中考数学训练专题二规律探究题

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中考数学专题复习：规律探索题

中考链接观察“田”字中各数之间的关系：
，…，，则的值为
．
七、学业检测
一．选择题（共4小题，每题10分，共40分） 1．教材上“阅读与思考”曾介绍“杨辉三角”（如图），
利用“杨辉三角”展开（1﹣3x）5＝ a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么a1+a2+a3+a4+a5＝（）
“★”按一定规律组成的．已知第1个图形中有8个“●” 和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第 3个图形中有24个“●”和9个“★”，…，则第个图形中“★”的个数是“●”的个数的2倍．
类型三图形变化类规律探索
针对训练4 4.我们将如图所示的两种排列形式的点
的个数分别称作“三角形数”（如1，3， 6，10…）和“正方形数”（如1，4，9， 16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数 ”为n，则m+n的值为．
中考链接
将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
第1行
1
第2行
234
第3行
56789
第4行
10 11 12 13 14 15 16
第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25
若有序数对（n,m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3,2）表示6,则表示99的有序数对是 .
中考链接
如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作 B1A1⊥l ，交x轴于点A1 ，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1 ，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2 ，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3 ，延长 B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形 AnBnBn+1Cn的边长为 ________（结果用含正整数n的代数式表示）．

中考数学复习专题2 规律探索型问题数学课件

2．解图形规律探索题的方法：第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数；第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数；函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，

中考总复习数学02- 第二部分专题二规律性问题

3
4
专题二规律性问题—点坐标变换规律类型三点坐标变换规律
题型讲解
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点坐标变换型的题目主要考查了点的坐标规律,这类题目一般是点的坐标在平面直角坐标系中递推变化或周期性变化.通过观察和归纳,从所给的数据和图形中寻求规律是解答本类问题的关键.
例题 3
5
6
专题二规律性问题—点坐标变换规律
返回类型清单
（2）若第n个图案共有基础图形2 023个,则n的值是多少? 解：当1+3n=2 023时, 解得n=674, ∴n的值为674.
例题 2
3
4
专题二规律性问题—图形规律
返回类型清单
4.某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成,图1表示此人行道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列. 当正方形地砖只有1块时,等腰直角三角形地砖有6块（如图2 ）; 当正方形地砖有2块时,等腰直角三角形地砖有8块（如图3 ）,以此类推.
排列,探究图形所反映的规律;另外一种是图形的变换规律,即根据一组
相关图案的变化,从中归纳图形的变换所反映的规律.在中考中以图形为
载体的数字规律最为常见.
例题 2
3
4
专题二规律性问题—图形规律
返回类型清单
方法点拨数形规律题的解题关键是通过观察图形发现数量关系,并用代数式归纳出规律,再进行验证,进而解决问题;图形变换规律题的解题关键是抓住图形的变化特征,找出规律,进而解决问题.
例题 1
1
2
专题二规律性问题—竖式规律例题1
返回类型清单
（ 2022·河北模拟）观察 1×49=49,2×48=96,3×47=141,…,23×27=621,24×26=624,25×25= 625,26×24=624,27×23=621,…,47×3=141,28×2=96,49×1=49.

中考数学专题复习——规律探索(详细答案)

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标为（）．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是。

中考数学探究规律题型总结2.等差数字型

答案：2；8048
解析：（1）先把代入原方程得，
求得方程的两个根分别为3,1，
再根据，即，
可得，
所以 .
（2）由求根公式得：
据，
得，
当时，，
当时，，
当时，，
以此类推，
当时，，
当时，，
∴根由小到大排列为，共4026项.
∵每两项的差恒为的值，即为2
则 .
8.观察下列等式：① ；② ；③ ；④ …；则根据此规律第6个等式为________，第个等式为_______．
故第6个式子为．
21.观察下列有序数对： …，根据你发现的规律，第100个有序数对的形式是______
解析：观察发现：
第1个有序数对可以表示为，
第2个有序数对可以表示为，
第3个有序数对可以表示为，
以此类推，
第个有序数对可表示为，
∴第100个有序数对是．
22.观察下列数表：
1 2 3 4…第一行
∴第行最后一个数字是；
再令，解得．
因此第行最后一个数字是，第行最后一个数是．
15.已知，我们又定义，，…，，则通过计算 ……，则b5是多少，bn是多少？
解析：根据题意按规律求解：
，
，
所以
则
16.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 .请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数，当数到12时，对应的字母是______（请填大写字母）；当字母第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C第次出现时（为正整数），恰好数到的数是______（用含的代数式表示）.
以此类推，
则第个式子是．

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（26题）一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案其中第①个图案用了9根木棍第①个图案用了14根木棍第①个图案用了19根木棍第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈 … 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A ．14B ．20C ．23D ．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：23452345,a a a a a 第n 个单项式是（）A nB 11n n a --C n naD 1n na -4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去所作正方形的顶点均在格点上其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,05．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，，若12a =，则2023a 的值是（） A ．12-B ．13C ．3-D ．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行竖排为列）按数表中的规律分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004C ．2022D ．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（）A ．199B ．200C ．201D ．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展被数学界誉为“数学王子” 据传他在计算1234100+++++时用到了一种方法将首尾两个数相加进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a =以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-二填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是第23个智慧优数是．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳氢元素组成的有机化合物在生产生活中可作为燃料润滑剂等原料也可用于动植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷乙烷丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示如十一烷十二烷……）等甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示按照此规律十二烷的化学式为．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯分别对应着编号为1-100的100个开关灯分为“亮”和“不亮”两种状态每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为（用含n 的式子表示）．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片第2个图案中有6个白色圆片第3个图案中有8个白色圆片第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2）有5个三角形记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）有9个三角形记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍得到22A OB △ …．依次类推得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形ABOC 是正方形点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现完成填空：第①行数的第10个数为取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是．25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上点123B B B 、、在直线()0y x =≥上若点1A 的坐标为()2,0 且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为．26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是．参考答案一单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案其中第①个图案用了9根木棍第①个图案用了14根木棍第①个图案用了19根木棍第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍第①个图案用了45214+⨯=根木棍第①个图案用了45319+⨯=根木棍第①个图案用了45424+⨯=根木棍 ……第①个图案用的木棍根数是45844+⨯=根故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈… 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律即可求解.=⨯-【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈2311=⨯-第①个图案中有5个圆圈5321=⨯-第①个图案中有8个圆圈8331=⨯-第①个图案中有11个圆圈11341…⨯-=所以第①个图案中圆圈的个数为37120故选：B.n-是解题的【点睛】本题考查了图形类规律探究根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a第n个单项式是（）B1n-C n D1n-A【答案】C字母为a指数为1开始的自然数据此即可求解．【分析】根据单项式的规律可得【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a第n n故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去所作正方形的顶点均在格点上其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：①()121A -， ()412A -， ()703A ， ()1014A ，①()323n A n n --，①1003342=⨯-，则34n =①()1003134A ，故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化解答本题的关键是仔细观察图象得到点的变化规律． 5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，，若12a =，则2023a 的值是（） A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =- 413a = 52a =…… 由此可得规律求解．【详解】解：①12a =①212312a +==-- 3131132a -==-+ 411121312a -==+51132113a +==- ……. 由此可得规律为按2 3- 12- 13四个数字一循环①20234505.....3÷= ①2023312a a ==- 故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的半径每次比前一段弧半径12+ 得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+ 得出半径再计算弧长即可．【详解】解：由图可知曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的半径每次比前一段弧半径12+∴112AD AA ==111BA BB == 1132CB CC == 112DC DD ==12122AD AA ==+2221BA BB ==+ 22322CB CC ==+ 2222DC DD ==+ ⋯⋯1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+故20232023A B 的半径为()202320231420231140452BA BB ==⨯⨯-+=∴20232023A B 的弧长90404540451802ππ=⨯=．故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算弧长的计算公式：180n rl π= 找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行竖排为列）按数表中的规律分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现分数的分子是几，则必在第几列只有第一列的分数分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现分数的分子是几，则必在第几列只有第一列的分数分母与其所在行数一致故202023在第20列即20b = 向前递推到第1列时分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ 122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ …2100200(100)1100101f ⨯==+ 1212100()11001011100f ⨯==+1(100)()2100f f += 11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+ 201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算熟练掌握运算法则找到数字变化规律是解本题的关键． 9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展被数学界誉为“数学王子” 据传他在计算1234100+++++时用到了一种方法将首尾两个数相加进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点即2A 到()91,1A 第3圈有16个点即10A 到()252,2A 依次类推第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确故选B ．【点睛】本题考查图形与规律利用所给的图形找到规律是解题的关键．二填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是第23个智慧优数是．【答案】 15 45【分析】根据新定义列举出前几个智慧优数找到规律进而即可求解．【详解】解：依题意当3m = 1n =，则第1个一个智慧优数为22318-= 当4m = 2n =，则第2个智慧优数为224214-= 当4m = 1n =，则第3个智慧优数为224115-= 当5m = 3n =，则第5个智慧优数为225316-= 当5m = 2n =，则第6个智慧优数为225221-= 当5m = 1n =，则第7个智慧优数为225324-= ……6m =时有4个智慧优数同理7m =时有5个 8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数当9m =时 7n = 第22个智慧优数为2297814932-=-= 第23个智慧优数为9,6m n ==时 2296813645-=-= 故答案为：15 45．【点睛】本题考查了新定义平方差公式的应用找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳氢元素组成的有机化合物在生产生活中可作为燃料润滑剂等原料也可用于动植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷乙烷丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示如十一烷十二烷……）等甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示按照此规律十二烷的化学式为．【答案】1226C H【分析】根据碳原子的个数氢原子的个数找到规律即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H ……碳原子的个数为序数氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个十二烷的化学式为1226C H 故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题找到规律是解题的关键． 12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数等式的右边为这个数乘以这个数减1 即可求解．【详解】解：①21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …①第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯分别对应着编号为1-100的100个开关灯分为“亮”和“不亮”两种状态每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮” 确定1-100中各个数因数的个数完全平方数的因数为奇数个从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮”因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数 1-100中完全平方数为1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 有10个数故有10盏灯被按奇数次为“亮”的状态故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解完全平方数理解因数的意义完全平方数的概念是解题的关键． 14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为（用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n +【分析】当1n =时有()2114+=个三角形当2n =时有()2216+=个三角形当3n =时有()2318+=个三角形第n 个图案有()2122n n +=+个三角形每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时有()2114+=个三角形当2n =时有()2216+=个三角形当3n =时有()2318+=个三角形第n 个图案有()2122n n +=+个三角形每个三角形用三根故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n +．故答案为：66n +．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片第2个图案中有6个白色圆片第3个图案中有8个白色圆片第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯ ⋯ 可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯⋯①第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2）有5个三角形记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）有9个三角形记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解．【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍得到22A OB △ …．依次类推得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为．【答案】 20232 ()202220222,2【分析】根据旋转角度为60︒ 可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上故点2023A 在第四象限且202320232OA = 即可求解．【详解】解：①AOB 为等边三角形点A 的坐标为()1,0 ①1OA =①每次旋转角度为60︒ ①6次旋转360︒第一次旋转后 1A 在第四象限 12OA =第二次旋转后 2A 在第三象限 222OA =第三次旋转后 3A 在x 轴负半轴 332OA =第四次旋转后 4A 在第二象限 442OA =第五次旋转后 5A 在第一象限 552OA =第六次旋转后 6A 在x 轴正半轴 662OA =……如此循环每旋转6次点A 的对应点又回到x 轴正半轴①202363371÷=点2023A 在第四象限且202320232OA =如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H在2023Rt OHA 中 202360HOA ∠=︒①202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=202320222023202320233sin 232A H OA HOA =⋅∠= ①点2023A 的坐标为()202220222,32．故答案为：20232 ()202220222,32．【点睛】本题考查图形的旋转解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子抽象出相应的数字规律进行作答即可．【详解】解：①21312⨯+= 22413⨯+=23514⨯+=……①()()2211n n n ++=+①()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标从而可计算出1234,,,S S S S …的高进而求出1234,,,S S S S … 从而得出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时 1P 的纵坐标为8 当2x =时 2P 的纵坐标为4 当3x =时 3P 的纵坐标为83当4x =时 4P 的纵坐标为2当5x =时 5P 的纵坐标为85…则11(84)84S =⨯-=- 2881(4)433S =⨯-=-3881(2)233S =⨯-=-481(2)2558S =⨯-=- (881)n S n n =-+ 1238888888844228335111n n S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+-++-=-=+++ ①12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==．故答案为：2023253．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用解题的关键是求出881n S n n =-+． 20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++ 第n 个数对的第二个位：()211n ++ 即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3 7 13 21 31 … 即：121⨯+ 231⨯+ 341⨯+ 451⨯+ 561⨯+ … 则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++ 每个数对的第二个数分别为5 10 17 26 37 … 即：221+ 231+ 241+ 251+ 261+… 则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++①第n 个数对为：()221,22n n n n ++++ 故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律找出数字之间的排列规律利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形ABOC 是正方形点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得故2023A 点坐标为()2023,1-．故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是．【答案】20221⎛ ⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1 点2B 的横坐标是1 点3B 2413⎛+= ⎝⎭找到规律得到答案见即可．【详解】解：当0y = 0= 解得1x = ①点()11,0A ,①111A B C O 是正方形 ①11111OA A B OC === ①点()11,1B ①点1B 的横坐标是1当1y =时 1 解得1x =+①点21A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭①2221A B C C 是正方形①2212211A B C C A C ===①点212B ⎛ ⎝⎭即点2B 的横坐标是1当2y =时 2= 解得)223x =①点34,23A ⎝⎭①3332A B C C 是正方形①33233243A B C C A C ===①点3B 2413⎛= ⎝⎭……以此类推，则点2023B 的横坐标是202231⎛ ⎝⎭故答案为：202231⎛ ⎝⎭【点睛】此题是点的坐标规律题考查了二次函数的图象和性质正方形的性质等知识数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现完成填空：第①行数的第10个数为取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】 1024 202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n - 第二行数的规律为(2)1n n -++ 代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为(2)n - ①第①行数的第10个数为10(2)1024-= 第二行数的规律为(2)1n n -++①第①行数的第2023个数为2023(2)- 第①行数的第2023个数为2023(2)2024-+ ①202422024-+故答案为：1024 202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化找其中的规律是今年考试中常见的题型. 24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是．。

中考数学规律探究试题(2)含答案

中考数学规律探究试题（2）1.小明玩一种挪动珠子的游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：当每次挪动珠子的颗数为15颗时，对应所得分数为分，当对应所得分数为132分时，则挪动的珠子数颗。

2.观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2012个球止，共有实心球个。

”3.已知a≠0，s1=2a，s2=2s1，s3=2s2，…，s2010=2s2009，则S2012= (用含a的代数式表示)．4.观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2012这个数在第_____个三角形的______顶点处（第二空填：上、左下、右下）．5.如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。

电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是。

6.如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．7.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．8.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）20139.根据下列图形的排列规律： …,则第2008个图形是(填序号即可).(① ；② ；③ ；④ .)10.有一列数a1,a2,a3,……a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2,，则a2007为（）Ａ．2007 Ｂ．2 Ｃ．12Ｄ．-119题11.让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5 ，计算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n23＋1得a3；…………依此类推，则a2008=_______________．12.若a1=1-1m，a2=1-1a1，a3=1-1a2，… ；则a2012的值为．（用含m的代数式表示）13.将正整数按如图所示的规律排列下去。

人教版九年数学中考规律专题练习及参考答案

人教版九年数学中考规律专题练习学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来.规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度，利用不同方法探索并发现数学规律，同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，真正考查了学生的数学思考能力.类型之一数式的变化规律例1 (2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：32-4×12=552-4×22=972-4×32=13……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92-4×( )2=( )；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.【思路点拨】(1)从等式的结构看，等于号的左边第一项的底数依次增大2，第二项的底数依次增大1，等于号的右边依次增大4.依次规律就可写出第四个等式；(2)先根据分析的规律用含n的等式表示出第n个等式，然后将等号的一边经过整理与另一边相同.【解答】(1)4，17.(2)(2n+1)2-4×n2=4n+1.验证：∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边，∴等式成立.方法归纳：探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律.1.(2014·东营)将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行，第一列，与有序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2 014对应的有序数对为.2.(2014·菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n行(n是整数，且n≥3)从左至右数第n-2个数是(用含n的代数式表示).3.(2014·滨州)计算下列各式的值：2919+；299199+；2999 1 999+；29 99919 999+.观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得22 01492 01499991999⋯+⋯个个= .4.(2014·巴中)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n (n 为非负整数)的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数.例如，(a+b)2=a 2+2ab+b 2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出(a-b)4的展开式为 .5.(2014·黄石)观察下列等式：第一个等式：a 1=23122⨯⨯=112⨯-2122⨯第二个等式：a 2=34232⨯⨯=2122⨯-3132⨯ 第三个等式：a 3=45342⨯⨯=3132⨯-4142⨯ 第四个等式：a 4=56452⨯⨯=14142⨯-5152⨯按上述规律，回答以下问题：用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ；式子a 1+a 2+a 3+…+a 20= .6.(2014·烟台)将一组数3，6，3,23,15,…，310，按下面的方法进行排列：若23的位置记为(1，4)，26的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( ) A.(5，2) B.(5，3) C.(6，2) D.(6，5)类型之二图形的变化规律例2 (2014·金华)一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接. (1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ (2)若有餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？【思路点拨】由拼图可知，每多拼一张餐桌，可坐的人数就增多4人，依次规律可探究出餐桌的个数与可坐人数之间的关系.从而就可解决问题.【解答】(1)根据图中的规律我们可以发现，每多拼接一张餐桌，可坐的人数就增多4人.即：拼接x张餐桌可以就餐的人数为：6+4(x-1)=4x+2(人).所以，拼4张可以坐4×4+2=18(人)，拼8张可以坐4×8+2=34(人).(2)由题意可知4x+2=90.解得x=22.答：这样的餐桌需要拼接22张.方法归纳：当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证.1.(2014·重庆A卷)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为( )A.20B.27C.35D.402.（2014·武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是( )A.31B.46C.51D.663.(2014·重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，……，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.284.(2014·宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，…,A n分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是( )A.nB.n-1C.(14)n-1 D.14n5.(2014·鄂州)如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n.下列结论正确的是( )①四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；②四边形A 3B 3C 3D 3是矩形；③四边形A 7B 7C 7D 7周长为8a b+；④四边形A n B n C n D n 面积为·2na b . A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④6.(2014·内江)如图，已知A 1、A 2、……、A n 、A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝……＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1、A 2、……、A n 、A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1、B 2、……、B n 、B n ＋1，连接A 1B 2、B 1A 2、A 2B 3、B 2A 3、……、A n B n ＋1、B n A n ＋1，依次相交于点P 1、P 2、P 3、……、P n ，△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、……、△A n B n P n 的面积依次为S 1、S 2、……、S n ，则S n 为( )A.121n n ++ B.231n n - C.221n n - D.22+1n n7.(2014·内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第 2 014个图形是 .△△□□□△○○□□□△○○□□□△○○□……8.（2014·娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n （n 为正整数）个图案由个▲组成.9.(2014·盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y ＝x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n 的值为 .(用含n 的代数式表示，n 为正整数)类型之三点的坐标的变化规律例3 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(53,0),B(0,4),则点B2 014的横坐标为.【思路点拨】先根据勾股定理求出AB的长度，再根据第4个图形与第1个图形的位置相同，可知每三个三角形为一个循环依次循环，然后求出每个循环组中B点坐标的变化规律即可.【解答】由题意可得：∵AO=53，BO=4，∴AB=133，∴OA+AB1+B1C2=53+133+4=6+4=10，∴B2的横坐标为10，B4的横坐标为2×10=20，∴点B2 014的横坐标为：20142×10=10 070.故答案为：10 070.方法归纳：由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律.1.如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 014的坐标为.2.(2013·湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是，A22的坐标是.3.(2014·孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是.4.(2014·德州)如图，抛物线y ＝x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，…A n ，….将抛物线y ＝x 2沿直线l ：y ＝x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，…M n ，…都在直线l ：y ＝x 上； ②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…. 则顶点M 2 014的坐标为 .参考答案类型之一数式的变化规律1.(45，12) 22n - 3.102 0142919+1299199+229 99 1 999+3，29 99919 999+4，2201492014999...9199...9+个个=102 014.故答案为102 014.4.a 4-4a 3b+6a 2b 2-4ab 3+b 45.()1212n n n n +++；1·2n n -()1112n n ++；12-211212⨯ 6.C类型之二图形的变化规律1.B2.B3.C提示：每一次操作三角形个数增加6个. 4.B提示：每两个之间重叠部分的面积都等于正方形面积的14，正方形的面积为4，所以重叠部分的面积为1，n 个正方形有(n-1)个重叠部分，故重叠部分的面积之和为(n-1). 5.A 6.D提示：A n B n当底，利用函数y＝2x即可求得，利用黑白三角形相似如△A1B1P1∽△B2A2P1等求得P n到A n B n的距离，从而得△A n B n P n的面积.7.正方形8.3n+19.24n-5提示：根据A点的坐标为(8,4)即可得出正方形的边长依次为20、21、22、23、…，第n个正方形的边长为2n-1计算,第n个阴影部分是在第2n-1和2n个正方形中，与求S2的方法一样，第n个阴影部分的面积是第2n-1个正方形面积的一半，∴S n=12×（22n-1-1）2=24n-5.类型之三点的坐标的变化规律1.(1,-1 007)2.(0，3-1) (-8，-8)提示：由于22÷3=7……1，而A1的坐标为(-1，-1)；A4的坐标为(-2，-2)；A7的坐标为(-3，-3)；……；A22的坐标为(-8，-8).3.(63，32)提示：A1(0,1)，B1(1，1);A2(1，2)B2(3，2),A3(3，4),B3(7，4);依次类推A n(2n-1,2n-1),所以B6(63，32).4.(4 027，4 027)提示：M1(a1，a1)是抛物线y1=(x-a1)2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=(x-a1)2+a1相交于A1，得x2=(x-a1)2+a1，即2a1x=a21+a1，x=12(a1+1).∵x为整数点，∴a1=1，M1(1，1)；同理M2(3，3)，M3(5，5)，……，∴M2 014(2 014×2-1，2014×2-1)，即M2014(4 027，4 027).。

中考数学规律复习题（整理全-含答案）

中考数学规律复习题（整理全-含答案）规律探索1⼀．选择题1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．72.把所有正奇数从⼩到⼤排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现⽤等式A M=（i，j）表⽰正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（）A．（45，77）B．（45，39）C．（32，46）D．（32，23）3.下表中的数字是按⼀定规律填写的，表中a的值应是．4.下列图形都是由同样⼤⼩的矩形按⼀定的规律组成，其中第（1）个图形的⾯积为2cm2，第（2）个图形的⾯积为8 cm2，第（3）个图形的⾯积为18 cm2，……，第（10）个图形的⾯积为（）A．196 cm2B．200 cm2C．216 cm2D．256 cm25．如图，动点P从（0，3）出发，沿所⽰的⽅向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射⾓等于⼊射⾓，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（）A、（1，4）B、（5，0）C、（6，4）D、（8，3）6．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是7．我们知道，⼀元⼆次⽅程12-=x 没有实数根，即不存在⼀个实数的平⽅等于-1，若我们规定⼀个新数“”，使其满⾜12-=i (即⽅程12-=x 有⼀个根为)，并且进⼀步规定: ⼀切实数可以与新数进⾏四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成⽴，于是有,1i i =12-=i ，,).1(23i i i i i -=-=?=.1)1()(2224=-==i i 从⽽对任意正整数n ，我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i那么，20132012432i i i i i i +++++的值为( ) A ．0 B ．1 C ．-1 D ． i 8．下列图形都是由同样⼤⼩的棋⼦按⼀定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋⼦，第②个图形⼀共有6颗棋⼦，第③个图形⼀共有16颗棋⼦，…，则第⑥个图形中棋⼦的颗数为（）A ．51B ．70C ．76D ．81 ⼆．填空题1．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为（⽤含n 的代数式表⽰）．2．如图，在直⾓坐标系中，已知点A （﹣3，0）、B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则3．如图，正⽅形ABCD 的边长为1，顺次连接正⽅形ABCD 四边的中点得到第⼀个正⽅形A 1B 1C 1D 1，由顺次连接正⽅形A 1B 1C 1D 1四边的中点得到第⼆个正⽅形A 2B 2C 2D 2…，以此类推，则第六个正⽅形A 6B 6C 6D 6周长是．图①图②图③···（第8题图）5．如图，古希腊⼈常⽤⼩⽯⼦在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是．6 ．如图，是⽤⽕柴棒拼成的图形，则第n个图形需根⽕柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是．8．如图12，⼀段抛物线：y＝－x(x －3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进⾏下去，直⾄得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_________．9.直线上有2013个点，我们进⾏如下操作：在每相邻两点间插⼊1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点.25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…………请猜测，第n个算式(n为正整数)应表⽰为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7⾏、第7列的数x是__ __．12、如下图，每⼀幅图中均含有若⼲个正⽅形，第①幅图中含有1个正⽅形；第②幅图中含有5个正⽅形；……按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有个正⽅形；13．将⼀些半径相同的⼩圆按如图所⽰的规律摆放：第1个图形有6个⼩圆，第2个图形有10个⼩圆，第3个图形有16个⼩圆，第4个图形有24个⼩圆， ……，依次规律，第6个图形有个⼩圆．14.已知⼀组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n 个数是． 15、我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bx (a ≠0) （1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a ＝__________；当顶点坐标为（m ，m ），m ≠0时，a 与m 之间的关系式是__________；（2）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y ＝kx (k ≠0)上，请⽤含k 的代数式表⽰b ；（3）现有⼀组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y ＝x 上，横坐标依次为1，2，…，n （为正整数，且n ≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂⾜记为B 1，B 2，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正⽅形A n B n C n D n ，若这组抛物线中有⼀条经过D n ，求所有满⾜条件的正⽅形边长．①②③16．如图，所有正三⾓形的⼀边平⾏于x 轴，⼀顶点在y 轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次⽤1A 、2A 、3A 、4A 、…表⽰，其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、…均相距⼀个单位，则顶点3A 的坐标是，22A 的坐标是．第16题图17．如图，已知直线l ：y=33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去，则点A 2013的坐标为．18、如图，在平⾯直⾓坐标系中，⼀动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的⽅向不断地移动，每移动⼀个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A4（2，0），… 那么点A 4n ＋1（n 为⾃然数）的坐标为（⽤n 表⽰）19．当⽩⾊⼩正⽅形个数n等于1，2，3…时，由⽩⾊⼩正⽅形和和⿊⾊⼩正⽅形组成的图形分别如图所⽰．则第n个图形中⽩⾊⼩正⽅形和⿊⾊⼩正⽅形的个数总和等于__________．（⽤n表⽰，n是正整数）20. （2013?衢州4分）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是．21.⼀组按规律排列的式⼦：ａ２，43a，65a,87a,….则第n个式⼦是________22.观察下⾯的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式⼦是．23.如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x 轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为．24.为庆祝“六?⼀”⼉童节，某幼⼉园举⾏⽤⽕柴棒摆“⾦鱼”⽐赛．如图所⽰：按照上⾯的规律，摆第（n）图，需⽤⽕柴棒的根数为．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、（n+1）2 2、（8052,0） 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、2 9、16097 10、[10(n-1)+5]2=100n(n-1)+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、（1）－1；a ＝－1m（或am ＋1＝0）（2）解：∵a ≠0 ∴y ＝ax 2＋bx＝a (x ＋2b a∴顶点坐标为（－2ba，－24b a ）∵顶点在直线y ＝kx 上∴k (－2ba)＝－24b a∵b ≠0 ∴b ＝2k（3）解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上∴可设A n 的坐标为（n ，n ），点D n 所在的抛物线顶点坐标为（t ，t ）由（1）（2）可得，点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正⽅形∴点D n 的坐标为（2n ，n ）∴－1t(2n )2＋2×2n ＝n ∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数，且t ≤12，n ≤12 ∴n ＝3，6或9∴满⾜条件的正⽅形边长为 3，6或916、（01），（－8，－8）. 17、()()201340260,40,2或（注：以上两答案任选⼀个都对）18、（2n ，1） 19、n 2+4n 20、20；21、221na n -（n 为正整数）22、-128a 8 23、（884736,0） 24、6n+2规律探索21、我们平常⽤的数是⼗进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表⽰⼗进制的数要⽤10个数码（⼜叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

中考数学(图形的规律探究问题)能力提升专练

冲刺2022-2023年中考数学微专题靶向培优（图形的规律探究问题）能力提升专练一、选择题。

1. 如图,点O(0,0),A(0,1)是正方形OAA 1B 的两个顶点,以对角线OA 1为边作正方形OA 1A 2B 1,再以正方形的对角线OA 2作正方形OA 2A 3B 2,…,依此规律,则点A 8的坐标是( )A.(-8,0)B.(0,8)C.(0,8√2)D.(0,16)2.如图，△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（）A ．（√2）nB ．（√2）n ﹣1C ．（√22）nD ．（√22）n ﹣13.在平面直角坐标系xOy 中，Rt △AOB 的直角顶点B 在y 轴上，点A 的坐标为（1，√3），将Rt △AOB 沿直线y ＝﹣x 翻折，得到Rt △A 'OB '，过A '作A 'C 垂直于OA '交y 轴于点C ，则点C 的坐标为（）A．（0，﹣2√3）B．（0，﹣3）C．（0，﹣4）D．（0，﹣4√3）（x＞0）的图象上，点B1，B2，4.如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1xB，…B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y= 31交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是x（）A．（2√n，0）B．（0，√2n+1）C．（0，√2n(n−1)）D．（0，2√n）5.如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m,n的关系是( )A.M=mnB.M=m(n+1)C.M=mn+1D.M=n(m+1)6.观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A ．43B ．45C ．51D ．537. 由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC ＝…＝∠LOM＝30°.若OA ＝16，则OG 的长为( )A.274B.14 C.932 D.2738二、填空题。

中考数学复习指导：探索规律型问题归类解析

探索规律型问题归类解析探索规律型问题是历年中考数学试题中的重要题型之一，其特点是给出一组变化了的数字、式子、表格、图形等，要求学生通过观察、归纳、猜想、验证、类比，探求其内在规律．1.通用的解题策略解答规律型问题一般要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论．这种“特殊——一般——特殊”的解题模式，体现了总结归纳的数学思想，也正是人们认识新事物的一般过程．具体来说，就是先写出开头几个数式的基本结构，然后通过横比或纵比找出各部分的特征，写出符合要求的结果．例1 如图1，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色“L”形由3个正方形组成，第2个黑色“L”形由7个正方形组成，…那么组成第6个黑色“L”形的正方形个数是( )(A)22 (B)23 (C)24 (D)25解析从特例入手：如图1．纵比正方形的个数3，7，11，15中，后一个数比前一个大4（即相邻两数的差为4），猜想与4有关．横比3与1，7与2，11与3，15与4之间有何关系？联想到与4有关，故改写为：3＝4×1－1，7＝4×2－1．11＝4×3－1，15＝4×4－1．猜想组成第6个黑色L形的正方形个数是4 ×6－1＝23个．故选B．点评考察相邻两数的差（或商）是探究数字规律的常用手段．常见的类型有：相邻两数的差（或商）相等或成倍数关系，相邻两数的差相等与商相等交替出现等．2.关注特殊数列(1)斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…（其规律为：从第三项开始，每一项都等于前两项之和）；(2)平方数数列：1，4，9，16，25，36…（其规律为：n2，即每一项都等于项数的平方）．例2 有一组数：1，2，5，10，17，26…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_______．解析规律为：n2＋1（n＝0，1，2…）．答案：50．点评此类题要注意n2，n2＋1，n2－1等(3)三角形数列：1，3，6，10，15，21，…（其规律为1＋2＋3＋…＋n）例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图2所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是：( )（A）（B）（C）（D）解析从第3行起，从左边数第3位置上的数分别为，，，，…它们的分母可分别改写为：1×3，3×4，6×5，10×6，15×7，21×8，…，而1，3，6，10，15，21，…，正是三角形数，故答案为：．选B．(4)杨辉三角形，杨辉三角形斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，如图3．(5)与等差等比数列有关的数列．如例1中3，7，11，15…就是一个等差数列．例4 数字解密：第一个数是3＝2＋1，第二个数是5＝3＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8，……观察并猜想第六个数应是_______．解析第二个加数1，2，4，8…规律为2n（为一等比数列，也要关注这一数列），第一个加数2，3，5，9…比第二个加数大1．所以第六个数为(25＋1)＋25＝65．例5 一组按规律排列的数：…请你推断第9个数是________．解析这列数的分母为2，3，4，5，6…的平方数，分子形成二阶等差数列，依次相差2，4，6，8…故第9个数分子为1＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝73，分母为100，故答案为．(6)与循环有关的问题例6 让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a3；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32＋1得a3；……依此类推，则a2008＝_______．解析根据题意可算出a1＝26，a2＝65，a3＝122，a4＝26，a5＝65，a6＝122，…发现每3个数就出现一次循环．所以由2008＝669×3＋1，可得a2008＝a1＝26．点评一列数由某m个数循环出现组成，可依据同余等值(由n＝p·m＋r得a n＝a r)实施转换．(7)分奇数项偶数项的问题例7 一组按规律排列的式子：，…(a b≠0)，其中第7个式子是________，第n个式子是_(n为正整数)．解析6的指数2，5，8，11…，相邻两数差为3，是等差数列，其规律为3n－1；再注意到奇数项为负，偶数项为正，则第n个式子为第七个式子为3.特殊数列的迁移例8 把数字按如图4所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1.5.13.25.…，则第10个数为_______．解析1 中间框出的一列数的规律为：第n个数为1＋4＋8＋12＋…＋4（n－1）．所以第10个数为1＋4＋8＋12＋…＋36＝．解析2 用虚线圈出的一列数1，5，13，25可改写为：02＋12，12＋22，22＋32，32＋42，猜想第10个数为92＋102＝181．点评此列数可看成是平方数数列的迁移．例9 图5中是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒．a，b，c，d是相邻两行的前四个数，那么当a＝8时，c＝_______，d＝_______．解析除两边外，中间的每个数等于肩上两数的和．答案：9；32．点评此列数可看成是杨辉三角形的迁移．4.关注中考新题型例10 观察图6所示表格，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有_______次．解析从特例入手，通过扩充表格可得：数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10出现次数分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4．出现的次数恰为给定数的所有因数的个数，而2008的因数为1，2，4，8，251，502，1004，2008等8个．故答案为8．点评本例中新产生的数为自然数的倍数，因此，其出现的次数与其因数的多少有关，仔细观察便会发现，其出现次数就是给定数所有因数的个数，本题规律的隐蔽性较强，因而有一定的难度．。

中考数学《规律探索》专题复习试题含解析

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

中考数学重难点;规律探究之探究数与式的规律(含答案)

探究数与式的规律1.观察算式，探究规律：当n=1时，S1=13=1=12；当n=2时，S2＝13+23＝9＝32；当n=3时，S3＝13+23+33＝36＝62；当n=4时，S4＝13+23+33+43＝100＝102；…那么S n与n的关系为（）A. n4+n3B. n4+n2C. n2（n+1）2D. n（n+1）22.观察下列各式：=1+﹣=1=1+﹣=1=1+﹣=1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）=________（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：________ （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）3.请阅读下列材料：∵；；；…∴===解答下列问题：（1）在和式中，第5项为________，第n项为，上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以________，从而达到求和目的．（2）利用上述结论计算：4.观察下列算式：①1×5+4=32，②2×6+4=42，③3×7+4=52，④4×8+4=62，…请你观察规律解决下列问题。

（1）填空：________ ×________+4=20152．（2）写出第n个式子（用含n的式子表示），并证明．5.观察下列各个等式的规律：第一个等式：=1，第二个等式：=2，第三个等式：=3…请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．6.观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6=________=________；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n=________=________；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=________（得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．7. 认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．8. 观察下列等式：第1个等式：a1==×(1−) ；第2个等式：a2==×(−) ；第3个等式：a3==×(−) ；第4个等式：a4==×(−) ；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第6个等式：a6=________=________.（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：an=________=________.( 为正整数)；（3）求a1+a2+a3+...+a100的值.9.有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；…对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．（1）经过探究，我们发现：设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？请你直接写出正确的结论；（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，求证：．10. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．（2）结合（1）观察下列点阵图，并在横线后面写出相应的等式．（3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式________．11. 寻找公式，求代数式的值：从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：（1）当n个最小的连续偶数相加时，它们的和S与n之间有什么样的关系，用公式表示出来；（2）并按此规律计算：（a）2+4+6+…+300的值；（b）162+164+166+…+400的值．12. 阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n 位的数称为第n项，记为a n．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=2．则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为________，第6项是________．（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，… =q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2，a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：a n=________（用a1和q的代数式表示）．（3）对等比数列1，2，4，…，2n﹣1求和，可采用如下方法进行：设S=1+2+4+…+2n﹣1①，则2S=2+4+…+2n②，②﹣①得：S=2n﹣1利用上述方法计算：1+3+9+…+3n．13. 观察下列等式：第1个等式：a1= = ﹣1，第2个等式：a2= = ﹣，第3个等式：a3= =2﹣，第4个等式：a4= = ﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：a n=________；（2）a1+a2+a3+…+a n=________．14.观察下列算式，解答问题：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52（1）请猜想1+3+5+7+…+49=________；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=________；（3）请利用上题猜想结果，计算39+41+445+…+2015+2017的值（要有计算过程）15. 观察猜想：我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”说明数形结合是一种重要的数学方法，许多重要的计算转化成图形后，非常巧妙而简单，观察图形：（1）图中A表示的数值是________；（2）根据你的观察，猜想：+ + + + =1﹣________=________；（3）你能猜想下列式子的值吗？① + + + + + + + + ；② + + +…+ ．16. 一组连续奇数按如图方式排列，请你解决下列问题：（1）第7行最后一个数字是________，在第15行第4列的数字是________；（2）请用n的代数式表示第n行的第1个数字和最后一个数字；（3）现用一个正方形框去围出相邻两行中的4个数字（例如：第4行和第5行的15，17，23，25），请问能否在第50行和第51行中围出4个数字的和是10016？若能，请求出这4个数字；若不能，请说明理由.17. 如下数表是由从l开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第8行的最后一个数是________ ，它是自然数________ 的平方，第8行共有________ 个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是________ ，最后一个数是________ ，第n行共有________ 个数．18.如图，将正偶数按照图中所示的规律排列下去，若用有序实数对（a，b）表示第a行的第b个数．如（3，2）表示偶数10．（1）图中（8，4）的位置表示的数是，偶数42对应的有序实数对是________ ；（2）第n行的最后一个数用含n的代数式表示为________ ，并简要说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】∵3=，6=，10=，∴S1=（)2，S2=（)2，S3=（)2，S4=（)2，…S n=（)2=n2（n+1)2．故选C．【分析】观察不难发现，底数是两个连续整数的乘积的一半，根据此规律写出即可．本题是对数字变化规律的考查，难度较大，对同学们的数字敏感程度要求较高，观察出底数的变化特点是解题的关键．二、综合题2.【答案】（1）1（2）=1+（3）解：==1【解析】【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；（2）根据规律，写出等式；（3）根据（2）的规律，即可解答．3.【答案】（1）解: ；抵消为零；（2）原式= ……. .=【解析】【分析】本题为规律性试题，我们可以看到，每一项分母为相邻的两个奇数项相乘，每一项分母的后一个奇数与它后一项分母的前一个奇数相等，寻找规律计算即可．4.【答案】（1）2013；2017（2）解：第n个等式为：n（n+4）+4=（n+2）2；∵左边=n2+4n+4=（n+2）2=右边∴n（n+4）+4=（n+2）2成立．【解析】【解答】解：（1）由以上四个等式可以看出：每一个等式第一个因数等于序号数，第二个因数比第一个大4，等式右边的底数比第一个数大2；所以有：2013×2017+4=20152．答案为：2013，2017；【分析】（1）每一个等式第二个因数比第一个大4，然后都加4，等式右边的底数比第一个数大2；反之可由最后一数反推得到．（2）设第一个数是n，那么第二个因数即为（n+4），等式右边的底数则为（n+2），表示出等式即可．5.【答案】（1）解：由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：（2）解：第n个等式是：，理由如下：∵====n，∴第n个等式是：【解析】【分析】（1）由题中给出的规律得出第四个式子；（2）由题中给出的规律得出第n个式子，根据平方差公式证明左边等式等于右边等式即可.6.【答案】（1）；﹣（2）；﹣（3）（4）解：原式= ﹣+ ﹣+…+ ﹣= ﹣=【解析】【解答】解：（1.）由题意知，a6= = ﹣，故答案为：，﹣；（2.）a n= = ﹣，故答案为：，﹣；（3.）原式= ﹣+ ﹣+ ﹣+ ﹣+ ﹣+ ﹣= ﹣= ，故答案为：；【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．7.【答案】（1）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0= ，当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= ，当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3= ，当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6= ，…∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：（2）解：预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n（3）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，…∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n【解析】【分析】由杨辉三角形的规律，得到多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式；由规律得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和；根据题意当n=1时，n=2时···，得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和.8.【答案】（1）116×19；13×（116-119）（2）13n-23n+1；13×（13n-2-13n+1）（3）解：原式=13×(1−14) +13×(14−17) +13×(17−110) +13×(110−113) +...+ 13×(1298−1301)= 13×(1−14+14−17+17−110+110−113+...+1298−1301)=13×(1−1301)=100301.【解析】【解答】解：（1）依题可得：a6==×（-）.故答案为：，×（-）.（2）依题可得：a n==×（-）故答案为：，×（-）.【分析】（1）根据题中式子的规律即可得出a6的等式.（2）根据题中式子的规律即可得出a n的等式.（3）根据（2）中规律裂开各项，相互抵消即可得出答案.9.【答案】（1）解：由题意知第5个数a= = ﹣（2）解：∵第n个数为，第（n+1）个数为，∴+ = （+ ）= ×= ×= ，即第n个数与第（n+1）个数的和等于（3）解：∵1﹣= ＜=1，= ＜＜=1﹣，﹣= ＜＜= ﹣，…﹣= ＜＜= ﹣，﹣= ＜＜= ﹣，∴1﹣＜+ + +…+ + ＜2﹣，即＜+ + +…+ + ＜，∴【解析】【分析】（1）由已知规律可得；（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；（3）将每个分式根据﹣= ＜＜= ﹣，展开后再全部相加可得结论．本题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据已知规律= ﹣得到﹣= ＜＜= ﹣是解题的关键．10.【答案】（1）解：根据题中所给出的规律可知：（2）解：由图示可知点的总数是5×5=25，所以10+15=52（3）【解析】【解答】解：（3）由（1）（2）可知．【分析】通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．11.【答案】（1）解：∵1个最小的连续偶数相加时，S=1×（1+1），2个最小的连续偶数相加时，S=2×（2+1），3个最小的连续偶数相加时，S=3×（3+1），…∴n个最小的连续偶数相加时，S=n（n+1）（2）解：（a）2+4+6+…+300=150×（150+1）=22650；（b）162+164+166+ (400)=（2+4+6+…+400）﹣（2+4+6+…+160），=200×201﹣80×81，=40200﹣6480，=33720【解析】【分析】（1）由表中的式子可得S与n之间的关系为：S=n（n+1）；（2）首先确定有几个加数，由上述可得规律：加数的个数为最后一个加数÷2，据此解答．12.【答案】（1）2；96（2）a n=a1•q n﹣1（3）解：设S=1+3+9+…+3n①，则3S=3+9+…+3n+1②，②﹣①得：2S=3n+1﹣1S=【解析】【解答】解：（1）q= =2，第6项是3×25=96；（2）归纳总结得：a n=a1•q n﹣1；【分析】（1）根据题意得到 q=2，第6项是25=96；（2）归纳总结得到a n=a1•q n﹣1；（3）根据等式的性质，得到所求的值.13.【答案】（1）=（2）【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：a1= = ﹣1，第2个等式：a2= = ﹣，第3个等式：a3= =2﹣，第4个等式：a4= = ﹣2，∴第n个等式：a n= = ；（2）a1+a2+a3+…+a n=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（）= ﹣1．故答案为= ；﹣1．【分析】（1）根据题意可知，a1= = ﹣1，a2= = ﹣，a3= =2﹣，a4== ﹣2，…由此得出第n个等式：a n= = ；（2）将每一个等式化简即可求得答案．此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．14.【答案】（1）625（2）（n+1）2（3）解：39+41+445+…+2015+2017=（1+3+...2017）﹣（1+3+ (37)=10092﹣192=1017720【解析】【解答】1、解：由1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52…依此类推：第n个图案所代表的算式为：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2；⑴当n=25时分别为：1+3+5+7+…+49=625；故答案为：625；⑵由⑴可知：1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+[2（n+1）﹣1]=（n+1）2．故答案为：（n+1）2．【分析】观察数据规律，可知等式左边为n个连续奇数的和，等号右边为奇数个数的平方（即n2）。

中考数学模拟试卷精选汇编：规律探索附答案

规律探索一.选择题1.（2015·邗江区·初三适应性训练）记n n a a a s +++= 21，令ns s s T nn +++=21，则称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“凯森和”.已知1a ，2a ，……，500a 的“凯森和”为2004，那么13，1a ，2a ，……，500a 的“凯森和”为（ ▲ ）A ．2013B ．2015C ．2017D ．2019 答案：A2.（2015·网上阅卷适应性测试）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，(2,0)B ，正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过(2014,3)的正六边形的顶点是（ ▲ ）．A ．C 或EB ．B 或DC ．A 或ED ． B 或F 答案：D3．（2015·江苏江阴要塞片·一模）如图，在平面直角坐标中，直线l 经过原点，且与y 轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1，以A 1B 、BA 为邻边作□ABA 1C 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2，以A 2B 1、B 1A 1为邻边作□A 1B 1A 2C 2；…；按此作法继续下去，则C n 的坐标是（▲ ）第2题A BCD EFGH I KJ PQ 13题图A ．（﹣×4n ，4n ） B ．（﹣×4n －1，4n －1）C ．（﹣×4n ﹣1，4n ） D ．（﹣×4n ，4n －1）答案：C4.（2015·山东省济南市商河县一模）如图，已知在Rt △ABC 中，AB =AC =2，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG ；然后取GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第三个内接正方形……依次进行下去，则第n 个内接正方形的边长为 A ． 121()32n −⋅ B ． 1221()32n −⋅C ．21()32n ⋅ D ． 221()32n ⋅答案：B5. （2015·河北博野·中考模拟）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是【】A ．31B ．41C ．51D ．66 答案：B6．（2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）如图，在平面直角坐标中，直线l 经过原点，且与y 轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1，以A 1B 、BA 为邻边作□ABA 1C 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2，以A 2B 1、B 1A 1为邻边作□A 1B 1A 2C 2；…；按此作法继续下去，则C n 的坐标是（▲ ） A ．（﹣×4n ，4n ） B ．（﹣×4n －1，4n －1） C ．（﹣×4n ﹣1，4n ） D ．（﹣×4n ，4n －1）答案：C7．（2015·无锡市新区·期中）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2014个图形中直角三角形的个数有（ ▲ ）A ．2014个B ．2015个C ．4028个D ．6042个答案：C .二.填空题1．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）观察下面一列数：−1，2，−3，4，−5，6，−7…，将这列数排成下列形式：记ij a 为第i 行第j 列的数，如23a =4，那么87a 是．…………16-1514-1312-1110-98-76-54-32-1第1题图答案：562. (2015·北京市朝阳区·一模)一组按规律排列的式子：a 2，25a −，310a，417a −，526a ，…，其中第7个式子是，第n 个式子是（用含的n 式子表示，n 为正整数）．答案：750a，nn a n 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分） 3.（2015·福建漳州·一模）观察下列各式：514513,413412,312311=+=+=+,…… , 请你将猜想到的规律用含自然数n (n ≥1)的代数式表示出来是：______________. 答案：21)1(21++=++n n n n4（2015·广东广州·一模）王宇用火柴棒摆成如图M1-5所示的三个“中”字形图案，依次规律，第n 个“中”字形图案需要________根火柴棒．答案：6n ＋35.（2015·广东潮州·期中）如图，是用火柴棒拼成的图形，第1个图形需3根火柴棒，第2个图形需5根火柴棒，第3个图形需7根火柴棒，第4个图形需根火柴棒，……，则第n 个图形需根火柴棒。

数学中考各种规律题+详细讲解

3 9 3 5 -5 - 5 - 24 20092010 9 B . 5 -4C .2008 4018一、选择题1. （2010安徽，9, 4分）下面两个多位数 1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2,若积为一位数，将其写在第 2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第 2位.对第2位数字再进行如上操作得到第 3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100位的所有数字之和是 ......................... （）A . 495B . 497C . 501D . 503【分析】按上述规律，以 3开头的多位数是：362486248••…，前100位数字中第一个数字是3，依次为62486248…，共24个6248，最后三位数字是 624,所以前100位数字之和是 3+ 24 >20 + 12=495【答案】A【涉及知识点】规律探究、自主学习【点评】规律探究题是近几年中考的热点，本题还带有自主学习的成分，培养学生的自主学习能力应成为今后教学的重点，属于中档题.【推荐指数】★★★【典型错误】选其他答案比较多，如选D精品分类拒绝共享2. 精（2010重庆，8, 4分）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心 O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转 45°第1次旋转后得到图①, 第2次旋转后得到图②， ……，则第10次旋转后得到的图形与图①〜④中相同的是（）【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动 4次后便可重合，即 4次以循环, 10韶=2…2,所以应和图②相同.【答案】B【涉及知识点】规律的归纳【点评】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题归纳出规律，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度.【推荐指数】★★★★品分类拒绝共享3.精（2010山东威海市，12, 3分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1 , 0）,点D 的坐标为（0, 2）.延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形A 1B 1C 1C ;延长C 1B 1交x 轴于点A 2,作正方形 A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2010 个正方形的面积为（）A . 图①tr图④B4个图案1次循环，由于2010- 4=502D•…2 ,因此可判断A【分析】观察图案容易发现每第2010个图案为B.【答案】B【涉及知识点】规律探索•【点评】此题考查探索规律的能力及有理数的简单运算•解题关键是发现图案中的变化规律•【推荐指数】★★A2009B2009 = 5【答案】D【涉及知识点】【点评】本题是正方形面积的规律探究题，应用了勾股定理及相似三角形知识求出几种特殊正方形的边长，长规律，最后得出正方形的面积规律使问题得以解决.【推荐指数】★★★★品分类拒绝共享4. 精（2010山东烟台，8, 4分）如图3，一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察, 按此规律第2010个图案是（）【分析】由题意知, OA = 1 , OD = 2,DA = 5 ,A AB = AD = . 5 ,利用互余关系证得△ DOA s\ ABA1,…DOABOA,••• BA1= 1AB = 15，二A1B1 = A1C = 3AB =工2 2 2 2BA13同理.A2B2 =2A iB i =235，一般地An B n =n 1I 5，第2010个正方形的面积为4018勾股定理相似三角形正方形实质就是正方形边长的规律探究. 本题可先然后归纳出一般正方形的边C则顶点A 55的坐标为（)品分类拒绝共享5. （ 2010年江苏盐城，8, 3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是2X 4-0=8 ; 4X5-2=22 ; 60-4=44; 8X 10-6=74.【答案】D【涉及知识点】有理数运算找规律【点评】本题属于探究类试题，解答此类试题时，要充分分析试题的特点，各个量之间的关系，然后得到一般的结论.【推荐指数】★★★★ 精品分类拒绝共享6. （ 2010江苏淮安，8, 3分）观察下列各式：1 1 21 2 3 0 1 23123 -2341233 13 4 3 4 5 2 3 43计算：3X （1 X 2+2X 3+3X 4+…+99X 100）=A . 97 X 98 >99B . 98 X 99 X 00C . 99 X 00 X 01D . 100 X 01 X 02【分析】从材料可以得出 1X2, 2X 3, 3X 4,……可以用式子表示，即原式 =.111 3 - 123 0 1 2- 2 3 4 1 2 3 - 99 100 101 98 99 10033 3= 1 23012234123 99 100 101 98 99 100=99 X100 X 01，所以选择 C.【答案】C【涉及知识点】材料阅读题【点评】对于材料阅读的问题是中考问题中的常见问题，也属于难度较大的问题，这种问题的规律性比较强，所以找出材料中的规律是解决此类问题的关键.【推荐指数】★★★★ 精品分类拒绝共享7. （ 2010武汉市中考，9,3）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2, 4, 6, 8,…，顶点依次用A 1, A 2, A J , A 4…表示为，【分析】根据图形所填数字可以看出:A、(13, 13)B、(- 13,—13)C、(14, 14)D、(- 14,—14)【分析】用图中可得，A,A2,A3,A的坐标分别是(1 , 1 ), (- 1 , 1), (- 1 , - 1 ),门，一1)；A5 , A6 , A7, A的坐标分别为：(2 , 2), (-2 , 2), (- 2 , - 2), (2, - 2);A , A10 , A11 , A12 的坐标分别是：(3 , 3) (—3 , 3) , (—3, —3), (3, —3);通过这些数可得出规律：每4个数一循环，余数是几就与第几个数的坐标符号是一样的，55十4=13……3所以符号应该与第3个一样，即横、纵坐标都为负数，坐标是13是最后一个数应该为52 ,坐标是14的最后一个数应该为56 ,所以A55的横、纵坐标都应该是14。

中考数学题型训练---规律探究

规律探索题常用技巧：1、观察法，对于比较明显的变化，可直接加以解决，比如呈现周期性变化的题2、一次函数法，通过一组数据，对于n的变化，考察数据是在坐标轴上成直线的变化，可以设此变化规律为y=kx+b,记得解出后要检验。

3、二次函数法，对于n的变化，考察数据在坐标上呈现弧形，可联想到二次函数，设此规律为y=ax2+bx+c,找出三组数据，然后解出来。

记得检验3、（公式法）等差数列：1+2+3+…+n=1+3+5+7+…++15=3+6+9+12+15+18+…+3n=等比数列：2+4+8+…+2n= 3+32+33+…+3n=1、数据规律类1、（2012滨州）求1+2+22+23+...+22012的值，可令S=1+2+22+23+...+22012，则2S=2+22+23+24+ (22013)因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（）A．52012﹣1B．52013﹣1C．D．2、（2012珠海，20，9分）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×＝×25；②×396＝693×.a ≤9，写出表示“数字对称等（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤b式”一般规律的式子（含a、b），并证明.3、（2012山东省荷泽市）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.4、（2012·湖北省恩施市，题号16 分值4）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_________.2、几何变化类 1、（2012贵州省毕节市）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形。

中考数学特训卷专题二规律探究题(含14题,有答案)

专题二规律探究题⊙热点一：数字或代数式的猜想1．(2012年广东肇庆)观察下列一组数：23，45，67，89，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是__________(k 为正整数)．2．(2013年广西南宁)有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，满足以下规律：a 1＝12，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1(n ≥2，且n 为正整数)，则a 2013的值为__________(结果用数字表示)．3．(2012年广东汕头)观察下列等式：第1个等式：a 1＝11×3＝12×⎝⎛⎭⎫1－13；第2个等式：a 2＝13×5＝12×⎝⎛⎭⎫13－15；第3个等式：a 3＝15×7＝12×⎝⎛⎭⎫15－17；第4个等式：a 4＝17×9＝12×⎝⎛⎭⎫17－19； ……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝__________＝__________；(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝______________＝______________(n 为正整数)；(3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．⊙热点二：几何图形中的猜想1．(2013年江西)观察下列图形中点的个数(如图Z2-3)，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为__________(用含n的代数式表示)．图Z2-32．(2013年广东深圳)如图Z2-4，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第6幅图中有________个正方形．图Z2-43．(2013年浙江绍兴)如图Z2-5，矩形ABCD中，AB＝6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2，…，第n次平移将矩形A n－1B n－1C n－1D n－1沿A n－1B n－1的方向平移5个单位，得到矩形A n B nC nD n(n＞2)．(1)求AB1和AB2的长；(2)若AB n的长为56，求n的值．图Z2-5规律探究题热点一1.2k 2k ＋12．－1 解析：解：a 1＝12，a 2＝11－12＝2，a 3＝11－2＝－1，a 4＝11－(－1)＝12，…，依此类推，每3个数为1个循环组依次循环，∵2013÷3＝671，∴a 2013为第671循环组的最后1个数，与a 3相同，为－1.3．解：(1)19×11 12×⎝⎛⎭⎫19－111 (2)1()2n －1()2n ＋1 12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 (3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋12×⎝⎛⎭⎫13－15＋12×⎝⎛⎭⎫15－17＋12×⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋12×⎝⎛⎭⎫1199－1201 ＝12⎝⎛ 1－13＋13－15＋15－17＋17－19＋…＋1199－ ⎭⎫1201＝12⎝⎛⎭⎫1－1201＝12×200201＝100201. 热点二1．(n ＋1)22．91 解析：观察图形发现第1幅图有1个正方形；第2幅图有1＋4＝5个正方形；第3幅图有1＋4＋9＝14个正方形；…；第6幅图有1＋4＋9＋16＋25＋36＝91个正方形．3．解：(1)由题意，得AA 1＝5，A 1A 2＝5，A 2B 1＝A 1B 1－A 1A 2＝6－5＝1.∴AB 1＝AA 1＋A 1A 2＋A 2B 1＝5＋5＋1＝11，∴AB 2的长为5＋5＋6＝16.(2)∵AB 1＝2×5＋1＝11，AB 2＝3×5＋1＝16，∴AB n ＝(n ＋1)×5＋1＝56，解得n ＝10.。

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几何图形中的猜想例2：(2013 年甘肃兰州)如图 Z2-2，在下面直角坐标系中，已知点 A(－3,0)，B(0,4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到 △1，△2，△3，△4，…，则△2013的直角顶点的坐标为_______．
图 Z2-2
解析：∵点 A(－3,0)，B(0,4)，∴AB＝ 32 42＝5. 由图可知，每3 个三角形为 1 个循环组依次循环，每个循环组前进的长度为4＋5＋3＝12， ∵2013÷3＝671，∴△2013 的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点．
第七行的第一列与第二列差8，是30，第二列与第三列差 9，是39，第三列与第四列差10，是49，第四列与第五列差11，是60；第五列与第六列差12，是72，第六列与第七列差13，是85.
另解，供参考．观察对角线上数字的规律，1,5,13,25，…，后一项比前一项依次多 4,8,12，…，
∴x＝25＋16＋20＋24＝85，即 x＝85. 答案：85 名师点评：本题考查了数字的变化，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是得到每一行中前一列与后一列的关系.
专题二规律探究题
规律探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题．
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性．
数字或代数式的猜想例 1：(2 行第 7 列的数 x 是__________．
图 Z2-1
解析：第一行的第一列与第二列差2，第二列与第三列差3，第三列与第四列差4，…，第六列与第七列差7；
第二行的第一列与第二列差 3，第二列与第三列差 4，第三列与第四列差5，…，第五列与第六列差7；
第三行的第一列与第二列差 4，第二列与第三列差 5，第三列与第四列差 6，第四列与第五列差7；…
∵671×12＝8052， ∴△2013 的直角顶点的坐标为(8052,0)．答案：(8052,0) 名师点评：本题是对点的坐标变化规律的考查，难度不大，仔细观察图形，得到每 3 个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．