题型一 规律探索题
中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。
2020年中考数学压轴题题型专练：规律探索题(含答案)
2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1， ，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55， ，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝ －52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二 图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。
中考数学复习材料 题型一 规律探索题(针对演练)
目录题型一规律探索题 (2)类型一探索图形累加规律 (2)类型二探索图形循环规律 (13)拓展类型数式规律 (16)题型一规律探索题类型一探索图形累加规律针对演练1. (2016荆州改编)下列图形是将黑白两种颜色的菱形纸片按一定的规律排列组成，第1个图形有4张白色纸片，第2个图形有7张白色纸片，第3个图形有10张白色纸片，…，依此规律，则第12个图形中白色纸片的个数为()第1题图A. 34B. 37C. 42D. 462. (2016重庆八中初三(下)第三次月考)下列是由一些火柴搭成的图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑧个图案用火柴棒的根数为()第2题图A. 33B.32C. 31D. 303. (2015重庆B卷)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是()第3题图A.32B. 29C. 28D. 264. (2014重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()第4题图A. 22B. 24C. 26D. 285. 如图，下列图形是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第①个图形的周长为6，第②个图形的周长为8，第③个图形的周长为10，第④个图形的周长为12，按照这样的规律来摆放，则第⑧个图形的周长为()第5题图A. 18B. 19C. 20D. 216. (2016天水改编)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，其中图①中“○”的个数为5个，图②中“○”的个数为7个，图③中“○”的个数为11个，图④中“○”的个数为17个，…，若图○,n)中有245个“○”，则n ＝()第6题图A. 10B. 12C. 14D. 167. (2016重庆外国语学校二诊)下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第(1)个图案需4根小木棒，拼搭第(2)个图案需10根小木棒，…，依此规律，拼搭第(6)个图案需小木棒的根数是()第7题图A. 53B. 54C. 55D. 568. (2016重庆江津中学初三下半期考试)用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第⑬个图案需要的黑色五角星的个数是（）第8题图A. 18B. 19C. 21D. 229. (2016重庆十一中一诊)下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第④个图形中所有正三角形的个数有()第9题图A. 160B. 161C. 162D. 16310. (2016重庆巴蜀一诊)如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6 cm2，第②个图形的面积为18 cm2，第③个图形的面积为36 cm2，…，那么第⑥个图形的面积为()第10题图A. 84 cm2B. 90 cm2C. 126 cm2D. 168 cm211. (2016重庆西大附中第九次月考)下列图形都是用同样大小的♥按一定规律组成的，则第(8)个图形中♥共有()第11题图A. 80个B. 73个C. 64个D. 72个12. (2016重庆一中三模)如图所示，图①中含“〇”的矩形有1个，图②“〇”的矩形有7个，图③中含“〇”的矩形有17个，按此规律，图⑥中含“〇”的矩形个数为()A. 70B. 71C. 72D. 7313. (2016大渡口区诊断性检测)如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要棋子的枚数为()第13题图A. 115B. 122C. 127D. 13914. (2016重庆一中二模)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心小圆圈的个数为()第14题图A. 61B. 63C. 76D. 7815. (2016重庆巴蜀中学保送生考试)如图，各图都由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有一个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑥个图形中完整菱形的个数为()第15题图A. 60B. 61C. 62D. 6316. (2016重庆一中第一次定时作业)已知四边形ABCD对角线相交于点O，若在线段BD上任意取一点(不与点B、O、D重合)，并与A、C连接，如图①，则三角形个数为15个；若在线段BD上任意取两点(不与点B、O、D重合)，如图②，则三角形个数为24个；若在线段BD上任意取三点(不与点B、O、D重合)，如图③，则三角形个数为35个；…；以此规律，则图⑤中三角形的个数为()第16题图A. 48B. 56C. 61D. 6317. (2016徐州)如图，每个图案都由大小相同的正方形组成．按照此规律，第n 个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第17题图18. (2016安顺改编)观察下列砌钢管的横截面图：第18题图则第5个图形中钢管数为________个．19. 如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中花盆的个数为6个，第2个图案中花盆的个数为12个，第3个图案中花盆的个数为20个，…，则第8个图案中花盆的个数为________．第19题图20. (2016龙岩改编)用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律，逐个排成若干个无缝隙的几何体，图①几何体表面积为6，图②几何体表面积为18，则图④中所示几何体的表面积为________．第20题图答案类型一探索图形累加规律1. B【解析】每个图形中白色纸片的个数依次是4，7，10，13，….那么，第n个图形中白色纸片的个数为3n＋1，∴第12个图形中白色纸片的个数为3×12＋1＝37.2.A【解析】∵图①用了5根火柴，即5＝5＋4×0；图②用了9根火柴，即9＝5＋4×1；图③用了13根火柴，即13＝5＋4×2；…；以此规律，第○n个图形中，火柴的根数为5＋4(n－1)，故第⑧个图案用火柴棒的根数为5＋4×(8－1)＝33.3.B【解析】图①有2＋3×0＝2个黑色正方形；图②有2＋3×1＝5个黑色正方形；图③有2＋3×2＝8个黑色正方形；图④有2＋3×3＝11个黑色正方形，…，按照这个规律，图○n有2＋3(n－1)个黑色正方形，故图⑩一共有2＋3×9＝29个黑色正方形．4.C【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1－4＝2；第二个图形中有8个三角形：6×2－4＝8；第三个图形中有14个三角形：6×3－4＝14；…；第n个图形中三角形的个数为：6n－4，故第五个图形中三角形的个数为：6×5－4＝26.5. C【解析】第①个图形的周长为6＋0×2＝6，第②个图形的周长为6＋1×2＝8，第③个图形的周长为6＋2×2＝10，第④个图形的周长为6＋3×2＝12，…，依此规律，可知第○n个图形的周长为6＋(n－1)×2，所以第⑧个图形的周长为6＋7×2＝20.6. D【解析】图①中有1×(1－1)＋5＝5个“○”，图②中有2×(2－1)＋5＝7个“○”，图③中有3×(3－1)＋5＝11个“○”，图④中有4×(4－1)＋5＝17个“○”，…，据此得出：图○n中有n(n－1)＋5个“○”，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n 1＝16，n 2＝－15(不合题意，舍去)．7. B 【解析】观察图形可知，每个图案都是由横排小木棒和纵排小木棒搭建而成，且横排和纵排数相同，其中第(1)个图案有2横排，每排有1个小木棒；第(2)个图案有3横排，每排的小木棒个数分别为2，2，1；第(3)个图案有4横排，每排的小木棒个数分别为3，3，2，1；第(4)个图案有5横排，每排的小木棒个数分别为4，4，3，2，1，…；由此可推测第(n )个图案共有n ＋1横排，每排木棒个数分别为n ，n ，n －1，n －2，…，2，1，故第(6)个图案共有7横排，每排的小木棒个数分别为6，6，5，4，3，2，1，共有27根，则对应的纵排也有27根小木棒，则搭建第(6)个图案共需要小木棒54根．8. C 【解析】观察图形可以发现图①中黑色五角星的个数为1＋2＝3，图②中黑色五角星个数为1＋2＋1＝4，图③中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＝6，图④中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＝7，图⑤中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＋2＝9，…，则图○n 中，当n 为奇数时，黑色五角星个数为2)1(3+n ，当n 为偶数时，黑色五角星个数为123+n ，∴第⑬个图案需要的黑色五角星的个数为3×（13＋1）2＝21个． 9. B 【解析】第①个图形中正三角形的个数为：1＋4，第②个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4，第③个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4，…，第○n 个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4＋…＋3n －1×4，∴第④个图形中正三角形的个数为1＋4＋3×4＋9×4＋34－1×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161.10. C 【解析】∵所有的小矩形都是大小相同的，第①个图形是由2个小矩形组成，面积为6，∴每个小矩形的面积是3，∵第①个图形中有2个小矩形，第②个图形中有6个小矩形，第③个图形中有12个小矩形，12＝2＋4＋6＝2×(1＋2＋3)，第④个图形中有20个小矩形，20＝2＋4＋6＋8＝2×(1＋2＋3＋4)，则第○n个图形中有2×(1＋2＋…＋n)个小矩形，故第⑥个图形中小矩形的个数为2×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝42个，则其面积为42×3＝126 cm2.11. A【解析】第(1)个图形中♥的个数为3＝22－1；第(2)个图形中♥的个数为8＝32－1；第(3)个图形中♥的个数为15＝42－1；第(4)个图形中♥的个数为24＝52－1；…，于是，第(n)个图形中♥的个数为(n＋1)2－1，所以第(8)个图形中♥的个数为92－1＝80(个)，故选A.12.B【解析】图①中含“○”的矩形有1＝2×12－1个，图②中含“○”的矩形有7＝2×22－1个，图③中含“○”的矩形有17＝2×32－1个，…，按此规律，则图○n中含“○”的矩形个数为2n2－1，所以图⑥中含“○”的矩形有2×62－1＝71个，故选B.13. C【解析】由题意可知，摆第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，摆第2个图案需要19＝1＋6＋6×2枚棋子，摆第3个图案需要37＝1＋6＋6×2＋6×3枚棋子，…，则摆第n个图案需要1＋6＋6×2＋6×3＋…＋6n＝3n(n＋1)＋1枚棋子，所以摆第6个图案需要：3×6×(6＋1)＋1＝127枚棋子，故选C.14. A【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1－3＋1×0＝1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2－4＋2×1＝6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3－5＋3×2＝13个；…，依此规律，第○n个图形中空心小圆圈个数为：4n－(n＋2)＋n(n－1)，∴第⑦个图形中空心小圆圈个数为：4×7－9＋7×6＝61个．15.B【解析】∵第①个图形中菱形个数为02＋12＝1个；第②个图形中菱形个数为12＋22＝5个；第③个图形中菱形个数为22＋32＝13个；第④个图形中菱形个数为32＋42＝25个，…，依此规律第○n个图形中菱形个数为(n－1)2＋n2个，∴第⑥个图形中菱形个数为52＋62＝61个．16. D【解析】在图①中，线段BD上共有4个点，所得三角形的个数共15个，15＝16－1＝42－1；图②中，线段BD上共5个点，所得三角形的个数共24个，24＝25－1＝52－1；图③中，线段BD上共6个点，所得三角形的个数共35个，35＝36－1＝62－1，…，由此可猜想，图○n中，线段BD上共有n ＋3个点，所得三角形的个数为(n＋3)2－1，∴图⑤中三角形的个数为(5＋3)2－1＝63.17. n(n＋1)【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的小正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的小正方形的个数为n(n＋1)．18. 45【解析】根据题意，可得序号 1 2 3 4钢管数 3 9 18 30找规律3×1 3×3＝3×(1＋2)3×6＝3×(1＋2＋3)3×10＝3×(1＋2＋3＋4)综上可知，第5个图形中钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋5)＝3×15＝45个．19. 90【解析】观察可得，第1个图案：正三角形每条边上有3个花盆，共计32－3个花盆；第2个图案：正四边形每条边上有4个花盆，共计42－4个花盆；第3个图案：正五边形每条边上有5个花盆，共计52－5个花盆；…；由此可知第n个图案：正（n＋2）边形每条边上有（n＋2）个花盆，共计(n＋2)2－(n ＋2)个花盆，则第8个图案中花盆的个数为(8＋2)2－(8＋2)＝90.20. 60【解析】图①几何体的表面积为：6＝6×1；图②几何体的表面积为：18＝6×(1＋2)；图③几何体的表面积为：6×(1＋2＋3)＝36.由此规律得，图④几何体的表面积为：6×(1＋2＋3＋4)＝60.类型二探索图形循环规律针对演练1. 如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1 m，一个微型机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2017 m 停下，则这个微型机器人停在()第1题图A. A点B. B点C. C点D. E点2.(2016重庆八中强化训练一)将正六边形ABCDEF的各边按如图所示延长，从射线F A开始，分别在各射线上标记点O1，O2，O3，…，按此规律，则点O2016所在射线是()第2题图A. ABB. DEC. BCD. EF3. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2017个梅花图案中，共有________个“”图案．第3题图4. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1, 1），B（-1, 1），C（-1, -2），D （1, -2），把一根长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在矩形ABCD的边上，则细线的另一端落在________线段上第5题图答案类型二探索图形循环规律1. B【解析】∵两个全等的等边三角形的边长为1 m，∴机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6 m，∵2017÷6＝336……1，即正好行走了336圈多1米，到第二个点，∴行走2017 m 停下，则这个微型机器人停在B点．2. C【解析】观察图形可知12个点依次排列在射线F A、CD、AB、DE、BC、EF、CD、F A、DE、AB、EF、BC上，依此规律循环，又因2016÷12＝168，则点O2016在第12条射线BC上，故选C.3. 505【解析】观察题图可知，“”图案方向依次向上、向右、向下、向左，每四个图案为一个循环周期．∵2017÷4＝504……1，∴前2017个梅花图案中，共有505个“”图案．4. 3【解析】观察可知，点数3与点数4相对，点数2与点数5相对，且循环周期为4. ∵2014÷4＝503……2，∴滚动2014次后与第二次相同，∴骰子朝下一面的点数为3.5.CD【解析】∵矩形四个顶点的坐标分别为：A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∴矩形的周长为2＋3＋2＋3＝10，则循环一周所需的单位长度是10，∵2016÷10＝201……6，∴细线的另一端落在绕矩形第202圈的第6个单位长度的位置，即是点C与点D的中间位置，即在线段CD上．拓展类型数式规律针对演练1. (2016张家界)观察下列等式：71＝7，72＝42＋92＝97，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是() A. 9 B. 7 C. 6 D. 02. (2016丹东)观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．3. (2016贵港)已知a1＝tt－1，a2＝11－a1，a3＝11－a2，…，a n＋1＝11－a n(n为正整数，且t≠0，1)，则a2016＝________(用含有t的代数式表示)．4. (2016泉州)指出下列各图形中数的规律，依此，a的值为________．第4题图5. (2016南宁)观察下列等式：第1层1＋2＝3第2层4＋5＋6＝7＋8第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第________层．答案拓展类型 数式规律1. D 【解析】根据题意，7的幂的最终结果的末位数字是以7，9，3，1为循环，其和结果的末位数字是0，因为2016÷4＝504，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0.2. －12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝22＋12，－103＝－32＋13，174＝42＋14，－265＝－52＋15，…，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211. 3. t 1【解析】∵a 1＝1-t t ，a 2＝111--t t ＝1－t ，a 3＝t +-111＝t 1，a 4＝t 111-＝1-t t ，…，∴每3个一次循环，∵2016÷3＝672，∴a 2016的值为t1. 4. 226 【解析】观察可得：2＝1×0＋2，10＝2×3＋4，26＝4×5＋6，50＝6×7＋8，…，可以得到规律：右下角三角形中的数字等于左下角三角形中的数字与正上方三角形中数字的积加上中间三角形中的数字，故a ＝14×15＋16＝226.5. 44 【解析】根据题中给出的式子，观察得出规律，第一层第一个数为12，第2层第一个数为22，第3层第一个数为32，…，∵442＝1936，452＝2025，且442＜2016＜452，∴2016位于第44层．。
青岛中考数学复习课件 题型1 规律探索题
3．等式规律探索题：
第一步：标序数； 第二步：对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，
2，3，4，…，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表
示出来．通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数与序号是否存 在倍数或者次方的关系；
第三步：根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．
例1►观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：a5＝________＝________； (2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝________＝_______(n 为正整数)； (3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．
第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：
第4个等式：
…… 分析►等式的左边分子为1，分母是两个连续奇数的乘积， 其中第一个奇数比算式的序号(个数)的2倍小1；等式的右边 是 与两个分数差的乘积，两个分数的分子均为1，分母分 别为等式左边分母中的两个奇数．
1 2
(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝
题型1
规律探索题
题 型 概 述 ►规律探究问题是中考数学中的长青树，多以填空中的 压轴题形式命题，也在23题中有所体现．本题型一般是给出一组 具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作
变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察、分析、推理
，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．其解 题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜
想得出结论→验证结论．近几年青岛中考中，规律题目每年都涉
及，主要包括图形、图象、数字(式)的规律猜想．
类型1
数式规律
数式规律探索主要有以下3类： 1．数的规律探索题： (1)当所给的一组数是整数时，先观察这组数是自然数列、正整 数列、奇数列、偶数列，还是正整数列经过平方、平方加1或减1等 运算后的数列，然后再看这组数的符号，判断数符号的正负是交替 出现还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(－1)n表示数的 符号，最后把数的规律和符号规律结合起来从而得到结果； (2)当数是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写 成分数，然后分别推断出分子和分母的数的规律(其方法同(1))， 从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律． (3)当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是 否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称 性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数规律 结合起来求得结果．
题型(一) 规律探索题-2021年中考数学一轮复习知识考点课件(28张)
(4)当数字是分数或分数和整数结合时，先把这组数字中的所有整数写成分数，
再分别推断出分子与分母的数字变化规律.
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对点训练
1.如图是按一定规律排成的三角形数阵，按此数阵的排列规律，第9行从左
至右第5个数是( B )
A.2 10
B. 41
C.5 2
D. 51
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2.如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入k的值为125，则第2 021次输 出的结果是_____1_______.
A. 1
100
B. 1
20
C. 1
101
D. 2
101
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9.(2020·黔西南)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其 中第1个图形中一共有3个菱形，第2个图形中一共有7个菱形，第3个图形 中一共有13个菱形，……按此规律排列下去，第7个图形中菱形的个数为 ___5_7______.
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类型3 坐标的变化规律 题型精讲 3.如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将
正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°.当n＝2 021时，顶 点A的坐标为__(-_4_，__0_)_.
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【思路分析】连接OA，OF.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOF＝ 60°.因为正六边形每次旋转60°，所以每旋转6次正六边形回到初始位置，即 旋转一周.2 021÷6＝336……5，所以当n＝2 021时，正六边形旋转了336周零 5次，此时点A到达点B的位置.由AB＝4，点O为正六边形ABCDEF的中心， 易得△AOB是等边三角形，所以OB＝AB＝4，进而可得点A的坐标.
中考规律探索题(类型一：数式规律)
中考规律探索题——（类型一：数式规律）一、典题讲解题型1 :数的变化规律例1（2020云南昆明）观察下列一组数： -23，69，-1227，2081，-30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是 .例2：（2021湖南怀化）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002m =，用含m 的代数式表示这组数的和是 .例3．（2021浙江嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等式为2n ﹣1＝ ．题型2 :式的变化规律例1（2021甘肃）一组按规律排列的代数式：a +2b ，a 2﹣2b 3，a 3+2b 5，a 4﹣2b 7，…，则第n 个式子是 ．例2（2019•贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是 ．（n 为正整数）题型3:数阵的变化规律例1. (2021荆门)如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第______行第______列．例2．(2021湖北十堰市)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019题型4:表格数的变化规律例1.(2020湖北十堰)根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n （）A. 17B. 18C. 19D. 20例2.在计数制中，通常我们们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。
而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。
已知二进位制与十进位制的比较如下表：请将二进位制10101010写成十进位制数为．二、跟踪练习1.（2015•永州）设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1=1，a 2=6，a 3=1，a 4=6．则a 1+a 2+a 3+…+a 2013+a 2014+a 2015= ．2. (2016郴州16题)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，试猜想，32016的个位数字是 ．3. (2021云南)按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是( ) A. n 2a n ＋1 B. n 2a n－1C. n n a n ＋1D. (n ＋1)2a4. (2020张家界14题3分)观察下面的变化规律： 21×3＝1－13，23×5＝13－15，25×7＝15－17，27×9＝17－19，… 根据上面的规律计算：21×3＋23×5＋25×7＋…＋22019×2021＝________．5. (2021湘潭16题3分)天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年.2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．(用天干地支纪年法表示)6. (万唯原创)观察下列等式：第一个等式：a 1＝11×4＝13×(1－14)； 第二个等式：a 2＝14×7＝13×(14－17)；第三个等式：a 3＝17×10＝13×(17－110)；第四个等式：a 4＝110×13＝13×(110－113)；…按照上述规律，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2022＝( ) A. 20212022 B.20226067 C.20202021 D.606660677.（2020湖南娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．1898.已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．239.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22021的末位数字是( ) A ．8B ．6C ．4D ．010．(2019永州)我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n 的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s +x ）15的展开式按x 的升幂排列得：（s +x ）15＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： （1）若s ＝1，则a 2＝ ；（2）若s ＝2，则a 0+a 1+a 2+…+a 15＝ ．。
题型1 专题2 规律探索题
A．5
B．－14
C．43
D．45
2．(2019·滨州)观察下列一组数：
a1＝13，a2＝35，a3＝69，a4＝1107，a5＝1353，…，
n（n＋1）
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 n 个数 an＝ 2＋2n＋1 .(用含
n 的式子表示)
类型二 图形的规律探索题 3．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第 1 个图形有 4 个小圆，第 2 个图 形有 8 个小圆，第 3 个图形有 14 个小圆……依此规律，第 7 个图形的小圆个数是( B )
题型一 选择、填空题重难点题型
专题二 规律探索题
规律探索题近 10 年考查 3 次，分别在 2015 Байду номын сангаас、2016 年、2019 年作 为选择压轴题考查，分值为 3 分，考查内容均为确定图形中点坐标的规律．
数式的规律探索题
典例 1 (2019·陇南 18 题)已知一列数 a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，
类型一 数式的规律探索题
1．(2019·达州)a 是不为 1 的有理数，我们把1－1 a称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数为
1－1 2＝－1，－1 的差倒数为1－（1－1）＝12.已知 a1＝5，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差
倒数，a4 是 a3 的差倒数……依此类推，a2 019 的值是( D )
A．56 C．63
B．58 D．72
4．(2016·河南)如图，已知菱形 OABC 的顶点 O(0，0)，B(2，2)．若菱形绕点 O 逆 时针旋转，每秒旋转 45°，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为( B )
A．(1，－1) C．( 2，0)
三、规律探索问题重新整理
三、规律探索问题规律性问题（又叫归纳猜想型问题），其特点是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形；或给出与图形有关的操作变化过程；或给出某一具体的问题情境，通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。
主要包括：题型一.数列型规律探索题1.数字或字母型数列（1）．(2015·临沂)观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2 015个单项式是( )A．2 015x2 015B．4 029x2 014C．4 029x2 015D．4 031x2 015（2）.(2017·郴州中考)已知123357a a a2510=-==-，，，45911a a1726==-，，…,则a8=________.（3）.(2005年威海市中考题)一组按规律排列的数：，，，，，……请你推断第9个数是2.由图形转化成数列（1）.(2017·烟台中考)用棋子摆出下列一组图形:按照这种规律摆下去,第n个图形用的棋子个数为( ) A.3n B.6n C.3n+6 D.3n+3（2）. （2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有个小圆. （用含n 的代数式表示）（3）(2017·酒泉中考)下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的.如果第1个图形的周长为5,那么第2个图形的周长为________,第2017个图形的周长为________.第1个图形第 2 个图形第3个图形第 4 个图形（4）.如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积.然后分别取△A 1B 1C 1的三边中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积.用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．（5）.(2017·德州中考)观察下列图形,在一个三角形中,分别连接这个三角形三边的中点,构成4个小三角形,挖去中间的一个小三角形(如图1);对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,……将这种做法继续下去(如图2、图3、…),则图6中挖去三角形的个数为3.求和型数列（1）(2017·临沂中考)将一些相同的“○”按如图所示摆放,观察每个图形中“○”的个数,若第n 个图形中“○”的个数是78,则n 的值是 ( ) A.11 B.12 C.13D.14（2）(2017·淮安中考)将从1开始的连续自然数按以下规律排列:……则2017在第________行.（3）.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________．（4）(2017·滨州中考)观察下列各式:211131321124242113535=-⨯=-⨯=-⨯⋯，，，，请利用所得结论,化简代数式()2222132435n n 2⋯⨯⨯⨯+＋＋＋＋（5）.(2017·绵阳中考)如图所示,将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“·”的个数为a 1,第2幅图形中“·”的个数为a 2,第3幅图形中“·”的个数为a 3,…以此类推,则123191111a a a a +++⋯+的值为 ()2061589431A.B. C. D.21848407604.“相互联系型”数列（1）(2017·日照中考)观察下面“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出a 的值为 ( ) A.23 B.75 C.77 D.139【思路点拨】由题干图可知:上边的数与左边的数的和正好等于右边的数,上边的数为连续的奇数,左边的数为21,22,23, (26),由此可得a,b.（2）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是A ．38B ．52C ．66D ．74 （3）．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14A. 160B.1168C.1252D.1280题型二 循环周期型规律探索题（1）(2017·岳阳中考)观察下列等式:21=2,22=4,23=8, 24=16,25=32,26=64,…,根据这个规律,则21+22+23 +24+ (22017)的末尾数字是( ) A.0 B.2 C.4 D.6（2）.(2017·扬州中考)在一列数:a 1,a 2,a 3,…,a n 中,a 1=3,a 2=7,从第三个数开始,每一个数都等于它前两个数之积的个位数字,则这一列数中的第2017个数是 ( ) A.1 B.3 C.7 D.9（3）.(2017·天门中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为A(-1,1),B(0,-2),C(1,0),点P(0,2)绕点A 旋转180°得到点P 1,点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2,点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3,点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4,……按此作法进行下去,则点P 2017的坐标为________.0 2 8 4 2 4 6 22 4 6 844（4）.(2017·连云港中考)如图所示,一动点从半径为2的☉O上的A0点出发,沿着射线A0O 方向运动到☉O上的点A1处,再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到☉O上的点A2处;接着又从A2点出发,沿着射线A2O方向运动到☉O上的点A3处,再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到☉O上的点A4处;……按此规律运动到点A2017处,则点A2017与点A0间的距离是( )A.4B.2C.2D.0题型三图形面积、弧长、线段等规律探索题(1)(2017·衢州中考)如图,正△ABO的边长为2,O为坐标原点,A在x轴上,B在第二象限,△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚,经一次翻滚后得△A1B1O,则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________,翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________.(2)(2017·达州中考)如图,将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置,继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置,以此类推,这样连续旋转2017次.若AB=4,AD=3,则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为( )(3)(2017·湖州中考)如图,已知∠AOB=30°,在射线OA上取点O1,以O1为圆心的圆与OB相切;在射线O1A上取点O2,以O2为圆心,O2O1为半径的圆与OB相切;在射线O2A上取点O3,以O3为圆心,O3O2为半径的圆与OB相切;…;在射线O9A上取点O10,以O10为圆心,O10O9为半径的圆与OB相切.若☉O1的半径为1,则☉O10的半径长是________.。
中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习含答案
中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习类型一 数式规律1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 12n2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________．第2题图41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41.3. 观察下列关于自然数的式子：第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ …根据上述规律，则第2019个式子的值是______．8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝63364. 类型二 图形规律5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n 的坐标是________．第5题图(2n，3)【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．第6题图(6058，1)【解析】∵铁片OABC为正方形，A(3，0)，P(1，2)，∴正方形铁片OABC 的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2，P3，P4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P2019(6058，1)．第6题解图7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是________．第7题图(2019，－1) 【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P 的下标．观察发现规律：P 0(0，0)，P 1(1，1)，P 2(2，0)，P 3(3，－1)，P 4(4，0)，P 5(5，1)，…，∴P 4n (4n ，0)，P 4n ＋1(4n ＋1，1)，P 4n ＋2(4n ＋2，0)，P 4n ＋3(4n ＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P 的坐标为(2019，－1)．8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为________．第8题图(－1，－1) 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．第9题图3n－13【解析】由题可知，∠MON＝60°，设B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可得：OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可得OB n＝2×3n－1，则h n＝2×3n －1×32＝3n －1 3.∴B n 到ON 的距离h n ＝ 3n －1 3.10. 如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A (0，2)，O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为________．第10题图(21010－2，21009) 【解析】由A (0，2)和A 1(2，4)可知直线AA 1的解析式为y ＝x ＋2，由图可知点A 1，A 2，…，A n 的纵坐标分别为22，23，…，2n ＋1，将y ＝2n ＋1代入y ＝x ＋2，得2n ＋1＝x ＋2，∴x ＝2n ＋1－2，∴点A n 的坐标为(2n ＋1－2，2n ＋1)，由图可知O 2n 横坐标与A n 的横坐标相同，O 2n 纵坐标是A n 的纵坐标的12，∴O 2n 的坐标为(2n ＋1－2，2n)，∴当n ＝1009时，O 2018的坐标为(21010－2，21009)． 真题反馈：1. 观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．2. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )A．671 B．672 C．673 D．6743. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43 B．45 C．51 D．534. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n5. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2019次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)6. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．7. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．8. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是．9. 如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.10. 如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n 次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 019的坐标是.11.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5 ①52-4×22=9 ②72-4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．12.(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)(2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2) (3)。
专题一--图形规律探索题
图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方
形纸片旳张数为
（ B）
A. 11
B. 13
C. 15
D. 17
第2题图
3. (2023随州)我们将如图所示旳两种排列形式旳点旳个数分别称作“三角形
数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)，在不大于
200旳数中，设最大旳“三角形数”为m，最大旳“正方形数”为n，则m＋n
【解答】解：∵第一个图形有 2+1×2=4 个， 第二个图形有 2+2×3=8 个， 第三个图形有 2+3×4=14 个， 第四个图形有 2+4×5=22 个， … ∴第 n 个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2． 故答案为：n2+n+2．
6. (2023潍坊)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个 等边三角形构成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形 组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形构成；…； 按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形旳个数之和为 9n+3 个．
动到⊙O上旳点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上旳
点A3处；再向左沿着与射线A3O夹角为60°旳方向运动到⊙O上旳点A4处；…；
按此规律运动到点A2023处，则点A2023与点A0间旳距离是
（ A）
A. 4
B. 2 C. 2 3
D. 0
解：如图，∵⊙O旳半径=2， 由题意得，
A. 32023
B. 32023
C. ( 3 )2023
D. ( 3 )2023
2024年中考数学二轮复习课件：专题一 规律探索题
图1
A.正十二边形
图2
B.正十边形
C.正九边形
D.正八边形
10.如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如
果搭建正三角形和正六边形共用了172根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形
30
的个数多8个，那么连续搭建正三角形的个数是____.
综与语文之间，得到如图3，称为2次整理；…若从如图1开始，经过 n 次整理后，
得到的顺序与如图1相同，则 n 的值可以是( B )
A.11
B.12
C.13
D.14
9.（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ23石家庄裕华区模拟）小明同学用一些完全相同的 △ ABC 纸片，已知六个
△ ABC 纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用 n 个 △ ABC
再证明结论的正确性；
解：由题意规律，得 +
= + + .
证明：等式左边 = + + ，
等式右边 = + + ，
∴ 左边 = 右边，故等式成立.
【迁移】 思考“ 152 = 15 × 15 ， 252 = 25 × 25 ， ⋯ ”的特征：两个乘数十位上
上分别取点 A2 ， B2 ，使 B1 A2 = B1 B2 ，
连接 A2 B2 ⋯ 按此规律下去，记
∠A2 B1 B2 = θ1 ， ∠A3 B2 B3 = θ2 ， ⋯ ， ∠An+1 Bn Bn+1 = θn ，则：
180∘ +α
（1） θ1 = _______；
2
小升初必考题探索规律-可能性
可能性题型1：事件的确定性与不确定性例1：选择“一定”“可能”或“不可能”填空。
①地球________绕着太阳转。
②在装有5个白球和3个红球的袋子里，________摸到黑球。
③明天________会下雨。
【分析】地球绕着太阳转是不可改变的现象，袋子里没有黑色球，所以不可能摸到黑色球，明天是否会下雨并不确定，可能会下雨，也可能不会下雨。
①地球一定绕着太阳转。
②在装有5个白球和3个红球的袋子里，不可能摸到黑球。
③明天可能会下雨。
【答案】一定；不可能；可能例2：在括号里填上“一定”“可能”或“不可能”．（1）长方形的四个角是90度．（2）离开了水，金鱼就存活．（3）一次抽奖活动的中奖率是50%，张老师抽了2张奖券，他中奖．【分析】根据事件的确定性和不确定性，并结合题意，进行依次分析，解答即可．解：（1）长方形的四个角一定是90度；属于确定事件中的必然事件；（2）离开了水，金鱼就不可能存活；属于确定事件中的不可能事件；（3）一次抽奖活动的中奖率是50%，只是有中奖的可能，属于不确定事件；故答案为：一定，不可能，可能．【答案】一定，不可能，可能题型2：可能性的大小例3：桌子上有一些反扣的扑克牌，其中红桃有3张，黑桃有9张，方块有6张，随意摸一张摸出（____）的可能性最大，摸出（____）的可能性最小。
【答案】黑桃红桃例4：从（）号布袋里摸到红球和白球的可能性差不多。
1号袋 2号袋 3号袋A． 1 B． 2 C． 3【答案】C例5：盘上放着4个苹果，2个桃子，7个梨，随便拿一个水果，有（_______）种可能，拿到（_______）的可能性最小，要想拿到这种水果的可能性最大，至少还要加（________）个。
【答案】3桃子6题型3：事件发生的可能性大小语言描述例6：一个正方体，六个面上分别写着数字1～6，掷一次，可能会出现哪些结果，请你列举出来．【分析】正方体6个面上共有6个数字，掷一次，哪个面都有可能朝上，根据这些数字确定可能会出现的结果即可. 共有6个数字，掷一次，哪个数字都有可能出现.【答案】会出现6种可能性，可能是1、2、3、4、5或6.例7：按要求给袋子里的球涂上颜色。
中考数学 精讲篇 压轴题重难点突破一 规律探索题
7．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二
个正方形 ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，依
此下去，第 n 个正方形的面积为
( B)
A．( 2)n－1 B．2n－1 C．( 2)n D．2n
8．★(2021·东营)如图，正方形 ABCB1中，AB＝ 3，AB 与直线 l 所夹锐 角为 60°，延长 CB1 交直线 l 于点 A1，作正方形 A1B1C1B2，延长 C1B2 交直 线 l 于点 A2，作正方形 A2B2C2B3，延长 C2B3 交直线 l 于点 A3，作正方形
的值等于
( D)
A．－23
B.13
C．－12
D.23
3．★(2021·黄冈)人们把 52－1这个数叫做黄金分割数．著名数学家华
5－1 5＋1 罗庚优选法中的 0.618 法就应用了黄金分割数．设 a＝ 2 ，b＝ 2 ，
11
11
11
得 ab＝1，记 S1＝1＋a＋1＋b，S2＝1＋a2＋1＋b2，…，S10＝1＋a10＋1＋b10，
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时
针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2 019 次
得到正方形 OA2 B019 2 C019 2 019，那么点 A2 019 的坐标是
（ A）
A.
22，－
2
2
C.－
22，－
2
2
分圆圈的个数等于 2×图形序数，故第○10 个图形中圆圈的个数为 10×11
＋2×10＝130.
1．解答图形累加规律的方法： 第一步：标序号——按图号标序； 第二步：数图形个数——观察(计算)每个图中所求量的个数； 第三步：找规律——将后一个图形的个数与前一个图形个数进行对比， 对求出的结果进行一定的变形(变换成与序数 n 有关的式子)，使其呈现 一定的规律，得到第 n 个图中所求量的个数；
探索规律题
授课内容：探索规律教学目标：通过观察图形，算式，数字，提高自己观察图形，探索规律的能力，培养创新意识教学重难点：寻找从特殊到一般的规律教学过程：知识点：探索规律的一般方法（1）从具体的，实际的问题出发，观察各个数量之间的特点以及相互之间的变化规律。
（2）由此及彼，合理联想，大胆猜想。
（3）善于类比，从不同事物中，发现其相似点或者相同点。
（4）总结规律，得出结论，并验证结论正确与否。
（5）在探索规律中要善于变换思维方式，达到事半功倍的效果。
题型一：探索图形中的规律1、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。
这样捏合到第次后可拉出64根细面条。
第一次捏合第二次捏合第三次捏2、如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；（1）填表：剪的次数 1 2 3 4 5正方形个数（2）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？（3）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？12、(2009武汉)14．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．13．（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．14．（2009年山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．15．（2009年娄底）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n 个“中”字形图案需 根火柴棒.n （1）（2）（3）…… (1)（2） （3）第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形…16．（2009年广州市）如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________17、（2009丽水市）如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第n (n ≥3) 块纸板的周长为P n ，则P n -P n-1= ▲ .…① ② ③ ④第1个图第2个图第3个图第4个图共有 个★．第n 个图形共有 个★．26. 一串有趣的图案按一定的规律排列（如图）：按此规律画出的第2011个图案是 ：27.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；（2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式.题型二：探索算式中的规律1. 观察下列各式；①、12+1=1×2 ；②、22+2=2×3； ③、32+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n表示出来 。
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一、选填重难点突破题型一规律探索题类型一探索图形排列规律针对演练1. （2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有( )A. 160B. 161C. 162D. 1632. （2015绵阳）将一些相同的“O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“O”的个数，若第n个“龟图”中有245个“O”，则n=( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 173. （2013重庆A卷）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为 2 cm2，第（2）个图形的面积为8 cm2,第（3）个图形的面积为18 cm2，…，则第（10）个图形的面积为 ( )A. 196 cm2B. 200 cm2C. 216 cm2D. 256 cm24. 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺成一个如图②的图案，其中完整的圆共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆共有13个，如果铺成如图④的图案，其中完整的圆共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆共有 ( ) A. 100个 B. 101个 C. 181个 D. 221个5. 如图，某同学在沙滩上用石子摆小房子，观察图形的变化规律，写出第⑨个小房子用的石子总数为 ( )A. 155B. 147C. 145D. 1466. 下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第①个图形中面积为1的正方形有9个，第②个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律，则第⑦个图形中面积为1的正方形的个数为 ( )A. 22B. 30C. 39D. 507. （2015重庆B卷）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是( )A. 32B. 29C. 28D. 268. （2014重庆B卷）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是 ( )A. 22B. 24C. 26D. 289. 用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第13个图案需要的黑色五角星的个数是 ( ) A. 20 B. 21 C. 22 D. 2310. 如图，下列是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第一个图形的周长为6，第二个图形的周长为8，将若干个等边三角形按照这样的规律来摆放，则第8个图形的周长为 ( )A. 18B. 19C. 20D. 2111. 观察下列一组图形，其中图①中共有6个小黑点，图②中共有16个小黑点，图③中共有31个小黑点，…，按此规律，图⑤中小黑点的个数是 ( ) A. 46 B. 51 C. 61 D. 7612. （2015内江）如图是由火柴棒搭成的几何图案,则第n个图案中有根火柴棒(用含n的代数式表示).13. (2015昆明)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”,依此规律,摆出第9个“H”需用火柴棒根.14. (2015深圳)观察下列图形,它们是按照一定规律排列的,依照此规律,第五个图有个太阳.15. (2015三明)观察下列图形的构成规律,依照此规律,第10个图形中共有个“●”.16. （2015山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…,依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）.17.谢尔宾斯基地毯,最早是由波兰数学家谢尔宾斯基这样制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形,挖去中间的一个小正三角形;对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去,就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯(如图).若图①中的阴影三角形面积为1,则图⑤中的所有阴影三角形的面积之和是 .18. (2015随州)观察下列图形规律：当n= 时,图形中“●”的个数和“△”的个数相等.【答案】针对演练1. B【解析】第1个图形中正三角形的个数为：1+4，第2个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4，第3个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4+9×4，…，第n个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4+9×4+…+3n-1×4，∴第4个图形中正三角形个数为1+4+3×4+9×4+34-1×4=1+4+12+36+108=161.2. C【解析】设每一个图形中“○”的个数为a n，则根据图形变化由图可知，每个图固定有5个“○”，然后在躯干部分“○”在增加，具体见下表:图序图中圈的个数a n圈的个数与图序的关系① 5 5+1×0=5+1×(1-1)②7 5+2×1=5+2×(2-1)③11 5+3×2=5+3×(3-1)④17 5+4×3=5+4×(4-1)………245 5+n(n-1)n=16或n=-15(舍去)，故n=16.3. B【解析】第（1）个图形的面积为1×1×2＝2；第（2）个图形的面积为2×2×2＝8；第（3）个图形的面积为3×3×2＝18；第（4）个图形的面积为4×4×2=32；…；由此规律可以得出每个图形都是由小矩形所组成，共有n×n 个小矩形.故第（n）个图形的总面积为n2×2＝2n2.故第（10）个图形的面积为102×2＝200 cm2.4. C【解析】观察图形可知，第②个图形中，每个小瓷砖有1个完整小圆，小圆的数目是4＝22，而每4个小瓷砖中有一个完整的大圆，大圆个数为1；图③中，小圆有9＝32个，大圆有4＝（3-1）2个；图④中，小圆有16＝42个，大圆有9＝（4-1）2个;∴图⑩中圆的个数等于小圆个数加上大圆个数为102+（10-1）2＝181个.5. C【解析】要找这个小房子的规律，可以分为两部分来看：第一个屋顶是1，第二个屋顶是3，第三个屋顶是6，以此类推，第n个屋顶是2)1(nn.第一个下边是4，第二个下边是9，第三个下边是16，以此类推，第n个下边是（n+1）2.两部分相加即可得出第n 个小房子用的石子数是（n +1)2+2)1(+n n ,代入n =9即可确定答案.所以第⑨个小房子用的石子总数为（9+1）2+2)19(9+=100+45=145. 6. C 【解析】第①个图形面积为1的小正方形有9个，第②个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，第③个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，…第个图形面积为1的小正方形有9+5×（n -1）＝5n +4个，所以第⑦个图形面积为1的小正方形有5×7+4＝39个.7. B 【解析】图①有2个黑色正方形；图②有2+3=5个黑色正方形；图③有2+3×2=8个黑色正方形；图④有2+3×3=11个黑色正方形，…，按照这个规律，图⑩一共有2+3×9=29个黑色正方形.8. C 【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1-4=2；第二个图形中有8个三角形：6×2-4=8；第三个图形中有14个三角形：6×3-4=14；…第n 个图形中有三角形的个数为：6n -4.由以上规律可得，第五个图形中有三角形的个数为：6×5-4=26.9. B 【解析】当n 为奇数时：通过观察发现每个图形的每一行有21+n 个,故共有2)1(3+n 个.当n 为偶数时:中间一行有2n +1个，第一行、第三行有2n 个，故共有23n +1个.∴当n ＝13时，共有2)113(3+＝21个. 10. C 【解析】第1个图形的周长为6，第2个图形的周长为6+2，第3个图形的周长为6+2×2＝10，第4个图形的周长为6+3×2＝12，所以第8个图形的周长为6+7×2＝20.11. D 【解析】由图形①、②、③可以看出，第①个图形小黑点的个数：5×1+1＝6；第②个图形小黑点的个数：5×（1+2）+1＝16；第③个图形小黑点的个数：5×（1+2+3）+1＝31；所以第⑤个图形小黑点的个数：5×（1+2+3+4+5）+1＝76.12. 2n (n +1)【解析】由图形规律可得当n =1时，火柴棒个数为4×1=4;当n =2时，火柴棒个数为4×3＝12;当n =3时，火柴棒个数为4×6＝24；依次类推，可得第n 个图案中火柴棒个数为2)1(+n n ×4=2n (n +1).图形序号 火柴棒数量 图形序号与火柴棒数量的关系第1个 5根 3×1+2=5第2个 8根 3×2+2=8第3个 11根 3×3+2=11… … …第n 个 （3n +2）根 3×n +2=3n +214. 21【解析】第一行太阳的个数为1、2、3、4、…、n ,第五个图形第一行太阳的个数为5，第二行太阳的个数为1、2、4、8、…、2n -1,第五个图形第二行太阳的个数为24＝16，所以第五个图形共有5+16＝21个太阳.15. 111【解析】由图形可知：第1个图形中，“●”的个数为1×2+1＝3，第2个图形中，“●”的个数为2×3+1＝7，第3个图形中，“●”的个数为3×4+1＝13，第4个图形中，“●”的个数为4×5+1＝21，…，所以第n 个图形中，“●”的个数为n (n +1)+1，故第10个图形中，“●”的个数为10×11+1＝111.16. 3n +1【解析】本题考查图形规律探索.第（1）个图案中小三角形的个数为4个，第（2）个图案中小三角形的个数为7个，第（3)个图案中小三角形的个数为10个，…，依此类推.标序号 1 2 3 4 … n小三角形的个数4 7 10 13 … … 找规律 3+1 6+1 9+112+1 … … 归纳结果与序 数之间的关系1×3＋12×3＋1 3×3＋1 4×3＋1 … n ×3＋1 17.25681【解析】图②阴影部分面积＝1-41＝43，图③阴影部分面积＝43×43＝(43)2，图④阴影部分面积＝43×(43)2＝(43)3，图⑤阴影部分面积＝43×(43)3＝(43)4=25681. 18. 5【解析】∵n =1时，“·”的个数是3＝3×1；n =2时，“·”的个数是6＝3×2；n =3时，“·”的个数是9＝3×3；n =4时，“·”的个数是12＝3×4；∴第n 个图形中“·”的个数是3n ;又∵n =1时，“△”的个数是1＝2)11(1+⨯；n =2时，“△”的个数是3＝2)12(2+⨯；n =3时，“△”的个数是6＝2)13(3+⨯；n =4时，“△”的个数是10＝2)14(4+⨯；∴第n 个“△”的个数是2)1(+⨯n n ;由3n =2)1(+⨯n n ,可得n 2-5n =0,解得n =5或n =0(舍去)，∴当n =5时，图形“·”的个数和“△”的个数相等.题型一 规律探索题类型一 探索图形循环规律1. （2015河南）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线.点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是 ( )第1题图A. （2014，0）B. （2015，-1）C. （2015，1）D. （2016，0）2. 如图所示,一串梅花图案是按一定规律排列的,请你仔细观察,在前2016个梅花图案中,共有 个“”图案.第2题图【答案】针对演练1. B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r =1，∴半圆弧长=π，∴第2015秒点P 运动的路径长为：2π×2015， ∵2π×2015÷π=1007…1，∴点P 位于第1008个半圆弧的中点上，且这个半圆在x 轴的下方，∴此时点P 的横坐标为：1008×2-1=2015，纵坐标为-1，∴点P (2015，-1) .2. 504【解析】每4次梅花图案循环一次，∵2016÷4＝504，∴第2016个梅花图案共有504个“”图案.题型一 规律探索题拓展类型 数式规律针对演练1. （2015泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：第1题图根据此规律确定x 的值为 ( )A. 135B. 170C. 209D. 2522. (2015安徽)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x 、y 、z 表示这列数中连续的三个数，猜测x 、y 、z 满足的关系式是 .3. (2015郴州)请观察下列等式的规律:311⨯=21 (1-31),531⨯=21 (31-51), 751⨯=21 (51-71),971⨯=21 (71-91), …则 311⨯+531⨯+751⨯+…+101991⨯= .【答案】针对演练 序号 第1个 第2个 第3个 第4个 … 第n 个左上角数1 2 3 4 … n 左下角数2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 … n +1 右上 角数 4=2×1+26=2×2+2 8=2×3+2 10=2×4+2 … 2n +2 右下角数 9=(1+2)×(1＋2) 20=(2+2)×(2＋3) 35=(3+2)×(3＋4) 54=(4+2)×(4＋5) … (n +2)［n +(n +1)］ 2. xy =z 【解析】观察这一列数可得：23=21·22，25=22·23，28=23·25，213=25·28，…，即从第三个数起每个数都等于前两个数之积 ，由x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，则有xy =z .3.10150【解析】311⨯+531⨯+751⨯+…+101991⨯= 21 (1-31)+21 (31-51)+21 (51-71)+…+21（ 991-1011)＝21 (1-31+31-51+51-71+…+991-1011)＝21 (1-1011)＝21×101100＝10150.。