2017-2018学年甘肃省兰州四中高二(上)期末数学试卷(文科)

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2017-2018学年甘肃省兰州市兰州一中高二上学期文科数学期末试卷 - 学生版

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟。

2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。

3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，共150分，考试时间120分钟.一、第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小5题分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设复数12z i =-，则z =（） A ．5B ．5C ．2D ．22．（5分）与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是（） A ．能被3整除的整数，一定能被6整除B ．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D ．不能被6整除的整数，不一定能被3整除 3．（5分）抛物线216y x =的准线方程是（） A.4x = B.4x =-C.164y =D.164y =-4．（5分）若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为（）A.7 B.54C.45D.535．（5分）“1＜m ＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A ．22B ．42C ．43D ．237．（5分）椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ,左、右焦点分别是12,F F ．若1121,,AF F F F B成等比数列，则此椭圆的离心率为（） A ．14B ．5 C ．12D ．52-8．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（）A ．5B ．4C ．3D ．29．（5分）已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点,2F 是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为（） A ．7B ．8C ．9D ．1010．（5分）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（） A ．22154x y -= B ．22145x y -=C ．22136x y -= D ．22163x y -= 11．（5分）设12,F F 为曲线221:162x y C +=的焦点,P 是曲线222:13x C y -=与1C 的一个交点，则12cos F PF ∠的值是（）A ．12B C ．13D 12．（5分）已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线24y x =相交于A B 、两点，F 为抛物线的焦点，3AF FB =，则k =（）A ．B CD 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为_________． 14．（5分）已知命题:0p x ∀>，总有()11x x e +>．则p ⌝为__________．15．（5分）已知A 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C于P Q 、两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围_________．16．（5分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e ，,A B 是椭圆C 上两点，()3,1N 是线段AB的中点．则直线AB 的方程为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a 为实数，命题:p 点()1,1M 在圆()()224x a y a ++-=的内部；命题 :q x R ∀∈，都有210x ax ++≥．若“p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题，求a 的取值范围． 18．（12分）设,A B 是抛物线28y x =上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8．（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ．19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，渐近线方程为y x =±，且双曲线过点(4,P ．（1）求双曲线的方程；（2）若点()11,M x y 在双曲线上，求12MF MF ⋅的范围．20．（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为()13,0F -，点13,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于两个不同的点,A B ，若AOB ∆（O 是坐标原点）的面积45S =，求直线AB 的方程．21．（12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点()1,0F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，右焦点为F ，过点()0,B b -和点F 的直线与原点的距离为1．（1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q ．若PQ AP λ=，则实数λ的取值范围．。

2017-2018学年甘肃省兰州市兰州一中高二上学期文科数学期末试卷

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟。

2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。

3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

1．（2017一中文）（5分）设复数12z i =-，则z =（） A ．5B C ．2D【分析】直接由复数模的计算公式求解．【解答】解：12z i =-，z ∴ 故选：B ．【点评】本题考查复数模的求法，是基础题．2．（2017一中文）（5分）与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是（） A ．能被3整除的整数，一定能被6整除B ．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D ．不能被6整除的整数，不一定能被3整除【分析】根据命题“若p ，则q ”与它的逆否命题“若p ⌝，则q ⌝”是等价命题，写出答案即可．【解答】解：∵命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”的逆否命题是 “不能被3整除的整数，一定不能被6整除”；它们是等价命题．故选：B ．【点评】本题考查了互为逆否命题的两个命题是等价命题的问题，解题时应根据原命题会写出它的逆否命题，是容易题目．3．（2017一中文）（5分）抛物线216y x =的准线方程是（）A.4x =B.4x =-C.164y =D.164y =-【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析其开口方向以及p 的值，由抛物线的准线方程即可得答案．【解答】解：抛物线的方程为216y x =，其标准方程为2116x y =，其开口向上，且132p =，则其准线方程为：164y =-；故选：D ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意将抛物线的方程变形为标准方程．4．（2017一中文）（5分）若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为（）A.7 B.54C.45D.53【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到,a b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点()3,4-，可得34b a =，即()222916c a a -=，解得53c a =．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．5．（2017一中文）（5分）“1＜m ＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件“13m <<”是“方程22113x y m m +=--表示椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程22113x y m m+=--表示椭圆，则满足103013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即132m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，即13m <<且2m ≠，此时13m <<成立，即必要性成立，当2m =时，满足13m <<，但此时方程22113x y m m +=--等价为22111x y +=为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立故“13m <<”是“方程22113x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键． 6．（2017一中文）（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A ．22B ．42C ．43D ．23【分析】先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把4y =-代入抛物线方程求得0x 进而得到答案．得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =-∴22x y =-，代入()0,4B x -得022x =，故水面宽为42m ．故选：B ．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．7．（2017一中文）（5分）椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ,左、右焦点分别是12,F F ．若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为（） A ．14B ．5 C ．12D ．52-【分析】由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+，由1121,,AF F F F B 成等比数列可得到22215c e a ==，从而得到答案．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c ，由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+， ∵1121,,AF F F F B 成等比数列， ∴()()()22c a c a c =-+，∴2215c a =，即215e =， ∴5e =，即此椭圆的离心率为5．故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用,a c 分别表示出1121,,AF F F F B 是关键，属于基础题．8．（2017一中文）（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当1n =时，15,42a b ==，满足进行循环的条件，当2n =时，45,84a b ==满足进行循环的条件，当3n =时，135,168a b ==满足进行循环的条件，当4n =时，404,3216a b ==不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．（2017一中文）（5分）已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点,2F 是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为（） A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】利用三角形的周长以及椭圆的定义，求出周长的最小值．【解答】解：椭圆的方程为22194x y +=，26,24,a b c ∴===连接11,AF BF ，则由椭圆的中心对称性可得2ABF ∆的周长22122l AF BF AB AF AF AB a AB =++=++=+，当AB 位于短轴的端点时，AB 取最小值，最小值为24b =， 266410l a AB AB =+=+≥+=.故选：D ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义及焦点三角形的性质，考查数形结合思想，属于基础题．10．（2017一中文）（5分）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（）A ．22154x y -= B ．22145x y -=C ．22136x y -= D ．22163x y -= 【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得,a b 间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得,a b 间的另一个等式，联立即可解得,a b 的值，从而确定双曲线方程【解答】解：圆22:650C x y x +-+=的圆心()3,0C ，半径2r =∴双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点坐标为()3,0，即223,9c a b =∴+=，① 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为0bx ay -=，C ∴222a b =+ ②由①②解得：225,4a b ==∴该双曲线的方程为22154x y -= 故选：A ．【点评】本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用11．（2017一中文）（5分）设12,F F 为曲线221:162x y C +=的焦点,P 是曲线222:13x C y -=与1C 的一个交点，则12cos F PF ∠的值是（）A ．12B C ．13D 【分析】先计算两曲线的焦点坐标，发现它们共焦点，再利用椭圆与双曲线定义，计算焦半径12,PF PF ，最后在焦点三角形12PF F 中，利用余弦定理计算即可．【解答】解：依题意，曲线221:162x y C +=的焦点为()()122,0,2,0F F -，双曲线222:13x C y -=的焦点也为()()122,0,2,0F F -，P 是曲线2C 与1C 的一个交点，设其为第一象限的点由椭圆与双曲线定义可知1212PF PF PF PF +=-=解得12PF PF = 设12F PF θ∠=则22241cos3θ+-==，故选：C ．【点评】本题综合考查了椭圆与双曲线的定义，解题时要透过现象看本质，用联系的观点解题． 12．（2017一中文）（5分）已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线24y x =相交于A B 、两点，F 为抛物线的焦点，3AF FB =，则k =（）A ．B CD 【分析】设A 在第一象限，A B 、在准线上的射影分别为,M N ，过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,60,AF AM m BN BF m BAF k ====∠==，当A 在第四象限时，可得k =．【解答】解：设A 在第一象限，如图，设A B 、在准线上的射影分别为,M N ，过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,2AF AM m BN BF m AE m ====∴=，又4,60,AB m BAF k =∴∠==，当A 在第四象限时，可得k =故选：B ．【点评】本题考查了抛物线的性质、定义，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（2017一中文）（5分）已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为_________．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由()12i z +=，得()()()()2121211112i i z i i i i --====-++-， ∴复数z 的虚部为1-．故答案为：1-．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 14．（2017一中文）（5分）已知命题:0p x ∀>，总有()11x x e +>．则p ⌝为__________．【分析】命题p 是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题:0p x ∀>，总有()11x x e +>”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∀变为x ∃，再将不等号>变为≤即可．故答案为：00x ∃>，使得()0011x x e +≤．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．15．（2017一中文）（5分）已知A 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C 于P Q 、两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围_________．【分析】利用双曲线的对称性及锐角三角形45PAF ∠<得到AF PF >，求出A 的坐标；求出,AF PF 得到关于,,a b c 的不等式，求出离心率的范围．【解答】解：APQ ∆是锐角三角形，PAF ∴∠为锐角，双曲线关于x 轴对称，且直线AB 垂直x 轴，45PAF QAF ∴∠=∠<, AF PF ∴>F 为座焦点，设其坐标为(),0c -所以(),0A a 所以2,b AF a c PF a=+= 2b ac a∴<+即2220c ac a --< 解得12ca-<< 双曲线的离心率的范围是()1,2 故答案为：()1,2【点评】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：222c a b =+考查双曲线的离心率问题就是研究三参数,,a b c 的关系．16．（2017一中文）（5分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =，,A B 是椭圆C 上两点，()3,1N 是线段AB 的中点．则直线AB 的方程为__________．【分析】根据椭圆的性质，利用离心率公式，得到椭圆()222:30C x y a a +=>，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为()31y k x =-+，联立消元，得到含有参数k 的关于x 的一元二次方程，利用判别式，韦达定理中点坐标公式，求得直线方程.【解答】解：离心率e =，设椭圆()222:30C x y a a +=>，设()()1122,,,A x y B x y 由题意，设直线AB 的方程为()31y k x =-+，代入2223x y a +=，整理得()()()2222316313310k x k k x k a +--+--=．①()()2224313310a k k ⎡⎤∆=+-->⎣⎦，②且()12263131k k x x k -+=+，由()3,1N 是线段AB 的中点，得1232x x +=．解得1k =-，代入②得212a >，∴直线AB 的方程为()113y x -=--，即40x y +-=【点评】题主要考查了椭圆的性质以及和椭圆和直线的位置关系，利用方程的思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2017一中文）（10分）已知a 为实数，命题:p 点()1,1M 在圆()()224x a y a ++-=的内部；命题:q x R ∀∈，都有210x ax ++≥．若“p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题，求a 的取值范围．【分析】求出命题,p q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．【解答】解：由题意得，当p 真时，()()22114a a ++-<，解得11a -<<，当q 真时，则0∆≤，解得22a -≤≤．若“p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题，则,p q 一真一假，从而当p 真q 假时，有1122a a a -<<⎧⎨><-⎩或无解；当p 假q 真时，有1122a a a ≥≤-⎧⎨-≤≤⎩或，解得21a -≤≤-或12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[][]2,11,2--． …（10分）【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18．（2017一中文）（12分）设,A B 是抛物线28y x =上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8．（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ．【分析】（1）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，将,A B 的坐标代入抛物线方程可得2211228,8y x y x ==，将两式相减，分析可得21211y y k x x -==-，即可得答案；（2）由抛物线的方程求出抛物线的焦点坐标，即可得直线的方程，联立直线与抛物线的方程可得21240x x -+=，由弦长公式分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，则有2211228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-．又128y y +=，则21211y y k x x -==-，直线AB 的斜率为1 （2）由题可知()2,0F ，则直线AB 的方程为2y x =-，代入28y x =消去y 并整理，得21240x x -+=，有1212x x +=，由弦长公式得1216AB x x p =++=．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的几何性质与标准方程，注意利用点差法分析，求出直线的斜率．19．（2017一中文）（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，渐近线方程为y x =±，且双曲线过点(4,P ．（1）求双曲线的方程；（2）若点()11,M x y 在双曲线上，求12MF MF ⋅的范围．【分析】（1）设双曲线方程为22,0x y λλ-=≠，由双曲线过点(4,P ，能求出双曲线方程．（2）根据向量的数量积以及双曲线的性质即可求出【解答】解：（1）渐近线方程为y x =±，a b ∴=，设双曲线的方程为()220x y λλ-=≠．双曲线过点(4,P ， ∴1610λ-=，即6λ=． ∴双曲线的方程为226x y -=．（2）由（1）可知，a b c ==()()12,F F ∴-，()()11121123,,23,MF x y MF x y ∴=---=-,221211112MF MF x y ∴⋅=-++，点()11,M x y 在双曲线上，22116y x ∴=-+，(221211162MF MF x x ∴⋅=-+=，16x ≤-1x(212218MF MF ∴⋅≥=-【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．20．（2017一中文）（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为()1F ，点M 在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于两个不同的点,A B ，若AOB ∆（O 是坐标原点）的面积45S =，求直线AB 的方程．【分析】（1）根据题意，设出椭圆的右焦点，由椭圆的定义可得a 的值，计算可得b 的值，将,a b 的值代入椭圆的方程，即可得答案；（2）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y 以及直线AB 的方程为1x my =+，联立直线与椭圆的方程，可得()224230m y my ++-=，由根与系数的关系分析可得1212S OP y y =-，结合题意可得45=，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，设椭圆C 的方程为()2222:10x y C a b a b +=>>，因为椭圆的左焦点为)1F ，设椭圆的右焦点为)2F ，由椭圆的定义知122MF MF a +=，所以24a =，所以2a =，从而1b =，所以椭圆C 的方程为 2214x y +=，（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由题可设直线AB 的方程为1x my =+．联立直线与椭圆的方程，22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()224230m y my ++-=，则有12122223,44m y y y y m m -+==++，则1212S OP y y =- 又由45S =45=解得21m =，即1m =±．故直线AB 的方程为1x y =±+，即10x y +-=或10x y --=为所求．【点评】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的方程．21．（2017一中文）（12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点()1,0F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ）首先由于过点(),0M m 的直线与开口向右的抛物线有两个交点,A B ，则设该直线的方程为x ty m =+（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现0FA FB ⋅<的等价转化；最后通过,m t 的不等式求出m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(),P x y()10x x =>化简得()240y x x =>．（Ⅱ）设过点()(),00M m m >的直线l 与曲线C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ．设l 的方程为x ty m =+，由24x ty my x =+⎧⎨=⎩得()22440,160y ty m t m --=∆=+>，于是121244y y t y y m+=⎧⎨⋅=-⎩①又()()()()()()112212*********,,1,,01110FA x y FB x y FA FB x x y y x x x x y y =-=-⋅<⇔--+=-+++<② 又24y x =，于是不等式②等价于()()222222121212121212121102104444164y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎡⎤⋅+-++<⇔+-+-+< ⎪⎣⎦⎝⎭③由①式，不等式③等价于22614m m t -+<④对任意实数2,4t t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于2610m m -+<，解得322322m -<<+．由此可知，存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<，且m 的取值范围()322,322-+．【点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．22．（2017一中文）（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，右焦点为F ，过点()0,B b -和点F 的直线与原点的距离为1．（1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q ．若PQ AP λ=，则实数λ的取值范围．【分析】（1）由题意可得2222c a bc a a b c ===+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解得即可，（2）若PQ AP λ=，设直线():2l y k x =+，将直线方程代入椭圆方程（圆方程）求得,P Q 的纵坐标，由坐标之比，结合不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（1）由题意可得2222c a bc a a b c ==+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解得2,2a b c ==.∴椭圆的方程为22142x y +=．（2）由题可设直线():2l y k x =+，由()2242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，消去x 得()22140k y ky +-=，所以241Q k y k =+，同理2421P k y k =+．又11Q Py PQ AQ AP AQ APAPAPy λ-===-=-．则2221111k k k λ==-++． 20k >，01λ∴<<．【点评】本题考查椭圆的方程和圆的方程的求法，注意运用离心率公式，向量的坐标之比，考查向量共线的坐标以及化简整理的运算能力，属于中档题．。

2017-2018年甘肃省兰州四中高二上学期数学期中试卷及参考答案

2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a＞b，c＞d则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c2．（5分）数列{a n}满足a n+1﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）A．﹣3 B．4 C．1 D．63．（5分）若a＞1则a﹣1+的最小值等于（）A．a B．C．2 D．34．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（）A．15 B．33 C．51 D．635．（5分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列的第四项为（）A．3 B．﹣1 C．2 D．3或﹣17．（5分）不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，则二次函数y=2x2+mx+n的表达式是（）A．y=2x2+2x+12 B．y=2x2﹣2x+12 C．y=2x2+2x﹣12 D．y=2x2﹣2x﹣12 8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．9．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）A．1 B．C．D．10．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1 B．C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜111．（5分）不等式lgx2＞lg2x的解集是（）A．（1，100）B．（100，+∞）C．（0，1）∪（100，+∞） D．12．（5分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的相应位置.13．（4分）已知数列，则是该数列的第项．14．（4分）不等式的解集是．15．（4分）数列{a n}的前n项的和，则此数列的通项公式a n=．16．（4分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，则下列结论正确的是（1）△ABC一定是钝角三角形；（2）△ABC被唯一确定；（3）sinA：sinB：sinC=7：5：3；（4）若b+c=8，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设{a n}是等差数列，前n项和记为S n，已知a10=30，a20=50．（1）求通项公式a n．（2）若S n=242，求n的值．18．（12分）（I）解不等式﹣x2+4x+5＜0；（Ⅱ）解关于x的不等式x2﹣（1+m）x+m＜0．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．20．（12分）若实数x，y满足条件，求z=2y﹣2x+4的最小值和最大值．21．（12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．22．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（I）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明：．2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a＞b，c＞d则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c【解答】解：∵b＜a，d＜c，∴设b=﹣1，a=﹣2，d=2，c=3选项B，（﹣2）×3＞（﹣1）×2，不成立选项C，﹣2﹣3＞﹣1﹣2，不成立选项D，﹣2+2＞﹣1+3，不成立故选：A．2．（5分）数列{a n}满足a n+1﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）A．﹣3 B．4 C．1 D．6【解答】解：∵a n﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，+1∴数列{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）（﹣3）=7﹣3n+3=10﹣3n，∴a3=10﹣3×3=1．故选：C．3．（5分）若a＞1则a﹣1+的最小值等于（）A．a B．C．2 D．3【解答】解：∵a＞1，∴a﹣1＞0．∴a﹣1+≥=2．故选：C．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（）A．15 B．33 C．51 D．63【解答】解：由等差数列的性质可得a4+a6=2a5，∴a4+a5+a6=3a5=3×21=63故选：D．5．（5分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可知=，∴b=•sinB=×sin60°=×=4，故选：C．6．（5分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列的第四项为（）A．3 B．﹣1 C．2 D．3或﹣1【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，∵不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，∴等差数列{a n}的前三项为0，1，2或2，1，0，∴该数列的第四项为3或﹣1．故选：D．7．（5分）不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，则二次函数y=2x2+mx+n的表达式是（）A．y=2x2+2x+12 B．y=2x2﹣2x+12 C．y=2x2+2x﹣12 D．y=2x2﹣2x﹣12【解答】解：∵不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，∴﹣2，3是2x2+mx+n=0的两个实数根，∴，解得．∴二次函数y=2x2+mx+n的表达式是y=2x2﹣2x﹣12．故选：D．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．【解答】解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2﹣2bccosA得：3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2=0，∴c=2或﹣1（舍）．解法二：（正弦定理）由=，得：=，∴sinB=，∵b＜a，∴B=，从而C=，∴c2=a2+b2=4，∴c=2．9．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵，∴…+==．∴．故选：B．10．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1 B．C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1【解答】解：对于A：ab＜b2＜1，因为0＜b＜a＜1，则乘以b不变号，即b2＜ab．故A错误．对于B：可直接根据对数函数在的单调性判断B错误．对于C：因为y=2x是单调递增函数，且0＜b＜a＜1，所以2b＜2a＜21，即2b＜2a ＜2．故C正确．对于D：因为0＜b＜a＜1，则乘以a不变号，即ab＜a2．故D错误．故选：C．11．（5分）不等式lgx2＞lg2x的解集是（）A．（1，100）B．（100，+∞）C．（0，1）∪（100，+∞） D．【解答】解：∵lgx2＞lg2x，∴lg2x﹣2lgx＜0即lgx（lgx﹣2）＜0，∴0＜lgx＜2，∴1＜x＜100，∴不等式lgx2＞lg2x的解集是（1，100）．故选：A．12．（5分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；又sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinA•sinC=，②由①②得：sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（sin120°cosA﹣cos120°sinA）=sin2A+•=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣30°）+=，∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°∴∠A=60°．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的相应位置.13．（4分）已知数列，则是该数列的第7项．【解答】解：∵数列，∴第n项的通项是则=，∴n=7，故答案为：714．（4分）不等式的解集是．【解答】解：∵∴，解得∴＜x≤，所以不等式的解集为：．故答案为：．15．（4分）数列{a n}的前n项的和，则此数列的通项公式a n=．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+1﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1．∴．故答案为：a n=．16．（4分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，则下列结论正确的是（1）（3）（1）△ABC一定是钝角三角形；（2）△ABC被唯一确定；（3）sinA：sinB：sinC=7：5：3；（4）若b+c=8，则△ABC的面积为．【解答】解：在△ABC中，由于（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，可设b+c=4k，a+c=5k，a+b=6k，求得a=，b=，c=．求得cosA==﹣＜0，故A=120°为钝角，故（1）正确．由以上可得，三角形三边之比a：b：c=7：5：3，故这样的三角形有无数多个，故（2）不正确，（3）正确．若b+c=8，则b=5、c=3，由正弦定理可得△ABC的面积为bc•sinA=sin120°=，故（4）不正确．故答案为（1）、（3）．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设{a n}是等差数列，前n项和记为S n，已知a10=30，a20=50．（1）求通项公式a n．（2）若S n=242，求n的值．【解答】解：（1）由a10=30，a20=50．可得：a1+9d=30，a1+19d=50，解得a1=12，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=12+（n﹣1）×2=2n+10．（2）S n=12n+×2=n2+11n=242，∴n2+11n﹣242=0，∴n=11．18．（12分）（I）解不等式﹣x2+4x+5＜0；（Ⅱ）解关于x的不等式x2﹣（1+m）x+m＜0．【解答】解：（Ⅰ）不等式可化为x2﹣4x﹣5＞0，因△=16+20＞0，方程x2﹣4x﹣5=0有两个实数根，即x1=5，x2=﹣1…（4分）所以原不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞5}…（6分）（Ⅱ）由题可得，方程x2﹣（1+m）x+m=0，即（x﹣1）（x﹣m）=0，解得：x=1或x=m．…（8分）当m＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜m}，当m=1时，不等式为（x﹣1）2＜0，解集为∅，当m＜1时，不等式的解集为{x|m＜x＜1}…（11分）19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=﹣cosA=．∴cosA=﹣，∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵a=2，A=，b+c=4，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：12=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=16﹣bc，可得：bc=4，∴△ABC的面积S=bcsinA==．20．（12分）若实数x，y满足条件，求z=2y﹣2x+4的最小值和最大值．【解答】（12分）解：作出满足不等式的可行域，如右图所示…（6分）作直线l1：2y﹣2x=t，当l经过A（0，2）时，z max=2×2﹣2×0+4=8．当l经过B（1，1）时，z min=2×1﹣2×1+4=4．…（12分）21．（12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．【解答】解：（Ⅰ）依题意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n …（3分）=…（5分）=0.1n2+n+14.4…（7分）（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有…（9分）=++1≥2+1=2×1.2+1=3.4仅当，即n=12时，等号成立．…（13分）故：汽车使用12年报废为宜．…（14分）22．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（I）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明：．【解答】（Ⅰ）证明：∵a1=1，a n+1=2a n+1，+1=2（a n+1），∴a n+1又a1+1=2，∴数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴．（Ⅱ）解：∵b n===n•2n﹣1，∴S n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，①2S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，②①﹣②，得：﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n∴S n=（n﹣1）•2n+1．（Ⅲ）证明：∵==，k=1，2，3，…，n∴，∵===≥，k=1，2，3，…，n∴≥=＞，∴．。

甘肃省兰州市第四中学2017至2018学年高二上学期期末考试语文

2017——2018学年度第一学期高二期末检测语文试卷第一卷阅读题一、现代文阅读（一）论述类文本阅读阅读下面的文字,完成下列小题。

围棋与国家林建超围棋起源于中国,是黄河文明的产物,其形制弈法等都饱含着文明母体的基因和特征。

围棋极可能源自上古时期的结绳而治、河图洛书和周易八卦,因为其形制、内涵与中华文明的源头相符。

围棋的产生和发展,始终与弈者对自然、社会和人生的思考感悟联系在一起。

围棋不仅对个人修身养性,而且对民族社会的群体心理产生深刻影响。

围棋是中华五千年文明的象征、民族文化的瑰宝、高度智慧的结晶,这种地位不是任何人封赐的,也不是带有感情色彩的主观结论,而是人们在反复实践和比较中认识到的,是随着社会和文明的进步而不断深化和升华的。

围棋的价值和地位是在与各种掷彩博累活动的比较中确立起来的。

最早有文献记载的围棋活动是在春秋时期。

从春秋到西汉,社会风气浮躁、趋利,具有运气性和刺激性、宜于赌博的博累棋流行甚广,围棋处于受挤压的位置,但始终保持着顽强的生命力。

东汉中期后,社会风气转变,文明程度提高,思想更为自由,人们不满足于掷彩行棋的非公平的竞智斗巧,围棋更加受到人们的喜爱和重视,而曾经盛极一时的博累棋逐步走向衰弱,到唐代时完全消亡了。

博累棋消亡的原因从根本上说是它们不符合我们民族的思想特征,不能满足人们精神生活的真正需求,而围棋在与它们的比较中表现出了本质上的优势。

围棋的价值和地位是在与传统礼教观念斗争中确立起来的。

围棋作为反映和体现人们心灵自由的智力博弈活动,在很长一段时间里,被认为不符合传统伦理观念。

后来,人们逐步认识到这些观念都是不对的。

从东汉中后期到魏晋时期,人们开始从生命意义上认识围棋的价值,就把围棋作为自觉的艺术追求和精神宣寄的工具,并把它纳入儒士必备的艺技。

围棋的价值和地位是从正反两方面的社会实践对比中确立起来的。

人们在围棋活动的实践中逐渐认识到,围棋本身具有娱乐、教育、竞技、交际等功能。

高二上学期数学期末试卷

高二上学期数学期末试卷（文科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是（）A ．x e R x x <∈∃0,0B ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．x e R x x ≤∈∃0,0．2．设实数和满足约束条件，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．3．抛物线22y x =的准线方程为（）A ．14y =-B ．18y =-C ．1y =D ．12y =4．“α为锐角”是“0sin >α”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件5．设双曲线)0(19222>=-a ya x 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为() A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列四条叙述：①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ）③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ）其中正确的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 7．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（） A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④ 8．若双曲线193622=-y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（） A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．014132=-+y x D ．082=-+y x 9．设1F ,2F 是椭圆E :2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,△21F PF 是底角为030的等腰三角形,则E 的离心率为（）A ．12B ．23C ．34D ．45 10．椭圆221259x y +=的左焦点为1F , 点P 在椭圆上, 若线段1PF 的中点M 在y 轴上, 则1PF =（） A ．415 B ．95 C ．6 D ．7 x y 1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩23z x y =+26241614二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若圆心在轴上、的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是 .12．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是。

7—18学年下学期高二期末考试数学(文)试题(附答案)

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线3x －y ＋3＝0的倾斜角为 A ．30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2．设集合{|22}A x x =-≤≤，集合2{|230}B x x x =-->，则A B =A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,2]- C ．[2,1)-- D ．(,2](3,)-∞+∞3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足41020a a +=，则13S = A ．130B ．150C ．200D ．2604．若命题“∃∈0x R ，使得01)1(020<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(－1，3) B ．[－1，3] C ．(,1)(3,)-∞-+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞5. 已知 2.10.5a =，0.52b =， 2.10.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是A ． a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b << 6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7．已知向量，a b 满足2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则|2|-=a b A ． 2B ．C ． 4D ．88．若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是A ． ?7<k B ． ?6<k C ．?9<k D ．?8<k9．已知实数y x ,满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是A ． 2B ．2-C ．4D ． 4-10．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．2B ．3C ．D ． 11．已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则ϕ的值为 A ．12π B ．6π C ．3π- D ．3π12．已知函数20()12xx f x x x -⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式2(2)(2)f x x f x -<的解集为A ． (,0)(4,)-∞+∞ B ．(,0)(2,)-∞+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,4)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知lg lg 1x y +=，则的最小值是． 14．若直线1:m 60l x y ++=与直线2:(m 2)320l x y m -++=平行，则实数m 的值为．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(,0]-∞上是减函数，则不等式(1)(ln )f f x -<的解集是．16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ABC ∆为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D ABC -体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值． 19．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 20．（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）)为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥.（Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求三棱锥A BED -的高. 22.（本小题12分）已知直线l ：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末试题答案数学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2 14．1- 15．()10,,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．318三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设公比为，则，，∵是和的等差中项，∴，，解得或（舍），∴． ..........................5分（Ⅱ），则．................10分18、（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值．解：（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =()16x π+-1cos 21sin 23cos 4-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x222cos 12cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭....................4分故()f x 最小正周期为π. ................................................................................5分由222262k x k πππππ-≤+≤+得36k x k ππππ-≤≤+故()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． ................................ 8分（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤．于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2............................12分19、（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 解：（Ⅰ）由tan cos cos )c C a B b A =+及正弦定理可得sin tan cos sin cos )C C A B B A =+，故sin tan )C C A B =+，而sin sin()0C A B =+>，所以tan C =3C π=. ...............................6分（Ⅱ）由4AD CD ==及3C π=可得ACD ∆是正三角形.由ABD ∆的面积为12sin 23AD BD π⋅⋅=142BD ⨯⨯= 故8BD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得222248248cos1123c π=+-⨯⨯⨯=，即c = ..............................12分 20、（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附：2(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++解：（Ⅰ）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以m =50-20=30(人)， n =75-25=50(人) ………………………………………………………………3分（Ⅱ）因为22125(20253050)8.66 6.635(2030)(5025)(2050)(3025)K ⨯-⨯=≈>++++，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.………………………………………7分（Ⅲ）设5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，2名女生分别为a 、b ，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，并且2人中恰有一男一女.而从7人中挑选2人的所有可能的结果为{A ,B }{A ,C }{A ,D }{A ,E }{A ,a }{A ,b }{B ,C }{B ,D }{B ,E }{B ,a }{B ,b }{C ,D }{C ,E }{C ,a } {C ,b }{D ,E }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b }{a ,b }，共21种，其中恰为一男一女的包括，{A ,a }{A ,b }{B ,a }{B ,b }{C ,a }{C ,b }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b },共10种. 因此所求概率为1021P =. ………………………………………12分21、（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求点A 到平面BED 的距离. 解：（Ⅰ）设AC 交BD 于G ,连接EG .在正方形ABCD 中，G 为AC 中点，则在三角形ACP 中,中位线 EG ∥PC ,又EG ⊂平面BED ,PC ⊄平面BED , ∴PC ∥平面BED . ............5分（Ⅱ）在PAD ∆中，设AD 的中点为O ，连接EO ，则122EO PD ==，且EO ∥PD 又∵PD DA ⊥,PD DC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . 又4PD AD ==，∴DE AE DB BE ==== ∴ 三角形BED 为直角三角形.又∵A BDE E ABD V V --=，（设三棱锥A BED -的高为h ） ∴1133ABD BDE S EO S h ∆∆⨯=⨯，∴11114423232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =. 所以点A 到平面BED的距离为. ............12分22．（本小题12分）已知直线l：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）设圆心C (a ，0) (a >-，4=⇒a ＝0或a＝-(舍).所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝16. .........................4分（Ⅱ）当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，假设N (t ，0) (0)t >符合题意，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由22(2)16y k x x y =-⎧⎨+=⎩得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4k 2－16＝0，所以x 1＋x 2＝2241k k +，x 1x 2＝224161k k -+. .....................................................6分若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN …………8分即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒11(2)k x x t --＋22(2)k x x t--＝0⇒2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ＝0⇒222(416)1k k -+－224(t 2)1k k ++＋4t ＝0⇒t ＝8. …………11分所以存在点N 为(8，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立. ……………12分。

甘肃省兰州市高二上学期期末考试数学试卷有答案

甘肃省兰州市第一高二上学期期末考试数学试卷说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．如果命题pq 为真命题，pq 为假命题，那么（）A ．命题p 、q 都是真命题B ．命题p 、q 都是假命题C ．命题p 、q 至少有一个是真命题D ．命题p 、q 只有一个真命题 2．过点P （2,4）且与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的的直线有（） A ．0条 B ． 1条 C ．2 条 D ． 3条 3．双曲线22549x y -=-的一条渐近线方程是 ( )A ．230x y -=B ．320x y +=C ．940x y -=D ．490x y -= 4．曲线()2216106xym mm+=<--与曲线()2215959xn nny +=<<--的（）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．准线相同D ．焦点相同 5．设点()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C ，则AB 的中点到C 的距离为（）A 4B ．2C 4D ．26．下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”. B ．若命题:R p x ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：2R 10x x x ∀∈++≠，.C ．若命题p :1,x <-或1x >；命题q :2,x <-或1x >，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.D ．“2x > ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件.7．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且()()2ka b a b +⊥-，则k 的值为（） A ． 1 B ．75C ．35D ．158．已知线段AB 、BD 在平面α内，∠ABD =120°，线段AC ⊥α，如果AB =a ，BD =b ，AC =c ，则线段CD 的长为（）A B C D 9．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 1、F 1分别是A 1B 1、C 1D 1上的点，并且4B 1E 1＝4D 1F 1＝A 1B 1，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（）A 2B ．12C ．817D ．151710．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 ( ) A ． (1，+∞) B ．(1,2) C ．(1,1+2) D ．(2,1+2)第II 卷（非选择题）二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 11．已知点()3,1A ，在抛物线22y x =上找一点P ，使得PF PA +取最小值（F 为抛物线的焦点），此时点P 的坐标是 . 12．对于以下命题：①a b a b -=+是,a b 共线的充要条件；②对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面. ③如果0<⋅,那么与的夹角为钝角④若{},,a b c 为空间一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； ⑤若23,246m a b c n a b c =-+=-+-，则//m n . 其中不正确结论的序号是___________________. 13．已知椭圆22162x y +=与双曲线2213x y -=的公共焦点为F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为 .14．若椭圆221(0,0)mx ny m n +=>>与直线10x y +-=交于A ，B 两点，若:m n =，则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为．参考答案第I 卷（选择题）一、选择题二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共16分）11．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．①③ 13．13 14三、解答题（本题共5小题，共54分）15．（本小题满分10分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且过点(4, （Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=.解析：（Ⅰ）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点(4,，解得6λ=故双曲线方程为226x y -=. ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a b ==，c =， ∴()1F -，()2F∴ ()13,MF m =--，()23,MF m =--， ∴2123MF MF m ⋅=-，又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=， ∴23m =，即120MF MF ⋅=.……………………………10分16．(本小题满分10分) 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.证明：分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， M (1,1，m )．∴AC →＝(－1,1,0)，又E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 又∵B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)， ∵D 1M ⊥平面FEB 1，∴D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E .即D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →＝0. ∴⎩⎨⎧－12＋12＋(m －1)·0＝00－12＋(1－m )＝0，∴m ＝12.故取B 1B 的中点M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.17．（本小题满分10分）已知定点A （1,0）和定圆B ：,x y x 015222=-++动圆P 和定圆B 相切并过A 点，（Ⅰ）求动圆P 的圆心P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）设Q 是轨迹C 上任意一点，求AQB ∠的最大值. 解析：（Ⅰ）设)y ,x (P ，则24>=+PB PA ,∴所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点，长轴长为4的椭圆所以点P 的轨迹方程是13422=+y x ……………………………………………………4分（Ⅱ）设,n QB ,m QA ==则4=+n m2112616242242222=-+≥-=--+=-+=∠∴)n m (mn mn mn )n m (mn n m AQB cos当且仅当n m =时取“=”，),(AQB π0∈∠ ，∴AQB ∠的最大值是3π.……………………………………………………10分注：其它解答参考给分.18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,22ACB AC AA BC ∠====. （Ⅰ）若D 为1AA 中点，求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ；（Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长. 解法1：（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C AC ⊥，又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面ACC 1A 1.∴11B C CD ⊥……① 由D为中点可知，1DC DC ==22211DC DC CC +=即1CD DC ⊥……②由①②可知CD ⊥平面11B C D ，又CD ⊂平面1B CD ，故平面1B CD 平面11B C D .………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）可知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作1C E CD ⊥，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，可知11B EC ∠为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴1160.B EC ∠= 由B 1C 1=2知，13C E =，设AD=x，则DC =∵11DC C ∆的面积为1，∴13321212=⋅+⋅x ，解得x =AD ……………………………………………………12分C 11A 1BA DC解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）即11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=0101)1,0,1()1,0,1(;,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC CD B C CD C 由得由得1CD DC ⊥；又111DC C B C =，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面1B CD 平面11B C D …………………………………………6分（Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），1(1,0,)(0,2,2)CD a C B ==，设平面B 1CD 的法向量为(,,)m x y z =. 则由,1,0220001-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z z y ax x CB 令得(,1,1)m a =-，又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n =，则由212160cos 2=+a，即a =，故AD = ………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、2PF 构成等差数列．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C共点，点,M N 是直线l 上的两点，且12,F M l F N l ⊥⊥求四边形12F MNF 面积S 的最大值．解析：(Ⅰ)依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=．1122PF F F PF 、、构成等差数列，11222242a PF PF F F a ⇒=+==⇒=．又1c =，故23b =．从而，椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………………………………4分 (Ⅱ)将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得：01248)34(222=-+++m kmx x k ． ……………………5分由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=，化简得：2243m k =+． …………………………6分设11d F M ==，22d F M ==， …………………………8分（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，12d d MN k-⇒=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+mm m m 1814322+=+-=， …………………………10分又2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，3343131=+>+m m ，32<S ．当0=k 时，四边形12F MNF是矩形，S =．故四边形12F MNF 面积S的最大值为 ……………………………12分（法二）222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++，222122233311m k k d d k k -+====++．MN ⇒===．四边形12F MNF 的面积121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=， ………10分22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S12)211(41622≤-+-=k ．当且仅当0k =时，212,S S ==max S =所以四边形12F MNF 的面积S的最大值为…………………………………12分。

甘肃省兰州高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

兰州一中2016-2017-1学期期末考试试题高二数学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．.） 1. 命题p : 对∀ x ∈R ，x 3-x 2+1≤0，则⌝p 是（） A.不存在x ∈R ，x 3-x 2+1≤0 B. ∃ x ∈R ，x 3-x 2+1≥0C. ∃ x ∈R ，x 3-x 2+1>0D.对∀ x ∈R ，x 3-x 2+1>02. 抛物线y 2=2px 上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是（）A.4B.8C.16D.323. 下列求导数运算正确的是（） A. 2'11)1(xx x +=+B. (log 2x )＇=2ln 1x C. e xx 3'log 3)3(= D. x x x x sin 2)cos ('2-=4. 若a 、b 为实数, 且a +b =2, 则3a +3b 的最小值为（） A ．6B ．18C ．23D ．2435. 椭圆24x +y 2=1的焦点为F 1、F 2，经过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为P ，则|2PF uuu r|等于（）A.B. C.72D.4 6．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（） A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21 D ．－1＜x ＜67．过双曲线221169x y -=左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF D （F 2为右焦点）的周长是（） A ．28 B ．22 C ．14 D ．128．已知双曲线22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A. 2233125100x y -=B. 221205x y -=C. 221520x y -=D. 2233110025x y -=9. 椭圆上22221(0)x y a b a b+=>>一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]124ππα∈，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．B.C. D.10. 已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A ．[0,4π)B ．[4π,2π)C ．(2π,34π]D ．[34π,π)第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 11．一个物体运动的方程为s =at 3+3t 2+2t ，其中s 的单位是米，t 的单位是米/秒，若该物体在4秒时的瞬时速度是50米/秒，则a = ．12. 已知y x ,满足43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z =2x -y 的最小值为 .13. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，直线l 的方程为．14．设双曲线2222b y a x -=1（0＜b ＜a ）的半焦距为c ，直线l 经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 .兰州一中2016-2017-1学期期末考试答题卡高二数学（文）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（每小题4分，共16分）11．；12．；13．；14． .三、解答题（本大题共5 小题，共44分）15.（本小题8分）己知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列.求证：a2+b2+c2>(a-b+c)2.16．（本小题8分）已知命题p:函数y=x2+mx+1在(-1，+∞）上单调递增，命题q：对函数y=-4x2+4(2- m)x-1, y≤0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．17．（本小题8分）已知曲线C1：y=ax2上点P处的切线为l1，曲线C2：y=bx3上点A（1，b）处的切线为l2，且l1⊥l2，垂足M（2，2），求a、b的值.18．（本小题10分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，-2)．(1) 求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于两点，且直线OA与l的距离等于，求直线l的方程．19. (本小题10分)已知定点1(F ,动点B 是圆222:(12F x y += (F 2为圆心)上一点,线段F 1B 的垂直平分线交BF 2于P . (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若直线y =kx +2(k ≠0)与P 点的轨迹交于C 、D 两点.且以CD 为直径的圆过坐标原点,求k 的值.兰州一中2016-2017-1学期期末考试参考答案高二数学（文）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共16分）11．12； 12．-125； 13．082=-+y x ； 14三、解答题（本大题共5 小题，共44分） 15.（8分）证明：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac ∵a ，b ，c 都是正数，c a ca acb +<+≤=<∴20 ∴a +c >b , ……………………………4分∴a 2+b 2+c 2-(a -b +c )2=2(ab +bc -ca ）=2(ab +bc - b 2）=2b (a +c -b )>0 ∴ a 2+b 2+c 2>(a -b +c )2. ……………………………8分 16．（8分）解：若函数y =x 2+mx ∴m ≥2，即p ：m ≥2 ……………………………2分若函数y =-4x 2+4（2- m ）x -1≤0恒成立，则△=16（m -2）2-16≤0，解得1≤m ≤3，即q ：1≤m ≤3 ……………………………4分 ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假当p真q假时，由213mm m≥⎧⎨<>⎩或解得：m>3 ……………………………6分当p 假q真时，由213mm<⎧⎨≤≤⎩解得：1≤m<2综上，m的取值范围是{m|m>3或1≤m<2} …………………………8分17．（8分）解：设P（t，at2），则l1斜率k1=2at∴l1：y-at2=2at(x-t)l2斜率k2=3bx2|x=1=3b∴l2：y-b=3b(x-1) …………………………3分∵l1与l2交于点M（2，2），∴222(2)23(21)at at tb b⎧-=-⎨-=-⎩∴242012at atb⎧-+=⎪⎨=⎪⎩①…………………………5分又l1⊥l2∴k1·k2=-1 ∴at=-13②…………………………7分由①②得t=10，a=-130…………………………8分18．（10分）解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故抛物线方程为y 2＝4x ，准线为x ＝-1. ……………………………3分 (2)设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋ty 2＝4x得y 2＋2y －2t ＝0. ……………………………5分因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12. ……………………………7分由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以直线l 的程为2x ＋y －1＝0. ……………………………10分19．（10分）解：(1)由题意1PF PB =且2PB PF +=，12PFPF ∴+=22> ∴P 点轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆.设其标准方程为22221x y a b+=(0)a b>>2a ∴=即a =又∴=2c 2221b ac =-=,∴P 点轨迹方程为2213x y +=. ……………………………4分(2)假设存在这样的k ，由222330y kx x y =+⎧⎨+-=⎩得22(13)1290k x kx +++=.由22(12)36(13)0k k ∆=-+>得21k >.设1122(,),(,)C x y D x y ,则1221221213913k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①, (6)分若以CD 为直径的圆过坐标原点,则有12120x x y y +=,而212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++,∴212121212(1)2()40x x y y k x x k x x +=++++= ②,将①式代入②式整理可得2133k =,其值符合0∆>，故3k =± .………10分。

高二数学上学期期末试卷（文科含解析）

高二数学上学期期末试卷(文科含解析)单元练习题是所有考生最大的需求点，只有这样才能保证答题的准确率和效率，以下是店铺为您整理的关于高二数学上学期期末试卷(文科含解析)的相关资料，供您阅读。

高二数学上学期期末试卷(文科含解析)数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.74.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是.15.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= .16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥A B.20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn>0，即可得到结论.【解答】解：当mn>0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆;或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆;故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn>0;由上可得：“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选B.2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定.【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论.【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【考点】椭圆的简单性质.【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可.【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3.故选B4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(￢p)V(￢q).故选A.5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】由双曲线的离心率为，可得，解得即可.【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴ ，解得 .∴其渐近线的斜率为 .故选：B.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x= 处的导数，从而求出切线的斜率.【解答】解：∵∴y'==y'|x= = |x= =故选B.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.【分析】根据椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，得到a，b的关系式;再将抛物线ay=bx2的方程化为标准方程后，根据抛物线的性质，即可得到其焦点坐标.【解答】解：∵椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点∴2a2﹣2b2=a2+b2，即a2=3b2， = .抛物线ay=bx2的方程可化为：x2= y，即x2= y，其焦点坐标为：(0， ).故选D.8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则【考点】复数代数形式的乘除运算;命题的真假判断与应用.【分析】利用特例判断A的正误;复数的基本运算判断B的正误;复数的运算法则判断C的正误;利用复数的模的运算法则判断D的正误.【解答】解：若|z1|=|z2|，例如|1|=|i|，显然不正确，A错误.B，C，D满足复数的运算法则，故选：A.9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】先利用导数知识，确定原命题为真命题，从而逆否命题为真命题，即可得到结论.【解答】解：∵f(x)=e x﹣mx，∴f′(x)=ex﹣m∵函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数∴ex﹣m≥0在(0，+∞)上恒成立∴m≤ex在(0，+∞)上恒成立∴m≤1∴命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，是真命题，∴逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题∵m≤1时，f′(x)=ex﹣m≥0在(0，+∞)上不恒成立，即函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不一定是增函数，∴逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是真命题，即B不正确故选D.10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围.【解答】解：∵过P(x0，f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是，∴f′(x0)=2ax0+b∈，∴P到曲线y=f(x)对称轴x=﹣的距离d=x0﹣(﹣ )=x0+∴x0∈[ ，].∴d=x0+ ∈.故选：B.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.【分析】由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，可知此方程有两解且f(x)=x1或x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得个数.【解答】解：∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b>0.解得 = .∵x1∴ ， .而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，∴此方程有两解且f(x)=x1或x2.不妨取00.①把y=f(x)向下平移x1个单位即可得到y=f(x)﹣x1的图象，∵f(x1)=x1，可知方程f(x)=x1有两解.②把y=f(x)向下平移x2个单位即可得到y=f(x)﹣x2的图象，∵f(x1)=x1，∴f(x1)﹣x2<0，可知方程f(x)=x2只有一解.综上①②可知：方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3个实数解.即关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同实根.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于 1 .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可.【解答】解：复数，那么z• = = =1.故答案为：1.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是 2 .【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值.【解答】解：f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)当﹣10;当0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f(x)的最大值为2故答案为215.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= ﹣1 .【考点】导数的运算.【分析】先求出f′(1)的值，代入解析式计算即可.【解答】解：∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5，∴f′(1)=6﹣2f′(1)，解得f′(1)=2.∴f(x)=lnx﹣2x2+5x﹣4，∴f(1)=﹣1.故答案为：﹣1.16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .【考点】抛物线的简单性质.【分析】点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B 两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出 = ，即可得出结论.【解答】解：设直线l的方程为：x=y﹣，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=y﹣，代入x2=2py，可得y2﹣3py+ p2=0，∴y1= p，y2= p，从而， = = .故答案为： .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.【考点】复数求模;复数的基本概念.【分析】(Ⅰ)设z=a+bi，分别代入z+2i和，化简后由虚部为0求得b，a的值，则复数z可求;(Ⅱ)把z代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案.【解答】解：(Ⅰ)设z=a+bi，∴z+2i=a+(b+2)i，由a+(b+2)i为实数，可得b=﹣2，又∵ 为实数，∴a=4，则z=4﹣2i;(Ⅱ) ，∴ 的模为 .18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为集合的关系进行求解.【解答】解：(1)a>0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(2)a=0时，A=R，符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(3)a<0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意.综上.┅┅┅┅┅┅┅19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)通过题意，利用 =2 ，可得点M坐标，利用直线OM 的斜率为，计算即得结论;(2)通过中点坐标公式解得点N坐标，利用×( )=﹣1，即得结论.【解答】(Ⅰ)解：设M(x，y)，已知A(a，0)，B(0，b)，由|BM|=2|MA|，所以 =2 ，即(x﹣0，y﹣b)=2(a﹣x，0﹣y)，解得x= a，y= b，即可得，┅┅┅┅┅┅┅所以，所以椭圆离心率;┅┅┅┅┅┅┅(Ⅱ)证明：因为C(0，﹣b)，所以N ，MN斜率为，┅┅┅┅┅┅┅又AB斜率为，所以×( )=﹣1，所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出f′(x)，因为函数在x=1时取极值，得到f′(1)=0，代入求出a值即可;(2)把f(x)的解析式代入到不等式中，化简得到，因为a>0，不等式恒成立即要，求出x的解集即可.【解答】解：(1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1)由于函数f(x)在x=1时取得极值，所以f′(1)=0即a﹣3+a+1=0，∴a=1(2)由题设知：ax2﹣3x+(a+1)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立即a(x2+2)﹣x2﹣2x>0对任意a∈(0，+∞)都成立于是对任意a∈(0，+∞)都成立，即∴﹣2≤x≤0于是x的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)运用椭圆的离心率和最小距离a﹣c，解方程可得a= ，c=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程;(2)设出直线y=kx+m，联立椭圆和抛物线方程，运用判别式为0，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程.【解答】解：(1)由题意可得e= = ，由椭圆的性质可得，a﹣c= ﹣1，解方程可得a= ，c=1，则b= =1，即有椭圆的方程为 +y2=1;(2)直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m，由，可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线和椭圆相切，可得△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0，即为m2=1+2k2，①由，可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0，由直线和抛物线相切，可得△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0，即为km=1，②由①②可得或，即有直线l的方程为y= x+ 或y=﹣ x﹣ .22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围，确定出满足条件的a的范围即可.【解答】解：(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)，(x>0)，f′(x)=﹣，①a<﹣时，0<﹣ <1，令f′(x)<0，解得：x>1或00，解得：﹣∴f(x)在递减，在递增;②﹣﹣或00，解得：1∴f(x)在递减，在递增;③ ，f′(x)=﹣≤0，f(x)在(0，1)，(1+∞)递减;④a≥0时，2ax+1>0，令f′(x)>0，解得：01，∴f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减;(Ⅱ)函数恒过(1，0)，由(Ⅰ)得：a≥﹣时，符合题意，a<﹣时，f(x)在(0，﹣ )递减，在递增，不合题意，故a≥﹣ .。

甘肃省兰州一中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．下列说法正确的是（）A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”B ．命题“若x 0∈R ，x 02＞1”的否定是“∀x ∈R ，x 02＞1”C ．命题“若x=y ，则cosx=cosy ”的逆否命题为假命题D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy ”的逆命题为假命题2．设函数f （x ）在x=1处可导，则等于（）A ．f'（1）B ．C ．﹣2f'（1）D ．﹣f'（1）3．已知命题p ：若x ＞y ，则﹣x ＜﹣y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2，在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧（￢q ）；④（￢p ）∨q 中，真命题是（） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 4．已知函数f （x ）=axlnx ，x ∈（0，+∞），其中a 为实数，f ′（x ）为f （x ）的导函数，若f ′（1）=3，则a 的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．“a ≤0”是“函数f （x ）=|（ax ﹣1）x |在区间（0，+∞）内单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）=ax 3+x +1的图象在点（1，f （1））的切线过点（2，7），则a 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．过双曲线x 2﹣=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B两点，则|AB |=（）A ．B ．2C ．6D ．48．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2﹣y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=（）A ．B ．C ．D ．9．若动圆C 过定点A （4，0），且在y 轴上截得弦MN 的长为8，则动圆圆心C 的轨迹方程是（）A ．B ．C ．y 2=8xD ．y 2=8x （x ≠0）10．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C： +=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．12．设椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于点P，Q．若|PF2|=|F1F2|，且3|PF1|=4|QF1|，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=．14．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．16．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF| ．三、解答题（本大题共4小题，共36分）17．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣4=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值．19．如图，已知四边形ABCD内接于抛物线x2=y，点C（3，9），AC平行于x轴，BD平行于该抛物线在点C处的切线，∠BAD=90°．（Ⅰ）求直线BD的方程；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．20．已知椭圆的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2与椭圆交于C，D两点．问是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若x0∈R，x02＞1”的否定是“∀x∈R，x02＞1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【考点】全称命题；四种命题间的逆否关系．【分析】根据四种命题的定义以及命题真假之间的关系即可得到结论．【解答】解：A．命题“若x2＞1，则x＞1”否命题为“若x2≤1，则x≤1”，∴A错误．B．命题“若x0∈R，x02＞1”的否定是“∃x∈R，x2≤1”，∴B错误．C．“若x=y，则cosx=cosy”正确，即原命题正确，则逆否命题也正确，∴C错误．D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”，为假命题，当x=﹣y时，结论满足cosx=cosy，∴D正确．故选：D．2．设函数f（x）在x=1处可导，则等于（）A．f'（1）B．C．﹣2f'（1）D．﹣f'（1）【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的性质和运算法则求解．【解答】解：∵函数f（x）在x=1处可导，∴=﹣=﹣．故选：B．3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】复合命题的真假．【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．4．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x），根据f′（1）=3，列出方程解出a．【解答】解：f′（x）=alnx+a，∵f′（1）=3，∴a=3．故选：B．5．“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选：C．6．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））的切线过点（2，7），则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，再由直线的斜率公式，计算即可得到a=1．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为f′（x）=3ax2+1，图象在点（1，f（1））的切线斜率为3a+1，切点为（1，a+2），由切线经过（2，7），可得=3a+1，解得a=1．故选：A．7．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B 两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．8．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos ∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选C．9．若动圆C过定点A（4，0），且在y轴上截得弦MN的长为8，则动圆圆心C的轨迹方程是（）A ．B ．C ．y 2=8xD ．y 2=8x （x ≠0）【考点】轨迹方程．【分析】设圆心C （x ，y ），过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，利用垂径定理可得|ME |=4，又|CA |2=|CM |2=|ME |2+|EC |2，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：设圆心C （x ，y ），过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，则|ME |=4， ∴|CA |2=|CM |2=|ME |2+|EC |2， ∴（x ﹣4）2+y 2=42+x 2，化为y 2=8x ．故选：C ．10．过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，∵过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得，∴a=b ，∴c==b ，∴e==．故选：A ．11．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．12．设椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于点P，Q．若|PF2|=|F1F2|，且3|PF1|=4|QF1|，则的值为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由|PF2|=|F1F2|，3|PF1|=4|QF1|，利用椭圆的定义可得：|PF1|=2a ﹣2c，进一步求出|QF1|，|QF2|，在等腰△PF1F2中，求得得cos∠PF1F2．在△QF1F2中，由余弦定理可得cos∠QF1F2，利用cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，化简求得5a=7c，两边平方后结合隐含条件求得的值．【解答】解：如图所示，∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF2|=2c，则|PF1|=2a﹣2c．∵3|PF1|=4|QF1|，∴|QF1|=，则．在等腰△PF1F2中，可得cos∠PF1F2==．在△QF1F2中，由余弦定理可得：cos∠QF1F2=，由cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，得+=0，整理得：，∴5a=7c，则25a2=49c2=49（a2﹣b2），∴，即．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．14．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．【考点】导数的运算；函数的值．【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．【考点】进行简单的合情推理．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不符合题意．故答案为：丙．16．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF| 5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】运用抛物线的定义，设Q到l的距离为d，求出斜率，求得直线PF的方程，与y2=8x 联立可得x=3，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d，∵=4，则Q在PF的延长线上，∴|PQ|=5d，∴直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2）∴|QF|=d=3+2=5，故答案为：5三、解答题（本大题共4小题，共36分）17．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题．【分析】根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…18．设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣4=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程．【分析】（Ⅰ）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（1，f（1））在曲线上，利用方程联立解出a，b；（Ⅱ）可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可得证．【解答】解：（Ⅰ）方程3x﹣y﹣4=0可化为y=3x﹣4，当x=1时，y=﹣1，又f′（x）=a+，于是，解得，故f（x）=x﹣；（Ⅱ）证明：设P（x0，y0）为曲线上任一点，由f′（x）=1+，知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y﹣y0=（1+）（x﹣x0），即y﹣（x0﹣）=（1+）（x﹣x0），令x=0，得y=﹣，从而得切线与直线x=0的交点坐标为（0，﹣）；令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为|﹣|•|2x0|=4．故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为4．19．如图，已知四边形ABCD内接于抛物线x2=y，点C（3，9），AC平行于x轴，BD平行于该抛物线在点C处的切线，∠BAD=90°．（Ⅰ）求直线BD的方程；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）求导数，求出A的坐标，设直线BD的方程为y=6x+b，代入抛物线x2=y，利用∠BAD=90°，即可求直线BD的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的面积转化为两个三角形的面积的和．【解答】解：（Ⅰ）y′=2x，x=3时，y′=6，A（﹣3，9）设直线BD的方程为y=6x+b，代入抛物线x2=y，可得x2﹣6x﹣b=0设B（x1，y1），D（x2，y2），∴x1+x2=6，x1x2=﹣b∵∠BAD=90°，∴k AD k AB=•=（x2﹣3）（x1﹣3）=﹣b﹣3×6+9=﹣1∴b=﹣8，∴直线BD的方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）b=﹣8，x2﹣6x﹣b=0的根为2，4，对应的纵坐标为4，16，∴四边形ABCD的面积S==36．20．已知椭圆的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2与椭圆交于C，D两点．问是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意求出椭圆的a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求得k的范围，再由向量数量积为0求得k值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵，2c=，∴，，则b2=a2﹣c2=1．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）如图，联立，得（1+3k2）x2+12kx+9=0．△=（12k）2﹣36（1+3k2）=36k2﹣36＞0，得k＜﹣1或k＞1．设C（x1，y1），D（x2，y2），则，+2k（x1+x2）+4．若存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，则=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0．即，解得：k=，满足题意．∴存在常数k=，使得以CD为直径的圆过坐标原点O．2018年8月4日。

甘肃省兰州四中2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 (1)

（1）求椭圆 C 的方程；（ 2 ）过点 M 1, 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，设点 N 3, 2 ，记直线
AN, BN 的斜率分别为 k1 , k2 ，求证： k1 k2 为定值.
高二（文科）数学参考答案 1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C
x2 y 2 12．已知椭圆 2 2 1(a b 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ，若椭圆上不存在点 P ，使 a b
得 F 1PF2 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（） A. 0,

2 2
B.
2 ,1 2
C. 0,

21.已知动点
到定点
的距离与到直线
的距离之比为 .
（1）求点的轨迹的方程； 2）过点的直线与曲线交于两点，且为线段中点，求直线的方程.
22.（12 分）已知椭圆 C :
F2

2, 0 ，以椭圆的短轴为直径的圆经过点 M (1,0).

x2 y 2 1（ a b 0 ），的两个焦点 F1 2, 0 ， a 2 b2
2 2 2 15．在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a c b tanB 3ac ，

则角 B 的值为__________． 16 ．已知，是椭圆，则的两个焦点，过 __________．的直线交椭圆于、两点，若
三、解答题 17．（10 分）在等差数列 an 中， a2 4, a4 a7 15 . （1）求数列 an 的通项公式；（2）设 bn 2an 2 ，求 b1 b2 b3 b10 的值.

【精品】2017-2018年甘肃省兰州一中高二上学期数学期末试卷(文科)与答案

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z=1﹣2i，则|z|=（）A．5B．C．2D．2．（5分）与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是（）A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除3．（5分）抛物线x2=16y的准线方程是（）A．x=B．x=﹣C．y=4D．y=﹣44．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A．2B．4C．4D．27．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．5B．4C．3D．29．（5分）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．1010．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=111．（5分）设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：﹣y2=1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，=3，则|k|=（）A．2B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2，则复数z的虚部为．14．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1．则￢p为．15．（5分）已知A是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围．16．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，A、B是椭圆上两点，N（3，1）是线段AB的中点．则直线AB的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a为实数，命题p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部；命题q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0．若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．18．（12分）设A、B是抛物线y2=8x上的两点，A与B的纵坐标之和为8．（1）求直线AB的斜率；（2）若直线AB过抛物线的焦点F，求|AB|．19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，渐近线方程为y=±x，且双曲线过点P（4，﹣）．（1）求双曲线的方程；（2）若点M（x1，y1）在双曲线上，求的范围．20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点M（，）在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点P到y 轴的距离等于|PF|﹣1．（1）求p的值；（2）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与抛物线C有两个交点A、B的任一直线，都有•＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F，过点B（0，﹣b）和点F的直线与原点的距离为1．（1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2+y2=a2于相异两点P、Q．若|PQ|=λ|AP|，则实数λ 的取值范围．2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z=1﹣2i，则|z|=（）A．5B．C．2D．【解答】解：∵z=1﹣2i，∴|z|=．故选：B．2．（5分）与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是（）A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除【解答】解：∵命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”的逆否命题是“不能被3整除的整数，一定不能被6整除”；它们是等价命题．故选：B．3．（5分）抛物线x2=16y的准线方程是（）A．x=B．x=﹣C．y=4D．y=﹣4【解答】解：根据题意，抛物线的标准方程为x2=16y，其开口向上，且p=8，则其准线方程为y=﹣4；故选：D．4．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．5．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A．2B．4C．4D．2【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0=2 ，故水面宽为4m．故选：B．7．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此椭圆的离心率为．故选：B．8．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．9．（5分）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：椭圆的方程为，∴2a=6，2b=4，c=2，连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b=4，l=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10．故选：D．10．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选：A．11．（5分）设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：﹣y2=1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，曲线C1：+=1的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）双曲线C2：﹣y2=1的焦点也为F1（﹣2，0），F2（2，0）∵P是曲线C2与C1的一个交点，设其为第一象限的点由椭圆与双曲线定义可知PF1+PF2=2，PF1﹣PF2=2解得PF1=+，PF2=﹣设∠F1PF2=θ则cosθ==，故选：C．12．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，=3，则|k|=（）A．2B．C．D．【解答】解：设A在第一象限，如图，设A、B在准线上的射影分别为M，N，过B作BE⊥AM与E，根据抛物线定义，可得：AF=AM=3m，BN=BF=m，∴AE=2m，又AB=4m，∴∠EAF=60°，k=，当A在第四象限时，可得k=﹣．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2，则复数z的虚部为﹣1．【解答】解：由（1+i）z=2，得z=，∴复数z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1．则￢p为∃x0＞0，使得．【解答】解：命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1”是全称命题，否定时将量词对任意的x变为∃x，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x0＞0，使得．15．（5分）已知A是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围（1，2）．【解答】解：∵△APQ是锐角三角形，∴∠PAF为锐角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠PAF=∠QAF＜45°∴PF＜AF∵F为座焦点，设其坐标为（﹣c，0）所以A（a，0）所以PF=，AF=a+c∴＜a+c即c2﹣ac﹣2a2＜0解得﹣1＜＜2双曲线的离心率的范围是（1，2）故答案为：（1，2）16．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，A、B是椭圆上两点，N（3，1）是线段AB的中点．则直线AB的方程为x+y﹣4=0．【解答】解：方法一：离心率e===，∴a2=3b2，椭圆：x2+3y2=a2（a＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣3）+1，代入x2+3y2=a2，整理得（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+3（3k﹣1）2﹣a2=0．①△=4[a2（3k2+1）﹣3（3k﹣1）2]＞0，②x1+x2=，由N（3，1）是线段AB的中点，得=3．解得k=﹣1，代入②得，a2＞12，直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0．方法二：由方法一可得x2+3y2=a2（a＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵N（3，1）是线段AB的中点∴x1≠x2，x1+x2=6，y1+y2=1，∴，两式相减可得，（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即6（x1﹣x2）+6（y1﹣y2）=0，即k AB=1，直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0，故答案为：x+y﹣4=0三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a为实数，命题p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部；命题q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0．若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．【解答】解：由题意得，当p真时，（1+a）2+（1﹣a）2＜4，解得﹣1＜a＜1，当q真时，则△≤0，解得﹣2≤a≤2．若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，则p，q一真一假，从而当p真q假时，有无解；当p假q真时，有，解得﹣2≤a≤﹣1或1≤a≤2．∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]∪[1，2]．…（10分）18．（12分）设A、B是抛物线y2=8x上的两点，A与B的纵坐标之和为8．（1）求直线AB的斜率；（2）若直线AB过抛物线的焦点F，求|AB|．【解答】解：（1）根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有y12=8x1，y22=8x2，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）=8（x1﹣x2）．又y1+y2=8，则k==1，直线AB的斜率为1（2）由题可知F（2，0），则直线AB的方程为y=x﹣2，代入y2=8x消去y并整理，得x2﹣12x+4=0，有x1+x2=12，由弦长公式得|AB|=（x1+x2）+p=16．19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，渐近线方程为y=±x，且双曲线过点P（4，﹣）．（1）求双曲线的方程；（2）若点M（x1，y1）在双曲线上，求的范围．【解答】解：（1）渐近线方程为y=±x，∴a=b，设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）．∵双曲线过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6．∴双曲线的方程为x2﹣y2=6．（2）由（1）可知，a=b=，∴c=2，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），∴=（﹣2﹣x 1，﹣y1），=（2﹣x1，﹣y1），∴•=x12﹣4x1+12+y12，∵点M（x1，y1）在双曲线上，∴y12=﹣6+x12，∴•=2x12﹣4x1+6=2（x1﹣）2，∵x1≤﹣，或x1≥，∴•≥2（﹣）2=18﹣12．20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点M（，）在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程．【解答】解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），因为椭圆的左焦点为F1（﹣，0），设椭圆的右焦点为F2（，0），由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，从而b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题可设直线AB的方程为x=my+1．联立直线与椭圆的方程，，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0，则有y1+y2=，y1y2=，则S=|OP||y1﹣y2|=．又由S=，即=解得m2=1，即m=±1．故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0为所求．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点P到y 轴的距离等于|PF|﹣1．（1）求p的值；（2）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与抛物线C有两个交点A、B的任一直线，都有•＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题12分）解：（1）抛物线上的点P到y轴的距离等于|PF|﹣1，由定义抛物线可知p=2．…（3分）（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由，得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，于是…①又=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），•＜0⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0．②又x=，于是不等式②等价于，即+y1y2﹣[（y1+y2）2﹣2y1y2]+1＜0．③由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2．④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，即3﹣2＜m＜3+2．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有•＜0，且m的取值范围是（3﹣2，3+2）．…（12分）22．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F，过点B（0，﹣b）和点F的直线与原点的距离为1．（1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2+y2=a2于相异两点P、Q．若|PQ|=λ|AP|，则实数λ 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得解得a=2，b=c=∴椭圆的方程为+=1．（2）由题可设直线l：y=k（x+2），由，消去x得（k2+1）y2﹣4ky=0，所以y Q=，同理y P=．又λ===﹣1=﹣1．则λ==1﹣．∵k 2＞0，∴0＜λ＜1．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2018-2019甘肃省兰州市高二上学期期末考试数学（文）试题

2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．椭圆上一点到一个焦点的距离为4，则点到另一个焦点的距离为() A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】根据椭圆的定义可知，即可得到椭圆上一点到一个焦点的距离为4，点到另一个焦点的距离，得到答案.【详解】由椭圆的方程，可得，又由椭圆的定义可知所以椭圆上一点到一个焦点的距离为4，则点到另一个焦点的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的定义的转化是解答本题点关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.2．已知函数，，其中为实数，为的导函数.若，则的值为()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由题意，求得函数的导数，根据，即可求解.【详解】由题意，函数，，可得，又由，即，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算公式，准确求解函数的导数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案.【详解】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．若抛物线的焦点坐标是，则等于()A．4 B．C．8 D．【答案】D【解析】由抛物线的方程，可知，则，所以其焦点坐标为，列出方程即可求解.【详解】由抛物线的方程，可知，则，所以其焦点坐标为，又因为抛物线的焦点坐标为，即，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答熟记抛物线的方程的形式和简单的几何性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．是过抛物线焦点的弦，且,则线段的中点横坐标为()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】由抛物线的焦点弦的行贿，即可求的线段AB的中点的横坐标，得到答案.【详解】因为抛物线，可得，设，因为直线AB过抛物线的焦点，根据抛物线的焦点弦的性质可得，即，所以AB的中点的横坐标为，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点弦的性质，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为()A．300万元B．252万元C．200万元D．128万元【答案】C【解析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.【详解】由题意，函数，所以，当时，，函数为单调递增函数；当时，，函数为单调递减函数，所以当时，有最大值，此时最大值为200万元，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．下列命题中假命题为()A．已知函数在处导数存在，若，则的极值点为.B．“若，则或x=2”的逆否命题为“若，则”.C．若，则方程有实根.D．命题“存在，使得”的否定为“任意，都有”.【答案】A【解析】由题意，根据函数极值点的定义，逆否命题的概念，以及一元二次方程的性质和存在性命题与全称命题的关键，逐一判定，即可得到答案.【详解】对于A 中，例如，则，解得，但不是函数的极值点，所以函数在处导数存在，且，则不一定是函数的极值点，所以A 不正确；对于B中，根据逆否命题的定义可知命题“若，则”的逆否命题为“若，则”是正确的.对于C中，方程，其中时，解得，所以，则方程有实根是正确；对于D中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题“存在，使得”的否定为“任意，都有”是正确的.故选A.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到函数的极值点的定义、逆否命题的概念、一元二次方程的性质和命题的否定等知识点的考查，熟记概念与性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.8．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是() A．B．C．D．【答案】D【解析】求出函数的导数，利用导数有两个不同的零点，可得函数恰好有三个不同的单调区间，从而求解参数的取值范围，得到答案.【详解】因为函数，所以，由函数恰好有三个不同的单调区间，即有两个不同的零点，所以方程满足且，解得或，所以实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中把导数有两个不同的零点，转化为函数恰好有三个不同的单调区间，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.9．若是函数的极值点，则的极小值为() A．B．C．D．1【答案】C【解析】求出函数的导数，利用极值点，求出，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可.【详解】函数，可得，因为是函数的极值点，可得，解得，可得，令，当或时，，此时函数为单调增函数，当时，，此时函数为单调减函数，所以当时函数取得极小值，此时极小值为，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.10．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，化简得出，利用双曲线的定义，得到点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案.【详解】设动圆的圆心M的坐标为，半径为，则由题意可得，相减可得，所以点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，由题意可得，所以，故点M的轨迹方程为，故选B.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 11．椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线斜率为，则的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】把直线代入椭圆中，利用根于系数的关键，求得M的坐标，再利用斜率公式，即可求解.【详解】把直线代入椭圆中，得,设的坐标为，则有，所以点M的坐标为，所以OM的斜率为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中此类问题的解答中用直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程根与系数的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12．定义在上的函数满足：，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为()A．B．C．D．【答案】D【解析】设，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，即可求解.【详解】设g(x)＝e x f(x) (x∈R)，则(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)＝e x[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)＋f′(x)>0，所以 (x)>0，所以g(x)在定义域上单调递增，因为e x f(x)> 4，所以g(x)>4.又因为g(0)＝e0f(0)＝4，所以g(x)>g(0)，所以x>0.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.二、填空题13．有一机器人的运动方程为(是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为________.【答案】1【解析】根据题意，对进行求导，然后代入即可得到答案.【详解】由题意知，则，当时，，即该机器人在是的瞬时速度为1.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数的瞬时变化率的应用去，其中极大中正确理解瞬时变化率的概念，以及求出函数的导数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14．若函数的导函数为,则=________.【答案】【解析】由题意，求得函数导数为，即可求解的值.【详解】由题意，函数的导数为，所以.【点睛】本题主要考查了导数的运算与求值问题，其中解答中熟记导数的运算法则，准确求出函数的导数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.已知四位歌手有且只有一位说了假话，则获奖的歌手是________.【答案】乙【解析】根据乙丙；的说法是相互矛盾的，得出乙与丙说法一对一错，唉根据甲、丁的说法都准确，推出获奖的歌手是乙即可.【详解】由题意，乙与丙的说法是相互矛盾的，所以乙与丙的说法中一对一错，又甲说：“是乙或丙获奖”，是正确；丁说“是乙获奖”是正确，由此可知获奖的歌手是一，且乙说的也对.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用合情推理进行，逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16．已知是双曲线的右顶点，过左焦点与轴平行的直线交双曲线、两点，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为________.【答案】2【解析】求出各点的坐标，根据是等腰直角三角形，轴得出的关系，即可求解离心率.【详解】由题意，A是双曲线的右顶点，所以，所以，解得，所以，所以，因为是等腰直角三角形，轴，所以，所以，所以，即，所以，解得或（舍去），故选.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及离心率的求解问题，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理应用题设条件得到的关系式是求解的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.17．已知抛物线：的焦点为，抛物线与直线交于两点（为坐标原点）,且.(1)求抛物线的方程.(2)不过原点的直线与垂直，且与抛物线交于不同的两点、，若坐标原点在以线段为直径的圆上，求的面积.【答案】(1) y2＝8x；(2)24【解析】(1)由直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，代入抛物线的方程，可求得，得出抛物线的方程；(2)可设直线l2：x＝y＋m，联立方程组，利用根与系数的关系和OA⊥OB，求得m＝8，得到直线l2：x＝y＋8，和点M(8，0)，进而利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和抛物线的方程联立方程组，合理利用根与系数的关系和OA⊥OB，求得实数m的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题18．设命题：实数满足(其中)，命题：实数满足(1)若，且为真命题，求实数的取值范围.(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】(1)当a＝1时，解得1<x<4，得到当p为真时，实数x的取值范围是1<x<4.当q为真时，解得2<x≤5，进而根据p∧q为真，即可求解；(2)由是的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，即且，根据集合的运算即可求解.【详解】(1)当a＝1时，x2－5ax＋4a2<0即为x2－5x＋4<0，解得1<x<4，当p为真时，实数x的取值范围是1<x<4.当q为真时，由，知2<x≤5.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2，4).(2)是的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件.设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则且.由x2－5ax＋4a2<0得(x－4a)(x－a)<0，∵a>0，∴A＝{x|a<x<4a}，又B＝{x|2<x≤5}，则a≤2且4a>5，解得<a≤2.∴实数a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了集合与简易逻辑的应用，其中解答中正确求解命题，再根据复合命题的关系和必要不充分条件的运算求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.19．已知函数.(1) 设，求曲线在点处的切线方程.(2)设，若函数有三个不同零点，求实数的取值范围.【答案】(1) y＝x＋1；(2)【解析】（1）求得函数的导数，得到，根据导数的几何意义，即可求解切线的方程；（2）利用导数求得函数的单调性和极值，再根据函数由三个不同的零点，列出相应的关系式，即可求解.【详解】(1)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋1.∵f(0)＝1，f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝.当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：x(－∞，－2)－2f′(x)＋0－0＋f(x)c∴当c>0且<0时，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c∈时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性与极值的应用，其中解答中熟记导数的几何意义求解在某点处的切线方程的方法，以及合理利用导数判定函数的单调性和求解函数的极值是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20．已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程.(2)过点的直线交椭圆于两个不同的点、，，求直线的方程．【答案】(1) (2) x＋y－1＝0或x－y－1＝0【解析】(1)由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，求得，进而求得，即可得到椭圆的方程；(2)由题可设直线AB的方程为x＝my＋1，与椭圆的方程联立方程组，利用弦长公式得到关于m的方程，求得m的值，即可得到所求直线的方程.【详解】(1)设椭圆C的方程为，因为椭圆的左焦点为F1(－，0)，设椭圆的右焦点为F2(，0),由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，从而b=1，所以椭圆C的方程为．(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可设直线AB的方程为x＝my＋1．由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，所以，则，化简得解得m2＝1或（舍），故m＝±1．故直线AB的方程为x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和椭圆的方程联立方程组，合理利用弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．已知为函数的导函数，且的两个零点为-3和0.(1)求的单调区间.(2)若的极小值为，当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) 单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)；(2)【解析】（1）由题意，求得函数的导数 )，令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，根据－3和0是y＝g(x)的零点，进而可求解函数的单调区间；(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，列出方程组，求得的值，进而求得函数的单调区间和最值，进而可求解实数k的值.【详解】解:(1)f′(x)＝，令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，由于e x>0.令f′(x)＝0，则g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c＝0，∴－3和0是y＝g(x)的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同.又因为a>0，所以－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.因为f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，又f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.，即所求范围为【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求解函数的最值，以及利用导数解决函数不等式恒成立问题，其中对于恒成立问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.。

甘肃省兰州市第四中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精编含解析)

2017-2018学年甘肃省兰州四中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若平面α∥β，直线a ⊂平面α，点B ∈平面β，则在平面β内过点B 的所有直线中（）A. 不一定存在与a 平行的直线B. 一定不存在与a 平行的直线..C. 存在无数条与a 平行的直线 D. 存在唯一一条与a 平行的直线..2.已知全集U =Z ，A ={-2，-1，0，1，2}，B ={x |x 2+2x =0}，则A ∩C U B =（）A. B. C. 1， D. 0，{‒2,0}{2,0}{‒1,2}{‒2,2}3.圆（x +2）2+y 2=4与圆（x -2）2+（y -1）2=9的位置关系为（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离4.已知函数f （x ）=-log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（）6x A. B. C. D. (0,1)(1,2)(2,4)(4,+∞)5.若三点共线则m 的值为（）A(‒2，3)，B(3，‒2)，C(12，m)A.B. C. D. 212‒12‒26.直线l 1：kx -y -3=0和l 2：x +（2k +3）y -2=0互相垂直，则k =（）A. B. C. 或 D. 或1‒3‒2‒12‒1127.设f （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f （-2），f （3），f （-π）的大小顺序是（）A. B. f(‒π)>f(3)>f(‒2)f(‒π)>f(‒2)>f(3)C. D. f(‒2)>f(3)>f(‒π)f(3)>f(‒2)>f(‒π)8.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A.203B.163C. 8‒π6D. 8‒π39.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘10.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为S 正，S 柱，S 球，则（）A. B. C. D. S 正<S 球<S 柱S 正<S 柱<S 球S 球<S 柱<S 正S 球<S 正<S 柱11.设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x +2x +b （b 为常数），则f （-1）=（）A. B. C. 1 D. 3‒3‒112.若f （x ）是定义在R 上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f （2）=0，则使得f （log 2x ）＜0的x 的取值范围是（）A. B. C. D. (0,4)(4,+∞)(0,14)∪(4,+∞)(14,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（log 43+log 83）（log 32+log 98）=______．14.已知点P （1，2，3），Q （-3，5，2）它们在面xOy 内的投影分别是P ′，Q ′，则|P ′Q ′|=______．15.斜率为2，在y 轴上的截距为m 的直线方程为______，若此直线经过点（1，1），则m =______．16.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为12π，则这个正四棱柱的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程．(1)过定点A (-3，4)；(2)与直线垂直．6x +y ‒3=018.已知二次函数f （x ）满足条件f （0）=1，及f （x +1）-f （x ）=2x ．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[-1，1]时，求f （x ）的值域．19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAB 为等边三角形，O 为AB 的中点，PO 丄AC ．（1）求证：平面PAB 丄平面ABCD ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角的余弦值．20.已知圆C ：x 2+y 2-4x -6y +12=0的圆心在点C ，点A （3，5），求：（1）过点A 的圆的切线方程；（2）O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S ．21.若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足．f(x y )=f(x)‒f(y)（1）求f （1）的值；（2）若f （6）=1，解不等式．f(x +3)‒f(13)＜222.如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且PA =AD（1）求证：MN ∥平面PAD（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由平面α∥β，直线a⊂平面α，点B∈平面β，知：B点与a确定唯一的一个平面γ与β相交，设交线为b，由面面平行的性质定理知a∥b．∴在平面β内过点B的所有直线中存在唯一一条与a平行的直线．故选：D．B点与a确定唯一的一个平面γ与β相交，设交线为b，由面面平行的性质定理知a∥b，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．2.【答案】C【解析】解：∵B={x|x2+2x=0}={x|x（x+2）=0}={-2，0}又∵A∩C U B中的元素属于A不属于B　∴A∩C U B={-1，1，2}故选C．先解方程求出集合B，再利用A∩C U B中的元素属于A不属于B即可求出答案．本题考查交、并、补集的混合运算以及一元二次方程的求解问题，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（-2，0），半径r=2．圆（x-2）2+（y-1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R-r=1，R+r＞d＞R-r，所以两圆相交，故选：B．求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4.【答案】C【解析】解：∵f（x）=-log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=-＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．可得f（2）=2＞0，f（4）=-＜0，由零点的判定定理可得．本题考查还是零点的判断，属基础题．5.【答案】A【解析】解：，∵三点共线∴共线∴5（m-3）=-解得m=故选：A．利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，据三点共线得两个向量共线，利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程求出m本题考查向量的坐标的求法、两个向量共线的充要条件．6.【答案】A【解析】【分析】根据直线l1：kx-y-3=0和l2：x+（2k+3）y-2=0互相垂直，利用两条直线互相垂直的条件，建立方程，即可求得结论．本题考查两条直线垂直的条件，考查计算能力，属于基础题．【解答】解：∵直线l1：kx-y-3=0和l2：x+（2k+3）y-2=0互相垂直，∴k-（2k+3）=0，∴k=-3.故选A．7.【答案】A【解析】解：由已知f（x）是R上的偶函数，所以有f（-2）=f（2），f（-π）=f（π），又由在[0，+∞]上单调增，且2＜3＜π，所以有f（2）＜f（3）＜f（π），所以f（-2）＜f（3）＜f（-π），故答案为：f（-π）＞f（3）＞（-2）．故选：A．利用函数的单调性比较函数值的大小，需要在同一个单调区间上比较，利用偶函数的性质，f（-2）=f（2），f（-π）=f（π）转化到同一个单调区间上，再借助于单调性求解即可比较出大小．本题考查函数的奇偶性与函数的单调性，以及它们的综合应用，函数值的大小比较，要利用单调性，统一在某个单调区间上比较大小．8.【答案】A【解析】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23-×22×1=．故选：A．由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．9.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），M（0，1，0），D（0，0，0），N（0，2，1），=（-2，1，-2），=（0，2，1），设异面直线A1M与DN所成角为θ，则cosθ==0，∴θ=90°．∴异面直线A1M与DN所成角的大小为90°．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1M与DN所成角的大小．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积、表面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．利用正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积、表面积公式，即可得出结论．【解答】解：正方体的棱长为a，体积V=a3，S正=6a2=6等边圆柱（轴截面是正方形）的高为2h，体积V=π•h2•2h=2πh3，S柱=6πh2=3球的半径为R，体积V=，S球=4πR2=∴S球＜S柱＜S正，故选C．11.【答案】A【解析】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=-1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x-1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（-1）=-f（1）=-（21+2×1-1）=-3，故选：A．首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（-x）=-f（x）求f（-1）的值．本题考查奇函数的定义f（-x）=-f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查偶函数的图象特征及对数不等式的求解，在解决函数性质问题时要善于使用数形结合的思想.偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出内的范围，再根据对称性写出解集，最后根据对数的单调性求出不等式的解集.【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，在上是减函数，函数在上是增函数，又，则不等式等价于，所以|，则所以.故选D.13.【答案】25 12【解析】解：原式=（）（）=（）（）=•=．故答案为　由换底公式我们可将原式转化为以一个以10为底的对数，再利用对数运算性质log（an）Nm=logaN，易求结果．本题考查的知识点是对数的运算性质，换底公式，熟练掌握对数的运算性质及换底公式及其推论是解答对数化简求值类问题的关键．14.【答案】5【解析】解：∵点P（1，2，3），Q（-3，5，2）它们在面xOy内的投影分别是P′，Q′，∴P′（1，2，0），Q′（-3，5，0），|P′Q′|==5．故答案为：5．先求出P′（1，2，0），Q′（-3，5，0），由此能求出|P′Q′|．本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．15.【答案】y =2x +m ；-1【解析】解：斜率为2，在y 轴上的截距为m 的直线方程为：y=2x+m ，∵此直线经过点（1，1），代入可得：1=2+m ，解得m=-1．故答案为：y=2x+m ，-1．利用斜截式可得直线方程，把此直线经过点（1，1），代入可得m ．本题考查了斜截式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】8【解析】【分析】由球的表面积求出球的直径，根据正四棱柱的对角线长等于球的直径，求正四棱柱的底面边长，再求其体积．本题考查四棱柱的体积，球的表面积计算公式，考查学生的空间想象能力，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径．【解答】解：由球的表面积为12π，得4πR 2=12π⇒R=，设正四棱柱底面正方形边长为a∵正四棱柱的对角线长等于球的直径，即：2R=，∴=，得a=2，∴正四棱柱的体积为V=a 2×2=8．故答案是8．17.【答案】解：（1）由条件可知直线l 斜率一定存在∵直线l 过点A （-3，4），∴可设直线l 方程为y =k （x +3）+4，（k ≠0），l 在坐标轴上截距分别为--3，3k +4，4k ∴S =|--3||3k +4|=3，124k即9k 2+30k +16=0或9k 2+18k +16=0，得k =-或k =-，2383∴直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0．（2）∵l 与直线6x +y -3=0垂直，∴直线l 的斜率k =，16∵可设l 的方程为y =x +b ，16∴l 在坐标轴上的截距分别为-6b ，b ，∴×|-6b ||b |=3，12即b 2=1，∴b =±1，∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0．【解析】（1）设出直线的点斜式方程，求出直线的截距，结合三角形的面积公式进行求解即可．（2）求出直线方程，结合三角形的面积公式进行求解即可．本题主要考查三角形面积公式的应用，求出直线的方程，利用三角形的面积与截距之间的关系建立方程是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，（a ≠0），则f （x +1）-f （x ）=a （x +1）2+b （x +1）+c -（ax 2+bx +c ）=2ax +a +b ，∴由题意c =1，2ax +a +b =2x 恒成立，∴，得a =1，b =-1，c =1，{2a =2a ＋b =0c =1∴f （x ）=x 2-x +1；（2）在单调递减，在单调递增，f(x)=x 2‒x +1=(x ‒12)2+34[‒1，12][12，1]∴，f （x ）max =f （-1）=3，f(x )min =f(12)=34∴所求值域为.[34，3]【解析】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的简单性质的应用，考查计算能力.（1）设出二次函数的解析式，利用已知条件列出方程，求出a ，b ，c 即可得到解析式.（2）利用二次函数的简单性质转化求解即可.19.【答案】解：（1）证明：∵△PAB 为等边三角形，O 为AB 中点，∴PO ⊥AB ．又PO ⊥AC ，∴PO ⊥平面ABCD ．又PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）解：∵PO ⊥平面ABCD ．∴∠PCO 为直线PC 与平面ABCD 所成的角．设底面正方形边长为2，则PO =，CO =∴PC =，cos ∠PCO =35PO 2+CO 2=22CO PC =522=104∴PC 与平面ABCD 所成角的余弦值为．104【解析】（1）要证明平面PAB ⊥平面ABCD ，根据面面垂直的判定定理，关键是要在一个平面里找到一条直线与另外一个平面垂直，观察发现△PAB 底边AB 上的中线满足要求，添加辅助线后，证明线面垂直即可得到结论．（2）由（1）的结论，我们易得∠PCO 即为所求，构造三角形，解三角形即可得到答案．本小题主要考查空间面面关系的垂直关系的判断、线面角的求解，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、属于中档题．20.【答案】解：（1）⊙C ：（x -2）2+（y -3）2=1．当切线的斜率不存在时，对直线x =3，C （2，3）到直线的距离为1，满足条件；当k 存在时，设直线y -5=k （x -3），即y =kx +5-3k ，∴，得．|‒k +2|k 2+1=1k =34∴得直线方程x =3或．y =34x +114（2），l ：5x -3y =0，，．|AO|=9+25=34d =134S =12d|AO|=12【解析】（1）切线的斜率不存在时x=3验证即可，当切线的斜率存在时，设为k ，写出切线方程，圆心到切线的距离等于半径，解出k 求出切线方程．（2）先求OA 的长度，再求直线AO 的方程，再求C 到OA 的距离，然后求出三角形AOC 的面积．本题考查圆的切线方程，点到直线的距离公式，是基础题．21.【答案】解：（1）在f （）=f （x ）-f （y ）中，f （x ）定义在（0，+∞），x y 令x =y =1，则有f （1）=f （1）-f （1），∴f （1）=0．（2）∵f （6）=1，∴f （x +3）-f （）＜2=f （6）+f （6），13∴f （3x +9）-f （6）＜f （6），即f （）＜f （6）．x +32∵f （x ）是（0，+∞）上的增函数，∴{x +32＞0x +32＜6解得-3＜x ＜9．即不等式的解集为（-3，9）【解析】（1）根据定义域，采用赋值法，令x=y=1带入关系式可得f （1）的值；（2）根据f （6）=1，那么2=f （6）+f （6），带入不等式，利用题干的关系式进行计算即可．本题考查了抽象函数的性质的应用及不等式的求解，属于中档题．22.【答案】解：（1）设PD 的中点为点E ，连接AE ，NE ，由点N 为PC 的中点知EN ∥DC ，EN =DC ，1212又ABCD 是矩形，所以DC ∥AB ，DC =AB ，所以EN ∥AB ，EN =AB ，1212又点M 是AB 的中点，所以EN ∥AM ，EN =AM ，所以AMNE 是平行四边形，所以MN ∥AE ，而AE ⊂平面PAD ，NM ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD ．（6分）（2）因为PA =AD ，所以AE ⊥PD ，又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥PA ，而CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥AE ，因为PD ∩CD =D ，所以AE ⊥平面PCD ，因为MN ∥AE ，所以MN ⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，所以平面PMC⊥平面PCD．（12分）【解析】（1）设PD的中点为点E，连接AE，NE，可得AMNE是平行四边形，即可得MN∥平面PAD （2）由AE⊥PD，CD⊥AE，得AE⊥平面PCD，结合MN∥AE，可得MN⊥平面PCD，即可证得平面PMC⊥平面PCD本题考查了空间线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．。

甘肃省兰州新区高二数学上学期期末试卷文(含解析)

2016-2017学年甘肃省兰州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）每小题中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填在正确的位置.1．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1交于A，B，则“k=1”是“△ABC的面积为”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假3．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x0＞0，使得（x0+1）e≤1 D．∀x0≤0，使得（x0+1）e≤14．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．75．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．4 D．46．已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：37．若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A ．f （﹣）=f （）B ．f （﹣）＞f （）C ．f （﹣）＜f （）D ．不确定9．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A ．若α≠，则tan α≠1B ．若α=，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠D ．若tan α≠1，则α=10．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A ．B ．C ．D ．11．给出下列命题：①若原命题为真，则这个命题的否命题，逆命题，逆否命题中至少有一个为真； ②若p 是q 成立的充分条件，则q 是p 成立的必要条件； ③若p 是q 的充要条件，则可记为p ⇔q ； ④命题“若p 则q”的否命题是“若p 则￢q”．其中是真命题的是（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．②④ 12．函数f （x ）=xe ﹣x，x ∈[0，4]的最大值是（）A ．0B ．C ．D ．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分.）请将正确的答案填在横线上． 13．设a ，b ∈R ，则“a +b ＞4”是“a＞2且b ＞2”的． 14．p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2≤0的否定是．15．设函数f （x ）在（0，+∞）内可导，且f （e x）=x+e x，则f′（1）= ．16．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为．三、解答题（本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17．求双曲线9y 2﹣16x 2=144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程． 18．已知双曲线两个焦点坐标分别是F 1（﹣5，0），F 2（5，0），双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．19．已知点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为．20．已知集合A=，p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求m的取值范围．21．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|= ．22．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．23．已知函数f（x）=e x，求f（x）的单调区间．24．已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x．2016-2017学年甘肃省兰州市舟曲中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）每小题中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填在正确的位置.1．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1交于A，B，则“k=1”是“△ABC的面积为”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】k=1时，圆心O到直线l的距离d=，|AB|=2，可得S△ABC=d|AB|．反之不成立，例如取k=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：k=1时，圆心O到直线l的距离d=，|AB|=2=．∴S△ABC=d|AB|==．反之不成立，例如取k=﹣1．∴“k=1”是“△ABC的面积为”的充分不必要条件．故选：B．2．原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假【考点】四种命题；四种命题间的逆否关系．【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假．【解答】解：∵＜a n=⇔a n+1＜a n，n∈N+，∴{a n}为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若≥a n，n∈N+，则{a n}不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题．故选：A．3．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x0＞0，使得（x0+1）e≤1 D．∀x0≤0，使得（x0+1）e≤1【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为：∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1．故选：B．4．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．5．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．4 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C6．已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C7．若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=xsinx+1在点处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据两直线垂直的条件列方程求解a．【解答】解：f'（x）=sinx+xcosx，，即函数f（x）=xsinx+1在点处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1=0的斜率是，所以，解得a=2．故选D．8．若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f （﹣）=f（） B．f （﹣）＞f（）C．f （﹣）＜f（）D．不确定【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用已知条件，求出函数的导数，推出f′（），得到函数的表达式，然后比较f（﹣）与f（）的大小．【解答】解：函数f（x）=cosx+2xf′（），所以函数f′（x）=﹣sinx+2f′（），所以f′（）=﹣sin+2f′（）=，f（x）=cosx+x，则f （﹣）=cos ﹣；f （）=cos +，所以f （﹣）＜f （）．故选C ．9．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A ．若α≠，则tan α≠1B ．若α=，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠D ．若tan α≠1，则α=【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】原命题为：若a ，则b ．逆否命题为：若非b ，则非a ．【解答】解：命题：“若α=，则tan α=1”的逆否命题为：若tan α≠1，则α≠．故选C ．10．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x 轴上，由焦点坐标得到c ，再由离心率求出a ，由b 2=a 2﹣c 2求出b 2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C 的右焦点为F （1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b 2=a 2﹣c 2=3．所以椭圆的方程为．故选D ．11．给出下列命题：①若原命题为真，则这个命题的否命题，逆命题，逆否命题中至少有一个为真；②若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件；③若p是q的充要条件，则可记为p⇔q；④命题“若p则q”的否命题是“若p则￢q”．其中是真命题的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，原命题与其逆否命题同真假，；②，若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件；③，若p是q的充要条件，则可记为p⇔q；④，命题“若p则q”的否命题是“若￢p则￢q”，．【解答】解：对于①，原命题与其逆否命题同真假，故正确；对于②，若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件，正确；对于③，若p是q的充要条件，则可记为p⇔q，正确；对于④，命题“若p则q”的否命题是“若￢p则￢q”，故错．故选：A12．函数f（x）=xe﹣x，x∈[0，4]的最大值是（）A．0 B．C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数判断函数的单调性即可得出结论．【解答】解：f（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x），∴当0≤x≤1时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，当1≤x≤4时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，∴当x=1时，f（x）max=f（1）=．故选B．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分.）请将正确的答案填在横线上．13．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件．14．p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0的否定是∀x∈R，x2+2x+2＞0 ．【考点】命题的否定．【分析】特称命题：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即∀x∈R，x2+2x+2≥0”．【解答】解：特称命题：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是全称命题：∀x∈R，x2+2x+2＞0故答案为：∀x∈R，x2+2x+2＞0．15．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）= 2 ．【考点】导数的运算；函数的值．【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．16．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为=1 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为=1，（a＞b＞0），根据题目条件得出a2﹣b2=1，①，=1，②由①②联合求解即可．【解答】解：设椭圆的方程为=1，（a＞b＞0）∵可得c==1，∴a2﹣b2=1，①AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3，A（1，），（1，﹣），代入方程得出：=1，②联合①②得出a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：=1，故答案为：=1三、解答题（本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．求双曲线9y2﹣16x2=144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．【考点】双曲线的标准方程．【分析】把双曲线9y2﹣16x2=144方程化为，由此利用双曲线的性质能求出结果．【解答】解：把双曲线9y2﹣16x2=144方程化为由此可知实半轴长a=4，虚半轴长b=3，，焦点坐标（0，﹣5），（0，5），离心率，渐近线方程为．18．已知双曲线两个焦点坐标分别是F1（﹣5，0），F2（5，0），双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】设出双曲线方程，利用已知条件求出a，c，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为，因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5，又因为b2=c2﹣a2所以b2=52﹣32=16，双曲线的标准方程为．19．已知点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设出点M的坐标，表示出直线AM、BM的斜率，进而求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），因为A（﹣5，0），B（5，0）所以k AM=（x≠﹣5），k BM=（x≠5）由已知，•=﹣化简，得4x2+9y2=100（x≠±5）即．故答案为：．20．已知集合A=，p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据二次函数的性质求出A的范围，化简集合B，根据A⊆B，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：化简集合，配方，得．因为，∴，化简集合B，由x+m2≥1，得x≥1﹣m2，B={x|x≥1﹣m2}，因为命p题是命题q的充分条件，∴解得或，故实数的取值范围是．21．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，代入抛物线过焦点的弦长公式得答案．【解答】解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（，0），∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），联立，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|=．故答案为：12．22．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程x﹣y ﹣4=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到f′（2），再求得f（2）的值，代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，得f′（x）=3x2﹣8x+5，∴f′（2）=1，又f（2）=﹣2．∴曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y+2=1（x﹣2），即x﹣y﹣4=0．故答案为：x﹣y﹣4=0．23．已知函数f（x）=e x，求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得到f′（x）＜0，从而判断出函数的单调性．【解答】解：f′（x）=（）′e x+（）e x=e x=﹣e x＜0，∴函数f（x）在R上单调递减．24．已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值及函数f（x）的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求函数的导数，研究是的单调性和极值即可证明当x＞0时，x2＜e x．【解答】解：（1）因为f（x）=e x﹣ax，所以f（0）=1，即A（0，1），由f（x）=e x﹣ax，得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，得a=2．所以f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．令f′（x）=0，得x=ln2．当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=ln2时，f（x）取得极小值，且极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x．由（1）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x．。

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2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣107．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．48．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是．14．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为．16．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．19．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．21．（12分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．①求点M的轨迹C的方程；②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，∴a n==，∴=2=，∴n=26，故2是这个数列的第26项，故选：C．2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解答】解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，由⇒A（3，﹣3），由图得当z=x﹣y过点A（3，﹣3）时，Z最大为6．故所求z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，6]故选：D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．【解答】解：方法一：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、B、D，故选C．方法二：∵a＜b＜0∴a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）＞0即a2＞b2，故选项A不正确；∵a＜b＜0∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0即a2＞ab，故选项B不正确；∵a＜b＜0∴﹣1=＜0即＜1，故选项C正确；∵a＜b＜0∴＞0即，故选项D不正确；故选C6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14故选：B7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其中p=，则抛物线的焦点到准线的距离p=，故选：C．8．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若与共线，则1×2﹣m（m﹣1）=0，即m2﹣m﹣2=0，得m=2或m=﹣1，则“m=2”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，∴，当且仅当x=y=时取等号．故选：D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a．∴．故选：A．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2] ．【解答】解：当x＞2时，不等式恒成立，即求解x+的最小值，x+=x﹣2++2=2+2，当且仅当x=2+时，等号成立．所以a的取值范围是：（﹣∞，2+2]．故答案为：（﹣∞，2+2]．14．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．【解答】解：由y=x3﹣2x+1，得y′=3x2﹣2．∴y′|x=1=1．∴曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1）．即x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为或．【解答】解：∵，∴cosB×tanB=sinB=∴B=或故选B．16．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，则a=5，由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又由|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8，故答案为：8．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知得解得…（4分）∴a n=3+（n﹣1）×1，即a n=n+2…（6分）（2）由（1）知，b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210=…（10分）=2046…（12分）18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，∴b=；（2）∵cosB=，∴sinB==由正弦定理=，即=，解得sinC=19．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，又y=x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a=1，∴a的取值范围是{a|a≤﹣2或a=1}．20．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）由y=f（x）的图象经过点P（0，2），知d=2，∴f（x）=x3+bx2+cx+2，f'（x）=3x2+2bx﹣c．由在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0，知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，即f（﹣1）=1，又f'（﹣1）=6．解得b=c=﹣3．故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令f'（x）＞0，得或；令f'（x）＜0，得．故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2的单调递增区间为和，单调递减区间为．21．（12分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．①求点M的轨迹C的方程；②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．【解答】解：①由题意动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为，得=，化简并整理，得+=1．所以动点M（x，y）的轨迹C的方程为椭圆+=1．②设P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），∴3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减可得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵x1+x2=﹣2，y1+y2=2，∴﹣6（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==，∴直线PQ的方程为y﹣1=（x+1），即为3x﹣4y+7=0．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y=k（x﹣1）=kx﹣k或者x=1①x=1时，代入椭圆，y=±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1=，k2=，∴k1+k2=2．②y=kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）=0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=，y1+y2=﹣2k=，y1y2=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=﹣，k1=，k2=，∴k1+k2==2．。