n n nn S n n --=+×++--×=---…+，所以()131nn S n =-+．23. （2014江西文13）在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，取最大值，则则d 的取值范围_________．【解析】 718æö--ç÷èø， 24. （2014江西文17）已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS n *-=ÎN ，． ⑴求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；⑵证明：对任意1n >，都有m *ÎN ，使得1n m a a a ，，成等比数列．成等比数列．【解析】 ⑴ 由232n n nS -=得111a S ==，当2n ≥时，132n n n a S S n -=-=-．所以数列{}na 的通项公式为32na n =-．⑵ 要使1n m a a a ，，成等比数列，只需要21n m a a a =×，即()()232132n m-=×-，即2342m n n =-+，而因此时m *ÎN ，且m n >，所以对任意的1n >，都存在m *ÎN ，使得1n m a a a ，，成等比数列．25. （2014辽宁理8文9）设等差数列{}n a 的公差为d .若数列{}12n a a 为递减数列，则（）为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【解析】C 26. （2014山东理19）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124S S S ，，成等比数列．⑴求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；⑵令114(1)n n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】 ⑴ 1121412S S 246d a a d S a d ===+=+，，，124S S S ，，成等比数列，2214S S S \=解得1121n a a n =\=-，⑵111411(1)(1)()2121n n n n n n b a a n n --+=-=-+-+ 当n 为偶数时，111111111(1)()()()()3355723212121nT n n n n =+-+++-++-+---+1212121n nT n n \=-=++ 当n 为奇数时，111111111(1)()()()()3355723212121n T n n n n =+-+++--+++---+12212121n n T n n +\=+=++2212221n n n n T n n n ìïï+\=í+ï+î，为偶数，为奇数27. （2014山东文19）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项．的等比中项．⑴求数列{}na 的通项公式；的通项公式；⑵设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T ．【解析】 ⑴ 由题意知{}n a 为等差数列，设1(1)n a a n d =+-，2a 为1a 与4a 的等比中项2214a a a \=´且()()2111103a a d a a d ¹Þ+=+，2d =解得：12a =()2122n a n n \=+-´=．⑵ 由⑴知：2n a n =，∴()()121n n n b a n n +==+①当n 为偶数时：()()()()()()()()()()2122334+1213435+11224262+22246+222222n T n n n n n n n nn n n=-´+´-´++=´-++-++--++éùëû=´+´+´+´=´++++×+=´=②当n 为奇数时：()()()()()()()()()()()()()21223341213435+(1)21224262+(1)212246+111212122122n T n n n n n n n n n n n n n n n n n n n =-´+´-´+-+=´-++-++---+-+éùëû=´+´+´+-´-+=´+++--+-+-×++=´-+=-综上：2221222n n n n T n n n ì++-ïï=í+ïïî为为数，奇数，偶．28. （2014陕西文8）原命题为“若12n n n a aa ++<，+n N ∈”,则{}n a 为递减数列，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，真，真．真，真，真 B ．假，假，真．假，假，真 C ．真，真，假．真，真，假 D ．假，假，假．假，假，假【解析】A 29. （2014上海理23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ÎN ，11a =。

2014年高考分类：数列

数列（新课标卷二Ⅱ）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+. （四川）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（*n N ∈）。

（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n na b 的前n 项和n T 。

（安徽卷）数列{}n a 是等差数列，若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= . (福建)等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D （湖北）已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式. （2）记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.（湖南）已知数列{}n a 满足111,,.n n n a a a p n N *+=-=∈ (I)若{}n a 是递增数列，且123a ,2a ,3a 成等差数列，求p 的值； (II)若12p =，且{}12n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式。

（辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d > （全国）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3（全国）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . （浙江卷）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a n b n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==（1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c n n n 11。

2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编：排列组合(已排版,可直接打印)

2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编：排列组合一、选择题1.（2014年高考湖北卷（文））随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p <<D ．312p p p <<2.（2014年高考湖南卷（文））在区间[-2,3]上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为A.45B.35C.25D.153.（2014年高考湖南卷（文））对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4.（2014年高考江西卷（文））掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D 5.（2014年高考辽宁卷（文））若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（） A ．2πB ．4π C ．6π D ．8π6.（2014年高考陕西卷（文））从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）1.5A2.5B3.5C4.5D二、填空题1.（2014年高考新课标1（文））将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____.2.（2014年高考新课标2（文））甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.3.（2014年高考浙江卷（文））在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是______________；三、简答题1.（2014年高考湖南卷（文））某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.2.（2014年高考辽宁卷（文））某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.3.（2014年高考山东卷（文））为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

2014高考题分类-(文科)数列(含答案)

2014高考题分类-（文科）数列（含答案）1、(2014年高考重庆卷文2)在等差数列｛a n｝中，a i 2 , a3 a5 10，则a7 ( )A. 5B. 8 C . 10 D. 141、解：.••数列｛a n｝是等差，a3 a5 10 ,・°・ 5 , a? 2a4 a 8 , •••选B.2、(2014年高考天津卷文5)设a…是首项为3 ,公差为1 的等差数列，S”为其前n项和，若S，S2, S4成等比数列，则 & =()A. 2B. - 2C. - D .222、解：• a”是首项为a,，公差为1的等差数列，S”为其前”项和，又• S” S2, S4 成等比数列，...佝a2)2= a1(a a2 a3 a«)，即2(2a1 1) = a1 (4a1 6)，解得a1 —2，••选D3、(2014年高考新课标2卷文5)等差数列a n的公差为2,若a2，a4，a8成等比数列，贝廿a.的前n项S.= ( )B. n n 1C.D.23、解：.•.等差数列a”的公差为2,且a2 , a4 , 成等比数列，二a42= a?a8 ,即（印6）2=⑻2）⑻14）,解得a 2，则a n 2n，二选A4、（2014年高考全国卷文8）.设等比数列©｝的前n项和为S n，若S2 3，S4 15，则S6 （）A . 31 B. 32 C. 63 D ・644、解：••由等比数列｛a n｝的前n项和S,的性质得：S2 , S4 -S2, S6 —S4成等比数列，即3,12,S6—15 成等比数列，••• 122= 3（S—15）, 解得：S e = 63,二选C5、（2014年高考辽宁卷文9）.设等差数列｛a n｝的公差为d, 若数列0an｝为递减数列，则（）DA・d 0 B・d 0 C・a-|d 0 D . qd 06、（2014年高考江苏卷文7）在各项均为正数的等比数列,则a6的值是▲.｛a n｝中,a2 1, a8 a6 2a4【答累】A【解析】设公上匕为哲因为?刚由陽=令+纠得字"二『+2亍* -1?'2— 2 = 0（解得叨'二2 * 所园盹-n才=4・【着点】等比数列餉通项公式7、（2014年高考江西卷文13）在等差数列a n中,a1 7 ,公差为d ，前n 项和为S n，当且仅当n 8时&取最大值，则d 的取值范围 __________ .7、解：因为a i7 0，当且仅当n 8时Sn 取最大值，可知d 0且同时满足a 80,a 90，二a 87 If 0，解得1 d 7，・••答案1 d 1& （2014年高考广东卷文13）.等比数列a n的各项均为正数，且a ’a s4，贝Ulog 2 a 1 +log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2 a 5= _________________.答案:5 提示: 设 Slog 2 a 1 log 2 a 2 log 2 a 3 log 2 a 4 log 2a 5,则 S log 2a 5 log 2a 4log 2 a 3 log 2 a 2 log 2 a 1,5log 2 4 10,a 9 7 8d 02S 5log 2（a i a s ） S 5.9、（2014年高考新课2卷文16)数列｛a n｝满足a”1[1 a na 2= 2，则a1 = ___________9、解：由已知得10、(2014年高考北京卷已知a n是等差数列，满足 b 420，且b n a ”是等比数列.(1) 求数列a n和h 的通项公式; (2) 求数列0的前n 项和.文15） a 13，a(本小题满分13分)12，数列b n满足b i4 ,2项公式及其前n 项和T n.(15) f 共 13 分 >«t ( I )设聲筈数列扫」的分建为# +由题倉需所以 u n -Vi t i (N -1)(/ 3n)*设事比数列他-碍｝的总比为「V^.1=2£zl£=g r 無％岛一打I 4-3从丽氏=抑+ 2* 1 5工12- (11J 曲(1 ) + (fl = l31 . 1 -2*艸如伽"和吟仞0犠輸科潤鼬项和环—=r所乩数囲世」的前"顶櫛为］附小心I,11、 (I ： (2014年高考重庆卷文16)(本小题满分小问6分，(II )小问5分)已知a n是首相为1,公差为2的等差数列，S13分. 表示an的前n 项和. (I )求aII )设 a 41 q S 40 及5 ；b n是首相为2的等比数列，公比求S 的通q满足I ）因为2」垦苗顶眄訂扭蛙"2的零養敦列［析民12、_ ・i 喊眄 *口J n（l<2rt"l> 2K 5, = 3 +3 + ■-■ + （I FI亠I J 工 - ; ---- = --- 二片・CH）*（ 1）^^=7.5^ 讥18为孑-心咖*Sj =o t即『-阳416 =o tBrijtfi -4）a =fi,从■而电=址3t® 6."・I妬f屋公比厂目的舗塩融列,所瓯虹胡厂'=2 - 4*_, =2fc_L从阿血丨的枫M和町帀啤二住=寻仟-I ）■（2014年高考湖南卷文16）.（本小题满分12分）2已知数列a n的前n项和S n亍，n N（I）求数列a n的通项公式；（II ）设b 2an1n a n，求数列b n的前2n项和.I ）当” I 时* H,V；an［上肾（用・】）*4（jr・|）7 1当用荒2吐d, = 5故盟蚪｛% J的划顶公式为匹■ e im由HA灿‘才•（“衍础姗｛耐的诃斟顶和为g剧Tj, = C21 + 2^+■*■■+■ I s*）+（—I 4 2- 3+4 —+ 2h）,启斗-【*2・3 + £—半加"财-|>-ISlJS捌他｝的曲舸段和乙旷口丹7-13、（2014年高考福建卷文17）. 已知等比数列｛a n｝中，a2 3，a5 81.（I ）求数列｛臥｝的通项公式；求数列｛b n｝的前n项和S （本小题满分12分）a2（II ）若数列 6IOg3a n ,13、考查等差、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想解：（I ）设｛a n｝的公比为q ，依题意得3 a 1q 481，解得n(d 2 因此，a n3n1(II ) V 数列 b nb n ) = n 2n2 'log 3a n= n 1,・°・数列｛b n｝的前n 项和S =14、（2014年高考江西卷文17） 2已知数列a n的前n 项和S n詈（1）求数列a n的通项公式；（2）证明：对任意n 1，都有m比数列.解析： 14、（本小题满分12分）N,使得a 1, a n, a m成等(1 )当 n 1 时 a ,S 1 当n 2时％ S S 检验当n 1时a 1a”使印,a n, a m成等比数列.则 a n2= a 1a m3n 2"=3m 23m 3n 2 2 2 9n 2 12n 6所以m 3n 24n 221 n 1 3n2 23n 2 （2）即满足则对任意n 1 ,都有3n 24n 2 N所以对任意n 1 ,都有m N ,使得a” a n, a ”成等比数列.15、（2014年高考全国卷文仃）.（本小题满分10分）数列｛a n｝满足印 2,a 22,an 22a . 1 a . 2(1) 设bn a n 1 a n，证明｛bn｝是等差数列;(2) 求｛a n｝的通项公式.（17） t *汕仆）T ； J A 小=LHi = 2&n » I "1T I J 可匪t 九甘[曹用觌列I （n ）如的逍顼笛亠 W J [ I ） th j: = m ■ 1 -日"2 褐- art*i *4fnt+i - ti> + 2-X 枷匸出g 曲=11巧旦內｝!上门卷X 处…2的带•岸歌吩hl[-应I xjiJ E9 乔[五X + ■f.・1 *蹄以細増強武为-分)已知a n是递增的等差数列，a 2, a 4是方程x 25x 6根。

2014年全国高考数学分类汇编--数列

2014年全国高考数学分类汇编-数列全国2014年高考数学（理科）分类汇编1（2014福建理）3.等差数列｛a n｝的前n项和S.，若a i 2,S3 12，贝V a6 （）A.8B.10C.12D.142（2014广西理）10.等比数列3”｝中，a4 2,35 5，则数列｛lg a…｝的前8项和等于（）A. 6 B . 5 C . 4 D . 33（2014广西文）8.设等比数列｛a”｝的前”项和为S n，若S2 3,S4 15,贝V S6 （）A. 31 B . 32 C . 63 D ・644（2014重庆文）2.在等差数列｛a…｝中,印2,a3 a5 10，则a7 （）A.5B.8C.10D.145（2014辽宁文理）8.设等差数列啣的公差为d, 若数列｛2宀为递减数列，则（A. d 0B. d 0C. a-|d 0D. a1d 06（2014天津文）5.设a…是首项为a,,公差为1的等差数列，S n为其前n项和，若s, S2, S4,成等比数列，则a1=（A.2B.-2C. 1 D . 12 27（2014课标2文）（5）等差数列a n的公差为2,若a 2, 34, a 8成等比数列，则a 的前n 项和S.= () (A ) n n 1 ( B ) n n 18（2014重庆理）2.对任意等比数列{a n},下列说法一定正确的是（） A. 31,33,39成等比数列 B. a 2,a 3,a 6成等比数列成等比数列 D -a 3,a 6,a 9成等比数列9（2014安徽理）12.数列a n是等差数列，若311， 333， 355构成公比为q 的等比数列，贝y q _____________________ .10（2014安徽文）12.如图，学科网在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 2迈，过点A 作BC 的垂线，垂足为几；过点片作AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 作AC的垂线，垂足为A 3；…，以此类推，设BA 31 , AA 1 32, A 1A 2 33，•…, A 5A 6 37，贝U 37.11（2014北京理）9.若等差数列a n满足a-i a 8 a90 , a 7 a io0 , 则当n _____________________(C )呼(D) n n 12~时a”的前n项和最大.12（2014广东理）13 .若等比数列a n的各项均为正数，且a0a” a g a>2 2e5，则ln a1 In a2In a2n_________ . ______13（2014广东文）13.等比数列a n的各项均为正数，且时 5 4 ,贝U Iog2 a1 Iog2a2 Iog2a3Iog2 a4 Iog2 a5 ___________________________________14（2014江苏文理）7.在各项均为正数的等比数列｛a n｝中,a2 1, a8 a6 2a4,则a6 的值是____15（2014江西文）14.在等差数列｛a…｝中，& i，公差为d，前n项和为｛an｝，当且仅当n 8时S取最大值，则d 的取值范围___________ .16（2014天津理）（11）设a n是首项为&，公差为-1的等差数列，S n为其前n项和.若S0S4成等比数列，则a 的值为_______________ .17（2014课标2文）（16）数列a n满足a n 1,a2=2,贝H a i = __________【答案】CCCBC DAD 9. 1 10. 111. 816.仃.1全国2014年咼考数学（文史）分类汇编 1（2014重庆文）16.已知a n 是首项为1, 公差为2的等差数列，S n表示a n的前n 项和.（I ）求 a n 及 S ；（H ）设b n是首项为2的等比数列，公比q 满足 q 2色1 q S 0，求b n的通项公式及其前n 项和T n.【点拨】⑴a 2n 1,S n 2；(n )由 q 2a 41 q S 0得 q 4 ,所以 b n22n1,T n 2(4n 1)2（2014重庆理）22.设a 1 1,0.1 .a ： 2a n 2b （n N*）（1）若b 1,求a 2,a 3及数列｛%｝的通项公式；⑵ 若b 〔，冋：是否存在实数C 使得a 2nc a 2n 1对所有 n N*成立？证明你的结论.5n2【点拨】(1) a 1,a2 2,a3 5.2 1,& 1,猜想a n 1 1(可数归完成)；(2)设函数f(x) x2 2x 2 1,令f(x) x 得不动点x 4.仿(1)得a1 1,a2 0,a3 2 1,用数学归纳法可证明:a2n 1 a2m. 事实上,1O当n 1 时,32 0 4 v2 1 a3显然成立.2o.假定当n k时,a2k ： 32k 1成立,那么「"当n k 1 时，Qa2k 2 f (a2k 1) (a2k 1 1)21 1(a2k 2 1)2 (32k 1 1)21 (32k 2 1)2([ 1)2 1这就是说当n k 1时,a2k2 1 a2k 3也成立.3（2014浙江文）19、已知等差数列｛a n｝的公差d 0, 设｛a n｝的前n 项和为S n，a1 1，S2 S3 36.(1)求d及S n ；⑵求m,k （m,k N*）的值，使得i 3m 1 3m 2 L 3m k 65【点拨】（1） d 2,S n n2；⑵Q3m 2m 1, (k 1)(2m 1)冬严 2 654（2014浙江理）19.已知数列｛3n｝和｛b n｝满足a&L 3n（ 2）s（n N ）.若｛a n｝为等比数列，且 3 2,& 6 b又32k 3 f (32k 2) (32k 3 1)2(32k 2 1)2 11 43k2a(k 1)(2m k 1) 5 13 k 1 5 k 4 ... 2m k 1 13 m 5⑴求a n与b n；(2)设c a _L(n N).记数列｛c n｝的前n 项和为S n. ( i ) 求 S ； (ii )求正整数k ，使得对任意nN ，均有& 【点拨】(1)aa 2a 3 \2 ,a i a 2得 a 3268 .从而 q 2, a n a sqn 32n.由 a i a 2L a n( 2户 2 2)2【b n(n 1)(2) G 丄1吉(丄斗).所以a n t n 2n n n 1(i) S cia a L a 古》(分组裂项)(ii)Q^ ML 1 i)鳥 1)2"，易见",C 2,C 3,C 4 0,当n 5寸,c n0. 可见S 4最大,即S 4 S n . k 4■5(2014 a n 13a n1 .(I)证明(U)证明：【点拨】(I)在a n 1 3(『2),可见数列a 1是以3为公比,以a 1 3为首项的等比数列.故a n 2贰1叮.(H)法1(放缩法)Q^尹课标2理)17.已知数列a n满足a=1, 1是等比数列，并求a n的通项公式; 丄1…+丄3a 1 a 2 a n2 -a n1 3a n 1中两边加2：a2 3n 1 1 2 1 2 1 L 2 1 1 1 32 1 1 33 1 1 3n 1 1 12 （本题用的是"加点糖定理"）法2（数学归纳法）先证一个条件更強的结论20■假疋对于n 新命题成立,即1 3 1 3a 2 2 3n1 2天津文理）19.已知q 和n 均为给定的大于 1的自然数■设集合M 0,1,2丄,q 1,集合A xx X 1 X 2q L x!q n 1,x M ,i 1,2,L ,n（1）当q 2 , n 3时，用列举法表示集合A ；（2） ^设 s,t ? A , s ai a 2q L a nq n 1,t b bq L bq n1,其中 a,b M , i 1,2,L ,n .证明：若 3nb ,则 s< t . 【点拨】（I ）解：当q 2 , n 3时，M 0,1 ,2x 2 4x s ,x 酣弓卑,2,3为 x ^x 中^ x,x 2,X 30 0 0 0勺 10 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 10 0 1 1 11 a2 31 2 1 1 L 132 93a n L 1a3 1氏1al13n0 ^1 2 3 2 2 1 1 a新命题成立.T,那么对于n一23 21al L 1a1al1al a1-a 1a3 1al3n3n3n6（2014 _ 2 3 2 4 3 5 4 1a2可得， A 0,12,3,4,5,6,7 .(H)证明：由 s,t?A , s a a 2q L a nq n 1, t bi bq L b nq n 1, Q,b Ms ta ib a 2 b ? q L an i b n i q n 2a nq n 1.q 1 q 1 q L q 1 q n 2 q n 17(2014四川文)19.设等差数列｛a n｝的公差为d ，点 (命)在函数f(x) 2x的图象上(nN ). (I)证明：数列⑹为等比数列；(H) 若& 1 ,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2侖，求数列｛a nb 2｝的前n 项和S n.【点拨】(I) 丫亍2d…(H) f (x) 2xln2 , k 刀2勺n2.切线方程y 2a2 2判n2(x a 2),依题设有a 2爲2爲a 2 2, b 24 . ^从a nb n 2 n 4n(等比差数列,乘公比、错位相减)得(3n 1)4n1 4$ 98(2014四川理)19.设等差数列｛a n｝的公差为d , 点®,b n)在函数f(x) 2x的图象上(nN *).(I) 若4 2，点(a 8,4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列｛a n｝i 1,2丄，n 及an bn，可得q 1 1 q n 1q n 1 1 o.所以， s< t .的前n 项和S n；(2) 若 a 1，函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在X 轴上的截距为2需，求数列©的前n 项和T n.【点拨】(1) Q4b 72a82a8 2b r2a7d 2. S n 23n ；(2) f (x) 2Xln2， k 切2Tn2 . 切线方程 y 2a2魯n2(x a 2),依题设有a 2爲2爲比 2 , b24 .从而 b n 21(等比差数列,乘公比、错位相减)得T n2n2n29(2014上海文)23.已知数列满足3a n a n 1 3a n ,n N 1(1) 若322,83x,a 49，求x的取值范围；(2) 若｛a n｝是等比数列，且a m血，求正整数m 的最小值,以及m取最小值时相应｛aj 的公比；(3) 若a 1,a 2,L ,a 100成等差数列，求数列 a 1,B 2,L ,9!00的公差的取值范围.⑵易见 an0,3a n a n 1 3a n3 q 3又am10k 1 qm1 (3)m1 m 8,m 8.q 宦10 -(3) ^①当 n 1 时,a 1, [a a 1d 3a13【点拨】(1)由a 2 a 3 3a 2 a 3 a 4 3a 3x [3,6]；②当 2 n 100时,印 iga.! a n3am d 2器取 n1gd i99.综上島d 2・10（2014上海理）23.已知数列｛a n ｝满足1 3a n an 1 3环门 N 1 -(1)若 a 22,a 3x,a 49 ,⑵没a n是公比为q 等比数列，S n a 1 a> a j L a n，ig,S, 1 3S,n N求q 的取值范围;3（3）若a 1,a 2,L ,ak成等差数列，且a 32L a k1000，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列a 1，a 2,L 耳的公差.【点拨】（1）由3：（2）由加 a n q 3a n,ai 1 [3S S a 1q 3S i ,1 q 2.下面证明任意的n 2,上式都成立. ①当q 1时,显然成立. ②当q 1时,显然成立.对于右不等式等价于亡严 0.令f （x ）—q 二X1）,1 q 1 q f (x) q； l J q(q 3) 0,要使 f(x) 0,只需 f(1) 0即書0 q 2 .结合q /a 3 3a2 ”x [3,6]； a 4 3a3，结合 11 (1 q n) 1(1 q n 1)3 1 q 1 q3罟,其中左不等式11（2014山东文）（19）在等差数列｛a n｝中，已知公差 d 2, a 2是a 1与a 4的等比中项. （I ）求数列｛a n｝的通项公式;（1）nb ，求 T n.【点拨】（I ） 212 , an 2n（D ） h n （n 1）（分奇偶讨论求和）（n 为奇数）1 n （n 2）（为偶数）12（2014山东理）19.已知等差数列｛a n｝的公差为 2,前n 项和为S n，且S 1,S 2,S 4成等比数列.（I ）求数列｛a n｝的通项公式；（H ）令b （ 1厂盘，求数列｛b n｝的前n 项和T n.得到【点拨】（I ） a 1,a n2n 1；n取2n1 1000 k a i(2 1) dk(k 1) 2 2 2k 1)k 1999,从而当 k 1999时,q2 1999 -(II )设 b，记T nqa3kS n3n 2 n(n ) b n ( 1叱1 2n 1 1](分奇偶讨论,最后合并)Tn2n；m ( 1)n.13（2014课标1文）17.已知a n是递增的等差数列，a 2，a 4是方程X 25x 6 0的根。

2014年高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)数列理

D 单元数列D1 数列的概念与简单表示法17．、、[2014·某某卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令＝a n b n，求数列{}的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即＋1－＝2，所以数列{}是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n －1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.22．，，[2014·某某卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14.③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．D2 等差数列及等差数列前n 项和 12．、[2014·某某卷] 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.12．1 [解析] 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列．又 a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5为常数列，故q ＝1.12．[2014·卷] 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．12．8 [解析] ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0，∴n ＝8时，数列{a n }的前n 项和最大．3．[2014·某某卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．143．C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×22d ＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12. 18．、、[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.20．、[2014·某某卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n.而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＝（－1）2n ＋122n.④ 由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n. 于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n2n －1＝1＋12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1. 8．[2014·某某卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >08．C [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所得a 1d <0.18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0，解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 19．，，[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋116．，，[2014·某某卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.11．、[2014·某某卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．11．－12 [解析] ∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.22．，，[2014·某某卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14.③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．D3 等比数列及等比数列前n 项和2．[2014·某某卷] 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9，成等比数列2．D [解析] 因为在等比数列中a n ，a 2n ，a 3n ，…也成等比数列，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．12．、[2014·某某卷] 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.12．1 [解析] 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列．又 a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5为常数列，故q ＝1.13．、[2014·某某卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．13．50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，∴a 10a 11＝e 5， ∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50. 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．310．C [解析] 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52，所以a n ＝a 1q n －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4.18．、、[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.19．，，[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋116．，，[2014·某某卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.11．、[2014·某某卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．11．－12 [解析] ∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.19．、、[2014·某某卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .19．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0，所以s <t .D4 数列求和17．、、[2014·某某卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令＝a n b n，求数列{}的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即＋1－＝2，所以数列{}是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0，解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）. 19．，，[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛12n －3＋⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1D5 单元综合20．、[2014·某某卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n.而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n＝（－1）2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n2n －1＝1＋12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1.21．、、[2014·某某卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *.(1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立．②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k>1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p>1＋px 均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p.①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p 成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c pa 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c pa －pk ＝ 1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1.由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k－1<0.由(1)中的结论得⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k p＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1p>1＋p ·1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1＝ca p k . 因此a pk ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p n －1可得a n ＋1a n<1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p＝p －1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c x p >0.由此可得，f (x )在[c 1p，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p时，f (x )>f (c 1p)＝c 1p. ①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p1>c 可知a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ，故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p)，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．18．、、[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.17．、、[2014·某某卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令＝a n b n，求数列{}的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即＋1－＝2，所以数列{}是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1. 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.19．，[2014·某某卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n . 19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 19．[2014·某某卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n .(2)设＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{}的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈均有S k ≥S n .19．解：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)．所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)(i)由(1)知＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)．所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．(ii)因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1，而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，<0.综上，若对任意n ∈N *恒有S k ≥S n ，则k ＝4.3．[2014·闽南四校期末] 若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝－2n －1B ．a n ＝(－2)n －1C ．a n ＝(－2)nD ．a n ＝－2n3．B [解析] 由a n ＝S n －S n －1(n≥2)，得a n ＝23a n －23a n －1.∴a n ＝－2a n －1.又a 1＝1，∴a n＝(－2)n －1(n≥2)．又a 1＝(－2)1－1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.6．[2014·某某联考] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值X 围为( ) A ．λ＜2 B ．λ＞3 C ．λ＞2 D ．λ＜36．A [解析] 易知1a n ＋1＝2a n ＋1，∴1a n ＋1＋1＝21a n＋1.又a 1＝1，∴1a n ＋1＝1a 1＋12n －1＝2n ，∴b n ＋1＝(n －λ)2n，∴b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n －λ＋1)2n －1>0，∴n－λ＋1＞0.又n∈N *，∴λ<2.4．[2014·某某调研] 已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列．(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t－1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．4．解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23，所以1a n ＋1－1＝131a n－1.因为a 1＝35，所以1a 1－1＝23，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列． (2)由(1)知，1a n －1＝23×13n －1＝23n ，所以a n ＝3n3n ＋2.假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，（a s －1）2＝（a m －1）（a t －1）. 由a n ＝3n 3n ＋2与(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1)，得3s 3s ＋2－12＝3m 3m ＋2－13t 3t ＋2－1，即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s.因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s.又3m ＋3t ≥2 3m ＋t ＝2×3s，当且仅当m ＝t 时，等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．2．[2014·某某质检] 已知递增数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n ＋n )．(1)求a 1及数列{a n }的通项公式；(2)设＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n －1·2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{}的前2n 项和T 2n .2．解：(1)当n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，解得a 1＝1.当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n ＋n )，所以a n ＝12(a 2n －a 2n －1＋1)，即(a n －1)2－a 2n －1＝0，所以a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)．又因为数列{a n }为递增数列，所以a n －a n －1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n .(2)由＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n －1·2a n －1＋1，n 为偶数，得＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，（n －1）2n －1＋1，n 为偶数，则T 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n ＝n (n ＋1)＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n .记S n ＝1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1，①则4S n ＝1×23＋3×25＋…＋(2n －1)×22n ＋1.② 由①－②，得－3S n ＝2＋24＋26＋…＋22n －(2n －1)22n ＋1，＝22＋24＋26＋…＋22n －(2n －1)22n ＋1－2，所以－3S n ＝4（1－4n）1－4－(2n －1)22n ＋1－2，所以S n ＝4（1－4n ）9＋（2n －1）22n ＋13＋23，即S n ＝（6n －5）22n ＋19＋109，故T 2n ＝（6n －5）22n ＋19＋n 2＋2n ＋109.7．[2014·某某闽南四校期末] 已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－27．A [解析] ∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1·a 5， ∴a 22＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3.10．[2014·某某质检] 已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．2C ．4D ．810．D [解析] 由已知，得2a 27＝a 4＋3a 8＝a 1＋3d ＋3a 1＋21d ＝4a 1＋24d ＝4(a 1＋6d )＝4a 7，∴a 7＝2或a 7＝0(舍去)，∴b 7＝2，∴b 2b 8b 11＝b 1q ·b 1q 7·b 1q 10＝b 31q 18＝(b 1q 6)3＝b 37＝8.17．[2014·某某十校联考] 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n ，0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .17．解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b .由题意知f ′(0)＝b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0，∴a ＝12，b ＝2n ，∴f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N *.又数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′1a n，f ′(x )＝x ＋2n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋2n ， ∴1a n ＋1－1a n＝2n .由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝4（2n －1）2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝4也符合上式，∴a n ＝4（2n －1）2(n ∈N *)．(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4（2n －1）（2n ＋1）＝212n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝21－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝21－12n ＋1＝4n 2n ＋1.。

(00)《2014年全国各地高考数学试题分类汇编大全》目录

2014年全国各地高考数学试题分类汇编大全目录01--集合（（1）集合的含义与表示；（2）集合间的基本关系；（3）集合的基本运算）02--常用逻辑用语（（1）命题以及关系；（2）充分条件与必要条件；（3）简单的逻辑联结词；(4)全称量词与存在量词）03--函数的性质及其应用（（1）函数；（2）指数函数；（3）对数函数； (4)幂函数；（5）函数与方程；（6）函数模型及其应用；）04--导数及其应用（（1）导数概念及其几何意义；（2）导数的运算；（3）导数在研究函数中的应用；（4）生活中的优化问题；（5）定积分与微积分基本定理）05--不等式（（1）不等关系；（2）一元二次不等式；（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题；（4）基本不等式）06--数列（（1）数列的概念和简单表示法；（2）等差数列、等比数列；（3）数学归纳法。

）07--数系的扩充与复数的引入（（1）复数的概念；（2）复数的四则运算）08--三角函数三角恒等变换（（1）任意角的概念、弧度制；（2）三角函数；（3）和与差的三角函数公式；（4）简单的三角恒等式）09--解三角形(（1）正弦定理和余弦定理；（2）应用（解决一些与测量和几何计算有关的实际问题）)10--平面向量（（1）平面向量的实际背景及基本概念；（2）向量的线性运算；（3）平面向量的基本定理及坐标表示；（4）平面向量的数量积；（5）向量的应用）11--解析几何初步（（1）直线与方程；（2）圆与方程；（3）空间直角坐标系）12--圆锥曲线与方程（（1）圆锥曲线；（2）曲线与方程）13--立体几何（（1）空间几何体；（2）点、直线、平面之间的位置关系；（3）空间向量及其运算；（4）空间向量的应用）14-- 算法初步、框图（（1）算法的含义、程序框图；（2）基本算法语句；（3）流程图；（4）结构图；）15--统计、统计案例、推理与证明（（1）事件与概率；（2）古典概型；（3）随机数与几何概型；（4）随机抽样；（5）总体估计；（6）变量的相关性；（7）独立性检验；（8）回归分析；（9）合情推理与演绎推理; （10）直接证明与间接证明; ）16--随机变量及其分布（（1）离散型随机变量及其分布；（2）均值与方差；（3）正态分布）17--计数原理、二项式定理（（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理；（2）排列与组合；（3）二项式定理）18--选修4：（（1）几何证明选讲；（2）坐标系与参数方程；（3）不等式选讲；（4）矩阵与变换）本套资料是对2014年全国各地的全部37套高考数学试题，按新课标的知识单元所做的分类汇编。

2014年高考文科数学数列真题

2014年高考数学真题（数列）一．选择题（共2小题）1．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1） B．n（n﹣1）C．D．2．（2014•广西）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64二．填空题（共2小题）3．数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=_________．4．（2014•江西）在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为_________．三．解答题（共6小题）5．（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．6．（2014•河南）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．7．（2014•北京）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n ﹣a n}为等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．8．（2014•安徽）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．9．（2013•重庆）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．10．（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．2014年高考数学真题（数列）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．解答：解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．2．（2014•广西）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．解答：解：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C点评：本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．二．填空题（共2小题）3．数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．解答：解：由题意得，a n+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．点评：本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．4．（2014•江西）在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣）．考点：等差数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据题意当且仅当n=8时S n取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．解答：解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．三．解答题（共6小题）5．（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n 项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．解答：解：（Ⅰ）∵{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，∴（q﹣4）2=0，即q=4．又∵{b n}是首项为2的等比数列，∴．．点评：本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式的求法，是基础题．6．（2014•河南）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．解答：解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．点评：本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．7．（2014•北京）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得d===3．∴a n=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…），设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．点评：本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．8．（2014•安徽）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．分析：（Ⅰ）将na n+1=（n+1）a n+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出b n=3n•=n•3n，利用错位相减求出数列{b n}的前n项和S n．解答：证明（Ⅰ）∵na n+1=（n+1）a n+n（n+1），∴，∴，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，b n=3n•=n•3n，∴•3n﹣1+n•3n①•3n+n•3n+1②①﹣②得3n﹣n•3n+1==∴点评：本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．9．（2013•重庆）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）可得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案；（Ⅱ）可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，故可得a n=1×3n﹣1=3n﹣1，由求和公式可得S n==；（Ⅱ）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设数列{b n}的公差为d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5故T20=20×3+=1010点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．10．（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．。

2014高考(数列)真题练习

2014高考真题（数列1）1.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ．2. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D3. 设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 【答案】D . 4.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D5.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（）.2n Aa n = .2(1)n B a n =-.2n n C a = 1.2n n D a -= 【答案】C6.数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________. 【答案】 217.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。

8.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________. 【答案】718d -<<-9. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。

【答案】50 10.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =_____ ___.【答案】1411. 已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2014年高考文科数学试题分类解析(学生版)

【练习 5】【2014 高考重庆卷文第 11 题】已知集合 A {3,4,5,12,13}, B {2,3,5,8,13}，则
A B _______
【答案】 3,5,13
§1 2
补集
【例 2】【2014 高考湖北卷文第 1 题】已知全集 U {1,2,3,4,5,6,7} ，集合 A {1,3,5,6} ，则
N中
【练习 3】【2014 高考江苏卷第 1 题】已知集合 A 2, 1,3, 4 ， B 1, 2,3 ，则 A B
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【答案】 {1,3}
｛ 2,0, 2｝， B x | x 2 x 2 0 ，【练习 4】【2014 高考全国 2 卷文第 1 题】已知集合 A
则A
B （
A
） B {2} C ｛0｝ D ｛ 2｝
【答案】B
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B.{x | x 1} C.{x | 2 x 3} D.{x |1 x 3}
A.{x | x 2}
【答案】C 【练习 7】【2014 高考全国 1 卷文第 1 题】已知集合 M x | 1 x 3 , N x | 2 x 1 ，则M A
N
0, 2
B
2,3
C
3, 4
D
3,5
【答案】B
2， 4， 6， 8} , N {2， 3， 5， 6， 7} ,则 M 【练习 2】【2014 高考大纲卷文第 1 题】设集合 M {1，
元素的个数为（C 5 D 7

2014年全国各地区数学试卷分类汇编5数列讲解

1.数列{}n a 满足113,1,n n n a a a a +=-=,n A 表示{}n a 前n 项之积,则2014A = （）A ．-3B ．3C ． -2D ．2 【知识点】数列的周期性.D1【答案解析】 A 解析：解：1234213,,,3,32a a a a ===-=3T =,2014A =3-.【思路点拨】代入递推式得到前几项的值,看以看到是周期性数列,答案容易求得.【文·湖南雅礼中学模拟·2014】15．某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域{}(,)0,0x y x y ≥≥内植树，第一棵树在点1(0,1)A ，第二棵树在点1(1,1)B ，第三棵树在点1(1,0)C ，第四棵树在点2(2,0)C ，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是(3,1)，则n =______________；（2）第2014棵树所在点的坐标是______________．【知识点】数列递推式；进行简单的合情推理．【答案解析】（1）14（2）(10,44) 解析：解：（1）OA 1B 1C 1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，由第n 棵树所在点坐标是（3，1），则n=3+5+7-1=14；（2）OA 1B 1C 1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树， …它们构成一个等差数列，公差为2．故前43个正方形共有434243322⨯⨯+⨯=1935棵树，又2014-1935=79，79-44=35，45-35=10，因此第2014棵树在（10，44）点处．【思路点拨】（1）将OA 1B 1C 1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，归纳出第二个正方形，第三个正方形种植7棵树，由第n 棵树所在点坐标是（3，1），可求n ；（2）由（1）可知正方形种植的树，它们构成一个等差数列，公差为2，计算出前43个正方形共有多少棵树，从而得到第2014棵树所在的点的坐标．【理·浙江绍兴一中高三模拟·2014】9．数列{}n a 的通项其前n 项和为n S ，则30S 为A ．470B ．490C ．495D ．510 【知识点】数列，周期性【答案解析】A 由222123211cos,,2,3,322n n a n a a a π⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭2245114,522a a ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()22222222301111323165642222S ∴=-+-+-+-+…+()()2222113029302822-+-=470 【思路点拨】由三角函数的周期性寻找规律性。

2014年备考各地试题解析分类汇编一文科数学_4数列

各地解析分类汇编:数列（1）1.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若29a =-，376a a +=-，则当n S 取最小值时，n ＝A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】375526,3a a a a +==-∴=-， 2,92(2)21n d a n n ∴==-+-=-， 671,1,a a ∴=-=6S ∴最小. 故选D ．2 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】数列{a n }的通项公式是a n，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．120B ．99C ．11D ．121 【答案】A 【解析】由n a ===，所以12(21)(32)(1)10n aa a n n +++=-+-+++-=，即110-=，即11=，解得1121,120n n +==.选A.3 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'(f x g x f x g x <，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N*∈）的前n 项和等于3231，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7 【答案】B 【解析】2()'()()()'()[]'()()f x f xg x f x g x g x g x -=，因为'()()()'f x g x f x g x <，所以2()'()()()'()[]'0()()f x f xg x f x g x g x g x -=<，即函数()()x f x a g x =单调递减，所以01a <<.又25)1()1()1()1(=--+g f g f ，即152a a -+=，即152a a +=，解得2a =（舍去）或12a =.所以()1()()2x f x g x =，即数列()1()()2n f n g n =为首项为112a =，公比12q =的等比数列，所以111()(1)1121()112212n nnn a q S q --==⨯=---，由1311()232n -=得11()232n =，解得5n =，选B. 4 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】在等比数列{}375,2,8,n a a a a ===则A.4±B.4C.4-D.5【答案】B【解析】因为，因为225320a a q q ==>，又253716a a a ==，所以54a =，选B.5 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】首项为20-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A.209d >B.52d ≤C.20592d <≤ D.20592d ≤< 【答案】C【解析】由题意知数列{}n a 满足10900a a >⎧⎨≤⎩，即20902080d d -+>⎧⎨-+≤⎩，所以20952d d ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即20592d <≤，选C.6 【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比数列中项为22，则1172a a +的最小值 A.16 B.8 C. 22 D.4 【答案】B【解析】由题意知224149a a a ==，即9a =。

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2014高考文科数学分类汇编数列D 单元数列D1 数列的概念与简单表示法17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．17．解：(1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *，且m ＞n ，所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)．故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x ，a ＜0，所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增．易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上有，a ＝－10.16．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．16.12 [解析] 由题易知a 8＝11－a 7＝2，得a 7＝12；a 7＝11－a 6＝12，得a 6＝－1；a 6＝11－a 5＝－1，得a 5＝2，于是可知数列{a n }具有周期性，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.D2 等差数列及等差数列前n 项和 2．[2014·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．142．B [解析] 由题意，得a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，解得d ＝1，所以a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.5．[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－125．D [解析] ∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，且S 1，S 2，S 4成等比数列，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.15．、[2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1，所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.17．，[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4，当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.16．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 16.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 13．[2014·江西卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．13.⎝⎛⎭⎫－1，－78 [解析] 由题可知a 8>0且a 9<0，即7＋7d >0且7＋8d <0，所以－1<d <－78. 9．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d ＞0 B ．d ＜0 C ．a 1d ＞0 D ．a 1d ＜09．D [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以 b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n＋1－a n )＝2a 1d <1，所以a 1d <0.17．[2014·全国卷] 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．17．解：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式a n ＝n 2－2n ＋2. 5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C.n （n ＋1）2D.n （n －1）25．A [解析] 由题意，得a 2，a 2＋4，a 2＋12成等比数列，即(a 2＋4)2＝a 2(a 2＋12)，解得a 2＝4，即a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．17．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n 1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)．因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，所以当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎨⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b ＝2a .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.19．、、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .19．解：(1)证明：由已知得，b n ＝2a n ＞0，当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d .故数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列．(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n .于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝（1－3n ）4n ＋1－43，所以，S n ＝（3n －1）4n ＋1＋49.19．[2014·浙江卷] 已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 19．解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 16．、[2014·重庆卷] 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .16．解：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0，所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝2×4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q＝23(4n－1)．D3 等比数列及等比数列前n 项和12．[2014·安徽卷] 如图1-3，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；….依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．图1-312.14 [解析] 在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，由题易知A 1A 2＝a 3＝12AB ＝1，…，A 6A 7＝a 7＝⎝⎛⎭⎫123·AB ＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.17．，[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．13．5 [解析] 在等比数列中，a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4.因为a n >0，所以a 3＝2，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝25，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5. 19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4，当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 7．[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．7．4 [解析] 由等比数列的定义可得，a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，即a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2.又a n ＞0，所以q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，故a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．17．解：(1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *，且m ＞n ，所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)．故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x ，a ＜0，所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增．易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上有，a ＝－10. 8．[2014·全国卷] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．648．C [解析] 设等比数列{a n }的首项为a ，公比为q ，易知q ≠1，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a （1－q 2）1－q＝3，a （1－q 4）1－q ＝15，解得q 2＝4，a1－q ＝－1，所以S 6＝a （1－q 6）1－q＝(－1)(1－43)＝63. 5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C.n （n ＋1）2D.n （n －1）25．A [解析] 由题意，得a 2，a 2＋4，a 2＋12成等比数列，即(a 2＋4)2＝a 2(a 2＋12)，解得a 2＝4，即a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)．因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，所以当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎨⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b ＝2a .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.20．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0，所以s <t . 16．、[2014·重庆卷] 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .16．解：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0，所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝2×4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q＝23(4n－1)．D4 数列求和 15．、[2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1，所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.16．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 16.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．17．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)．因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，所以当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎨⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.D5 单元综合18．[2014·安徽卷] 数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.② ①－②得－2S n ＝31＋32＋ (3)－n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.19．[2014·广东卷] 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）<13.19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4，当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 20．[2014·江苏卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈)，证明：{a n }是“H 数列”．(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值． (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈)成立．20．解： (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．(2)由已知得，S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”，因此d 的值为－1.(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”．所以对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．17．解：(1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *，且m ＞n ，所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)．故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x ，a ＜0，所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增．易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上有，a ＝－10. 19．、、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .19．解：(1)证明：由已知得，b n ＝2a n ＞0，当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d .故数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列．(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n .于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝（1－3n ）4n ＋1－43，所以，S n ＝（3n －1）4n ＋1＋49.。