高中数学_3.1不等关系和不等式课件(第二课时)_新人教A版必修5
高中数学 3.1不等关系和不等式课件(第二课时) 新人教A版必修5
思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1· a2„an＞b1· b2„bn吗？ ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
Þ
a1· a2„an＞b1· b2„bn
思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关 系确定吗？ a＞b，n为正奇数
Þ
a n＞b n
思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b ＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大 小关系确定吗？
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：有一个不争的事实：若甲的身材 比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然. 从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这 个不等式性质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：又有一个不争的事实：若甲的 身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲 的身材比丙高，这里反映出的不等式性 质如何用数学符号语言表述？
作业：
P75习题3.1A组：2，3. B组：2.
a ＞b ，c ＜d
Þ a －c ＞b －d
1 1 思考6： 若a＞b，ab＞0，那么 a 与 b
的大小关系如何？
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知 0 a b
，x ＞y ＞0 ，
x y 求证： . xa y b
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式 中成立吗？ a ＋b ＞c a ＞c －b
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的 大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) Þ a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn
人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系
推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点， 且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对
人教版高中数学必修五 第三章3.1第2课时不等式的性质与应用
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用A 级 基础巩固一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x ＜a 等价于( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a ；(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a .答案：D2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1答案：C3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()A．[－7，26] B．[－1，20]C．[4，15] D．[1，15]答案：B4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()A．a3＜b3B．a2＜b2C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.答案：A5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()A．x＞a B．x＜aC．x≥a D．0≤x≤a解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.答案：A二、填空题6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是________． 答案：②④7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π3，则α－β的取值范围是________．答案：(－56π，0)8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．答案：y ＜－y ＜x 三、解答题9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与ab －d 的大小．解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0， 所以0＜1a －c ＜1b －d，又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜ab －d.10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2log a 1－x 1＋x.因为0＜1－x 2＜1，0＜1－x1＋x＜1，所以log a (1－x 2)log a 1－x1＋x＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝ －log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x ＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1， 所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2， 所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1， 所以log a (1－x 2)＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.B 级 能力提升1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；⑤a ＞b ，1a ＞1b ⇒a ＞0，b ＜0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．答案：(0，6)3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，所以⎩⎨⎧a ＝f （2）－f （1）3，c ＝4f （1）－f （2）3，而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）3＝8f （2）－5f （1）3，因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4， 所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32， 所以－10≤－5f (1)≤－5， 所以14≤8f (2)－5f (1)≤27， 所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，即143≤f (3)≤9.。
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
高中数学 3.1不等关系与不等式(第2课时)课件 新人教A版必修5
所以 b＋c＞b＋d. ② 由①、②得，a＋c＞b＋d．
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6
（6）如果 a b 0, c d 0，那么 ac bd ；
（6）
a c
b,c d,b
0 0
ac bc
bc bd
ac
bd
；
（7）如果 a b 0 ，那么 an bn , (n N, n 2) ；
3.1 不等关系与不等式（题 1：等式的性质有哪些？请大家用符号表示出来.
①对称性： a b b a ； ②传递性 a b,b c a c ； ③加法法则： a b a c b c ； ④乘法法则： a b, c 0 ac bc .
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∴n a n b ．
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8
例题 1.已知 a b 0, c 0 ，求证： c c . ab
证明：因为 a b 0 ，所以 ab 0, 1 0 . ab
于是 a 1 b 1 ，即 ab ab 11. ab
由 c 0 ，得
cc. ab
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9
问题 7：请大家思考还有其它证明方法吗？ 请大家尝试一下.
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3
问题 3：上面得到的结论是否正确，需要我们给出证明.因为证明的不等式，是描述两个数之 间的大小关系，可以用什么方法比较呢？ 可以用作差法比较
其原理是什么呢？
ab0a b； ab0a b； a b 0 a b.
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4
问题 4：请大家用作差法证明性质（4）.
证明：因为 a b, c 0 ，
2
问题 2：根据等式的这些性质，你能猜想不等式的类似性质吗？ 请大家加以探究.
（1）如果 a b ，那么 b a ；如果 b a ，那么 a b .即 ab ba.
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
人教A版高中数学必修五课件3.1.1不等关系与比较大小
又因为a≠2,所以(a-2)2>0,
而(b+1)2≥0,所以(a-2)2+(b+1)2>0,所以M>-5.故选A.
4.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水
就变甜了,试根据这个事Biblioteka 提炼一个不等式___________.
【解析】由题意 a 的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖
【例】已知a＞0,b＞0且a≠b,试比较aabb与abba的大小.
【审题指导】因为a＞0,b＞0,而且都是以幂的形式给出，
故可考虑利用作商法比较大小.
【规范解答】
aabb abba
aabbba
（ a ）ab , b
①当a＞b＞0时，a ＞1，a-b＞0,∴（ a ）ab＞1;
b
b
②当0＜a＜b时，
2.已知0<a< 1，且M= 1 1 , N= a b , 则M，N的大小
b
1a 1 b 1a 1 b
关系是( )
(A)M>N
(B)M<N
(C)M=N
(D)不能确定
【解析】选A.∵0<a< 1，∴1+a>0,1+b>0,1-ab>0,∴M-N=
b
1 1
a a
1 1
b b
方法二:由于|loga(1-x)|＞0，|loga(1+x)|＞0.
∴ loga 1 x =|log(1+x)(1-x)|
| loga (1 x) |
=-log(1+x)(1-x)=log(1+x) 1 .
1 x
高中数学新人教A版必修5第三章 3.1 不等关系与不等式
不等关系与不等式预习课本P72～74，思考并完成以下问题 (1)如何用不等式(组)来表示不等关系？(2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法？(3)不等式的性质有哪几条？[新知初探]1．不等式的概念我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．2．比较两个实数a ，b 大小的依据3.不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ； 推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ； 推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ；(5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)．[点睛] (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2( )(2)若a <b 或a ＝b 之中有一个正确，则a ≤b 正确( ) (3)若a >b ，则ac >bc 一定成立( ) (4)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d ( )解析：(1)正确．不等式x ≥2表示x >2或x ＝2，即x 不小于2，故此说法是正确的． (2)正确．不等式a ≤b 表示a <b 或a ＝b .故若a <b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由a >b ，则ac >bc 不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取a ＝4，c ＝5，b ＝6，d ＝2，满足a ＋c >b ＋d ，但不满足a >b ，故此说法错误．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b解析：选C 法一：∵A 、B 、C 、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令a ＝2，b ＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2， 即a >－b >b >－a .法二：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a <b <0， ∴a >－b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .3．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解析：选C 因为a <b ，故b －a >0， 所以1a 2b －1ab 2＝b －a a 2b 2>0，故1a 2b >1ab 2. 4．当m >1时，m 3与m 2－m ＋1的大小关系为________． 解析：∵m 3－(m 2－m ＋1)＝m 3－m 2＋m －1＝m 2(m －1)＋(m －1) ＝(m －1)(m 2＋1)．又∵m >1，故(m －1)(m 2＋1)>0. 答案：m 3>m 2－m ＋ 1用不等式(组)表示不等关系[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h 的情况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：家电名称 空调 彩电 冰箱 工时(h)121314若每周生产空调x [解] 由题意，知x ≥0，y ≥0，每周生产冰箱(120－x －y )台．因为每周所用工时不超过40 h ，所以12x ＋13y ＋14(120－x －y )≤40，即3x ＋y ≤120；又每周至少生产冰箱20台， 所以120－x －y ≥20，即x ＋y ≤100. 所以满足题意的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤120，x ＋y ≤100，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.1．将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示．2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．[活学活用]1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000. 答案：4.5t <28 0002．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程将超过2 200 km ，用不等式表示为________．解析：因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，所以汽车每天行驶的路程为(x ＋19)km ，则在8天内它的行程为8(x ＋19)km ，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km ”可以用不等式8(x ＋19)>2 200来表示．答案：8(x ＋19)>2 200不等式的性质[典例] (1)已知b <2a,3d <c ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．2a －c >b －3d B ．2ac >3bd C ．2a ＋c >b ＋3dD ．2a ＋3d >b ＋c(2)下列说法不正确的是( ) A ．若a ∈R ，则(a 2＋2a －1)3>(a －2)3 B ．若a ∈R ，则(a －1)4>(a －2)4 C ．若0<a <b ，则⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13bD ．若0<a <b ，则a 3<b 3[解析] (1)由于b <2a,3d <c ，则由不等式的性质得b ＋3d <2a ＋c ，故选C.(2)对于A ，因为(a 2＋2a －1)－(a －2)＝a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0，所以a 2＋2a －1>a －2，则(a 2＋2a －1)3>(a －2)3，故A 选项说法正确；对于B ，当a ＝1时，(a －1)4＝0，(a －2)4＝1，所以(a －1)4>(a －2)4不成立；对于C 和D ，因为0<a <b ，所以由指数函数与幂函数的性质知C 、D 选项说法正确，故选B.[答案] (1)C (2)B1．利用不等式判断正误的2种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[活学活用]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >acD ．a |b |>|b |c解析：选C 因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，所以ab >ac . 2．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e (a －c )2>e(b －d )2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又a >b >0，∴a －c >b －d >0，则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.数式的大小比较[典例] (1)已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小； (2)已知a >0，试比较a 与1a 的大小． [解] (1)(x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1) ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34.∵x <1，∴x －1<0.又⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0. ∴x 3－1<2x 2－2x .(2)因为a －1a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)a， 因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1a ；当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，有a ＝1a ； 当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，有a <1a .综上，当a >1时，a >1a ； 当a ＝1时，a ＝1a ； 当0<a <1时，a <1a .1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．作商法比较大小的步骤及适用范围 (1)作商法比较大小的三个步骤． ①作商变形； ②与1比较大小； ③得出结论．(2)作商法比较大小的适用范围． ①要比较的两个数同号；②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法． [活学活用]若m >2，比较m m 与2m 的大小．解：因为m m 2m ＝⎝⎛⎭⎫m 2m ，又因为m >2，所以m 2>1，所以⎝⎛⎭⎫m 2m >⎝⎛⎭⎫m 20＝1，所以m m >2m.用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a ＜4,2＜b ＜8，试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围． [解] ∵1＜a ＜4,2＜b ＜8，∴2＜2a ＜8,6＜3b ＜24. ∴8＜2a ＋3b ＜32.∵2＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－2.又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b )＜4＋(－2)， 即－7＜a －b ＜2.故2a ＋3b 的取值范围是(8,32)，a －b 的取值范围是(－7,2)．同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.1．在本例条件下，求ab 的取值范围． 解：∵2＜b ＜8，∴18＜1b ＜12，而1＜a ＜4，∴1×18＜a ·1b ＜4×12，即18＜a b ＜2.故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫18，2.不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．2．已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，求ab 的取值范围． 解：∵－6＜a ＜8,2＜b ＜3. ∴13＜1b ＜12， ①当0≤a ＜8时，0≤ab ＜4；②当－6＜a ＜0时，－3＜ab ＜0. 由①②得：－3＜ab ＜4.故ab的取值范围为(－3,4)． 利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数． 3．已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围．解：设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b ，解得λ1＝53，λ2＝－23.又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23，所以－113≤a ＋3b ≤1.故a ＋3b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－113，1.层级一 学业水平达标1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400解析：选B x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400. 2．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0， 又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.3．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C.()0，πD.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.5．已知M ＝2x ＋1，N ＝11＋x 2，则M ，N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不确定解析：选A ∵2x >0，∴M ＝2x ＋1>1，而x 2＋1≥1， ∴11＋x 2≤1，∴M >N ，故选A. 6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．解析：根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >213.答案：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >2137．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4] ＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0， 故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4. 答案：＞8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．解析：∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是[3,8]． 答案：[3,8]9．两种药片的有效成分如下表所示：应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．解：设提供A 药片x 片，B 药片y 片，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x＋6y ≥28，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.10．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜a b ； (2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab， ∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab.(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b＜0，即b －aab ＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.层级二 应试能力达标1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －1解析：选A 因为x 2＋y 2－(2xy －1)＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y )2＋1>0，所以x 2＋y 2>2xy －1，故选A.2．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B ∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B.3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.4．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x 超过85分，技能操作成绩y 不低于90分，答辩面试成绩z 高于95分，用不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z ≥95B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥85y >90z >95C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z >95D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥85y >90z ≥95 解析：选C x 超过85分表示为x >85，y 不低于90分表示为y ≥90，z 高于95分，表示为z >95，故选C.5．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________． 解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1.∴1＋a ＞0,1－a ＞0.即11＋a 1－a ＝11－a 2∵0＜1－a 2≤1，∴11－a 2≥1， ∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a ≥1－a 6．设a ，b 为正实数，有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．解析：对于①，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a －b <1成立．对于②，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1. 对于③，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1.对于④，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0，∴a ≠b ，不妨设a >b >0.∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2.即a 3－b 3>(a －b )3>0，∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0，∴0<a －b <1，即|a －b |<1.因此正确．答案：①④7．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小． 解：因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)， 所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ；当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ；当a <b 时，x －y <0，所以x <y .8．已知x ，y 为正实数，且1≤lg(xy )≤2,3≤lg x y ≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解：由题意，设a ＝lg x ，b ＝lg y ，∴lg(xy )＝a ＋b ，lg x y ＝a －b ，lg(x 4y 2)＝4a ＋2b .设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. 又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4，∴6≤4a ＋2b ≤10，∴lg(x 4y 2)的取值范围为[6,10]．。
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
人教版高中数学必修五不等式3.1不等关系与不等式(1)优秀课件
二、实数的运算性质与大小顺序间的关系
结论
对于任意两个实数，，如果，那么是正数；如 果，那么是负数；如果，那么等于。它们的逆命 题也正确，这就是说
上面等价符号的左式反映的是实数的大小顺序，右式 反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性 质与实数大小顺序之间的关系。它是不等式这一章的理论 基础。
大数对应的点位于小数对应的点的右边 思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两 个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数 学语言描述这个原理？
二、实数的运算性质与大小顺序间的关系
思考4：如果两个实数的差等于零，那么这两 个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数 学语言描述这个原理？
思考5：如果两个实数的差是负数，那么这两 个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数 学语言描述这个原理？
人教版高中数学必修五不等式3.1不 等关系与不等式(1)优秀课件
实例分析
实际生活中
长短
轻重
大小
高矮
实例分析 各远侧横 不近成看 同高峰成 低岭
一、用不等式表示不等关系
探究 现实世界和日常生活中，既有相等关系，又
存在着大量的不等关系，在数学中，我们怎样来 表示这些不等关系？
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为 7℃，明天白天的最高温度为13℃；
一、用不等式表示、用不等式表示不等关系
1、不等式的定义
2、用不等式表示不等关系
一、用不等式表示不等关系
问题1
分析：
一、用不等式表示不等关系
问题2
分析：
(3)截得两种钢管的数量都不能为负。
一、用不等式表示不等关系
二、实数的运算性质与大小顺序间的关系
思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点， 那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？
数学：3.1.1《不等关系与不等式》(新人教a版必修5)
例1．比较x2－x与x－2的大小。 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.
例2．当p，q都是正数且p+q=1时，试比 较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。 解：(px+qy)2－(px2+qy2)
p q 读作“p等价于q或q等价于p”。
上述结论可以写成：
a b 0 a b a b 0 a b
a b 0 a b
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
3.1.1 不等关系与不等式
在考察事物之间的数量关系时，经常
要对数量的大小进行比较，我们来看下
面的例子。 国际上常用恩格尔系数（记为n）来衡 量一个国家和地区人民的生活水平的高低。 它的计算公式是
食品消费额 n 100% 消费支出总额
。
有关机构还制定了各种类型的家庭应达 到的恩格尔系数的取值范围：
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表示为：( )
A. f ≥p ≥ 2.3%
f ≥ 2.5% C. p ≥ 2.3%
某人为自己制定的月支出计划中，规定
=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy. 因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p， 因此(px+qy)2－(px2+qy2) =－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，
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(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac___>___bc. ②如果a>b，c<0，那么ac___<___bc. (5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c___>___b＋d. (6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac___>___bd. (7)性质7：如果a>b>0，那么an__>____bn，(n∈N，n≥2)．
(8)性质8：如果a>b>0，那么n a___>___n b，(n∈N，n≥2)．
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A
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[解析] M－– N第＝四x2级＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0， ∴M>N，故选A»．第五级
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命题方向3 ⇨不等式性质的应用
例题 3 对于实数a、b、c，有下列结论：
①若a＞b，则ac＜bc；
②若ac2＞bc2，则a＞b；
③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；
④若c＞a＞b＞0，则c－a a＞c－b b；
⑤若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.
其中正确结论的个数
A．2
B．3
C．4
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的大小关系如何？
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知 0 a b
，x＞y＞0，
x y 求证： . xa y b
例3 立.
若a＜b＜0，判断下列结论是否成
1 1 （1） a b
（3） a b
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的 大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn
思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1·2„an＞b1·2„bn吗？ a b ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
2 2
1 1 （2） a b a
（4）ac2＜bc2
例4
给出三个不等式：
c d ①ab＞0，② , ③bc＞ad， a b
以其中任意两个作条件，余下一个做结 论，可组成几个正确命题.
小结作业
1.不等式的8条基本性质，就是不等式的 运算法则，是分析、研究和解决不等式 问题的逻辑依据，在此基础上还可引伸 出许多其他性质，学习上要求掌握基本 性质，了解拓展性质.
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：有一个不争的事实：若甲的身材 比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然. 从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这 个不等式性质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：又有一个不争的事实：若甲的 身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲 的身材比丙高，这里反映出的不等式性 质如何用数学符号语言表述？
3.1 不等关系与不等式
第二课时
问题提出
1.反映实数大小关系的基本原理是什么？ a－b＞0 a＞b
a=b a－b＜0 a＜b
a－b=0
2.用“差比法”比较两个代数式大小的 一般步骤如何？
作差→变形→判断符号
3.对不等式的认识仅停留在上述层面上 是不够的，为了深入研究各种背景下的 不等关系，我们必须建立相关的不等式 理论，这是我们需要进一步研究的问题.
Þ
a＞b，b＞c
a＜b，b＜c
a＞c；
a＜c（传递性）
思考3：再有一个不争的事实：若甲的年 薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖 金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍 然比乙高，这里反映出的不等式性质如 何用数学符号语言表述？
Û
a＞b
a+c＞b+c（可加性）
思考4：还有一个不争的事实：若甲班的 男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多， 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
a＞b，c＞d
a+c＞b+d（同向可加性）
思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的 大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么 ac与bc的大小关系如何？为什么？ a＞b，c＞0 ac＞bc； a＞b，c＜0 ac＜bc 思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac与bd的大小关系如何？为什么？
作业：
P75习题3.1A组：2，3. B组：2.
a＞b＞0，c＞d＞0
ac＞bd
n
a
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与 bn的大小关系如何？
a＞b＞0
n
an＞bn (n∈N*)
n
b
思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么 n a
a b
与 b 的大小关系如何？ a＞b＞0
n
n
a＞
n
b(n∈N*)
探究（二）：不等式的拓展性质
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式 中成立吗？ a＋b＞c a＞c－b
2.上述不等式性质都是可以证明的结论， 反映实数大小关系的基本原理是证明不 等式性质的理论基础.
3.在不等式的基本性质中，有些条件与 结论是等价的，有些是不等价的，在不 等式的乘法、乘方、开方运算性质中， 还要附加大于0的条件，应用时必须认准. 4.不等式的8条基本性质还可作适当变 通，如a≥b，b＞c a＞c； a≥b，c＞0 ac≥bc； a＜b，c＜0 ac＞bc等等.
a1·2„an＞b1·2„bn a bБайду номын сангаас
思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关 系确定吗？ a＞b，n为正奇数
an＞bn
思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b ＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大 小关系确定吗？
a＞b，c＜d
a－c＞b－d
1 1 思考6： 若a＞b，ab＞0，那么 a 与 b